向量的范数与矩阵的范数1
向量范数
计算方法
2
常用向量范数
设向量 x = ( x1 , x2 ,..., xn ) || x ||1 = ∑ | xi |
n i =1 n
T
|| x ||2 = ( ∑ | xi | ) = ( x , x ) = ( x T x )
i =1
1 2 2
1 2
1 2
|| x ||∞ = max{| xi |}
定义
设λi(i = 1,2 ,...,n)为矩阵 A的特征值 , 则称
1≤ i ≤ n
ρ ( A) = max{| λi |}
的谱半径。 为矩阵 A的谱半径。 矩阵A的谱半径 ρ ( A)不是A的一种范数 , 但易证
ρ ( A) ≤ A
定义2 定义2
若
Ax ≤|| A || ⋅ || x || ∀x ∈ R n , ∀A ∈ R n× n
称矩阵范数与向量范数是相容的. 称矩阵范数与向量范数是相容的. 相容的
2 − 1 例4 ： 设矩阵 A = − 2 4 , 求 || A ||1 , || A ||2, || A ||∞ 。 解： || A || = max{ 2+ | −2 |, | −1 | +4} = 5 1
1≤ i ≤ n
计算方法
T || || 例3：已知 x = (1, 2, − 3 ) , 求 || x ||1 ， x ||2 ， x ||∞
解： x
1
= x1 + x2 + x3 = 1+2+3= 6
2 2 x12 + x2 + x 3 = 1 + 4 + 9 = 14
x2=
x
∞
向量和矩阵范数
|| x ||
|| b ||
➢ 设 精b确，A有误差 ，得到的A 解为
，即 x x
|| A || || A1 || 是关键
( A 的A误的A差状)放态(大数x因(条子件，数称x)，)为 b
记为cond (A) ,
A(x x) A(x x) b (A A)x (A A) x b
I A 1 1
1 || A ||
证明： ① 若不然，则
(I A有)x非零0解，即存在非零向量 使得
x0
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
|| A || 1 ✓
② (I A)1 A(I A)1 (I A)(I A)1 I
(I A)1 I mA(I A)1
，即
A(x x) b b
x x
绝对误差放大因子
x A1 b
|| x |||| A1 || || b ||
相对误差放大因子
又 || b || || Ax || || A || || x || 1 || A || || x || || b ||
|| x || || A || || A1 || || b ||
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
|| A1A |||| A1 || || A || 1 )
矩阵的1范数
矩阵的1范数
求矩阵的1，和2范数
1.向量的范数：
0范数，向量中⾮零元素的个数。
1范数，为绝对值之和。
2范数，就是通常意义上的模。
⾮穷范数，就是取向量的最⾮值。
但是向量的范数和矩阵的范数关系不⾮，百度了好久也没看到狠⾮的东西，下⾮我来总结⾮下：
矩阵的范数：（是矩阵之间距离度量的⾮法）
A=[010;100;-100]
A=
010
100
-100
>> norm(A,1)
ans =
矩阵的2范数（norm(A,2)）：指矩阵A与矩阵A的转置相乘后得到B，再对矩阵B的最⾮特征值开⾮，还是例⾮：
A=[010;100;-100];
>>B=A*A';
>> [V,D]=eig(B)%V是特征向量，D是特征值V=
01.00000
-0.70710-0.7071
-0.707100.7071
D=
000
010
002
>> sqrt(2)
ans =
1.4142
>> norm(A,2)
ans =
1.4142
既然矩阵的2范数是距离度量的⾮种，那么矩阵的2范数越⾮，则两矩阵的相似性越⾮。
由于知识有限，解释的不好见谅（没有看出2范数和欧⾮距离的关系）。
（⾮⾮上那些讲得迷迷糊糊好点吧）。
Chapter1_2_向量范数与矩阵范数
设 b 精确，A有误差 A ，得到的解为 x x ，即 || A || || A1 || 是关键 的误差放大因子，称为 ( A A的状态数(条件数)， b A)( x x) 记为cond (A) , A( x x) A( x x) b ( A A) x ( A A) x b ( A A) x Ax x A1 A( x x) A( I A1 A) x Ax || x || || A1 || || A || || x x || x ( I A1 A)1 A1 Ax || A || 1 (只要 A充分小，使得
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB || p || A || p || B || p || Ax || p || A || p max max || Ax || p y | ||x || || y || |x 2 x0 | |x | |p 1 || x || p || Ax || p || A || p || 2 || p x
命题(P26，推论1） 若A对称，则有: || A ||2 ( A)
证明：|| A ||2 max ( A A) max ( A )
T 2
A对称
若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。
max ( A2 ) 2 ( A) 对某个 A 的特征根 成立
又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数， 所以2-范数亦称为 故得证。 谱范数。
向量与矩阵的范数
那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵旳谱半径及其性质
定义：设 A C mn ，A 旳 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵 A 旳谱半径。 例 1 ：设 A C mn ，那么
( A) A
这里 A 是矩阵 A 旳任何一种范数。
F
F
于是有
AB A B
F
F
F
例 4 ：对于任意 A C nn ，定义
A
[Tr
(
AH
A)]
1 2
证明如此定义旳 A 是矩阵 A 旳范数。
证明： 首先注意到这么一种基本事实，
即
[Tr( AH
1
A)] 2
(
m
n
aij
2
)
1 2
i1 j1
由一种例题可知此定义满足范数旳性质。
Frobenious范数旳性质：
(1)' n
1
(2)' n
2
1
2
(3)' n
2
引理（Hoider不等式）：设
a1, a2, , an T , b1, b2, , bn T Cn
则
n
n
aibi (
ai p ) 1 p ( n
bi
q)
1 q
i 1
i 1
i 1
其中 p 1,
q1 且
1p
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式轻易 证得。目前我们考虑乘法旳相容性。设
A C nn , B C nn ，那么
n
n
AB
矩阵范数和向量范数的关系
矩阵范数和向量范数的关系矩阵范数和向量范数是线性代数中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将从矩阵范数和向量范数的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述。
我们来介绍矩阵范数和向量范数的定义。
矩阵范数是定义在矩阵上的一种范数，它可以将一个矩阵映射为一个非负的实数。
常见的矩阵范数有Frobenius范数、1-范数、2-范数和∞-范数等。
以Frobenius范数为例，对于一个矩阵A，它的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根，即∥A∥F = √(∑∑|aij|^2)。
向量范数是定义在向量空间中的一种范数，它可以将一个向量映射为一个非负的实数。
常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。
以2-范数为例，对于一个向量x，它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根，即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。
矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。
首先，对于一个n维向量x，可以将其看作是一个n×1的矩阵。
此时，向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。
例如，向量的2-范数就是矩阵的2-范数。
因此，矩阵范数可以看作是向量范数的推广。
矩阵范数和向量范数之间满足一些性质。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，满足以下性质：1. 三角不等式：对于任意的矩阵A和向量x，有∥A∥ + ∥x∥ ≤∥A + x∥。
2. 齐次性：对于任意的矩阵A和实数α，有∥αA∥ = |α|∥A∥。
3. 子多重性：对于任意的矩阵A和B，有∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥。
我们来讨论矩阵范数和向量范数的联系。
通过定义可以看出，矩阵范数和向量范数都是对于矩阵或向量的度量。
矩阵范数可以看作是对矩阵的度量，而向量范数可以看作是对向量的度量。
矩阵范数和向量范数都满足范数的定义，即满足非负性、齐次性和三角不等式。
在应用中，矩阵范数和向量范数有着广泛的应用。
矩阵范数可以用于矩阵的相似性度量、矩阵的特征值估计等问题。
而向量范数可以用于向量的相似性度量、向量的正则化等问题。
向量和矩阵的范数
向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。
范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。
在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。
二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。
2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。
它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。
（2）L2范数：也称为欧几里得距离。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。
（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。
（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。
三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。
它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。
2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。
它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。
（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。
（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。
（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。
向量与矩阵的范数
a12 a1n A 1 max ai j 列范数 1j n i1 n a22 a2n A max aij 行范数 1i n j1 T an2 ann A 2 λm a x( A A) AF
|λ | || X ||= ||λ X ||= || A X || ≤|| A || || X ||
由X ≠0 ,所以 || X || >0 ,
计算方法三⑤
故有:
|λ | ≤|| A ||
所以特征值的最大值≤||A||，即ρ(A)≤||A||
18/35
定理3.7 设A为任意n阶方阵，则对任意 矩阵范数||A||，有： ρ(A)≤||A|| 定理3.8 设A为n阶对称方阵，则有: ||A||2= ρ(A)
1 2 3 A 4 5 6 7 8 0
计算方法三⑤
14/35
例6. 计算矩阵A的各种范数
1 2 A= 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 9
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
解: E A ( 1) ( 2)
2
(A) 2
计算方法三⑤
17/35
矩阵范数与谱半径之间的关系为: ρ(A) ||A|| 定理3.7设A为任意n阶方阵，则对任意矩阵范 数||A||，有： ρ(A)≤||A||
证:设λ为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量 AX= λ X 两边取范数,得: || A X || = ||λ X || =|λ | || X ||
_第六章_线性方程组的数值解法迭代法
b 1
a 11
b2
f
a 22 bn
a nn
x(k1) B0x(k)f
--------(5)
第四节 解线性方程组的迭代法
令：
0 0 0
L
a 21
0
0 A的下三角部分矩阵
a n1 a n 2 0
0
U
0
a12 0
a1n a2n
A的上三角部分矩阵
第三节 向量范数和矩阵范数
（2）范数的另一个简单例子是二维欧氏空间的长度
0M x2 y2
欧氏范数也满足三个条件：
（勾股定理）
设x = (x1, x2) ① x 0 x >0 ② ax = a x a为常数 ③ x+ y ≤ x + y 前两个条件显然，第三个条件在几何上解释为三角形一边的长度不大于其它 两边长度之和。因此，称之三角不等式。
满足：
① A0,且A0,当且A 仅 0当
，若 A
正定
② A A,为任意实数
奇次
③ ABAB,A和 B为任意 n阶两 方个 三阵 角不等
则称 A 为矩阵A的范数。
第三节 向量范数和矩阵范数
2、矩阵范数与向量范数的相容性 对于任意的n维向量x，都有：
Ax A x
这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。
n
A
max
1in
j1
aij
A的每行绝对值之和的最大值, 又称A的行范数
第三节 向量范数和矩阵范数
（3）矩阵的2范数
2范数 ||A|2 | ： (AT A )
(AAT) ?
矩阵的谱半径：
矩阵B的诸特征值为： i(i1,2, ,n)
第3章 范数
1
2
例题：设x = (3,12,0,4 ) , 计算 x 1 , x ∞ , x
T
2
x 1 = 3 + 12 + 0 + 4 = 19 x
∞
= max{3,12,0,4} = 12
x 2 = 32 + (12) 2 + 0 2 + (4) 2 = 13
向量和矩阵的范数
2 矩阵范数 定义
任一矩阵A ∈ R n×n，都对应于一个实数N ( A)( N ( A)为R n×n上的实值函数 ), N ( A) = A ，且满足以下条件：
1≤i ≤ n
( A的特征值按模的最大值)
为矩阵的谱半径。
若λi为实数，则λi 是指绝对值 若λi为复数（λi = a + bi），则λi 是指模, λi = a 2 + b 2
例题
1 0 1 设A = 2 2 1, 计算A的谱半径。 1 0 0 λ 1 0 1
解： λI A) = 2 det( 1
几种矩阵范数
设x ∈ R n , A ∈ R n×n , 则
(1) A 1 = max ∑ aij
1≤ j ≤ n n
( A的列范数 )
(2) A ∞ = max ∑ aij
1≤i ≤ n j =1
i =1 n
( A的行范数 )
(3) A 2 = λmax ( AT A) (其中λmax ( AT A)表示矩阵AT A的绝对值( 模)最大的特征值)
a11 a12 a13 三阶方阵A = a21 a22 a23 则A的行列式 a31 a32 a33 det( A) = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11
研究生数值分析(2)向量范数与矩阵范数
我们用其度量向量 X (x1, x2, x3)T 的“大小”。
实质上向量范数 X 是一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R3 ，都有 X 0
当且仅当 X 0 X 0
(2齐次性). 对任意 a R 和向量 X R3 ,
aX a X
(3三角不等式). 对任意 X ,Y R3 , 都有
n
X 2 2
xi
2
n max{
x1 2 ,
x2 2 ,, xn 2} n
X
2
i 1
即有 X n X ，故有 X X n X
2
2
例5 设
X (1, 2, 3)
，求
X ,X ,X
1
2
解：由向量 X 的1，2， 范数定义
X 1 2 3 6 1
X r X 0
rr
r
证毕。
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11
AX
n
1―范数（列模）
A max
1
X 0
X
1 1
max 1 jn
i 1
aij
2―范数（谱模）
AX
A max 2
X 2
X 0
max ( AT A)
2
∞―范数（行模）
AX
n
A max
X 0
X (1)2 22 (3)2 14 2
X max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数
定义2 设 N(A) A 是定义在 Rnn 上的实值函数， 如果它满足4个条件：
向量范数和矩阵范数
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见 的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的 模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有 列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见 的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。
第五章 向量与矩阵的范数
A
F
= ( ∑∑ aij )
2 i =1 j =1
X
2
= ( ∑ xi )
i =1
n
2 12
= (X X )
H
12
根据Hoider不等式可以得到 不等式可以得到 根据
AX ≤
m 2 2
=
n
∑ ∑
i =1
m
n
2
j =1
a ij x
n
j
≤
2 j
∑
m
i =1
( ∑ a ij x j ) 2
j =1
n
∑ [( ∑
AB = n max
i, j i ,k
∑a
k =1 k, j
n
ik kj
b ≤ n max ∑ aik bkj
i, j k =1
n
≤ n ⋅ n max aik max bkj = n max aik ⋅ n max bkj
i ,k k, j
= A B
因此 的范数。 A 为矩阵 A 的范数。
例3
p
= ( ∑ ai )
p i =1
n
1
p
∑a
i =1
n
i
（2）2－范数 ） －
α 2 = ( ∑ ai ) = (α α )
2 12 H i =1
n
12
也称为欧氏范数。 也称为欧氏范数。 欧氏范数 （3）∞ －范数 α ∞ = lim α ） p →∞ 定理
p
α
∞
= max ai
1≤i ≤ n
证明 令
第五章
向量与矩阵的范数
定义： 定义： 设 V 是实数域 R （或复数域 C ）上 维线性空间， 的 n 维线性空间，对于 V 中的任意一个向量 α 按照某一确定法则对应着一个实数，这个 按照某一确定法则对应着一个实数， 范数， 实数称为 α 的范数，记为 α ，并且要求 范数满足下列运算条件： 范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 ）非负性： 有且仅有当 α = 0, （2） 齐次性： ） 齐次性： 意数。 意数。
向量和矩阵的范数
Ａ的列范数 Ａ的“2”范 数或Ａ的谱
范数
其中 max ( A A)为A A的最大特征值。
T T
第一章 绪论
例2
求矩阵A的各种常用范数
1 2 0 3 A 1 2 1 4 0 1 1
2
n
5
2
2
解:
A 1 max aij 1 j n
i 1
"范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维
向量长度概念的一种推广.
数域:数的集合,对加法和乘法封闭.
有理数、实数、复数数域
线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘 法封闭,也称为向量空间。
第一章 绪论
5.4.1 向量范数 ( vector norms )
二维，三维的长度概念：
T 2 2 2 R 中，x R ， x x1 x2，其中x x1 , x2 ； T 3 3 2 2 2 R 中, x R ， x x1 x 2 x 3 , 其中x x1 , x 2 , x 3 。
② x 也是 x p 的特例
xi ( x1 因为 max 1i n
p
x2
p
xn
p
)
1
p
(n max xi )
1 i n
p
1
p
n
1
p
xi ( p ) max xi max 1i n
1 i n
x
p
x
( p 时),
所以 x 也是 x p的特例
A 4
3.0237
3.6056
A2
AF
数值分析5-5(向量和矩阵的范数)
n
1
A F ( xij 2 )2
i , j1
称为Frobennius－范数
举例：
A
1 3
2 4
计算A的各种范数.
解：
n
A
max
1in
j1
aij
max{1 2,3 4} 7
n
A
1
max
1 jn
i 1
|
aij
|
max{1
3,2
x p ( xi p ) p
i 1
称为∞－范数或最大范数 称为1－范数 称为2－范数
称为p－范数
举例：计算向量 x=(1, -2, 3)T的各种范数.
解：
n
x 1 | xi | 6
i 1
n
1
x 2 ( xi 2 )2 14
i 1
x
max
1in
xi
3
3. 向量范数的性质
3) x y x y , x, y Rn(三角不等式)
则称‖x‖为向量的范数
2. 常用的向量范数
在 Rn上的向量x =(x1,…,xn)T∈Rn ，三种常 用的范数为：
x
max
1in
xi
n
x 1 | xi |
i 1
n
1
x 2 ( xi 2 )2
i 1
n
1
第五章 解线性方程组的直接法 §5 向量和矩阵的范数
一、向量的范数
二、矩阵的范数 三、小结
一、向量的范数
1. 向量范数的定义
设对任意向量 x∈Rn，按一定的规则有一实 数与之对应，记为‖x‖，若‖x‖满足
向量和矩阵的范数
一、向量的范数定义1 设x=(x1 ,x2,…,x n )n ,y=(y1 ,y2,…,y n )n∈R n (或C n )。
将实数(或复数),称为向量x,y的数量积。
将非负实数或称为向量x的欧氏范数。
对向量x,y的数量积有：1. (αx,y)=α(x,y).α为实数(或(x,αy)=(x,y),α为复数);2. (x,y)=(y,x)[(x,y)=(,)];3. (x1 +x2 ,y)=(x1 ,y)+(x2 ,y);4. (Cauchy-Schwarz不等式)(5.1)等式当且仅当x与y线形相关时成立。
对向量x的欧氏范数有：1. ‖x‖2≥0, ‖x‖2 =0当且仅当x=0时成立;2. ‖αx‖2=|α|‖x‖2，任意的α∈R(或α∈C),3. ‖x+y‖2≤‖x‖2 +‖y‖2 (三角不等式)，(5.2)注(5.1)和(5.2)有下面的事实得到(x+ty,x+ty)=(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t2≥0由一元二次方程根的判别定理可知(5.1)成立；取t=1,再利用(5.1)得即得(5.2)。
定义2(向量的范数) 如果向量x∈R n (或C n )的某个实值函数N(x)=‖x‖, 满足条件：(1) ‖x‖≥0(‖x‖=0当且仅当x=0)(正定条件)，(2) ‖αx‖=|α|·‖x‖，任意的α∈R(或α∈C),(3) ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(三角不等式)，则称N(x)是R n (或C n )上的一个向量范数(或模)。
下面我们给出几种常用的向量范数。
1. 向量的∞-范数(最大范数)：(5.3)2. 向量的1-范数：3. 向量的2-范数：(5.4)4. 向量的p-范数：(5.5)例6 计算向量x=(1,-2,3)T的各种范数。
解：定理6(N(x)的连续性) 设非负函数N(x)=‖x‖为R n上任一向量范数，则N(x)是x的分量x1 ,x2,…,x n的连续函数。
证明设其中e i=(0,…,1,0,…,0)T, . 只须证明当x→y时N(x)→N(y)即成。
向量范数与矩阵范数
任2种范数在刻画收敛性时等价
定理1.2 对 Rn 上的任意二种向量范数|| ·||a ,|| ·||b ,
均有与向量 x 无关的常数 m 与 M (0<m<M)，使 下列的关系成立
m x x M x , x Rn.
a
b
a
证明略.
意义：向量x的某一种范数可以任意小（大）时， 该向量的其它任何一种范数也会任意小（大）。
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
14,
| 2 | | 0 | | 2 |
1 5 2
A 2 1
0
3 8 2
|1| | 5 | | 2 |,
A
max
|
2
|
|1|
|
0
|,
13,
| 3 | | 8 | | 2 |
A F
12 22 32
52
12
82
22
02
22
112,
14 21 4
AT
A
21
90
26
4 26 8
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
矩阵和向量的一范数
矩阵和向量的一范数
矩阵和向量是线性代数中的重要概念，它们广泛应用于多个领域，例如科学、工程、经济学、统计学等。
其中，矩阵和向量的一范数是两种数学对象的重要度量方式之一。
矩阵是一种数学对象，是一组数按照矩形排列的数表。
矩阵的一范数是由所有矩阵中元素的绝对值之和组成的。
例如，对于一个3×3的矩阵A，其一范数可以表示为：
换句话说，矩阵的一范数是矩阵中元素绝对值之和的最大值。
它的计算可以简单地遍历矩阵中的每一个元素，并计算出它们的绝对值之和。
向量是矩阵的一种特殊情况，只有一个维度，可以看作是一个
1×n的矩阵。
向量的一范数是由向量中所有元素的绝对值之和组成的。
例如，对于一个n维向量x，其一范数可以表示为：
换言之，向量的一范数就是向量中每个元素的绝对值之和。
向量的一范数也可以称作“曼哈顿距离”，因为它计算的是从原点出发到向量终点的曼哈顿距离。
矩阵和向量的一范数是两种数学对象的度量方式。
它们广泛应用于多个领域，例如统计学、机器学习和深度学习等。
作为一个度量方式，一范数可以用于回归分析、模型参数正则化等多个应用场景。
在模型参数正则化中，一范数正则化可以用于对模型进行稀疏化处理，即通过最小化一范数来找到最重要的特征，去掉无用的特征，从而达到简化模型的目的。
另外，一范数还常用于检查向量中存在的异常值和异常数据点等。
总之，矩阵和向量的一范数是线性代数中重要的度量方式之一，广泛用于回归分析、模型参数正则化和异常检测等领域。
它们的计算简单明了，容易理解，是数学工具箱中不可或缺的组成部分。
1.1、向量范数与方阵范数
nn nn
)
则称实函数 || A ||为方阵 A 的范数. 注: 注意方阵范数与向量范数定义的区别.
A
由知① ② ③ || X || 是向量范数.
A
矩阵范数
1. 方阵范数的概念:
定义1
A C nn , 规定一个实函数, 记
|| A || ,满足以下四个条件:
①正定条件: A 0时 || A || 0 ②齐次条件: || aA || | a | || A || (a C )
p
证明 设
p 1, p 2 时结论显然.
p
1 2
以下看
情况.
n n k i i
X (x , x ,
n p
, x ) C , X 0, | x | max | x | 0
p
1 p
x ) || X || p ( | x | ) | x | ( x
n i
p p 1 i n i
记为 || X || lim || X || max | x |
p p 1 i n i
例 设 A 是 n阶正定矩阵, X R 列向量,
n
证明|| X || ( X AX ) 是向量范数(称为加权范
T A
1 2
数或椭圆范数).
证明 ①X R , X 0 由A正定知 || X || 0
n
A
显然成立.
② a R, 都有
|| aX || ((aX ) A(aX ))
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定义4.2 满足上述不等式 的两种范数称为是 等价的.由此可见任意两种向量范数是等价的。
定理4.4
(k ) (k ) ,, n C n 中的 x ( k ) 1( k ) , 2
收敛到向量 x 1 , 2 ,, n ，数列
的充要条件是对 lim x
p
p
证明:
例4.4 设A 是任意一n阶正定Hermite矩阵,列向 n H 1/ 2 量 x C , 则函数 x A ( x Ax) 是一种向量范数, 称为加权范数或椭圆范数. 证：因为A 正定，所以当x=0时，x
A
0
例4.5
是线性空间 C[a,b]的范数.
因为 Re（x, y ) ( x, y ) ( x, x)( y, y ) x y
2
n 证明 x max 是 C 上的一种范数， 例4.2 i
这里x 1 , 2 , n C
i
n
x y max i i max i max i x y
i i i
因此， x max i 是 C n 上的一种范数.
i
例4.3
以上例子给出了 中向量的三种常用范数， 下面再来看更一般的 P-范数（也叫Holder（赫 尔德）范数）
x ( i )
i 1
n
p 1/ p
,1 p
显然上面三个例子中给出的三种常用范数是P范数的特殊情况。当p=1, 2, 便得 x 1与 x 2 ， 并且可以证明
第四章 向量的范数与矩阵的 范数 4.1 向量的范数 4.2 矩阵的范数
定义 4.1 如果V 是数域K上的线性空间，且 对于V 中任意一向量x ，对应一个实值函数
它满足以下三个条件： （1）非负性： （2）齐次性： （3）三角不等式：
例4.1
x 1 2 n
2 2
2
（ 2.1.1 ）
(k ) 有 i i
，故
即
从而可知数列
.
证毕
有关性质：
1）零向量的范数是零。
2）当
时，有
实际上，我们还可以通过已知的向量范 数来构造新的向量范数。
定理4.1 设
是
上的一种已知向量范数
（不一定是P-范数），A是n阶满秩方阵，
，定义 ，则 是
上的一种向量范数。
证明：
所以
是
上的一种向量范数。 是 中向量 是 的n元连续
定理4.2 设
的一种范数，则 函数。
二. 向量范数的等价性 定理4.3 设 x 和 x 为有限维线性空间V 的 任意两种向量范数，则存在两个与向量无关的 正常数 c1和 c2 使下面不等式成立
c1 x x c2 x
例如：x 2 x 1 n x 2
n or x1 x2 x1 n n x2 x x2 n 1 x1 x x1 n
必要性. 设 x
(k )
x ，则 x x 0 即向量
(k )
(k ) 1
1 , 2( k ) 2 ,, n( k ) n
i
的每一个分量收敛 时，
到零，于是对 0 ，ki 使得当 k> 有
(k ) i
i ，取N= max ki ，当k> N时
x 收敛于零
证 （略）取 .
(k ) (k ) max 0 x x 0 充分性. 设 即 i i i
k) (k ) max i ( j 1,2,, n) 但是 ( j j i i
k) (k ) 从而 ( 0 ( j 1 , 2 , , n ) 即 x x j j
(即 解：（1）对于
x
）是否是范数？
1 2 n
2 2
2
(2)a C , ax a1 a 2 a n a x
2 2 2
(3)对于 x, y C n ,
x y ( x y, x y ) ( x, x) 2 Re( x, y ) ( y, y )