组合数学作业Dilworth定理的证明

Dilworth定理的证明

摘要

在本文中，我对Dilworth定理进行了证明。先给出了一些证明定理需要的相关概念的解释，然后给出了详细的证明过程。分别应用了数学分析中常用的删除找包含关系的方法和反证归纳的方法。

关键词 Dilworth定理证明偏序集

正文

1、Dilworth定理：令p是一个有限偏序集。P中元素划分为不相交链的最小个数m，等于p的一个反链所包元素的最大个数M。

2、前言知识

偏序集

一个偏序集就是一个集合S连同S上的一个二元关系（这是一个抽象的符号，不代表小于等于或包含于），使其满足：

（1）对于一切aS有aa（反射性）。

（2）若ab，bc，则ac（传递性）。

（3）若ab且ba，则a=b（反对称性）。

例如整数集及整数间的大小关系就构成一个偏序集；一个集合的子集及包含关系也构成一个偏序集。（个人理解）

链与反链

如果S中任意两个元素a和b，或者ab或者ba，则称这个偏序为全序或线性序。如果集合S的一个子集是全序的，那么这个子集就称为是一条链。若一个集合中的元素是两两不可比较的，则这个集合称为反链。

3、证明过程：

（1）先证m≥M。这是显然的，由链与反链的定义得：因为最长链长度是M，M

个元素中的任意两个都可以比较，因此它们必定两两属于不同的反链，因此反链个数≥M，即m≥M。

（2）再证M≥m。

第一种方法数学分析类的方法

设X1=S。找出X1的所有极小元组成集合Z1，将其从X1删之，得到X2，再找出X2的所有极小元组成集合Z2（特别注意Z2中的任何元素a2，在X1中必然存在一个元素a1使得a1≤a2，否则a2可以放到X1中，这与X1的选取矛盾），再将Z2从X2中删除，得到X3，……这样一直下去，总存在一个k使得XK不空但X(K+1)为空。这样便得到一条链a1，a2，a3，……，ak，其中ai属于Xi。由于M是最长链长度，因此M≥k。另一方面，我们也得到了一个反链划分，即X1，X2，X3，……，XK。由于m是最少反链划分，因此k≥m。因此有M≥m。

第二种方法用数学归纳反证的方法

i当P=时，显然m=M定理成立。

ii令C是p的一条极大链如果p\C中每个反链包含M-1个元素，则定理成立。因此，假设{ a1,a2,a3,…,a M}是p\C中的一个反链。定义[1]S-：={xp：[x≤a i]}类似的定义S+：={xp：[xa i]}因为C是极大链，所以C中的最大元不再S-里，按归纳假设，对于S-定理成立。因此S-是M个不交链的S-1S-2 S-3 …S-M的并，其中a i S-i假设xS-i且xa i因为存在j,使xa j从（由定义[1]得）从而有a i a j，这与

{a1,a2,a3,…,a M}是反链矛盾。(反链内元素不可比)这样就证明了a i是S-i的极大元，其中i=1,2，…M。同样对S+进行讨论，即可。

4、论文感受

写这个论文感觉很费脑子，查阅了许多的相关东西光组合数学的书都翻了好多本真像老师说的基本找不到资料，可是功夫不负有心人我还是找到了一些相关内容，从最简单的了解定义开始，数学证明比较抽象有时候一句话都要查好多东西才能明白意思，当然也不排除理解错误。这篇论文虽然篇幅不长，但每句话都是我看了很多遍的。通过写这个论文我有很多的收获也更加深刻的理解了数学家的伟大成就。

5、参考文献

《组合数学》Richard A。Brualdi著冯舜玺等译

《组合数学教程》（荷）J.H.van Lint(美)R.M.Wilson著刘振宏等译

《组合数学》卢开澄卢华明编译