初中圆题型总结

初中圆题型总结

O的半径为1

2

，求AB2＋CD2的值。

【2】（第25题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．

（1）求∠ACB的度数；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．

二、直线与圆的位置关系

基础知识链接：

1、直线与圆的位置关系有三种:

⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.

⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此

时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.

⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点. 2、直线与圆的位置关系的判定；

3、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； 4. 和圆有关的比例线段

（1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等； （2）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；

（3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

（4）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 5. 三角形的内切圆

（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形； 6、圆的切线的性质与判定。

【例1】（甘肃兰州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；

（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．

【解析】（1）证明：连接OA ，DA 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠．

OA OD ODA OAD =∴∠=∠，．OAD EDA ∴∠=∠．

OA CE ∴∥．

D E

C

B O A

O

E

D

C

B A

O

F

C

B

A

AE DE ⊥，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠=，．

AE OA ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．

（2）BD 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=． 3060DBC BDC ∠=∠=，，120BDE ∴∠=．

DA 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠=．

30ABD EAD ∴∠=∠=．

在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴=，，

． 在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴==，，

． DE 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．

【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【例2】（广东茂名）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ． （1）求证：∠ADB =∠E ；

（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分） 【解析】（1）在△ABC 中，∵AB =AC ， ∴∠ABC =∠C ．

∵DE ∥BC ，∴∠ABC =∠E ， ∴∠E =∠C ． 又∵∠ADB =∠C ， ∴∠ADB =∠E ．

（2）当点D 是弧BC 的中点时，DE 是⊙O 的切线．

理由是：当点D 是弧BC 的中点时，则有AD ⊥BC ，且AD 过圆心O ． 又∵DE ∥BC ，∴ AD ⊥ED ． ∴ DE 是⊙O 的切线．

（3）连结BO 、AO ，并延长AO 交BC 于点F ，

D E

C

B O A O

E

D

C B A

则AF ⊥BC ，且BF =

2

1

BC =3． 又∵AB =5，∴AF =4．

设⊙O 的半径为r ，在Rt△OBF 中，OF =4－r ，OB =r ，BF =3， ∴ r 2＝32＋（4－r ）2 解得r ＝

825，∴⊙O 的半径是8

25． 【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.

【例4】 已知：如图7，点P 是半圆O 的直径BA 延长线上的点，PC 切半圆于C

点，CD ⊥AB 于D 点，若PA ：PC ＝1：2，DB ＝4，求tan ∠PCA 及PC 的长。

图7

证明：连结CB

∵PC 切半圆O 于C 点，∴∠PCA ＝∠B ∵∠P ＝∠P ，∴△PAC ∽△PCB ∴AC ：BC ＝PA ：PC

∴ ∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90° 又∵CD ⊥AB ∴

∴AB ＝AD ＋DB ＝5 ∵

∴

【例5】 已知：如图8，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D 。

求证：（1）AC 是⊙D 的切线； （2）AB ＋EB ＝AC

分析：（1）欲证AC 与⊙D 相切，只要证圆心D 到AC 的距离等于⊙D 的半径BD 。因此要作DF ⊥AC 于F