医疗保险精算和风险控制方法——王燕3

2010年1月
通货膨胀对理赔wenku.baidu.com的影响
❖ 假设保单限额为u，免赔额为d，共付比例为 ，通货膨
胀率为r，假设Z为通货膨胀率作用下的实际损失，则索
赔额函数为
无 定 义 ， Z d
无 定 义
，X d ( 1 r )
Y Z d (Z d ),d Z u Y Z d ( 1 r )X d ( 1 r ), d( 1 r ) X u ( 1 r )
yu yu
2010年1月
带保单限额的理赔额期望
❖定义：设X为损失变量，u 为保单限额，则理赔
额变量 X u 的期望记作 E(X u)
u
E(X u) xfX (x)dx L P(X u)
0
u
xd 1 FX (x) u 1 FX (x)
0
u
x 1
FX
(x)
u 0
1
FX
( x) dx
2010年1月
练习题
❖ 假设每次损失额为X，对 0d100，0有下列关系式成
立
E (X d ) (2 0 0 0 d d 2 )/2 0 0 0
❖ 若保单规定保险人免赔额（起付线）为100元，共付比例 （基金支付比例）80%，保单限额（封顶线）为1000元。 请回答如下问题
损失缩减率为
1
Ld
E(X d) E(X)
709.95 9034.3
7.86%
2010年1月
理赔政策和理赔分布
理赔频率 和理赔额 的分布
保单限额对理赔额分布的影响 免赔额对理赔额分布的影响 比例分担对理赔额分布的影响 理赔政策对理赔次数的影响 通货膨胀对理赔分布的影响
2010年1月
比例分担
❖ 比例分担（也称为共保因子，即基本医疗保险中 所指的报销比例）：是指每次保险事故中按合约 规定，保险人只赔付损失额的一定比例，另一比 例由被保险人自行承担。
医疗保险精算和风险控制方法
王燕 中国人民大学 统计学院 风险管理与保险精算教研室
电话：13683595345 E-mail:wy08ruc.edu
课程结构
1. 保险精算简介 2. 医疗保险精算的损失分布 3. 理赔政策和理赔分布 4. 总损失模型
2010年1月
理赔政策和理赔分布
理赔频率 和理赔额 的分布
0.8956
2010年1月
案例
❖ 案例假设条件如上页，假如现在保单限额提 高到4万元，期望理赔额会增长多少？
解：对于Pareto分布有：
当u 40000，EX u 8416.52时
E(Y X d)EXuEXd 0.858416.52709.957314.19
1FX(d)
0.8956
期望索赔额增长比例
岁期间，年增长率为 b，45岁以后年增长率为10%+ b 。
（4）以年度利率 i 复利计息。
❖ 试解答如下问题
▪ 如果a5 % ,b5 % ,i2 % ，30岁的人所缴纳的保费是 否够覆盖自身的支出风险？
▪ 如果 a5%,i2%，要使得30岁的参保人所缴纳的保 费不仅能够覆盖自身的支出风险，还能有10%为人口老 龄化作贡献，这时医疗费用增长率不能超过多少？
(1) N ~ Poisson(), N%~ Poisson(v)
(2) N ~ B(n, p), N%~ Poisson(n,vp) (3) N ~ NB(n, p), N%~ NP(n,vp)
2010年1月
案例
❖ 假设损失分布X服从Pareto(3.883,26046)，
每日损失发生频率服从 300的Poisson分布，
保单限额对理赔额分布的影响 免赔额对理赔额分布的影响 比例分担对理赔额分布的影响 理赔政策对理赔次数的影响 通货膨胀对理赔分布的影响
2010年1月
保单限额
❖ 保单限额（即基本医疗保险中所指的封顶线）： 是指每次保险事故中按合约规定赔付的最高赔偿 金额。当损失金额超过保单限额时，超出部分由 投保人承担。
y0
E(Y)E(X)
2010年1月
一个典型的医疗保险理赔额变量
❖ 设X为损失变量，d为免赔额，u为保单限额，
为共保因子，则理赔额变量Y表示为
无定义,
Y Xd(Xd), (ud),
Xd dXu Xu
❖ 理赔额变量的期望为
E (YXd)E (X u)E (X d)
1F (Xd)
2010年1月
案例
❖ 假设损失分布X服从Pareto(3.883,26046)， 保单限额为30000元，起付线d为750元，比 例分担系数为85%，则期望理赔额等于多少？
案例
❖ 假设损失分布X服从Pareto(3.883,26046)， 保单限额为30000元，起付线d为750元，比 例分担系数为85%，假如损失分布不变，医 疗药品的通货膨胀率为20%，则期望理赔额 将会增长多少？
解：原期望理赔额为E (Y
X
d)
EX
u E X
d
6959.24
1 FX (d )
E(X
)
，1 1
FX
(x)
x
,
x
0，E(X
d)
1
1
d
1
,
则当 3.883， 26046，d 750时，
E X 9034.3，EX d 709.95，1-FX (x) 0.8956
E(X
d)
EXEX d
1 FX (d)
9034.3709.95 0.8956
9293.44
❖ 只有免赔额的设置会显著影响索赔频率。 ❖ 免赔额越高，索赔频率越低，赔付额越低，索赔
频率越高。
2010年1月
免赔额对索赔次数的影响
❖ 假设N表示参保人的损失发生次数，X表示损失发 生额，d为免赔额，v表示导致赔付的概率，真实的 索赔发生次数记作 N~ ,则 N~ 可以表示为
N% IX1>d IX1>d L IXN >d IX1>d为01分布，P（X1>d）=v 则N%为N的分布和01分布的复合分布，有如下结果存在
8 0 4 2 .5 4
理赔政策和理赔分布
理赔频率 和理赔额 的分布
保单限额对理赔额分布的影响 免赔额对理赔额分布的影响 比例分担对理赔额分布的影响 理赔政策对理赔次数的影响 通货膨胀对理赔分布的影响
2010年1月
免赔额
❖ 免赔额（即基本医疗保险中所指的起付线）：是 指每次保险事故中按合约规定当损失金额低于某 一限额时，保险人不予赔偿，当损失额高于该限 额时，保险人只赔付高出的部分，这一限额称为 免赔额。
解：对于Pareto分布有：
1-FX
(x)
x
,
x
0，E(X
d)
11d
1,
1
则当3.883，26046，d 750，u30000,0.85时，
EXu8042.54, EXd709.95，1-FX(x)0.8956
E(Y X d) EXuEXd 0.858042.54709.956959.24
1FX (d)
❖ 假设X为实际损失额（医疗费用），d为保单免 赔额（起付线），则
每次损失事件中被保险人获得的实际赔付额为
2010年1月
0, X d Id (x) X d, X d 保险人的理赔额为
为定义, X d Y Id (x) X d X d , X d
带免赔额的理赔额分布
❖ 理赔额的分布函数
当通货膨胀率r 20%时，
(1 r) 4.66, d d (1 r) 625, u u (1 r) 25000
则在通货膨胀率作用下，期望理赔额为
E (Y X d ) E X u E X d 7735.89 596.98 7520.97
1 FX (d )
E ( X
u)
u
1
F X ( x ) d x
1
1
u
1
,
0
ln
u
,
所 以 当 3 .8 8 3， 2 6 0 4 6， u 3 0 0 0 0时 ，
1 1
2010年1月
E(X
u)
3
26046 .883
1
1
2
6
0
260 46
46 30
0
0
0
3.8831
E(Y X d)E(Y X d) 7314.196959.245.1%
E(Y X d)
6959.24
2010年1月
思考题 ❖ 当共付比例有多个级别时，怎样测算期望索赔额
改变？ ❖ 当免赔额发生调整时，怎样测算期望索赔额改变? ❖ 当共付比例发生调整时，怎样测算期望索赔额的
改变?
2010年1月
理赔政策和理赔分布
( u d ),Z u
( 1 r )u ( 1 r ) d ( 1 r ),X u ( 1 r )
❖ 通货膨胀因素就相当于将免赔额减低到 d 1 r ，保单限 额降低到 u 1 r ，而共付比例提高到 (1 r) ，期望理
赔额为
2010年1月
EYZd(1r)EX11urF1EdrX1dr
u
1
FX
(x)
0
u
1 FX (x)dx
0
2010年1月
案例
❖ 假设损失分布X服从Pareto(3.883,26046)，
封顶线 u 为3万元，则期望理赔额 EX u等
于多少？
解 ： 对 于 P areto分 布 有 ：
密
度
函
数
：
fX
(x)
( x) 1
,x
0
分
布
函
数
：
FX
(x)
1
x
,
x
0
理赔频率 和理赔额 的分布
保单限额对理赔额分布的影响 免赔额对理赔额分布的影响 比例分担对理赔额分布的影响 理赔政策对理赔次数的影响 通货膨胀对理赔分布的影响
2010年1月
理赔政策对索赔次数的影响
❖ 赔付政策不仅会对索赔额产生，而且也会影响索 赔频率。
❖ 在免赔额，赔付限额和共付比例这三个政策手段 中，赔付限额和共付比例的调整只会影响索赔额， 不会影响索赔频率。
❖ 假设X为实际损失额（医疗费用），为比例分
担系数（报销比例），Y为理赔额，有
Y X
2010年1月
带比例分担的理赔额分布
❖ 理赔额的分布函数
F Y (y ) P (Y y ) P (X y ) P X y F X y
❖ 理赔额的密度函数
fY(y)1fXy,
❖ 理赔额的期望
❖ 假设X为实际损失额（医疗费用），u为保单限额
（封顶线），Y为理赔额，有
X,Xu YXuu,Xu
2010年1月
带保单限额的理赔额分布
❖ 理赔额的密度函数
▪ Y在点 u具有重概率，Y的分布是由一个离散分布和一个
连续分布混合而成
fY(y)PfX(X (y)L)
,yu ,yu
❖ 理赔额的分布函数
FY(y)1FX, (y),
0.9492
2010年1月
则通货膨胀率引起的期望理赔额增长率为
E (Y X d ) E (Y X d ) 7520.97 6959.24 8.07%
E (Y X d )
6959.24
思考题 ❖ 通货膨胀因素会对索赔发生频率产生怎样的影响？ ❖ 如果原索赔发生频率的分布已知，在通货膨胀因
(x d ) fX (x)dx
E (X d ) d 1 FX (d )
xf X ( x )d x d 1 F (d )
d 1 FX (d )
xfX
(x)dx
d
xfX
(
x)dx
d
1
F
(d
)
0
0
1 FX (d )
EX X d
1 FX (d )
2010年1月
损失缩减率 ❖ 损失缩减率是精算中的一个专业术语，用以评估
素影响下，先索赔发生频率服从什么分布？
2010年1月
练习题
❖ 假设条件
(1)有1万名30岁的男性城镇居民加入基本医疗保险,他们的 生命规律符合00-03生命表。
（2）当前他们的平均缴费水平为年缴费700元，假设缴费
水平年增长率为 a，缴费的最终年限为55岁。
（3）当前他们的平均支出水平为年支出50元，假设30~45
免赔条款的影响，它等于免赔造成的损失缩减占 期望损失的比例，即
L dE (X ) E E (X (X ) d ) E (E X (X )d )
2010年1月
案例
❖ 假设损失分布X服从Pareto(3.883,26046)， 起付线d为750元，则期望理赔额等于多少？ 相应的损失缩减率等于多少
解：对于Pareto分布有：
FY(y)P(Yy)P(XdyXd)
P(Xdy,Xd)FX(dy)FX(d)
P(Xd)
1FX(d)
❖ 理赔额的密度函数
fY(y)d d yF Y(y)1 fX (F yX (y d)), y0
2010年1月
带免赔额的理赔额期望
❖ 定义：设X为损失变量，d为免赔额，则理赔额
变量
X
d 的期望记作
EXd
如果起付线d为750元，则月度理赔频率服从 什么分布？
解：对于Pareto分布有：
v
P(X
d) 1-FX
(d)
d
0.8956
v 0.8956300257.88
则月度理赔发生次数N%~ Poisson(257.88).
2010年1月
理赔政策和理赔分布
理赔频率 和理赔额 的分布
保单限额对理赔额分布的影响 免赔额对理赔额分布的影响 比例分担对理赔额分布的影响 理赔政策对理赔次数的影响 通货膨胀对理赔分布的影响