高代求最小多项式

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高等代数(北大版)第8章习题参考答案

第八章 —矩阵1. 化下列矩阵成标准形1） 2）3） 4）5）6）解 1）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。

2）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。

3）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ，从而A= B，B即为所求。

4）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = , 4 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ，从而A= B，B即为所求。

5）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。

6）对矩阵作初等变换,有A，在最后一个行列式中3=1, 4 =, 5 = ，所以1 =2 =3 =1,4 = =,5 = =。

故所求标准形为B= 。

2.求下列矩阵的不变因子:1） 2）3） 4）5）解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 = ，故该矩阵的不变因子为1 =2 =1,3 =。

2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为3 =2 =1=1,4 =，故矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 =。

3）当时,有4 = = ，且在矩阵中有一个三阶子式= ，于是由,3 = 1，可得3 = 1，故该矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。

当时,由1=1, 2 =1, 3 = , 4 = ，从而1 =2 =1,3 = ,4 = = 。

4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 =1, 4 = ，从而所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。

5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为3 =1,4 = ，故所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。

3.证明:的不变因子是，其中= 。

证因为n = ，按最后一列展开此行列式，得n == ，= ，因为矩阵左下角的阶子式= ,所以= 1,从而1=2 = … = = 1，故所给矩阵的不变因子为1 =2 = … = = 1，= = ，即证。

高等代数最小多项式

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最小多项式的性质
由于 α ̸= 0，故
mA(λ0) = λm0 + am−1λm0 −1 + · · · + a1λ0 + a0 = 0, 即 λ0 也是 A 的最小多项式的根. 另一方面，由于 A 的最小多项式是 A 的特征多项式的因式，故 A 的最小多项式的根都是特征多项式的根. 例数量矩阵 kE 的最小多项式为 x − k，特别地，单位矩阵的最小多项式为 x − 1，零矩阵的最小多项式是 x.
. .. . . ..
最小多项式的性质
应用同样的方法，可证下述引理引理设 g(x) 是矩阵 A 的最小多项式，那么 f(x) 以 A 为根的充分必要条件是 g(x) 整除 f(x).
由此可知，矩阵 A 的最小多项式是 A 的特征多项式的一个因子. 命题设 A 是 n 阶方阵，则 A 的特征多项式与最小多项式有相同的根.
. .. . . ..
最小多项式的性质
Байду номын сангаас
引理设 A 是一个准对角矩阵
( A = A1
) A2
并设 A1 的最小多项式为 g1(x)，A2 的最小多项式为 g2(x)，那么 A 的最小多项式为 g1(x), g2(x) 的最小公倍式 [g1(x), g2(x)].
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
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最小多项式的性质

矩阵的最小多项式

矩阵的最小多项式
求矩阵最小多项式的方法：特征多项式：(λ+1)(λ-1)^2，因为(A-E)(A+E)=0，所以最小多项式是(λ+1)(λ-1)。

最小多项式是代数数论的基本概念之一。

A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

太原理工大学高等代数第七章 9第九节最小多项式

所以，矩阵J的最小多项式为所以，矩阵的最小多项式为(x-a)k.
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证毕. 证毕
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定理15 数Biblioteka P上n级矩阵与对角矩阵相似的定理数域上级矩阵A与对角矩阵相似的级矩阵相似充分必要条件为的最小多项式是上充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积. 因式的乘积证明根据引理的推广的情形，条件的必要性根据引理3的推广的情形，条件的必要性引理的情形是显然的. 是显然的现在证明充分性现在证明充分性. 充分性根据矩阵和线性变换之间的对应关系，我们根据矩阵和线性变换之间的对应关系，矩阵之间的对应关系可定义任意线性变换的最小多项式，可定义任意线性变换A的最小多项式，它等于其对任意线性变换应矩阵A的最小多项式. 应矩阵的最小多项式
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如果矩阵A与相似即有B=T-1AT，那么对任相似，如果矩阵与B相似，即有，一多项式f(x)，就有f(B)=T-1f(A)T. 因此，就有因此f(B)=0当且一多项式当仅当f(A)=0. 仅当相似矩阵有相同的最小多项式. 结论相似矩阵有相同的最小多项式注意，这个条件并不是充分的，注意，这个条件并不是充分的，即最小多项式相同的矩阵不一定是相似的式相同的矩阵不一定是相似的. 下面的例子说明这不一定是相似的个结论. 个结论
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引理3 设A是一个准对角矩阵引理是一个准对角矩阵
A1 A= A2 并设A1的最小多项式为g1(x)，A2的最小多项式为并设最小多项式为，最小多项式为
g2(x)，那么的最小多项式为g1(x), g2(x)的最小公倍，那么A的最小多项式为的式[g1(x), g2(x)]. 证明记g(x)=[g1(x), g2(x)]，首先，

(完整word版)高等代数教案北大版第八章

讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵2 学时讲课种类讲解法与练习法使学生认识-矩阵的观点，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。

-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。

求 -矩阵的逆矩阵启迪式讲解，议论，练习n 阶矩阵A与对角阵相像的充要条件是A有 n 个线性没关的特点向量.那么当只有 m( m n) 个线性没关的特点向量时, A与对角阵是不相像的.对这类情况 ,我们“退而求其次” ,找寻“几乎对角的”矩阵来与A相像 .这就引出了矩阵在相像下的各样标准型问题 .Jordan 标准型是最靠近对角的矩阵而且其相关的理论包括先前相关与对角阵相像的理论作为特例 .其他 , Jordan 标准型的宽泛应用波及到 Hamilton-Cayley 定理的证明 ,矩阵分解 ,线性微分方程组的求解等等 .因为Jordan 标准型的求解与特点多项式相关,而从函数的角度看,特点多项式其实是特别的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究 .一、- 矩阵及其标准型定义 1称矩阵 A() ( f ij ()) 为-矩阵 ,此中元素f ij ( )(i1,2,L, m; j 1,2,L , n)为数域 F 上对于的多项式 .定义 2称 n 阶-矩阵A() 是可逆的,假如有A B B A I n并称 B( ) 为A() 的逆矩阵.反之亦然.定理 1 矩阵A() 可逆的充要条件是其队列式为非零的常数,即det( A( )) c0 .证明：（ 1）充足性设A=d 是一个非零的数. A*表示A() 的伴随矩阵 ,则d1A*也是一个-矩阵 ,且有A d 1 A* d 1 A*A I所以,A( ) 是可逆的.(2) 必需性设A() 有可逆矩阵B() ,则A B I两边取队列式有A B I1因为 A与 B都是多项式 ,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 ,即都是非零常数 .证毕 .例题 1判断-矩阵2 +121A=11能否可逆 .解固然2 +121A=1=201A( ) 是满秩的,但A不是非零常数 ,因此A() 是不行逆的.注意与数字矩阵不一样的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的 ,可逆的实质就是要保证变换的矩阵能够经过非零常数的倒数逆回去.定义3假如矩阵A() 经过有限次的初等变换化成矩阵B() ，则称矩阵A( ) 与B()等价,记为A B定理2矩阵A()与B() 等价的充要与条件是存在可逆矩阵P、Q,使得B P A Q证明因为 A B, 所以A() 能够经过有限次初等变换变为B() ,即存在初等矩阵P( ),P( ),L ,P( )12s与初等矩阵Q1 ( ), Q2 ( ),L ,Q t ( )使得B( ) P( )P( )L P( )A( )Q( )Q( )L Q( )12s12t令P( ) P1 ( )P2 ( )L P s () ,Q( ) Q1( )Q2 ( )L Q t ( )就是所要求的-矩阵 .它们都是初等矩阵的乘积,进而使可逆的 .证毕 .定义 4矩阵 A() 的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式 D k称为 A() 的k阶队列式因子.定理 2等价矩阵拥有同样的秩和同样的各级队列式因子.证明设-矩阵A( )经过一次行初等变换化为了B() ，f () 与 g( ) 分别是A( )与B() 的 k 阶队列式因子.需要证明f( )= g().分3种状况议论：（ 1）A( )i , j B( ),此时,B() 的每个 k 阶子式或许等于A( ) 的某个k 阶子式,或许与A( ) 的某个阶子式反号,所以 , f ()是B() 的k阶子式的公因子 ,进而f ()| g() .（2）A( )i(c)B( ) ,此时,B( )的每个k阶子式或许等于A( )的某个 k 阶子式,或许等于 A() 的某个 k 阶子式的c倍.所以,f()是B() 的 k 阶子式的公因式 ,进而f()|g( ) .（3）A( )i j( )行与 j行的阶子式和B( ) ,此时,B( )中那些包括i那些不包括 i 行的 k 阶子式都等于A() 中对应的 k 阶子式； B() 中那些包括 i 行但不包括 j 行的 k 阶子式,按 i 行分红两个部分,而等于A( )的一个k阶子式与另一个 k 阶子式的( ) 倍的和,,也就是A() 的两个 k 阶子式的线性组合,所以,f( ) 是的k阶子式公因式进而 f( )| g().,对于列变换, 能够同样地议论.总之 , A() 经过一系列的初等变换变为B() ，那么f()|g() .又因为初等变换的可逆性, B( )经过一系列的初等变换能够变为 A() ,进而也有g( )| f() .当 A( ) 所有的阶子式为零时, B() 所有的 k 阶子式也就等于零；反之亦然.故 A() 与 B( ) 又同样的各阶队列式因子,进而有同样的秩.证毕.既然初等变换不改变队列式因子,所以 ,每个-矩阵与它的标准型有完整相同的队列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因此 ,在求一个-矩阵的队列式因子时 ,只需求出它的标准型的队列式因子即可.议论、练习与作业课后反省讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第二将λ－矩阵在初等变换下的标准型2讲课种类讲解课认识- 矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的观点和求最小多项式的方法。

哈密顿—凯莱定理的应用

哈密顿—凯莱定理的应用张立华;吴琳琳【摘要】给出了哈密顿—凯莱定理的一个新证明,通过实例分别介绍了此定理在计算矩阵多项式、逆矩阵和最小多项式等方面的应用,反映了哈密顿—凯莱定理在高等代数中的重要地位和作用.【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2018(034)002【总页数】8页(P1-7,28)【关键词】哈密顿—凯莱定理;特征多项式;逆矩阵;最小多项式【作者】张立华;吴琳琳【作者单位】德州学院数学科学学院,山东德州 253023;中国石油大学(华东)理学院,山东东营257000【正文语种】中文【中图分类】O1221 引言哈密顿-凯莱定理也叫凯莱-哈密顿定理,是矩阵理论中最著名的理论之一[1].哈密顿—凯莱定理揭示了方阵与它对应的特征多项式的关系,对于矩阵的计算有很重要的应用,也是特征多项式所具有的重要性质[2].在现有的高等代数教材中,对于此定理没有过多的描述,对于此定理的具体应用更是几乎没有提到,但是在高等代数的学习和具体题目的解答中,此定理为解决某些具体的问题提供了独特而巧妙的方法.本文首先了给出了哈密顿—凯莱定理的一个新证明,然后结合具体例子展示了此定理在计算矩阵多项式、逆矩阵和最小多项式等方面的应用.2 哈密顿—凯莱定理考虑数域n-3上的n阶方阵A把如下的矩阵称为A的特征矩阵,其中E是n阶单位阵,λ是未知数,它的行列式fλ=λE-A叫做A 的特征多项式.把fλ=λE-A=0称为A的特征方程.定理1 [2](哈密顿—凯莱定理)设数域P上的矩阵A是一个n×n矩阵,fλ=λE-A是A的特征多项式,则fA=An-a11+a22+…+annAn-1+…+-1nAE=0哈密顿—凯莱定理的证明在教科书上有[2],文献[3]用数学归纳法给出了证明,文献[4]结合范德蒙德行列式给出了证明,文献[5]结合幂级数和拓扑理论给出了两种证明方法.这里用若当标准形理论给出一种新的证明方法.证明由于每一个复数矩阵都与一个若尔当标准形相似,并且这个若尔当标准形除去其中若当块的排列次序外是被这个矩阵唯一决定的.又由于数域P包含于复数域C,所以A也是复数域上的矩阵,也相似于一个若当标准型.不妨设有一个n×n矩阵T,使T-1AT=J,其中J是A的若尔当标准形,可写为其中δ代表0或1,由于λ1,λ2,…,λn是A的特征值,于是fλ=detλE-A=λ-λ1λ-λ2…λ-λn从而TJ-λ1EJ-λ2E…J-λnET-1=这个证明方法与其它的证明方法相比,有两个优点：一是理论基础很明确：任何一个复数矩阵都与一个若尔当标准形相似,这是高等代数的基本理论,大家都熟知；二是思路清晰,它的证明思路很容易被掌握,也可以用到许多证明题中.3 哈密顿—凯莱定理的应用哈密顿—凯莱定理对于初学者是很容易被忽略的一个定理,教材中对于此定理的应用从未提及,这往往使我们不去重视,但此定理的应用却有其独特之处,对于解决代数的很多问题都非常有帮助,近年来已经引起一些学者的关注[6-9].下面对哈密顿—凯莱定理的应用作详细的说明,并通过具体例子进一步体现该定理的应用.3.1 计算矩阵的多项式在高等代数中经常遇到计算矩阵的高次幂、求矩阵的多项式的问题,一般情况下,首先想到的就是矩阵的对角化,当矩阵A可对角化时,可以考虑用与A相似的对角形解题,但这种方法必须要求出特征向量,且要分别计算多项式中A的各次幂,计算过程比较复杂；当矩阵A不能对角化时,就不知道怎样有效地处理这类计算问题了；哈密顿—凯莱定理恰好能巧妙而简便地解决这类问题.例1 设求2A8-3A5+A4+A2-4E.解A的特征多项式由哈密顿—凯莱定理,有fA=A3-2A+E=0令gλ=2λ8-3λ5+λ4+λ2-4则gλ=2λ5+4λ3-5λ2+9λ+4fλ+24λ2-37λ+10所以gA= 2A5+4A3-5A2+9A+4EfA+24A2-37A+10E=24A2-37A+10E=此处如果用矩阵的对角形来求解,可以求得矩阵A的特征根分别为特征根中出现了无理数,从而增加了求特征向量的难度,并且直接求A的方幂也比较麻烦. 由此可以看出,此定理可以通过降低所求多项式的次数减少计算量.注：对于此类求n阶矩阵A的高次多项式g(A)的问题,利用哈密顿—凯莱定理是方便的.首先用A的特征多项式fλ去除gλ,得gλ=qλ×fλ+rλ,然后根据哈密顿—凯莱定理有fA=0,从而gA=rA.这种把矩阵多项式的计算转化为多项式的计算的解题思想对解其他题目也有借鉴作用,下面的例题就是很好的例子.例2 若方阵A满足A2-5A+6E=0,求A100.分析题目中并没有给出矩阵A的元素,只是给出了A满足的(方程)条件,这种矩阵叫抽象矩阵.求抽象矩阵的多项式计算问题,一般而言有两种方法,一是考虑矩阵的对角化(读者可以自行试解,在这里这种方法也可行,参见文献[10]),二是从多项式入手. 解用x2-5x+6除x100,得商qx及余式ax+b.x100=qxx2-5x+6+ax+b令x=2,得2100=2a+b令x=3,得3100=3a+b解之,得a=3100-2100,b=-2×3100+3×2100于是A100=qAA2-5A+6E+aA+bE=3100-2100A+-2×3100+3×2100E3.2 表示矩阵的逆矩阵对于计算矩阵的逆矩阵的问题,如果矩阵里的元素是具体的数字,一般而言用伴随矩阵法或者初等变换法. 哈密顿—凯莱定理非常重要的应用之一就是它给出了一种独特而且方便的计算逆矩阵的方法,这种独特的方法可以把A-1以及A*表示成关于A 的多项式,从而进行矩阵的下一步计算.定理2 方阵A的伴随矩阵A*可以表示成A的多项式；当A可逆时,A-1也能表示成A的多项式.证明设A的特征多项式为fλ=λE-A=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an,而λE-A*λE-A=λE-AE=fλE因为矩阵λE-A*,是由矩阵λE-A里的各个代数余子式组成的,而且都是关于λ的多项式,并且多项式的次数都小于n-1,所以可设λE-A*=λn-1B0+λn-2B1+…+Bn-1(1)其中B0,B1,…,Bn-1都是n×n数字矩阵.又fλ=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an则fλE=λnE+a1λn-1E+…+an-1λE+anE(2)而λE-A* λE-A=λn-1B0+λn-2B1+…+Bn-1λE-A= λnB0+λn-1B0-B1A+λn-2B2-B1A+…+λBn-1-Bn-2A-Bn-1A(3)比较(2)和(3),得(4)将(4)式代入(1)式得λE-A*= λn-1B0+λn-2B1+…+Bn-1=λn-1E+λn-2a1E+A+…+an-1E+an-2A+…+An-1An-1+λ+a1An-2+λ2+a1λ+a2An-3+…+λn-1+a1λn-2+…+an-1E因为方程左右相等,并且都是以λ的式子构成的矩阵,则可以证明左右两边所对应的各个因式都是相同的,所以无论λ取何值,等式的两边肯定是相同的矩阵.令λ=0,则有-A*=An-1+a1An-2+…+an-1E从而A*=-1n-1An-1+a1An-2+…+an-1E如果A可逆,则A的特征多项式的常数项an=-1nA≠0.由哈密顿—凯莱定理知fA=An+a1An-1+…+an-1A+anE=0于是因此得证毕.注：由定理2,可以得到求矩阵的伴随矩阵和逆矩阵的一种新的计算方法.定理2的结论对于判定逆矩阵的特点也有帮助.例3 设求A*与A-1.解矩阵A的特征多项式为：fλ=λE-A=λ3-3λ2+2λ-1,因a3=-1≠0,所以矩阵A可逆.由定理2中求A*与A-1的公式知A*例4 设三级矩阵其中a,b,c为任意数,求A-1,A*和A1000.解A的特征多项式为由哈密顿—凯莱定理得fA=A3-E=0即A3=E所以AA2=E即A-1=A2A*=AA-1=ε3A-1=A-1=A2A1000=A3333A=EA=A对于例4的求解,应用常规的对角化方法费时费力,还容易出错,但应用哈密顿—凯莱定理,简便又巧妙地解答了问题.例5 证明：如果某个上三角矩阵或者下三角矩阵是可逆的,那么这个矩阵的逆矩阵依旧是上三角矩阵或者是下三角阵.证设A是一个可逆的上三角矩阵,则由定理2可知,存在多项式gλ,使A-1=gA.注意到上三角阵的和、积、数乘都是上三角阵,立即可知A-1也是个上三角阵.同理可证可逆下三角阵的逆依然是下三角矩阵.例6 如果一个对称矩阵或者反对称矩阵是可逆的,则它的逆矩阵还是对称矩阵或者反对称矩阵.证设A是n阶对称矩阵并且A-1存在,则由定理2可知,存在多项式gλ,使A-1=gA,有A-1′=gA′=gA'=gA=A-1这表明A-1仍是个对称矩阵.设B是一个n阶可逆的反对称矩阵,因为B可逆,故行列式不为零.当n为奇数时,反对称矩阵的行列式等于0,所以n必然是个偶数.设λ是反对称矩阵B的特征值,则必有gλ=λE-B=0下证g-λ=0,即-λ也是反对称矩阵B的特征值.事实上,由于B是反对称矩阵,所以BT=-B, 从而g-λ= -λE-B=-λE+BT=(-λE+B)T=(-λE+B)=(-1)nλE-B=(-1)ng(λ)所以 g-λ=0当且仅当g(λ)=0,即如果λ是反对称矩阵B的特征值,则-λ也是,所以B 的特征多项式中只包含偶数次项gλ=λE-B=λn+a2λn-2+…+an-2λ2+an其中an=B≠0.根据哈密顿—凯莱定理知gB=0,即gB=Bn+a2Bn-2+…+an-2B2+anE=0由此可得进一步得到这表明B-1仍是一个反对称矩阵.3.3 计算矩阵的最小多项式根据哈密顿—凯莱定理,在给定的任意数域P上选定一个n阶矩阵A,在数域P中总是可以找到一个多项式fx,使得fA=0.如果多项式fx使fA=0,就称fx的根是矩阵A.当然,以A为根的多项式很多,在所有这些多项式中次数最低并且系数是1的多项式就称为矩阵A的最小多项式.此定理保证了矩阵A的最小多项式是存在的.对于矩阵A的最小多项式的计算,下面的定理是基础.定理3[2] 设矩阵A的最小多项式是gx,那么fx以A为根的充分必要条件是gx整除fx.根据定理3,知道最小多项式是矩阵A的特征多项式的一个因式,基于此,可以计算最小多项式.例7 设计算A的最小多项式.解因为A的特征多项式为fλ=λE-A=λ-13由定理3可知,A的最小多项式为λ-13的因式.又A-E≠0,而A-E2=0,所以A的最小多项式为gλ=λ-12.4 结论文章给出了哈密顿—凯莱定理的一个新证明,详细总结了该定理在求矩阵的高次多项式、逆矩阵、最小多项式等问题中的应用.当然,此定理的应用不止这些,对于求解常系数齐次线性微分方程组的标准基解矩阵、可交换环等问题也有不少应用[11,12].哈密顿-凯莱定理是矩阵理论中最著名的理论之一,其中蕴涵着丰富的思想方法,本文的内容对应用哈密顿—凯莱定理解决问题可以起到借鉴作用.参考文献:[1] 董可荣.矩阵理论的历史研究[D].济南:山东大学,2007:72-80.[2] 北京大学数学系.高等代数(第四版)[M].北京：高等教育出版社,2008.[3] 刘国新,王正攀.Cayley-Hamilton定理的一个新证明[J].西南师范大学学报(自然科学版),2013,38(8):1-2.[4] 杨艳,刘合国. Cayley-Hamilton定理的一个证明[J].数学的实践与认识,2009,39(9):235-238.[5] 邓勇.关于Cayley-Hamilton定理的新证明[J].五邑大学学报(自然科学版),2015,29(1): 15-17.[6] 王莲花,苏敏,孙书安.哈密顿—凯莱定理的应用研究[J].河南教育学院学报,2003(4):1-3.[7] 王小华.哈密顿—凯莱定理的应用[J].牡丹江教育学院学报,2007(4):134-135.[8] 徐仲,陆全,等.高等代数考研教案[M].西安：西北工业大学出版社,2009.[9] 李丽花.哈密顿—凯莱定理的应用[J].上海电力学院学报,2008(2):192-194.[10] 张立华.高等代数教学中关于“矩阵对角化”的一点注记[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2013,13(4):8-11.[11] 彭庆英.常系数线性微分方程组的基解矩阵的一种新求法[J].大学数学,2013(6):121-123.[12] 黄海华.群论计数问题及Cayley图的Hamilton性[D].南宁:广西大学,2016. Abstract:A new proof of the Hamilton-Cayley theorem is given. Applications of the theorem in the calculation of matrix polynomial, inverse matrix, the smallest polynomial and so on have also been given. This paper shows that the Hamilton-Cayley theorem plays an important role in advanced algebra.Key words:Hamilton-Cayley theorem; characteristic polynomial; inverse matrix; the smallest polynomial。

矩阵的最小多项式的求解及其应用

矩阵的最小多项式的求解及其应用冯福存【摘要】首先介绍最小多项式的相关概念及最小多项式的一些基本性质,然后给出求解最小多项式的几种常用方法,最后结合实例归纳总结最小多项式在解题中的几个应用.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】5页(P28-32)【关键词】最小多项式;特征多项式;应用【作者】冯福存【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院, 宁夏固原 756000【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵可以说贯穿线性代数始终，而矩阵的特征多项式则是高等代数学习中的重点和难点，它与最小多项式的结合又常常成为数学系硕士研究生入学考试的难点和焦点．矩阵最小多项式在求矩阵函数的结果以及观察矩阵的特征值等方面具有重要的应用,大多数教材[1-3]只对矩阵最小多项式的定义做了简单的介绍,如何快速准确地计算出其最小多项式却很少给予系统的讨论，作者在长期的教学实践中，参阅相关文献[4-7]，得到和总结了关于矩阵最小多项式的系列性质，并对计算最小多项式常用的易于掌握的几种方法进行整理、总结和对比，并将教材上的Jordan标准形和最小多项式两个知识点串联到了一起,有利于加深初学者对这两部分内容的理解，以期对读者有所帮助．1 基本概念及性质定义1 设f(x)∈C[x]，A∈Cn×n,若f(A)=0，则称f(x)为A的零化多项式．定义2 设A∈Cn×n,A的零化多项式中次数最低的首项系数为1的多项式称为A的最小多项式．关于矩阵的最小多项式有如下结论：性质1[1] A∈Cn×n，则A存在唯一的最小多项式，记为mA(λ)．性质2 A∈Cn×n，mA(λ)整除A的任一零化多项式，特别的mA(λ)|fA(λ)，(fA(λ)=|λE-A|)．证明设f(λ)是A的任一零化多项式，由带余除法定理可知f(λ)=mA(λ)q(λ)+r(λ),若r(λ)≠0，由f(A)=0，mA(λ)=0可知r(A)=0，则r(λ)为A的最小多项式，与性质1矛盾，故r(λ)=0，即mA(λ)|f(λ)．由Hamilton-Cayley定理[1]知fA(λ)是A的一个零化多项式，故mA(λ)|fA(λ)．性质3[7] A∈Cn×n，A的最小多项式的根必是A的特征多项式的根，反之亦然．性质4[1] 设A∈Cn×n，若A是一个准对角阵并设A1的最小多项式为g1(λ)，A2的最小多项式为g2(λ)，那么A的最小多项式为g1(λ)，g2(λ)的最小公倍式[g1(λ),g2(λ)]．性质5[6] 相似矩阵的最小多项式相同，即最小多项式是相似不变量．性质6[1] k级Jordan块的最小多项式为(λ-a)k．性质7[1] 设Α是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使得Α在这组基下的矩阵是Jordan形．2 最小多项式的求解求矩阵的最小多项式有多种方法，本文主要介绍四种便于掌握的方法．2.1 由特征多项式求最小多项式设A∈Cn×n的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，则A的特征多项式为fA(λ)=|λE-A|=(λ-λ1)k1(λ-λ2)k2…(λ-λs)ks,由性质3可知A的最小多项式必有如下形式：mA(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms，上式中mi≤ki(i=1,2,…,s)．若A的特征值均为单根时，mA(λ)=fA(λ)；若A的特征多项式为fA(λ)=(λ-λ1)n 时，mA(λ)=(λ-λ1)m(m≤n)，m为使(λ1I-A)m=0的最小次数．2.2 待定系数法A∈Cn×n，设A的最小多项式为mA(λ)=λm+am-1λm-1+am-2λm-2+…+a1λ+a0(1≤m≤n)，可如下操作：第一步：m=1，试解A=-a0I，看是否有解：若有解a0，则最小多项式为mA(λ)=λ+a0；若无解；则进入下一步；第二步：m=2，试解A2=-a1A-a0I，看是否有解：若有解a0,a1，则最小多项式为mA(λ)=λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；第三步：m=3，试解A3=-a2A2-a1A-a0I，看是否有解，若有解a0,a1,a2，则最小多项式为mA(λ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；如此循环，直到求出ai(0≤ai≤n)使矩阵方程Am=-am-1Am-1-am-2Am-2-…-a1A-a0I成立为止，以λ代A，以1代I便可得到所求的最小多项式．2.3 初等变换法设A∈Cn×n，λI-A为矩阵A的特征矩阵，这是一个λ-矩阵，对该矩阵施行初等行(列)变换将λI-A化为标准形，通过标准形可求得A的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)，则mA(λ)=dn(λ)，即λI-A的标准形的最后一个不变因子就是A的最小多项式．也可以先求出λI-A的n-1阶和n阶行列式因子分别为Dn-1(λ)，Dn(λ)，由前面可知A的最小多项式为2.4 利用Jordan标准形求最小多项式文献[8]关于A∈Cn×n的Jordan标准形的求解已做了详细的介绍，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，如果λi是A的单特征值，则对应一阶Jordan块Ji=(λi)，如果λi是A的ri(ri>1)重特征值，则以λi为对角元素的Jordan块的阶数之和为ri，设以λi为对角元素的Jordan块的最大阶数为di,可得A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds．由性质6可知每个Jordan块对应一个一次因式的方幂(初等因子)，即A化为标准形后每个Jordan块与A的初等因子是一一对应的．再由性质4、性质7可知A的最小多项式为所有这些初等因子的最小公倍式．这样，通过A的所有初等因子也可以确定A的最小多项式．这四种求矩阵最小多项式的方法中特征多项式法和待定系数法都有试探的成分，实际操作起来比较麻烦.前者适合低阶的比较简单的矩阵，而后者可适用于任意阶矩阵，计算方法机械，可用计算机编程来处理．如果知道矩阵的Jordan标准形，则可以快速的写出矩阵的最小多项式，但如果不知道矩阵的Jordan标准形而要计算矩阵的Jordan标准形有时也是比较麻烦的．初等变换法和行列式因子法相似，他们都是利用λ-矩阵的相关理论解决问题．3 矩阵最小多项式的应用3.1 计算Ak文献[8]中对于这种问题通过相似变换讨论过，即在n维线性空间V中，任意一个矩阵A∈Cn×n与一个n阶Jordan矩阵相似，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J，则及的形式，可以把一般的矩阵的问题化为Jordan形来讨论，使得问题简化．本文用最小多项式来解决此类问题，令f(λ)=λk，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，mA(λ)的次数∂(mA(λ))=m.若k≤m，则直接计算Ak，若k>m，由带余除法可得f(λ)=q(λ)mA(λ)+r(λ)，其中,∂r(λ)=r<m．因为mA(A)=0，所以f(A)=r(A)，只需要确定r(λ)便可计算f(λ)，不妨设r(λ)=lm-1λm-1+lm-2λm-2+…+l1λ+l0，通过最小多项式的根待定系数后可确定r(λ)的系数，从而计算f(λ)．可以将这类问题的计算进一步推广为：已知方阵A与任意多项式f(λ)求f(A)，解决方法与前面的讨论完全一致．3.2 求方阵A的全体多项式所生成的线性空间的维数与基对于一个给定的方阵A的矩阵多项式,考察的核心对象是该矩阵的幂的形式.如果矩阵A没有明显的特征，则它的各次幂一般也没有明显的特征，这时就不好确定A 的矩阵多项式的次数，从而无法确定A的矩阵多项式所生成的空间的维数与基．将这类问题的结论以命题的形式给出，对于这一类型的问题只需知道A的最小多项式便可套用命题的结论解决．定理[1][9] A∈Cn×n，A的最小多项式的次数为k,W={f(A)|A∈Cn×n},则有：(1)dimW=k；(2)E,A,A2,…,Ak-1为W的一组基．3.3 求解常系数线性微分方程组关于常系数线性微分方程组的求解和解的理论可参看文献[10],读者会发现比较繁杂，要求掌握矩阵函数和矩阵的微分和积分的知识才能看懂和进行相关的计算．本文给出一种较简单直观的方法来求解线性齐次微分方程组．对于常系数线性微分方程组(其中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T，i=1,2,…,n，A为n 阶数字方阵)的求解本质是求解它的基解矩阵，基解矩阵其本质就是一个矩阵函数．根据矩阵函数的定义，一般矩阵函数f(A)是用在A的特征值上和f(λ)一致的多项式g(λ)所对应的矩阵多项式g(A)来表示的．但是，这样的g(λ)并不是唯一的，因此用来定义矩阵函数f(A)的g(A)也不是唯一的，但借助于A的最小多项式后这样的g(A)是唯一的，从而f(A)也是唯一的．设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，最小多项式为mA(λ)，次数为∂(mA(λ))=m，由带余除法可得g(λ)=p(λ)mA(λ)+r(λ)，由矩阵函数的定义，利用拉格朗日插值公式可求解f(A)．(i)当A的最小多项式没有重根时(1)其中(ii)当A的最小多项式有重根时设此时最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，其中d1+d2+…+ds=m≤n，则其中mi(A)=(A-λ1I)d1(A-λ2I)d2…(A-λi-1I)di-1(A-λ1I)di+1…(A-λ1I)ds,；j=1,2,…,ds．4 应用举例例1 求下列矩阵的最小多项式．解计算得|λI-A|=(λ-1)4，r(λI-A)=2,可知对应特征值1的特征向量有2个，所以矩阵A的Jordan标准形由2个Jordan块构成，但无法判断Jordan块是一个1阶和3阶，还是2个2阶的，采用文献[8]中的波尔曼法计算可得A的Jordan标准形为由本文确定最小多项式的Jordan标准形方法可得矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-1)3．例2 解下列线性微分方程组其中解矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-4)(λ-2)．由微分方程理论可知所求方程组解的形式为X=eAtc，其中c=(c1,c2,c3)，ci(i=1,2,3)不全为零．下面只需计算矩阵函数f(A)=eAt和向量c，为此，令f(λ)=eλt，λ1=4,λ2=2.最小多项式无重根，由公式(1)可得其中于是得故一般解为X=eAtc．当t=0时，由初值条件可得c1=0，c2=1，c3=1．故满足初始条件的解为参考文献:【相关文献】[1] 北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2013．[2] 库洛什．高等代数教程[M]．北京：高等教育出版社，1983．[3] 蓝以中．线性代数引论[M]．北京：北京大学出版社，1998．[4] YU Bo,ZHANG Jintao,XU Yanyan．The RCH Method for Computing Minimal Polynomials of Polynomial Matrices[J]．J.Syst.Sci .Complex，2015,25:190-209.[5] 夏必腊.方阵最小多项式的性质与求法[J].高等数学研究,2003,6(3):34-39．[6] 张跃辉．矩阵理论与应用[M]．北京：科学出版社，2011．[7] 魏洪增．矩阵理论与方法[M]．北京：电子工业出版社，2005．[8] 冯福存．矩阵的Jordan标准形及其应用[J]．绵阳师范学院学报，2016,35(5):11-15．[9] 林志兴，杨忠鹏．线性组合与积相等矩阵对及其多项式表示[J]．浙江大学学报(理学版)，2015,42(3):261-267．[10] 王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2006．。

数分高代定理大全精编版

数分高代定理大全《高等代数》第一章带余除法对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式(),()q x r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的(),()q x r x 是唯一决定的.定理 1 对于数域P 上的任意两个多项式(),()f x g x ，其中()0,()|()g x g x f x ≠的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零.定理 2 对于[]P x 中任意两个多项式()f x ，()g x ，在[]P x 中存在一个最大公因式()d x ，且()d x 可以表示成()f x ，()g x 的一个组合，即有[]P x 中多项式(),()u x v x 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.定理 3 []P x 中两个多项式()f x ，()g x 互素的充分必要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=.定理 4 如果((),())1f x g x =，且()|()()f x g x h x ，那么()|()f x h x .定理 5 如果()p x 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式(),()f x g x ，由()|()()p x f x g x 一定推出()|()p x f x 或者()|()p x g x .因式分解及唯一性定理数域P 上每一个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式1212()()()()()()(),s t f x p x p x p x q x q x q x ==L L 那么必有s t =，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,,i i i p x c q x i s ==L 其中(1,2,,)i c i s =L 是一些非零常数.定理 6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，那么它是微商()f x '的1k -重因式.定理 7（余数定理）用一次多项式x α-去除多项式()f x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f α.定理 8 []P x 中n 次多项式(0)n ≥在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.定理 9 如果多项式()f x ，()g x 的次数都不超过n ，而它们对1n +个不同的数121,,n ααα+L 有相同的值，即()(),1,2,1,i i f g i n αα==+L 那么()()f x g x =. 代数基本定理每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理 10（高斯（Gauss ）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理 12 设110()n n n n f x a x a x a --=+++L 是一个整系数多项式，而rs 是它的有理根，其中,r s 互素，那么必有0|,|n s a r a .特别地，如果()f x 的首项系数1n a =，那么()f x 的有理根是整根，而且是0a 的因子.定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法）设110()n n n n f x a x a x a --=+++L 是一个整系数多项式，如果有一个素数p ，使得1.|n p a /； 2.120|,,,n n p a a a --L ； 3.20|p a /那么()f x 在有理数域上是不可约的.第二章定理 1 对换改变排列的奇偶性.定理 2 任意一个n 级排列与排列12n L 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理 3 设111212122212n nn n nna a a a a a d a a a =L LM M M L ，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成立：1122,,0,.k i k i kn in d k i a A a A a A k i =⎧+++=⎨≠⎩L 当当 1122,,0,.l j l j nl nj d j a A a A a A j =⎧+++=⎨≠⎩L 当l 当l 定理 4 （克拉默法则）如果线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L 的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLM M M L 的行列式0d A =≠，那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为1212,,,,n n d d dx x x d d d===L 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项12,,,n b b b L 所成的行列式，即1,11,111112,12,12122,1,11,1,2,,.j j n j j nj n j n j n n nn a a a b a a a a b a d j n a a a b a -+-+-+==L L L L L M M M M M L L定理 5 如果齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L的系数矩阵的行列式0A ≠，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有0A =.定理 6 （拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .定理 7 两个n 级行列式1112121222112n n n n nna a a a a a D a a a =L LM M M L和1112121222212n n n n nnb b b b b b D b b b =L L M M M L的乘积等于一个n 级行列式111212122212n nn n nnc c c c c c C c c c =L LM M M L ，其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++L .第三章定理 1 在齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L 中，如果sn <，那么它必有非零解.定理 2 设12,,r a a a L 与1,,,r b b b L 2是两个向量组，如果1）向量组12,,r a a a L 可以经1,,,r b b b L 2线性表出，2）rs >，那么向量组12,,r a a a L 必线性相关.定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 定理 5 n n ´矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L LM M M L 的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .定理 6 一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r 级子式不为零，同时所有1r+级子式全为零.定理 7 （线性方程组有解判别定理）线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L 有解的充分必要条件为它的系数矩阵111212122212LL M M M Ln n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵11121121222212LL M M M M Ln n s s sn s a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有相同的秩。

北京理工大学数学专业高等代数期末试题MTH

2009级数学类高等代数期末考试试题A 卷班级学号姓名成绩一、（25分）设()n n M F ⨯表示域F 上的所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。

取定()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈，定义()X AX XA σ=-。

（1）证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换。

（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。

（3）当a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求σ在给定基 1112212201101111,,,11110110F F F F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。

（4）当1402A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求()Ker σ的一组基与维数。

二、（15分）设数域K 上3维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基123,,ααα下的矩阵为010440212A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

求线性变换A 的Jordan 标准形。

三、（20分）设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：（1）如果W 是A 的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果ξ是A 的一个特征向量，那么ξ生成的子空间ξ<>是A 的一维不变子空间。

（2）A 可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。

四、（20分）设22()V M F ⨯=，在V 中取一个基11122122,,,E E E E 。

（1）求它的对偶基11122122,,,f f f f ，要求写出ij f 的表达式。

（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。

五、（20分）证明：n 维酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换A 当且仅当在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。

班级学号姓名成绩一、（15分）设()n n M F ⨯为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。

多项式的最大值与最小值

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汇报人：XX
利用顶点公式求出顶点坐标，即为函数的最大值或最小值
判别式法在求多项式的最大值与最小值中具有广泛应用
多项式最值的实际应用
在几何中的应用
立体几何：利用多项式函数表示三维图形，研究其表面积、体积等最值问题
平面几何：利用多项式函数表示直线、圆、椭圆等图形，研究其最值问题
解析几何：通过多项式函数与几何图形的结合，解决距离、角度、面积等最值问题
添加标题
案例结论：多项式最值的应用在桥梁设计中具有实际意义，可以提高设计效率和安全性。
应用案例二
案例名称：桥梁设计
案例描述：在桥梁设计中，需要考虑到桥梁的承重能力，这可以通过多项式最值的方法来优化设计，确保桥梁的安全性和稳定性。案例名称：机械制造
案例描述：在机械制造中，多项式最值的方法可以用于优化机械零件的设计，提高机械的性能和效率。
多添加项副式标的题最大值与最小值
汇报人：XX
目录
PART One
多项式的定义与性质
PART Three
多项式最值的实际应用
PART Five
多项式最值的求解技巧与注意事项
PART Two
多项式的最大值与最小值的求法
PART Four
多项式最值的应用案例分析
多项式的定义与性质
多项式的定义
利用导数求极值点，判断单调性确定最值
运用基本不等式求最值，注意等号成立的条件
结合实际背景，考虑约束条件和定义域
注意事项
考虑函数的定义域：在求解最值之前，需要先确定函数的定义域，以确保最值存在且有意义。判断函数单调性：在定义域内判断函数的单调性，有助于确定函数的最大值或最小值。考虑极值点：极值点可能是函数的最值点，需要特别关注。验证最值：找到的可能的最值点，需要代回原函数进行验证，确保是最值点。

2001-10河南大学高等代数

(2)求ϕV ,ϕ−1 (0) ;
(3)证明V = ϕV ⊕ϕ −1 (0) ;
(4)求ϕ 的最小多项式; (5)求ϕ 的初等因子.
六、（20）已知α1,α2 ,L,αn 是V 的一组基, A 为 n× s 矩阵,设 ( β1, β2,L, βn ) = (α1,α2,L,αn ) A ,证
明:秩 ( β1, β2,L, βn ) = 秩 ( A) .
九、(10)证明:实对称矩阵的特征值全是实数.
5
河南大学 2006 年硕士研究生招生入学考试高等代数
( ) ( ) ( ) 一、（20）证明:如果 x2 + x +1 f1 x3 + xf2 x3 ,则 ( x −1) f1 ( x),( x −1) f2 ( x) .
二、（20）计算 n 阶行列式 D ,其中
七、(15)设η 是欧氏空间中一单位向量，定义σα = α − 2(η,α )η .证明:
(1)σ 是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射; (2)σ 是第二类的; (3)若 n 维欧氏空间中,正交变换σ 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间V1 是 n −1维的, 则σ 是镜面反射.
( ) 八、(10)设 An×m , Bm×n ,证明: En − AB 可逆,充分必要条件是 Em − BA 可逆.试用 A, B 及 En − AB 的逆矩阵表示 ( Em − BA) 的逆矩阵.
A 的特征值. 八、(15) A 是 n 阶实矩阵.证明: AA′ 与 A′A 相似.
(以下非代数题目,略去)
3
河南大学 2004 年硕士研究生招生入学考试高等代数
一、(15)设 f ( x) 为整系数多项式,且 f (0) 和 f (1) 都是整数.试证明 f ( x) 无整数根.

高等代数

多项式理论例 1 设()f x 是整系数多项式，且(1)(2)(3)f f f p ===（p 为素数），则不存在整数m 使得()2f m p =。

提示：可设()()(1)(2)(3)f x g x x x x p =---+。

例2设()f x 是整系数多项式，a 是一个整数，()(1)(2)1f a f a f a =+=+=求证对任意整数c ，()f c 不等于1-。

例3 设(),()f x g x 是复系数多项式，且((),())1f x g x =，deg ()deg ()f x g x ≠，c 为非零复数。

证明至少存在一个复数α使得()()f cg αα=。

证明：不妨设deg ()deg ()f x g x ≥，由于deg ()deg ()f x g x ≠，故deg ()1f x ≥。

令()()()h x f x cg x =-则deg ()1h x ≥，设α为其任意一个根，由((),())1f x g x =知(),()f g αα不能同时为0，从而结论成立。

例4 设()p x 为有理数域上的一个不可约多项式，1,,s x x 为()p x 在复数域上的根，()f x 为任意有理系数多项式，使得()f x 不能被()p x 整除。

证明存在有理系数多项式()h x 使得1()()i i h x f x =，1,,i s = 。

证明：由条件知((),())1f x p x =，从而存在(),()[]u x h x Q x ∈使得()()()()1f x h x p x u x +=将i x 带入上式可得。

例7 设1,,n a a 为互异整数，求证1()()1ni i f x x a ==-+∏在有理数域上可约的充要条件为()f x 可以表示为一个整系数多项式的平方。

提示：利用反证法例8 设4n >，1,,n a a 为互不相同的整数，1()()()1n f x x a x a =--+则()f x 在Q 上不可约。

北京大学数学系《高等代数》(第3版)(名校考研真题 λ-矩阵)

第8章　λ-矩阵一、分析计算题1．设n 维线性空间V 上的线性变换A 一的最小多项式与特征多项式相同．求证：，使得为v的一个基．[北京大学2007研]解：据题设，设的最小多项式与特征多项式同为则的前个不变因子为l ，1，…，1，第n 个不变因子为，容易知道，矩阵的不变因子也为，所以存在V 的一个基，使得A 在这个基下的矩阵为A ，即现在令，则，因此a 为V 的一个基．2．证明：矩阵不能用相似变换对角化．[中国科技大学研]证明：由于有一个一阶子式为非零常数，因此有即A 的最小多项式为，它有重根，所以A 不能对角化．3．设有一个6阶矩阵其中a ，b 都是实数，且6≠o，试求AE A的不变因子与初等因子，以及A 的若当标准形．[武汉大学研]解：因为特征矩阵①在①的右上角有一个5阶子式等于，而所以从而λE－A 的不变因子为A 的初等因子为A 的若当标准形为4．设A 是n 级幂等阵，且秩为r ，试求（1）矩阵A 的相似标准形，并说明理由；（2）计算[清华大学研]解：（1）因为A2＝A，从而A有无重根的零化多项式由于无重根，所以A相似于对角阵，且特征值只能是l或0．再由秩A＝r，所以存在可逆阵T，并有A的相似标准形为：其中Er，为r级单位阵．5．已知是6阶方阵A的极小多项式，且tr（A）=6，试求（1）A的特征多项式f（λ）及若当标准形．（2）A的伴随矩阵A*的若当标准形．[华东师范大学研]解：（1）设A的不变因子为（A），i=1，2， (6)由于A的极小多项式是A的最后一个不变因子，所以又A的特征多项式为6次多项式，且tr（A）=6，所以从而A的特征多项式A 有初等因子λ－1，λ－1，（λ－1+i ）2，（λ－1+i ）2，（λ－1－i ）2．A 的若当标准形为（2）由（1）知，存在可逆阵P ，使又显见| A |=4，所以有由于所以A*的若当标准形为6．设A为n阶复方阵．证明：存在一个n维向量α，使α，线性无关的充要条件是A的每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量．[南京大学研]证明：：由于α，使n维向量组α．线性无关，所以可令取，则P是可逆矩阵，且由可得由此可得A的不变因子为．所以令则A的初等因子为，从而有A的若当标准形可见所以A的每个特征子空间的维数均为1，即A的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量．：如果A的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量，则对A的任一特征根右，从而A的若当标准形中不同若当块的对角线元素互不相同，因此A的特征多项式与最小多项式相等．设A的最小多项式为则A与有相同的不变因子，因而A与B相似．令，且则即。

矩阵的最小多项式的进一步讨论

解不同的一次因式的幂积，取包含一切不同的一次因式的幂
积，由低次向高次逐一试验，求出使Ａ零化的次数最低的这
收稿日期：２００６－０２－１０作者简介：贺加来（１９６５－），男，安徽含山人。巢湖职业技术学院讲师，主要从事数学教学与研究。
１５７
样的幂积即为ｍＡ（λ）。例２，设ｎ阶矩阵Ａ的所有元素都是１，求Ａ的最小多项
２００６年第８卷第３期总第７８期
巢湖学院学报ＣｈａｏｈｕＣｏｌｌｅｇｅＪｏｕｒｎａｌ
Ｎｏ．３．，Ｖｏｌ．８．２００６ＧｅｎｅｒａｌＳｅｒｉａｌＮｏ．７８
矩阵的最小多项式的进一步讨论
贺加来
（巢湖职业技术学院，安徽巢湖２３８０００）
摘要：本文介绍最小多项式的求法，以及利用最小多项式解决相关问题。关键词：矩阵；最小多项式；最小多项式的应用中图分类号：Ｏ２４１．６文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－２８６８（２００６）０３－０１５７－０３
１５８
!λ１ " Ａ～Ｄ＝ " ""
#
λ２ …
$ % % %% λｎ &
则 λ１、λ２……λｎ都是Ａ的特征根， λ１、λ２……λｎ都是ｍＡ（λ）的
根，但由（,）知 λ１、λ２……λｎ又都是 φ（λ）的根。
下面举例说明与对角矩阵相似的特殊矩阵。
例６，设Ａｋ＝Ｅ（ｋ≥１），则Ａ与对角阵相似，且对角阵的对
其中 λｉ＝０，ｉ＝１，２……ｎ．
参考文献：［１］屠伯埙等．高等代数［Ｍ］．上海：上海科技出版社，１９８７．［２］王湘浩等．高等代数［Ｍ］．北京：高教出版社，１９８５．

《高等工程数学》科学出版社吴孟达版习题答案章

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案：第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]Ta 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]Ta 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T3．在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T4．试证：在R2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

方阵最小多项式的性质探究

方阵最小多项式的性质探究摘要：讨论方阵最小多项式的几个性质及相关的几个简单应用关键词：方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式定义1：设方阵A ，若f(x) F(x)，使f(A)=0，则称f(x)为A 的零化多项式。

命题1：方阵的零化多项式是存在的。

证明：设A 为n n ⨯方阵，()n M F 表示域F 上的所有n n ⨯方阵的集合，构一线性空间，它的维数为2n ，A 属于()n M F ，由22,,,,n E A A A 这21n +个向量必定线性相关。

则存在一组不全为零的数：201,,,n a a a ,使得22010n n a E a A a A +++= ，作多项式2201()n n f x a a x a x =+++ ,且()0f x ≠，有()0f A =,即()n M F 中的任意向量A 来说，零化多项式是存在的。

定义2：次数最低首项为1的零化多项式称为最小多项式。

由命题1的证明过程，我们知道最小多项式是存在的。

只要由,,,k E A A ，随k 增大往上找。

但是这也只能说方阵A 的最小多项式的次数最多不超过2n ,这个估计是比较粗糙的，我们可以估计得更精确些。

命题2：（cayley-Hamilton 定理）设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，()f x E A λ=-是A 的特征多项式，则11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-= 证明：详见北大数教材《高等代数》P303。

也就是说可以把方n n ⨯方阵的最小多项式的次数缩小到不超过n 。

下面介绍几个最小多项式的性质：命题3：矩阵A 的最小多项式是唯一的。

命题4：设g(x)为方阵A 的最小多项式，那么f(x)以A 为根当且仅当g(x)整除f(x).命题5:相似矩阵具有相同的最小多项式。

证明：设方阵A 的最小多项式是()m x ,矩阵B 最小多项式是n(x),由A 与B 相似知，有1B P AP -=，其中P 为可逆阵。

高等代数第9章矩阵的标准型 9.5 矩阵的最小多项式

如：
1 0 A 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0, B 0 0 0 0 2
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
2 ( x 1) ( x 2), 但A与B不相似. 的最小多项式皆为
| E A | ( x 1)3 ( x 2), | E B | ( x 1)2 ( x 2)2
2 ( x 1) . ∴ A的最小多项式为
§7.9 最小多项式
4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似，g A ( x ), gB ( x )分别为它们的最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 从而使
B T 1 AT .
g A ( B ) g A (T 1 AT ) T 1 g A ( A)T 0
g( A1 ) 0 0 首先， g( A) g( A2 ) 0
即A为 g ( x ) 的根.
§7.9 最小多项式
所以 g ( x ) 被A的最小多项式整除. 其次，如果 h( A) 0, 则
h( A1 ) 0 h( A) 0 0 h( A2 )
解：A的特征多项式为
x 1 1 0 f ( x ) | xE A | 0 x 1 0 ( x 1)3 0 0 x 1
又 A E 0,
( A E )2 A2 2 A E
1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1
则的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 g( x ), 则
g( )(V ) 0.

高等代数(北大版)第7章习题

1 2 1
阵；
6) 在 P 3 中，A 定义如下：
A (5,0,3)

1
A2

(0,1,6)
，
A3 (5,1,9)
其中
(1,0,2)

1
2

(0,1,1)
，
3 (3,1,0)
求 A 在基1=(1,0,0), 2 =(0,1,0),3 =(0,0,1)下的矩阵；
9.设三维线性空间 V 上的线性变换 A 在基1, 2 ,3 下的矩阵为
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23 ，
a31 a32 a33
1) 求 A 在基 3 , 2 ,1 下的矩阵；
2) 求 A 在基 1, k 2 , 3 下的矩阵，其中 k P 且 k≠0；
An =0.求证：A 在某组下的矩阵是
0 1
0 0

0 0
0 0

0
1

0
0 。

0
0

1Leabharlann 0 12．设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，证明：V 的与全体线性变换可
以交换的线性变换是数乘变换。
13. A 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换，证明：如果 A 在
16.证明
1
i1

2

与

n
i2

in
相似，其中 i1,i2 ,,in 是 1,2,, n 的一个排列。
高代第七章作业题
17. 如果 A 可逆,证明：AB 与 BA 相似。

高代答案_阳庆节_中国人民大学

高等代数 (A) 讲义
下册
Advanced Algebra (A)
Book Two
阳庆节主编
中国人民大学信息学院 2006年2月
习题参考答案与提示
第五章 § 5.1 1. (1) 否 (5) 否 2. 略 3. 0 4. (1) 否 § 5.2 5. 因为 cos 2t = 2 cos2 t − 1 即得. 6. 反证，不妨设 f3 (x) = k1 f1 (x) + k2 f2 (x) . 又由于 f1 (x), f2 (x), f3 (x) 中任意两个都不互素， ( ) ( ) 所以 f1 (x), f2 (x) = d(x) , ∂ d(x) > 0 . 所以 d(x) 是 f1 (x), f2 (x), f3 (x) 的一个非常数公因式，矛盾. 0 0 1 7. (2) 1 0 0 , 0 0 8. 略 9. 略 10. (1) (1, 2, 3)T (2) (1, 1, 1)T 0 0 1 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 ; 维数是 3 . 0 (2) 是 (3) 否 (4) 是 (2) 是 (6) 否 (3) 是 (7) 是 (4) 是
1 因为 β1 = 1 2 α1 − 2 β2 , 所以 W1 ∩ W2 = L(β1 )
(3) dim(W1 + W2 ) = 4 , α1 , α2 , α3 , β1 是 W1 + W2 的一组基; W1 ∩ W2 = {α} , 其中 α = (53, 119, −19, 134)T ( ) −5 2 ) , 维数是 1 20. (1) L(A1 , A2 ) ∩ L(B1 , B2 ) = L( 3 4 (2) 求 L(A1 , A2 ) + L(B1 , B2 ) = L(A1 , A2 , B1 ) , 维数是 3 21. 分别求出齐次线性方程组的基础解系 22. 略 23. 略 24. 提示：类似于矩阵空间分解为对称矩阵与反对称矩阵的和的情况

最小多项式

高等工程数学理学院杨文强
第二章方阵的相似化简
§3 CayleyCayley-Hamilton定理和最小多项式
(3“ ) ⇐ ”Q mA (λ ) f A (λ ) 其中f A (λ )是A的特征多项式
若mA (λ0 ) = 0，则有f A (λ0 ) = 0 即λ0是A的特征值
“ ⇒ ”设λ0是A的特征值，特征向量是x0 由定理1知， mA (λ0 )是方阵多项式mA ( A)的特征值，且x0是方阵mA ( A)关于特征值mA (λ0 )的特征向量，故有
仍是一n阶方阵，称(∗)式为方阵多项式.
第二章方阵的相似化简
§3 CayleyCayley-Hamilton定理和最小多项式
定理1：设n阶方阵A的特征值为： λ1，λ2， L，λn xi是A关于λi的特征向量，则方阵多项式的特征值为：g (λ1 )，g (λ2 )， L，g (λn ) g ( A) = a0 Am + a1 Am −1 + L + am −1 A + am I
第二章方阵的相似化简
§3 CayleyCayley-Hamilton定理和最小多项式一、特征多项式：
设A是n阶方阵A = (aij ) n×n，记其特征多项式为：
f A (λ ) = λ I − A = λ + b1λ
n n −1
+ L + bn −1λ + bn
有关特征多项式的一些结论： L，λn， (1) f A (λ )在C中有n个根λ1，λ2， f A (λ ) = ( λ − λ1 )( λ − λ2 ) L ( λ − λn ) λ1，λ2， L，λn中可能有相同的
2 −1 −1 3 ，求A的最小多项式. 例3：设A = 0 5 0 −4 −2