高代求最小多项式

矩阵最小多项式的求法

杨骁 数学与科学学院 指导老师 李永斌老师

[摘要]：本文首先介绍了方阵A 的最小多项式，进而给出了最小多项式的两种求法。

[关键词]：方阵；最小多项式。

一、引言

最小多项式在研究线性变换及矩阵的对角化方面起着十分重要的作用，如何求最小多项式非常重要。本文提供了常用的两种方法，利用特征多项式或Jordan 标准型求矩阵的最小多项式。

二、最小多项式的性质及求法

由哈密尔顿定理可知，对于一个n 阶矩阵A ，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，

则,0)1()()(1

2211=-+++++-=-E A A

a a a A f n n nn n

λ即就是任给数域P 上的一

个n 级矩阵A ，总可以找到数域P 上的多项式)(x f ，使得0)(=A f .如果多项式)(x f 使得0)(=A f ，我们就称)(x f 为矩阵A 的零化多项式.当然A 的零化多项式很多的，于是我们有

定义1 设n

n C A ⨯∈，次数最低的首项为1的A 的零化多项式称为A 的最小多项式，

记为)(λA ψ.

最小多项式有以下一些基本性质： 定理1[1] 设A n n C

⨯∈，则

（1）A 的任一零化多项式都能被)(λA ψ整除； （2）A 的最小多项式)(λA ψ是唯一的； （3）相似矩阵最小多项式相同. (一)由特征多项式求最小多项式

定理 1 0λ是A 的特征多项式零点的充分条件是0λ为A 的最小多项式)(λA ψ的零点.

推论1 若n 阶方阵A 的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积：

s m s m m f )()()()(2121λλλλλλλ---= ，

其中i λ是A 的相异的特征值，i m 是特征值i λ的重数，且,1

n m

s

i i

=∑=则A 的最小多项式具

有如下形式：

s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ ，

其中),,2,1(s i m d i i =≤为正整数.

推论1实际上给出了由方阵A 的特征多项式，求最小多项式的方法. 例1 求矩阵

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A

的最小多项式.

解：因为A 的特征多项式为)4()1()(2

--=λλλf ，根据推论1便可知，A 的最小多项式有以下两种可能：

（1-λ）（4-λ），)4()1(2

--λλ

由于

000000000021112111

2111111111)4)((=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--E A E A

因此，A 的最小多项式为)4)(1(--λλ.

有时)(λf 在分解时比较困难，但由推论1可知，A 的最小多项式实质包含A 的特征多

项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出

.))

(),((()

(λλλf f f '

例2 求矩阵

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡------------=1333313333133331A 的最小多项式.

解：⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+-+=-1333313333133331

λλλλλA E =512320484234---+λλλλ )

80243(4)(512320484)(2

3

234--+='---+=λλλλλλλλλf f

由辗转相除法求得(168))(),(2++='λλλλf f 于是

16

8512320484))(),(()(2234++---+=

'λλλλλλλλλf f f

=3242

--λλ=()8)4(-+λλ

于是())8(4)(3

-+=λλλf

A 的最小多项式有以下三种可能：

),8)(4(-+λλ ),8()4(2-+λλ )8()4(3-+λλ

而0)8)(4(=-+E A E A ，

因此A 的最小多项式为)8)(4(-+λλ.

（二）利用Jordan 标准型求最小多项式 定理2 设矩阵n

n C

A ⨯∈,则A 的最小多项式可以由

s d s d d A )()()()(2121λλλλλλλ---=ψ

给出,其中),,2,1(s i i =λ是A 的相异的特征根,),,2,1(s i d i =是在A 的Jordan 型J 中包含i λ的各分块的最大阶数。

推论2 当A 的所有特征值都相异时,A 的最小多项式)(λA ψ就是A 的特征多项式

A E f -=λλ)(.

由定理2,在一般情况下,A 的最小多项式可以通过求出它的Jordan 标准型J 获得. 例2 求矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡-----=20

1

020000002000001200101

112100000A 的最小多项式.

解：由A 的特征多项式

33)2()1()(--=-=λλλλA E F

知A 有两个不同的特征值：2,121==λλ（均为三重的）.容易求得5)(=-E A rank ，所以对于11=λ的特征向量仅有一个，这表示对应的Jordan 块的数目是 1.又由于

,4)2(=-E A ra n k 对应于22=λ的特征向量有2个，因此对应于22=λ的Jordan 块共有

2块.故A 的Jordan 标准型为：

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎣⎡221211111

可见J 中包含11=λ的块的阶数31=d ，包含22=λ的Jordan 块的最大阶数22=d ，因此A 的最小多项式为：

23)2()1()(--=ψλλλA