数学建模微分方程模型课件

t
tm
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
<>
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
模型求解 用变量分离法求解，模型方程等价于
积分得
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从而求得模型解 就描述了此人的体重随时间变化的规律。
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现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗? 显然由W的表达式，当t→∞时，体重有稳定值W → 81 。 我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。
在平衡状态下， W是不发生变化的。所以
这就非常直接地给出了W平衡=81。 所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平
微 分 方 程模型
§1 微分方程模型 §2 传染病模型 §3 战争模型 §4 最优捕鱼问题
§1 微分方程模型
一、微分方程模型的建模步骤
在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、 社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关 变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到 这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式， 这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微 分方程模型 。我们以一个例子来说明建立微分方程模 型的基本步骤。
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模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键 词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的 函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可 微函数，我们就能找到一个含有 dw 的微分方程。
dt
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模型假设 1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时 人的体重为W0。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 W(t)是关于连续t而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入 是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收； 输出就是进行健身训练时的消耗。
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体重的变化/天=△W/△t（公斤/天），
当△t→0时，它等于dW/dt。
考虑单位的匹配， 利用 “公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”, 可建立如下微分方程模型
dw 5429 69w 1296 16w
dt 41868
10000
w |t0 w0
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16t
129616W (129616W0 ) e 10000
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问题
§2 传染病模型
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
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模型1 已感染人数 (病人) i(t) 假设 • 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
建模 i(t t) i(t) i(t)t
di dt
i(1
i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
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模型3 di i(1 i) i / di i[i (1 1 )]
dt
i
dt
di/dt
>1
i0
>1
i
1
1-1/
i0 di/dt < 0
i0
0
1-1/ 1 i
建模 N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di
dt
i(1
i)
i(0) i0
<>
模型2
di
i(1
i)
dt
Logistic 模型
i
i(0) i0
1
i(t)
1
1/2
1
1 百度文库0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
0
t0
t
i()
1
1
,
1
0,
1
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
1 i(t)按S形曲线增长
i0小
感染期内有效接触感染的健 康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
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模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
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模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此， 对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考 虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具 体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天） =5429（焦/天），
输出/天 = 69（焦/公斤•天）×（公斤） = 69（焦/天）。
出者的比例分别为 i(t), s(t), r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
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例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 （焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设 以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂 肪含热量41868（焦）。 试研究此人的体重随时间变化的规律。
di i
dt i(0) i0
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
i(t) i0et
ti ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
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模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t), s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日 为, 且使接触的健康人致病 接触率
衡值，就不必去求解微分方程了！
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至此，问题已基本上得以解决。 一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为： (1) 根据规律列方程。利用数学、力学、物理、 化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检 验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射 性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分 方程模型。
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(3) 模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中， 许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、 建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程 是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上 去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这 个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。 本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的 建模方法。