生活中均值不等式的应用示例
《均值不等式及其应用》等式与不等式时均值不等式的应用时均值不等式的应用
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均值不等式的应用场景
最大值的求解
利用均值不等式，可以在给定条件下求出函数的最小值，也就是最大值。
最小值的求解
利用均值不等式，可以在给定条件下求出函数的最大值，也就是最小值。
最大值和最小值的求解
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，是常用的平均数之一。
几何平均数
几何平均数是所有数值的乘积的平方根，通常用于比较几个数的大小。
算术平均数和几何平均数的比较
VS
在投资组合理论中，可以利用均值不等式来确定投资组合的风险最小化方案。
投资组合收益最大化
在投资组合理论中，可以利用均值不等式来确定投资组合的收益最大化方案。
投资组合风险最小化
投资组合问题中风险和收益的平衡
研究均值不等式的优化问题
除了均值不等式外，还有许多其他类型的不等式值得研究和探讨。例如，柯西不等式、范德蒙不等式等
探索其他类型的不等式
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3. 对称性：对于任意实数x和y，有x^2+y^2≥2xy。
4. 边界条件：在边界条件下，均值不等式也可能成立。
均值不等式的性质
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均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，以下是其中一种
a(1/a+1/b+1/c+1/d)≤(a+b+c+d)/4
设a、b、c、d是四个非负实数，则根据排序不等式，可以得到以下不等式
范德蒙公式
sin^2(x) + sin^2(y) >= 2sin(x)sin(y)
其中“>=”表示当且仅当x=y时，等号成立。
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识看似抽象遥远，但实际上却无处不在，尤其是基本不等式，它能帮助我们解决许多实际问题，让我们做出更明智的决策。
基本不等式，通常表述为对于任意两个正实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
这个看似简单的公式，却蕴含着丰富的应用价值。
先来说说购物中的应用。
假设我们在商场看到同一款式的 T 恤有两种包装，一种是单件装，售价为x 元；另一种是三件装，售价为y 元。
如果我们打算购买 n 件 T 恤，怎样购买更划算呢？这时候基本不等式就能派上用场。
假设单件购买 m 件，三件装购买 k 套（k 为整数），使得 m ＋ 3k＝ n 。
那么总花费 C ＝ mx ＋ ky 。
我们希望总花费最小，考虑到均值不等式，C ／ n ＝（mx ＋ ky)／ n ＝（m ／ n)x ＋（k ／ n)y 。
为了使 C ／ n 最小，我们需要找到合适的 m 和 k 。
通过分析和计算，可以发现当（m ／ n) ＝（k ／ 3n) 时，C ／ n 可能取得最小值。
再比如，在安排工作任务时，基本不等式也能发挥作用。
假设一项工作总量为 A ，有甲、乙两人合作完成。
甲单独完成这项工作需要 a 小时，乙单独完成需要 b 小时。
那么两人合作完成这项工作所需的时间 t ＝ A ／（A ／ a ＋ A ／b) ，化简可得 t ＝ ab ／（a ＋ b) 。
根据基本不等式，t ＝ ab ／（a ＋b) ≤ （a ＋ b) ／ 4 。
这意味着，在分配工作任务时，要考虑到两人的工作效率，合理安排，以达到最快完成工作的目的。
在投资理财方面，基本不等式同样能提供一些思路。
假设我们有一笔资金 P ，可以选择两种投资方式，一种年利率为 r₁，另一种年利率为 r₂。
为了在一定时间内获得最大的收益，我们需要合理分配资金。
设投入第一种投资方式的资金为 x ，投入第二种的为 P x 。
现实生活中与不等式有关的例子
现实生活中与不等式有关的例子标题：现实生活中的不等式应用引言：不等式是数学中一个重要的概念，它在现实生活中也有许多应用。
本文将列举十个现实生活中与不等式有关的例子，通过这些例子展示不等式的应用，帮助读者更好地理解和应用不等式。
1. 购物打折：现实生活中，商店经常会进行打折促销活动。
假设某商店对一件商品打折，折扣为x%，原价为p元，则打折后的价格为p - p * (x/100)元。
为了计算打折后的价格是否低于某个预算b元，可以建立不等式 p - p * (x/100) ≤ b。
2. 体重控制：健康的体重范围是一个重要的健康指标。
假设某人的身高为h米，体重为w千克。
根据身体质量指数（BMI）计算公式，可以得到一个不等式，例如：w/h^2 ≤ 25，表示体重不超过25千克/平方米，以保持健康的体重范围。
3. 电费计算：电费计算通常与电的使用量有关。
假设某家庭一个月的电费为c元，电费计算公式为c = a * r * t，其中a为电价（元/千瓦时），r为电表读数（千瓦时），t为使用时间（小时）。
为了控制电费开支，可以建立不等式c ≤ b，其中b为所能接受的最高电费。
4. 班级成绩排名：在学校中，班级成绩排名是一个常见的事情。
假设班级有n个学生，每个学生的总成绩为s，成绩排名不等式可以表示为s1 > s2 > s3 > ... > sn，其中s1为最高成绩，sn为最低成绩。
5. 药物剂量控制：在医学领域中，药物的剂量控制非常重要。
假设某种药物的标准剂量为d毫克，患者的体重为w千克。
为了确保患者的安全，可以建立不等式d ≤ k * w，其中k为药物剂量与体重的比例系数。
6. 速度限制：在道路交通中，速度限制是确保安全驾驶的重要规定。
假设某条道路的限速为v千米/小时，驾驶车辆的速度为s千米/小时，为了遵守限速规定，可以建立不等式s ≤ v。
7. 借贷能力评估：银行在进行贷款审批时，通常会评估借款人的借贷能力。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
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11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
均值不等式在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中的应用在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决．这节主要介绍均值不等式在以上三个方面中的应用．例1 利用已有足够长的一面围墙和100米的篱笆围成一个矩形场地，问如何围才能使围成的场地面积最大？解 设围墙的邻边长为x 米，则围墙对边长为(1002)x -米，那么所围场地面积为(1002)S x x =⋅-12(1002)2x x =⋅- 2121002()125022x x +-≤=， 当且仅当21002x x =-，即25x =米时，围成的面积最大，最大值为1250平方米．机械制造业是各行业技术装备的主要提供者，为其它行业的发展提供必不可少的基础条件，市场需要工厂生产不同规格的零件去满足不同的需求，如果要利用同样的材料制造不同特点的产品，那么此时会用到均值不等式．例2 用一块钢锭铸造一个厚度均匀，且全面积为2的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h 米，盖子的边长为a 米，容器的容积为V ，问当a 为何值时，V 最大，并求最大值．解 因为底面积为2a，四个侧面积均为12242S a =+=，整理得a =(0)h <，而容积213V ha =21131h h =⋅+1113h h=⋅+， 由均值不等式，得11163()V h h =≤=+，当且仅当1h h=时，取等号，即1h =，2a =时，容器的容积最大，其最大值为16立方米． 近年来广告业一场突起，可以说为企业的生存和发展劈荆斩棘，在一定条件下，销售量是广告费的增函数，但销售应有极限，盲目加大投入，企业必将亏损，所以企业在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理．例3 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式为311x Q x +=+ (0)x ≥，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业年利润最大？解 设企业年利润为W 万元，由已知条件，知年成本为(323)Q +万元，年收入为(323)150%50%Q x +-万元，则年利润(323)150%50%(323)W Q x Q =+--+，整理得298352(1)x x W x -++=+ (0)x ≥． 由于2(1)100(1)642(1)x x W x -+++-=+13250()21x x +=-++5042≤-=， 因此当且仅当13221x x +=+，即7x =时，W 有最大值，最大值为42万元．。
均值不等式推广的应用举例
均值不等式推广的应用举例以均值不等式推广的应用举例：1. 优化生产过程：假设某公司有多个工厂，每个工厂的产量不同。
为了提高整体产量，可以将生产任务分配给产量较低的工厂，以提高整体平均产量。
2. 管理团队的绩效评估：假设一个公司有多个部门，每个部门的绩效不同。
为了提高整体绩效，可以将资源和项目分配给绩效较低的部门，以提高整体平均绩效。
3. 资源分配：假设一个国家有多个地区，每个地区的发展水平不同。
为了促进整体发展，可以将资源和投资分配给相对较落后的地区，以提高整体平均水平。
4. 教育资源的分配：假设一个城市有多所学校，每所学校的教育质量不同。
为了提高整体教育水平，可以将更多的教育资源分配给教育质量较差的学校，以提高整体平均水平。
5. 投资组合优化：在投资组合中，不同的资产具有不同的收益和风险水平。
为了降低整体风险，可以将资金分配给风险较低的资产，以提高整体平均风险水平。
6. 健康管理：假设一个社区中有多个家庭，每个家庭的健康状况不同。
为了改善整体健康水平，可以将医疗资源和健康服务优先提供给健康状况较差的家庭，以提高整体平均健康水平。
7. 环境保护：假设一个地区有多个工业企业，每个企业的环境影响不同。
为了改善整体环境质量，可以加强对环境影响较大的企业的监管和管理，以提高整体平均环境质量。
8. 城市规划：在城市规划中，不同的地区具有不同的功能和发展潜力。
为了实现整体均衡发展，可以将资源和投资分配给发展潜力较大的地区，以提高整体平均发展水平。
9. 食品安全：假设一个国家有多个农田，每个农田的农产品质量不同。
为了保障整体食品安全，可以加强对农产品质量较低的农田的监管和管理，以提高整体平均食品质量。
10. 社会福利分配：假设一个社会有多个群体，每个群体的福利水平不同。
为了实现整体社会公平，可以将福利资源分配给福利水平较低的群体，以提高整体平均福利水平。
以上是以均值不等式推广的应用举例，通过合理的资源分配和管理，可以提高整体水平，实现更好的平衡和发展。
均值不等式的正确使用及例题
均值不等式的正确使用及例题利用不等式求最值，要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件，初学不等式时容易用错，现通过比较来说明均值不等式的正确使用。
（一）均值不等式有许多变形式子，使用哪一个不等式要选准 均值不等式是指),(2+∈≥+R b a ab b a ，它的变形式子有2)2(b a ab +≤，222b a ab +≤，≤+2)(b a)(222b a +等。
由此可知，在求ab 的最大值时至少有两个不等式可供选择，那么选择哪一个更好呢？通过比较发现，若已知b a +是定值，求ab 的最大值可使用第一个不等式；若已知22b a +是定值，求ab 的最大值可用第二个不等式，若求b a +的最大值可用第三个不等式。
（二）使用均值不等式求最值，定值是前提例1. 已知正数a 、b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值。
（三）连续使用不等式（连续放缩）求最值，等号必须同时成立例2. 已知0>>b a ，求)(42b a b a -+的最小值。
二. 均值不等式的应用（一）用于比较大小例1.若b a >1>，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +⋅=，2lg b a R +=，则（ ） A ．P R <Q <B. Q P <R <C. P Q <R <D. R P <Q < 例2.若)0(21>++=a aa p ，≤-=1(arccos t q )1≤t 则下列不等式恒成立的是（ ） A. q p >≥π B. 0≥>q p C. q p ≥>4 D. 0>≥q p（二）用于求取值范围例3. 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 。
（三）用于证明不等式例4. 已知i 、m 、n 是正整数，且<1n m i <≤，求证：.)1()1(m n n m +>+三. 均值不等式中等号不成立时最值的求法利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”。
均值不等式在生活中的应用
均值不等式在生活中的应用河南省三门峡市卢氏一高（4772200）赵建文E-mail:zhaojw1968@均值不等式是高中数学中的重要不等式，是解决最值问题的重要手段，是高考考查的重点和热点，本文将均值定理在实际生活的应用作以简单介绍供同学们学习时参考.例 1某工厂内有一段长为14m,高为3m 的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为1262m 的仓库.建1m 新墙的费用为a 元；修1m 旧墙的费用为4a 元；拆去1m 旧墙用所得材料建1m 新墙的费用为2a 元.请你设计一个方案使建筑总费用最低. 分析：设矩形利用旧墙一边的长为x m ，分14x <和14x ≥两种情况讨论处理.解析：设矩形利用旧墙一边的长为x m ，则矩形的另一边长为126xm. （1）当14x <时，则修旧墙的费用为4a x ∙，拆旧墙建新墙的费用为(14)2a x -，建新墙的费用为252(214)x a x+-， 故总费用为y =(14)252(214)42a x a x a x x -+++-=367(1)(014)4x a x x+-<< ∵014x <<，∴04x >，360x >，由均值不等式有：364x x +≥当且仅当364x x=即12(0,14)x =∈时，取等号，即当x =12时，min y =7(61)a -=35a . (2)当14x ≥时，则修旧墙的费用为144a ∙=72a ，建新墙的费用为256(214)x a x+-， 故总费用为y =7252(214)2a a x x ++-=71262(7)(14)2a a x x x++-≥. 设()f x =126(14)x x x +≥， 任意1x ，2x [14,)∈+∞，且12x x <，∴120x x -<，12196x x >则12()()f x f x -=1212126126()x x x x +-+=211212126()x x x x x x --+ =121212()(126)x x x x x x --<0 ∴12()()f x f x <，根据函数单调性的定义知，()f x =126(14)x x x +≥在[14,)+∞上是增函数，∴当14x =时，min y =71262(147)214a a ++-=35.5a 比较（1）（2）可知当利用旧墙12m 为矩形的一条边长时，建筑费用最低.点评：本题是利用均值不等式及其变型形式求实际问题的最值问题，先要认真审题，领悟问题的实际背景，确定题中量与量间的关系，初步形成用那类模型解决问题的思路，明确解题方向，其次，根据题意找出量与量的不等关系，建立函数模型；第三，利用均值不等式求最值，应注意均值不等式成立的三个条件：（1）各项或各因式都为正；（2）和为常数或积为常数；（3）可以取等号，当且仅当三个条件同时满足时和为常数时积有最大值；积为常数时和有最小值，若有一个条件不满足，则不能用均值不等求最值,如本题的第二部分因不能取等号故不能均值不等式；第四步，用数学解对实际问题做出回答.对不满足“一正二定三相等”的最值问题，可以通过分类讨论，配凑等手段变形成满足“一正二定三相等”的最值问题，在用均值不等式求解.跟踪练习：1.某厂某三年的产值中，第二年比第一年增长%p ,第三年比第二年增长%q ，设两年的平均长率为%s ,则s 与2p q +大小为（ ）. A. 2p q s +> B.2p q s +≥ C. 2p q s +< D. 2p q s +≤ 2.用钢条制做一个高为1m 体积为43m 长方体型的容器的框架，则最少需要钢条（ ）m.A.20B.48C.5D.363.作一个面积为1平方米，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的的钢管供选择，其中最为合理（够用且最省料）的是（ ）.A.4.7米B.4.8米C.4.9米D.5米4.要用钢筋做一个面积为s 平方米的扇形广告框架，则最少需要使用钢筋 米.5.用长为24米的钢丝制做一个底面是正方形的长方体形的框架，要使长方体形的框架的体积最大，则底面矩形的边长为 米.6.一份印刷品，要求排版面积（矩形）为432平方厘米。
均值不等式及其应用
和一定, 积有最大值。
某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之 间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的 2 x 关系可近似地表示为
y
求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？
10
30x 4000
解：设每吨平均成本为 y（万元），则
y x 4000 x 4000 30 2 30 10 10 x x 10 x
6
1 max= 12
1、已知：0＜x
1 8
解： ∵0＜x≤1 ∴1-3x＞0
，求函数y=x（1-3x）的最大值
1 3x 1 3x 2 1 1 ) 12 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( 3 3 2
8
ymax
1 12 如此解答行吗？
1 2、若x<0，求 f ( x) x x 的值域。
1 例2、求 f ( x) x 的值域。 x 解: 定义域为 {x | x 0}
1 1 x 0时，f ( x) x 2 x 2 x x 1 当且仅当x ,即 x 1时,取“=”号
利用奇函数的性质求x<0时的值域
x
x 0 时，有 x 0 1 1 1 ( x ) 2 ( x) ( ) f ( x) x x x x 1
思考题:某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面 图是由两个相同的矩形ＡＢＣＤ和ＥＦＧＨ构成的面积为 ２００m2的十字型地域（如图）计划在正方形ＭＮＰＱ上建一座 花坛，造价为４２００元／m2，在４个相同的矩形上（阴影部分） 铺花岗岩地坪，造价为２１０元／m2，再在４个空角上铺草坪， 造价为８０元／m2， H G （１）设总造价为Ｓ元，ＡＤ长为X， 试建立Ｓ关于X的函数关系式； C （２）当X为何值时Ｓ最小，并求 D 出这个最小值。 Q P
均值不等式公式总结及应用
均值不等式应用1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”）若0x≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数地积为定植时，可以求它们地和地最小值，当两个正数地和为定植时，可以求它们地积地最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．b5E2R 。
(2)求最值地条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量地取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛地应用』应用一：求最值例1：求下列函数地值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x<，求函数14245y x x =-+-地最大值.解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.评注：本题需要调整项地符号，又要配凑项地系数，使其积为定值.技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-地最大值.解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积地形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-地最大值为8.评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值. 变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=地最大值. 解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+地值域. 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）地项，再将其分离.当,即时,59y ≥=（当且仅当x ＝1时取“＝”号）. 技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值.22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t=时,59y ≥=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）.评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值.即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负地形式，然后运用均值不等式来求最值.例：求函数2y =地值域.(2)t t =≥，则2y 1(2)t t t ==+≥因10,1tt t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性.因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数地值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 练习．求下列函数地最小值，并求取得最小值时，x 地值.（1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+ba ，则b a 33+地最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小地过程，而且b a33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：b a33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a当b a33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+地最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y+地最小值.并求x,y 地值技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号地条件地一致性，否则就会出错.. 2：已知0,0x y>>，且191x y+=，求x y +地最小值.错解．．：0,0x y >>，且191xy +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += .错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥x y =，在19x y +≥19x y=即9y x =,取等号地条件地不一致，产生错误.因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题地必要步骤，而且是检验转换是否有误地一种方法.正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+地最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb xa ，求y x +地最小值技巧七已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 地最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22.同时还应化简1＋y 2 中y 2前面地系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x2·1＋y 22＝2 x ·12＋y 22下面将x ，12＋y 22分别看成两个因式：x ·12＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22)22＝x 2＋y 22 ＋122＝34即x1＋y 2 ＝ 2 ·x12＋y 22≤342技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab地最小值.分析：这是一个二元函数地最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行地；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和地形式，又有积地形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式地途径进行.法一：a ＝30－2bb ＋1 ， ab ＝30－2bb ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1 由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ab ≤18 ∴y ≥118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,地应用、不等式地解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 地范围，关键是寻找到ab b a 与+之间地关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 地不等式，进而解得ab 地范围.变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 地最小值.2.若直角三角形周长为1，求它地面积最大值.技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 地最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间地不等关系，a ＋b2≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5 解法二：条件与结论均为和地形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积地形式，再向“和为定值”条件靠拢.W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5变式:求函数15()22y x <<地最大值.解析：注意到21x -与52x -地和为定值.2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x=时取等号.故max y =. 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件.总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式.应用二：利用均值不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等地实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2221）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥可由此变形入手.解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=.∴111a b c a a a -+-==≥.同理11b -≥，11c -≥.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111221118ac ab a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当13a b c ===时取等号. 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y>>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立地实数m 地取值范围.解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky∴++= 10312k k∴-≥⋅ .16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中地应用： 例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a+=+=⋅=>>，则R Q P ,,地大小关系是. 分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lgQ ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg(∴R>Q>P .版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.HbmVN 。
毕业论文-浅谈均值不等式在生活中的应用价值.doc
浅谈均值不等式在生活中的应用价值[摘 要] 均值不等式是数学中一个重要的不等式，它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用.而且形式众多，主要体现在度量方面、造价销售方面、决策判断方面、足球射门等方面，只要我们善于思考，必将发现均值不等式在生活中有更多更广的应用价值.[关键词] 均值不等式 平均数 最值 生活 应用一、引言均值不等式是数学中一个重要的不等式.它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用.可以说，均值不等式的发现、验证和应用也是数学文化的精髓所在.这对于我们来说是一项巨大的财富.但是我们要注意，求解最值时请一定要注意相等的条件，若多次利用均值不等式求解最值，则必须注意这些不等式等号成立的条件是否一致，只有在一致的条件下才有可能达到最值.二、均值不等式的有关概念与结论（一）几种平均数的概念这几种平均数在高中的课程中就已经有介绍了，分别为算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数.，它们的定义如下：定义一：若n a a a ,,,21 均为正数，我们就称na a a n +++ 21为n a a a ,,,21 的算术平均数. 定义二： 若n a a a ,,,21 均为正数，我们就称n a a a 21为n a a a ,,,21 的几何平均数.定义三：若n a a a ,,,21 均为正数，我们就称n a a a n 11121+++ 为n a a a ,,,21 的调和平均数.定义四:若n a a a ,,,21 均为正数，我们就称na a a n 22221+++ 为n a a a ,,,21 的平方平均数. (二)均值不等式的重要结论均值不等式是不等式中比较重要的一类不等式，也是应用比较广的一类不等式，下面将给出一般的结论和常用的结论，以及均值不等式在求最值时实用的定理.均值不等式在数学中不同的地方有不同的具体形式，但是万变不离其宗，它们都是有规律可循的.对于上述四种平均数：算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数的大小比较，我们有一般的结论：),,,(1112122221212121+∈+++≤+++≤≤+++R a a a n a a a n a a a a a a a a a n n n n nn n , 当且仅当n a a a === 21时，不等式取“=”号，这几个数依次为调和平均数、几何平均数、算数平均数、平方平均数.在实际解题中，2=n 和3=n 两种情况是最常见的，特阐述如下：当2=n 时，我们可以得到一个一般的二元均值不等式 ),(22112212221212121+∈+≤+≤≤+R a a a a a a a a a a ， 通常写作 ),(2211222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab b a . 但是通常我们用的最多的是上述的变式，如)1(),(222R b a ab b a ∈≥+；)2(2)2(222b a b a ab +≤+≤. 特别地，当且仅当b a =时，上述的“=”才成立.当3=n 时，我们可以得到一个一般的三元均值不等式：),,(3311132223+∈++≤++≤≤++R c b a c b a c b a abc c b a ，同二元均值不等式一样，也有变式如下：)1(),,(3333+∈≥++R c b a abc c b a ；)2(),,(33+∈≥++R c b a abc c b a ；)3(),,()3(3+∈++≤R c b a c b a abc . 特别地，当且仅当c b a ==时，上述的“=”才成立.有上述的一般结论和变式可以推得：当两个正数的和一定时，其其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值，我们称其为最值定理.三、利用均值不等式解决应用性问题生活中经常遇到这样的问题，如为资源不能合理利用而发愁，因为不能做出合理的决策而伤脑筋等等问题，只要我们善于发现，这些问题就可以被均值不等式所征服.生活中有很多这样的问题都可以用均值不等式来解决，主要体现在度量方面、造价销售方面、决策判断方面、足球射门方面，比如怎么合理地使用已知的材料去获得最大的需求，或者给出已知的要求怎么安排才能让使用材料最少，主要有关于度量、造价和销售方面的问题.（一）应用均值不等式解决度量类问题随着地球上人口越来越多，诸多的徒弟问题也接踵而来，如住房问题、资源问题等，怎样省钱，怎样合理的利用资源是当今要解决的问题。
均值不等式应用及例题解析(PPT教案)
a/4 (x=a/8)
练习3
练习4 :已知2a b 2 求f ( x) 4a 2b的最值及此时的 a和b.
最小值 4 ，当2a=b时 有最小值(a=1/2 b=1)
三不等，改用“单调性”
例11.求函数 y
x2 5 x 4
2
的最小值. 5/2(x=0)
变形:
1 利用对勾函数 y t t
(t>0)的单调性.
练习：（ 1 ）求函数y （2）求函数y
2
x 5
2
x 1
2
的最小值；
sin x 5
2
sin x 1 1 1 （3）求函数y x 在 ， 3上的值域。 x 2
的最小值；
例 1２: 用三元均值不等式求最值
构造三 解: 1 x 0, 个数相 1 2 y x (1 x) x x (2 2 x) 加等于 2 定值.
注意:各项必须为正数
一 不 正 , 常 用 a b 2 a b ( a 0, b 0 )
二边乘-1不等式要变号
2x x 3 例8、（ 1 ）已知函数f（x） （x 0) x 求f ( x)的最大值，以及此时 x的值。
2
解：函数看不出二项相乘为定值，需要变形使它二项相乘为定值 （凑积定）
（拆项时常拆成两个相同项）。
五、错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错， 指出有错误的地方。 1 1 1. 已 知 a， b R ， 且 a 2 b 1， 求 的 最 小 值 . a b
1 1 1 1 解法二：由a 2b 1及a、b R , ( a 2b)( ) a b a b 1 1 1 2 2ab 2 , 的最小值为 4 2 . 因为二不定 ab a b
均值不等式在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中的应用在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决．这节主要介绍均值不等式在以上三个方面中的应用．例1 利用已有足够长的一面围墙和100米的篱笆围成一个矩形场地，问如何围才能使围成的场地面积最大？解 设围墙的邻边长为x 米，则围墙对边长为(1002)x -米，那么所围场地面积为(1002)S x x =⋅-12(1002)2x x =⋅- 2121002()125022x x +-≤=， 当且仅当21002x x =-，即25x =米时，围成的面积最大，最大值为1250平方米．机械制造业是各行业技术装备的主要提供者，为其它行业的发展提供必不可少的基础条件，市场需要工厂生产不同规格的零件去满足不同的需求，如果要利用同样的材料制造不同特点的产品，那么此时会用到均值不等式．例2 用一块钢锭铸造一个厚度均匀，且全面积为2的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h 米，盖子的边长为a 米，容器的容积为V ，问当a 为何值时，V 最大，并求最大值．解 因为底面积为2a，四个侧面积均为12242S a =+=，整理得a =(0)h <，而容积213V ha =21131h h =⋅+1113h h=⋅+， 由均值不等式，得11163()V h h =≤=+，当且仅当1h h=时，取等号，即1h =，2a =时，容器的容积最大，其最大值为16立方米． 近年来广告业一场突起，可以说为企业的生存和发展劈荆斩棘，在一定条件下，销售量是广告费的增函数，但销售应有极限，盲目加大投入，企业必将亏损，所以企业在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理．例3 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式为311x Q x +=+ (0)x ≥，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业年利润最大？解 设企业年利润为W 万元，由已知条件，知年成本为(323)Q +万元，年收入为(323)150%50%Q x +-万元，则年利润(323)150%50%(323)W Q x Q =+--+，整理得298352(1)x x W x -++=+ (0)x ≥． 由于2(1)100(1)642(1)x x W x -+++-=+13250()21x x +=-++5042≤-=， 因此当且仅当13221x x +=+，即7x =时，W 有最大值，最大值为42万元．。
均值不等式在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中的应用
均值不等式是一种数学定理，它是一种统计学中用来计算、衡量和分析数据的有用工具。
它主要用于描述数据之间的变化和相关性，从而有助于我们更好地理解数据。
因此，均值不等式在实际生活中也有多种应用。
例如，在投资业务中，投资人可以利用均值不等式来估算投资风险。
他们可以计算投资项
目的收益率，然后用均值不等式分析投资的可能收益情况，从而决定投资的安全性和可行性。
均值不等式还可以用于消费者心理分析。
研究发现，不同消费者对价格和服务质量之间的
平衡程度不尽相同，但通常会采用“更好的价格，更好的服务”的原则。
在此基础上，市场营销专家可以利用均值不等式对消费者的满意程度作出估计，从而帮助商家更好地把握顾客的需求，以便更好地进行营销活动。
另外，均值不等式还可用于保险行业。
投保人在采用保险前，必须先仔细评估投保风险，
以确定最佳的投保方案。
保险行业专家可以使用均值不等式来计算投保人支付保险费用和最终获得赔偿金额之间的关系，从而帮助投保人做出投保决定。
此外，均值不等式还可以用于贷款业务。
银行和金融机构在发放贷款时，有时需要考虑贷款利息与本金之间的关系，以确定最优的贷款金额。
这时，就可以使用均值不等式来计算贷款利息，从而为贷款发放者提供有用的参考。
总之，均值不等式在实际生活中有着广泛的应用。
它可以帮助我们分析数据，估算投资风险，理解消费者心理，进行保险行业分析，以及计算贷款利息等。
均值不等式应用及例题解析 PPT教案 教案课程共65页
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
均值不等式应用及例题解析 PPT教案 教 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 案课程
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
Байду номын сангаас
均值不等式内容
均值不等式内容
1. 嘿，你知道吗？均值不等式可厉害啦！就像分苹果一样，要让每个人拿到的都差不多才公平呀！比如几个小朋友分一堆糖果，用均值不等式就能知道怎么分最合理啦。
2. 哇哦，均值不等式真的超级有用呢！好比说我们比赛跑步，计算平均速度的时候就能用到它呀！想想看是不是这样？
3. 哎呀呀，均值不等式可太有意思了！跟我们排队买东西一样，如果大家都排得差不多整齐，那效率就高啦，这就是均值不等式在发挥作用呀！你觉得是不是很神奇？
4. 嘿，均值不等式就像是一把神奇的钥匙！比如说我们平分一块蛋糕，怎么切能让大家都觉得差不多呢，均值不等式就来帮忙啦！
5. 哇，均值不等式简直是个宝啊！比如我们计算几个同学的考试平均分，它就能大显身手啦，这难道不让人惊叹吗？
6. 哎呀，均值不等式真的超厉害的好不好！就好像我们分配任务，怎么让每个人的工作量都比较均衡呢，这时候就得靠它啦！
7. 嘿哟，均值不等式可太重要了！好比给几个班级分配资源，用它就能让分配更合理呀，这很了不起吧！
8. 哇塞，均值不等式真的是无处不在呢！比如我们统计家庭的各项开支，它能让我们清楚怎么花钱更合理呀，厉害吧！
我的观点结论：均值不等式在生活中真的有好多好多的应用呀，能帮我们解决好多问题呢，真的特别特别有用！。
均值不等式应用及例题解析 PPT教案 教案课程PPT65页
均值不等、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克