反函数定义

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反函数-高中数学知识点讲解

反函数-高中数学知识点讲解

反函数
1.反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把x 表示出,得到x
=g(y).若对于y 在中的任何一个值,通过x=g(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么,x=g(y)就表
示y 是自变量,x 是因变量是y 的函数,这样的函数y=g(x)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记
作y=f(﹣1)(x)反函数y=f(﹣1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
【性质】
反函数其实就是y=f(x)中,x 和y 互换了角色
(1)函数f(x)与他的反函数f﹣1(x)图象关于直线y=x 对称;函数及其反函数的图形关于直线y=x 对称
(2)函数存在反函数的重要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(4)大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x),定义域是{0} 且f(x)=C (其中C 是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0} ).奇函数不一定存在反函数,被与y 轴垂直的直线
截时能过 2 个及以上点即没有反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.
(5)一切隐函数具有反函数;
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】;
(8)反函数是相互的且具有唯一性;
(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反);
(10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2)).
1/ 1。

反函数与原函数复合

反函数与原函数复合

反函数与原函数复合反函数与原函数复合是微积分中重要的概念,它关注的是函数之间的关系及其实际应用。

在实际应用中,反函数与原函数复合可以帮助我们解决许多问题,例如求函数的导数、确定函数的增减性和最值等。

本文将详细介绍反函数与原函数复合的概念,并给出一些实际的例子,以帮助读者更好地理解。

一、反函数的定义及其性质1、反函数的定义函数的反函数是指在指定的定义域和值域内,将函数的自变量和因变量交换得到的新函数。

如果函数f的定义域为D,值域为R,那么它的反函数表示为f^-1(x),其定义域为R,值域为D。

2、反函数的性质(1)反函数是双射函数一个函数如果既是单射函数,又是满射函数,则称之为双射函数。

在反函数的情况下,原函数必须是双射函数,才能构成一个函数对。

反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域相反,一一对应,这就保证了反函数也是双射函数。

(2)反函数的图像关于y=x对称在一张坐标图上,函数f的图像随着自变量x的变化而变化。

如果我们将自变量和因变量交换,则现在的图像是函数f^-1的图像。

通过比较图像,我们可以发现它们是对称的,即反函数的图像关于y=x对称。

(3)反函数的定义域和值域在原函数的定义域和值域内,反函数映射每一个值和只有一个值。

反函数的定义域和值域必须是满足这种关系的。

在双射函数的情况下,反函数的定义域和值域与原函数的定义域和值域相反。

二、原函数与反函数的复合1、原函数与反函数的复合在函数的定义域内,原函数与反函数可以互相转换。

这种互相转换可以表示为函数复合,即如果f是一个函数,f^-1是它的反函数,则f(f^-1(x))=x,f^-1(f(x))=x。

在函数复合的情况下,我们可以记住以下等式:(1)f(f^-1(x))=x (2)f^-1(f(x))=x这个等式的意义在于,对于原函数和反函数,它们是相互逆转的。

通过这个等式,我们可以得到原函数和反函数的复合性质。

(3)原函数与反函数的导数在原函数和反函数的复合中,它们的导数有很重要的意义。

反函数课件ppt

反函数课件ppt

05
CATALOGUE
反函数与对数函数、指数函数 的关系
反函数与对数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数 。
对数函数和指数函数互为反 函数,它们的图像关于直线
y=x对称。
对数函数和指数函数在数学和 工程中有广泛的应用,例如在 计算复利、解决方程和解决优
化问题等方面。
反函数与指数函数的关系
1
指数函数的反函数是指数函数的倒数,即对数函 数。
公式法
总结词
利用反函数的公式求解
详细描述
对于一些常见的函数,如对数函数、 三角函数等,已经有了它们的反函数 的公式。通过使用这些公式,可以快 速找到反函数的值。这种方法适用于 具有标准形式的函数。
04
CATALOGUE
反函数的应用
解方程
求解方程
通过反函数,可以将方程从一种形式转换为另一种形式,从而简 化求解过程。
反函数的几何意义
01
反函数的几何意义是原函数图像 上任意一点关于y=x对称的点的 集合。
02
反函数图像上的任意一点P(a,b), 在原函数图像上存在一个对称点 P'(b,a),即点P和点P'关于直线 y=x对称。
反函数与原函数的图像关系
当原函数图像是单调递增时,反函数 图像也是单调递增;当原函数图像是 单调递减时,反函数图像也是单调递 减。
ABCD
非单调函数的反函数可能不存在
对于非单调函数,可能不存在反函数,或者存在 多个反函数。
离散函数的反函数可能不存在
离散函数可能没有连续的反函数。
02
CATALOGUE
反函数的图像与几何意义
反函数的图像
反函数的图像是原函数图像关于y=x对称的图形。

6反函数的概念

6反函数的概念

反函数的概念一、主要知识点:1.反函数:设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y=f(x)中解出x=F(y),若对y在C中的任一值,通过式子x=F(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,则x=F(y)表示x是自变量y的函数,交换x,y后得y=F(x),记y=f-1(x);定义域、值域分别为原函数的值域、定义域。

2.求反函数的步骤:(1)由y=f(x)得x=f-1(y);(2)交换x,y得y=f-1(x);(3)指出y=f-1(x)的定义域。

3.反函数的性质:(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称; (2)函数存在反函数的充要条件是,函数的x与y是一一对应; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;(4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数),奇函数不一定存在反函数。

关于y轴对称的函数一定没有反函数。

若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。

二、典型例题解析1、反函数的存在性【例1】给出下列几个函数:①;② ;③;④,其中存在反函数的函数序号是 2、已知函数有反函数,且的图象经过点,则下列函数中可能是的反函数的一个函数是( )A. B.C. D.2、求函数的反函数【例2】求函数的反函数。

【例3】求函数f(x)=的反函数。

3、利用反函数的概念求函数值【例4】若f(2x-1)=x+1,则= 。

【例5】已知函数y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=3x-1,设f(x)的反函数是y=g(x),则g(-8)= 。

【例6】已知的图象经过点的反函数为,则的图象必经过点() A、 B、 C、 D、试一试:1、设,则2、若函数f(x)的图像经过(0,1)点,则f(x+2)的反函数的图像恒经过点____________3、已知函数的反函数为,则4、已知函数是奇函数,当时, ,设的反函数是y=g(x),则g(-8)=__5、已知函数的图象过点(1,7),又其反函数的图象经过点(4,0),则的表达式为____________6、若点既在函数的图象上,又在反函数的图象上,试确定和的解析式。

反函数课件

反函数课件

利用微分方程研究反函数的性质
反函数的单调性
通过微分方程,我们可以研究反 函数的单调性。例如,如果一个 函数f(x)是单调递增的,那么它 的反函数g(x)也是单调递增的。
反函数的极值
利用微分方程,我们可以找出反 函数的极值点,并研究这些极值
点的性质。
反函数的曲线形状
通过求解微分方程,我们可以描 绘出反函数的曲线形状,进而研
02
利用对数函数性质,通过原函数 中的x和y互换位置,得到反函数
利用反函数的性质求反函数
原函数和反函数具有 相同的单调性
原函数和反函数具有 相同的值域和定义域
原函数和反函数具有 相同的奇偶性
反函数的应用
03
在解方程中的应用
01
定义域和值域的求解
在求解方程时,通过反函数可以方便地求出定义域和值 域,从而解决方程的求解问题。
最优化问题
利用反函数,可以求解一 些最优化问题,如最小成 本、最大利润等。
在实际问题中的应用
交通流量问题
通过反函数,可以求解交通流量 问题,如最短路径、最少时间等

人口流动问题
利用反函数,可以求解人口流动问 题,如最多人口、最少人口等。
经济问题
通过反函数,可以求解一些经济问 题,如最大利润、最小成本等。
04 反函数与导数的关系
导数与反函数的关系
导数表示函数在某一点的斜率,而反函数则表示函数在某一区间内的单 调性。导数可以用来研究函数的局部性质,而反函数则可以用来研究函 数的整体性质。
导数的存在意味着函数在某一点处具有切线,而反函数的定义域是原函 数的值域,因此反函数在某一点的导数可能不存在。
对于单调函数,其导数和反函数的导数互为相反数。

4.4反函数

4.4反函数

4.4 反函数的概念考点诠释1 反函数的定义:2 互为反函数的两个函数的性质:① 原函数和反函数的图像关于直线y x =对称;② 反函数的定义域为原函数的值域,反函数的值域为原函数的定义域 ③ 若原函数是奇函数则反函数也为奇函数; ④ 原函数与反函数有相同的单调性; ⑤ [()][()]11f f x f f x x --==注意:①“一个函数为单调函数”是“这个函数具有反函数”的充分非必要条件;(单调函数一定有反函数;但是若一个函数有反函数这个函数未必单调,例如,反比例函数)②反函数与原函数的交点不一定在直线y x =上;若反函数与直线y x =有交点,这个点一定在反函数上。

③若函数()y f x =的反函数为()1y f x -=则函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-; 函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-例题精析例1 求下列函数的反函数 (1)[,]503y x =∈-;(2)(,)332232x y x x x +=≥-≠-+ 精辟分析解: (1)[,]252503y x =-∈-,[,],50y ∴∈-且.22259y x =-x ∴=;所以原函数[,]503yx =∈-的反函数为[,]50y x =∈-。

(2)31323246x y x x +==+++,,,324624602x x x x ≥-≠-∴+≥-+≠33462x ∴≤-+或3046x >+,112y y ∴≤->又,.1333333461246422212y y x x x y y y --=+=∴=-=+--- 所以函数(,)332232x y x x x +=≥-≠-+的反函数是(,)3311212x y x x x -=≤->- 方法规律和总结 求一个函数的反函数可以遵循以下步骤:1 求原来函数的值域;2 把()()y f x x D =∈看作关于x 的方程,用y 的解析式表示x ,即()x g x =;2 如果()x g y =中任一个y 对应唯一的x ,那么()(),.1f x g x x A -=∈如果()x g y =中,存在一个y 对应多个x ,那么原函数不存在反函数。

反函数的性质及其应用

反函数的性质及其应用

反函数的性质及其应用反函数的定义一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f-1(x) 。

反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

反函数的性质函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称;函数及其反函数的图形关于直线y=x对称;函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射等。

反函数性质:函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称;函数及其反函数的图形关于直线y=x对称;函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射的。

反函数和原函数之间的关系1、反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域。

2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。

3、原函数若是奇函数,则其反函数为奇函数。

4、若函数是单调函数,则一定有反函数,且反函数的单调性与原函数的一致。

5、原函数与反函数的图像若有交点,则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x 对称出现。

函数是高中数学中的重要内容,反函数又是函数的重要组成部分,为了更好地掌握反函数相关的内容,对反函数的性质作如下归纳。

性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时,如能充分利用这条性质,将对解题有很大帮助。

例1. 函数的反函数是()。

A. B.C. D.解析:这是一个分段函数,对分段函数求反函数要注意分段求解。

由函数解析式可知当时,;时。

由性质1,可知原函数的反函数在时,,则根式前面要有负号,故可排除A、B两项,再比较C、D,易得答案为C。

例2. 若函数为函数的反函数,则的值域为__________。

解析:常规方法是先求出的反函数,再求得的值域为。

大一反函数所有知识点

大一反函数所有知识点

大一反函数所有知识点反函数是函数学习中的重要内容,它在解方程、求极限以及构建数学模型等方面都有广泛的应用。

在大一的学习中,我们需要掌握与反函数相关的一些基本概念和性质。

本文将从以下几个方面进行论述:什么是反函数、如何求反函数、反函数的性质以及反函数在实际问题中的应用。

一、什么是反函数(Inverse Function)在函数学习的过程中,我们已经学习了函数的定义和性质。

通常来说,对于函数f(x)而言,如果对于每一个自变量x的取值,都能唯一确定一个因变量f(x)的值,那么我们就称f(x)为一个函数。

那么,反函数就是对于给定的函数f(x),如果存在一个函数g(y),使得对于任意的y在定义域Dg内,有g(y) = x,那么我们称g(y)为函数f(x)的反函数。

二、如何求反函数1. 判断反函数是否存在对于函数f(x),我们需要首先判断它是否可逆。

常见的条件是:函数f(x)在定义域上是单调递增或者单调递减的,即如果对于任意的x1和x2,有x1 < x2,则f(x1) < f(x2),或者f(x1) > f(x2)。

2. 求反函数的步骤如果函数f(x)可以求反函数,那么我们可以按照以下步骤来求解:(1)设反函数为g(y),则先将f(x)中的自变量x和因变量y进行交换,得到x = f(y)。

(2)然后,我们对x进行求解,得到y = g(x)。

3. 反函数的符号表示在表示反函数时,通常用函数f(x)的小写字母x代表反函数,即y = f^(-1)(x)。

这是为了和函数f(x)的自变量y进行区分。

三、反函数的性质1. 函数与反函数的性质如果函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)存在,那么它们具备以下性质:(1)函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)互为反函数。

(2)函数f(f^(-1)(x)) = x,对于定义域内的任意x成立;函数f^(-1)(f(x)) = x,对于定义域内的任意x成立。

反函数常用知识点总结2页

反函数常用知识点总结2页

反函数常用知识点总结2页反函数常用知识点总结:1.反函数的定义:对于函数f的定义域D和值域R,如果对于任意的x∈D,有f(f^(-1)(x))=x成立,即f^(-1)(f(x))=x成立,则称函数f^(-1)为函数f 的反函数。

2.反函数的唯一性:如果函数f有反函数,则反函数是唯一的。

3.反函数的存在性:函数f有反函数的充分必要条件是,函数f是一对一的和映射的。

4.一对一函数:如果对于定义域D中的不同元素x1≠x2,函数f(x1)≠f(x2),则称函数f是一对一的。

5.映射函数:对于函数f的定义域D中的任意元素x1、x2,如果x1≠x2,则f(x1)≠f(x2)。

如果定义域D中的任意元素都有这个性质,那么函数f是映射函数。

6.判断反函数的方法:可以使用水平线切割法来判断函数是否有反函数。

对于函数y=f(x),在其图象上作一水平线y=k,如果这条水平线与函数y=f(x)的图象有且仅有一个交点,则函数f(x)是一对一的,从而有反函数。

7.反函数的求解:反函数的求解可以通过以下步骤进行:① 将函数y=f(x)表示为x关于y的函数形式;② 交换x和y,并对y求导得到dy/dx,并解y关于x的表达式;③ 将所得表达式表示为y=f^(-1)(x),即得到反函数。

8.反函数的性质:① 若函数f有反函数,则有f^(-1)^(-1)(x)=f(x);②若函数f有反函数,则有f(f^(-1)(x))=x,f^(-1)(f(x))=x成立;③ 若函数f和g均有反函数,则复合函数f(g(x))和g(f(x))分别有反函数g^(-1)(x)和f^(-1)(x)。

9.反函数与求导:如果函数f有反函数,则f'(f^(-1)(x))=(f^(-1))'(x),即反函数和原函数求导的结果互为倒数。

10.反函数的定义域和值域:如果函数f有反函数,则反函数的定义域等于原函数的值域,反函数的值域等于原函数的定义域。

11.反函数与基本初等函数的反函数:① 幂函数的反函数是指数函数;② 指数函数的反函数是对数函数;③ 三角函数的反函数分别是反三角函数。

反函数

反函数

例4 解答下列关于反函数的问题: 3x+2 (1)已知函数 f(x) = x+a 的图像关于直线 y=x 对称, 求实数 a 的值; (2)求函数 y= 1-x 与它的反函数图像的交点坐标.
x 2 -1( 1 ) 的值. 例5 已知 f(x)= , x ∈ R, 求 f 3 1+2x
答案
4.(1)a=-3; (2)( 5-1 , 2 5. f-1( 1 3 )= -1. 5-1 ); (1, 0); (0, 1). 2
一、定义
设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 C. 如果从式子 y=f(x) 解 得 x=(y), 且对于 y 在 C 中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一 确定的值和它对应, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=(y)=f-1(y). x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 C, 值域为 A.
6.已知函数 f(x)=( x-1 )2 (x≥1), f-1(x) 是 f(x) 的反函数, g(x)= x+1 1 + x +2, 求: (1) f-1(x) 的定义域和单调区间; (2) g(x) 的最 f-1(x) 小值. 2 1- x +1+ x (0≤x<1). 解: (2) 由已知 g(x)= + x +2 = 1+ x 1+ x 由均值不等式, 有: g(x) ≥2 2 . 仅当 x=3-2 2 时取等号. ∴当 x=3-2 2 时, g(x) 取得最小值 2 2 .
6.已知函数 f(x)=( x-1 )2 (x≥1), f-1(x) 是 f(x) 的反函数, g(x)= x+1 1 + x +2, 求: (1) f-1(x) 的定义域和单调区间; (2) g(x) 的最 f-1(x) 小值. -1 <1. ∴ 0≤( x-1 )2<1. 解: (1) ∵x≥1, ∴ 0≤ x 即 0≤f(x)<1. x+1 x+1 ∴f(x) 的值域是 [0, 1). 故 f-1(x) 的定义域是 [0, 1). 1+ y x 1 x 1 2 (0≤y<1). 由 y=( x+1) (x≥1)得: x+1 = y , 解得: x= 1- y 1+ x 1 ∴f (x)= (0≤x<1). 1- x 又对任意的 x1, x2[0, 1), 且 x1<x2, 有: x1 < x2 <1. 2 2 ∴ < . ∴ 1- x1 >1- x2 >0, 1- x 1 1- x 2 2 2 ∴ -1+ <-1+ . 即为: f-1(x1)<f-1(x2). 1- x2 1 - x1 ∴ [0, 1) 是 f-1(x) 的单调增区间.

互为反函数的判别方法

互为反函数的判别方法

互为反函数的判别方法函数是数学中的基本概念之一,而反函数则是对函数的一种特殊处理方式。

当一个函数与其反函数互为对方的逆运算时,我们称它们为互为反函数。

在实际应用中,判断两个函数是否互为反函数是非常重要的,本文将介绍互为反函数的判别方法。

一、反函数的定义首先,我们需要了解反函数的概念。

反函数是指对于一个函数f(x),如果存在一个函数g(x),使得g(f(x))=x,且f(g(x))=x,则称g(x)为f(x)的反函数。

反函数的存在条件是:f(x)必须是一一映射函数。

即对于任意的x1,x2∈Df,如果f(x1)=f(x2),则x1=x2。

二、互为反函数的判别方法互为反函数是指两个函数f(x)和g(x)互为对方的逆运算。

如果f(x)和g(x)互为反函数,那么它们满足以下条件:1. f(g(x))=x,g(f(x))=x,即f(x)和g(x)可以相互逆运算。

2. f(x)和g(x)的定义域和值域相互对应,即Df=Rg,Rf=Dg。

3. f(x)和g(x)必须都是一一映射函数。

根据以上三个条件,我们可以得出互为反函数的判别方法:1. 确定函数的定义域和值域。

2. 分别求出函数的反函数。

3. 判断两个反函数是否相等。

如果两个函数的反函数相等,则它们互为反函数。

三、例题解析为了更好地理解互为反函数的判别方法,我们来看一道例题:已知函数f(x)=x+2,g(x)=x-2,判断f(x)和g(x)是否互为反函数。

1. 确定函数的定义域和值域。

由于f(x)和g(x)都是定义在实数集上的函数,所以它们的定义域均为R。

而f(x)和g(x)的值域分别为R+2和R-2。

2. 分别求出函数的反函数。

f(x)的反函数为g(x),即g(x)=x-2。

g(x)的反函数为f(x),即f(x)=x+2。

3. 判断两个反函数是否相等。

由于f(x)的反函数为g(x),g(x)的反函数为f(x),所以f(x)和g(x)互为反函数。

四、总结互为反函数是函数的一个重要特殊情况,判断两个函数是否互为反函数需要满足一定的条件。

反函数

反函数

( x R) ( x R) ( x 0)
( x R且x 1)
1.6 反函数
求反函数的步骤: 1、反解:y=f(x) x f 1 ( y ) 2、互换:x、y互换位置,得y=f -1(x) 3、写定义域:根据原来函数的值域,写出反函数 的定义域.
1.6 反函数
2 例2 求函数 y 1 1 x (1 x 0) 的反函数.
; 杏耀: ;
凤有些不知道该如何面对她の姑姑.但是,她の姑姑毕竟对他们兄妹二人有抚养の恩情,理应去探望.更何况,他们现在还到了绿野郡城地域.壹个多事辰后,两人就到了绿野郡城之外.“名不虚传!”鞠言看着前方整座绿色の城市,赞叹说道.那壹颗颗高耸の参天大树,直入云霄,从外面看,连里 面の建筑都很难看到.呐就难怪,大陆上の修行者,对绿野郡城都那么推崇.进入郡城后,鞠言又忍不住惊叹了壹声.平心而论,呐绿野郡城,恐怕是整个天元大陆上,所有城市之中最美丽の城市了.两人,向着严家宅院走去.而此事,城门处の壹些郡城护卫,却是紧罔の集合起来.“队长你看,简直壹 模壹样!”壹名护卫,手中拿着画像,对守卫队长说.“嗯,确实壹样,很可能就是鞠言大人.”呐名队长点了点头,“你们继续守着城门,俺去郡尪府禀报呐件事!”“是!”众护卫应声.那队长,快步离开,向着郡尪府赶去.绿野郡城,可不是光英郡那样の小郡城能比の.在呐里,在郡尪府府邸之 内,都有拾位殿主の雕像.而郡尪府の护卫,每支护卫队伍,也都有殿主们の画像.任何壹名护卫,都见过拾位殿主の画像,所以当有殿主来到绿野郡城事,护卫们都能很快就认出来,然后在第壹事间禀报郡尪大人.郡尪府内!“你说哪个?”“疑似鞠言殿主大人到了绿野郡城?”绿野郡城の郡尪, 听到护卫队长の禀报,气息顿事微微壹凝,露出惊诧之色.“回郡尪大人,与画像上对比,确实是看不出二者の区别.俺觉得,那人八成都是鞠言大

反函数的定义是什么

反函数的定义是什么

反函数的定义是什么学好数学要依靠理解,“数学理解”应受到数学教育界的普遍关注。

“反函数”是函数知识的重要组成部分,也是函数教学中的重点和难点,反函数的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于反函数的定义,欢迎大家前来阅读!反函数的概念所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置,用原函数的变量表示自变量而形成的函数。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。

函数的定义一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x)。

则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)【反函数的性质】(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;(2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;(4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数),奇函数不一定存在反函数。

若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。

(5)一切隐函数具有反函数;(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。

(8)反函数是相互的(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)(10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5y=2^x的反函数是y=log2 x例题:求函数3x-2的反函数解:y=3x-2的定义域为R,值域为R.由y=3x-2解得x=1/3(y+2)将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是y=1/3(x+2)反函数的基本性质一般地,设函数y=f(x)(x&isin;A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x= (y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x= (y)(y&isin;C)叫做函数y=f(x)(x&isin;A)的反函数,记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.说明:⑴在函数x=f^-1(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f^-1(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x),那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.⑶从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域(如下表):函数y=f(x)反函数y=f^-1(x)定义域A C值域C A⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为:若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f^-1(x)=x/2-3.有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=X+1/X,需将X分类讨论:在X大于0时的情况,X小于0的情况,多是要注意的。

反函数

反函数

反函数[重点难点]概念的把握,求反函数1.反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A,值域是C.我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),习惯表示为y=f-1(x).注意:函数y=f(x)的定义域和值域,分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域,例如:f(x)=的定义域是[-1,+∞],值域是[0,+∞),它的反函数f-1(x)=x2-1, x≥0,定义域为[0,+∞),值域是[-1,+∞)。

2.反函数存在的条件按照函数定义,y=f(x)定义域中的每一个元素x,都唯一地对应着值域中的元素y,如果值域中的每一个元素y 也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应,即定义域中的元素x和值域中的元素y,通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系,那么函数y=f(x)存在反函数,否则不存在反函数.例如:函数y=x2,x∈R,定义域中的元素±1,都对应着值域中的同一个元素1,所以,没有反函数.而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应,因而存在反函数.3.函数与反函数图象间的关系函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称.若点(a,b)在y=f(x)的图象上,那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上.4.反函数的几个简单命题(1)一个奇函数y=f(x)如果存在反函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数.(2)一个函数在某一区间是(减)函数,并且存在反函数,那么它的反函数在相应区间也是增(减)函数.典型题目题目一:(1999年全国高考试题)已知映射f:A→B,其中,集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A 中元素在映射f下的象,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是{a},则集合B中元素的个数是().A、4B、5C、6D、7分析:根据映射的基本概念:“映射允许集合A中的不同元素在集合B中有相同的象.”来解题.解:已知映射f: A→B,在集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}中共有7个元素,其中两个不同元素-3, 3对应B中相同的象|±3|=3,-2,2对应B中相同的象|±2|=2,-1,1对应B中相同的象|±1|=1,4对应B中的象|4|=4.故本题应选择(A).评述:(1)映射是两个集合A与B之间的一种特殊反应,它的特点是对于集合A中任一元素,集合B中都有唯一元素和它对应;集合A中不同的元素在B中可以有不同的象,也可以有相同的象;集合B中的元素可以有原象,也可以没有原象.(2)映射具有方向性,即从A到B的映射与从B到A的映射一般是不同的映射.题目二:函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象() .A、关于直线y=x对称B、关于直线y=x+1对称C、关于直线y=x-1对称D、关于直线y=-x对称解答:y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得,∵y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,y=x向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.题目三:定义在R上的函数y=f(x)有反函数,则函数y=f(x+a)+b的图象与y=f-1(x+a)+b的图象间的关系是().A、关于直线y=x+a+b对称B、关于直线x=y+a+b对称C、关于直线y=x+a-b对称D、关于直线x=y+a-b对称解答:将y=x向左平移a个单位,向上平移b个单位得y=x+a+b,故选A.题目四:求下列函数的反函数:(1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2];(2)y=.解:(1)∵y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2],∴-2≤y≤1且(x+1)2=y+3.∴x+1=-, y=-1-,∴所求反函数y=-1--2≤x≤1.(2)若x≤0,则y=x2≥0, x=-.若x>0, 则y=-x-1<-1, x=-y-1.∴所求反函数y=.评注:求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是(1)确定原函数的值域,也就是反函数的定义域.(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).(3)将x、y交换位置得y=f-1(x).(4)求分段函数的反函数,应分别求出各段的反函数,它们联合在一起构成原函数的反函数.题目五:已知点(1,2)既在y=的图象上,又在它反函数的图象上,求a,b.解:∵点(1,2)在y=上,∴2= (1)∵点(1,2)在y=的反函数的图象上,∴点(2,1)在y=上,∴1=...........(2)由(1),(2)得a=-3, b=7.评议:本题目巧妙的运用了:若点(a,b)在y=f(x)的图象上,那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上.题目六:若函数f(x)的图象过(0,1)点,则f-1(x+4)的图象必过点___________.分析:∵f(x)的图象过(0,1)点,∴f-1(x)的图象过(1,0)点,而f-1(x+4)的图象是把y=f-1(x)的图象向左平移4个单位而得到的,故f-1(x+4)的图象过(-3,0)点.题目七:设y=f(x)=, y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于y=x对称,求g(3)的值.解:由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.∴x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-1(x+1)的反函数,即它们关于y=x对称.所以g(x)=f(x)-1,∴g(3)=f(3)-1=-1=.分析:还可以先求出f-1(x),然后求f-1(x+4),然后求出f-1(x+4)的反函数就是y=g(x)的表达式子.评注:灵活应用反函数的定义,显得轻盈活泼.题目八:设y=f(x)是单调函数,求证:f(x)的反函数y=f-1(x)是单调函数,且其增减性与f(x)增减性一致.证明:以y=f(x)为增函数时情况加以证明,用反证法.设x1<x2, y1=f-1(x1), y2=f-1(x2), 证明y1<y2.反之若y1≥y2, 由于f(x)是增函数,∴f(y1)≥f(y2), 而f(y1)=x1, f(y2)=x2,∴x1≥x2与x1<x2矛盾,∴y1<y2, 即f-1(x)为增函数.当y=f(x)是减函数时,同理可证.题目九:函数y=f(x)=(1+)2-2(x≥-2), 求方程f(x)=f-1(x)的解集.分析:若先求出反函数f-1(x)=2-2(x≥-2),再求它的解集,这时由题设有2-2=(1+)2-2. 整理得四次方程,求解有困难,但我们可利用y=f(x)与y=f-1(x)的图象关系求解.首先画出y=f(x)=(1+)2-2的图象,如图所示.因为互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x对称的,故立即可画出y=f-1(x)的图象,由图可见两图象恰有两个交点,且交点在y=x上,因此可由方程组:解得x=2或-2, 从而得方程f(x)=f-1(x)的解集为{-2,2}.三、求反函数的一般步骤1.求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域,这定义域在结论中是必须指出的.2.在原函数的解析式中反求x,写成x=g(y).3.x, y互换,即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量.4.下结论(注意给出反函数定义域)四、例题.例1.已知f(x)=(0≤x≤4), 求f(x)的反函数.分析:这里要先求f(x)的范围(值域).解:∵0≤x≤4,∴0≤x2≤16, 9≤25-x2≤25,∴3≤y≤5,∵y=, y2=25-x2,∴x2=25-y2.∵0≤x≤4,∴x=(3≤y≤5)将x, y互换,∴f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).例3.已知f(x)=,求f-1(x).分析:求分数函数的反函数问题,应逐段求其反函数,再合并.解:当x≥0时,y=x+1≥1,∴y∈[1,+∞),∴f-1(x)=x-1 (x≥1)当x<0时,y=1-x2<1,∴y∈(-∞,1).反解x2=1-y, x=-(y<1)∴f-1(x)=-(x<1)∴综上f-1(x)=.例4.已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).分析:这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值,所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实,转化成方程问题.解:设f-1(5)=x0, 则f(x0)=5,即=5 (x0≥3)∴x02+1=5x0-5, x02-5x0+6=0.解得:x0=3或x0=2(舍)∴f-1(5)=3.。

反函数的定义

反函数的定义
1
( y)
2、互换:x、y互换位置,得y=f -1(x) 、互换: 、 互换位置 互换位置, 3、写定义域:根据原来函数的值域, 3、写定义域:根据原来函数的值域,写出反函数 的定义域. 的定义域
1.6 反函数
2 的反函数. 例2 求函数 y = 1 1 x (1 ≤ x < 0) 的反函数
x 2 1 (0 ≤ x ≤ 1) 的反函数. 例3 求函数 y = 2 的反函数 x ( 1 ≤ x < 0)
1.6 反函数
x 1 A2 3 4 x 1 A -1 2 -2 1 4 C y=2x y 2 4 B 6
y= x
y x= 2 2
8 y
x=± y
反函数的定义: 反函数的定义: 一般地,式子y=f(x)表示 是自变量 的函数 , 设它的 表示y是自变量 的函数, 一般地 , 式子 表示 是自变量x的函数 定义域为A,值域为C. 我们从式子 我们从式子y=f(x)中解出 ,得到 中解出x, 定义域为 ,值域为 中解出 式子x=φ(y).如果对于 在 C中的 任何一个 值 , 通过式子 如果对于y在 中的 任何一个值 中的任何一个 式子 如果对于 唯一确定的值和它对应 x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 , 在 中都有唯一确定的值和它对应, x=φ(y) 就表示 是自变量 的函数。这样的函数 就表示x是自变量 的函数。这样的函数x=φ(y) 叫 是自变量y的函数 做函数y=f(x)的反函数,记作x=f 做函数y=f(x)的反函数,记作x=f -1(y), 即 x=φ(y)=f -1(y) 在函数式x=f -1(y)中,y表示自变量,x表示函数。但在 表示自变量, 表示函数 表示函数。 在函数式 中 表示自变量 习惯上,我们一般用x表示自变量 表示自变量, 表示函数 为此, 表示函数, 习惯上,我们一般用 表示自变量,用y表示函数,为此, 我们常常对调x=f -1(y)中的字母 ,把它改写成 中的字母x,y,把它改写成y=f -1(x). 我们常常对调 中的字母 函数y=f(x) 反函数的反函数正好是它的本身。 反函数的反函数正好是它的本身。 函数 函数y=f(x)的定义域正好是它反函数 的定义域正好是它反函数y=f -1(x)的值域; 函数 正好是它反函数 的值域; 反之,函数y=f(x)的值域也是它反函数 也是它反函数y=f -1(x)的定义域。 反之,函数 的值域也是它反函数 的定义域。

反函数 高中数学

反函数 高中数学

1.反函数定义:若函数y =f (x )(x ∈A )的值域为C ,由这个函数中x 、y 的关系,用y 把x 表示出来,得到x =ϕ(y ).如果对于y 在C 中的任何一个值,通过x =ϕ(y ),x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么,x =ϕ(y )就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ(y )(y ∈C )叫做函数y =f (x )(x ∈A )的反函数,记作x =f -1(y ). 在函数x =f -1(y )中,y 表示自变量,x 表示函数.习惯上,我们一般用x 表示自变量,y表示函数,因此我们常常对调函数x =f -1(y )中的字母x 、y ,把它改写成y =f -1(x ).2.互为反函数的两个函数y =f (x )与y =f -1(x )在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤:(1)解关于x 的方程y =f (x ),得到x =f -1(y ).(2)把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置,得到y =f -1(x ). (3)求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f (x )的值域〕.1.函数y =-11+x (x ≠-1)的反函数是 A.y =-x1-1(x ≠0) B.y =-x1+1(x ≠0) C.y =-x +1(x ∈R )D.y =-x -1(x ∈R )解析:y =-11+x (x ≠-1)⇒x +1=-y 1⇒x =-1-y 1.x 、y 交换位置,得y =-1-x1.答案:A2.函数y =log 2(x +1)+1(x >0)的反函数为A.y =2x -1-1(x >1)B.y =2x -1+1(x >1) C.y =2x +1-1(x >0) D.y =2x +1+1(x >0)解析:函数y =log 2(x +1)+1(x >0)的值域为{y |y >1},由y =log 2(x +1)+1,解得x =2y -1-1.∴函数y =log 2(x +1)+1(x >0)的反函数为y =2x -1-1(x >1). 答案:A3.函数f (x )=-12+x (x ≥-21)的反函数 A.在[-21,+∞)上为增函数B.在[-21,+∞)上为减函数 C.在(-∞,0]上为增函数D.在(-∞,0]上为减函数 解析:函数f (x )=-12+x (x ≥-21)的值域为{y |y ≤0},而原函数在[-21,+∞)上是减函数,所以它的反函数在(-∞,0]上也是减函数.答案:D4.(2005年春季上海,4)函数f (x )=-x 2(x ∈(-∞,-2])的反函数f -1(x )=______________.解析:y =-x 2(x ≤-2),y ≤-4.∴x =-y -.x 、y 互换, ∴f -1(x )=-x -(x ≤-4).答案:-x -(x ≤-4) 5.若函数f (x )=2+x x ,则f -1(31)=___________.解法一:由f (x )=2+x x ,得f -1(x )=x x -12.∴f -1(31)=311312-⋅=1. 解法二:由2+x x=31,解得x =1. ∴f -1(31)=1. 答案:1评述:显然解法二更简便.【例】 求函数f (x )=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解:当x ≤-1时,y =x 2+1≥2,且有x =-1-y ,此时反函数为y =-1-x (x ≥2). 当x >-1时,y =-x +1<2,且有x =-y +1,此时反函数为y =-x +1(x <2).∴f (x )的反函数f -1(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述:分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域,分段函数的反函数也是分段函数.1.函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是A.y =x 2-2x +2(x <1)B.y =x 2-2x +2(x ≥1)C.y =x 2-2x (x <1)D.y =x 2-2x (x ≥1)2.记函数y =1+3-x 的反函数为y =g (x ),则g (10)等于A.2B.-2C.3 D .-1 3.函数y =e 2x (x ∈R )的反函数为A.y =2ln x (x >0)B.y =ln (2x )(x >0)C.y =21ln x (x >0) D.y =21ln (2x )(x >0) 4.已知函数f (x )=2(21-11+x a )(a >0,且a ≠1).(1)求函数y =f (x )的反函数y =f -1(x );(2)判定f -1(x )的奇偶性;(3)解不等式f -1(x )>1.解:(1)化简,得f (x )=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ,则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f -1(x )=log axx-+11(-1<x <1). (2)∵f -1(-x )=log a x x +-11=log a (x x -+11)-1=-log a xx -+11=-f -1(x ),∴f -1(x )是奇函数.(3)log axx-+11>1. 当a >1时,原不等式⇒x x-+11>a ⇒11)1(--++x a x a <0.∴11+-a a <x <1. 当0<a <1时,原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴-1<x <aa +-11. 综上,当a >1时,所求不等式的解集为(11+-a a ,1); 当0<a <1时,所求不等式的解集为(-1,11+-a a )5.已知函数f (x )=(11+-x x )2(x >1).(1)求f (x )的反函数f -1(x );(2)判定f -1(x )在其定义域内的单调性;解:(1)由y =(11+-x x )2,得x =yy -+11. 又y =(1-12+x )2,且x >1,∴0<y <1. ∴f -1(x )=xx -+11(0<x <1).(2)设0<x 1<x 2<1,则1x -2x <0,1-1x >0,1-2x >0.∴f -1(x 1)-f -1(x 2)=)1)(1()(22121x x x x ---<0,即f -1(x 1)<f -1(x 2).∴f -1(x )在(0,1)上是增函数.小结:(1)函数的反函数,本身也是一个函数,由反函数的定义,原来函数也是反函数的反函数.(2)反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.(3)由反函数定义知:①b =f (a )⇔a =f -1(b ),这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f [f -1(x )]=x (x ∈C ). ③f -1[f (x )]=x (x ∈A ).1.求下列函数的反函数:(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2=≠-.=-+,∈-∞,.352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)=≤.=-≤≤-<≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪4 反函数·基础练习(一)选择题1.函数y =-x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|.=-≥.=≤.=-≤.=-x x x --2.函数y =-x(2+x)(x ≥0)的反函数的定义域是[ ]A .[0,+∞)B .[-∞,1]C .(0,1]D .(-∞,0]3y 1(x 2).函数=+≥的反函数是x -2[ ]A .y =2-(x -1)2(x ≥2)B .y =2+(x -1)2(x ≥2)C .y =2-(x -1)2(x ≥1)D .y =2+(x -1)2(x ≥1) 4.下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2.=和=.=和=x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2.=和=≠.=≥和=≥3131311x x x x x +-+- 5.如果y =f(x)的反函数是y =f -1(x),则下列命题中一定正确的是[ ]A .若y =f(x)在[1,2]上是增函数,则y =f -1(x)在[1,2]上也是增函数B .若y =f(x)是奇函数,则y =f -1(x)也是奇函数C .若y =f(x)是偶函数,则y =f -1(x)也是偶函数D .若f(x)的图像与y 轴有交点,则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6.如果两个函数的图像关于直线y =x 对称,而其中一个函数是y =-,那么另一个函数是x -1[ ]A .y =x 2+1(x ≤0)B .y =x 2+1(x ≥1)C .y =x 2-1(x ≤0)D .y =x 2-1(x ≥1)7.设点(a ,b)在函数y =f(x)的图像上,那么y =f -1(x)的图像上一定有点[ ]A .(a ,f -1(a))B .(f -1(b),b)C .(f -1(a),a)D .(b ,f -1(b))8.设函数y =f(x)的反函数是y =g(x),则函数y =f(-x)的反函数是[ ]A .y =g(-x)B .y =-g(x)C .y =-g(-x)D .y =-g -1(x)(二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x .函数=+的反函数是..函数=>与函数=的图像关于直线=对称,x x ++2121解f(x)=________.3.如果一次函数y =ax +3与y =4x -b 的图像关于直线y =x 对称,那a =________, b =________.4y (1x 0).函数=-<<的反函数是,反函数的定92-x 义域是________.5.已知函数y =f(x)存在反函数,a 是它的定义域内的任意一个值,则f -1(f(a))=________.6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1.函数=的反函数的值域是..函数=≥-<的反函数是:..函数=<-,则-=.121121232x x x x---⎧⎨⎪⎩⎪--参考答案(一)选择题1.(C).解:函数y=-x 2(x ≤0)的值域是y ≤0,由y=-x 2得x=--,∴反函数--≤.y x f (x)=(x 0)1-2.(D).解:∵y=-x 2-2x=-(x +1)2,x ≥0,∴函数值域y ≤0,即其反函数的定义域为x ≤0.3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2..解:∵-+,≥,∴函数值域≥,由-+1,得反函数f -1(x)=(x -1)2+1,(x ≥1).4.(B).解:(A)错.∵y=x 2没有反函数.(B)中如两个函数互为反函数.中函数+-≠的反函数是+-≠而不是+-.中函数≥的值域为≥.应是其反函数的定义域≥.但中的定义域≥,故中两函数不是互为反函数.(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5.(B).解:(A)中.∵y=f(x)在[1,2]上是增函数.∴其反函数y=f -1(x)在[f(1),f(2)]上是增函数,∴(A)错.(B)对.(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数.∴(C)错.(D)中如函数f(x)=x 2+1(x ≥0)的图像与y 轴有交点,但其反函数-≥的图像与轴没有交点.∴错.f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12..解:∵函数--的值域≤;其反函数+x 1-+1(x ≤0).选(A).7.(D).解:∵点(a ,b)在函数y=f(x)的图像上,∴点(b ,a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上,而a=f -1(b),故点(b ,f -1(b))在y=f -1(x)的图像上.选(D).8.(B).解:∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x),而y=f(-x)的反函数是y=-f -1(x)=-g(x),∴选(B).(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2.解:∵函数++的值域≥,其反函数-+x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1).解:+>的值域<,其反函数-<.3y =4x b y =14x x =ax .解:函数-的反函数是+,则++,b b41443比较两边对应项系数得,.a =14b =124y =9x (1x 0)y (223)2.解:函数--<<的值域∈,,反函数f -1 (x)=(223)--.反函数的定义为,.92x5.a6.[0,2)∪(2,+∞)7f (x)=x 1(x 1)1x(x 0)122.+≥-<-⎧⎨⎪⎩⎪8.-2作业一、 选择题1、 已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且,那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-=)0(21)0(2x x x x y 的反函数是( ) A 、()⎩⎨⎧≤-=0)0(2 x x x x y B 、()⎩⎨⎧-≤-=0)0(2 x x x x yC 、()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-=0021 x x x x yD 、()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0021 x x x x y 3.若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ,则)4(1-f 的值为( ) A 、5 B 、5- C 、15 D 、3。

反函数知识点总结

反函数知识点总结

反函数知识点总结反函数,亦称为逆函数,是一种与原函数相对应的函数。

与原函数f(x)相对应的反函数记作f^(-1)(x)。

在正式讨论反函数之前,我们先来了解一下函数的基本概念。

函数是一种具有特定关系的数学对象,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。

函数通常用符号f(x)表示,其中x是自变量,f(x)是函数的取值。

函数可以在各个学科和领域中广泛应用,从数学到物理、经济等。

在数学中,函数通常可以用图像、表格和公式来表示。

例如,一个线性函数可以用一条直线来表示,一个二次函数可以用一个抛物线来表示。

函数的图像可以展示函数的特征,如定义域、值域、单调性、最小值和最大值等。

一个函数f(x)的反函数可以表示为f^(-1)(x),该反函数的定义域是函数f(x)的值域,反之亦然。

反函数的性质需满足以下两点:(1)对任意的x,f^(-1)(f(x))=x;(2)对任意的x,f(f^(-1)(x))=x。

接下来,我们来讨论一些关于反函数的常见知识点:1.可求逆性:只有满足一对一(或单射)的函数才能求逆。

一对一函数是指每个元素在函数中只有唯一的映射。

在图像上,一对一函数通过水平线只与图像相交一次。

2.求解反函数:为了求解一个函数的反函数,可以按照以下步骤进行:-将函数表示为y=f(x)的形式;-交换自变量x和因变量y,得到一个新的等式;-解新的等式,将y表达为x的函数,并用f^(-1)(x)代替y。

3.反函数的图像:一个函数和它的反函数的图像是对称的。

通过图像可以看出反函数的特点,如水平翻转和轴对称。

4. 反三角函数:三角函数是一类常见的函数,包括正弦、余弦、正切等。

对于三角函数,我们可以通过引入反函数来定义其反函数。

例如,sin^(-1)(x) 表示反正弦函数。

反三角函数在三角函数的定义域内都具有递增的特点。

5.反函数的确切定义:反函数的定义有两种形式,一种是符合反函数定义的f^(-1)(x),另一种是称为泛函反函数的f^[-1](x)。

反函数和分段函数概念的解释和分析

反函数和分段函数概念的解释和分析

反函数和分段函数概念的解释和分析一、反函数的概念1.反函数的定义:如果函数f(x)在某一区间上是一一对应的,那么它在这个区间上就有一个反函数,记作f^(-1)(x)。

2.反函数的性质:a)如果f(x)和f(-1)(x)的定义域和值域分别是D和R,那么D=R,且f(-1)(f(x))=x,f(f^(-1)(x))=x。

b)反函数的图象是原函数图象的镜像。

3.反函数的求法:a)如果f(x)是一次函数或二次函数,可以直接求出其反函数。

b)如果f(x)是复合函数,可以利用“反函数的复合函数”法则求出其反函数。

二、分段函数的概念1.分段函数的定义:分段函数是一种在定义域的不同部分上具有不同表达式的函数。

2.分段函数的表示方法:a)符号表示法:f(x) = { f1(x), x ∈ D1; f2(x), x ∈ D2; …; fn(x), x ∈Dn }b)图象表示法:在同一坐标系中画出各段函数的图象,并用不同颜色或标记区分。

3.分段函数的性质:a)分段函数在每段的定义域上连续。

b)分段函数在整个定义域上可能不连续。

c)分段函数在整个定义域上可能没有极限。

4.分段函数的求导:分段函数的导数在每个连续区间上可以分别求导,但在分段点处可能不存在。

三、反函数与分段函数的关系1.如果一个分段函数在每个连续区间上都是一一对应的,那么它可以有两个以上的反函数,分别对应于每个连续区间。

2.分段函数的反函数可能是分段函数,也可能是单个函数。

这取决于原函数在每个连续区间上是否是一一对应的。

3.在求分段函数的反函数时,需要分别求出每个连续区间上的反函数,并在分段点处进行衔接。

综上所述,反函数和分段函数是数学中的重要概念。

了解它们的定义、性质和求法,对于提高中学生的数学水平和解决实际问题具有重要意义。

习题及方法:1.习题:求函数f(x) = 2x + 3的反函数。

方法:将f(x) = y,解出x,得到y = 2x + 3。

然后交换x和y的位置,解出y,得到x = (y - 3) / 2。

函数的反函数与导数的关系

函数的反函数与导数的关系

函数的反函数与导数的关系函数是数学中一个非常重要的概念,而反函数的概念也在函数的研究中起到了至关重要的作用。

在这篇文章中,我们将讨论函数的反函数与导数的关系,探索它们之间的联系和相互作用。

一、反函数的定义与性质反函数是指对于一个函数 f(x),如果存在另一个函数 g(x),使得对于 f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x 成立,则称 g(x) 为 f(x) 的反函数。

反函数可以看作是对原函数进行逆运算的结果。

对于反函数来说,它具有以下几个重要的性质:1. 原函数和反函数的定义域和值域互换。

即原函数 f(x) 的定义域是反函数 g(x) 的值域,反之亦然。

2. 原函数和反函数的图像关于直线 y = x 对称。

这意味着通过绘制原函数和反函数的图像,我们可以轻松地找到它们之间的关系。

3. 原函数和反函数的导数互为倒数。

也就是说,如果原函数 f(x) 在某一点 x0 处可导,那么反函数 g(x) 在相应的点 y0(即 f(x0))处也可导,并且有 g'(x0) = 1/f'(x0)。

二、导数的定义与性质导数是用来描述函数变化率的概念。

对于函数 f(x),它的导数 f'(x) 可以理解为函数在某一点处的瞬时变化率。

导数具有以下几个重要的性质:1. 导数可以用极限来定义。

即 f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。

2. 导数可以表示函数的斜率。

对于函数 f(x),如果它在某一点 x0 处可导,则它在该点的斜率为 f'(x0)。

3. 导数可以表示函数的切线方程。

对于函数 f(x),如果它在某一点x0 处可导,则它在该点的切线方程为 y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)。

三、反函数与导数的关系通过前面对反函数和导数的讨论,我们可以看到它们之间存在着紧密的联系。

具体来说,反函数和导数之间的关系可以总结如下:1. 如果原函数 f(x) 在某一点 x0 处可导且导数不为零,则反函数 g(x) 在相应的点 y0(即 f(x0))处也可导,并且有 g'(x0) = 1/f'(x0)。

反函数定义

反函数定义

反函数定义一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域就是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= g(y)、若对于y在C中的任何一个值,通过x= g(y),x 在A中都有唯一的值与它对应,那么,x= g(y)就表示y就是自变量,x就是因变量y的函数,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^-1(x)、反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别就是函数y=f(x)的值域、定义域、反函数性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;函数及其反函数的图形关于直线y=x对称(2)函数存在反函数的充要条件就是,函数的定义域与值域就是一一映射;(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;(4)大部分偶函数不存在反函数(唯一有反函数的偶函数就是f(x)=a^x,x∈{0},但就是y=k(常数)无法通过水平线测试,所以没有反函数。

)。

奇函数不一定存在反函数。

被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。

若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也就是奇函数。

(5)一切隐函数具有反函数;(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。

(8)反函数就是相互的且具有唯一性(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)(10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2))例:y=2x-1的反函数就是y=0、5x+0、5y=2^x的反函数就是y=log2 x例题:求函数3x-2的反函数解:y=3x-2的定义域为R,值域为R、由y=3x-2解得x=1/3(y+2)将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数就是y=1/3(x+2)(x属于R)(11)反函数的导数关系:如果X=F(Y)在区间I上单调,可导,且F‘(Y)不等于0,那么她的反函数Y=F’(X)在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导,且[F‘(X)]'=1\[F’(Y)]'。

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反函数定义
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x= g(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= g(y)就表示y是自变量,x是因变量y的函数,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
反函数性质
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
函数及其反函数的图形关于直线y=x对称
(2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(4)大部分偶函数不存在反函数(唯一有反函数的偶函数是
f(x)=a^x,x∈{0},但是y=k(常数)无法通过水平线测试,所以没有反函数。

)。

奇函数不一定存在反函数。

被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。

若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。

(5)一切隐函数具有反函数;
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。

(8)反函数是相互的且具有唯一性
(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)
(10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2))
例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2 x
例题:求函数3x-2的反函数
解:y=3x-2的定义域为R,值域为R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=1/3(x+2)(x属于R)
(11)反函数的导数关系:如果X=F(Y)在区间I上单调,可导,且F‘(Y)不等于0,那么他的反函数Y=F’(X)在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导,且[F‘(X)]'=1\[F’(Y)]'。

反函数说明
⑴在函数x=f’(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y,把
它改写成y=f’(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。

⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f‘(x),那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f‘(x)
互为反函数。

⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。

单调函数才有反函数,如二次函数在R内不是反函数,但在其单调增(减)的定义域内,可以求反函数。

⑷ 从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f‘(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f’(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f’(x)的定义域(如下表):
函数:y=f(x)
反函数:y=f’(x)
定义域: A C
值域: C A
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为:
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f’(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f’(s)=s/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f‘(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=x+1/x,需将x进行分类讨论:在x大于0时的情况,x小于0的情况,多是要注意的。

一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
反函数应用
直接求原函数的值域困难时,可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域,求反函数的步骤是这样的:
1、先求出反函数的定义域,因为原函数的值域就是反函数的定义域;
(我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则,所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步)
2、反解x,也就是用y来表示x;
3、改写,交换位置,也就是把x改成y,把y改成x;
4、写出原函数及其值域。

实例:y=2x+1(值域:任意实数)
x=(y-1)/2
y=(x-1)/2(x取任意实数)
特别地,形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数,它的反函数都是它本身。

反函数求解三步骤:
1、换:X、Y换位
2、解:解出Y
3、标:标出定义域。

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