一元二次方程根的判别式的综合应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，b那么x1+x2=-ac，x1x2=a4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系22.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝．b4ac3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根．类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜且k ≠1时，方程有两个不相等23的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝时，方程有两个相等的实数根；23(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞时，方程没有实数根．23说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
【2013年中考攻略】专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨
一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax 2+bx+c=0（a≠0）。
在系数a ≠0的情况下，Δ=b 2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b 2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b 2－4ac <0时，方程无实数根。
反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b 2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b 2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b 2－4ac <0。
因此，Δ=b 2－4ac 称为一元二次方程根的判别式。
根的判别式b 2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a ≠0。
使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。
一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。
将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x 轴）的公共点个数。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：例1：（2012广西河池3分）一元二次方程2x 2x 20++=的根的情况是【 】 A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根练习题：1（2012广东珠海6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=﹣3时，求方程的根。
2. （2011福建福州4分）一元二次方程x （x ﹣2）=0根的情况是 【 】A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根3. （2011福建福州4分）一元二次方程x （x ﹣2）=0根的情况是 【 】A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根4. （2011内蒙古包头3分）一元二次方程x 2+x+ 1 4=0的根的情况是【 】A 、有两个不等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、无实数根D 、无法确定 二. 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围：典型例题：例1：（2012湖北襄阳3分）如果关于x 的一元二次方程k x 10=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【 】A ．k ＜12B ．k ＜12且k≠0C ．﹣12≤k ＜12D ．﹣12≤k ＜12且k≠0 例3：（2012湖南常德3分）若一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解，则m 的取值范围是【 】A. m 1≤-B. m 1≤C. m 4≤D.m 12≤ 例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x 1、x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝，求m 的值和此时方程的两根。
专题学习 根的判别式的综合运用
专题学习 一元二次方程根的判别式的综合运用【学习目标】1.判定方程根的情况。
2.利用判别式建立等式，不等式，求方程中参数值或取值范围。
3.利用判别式解决相关证明问题。
【知识储备】1．叫做一元二次方程的根的判别式2. 方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根【难点突破】利用判别式，判定根的情况及参数取值范围。
【典例精讲】例1、关于x 的方程（1）有两个相等的实数根，求的取值范围。
（2）有两个不相等等的实数根，求的取值范围。
（3）无实数根，求的取值范围。
（4）有实数根，求的取值范围。
（5）若方程的一个根为-2，求另一个根及值方法点拔： 练习：1、若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 。
2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。
3、已知关于的方程，求证：取任意实数时，方程总有实数根。
24b ac ∆=-20(0)ax bx c a ++=≠0∆>⇔0∆=⇔0∆<⇔()2120m x mx m -++=m m m m m x 0122=-+x k x k x 2(21)0kxk x k --+=k x 23(1)230mxm x m --+-=m例2、已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值方法点拔：练习：已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：例3、已知是△的三边，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，是判断△的形状。
方法点拔：练习：已知是△的三边，当时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状并说明理由。
【专题总结】1、运用判别式 ，求方程中待定系数的值或取值范围。
2、利用判别式，解决化简求值问题。
3、利用判别式，判定三角形的形状。
x ()2100ax bx a ++=≠4)2(22-+-b b a x 222(1)50x m x m ++++=1m -+,,a b c ABC 1,c 4a ==x 240x x b -+=ABC ,,a b c ABC 0m >x 22()()20c x m b x m ++--=ABC。
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
２０２３年９月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用◉云南省曲靖市马龙区第三中学㊀刘㊀陈㊀㊀摘要:结合五则典例,探讨一元二次方程根的判别式及根与系数的关系在判断三角形的形状㊁求代数式的值㊁构造倍根方程㊁求代数式的最值㊁求参数的值等方面的运用,帮助学生积累数学活动经验,发展学生核心素养．关键词:一元二次方程;判别式;数学活动经验;核心素养㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,可用来判断三角形的形状,求代数式的值,构造倍根方程,求代数式的最值,求参数的值等,这些应用一方面体现了根的判别式及根与系数关系的价值,另一方面也使学生体会到了不同数学知识之间的联系,有利于加深学生对这一部分数学知识的理解与掌握．１判断三角形的形状当一元二次方程的系数或它的两个根是三角形的边长时,一元二次方程和三角形之间就有了联系,利用一元二次方程根的情况可以判断三角形的形状[１]．例１㊀已知әA B C的三边长分别为a,b,c,方程(a＋c)x２＋２b x＋(a－c)＝０是关于x的一元二次方程．(１)当x＝－１时,你能确定әA B C的形状吗?为什么?(２)当方程有两个相等的实根时,你能确定әA B C的形状吗为什么?解析:(１)由题意,把x＝－１代入方程,得a＋c－２b＋a－c＝０,整理得a＝b．因为a,b,c分别为әA B C 三边的长,所以әA B C为等腰三角形．(２)由题意,Δ＝(２b)２－４(a＋c)(a－c)＝０,整得得b２＋c２＝a２．因为a,b,c分别为әA B C三边的长,所以由勾股定理的逆定理,得әA B C为直角三角形．评注:当三角形的三边为一元二次方程的系数时,三角形的形状与一元二次方程根的情况也有了联系,本题设置的两个问题对此做了很好的诠释．２求代数式的值当m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根时,根据韦达定理,得m＋n＝－ba,m n＝c a．根据方程根的定义,得a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０;反之,aʂ０时,当m,n满足等式a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０时,则m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根．例２㊀问题情境:小明在学习中遇到了这样一道题 已知字母a,b满足a２－２a－１＝０,b２－２b－１＝０,且aʂb,试求１a＋１b的值．小明的解答为:因为字母a,b满足的两个方程形式一致,所以a,b可以看作方程x２－２x－１＝０的两根,根据根与系数的关系,得a＋b＝２,a b＝－１,所以１a＋１b＝a＋b a b＝２－１＝－２．根据小明的解答过程,请解决下列问题:(１)已知不互为倒数的两个字母a,b分别满足２a２＋１１a＋１２＝０,１２b２＋１１b＋２＝０,求b a的值．(２)已知x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,且满足x２x１＋x１x２＋x１＋x２＝２．若a,b,c是әA B C的三边长,且c＝２３,m２＋a２m－８a＝０．m２＋b２m－８b＝０．试求m的值以及әA B C的面积．解析:(１)将１２b２＋１１b＋２＝０两边都除以b２,得２(１b)２＋１１ˑ１b＋１２＝０．又因为２a２＋１１a＋１２＝０,所以a与１b为方程２x２＋１１x＋１２＝０的两根,根据根与系数,得a１b＝６．故ba＝１６．(２)因为x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,所以x１＋x２＝－２m m－１,x１x２＝２m－１,１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月下半月㊀㊀㊀m ʂ１．由x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２＝２,整理得m ２－３m ＋２＝０,解得m １＝２,m ２＝１(舍去)．因此可得a ２－４a ＋２＝０,b ２－４b ＋２＝０,则a ,b 为方程x ２－４x ＋２＝０的两根,于是a ＋b ＝４,a b ＝２,所以a ２＋b ２＝(a ＋b )２－２a b ＝１２＝c ２,根据勾股定理的逆定理,得әA B C 为直角三角形,故S әA B C ＝１２a b ＝１．所以m 的值为２,әA B C 的面积为１．评注:本题第(２)小题以m 作为联系的纽带,根据第一个方程中根与系数的关系求出m 的值,然后代入关于a ,b 的方程中消去m ,从而显现出a ,b 的本质,再与勾股定理的逆定理结合,使问题转化为几何问题[２]．３求代数式的最值利用一元二次方程根与系数的关系可以求与两根有关的代数式的值,也可以求代数式的最值．当一元二次方程有实数根时,根的判别式大于或等于０,可以据此求得字母的取值范围,当所求代数式化为含有该字母的代数式时,就可以求得它的最值．例３㊀一元二次方程根与系数的关系反映了一元二次方程两根之和㊁两根之积与系数之间的数量关系,相应的命题被称为韦达定理,根据韦达定理解决下面问题:(１)已知m ,n 是一元二次方程２x ２－３x ＋１＝０的两个根,试计算m ＋n 与m n 的值;(２)如果实数m ,n (m ʂn )分别满足方程m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０,求代数式１m ＋１n的值;(３)设方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根分别是x １,x ２,你能求出x ２１＋x ２２的最小值吗?解析:(１)由韦达定理,得m ＋n ＝３２,m n ＝１２．(２)因为实数m ,n 满足m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０且m ʂn ,所以m ,n 可看作方程x ２－x －１＝０的两根．根据韦达定理,得m ＋n ＝１,m n ＝－１．故１m ＋１n ＝m ＋nm n ＝－１．(３)因为x １,x ２是方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根,所以Δ＝４２－４ˑ２ˑm ȡ０,即m ɤ２．根据题意,可得x １＋x ２＝－２,x １x ２＝m ２,则x ２１＋x ２２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２＝４－m ．由m ɤ２,得４－m ȡ２,所以x ２１＋x ２２的最小值为２．评注:当a ȡb (b 为常数)时,a 有最小值,且最小值为b ;当a ɤb (b 为常数)时,a 有最大值,且最大值为b ．４探讨代数式的值能否为定值对于与一元二次方程的根有关的代数式的值能否为定值这类问题,应先假设这个代数式的值能为定值,从而建立方程求得字母的值,然后检验这个值能否满足原方程有实根,使原方程有实根的值就是符合题意的值．例４㊀已知关于x 的方程k x ２＋(１－k )x －１＝０．(１)若该方程有两个不等实根,求k 的取值范围．(２)设x １,x ２是方程k x ２＋(１－k )x －１＝０的两个根,记S ＝x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２,试问S 的值能为４吗?若能,求出此时k 的值,并说明理由．解:(１)根据一元二次方程的定义和判别式的意义,得k ʂ０且Δ＝(１－k )２－４k ˑ(－１)＞０,整理,得(１＋k )２＞０,解得k ʂ０且k ʂ－１．(２)根据题意,得x １＋x ２＝－１－k k ,x １x ２＝－１k．假设S ＝x ２１＋x ２２x １x ２＋x １＋x ２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２x １x ２＋x １＋x ２＝４,可得(x １＋x ２)２－６x １x ２＋x １x ２(x １＋x ２)＝０,即(１－k )２k２－６(－１k )＋(－１k ) (－１－kk )＝０,整理得k ２＋３k ＋２＝０,解得k １＝－１,k ２＝－２．因为k ʂ０且k ʂ－１,所以当k ＝－２时,S 的值能为４．评注:一元二次方程根与系数的关系是在方程有实根的情况下进行讨论的,所以利用根与系数关系得到的字母的值,一定要看这个值是否在方程有实根时求得的字母取值范围之内．只有在这个取值范围之内的值才是符合题意的值．积累数学活动经验是数学教学的目标之一．以上四种类型有关根的判别式及根与系数关系的应用,有利于学生明白二者之间的依存关系,以及如何利用这两个工具解答相关问题,也有利于学生积累解题经验,促进学生核心素养的发展．参考文献:[１]黄细把．一元二次方程 联姻 三角形[J ]．今日中学生,２０１５(Z ６):２５Ｇ２６．[２]朱亚邦．勾股定理(逆定理)应用的几种场景[J ]．中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),２０１７(３):１６Ｇ１７．Z ２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次方程的根与系数的关系综合应用
一元二次方程的根与系数的关系综合应用主讲人：浮屠镇宏卿初级中学 袁怀柏【教学目标】●知识与能力目标1、运用根的判别式求参数的取值范围2、会运用根与系数的关系求一元二次方程中参数的值. ●过程与方法目标通过复习一元二次方程相关知识，学会掌握运用根与系数的关系，求一元二次方程中参数的值，培养学生应用数学的意识。
【教学重点】根与系数的关系式的变形；求一元二次方程中参数的值【教学难点】求含21x x 、的绝对值的代数式的值时，如何去绝对值，如何将含21x x 、的代数式等价变形成含“基本因式”的形式.【教法及建议】采用“引导——发现——归纳——应用”教学法展开教学。
【学法建议】练习体验法。
【教学过程】 一、复习回顾：（1）一元二次方程的根的判别式方程有两个不相等的实数根 042>-=∆ac b 方程有两个相等的实数根 042=-=∆ac b 方程有实数根 042≥-=∆ac b 方程没有实数根 042<-=∆ac b说明：方程有两个相等实数根和方程有两个不相等实数根统称为有实数根 （2）一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 的两根为21x x 、则=+21x x ____; =21x x _____[前提：_________________]韦达定理常见变形：=+2221)1(x x =+2112)2(x x x x =++))()(3(21a x a x =-221))(4(x x =-21)5(x x二、中考备考——根与系数关系的应用：求参数的值（范围）.例1、已知关于x 的方程0)12()2(2=+++-m x m x m 有两个实数根21x x 、. （1）求m 的取值范围； （2）若21x x =，求m 的值.例2、关于x 的方程01)32(22=++--k x k x 有两个不相等的实数根21x x 、. （1）求k 的取值范围；（2）若.72121=++x x x x 求k 的值例3、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1、x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值． 三、课堂小结1、求参数的取值范围：运用跟的判别式得含参数的不等式2、求参数的值：运用韦达定理得含参数的方程去绝对值的方法：①分类讨论法；②平方法； 直接去绝对值法. 四、课后练习1、关于x 的一元二次方程06)1(22=-++-k k x x k 的一根是0，则k =______.2、关于x 的一元二次方程032)12(22=+-+--k k x k x 有两个不相等实数根. (1)求实数k 的取值范围； (2)若521=-x x ，求k 的值.3、关于x 的一元二次方程0)1(222=+--k x k x 的两个实数根21x x 、. (1)求k 的取值范围；(2)若12121-=+x x x x ，求k 的值.。
一元二次方程根的判别式及其应用
x 代入原方程得： 2 2 x 1ห้องสมุดไป่ตู้ 0 x 1 ． x 综上知： 1, y 0 .
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小结
应用一元二次根的判别式主意几点： 1、判断是否一元二次方程； 2、其次要化为标准形式; 3、最后正确求出判别式的值 与零作比较得出根的情况
一元二次方程根的判别式的应用
平乡县实验中学 庞西宏
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现行初中数学教材要求学生掌握 一元二次方程的根的判断式及其应 用．本讲主要讲解什么是一元二次 方程根的判别式，它有哪些应用。
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一、什么是一元二次方程的根的 判断式 ax 2 bx c 0 (a 0) ，用配方法将 一元二次方程
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二 次方程的一般形式．
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【例2】已知关于x的一元二次方程 3 x 2 2 x k 0 , 根据 下列条件，分别求出K的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等 的实数根 (3) 方程有实数根； (4) 方程无实数根
(3) 当 b 4ac 0 时，方程没有实数根．
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二、一元二次方程的根的判断式 的应用
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1)2 x 2 3 x 1 0 (2)4 y 2 9 12 y (3)5( x 2 3) 6 x 0
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谢 谢！
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【例3】已知实数 x , y 、满足 x 2 y 2 xy 2 x y 1 0 ， 试求 x , y 的值． 解：把方程看作是关于 x 的方程，整理得：
一元二次方程根与系数的关系
0 可 略 4.有 两 异 号 根 且 正 根 的 绝 对 值 大 x1 x 2 0 x x 0 1 2 0 可 略 x1 k x 2 k 0 x k x k 0 2 1
代 入 原 方 程 得 ：6 1 3 1 2 0 y y y
即 : 2y 3y 6 0
注：解法1为常规方法, 解法2为替代法简便.
根与系数关系小结
根与系数的应用
在一元二次方程
x1 x 2
ax bx c 0 ( a 0)
实例讲解
（1.已知一根求另一根及待定系数的值） 根与系数关系：
已 知 2+ 3是 方 程 x -4x+c=0 的 一 根 ,求 方 程 的 另 一 根 及 c的 值 .
2
例 3:
解： 设 另 一 根 为 x , 则 : 2 3 x 4 (1)
2
2
把 (3) 代 入 (2) 得 :
2 b 4ac 0 两个不相等实根 2 b 4ac 0 两个相等实根 2 b 4ac 0 无实根(无解)
实例讲解
（1. 根的判别式： 求字母系数的取值范围）
例1：若关于x的方程 m 2 x 2 2 x 1 0 有解， 则m的取值范围为（ B ）
A .m 3 Biblioteka .m 3C .m 3 且 m 2 D .m 3 且 m 2
2 2 4 m 2 1 0 ∵ 或 m20
m 2 m 3
解：
m20
或
m 2
故：选B
注：因本题没指明是什么方程，因而可为
一元二次方程根的判别式的综合应用
k 4
4.关于 x 的方程 kx2+(k+2)x+ =0 有两个不相等的实 数根。是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数 和等于 0？若存在，求出 k 的值，若不存在，说明理 由。
设计意图：对本节课的知识巩固加深形成技能，同时对下一知识 点进行预习，做好知识的储备，有利于学习开展，选 做题，使学有余力的同学，养成积极动脑的好习惯。
《一元二次方程根的判别式的综合应用》
教学设计
学科：初中数学 版本：人教版九年级上 教师：于淑岚 单位:黑龙江省建三江管理局七星农场第一中学
1、理解并掌握一元二次方程根的判别式，并用判别式 求出方程中相应字母的范围或取值。 教学目标 2、通过学习，培养学生发现问题或提出问题的能力。 3、有效的合作，体验学习的快乐。 运用一元二次方程根的判别式求出方程中的相应字母的 重 点 范围或取值 难 点 学习要求 运用一元二次方程根的判别式判断三角形的形状
教学流程 设计意图 2 1.一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠ 复 习 知 识 要 点 ， 利 0)根的判别式为 于知识点的驾驭 ① 有两个不相等实数根 ② 有两个相等的实数根 ③ 没有实数根 自主学习 2.不解方程，判断下列方程根的 运用根的判别式 情况 的前提条件是一元 2 ①3x -2x-1.5=0 根的情况: . 二次方程一定化为 2 ②x =6x-9 一般式 根的情况: . 2 ③5x +x=-1 根的情况: . 例：当 m 为何值时，关于 x 的一 规范解题过程，准 元二次方程 x2－4x＋m－0.5=0 有 确运用根的判别式 两个相等的实根。 解 ： 由 题 意 得 b2-4ac=(-4)2-4(m0.5)=0 即 16-4m+2=0, m=4.5 所以 m=4.5 时，方程有两个相等 的实数根。 1. 培 养 学 生 分 辨 方 合作交流 变式一： 程，只有一元二次方 2 已 知 关 于 x 的 方 程 kx - 程，才可用根的判别 2x+1=0， 式。2.挖掘隐含条件 ①当 k 为何值时，方程只有一个 a 0 实数根？ ②当 k 为何值时，方程有两个实 数根？ ③在②问题下，求 k 的非负整数 值？
根的判别式的六种常见应用
根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。
一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式一元二次方程（）的根的判别式为,用“”表示,所以02=++c bx ax 0≠a ac b 42-∆.ac b 42-=∆应用一、不解方程,判断一元二次方程根的情况对于一元二次方程（）,当≥0时,方程有两个实数根;02=++c bx ax 0≠a ac b 42-=∆当时,方程无实数根.042<-=∆ac b 具体判断结果为:（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;042>-=∆ac b （2）当时,一元二次方程有两个相等的实数根;042=-=∆ac b （3）当时,一元二次方程没有实数根.042<-=∆ac b 反之亦成立.用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的一般步骤:（1）把一元二次方程化为一般式;（2）确定的值（注意符号）;c b a ,,（3）计算的值;ac b 42-=∆（3）根据的符号确定一元二次方程根的情况.∆例1. 不解方程,判断下列方程的根的情况:（1）;（2）; 2532-=x x 041242=+-x x （3）.()0142=-+y y 分析:不解方程,判断一元二次方程根的情况时,要先把一元二次方程化为一般形式,然后准确确定的值,包括符号,再计算出的值,由的符号确定一元二次方程根c b a ,,ac b 42-=∆∆的情况.解:（1）02532=+-x x ∵ ()01242523452>=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根;（2）∵ ()044414422=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个相等的实数根;（3）0442=+-y y ∵ ()06364144412<-=-=⨯⨯--=∆∴该方程没有实数根.例2. 求证:对于任何实数,关于的一元二次方程总有两个不相等的m x 02222=-+-m mx x 实数根.分析:本题只需证明对于任何实数,该方程根的判别式总是大于0即可.m ∆证明: ()()22422---=∆m m ()()4144124884222+-=++-=+-=m m m m m∵≥0 ()21-m ∴,即 ()04142>+-m 0>∆∴对于任何实数,该方程总有两个不相等的实数根.m 习题1. 若关于的不等式的解集为,则关于的方程的根的情x 12<-a x 1<x x 012=++ax x 况是【 】（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根 （C ）无实数根（D ）无法确定 习题2. 不解方程,判断下列方程根的情况:（1）;（2）; 2432+=x x ()()08222=--+x x （3）.03232=-+x x习题3. 证明:对于任何实数,关于的方程总有两个不相等的实数根. m x ()()221m x x =--习题4. 已知关于的方程.x 022=-++m mx x （1）若此方程的一个根为1,求的值;m （2）求证:不论取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.m应用二、已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围有下面的结论:（1）若一元二次方程（）有实数根,则≥0; 02=++c bx ax 0≠a ac b 42-=∆①若一元二次方程有两个不相等的实数根,则;042>-=∆ac b ②若一元二次方程有两个相等的实数根,则.042=-=∆ac b （2）若一元二次方程（）没有实数根,则. 02=++c bx ax 0≠a 042<-=∆ac b 例3. 当为何值时,关于的一元二次方程:k x 0542=-+-k x x （1）有两个不相等的实数根;（2）有两个相等的实数根;（3）没有实数根.分析:先得到的表达式,然后根据方程根的情况确定的符号,从而建立相应的关于的不∆∆k 等式求解.解: ()()k k 4365442-=---=∆（1）∵该方程有两个不相等的实数根∴,即0>∆0436>-k 解之得:;9<k （2）∵该方程有两个相等的实数根∴,即0=∆0436=-k 解之得:;9=k （3）∵该方程没有实数根∴,即,解之得:.0<∆0436<-k 9>k易错警示:在已知一元二次方程根的情况下确定字母的值或取值范围时,不要忽视二次项系数不等于0的限制.例4. 已知关于的一元二次方程有实数根,求实数的取值范x ()()0112122=+++-x m x m m 围.分析:一元二次方程有实数根的结论是其≥0.∆错解: ()[]()141222--+=∆m m()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m ∵该一元二次方程有实数根∴≥0,即≥0∆88+m 解之得:≥m 1-∴实数的取值范围是≥.m m 1-错因分析:错解忽视了一元二次方程的二次项系数受到不等于0的限制.正解: ()[]()141222--+=∆m m()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m ∵该一元二次方程有实数根∴ ⎩⎨⎧≥+=∆≠-088012m m 解之得:且1->m 1≠m ∴实数的取值范围是且.m 1->m 1≠m 例5. 若为△ABC 的三边长,且关于的一元二次方程c b a ,,x ()()022=-+-+-a b x b a x c b 有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由.解:△ABC 为等腰三角形.理由如下: ()[]()()a b c b b a ----=∆422acbc ab a acbc ab b b ab a 444444444842222-+-=-++-+-==()()c a b a --4∵该方程有两个相等的实数根∴()()04=--=∆c a b a ∴或0=-b a 0=-c a ∴或b a =c a =∴△ABC 为等腰三角形.习题5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围x 062=+-b x x b 是__________.习题6. 若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是__________. x 0122=-+x kx k 习题7. 在△ABC 中,,且关于的方程有两个相等b AC AB BC ===，32,2x 042=+-b x x 的实数根,则AC 边上的中线长为_________.习题8. 若关于的方程有两个不相等的实数根,则的值可以是【 】x 012=++mx x m （A ）0 （B ） （C ）2 （D ）1-3-习题9. 关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是【 】x ()01222=+--m x m x m （A ）（B ）≤ 0≠m m 41（C ） （D ） 41<m 41>m 习题10. 一元二次方程的根的情况是__________________.()()3211+=-+x x x 习题11. 关于的一元二次方程.x 012=++bx ax （1）当时,利用根的判别式判断方程根的情况;2+=a b （2）若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的的值,并求此时方程的根. b a ,习题12.若为△ABC 的三边长,当时,关于的方程有两c b a ,,0>m x ()()0222=--++ax m m x b m x c 个相等的实数根,求证:△ABC 为直角三角形.应用三、判断抛物线与轴的相交情况x 当抛物线与轴相交时,,对应的一元二次方程()02≠++=a c bx ax y x 0=y 有实数根,此时≥0;当抛物线与()002≠=++a c bx ax ac b 42-=∆()02≠++=a c bx ax y x 轴无交点时,对应的一元二次方程无实数根,此时.因()002≠=++a c bx ax 042<-=∆ac b 此,抛物线与轴的相交情况可以转化为对应的一元二次方程根的情况.于是,我们既可以用x 判别式来判断一元二次方程根的情况,又可以判断抛物线与轴的相交情ac b 42-=∆x 况.“”被赋予了鲜明的代数意义和几何意义.∆（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根042>-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax ,抛物线与轴有两个不同的交点、;21,x x ()02≠++=a c bx ax y x ()0,1x ()0,2x （2）当时,一元二次方程有两个相等的实数根042=-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax ,抛物线与轴只有一个交点,即; 21x x =()02≠++=a c bx ax y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a b （3）当时,一元二次方程没有实数根,抛物线042<-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax 与轴无交点.()02≠++=a c bx ax y x 例6. 判断下列抛物线与轴的相交情况:x （1）;（2）;1432++=x x y 962-+-=x x y （3）.1242+-=x x y 分析:同判断一元二次方程根的情况,判断抛物线与轴的相交情况时,要先将抛物线的解析x式化为一般式,然后进行判断.解:（1）∵0412*******>=-=⨯⨯-=∆∴抛物线与轴有两个交点;1432++=x x y x （2）∵()()0363691462=-=-⨯-⨯-=∆∴抛物线与轴只有一个交点;962-+-=x x y x （3）∵ ()01216414422<-=-=⨯⨯--=∆∴抛物线与轴无交点.1242+-=x x y x 例7. 已知抛物线.122-++=m x x y （1）当取何值时,抛物线与轴有两个交点?m x （2）当取何值时,抛物线与轴只有一个交点?并求出这个交点坐标;m x （3）当取何值时,抛物线与轴没有交点?m x 解:()m m 481422-=--=∆（1）∵抛物线与轴有两个交点x ∴,即0>∆048>-m 解之得:;2<m （2）∵抛物线与轴只有一个交点x ∴,即0=∆048=-m 解之得:2=m 此时,交点坐标为;()0,1-（3）∵抛物线与轴没有交点x ∴,即0<∆048<-m 解之得:.2>m 习题13. 抛物线与轴没有交点,则的取值范围是__________.m x x y +-=62x m 习题14. 抛物线与坐标轴有且只有2个交点,则_________. ()m x x m y 21212++-==m 提示:由题意可知该抛物线与轴只有一个交点,所以且.x 0=∆01≠-m应用四、判断抛物线与直线的相交情况在同一平面直角坐标系中,判断抛物线与直线的相交情况时,可以将问题转化为它们的解析式组成的一元二次方程的根的情况.例8. 当取何值时,抛物线与直线只有一个交点? m 122-++=m x x y m x y 2+=解:由两个函数的解析式可得方程组:⎩⎨⎧+=-++=mx y m x x y 2122整理得到:012=--+m x x ∵抛物线与直线只有一个交点122-++=m x x y m x y 2+=∴()0541412=+=++=∆m m 解之得: 45-=m ∴当时,抛物线与直线只有一个交点. 45-=m 122-++=m x x y m x y 2+=习题15. 若直线与抛物线有交点,则的取值范围是【 】m x y +=x x y 32+=m （A ）≥ （B ）≤m 1-m 1-（C ） （D ）1>m 1<m 应用五、和二次项系数结合确定抛物线与轴的两个交点之间的距离x 对于抛物线,当时,抛物线与轴有两个不同的交()02≠++=a c bx ax y 042>-=∆ac b x 点、,这两个交点之间的距离为. ()0,1x ()0,2x ax x ∆=-21习题16. 求当为何值时,二次函数的图象与轴的两个交点之间的距a 3222++-=a ax x y x 离是3.（答案:或） 23-=a 27=a。
一元二次方程根的判别式的意义及应用
教学目标（一）使学生掌握一二次方程的根的判别式。
（二）使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。
教学重点和难点重点：一元二次方程的根的判别式的运用。
难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解。
教学过程设计（1）（一）复习提问，引入新课1．什么元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式？2．公式适用条件是什么？（二）新课1． 1．根的判别式念在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数b2-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即△=b2-4ac (注意不是△=)2． 2．根的判别式的应用（实际上就是定理）用三个定理来表示（我们通常把记号A B表示为A是命题的条件，B是命题的结论）于是有：定理1ax2+bx+c=0(a≠0)中，△＞0方程有两个不等实数根定理2ax2+bx+c=0(a≠0)中，△=0方程有两个相等实数根定理3ax2+bx+c=0(a≠0)中，△＜0方程没有实数根注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，得另三个定理，那就是定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根△＞0定理5ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根△=0定理6ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根△＜0显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理，定理3与定理6，互为逆定理。
定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。
定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值。
（三）应用举例例1 不解方程，判别下列方程根的情况。
（1）2x2+3x-4=0; (2)16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0解：（1）因为△=32-4×2（-4）=9+32>0;所以原方程有两个不相等的实数根。
（注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式。
一元二次方程的判别式及其应用(含答案)-
一元二次方程的判别式及其应用A 卷1． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式是∆＝_________； 当∆___________时，方程有实数解；当∆_________时，方程有两个不等实数根； 当∆_________时，方程有两个相等实数根； 当∆_________时，方程无实数根；使用判别式时，必须注意的条件是_____________。
2．不解方程，判断下列方程根的情况: （1）____________0322=+x x－（2）____________322=+x x － （3）____________01322=++x x （4）______________02742=+-x x （5）______________7)12(3-=-x x （6）______________1)1(4-=-x x （7）__________0131212=+-x x （8）_____________3)12(3=-+x x x3．若只有一个实数满足关于x 的方程02=++c bx ax ,（其中a,b,c 为实数，且b ≠0），则a,b,c 应满足的条件是______________或_______________。
4．当m 为__________时，二次方程01)1(2)2(22=++--x m x m 有两个不等实根。
5．方程 x |x| - 3 |x| = 4有____________个实根。
6．关于x 的一元二次方程0)()()(2=-+-+-a c x c b x b a 的两根相等，则a,b,c 的关系应为_______________。
7．当m__________时，关于x 的二次方程0)21(2=+--m x m mx 没有实数根。
8．关于x 的一元二次方程01)32(22=++--m x m x 当m_________时，方程有两个不相等的实数根；当m______时，此方程没有实数根；当m_______时，此方程有唯一的实数根。
一元二次方程根的判别式综合应用 2014
一元二次方程根的判别式 2014-5-301.已知b ＜0，关于x 的一元二次方程（x ﹣1）2=b 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根2.已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）. A.当0=k时，方程无解 B.当1=k时，方程有一个实数解 C.当1-=k时，方程有两个相等的实数解 D.当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解3.关于x 的一元二次方程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m 的值及该方程的根.4.已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-b a ab 的值。
5.已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，求a 的值6.若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.7．已知：关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-=（1k ≥）． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）当k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．8.如果关于x 的一元二次方程210kx +=x+1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围和整数k 的值。
9． 已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x⑴求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；⑵若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值；10． 已知：关于x 的一元二次方程23(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.11．已知：关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++=．（1）求证：无论m 为何值，此方程总有两个实数根；（2）若x 为此方程的一个根，且满足06x <<，求整数m 的值．12.求证：方程（m 2＋1）x 2-2mx ＋（m 2＋4）＝0没有实数根．13．已知关于x 的方程221(1)04x a -++=有实根. （1）求a 的值;解：（2）若关于x 的方程2(1)0mx m x a +--=的所有根均为整数，求整数m 的值.解：14. 关于x 的一元二次方程023)3(2=+--x x k 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）求当k 取何正整数时，方程的两根均为整数.15.关于x 的一元二次方程012)1(2=++--m mx x m ．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数.。
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用四川省内江市东兴区顺河中心校高忠全一个公式、一个法则、一个概念，如果用得好、用得妙，它可以帮助我们解答许多复杂的问题。
如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根判别式△＝b2－4ac在中学数学中有着广泛的应用。
一、在因式分解中的应用：在中学数学中，有一些多项式，知道了它能分解成两个一次因式的积，反过来要求多项式中某一个待定系数的值，是初中数学中的一个难点。
但用判别式“△”来解就简单了。
比如：如果x2-y2+mx+5y-6能分解成两个一次因式的积，试求m的值。
解：整理二次三项式:x2-y2+mx+5y-6得x2+mx-(y2-5y+6)令x2+mx-(y2-5y+6)=0把x看成未知数△=m2-4×1×[-(y2-5y+6)]=4ｙ2－２0y+24+m2要使x2-y2+mx+5y-6分解成两个一次因式的积,△必须是一完全平方式即(-２0)2-4×4(24+m2)=0,整理得：m2=1，则m=±1.当m=1时，二次三项式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2+x+5y-6=(x+y)(x-y)+(x+5y)-6=(x+Y-2)(x-y+3).当m=-1时,二次三式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2-x+5y-6=(x+y-3)(x-y+2)。
一个多项式分解因式后,如果有一个因式是二次三项式,这个二次三项式是否还能继续进行因式分解。
就要看这个二次三项式对应的一元二次方程的根判别式△＝b2－4ac的情况,若△≥0时,那么这个二次三项式就能够进行因式分解；如果△＜0时；那么这个二次三项式就不能够进行因式分解,并且当△=0时,二次三项式是一个完全平方式。
如:已知二次三项式3x2-4x+2k,当k取何值时,(1)在实数范围内能分解因式,(2) 在实数范围内不能分解因式,(3)能分解成一个完全平方式。
解:令3x 2-4x+2k=0 ,a=3,b=-4,c=2k, △=b 2-4ac=(-4)2-4×3×2k=16-24k(1) 当△≥0,即16-24k ≥0,得k ≤32时,二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0,即16-24k ＜0,k ＞32时二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内不能分解因式；(3)当△=0,即16－4k=0, k=32时二次三项式3x 2-4x+2k 是一个完全平方式。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有无实数根．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m )＝4＋4m <0，即m <－1.对于方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0，Δ2＝(2m )2－4·m (m ＋1)＝－4m >4，∴方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．同类变式2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m 的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．证明：(1)Δ＝[－(m ＋2)]2－8m＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， 得 ∴x 1＝2/m ，x 2＝ 1. ∵方程的两个根都是正整数， ∴ 是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m ＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求 的值． 解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4. ∴m ＝5/2 或m ＝－3/2. 当m ＝5/2时， 当m ＝－－3/2时， 应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y x ＋1是关于x 的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为222.22m m m x m m 21(21)2m x m 251112;(21)216514m m m 231152.(21)216326m m m()A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根∵y＝x＋1是关于x的一次函数，∴，∴k－1>0，解得k>1，又关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ，∴Δ<0，∴关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.应用5：利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.∴b2＋c2＝a2.∴此三角形是直角三角形．应用6：利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．(1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？(1)由题意，得Δ＝0，解：即m2－4 ＝m2－2m＋1＝0.∴m＝1.故当m为1时，▱ABCD是菱形．此时原方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝.即菱形ABCD的边长为.4a c－4a c－4a c－2m14124m141212(2)由题意知2是关于x 的方程x 2－mx ＋ － ＝0的一个根， ∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋ － ＝0， 解得m ＝ ，故原方程为x 2－ x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝ . ∴AD ＝ . 故▱ABCD 的周长为2× ＝ 5. 2m 142m 1452521212122。
求根公式法解一元二次方程方程根判别式的应用
求根公式法解一元二次方程方程根判别式的应用知识点1.把一元二次方程各系数直接代入求根公式，可以直接得到方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做法。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是。
3.一元二次方程的根的判别式是：△= 。
（1）当△＞0时，一元二次方程的实数根。
（2）当△= 0时，一元二次方程的实数根。
（3）当△＜0时，一元二次方程的实数根。
4.用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式，即的形式；（2）确定，，的值；（3）计算△= b2﹣4ac的值，若△时，则将a. b.c 代入求根公式计算；（4）写出答案：x1= , x2= .5.把一元二次方程左边因式分解，使方程化成两个一次因式的积等于0，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解方程的方法叫法。
6.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式。
即的形式；（2）把方程的左边分解成的形式，右边为；（3）令这两个一次因式分别等于，得到两个一元一次方程；（4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；（5）写出答案。
例1、用公式法解下列方程 1，21202x x -++= 2，2121233x x --+=例2.用因式分解法解下列方程。
（1）26510x x -+= （2）261360x x ++=例3（2010•广州）已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求222(2)4ab a b -+-的值．例3、若关于x 的方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值。
【变式练习】已知a,b,c 为三角形ABC 的三边，且方程()()()()()()0x a x b x b x c x c x a --+--+--=有两个相等的实数根，试判别ABC ∆的形状类型一：求根公式的应用例题：已知()2200a ab b ab +-=≠求a b。
一元二次方程根的判别式应用四注意
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一元二次方程根的判别式的综合应
用
一、知识要点：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a0)中，＞0方程有两个不等实数根.
定理2 ax2+bx+c=0(a0)中，=0方程有两个相等实数根.
定理3 ax2+bx+c=0(a0)中，＜0方程没有实数根.
2、根的判别式逆用（注意：根据课本反过来也成立）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个不等实数根＞0.
定理5 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个相等实数根＝0.
定理6 ax2+bx+c=0(a0)中，方程没有实数根＜0.
注意：（1）再次强调：根的判别式是指=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.
二.根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a0)
解：(1) 2x2+3x-4=0
a=2, b=3, c=-4,
∵=b2-4ac=32-42(-4)=41
方程有两个不相等的实数根。
(2)∵a0,方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
∵=(-b)2-4a0=b2,
∵无论b取任何关数，b2均为非负数，
0，故方程有两个实数根。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；
分析：由判别式定理的逆定理可知（1）＞0；（2）=0；（3）＜0；
解：=(-4)2-4(k-5)=16-4k+20=36-4k
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
＞0，即36-4k＞0.解得k＜9
（2）∵方程有两个不相等的实数根，
=0，即36-4k=0.解得k=9
（3）∵方程有两个不相等的实数根，
0，即36-4k0.解得k
9
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
证明：=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)
=4m2-4(m4+5m2+4)
=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)
=-4(m2+2)2
∵不论m取任何实数(m2+2)2
0,
-4(m2+2)20,即0.
关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
（1）计算（2）用配方法将恒等变形（3）判断的符号（4）结论.其中难点是的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
例4．已知：a、b、c为ABC的三边，当m
0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。
求证ABC为Rt。
证明：整理原方程：
方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2ax =0.
整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0
(c+b)x2-2ax +cm-bm=0
根据题意：
∵方程有两个相等的实数根，
=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0
4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0
ma2-c2m+b2m=0
=m(a2+b2-c2)=0
又∵m
0,a2+b2-c2=0a2+b2=c2又∵a,b,c为ABC的三边，ABC 为Rt。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k 的值可能是（）;
（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;
分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。
即=0
解：（1）令16a2+ka+1=0
∵方程有两个相等的实数根，
=k2-41625=0
k=+40或者-40
（2）令ka2+4a+15=0
∵方程有两个相等的实数根，=16-4k=0k=4
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点
例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？解:列方程组消去y并整理得x2+x-m-1=0
，∵抛物线与直线只有一个交点，
＝0，即4m+5=0
( 说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。
)
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点
分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点（１）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。
可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
①当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。
②当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。
③当时，抛物线与x轴没有交点。
例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：
（１）（２）（３）
解：（１）＝16-12=4
0抛物线与x轴有两个交点。
（２）＝36-36=0抛物线与x轴只有一个公共点。
（３）＝4-16=-120抛物线与x轴无公共点。
例8、已知抛物线
（１）当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点？
（２）当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标。
（３）当m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点？
解：令y=0，则＝4-4(m-1)= -4m+8
(1)∵抛物线与x轴有两个公共点，
0，即4m+8
0m2
(2)∵抛物线和x轴只有一个公共点，＝0，即4m+8=0m=2
当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= -1，抛物线与x轴公共点坐标为（-1,0）。
(3)∵抛物线与x轴没有公共点，0，即－4m+80，m
2
当m
2时，抛物线与x轴没有公共点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（
0）与x轴两交点间的距离的问题.
分析:抛物线（
0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程的两根差的绝对值。
它有以下表示方法：
例9:求当a为何值时?二次函数图象与x轴的两个交点间的距离
是3。
解：令y=0，得方程，设这个一元二次方程的两根分别为x1和x2，则由得，即。
进而得a=或a=。
当时，图象与x轴两个交点间的距离是3。