高数极限与函数等价代换公式
高数重要定理(高数上下)
4.如果欲证等式，则再应用介值定理即可证明；如果欲证不等式，
则继续取绝对值放大、缩小即可证明.
1．水平渐近线
若 xli→m∞ f (x)= A ( 或 xl→im+∞ f (x)= A或 xl→im−∞ f (x)= A),则 y = A是曲线
y= f (x)的一条水平渐近线．
2．垂直（竖直、铅直）渐近线
g(x) (3) 已知lim f (x)g(x)= A，lim f (x)=∞，
则limg(x)=0.
1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续. 2.初等函数在其定义区间内处处连续. 3.闭区间上连续函数的性质
(1)最值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上必有最大值
（1）高阶：若lim α ( x) = 0，记为α ( x) = ο[β ( x)]; β ( x)
（2）低阶：若lim α ( x) = ∞，记为β ( x) = ο[α ( x)]; β ( x)
（3）同阶： 若lim α ( x) = C ≠ 0,记为α ( x) = O[β ( x)]; β ( x)
(ln
x).
(4) ∫ f (
x)
dx x
=
2∫
f
(
x)d(
x ).
(5) ∫ f (cos x)sin xdx = −∫ f (cos x) d (cos x).
(6)
∫
f
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞ ⎟⎠
dx x2
=
−∫
f
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞⎟⎠d
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞⎟⎠.
定积分的性质：
(1)
a
高数公式(精简版)
高数公式集萃一、极限重要公式（1）0sin lim 1x xx→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >=（4）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→−∞=−（7） （8）lim arc cot 0x x →∞=lim arc cot x x π→−∞= （9）lim 0xx e →−∞=（10） （11）lim x x e →+∞=∞0lim 1xx x +→= 二、常用等价无穷小关系（0x →）（1）sin x x （2）tan x x （3）arcsin x x （4）arctan x x （5）211cos 2x x − （6）()ln 1x x + （7） （8） （9）1x e − x a 1ln x a x − ()11x x ∂+−∂三、导数的四则运算法则（1） （2）()u v u v ′′±=±′()uv u v uv ′′′=+ （3）2u u v u v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠v 四、基本导数公式⑴() ⑵0c ′=1x xμμμ−= ⑶()sin cos x x ′=⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− x ⑼()xxe ′⑺()sec sec tan x x ′=⋅x ⑻()csc csc cot x x ′=−⋅e=⑽() ⑾()ln xxaa′=a 1ln x x ′= ⑿()1log ln x a x a′=⒀()arcsin x ′=⒁()arccos x ′= ⒂()21arctan 1x x ′=+ ⒃()21arc cot 1x x′=−+（17）′=五、微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()d u v du dv ±=±()d cu cdu =()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠六、微分公式与微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()0d c =()1d xxdx μμμ−=()sin cos d x xd =x x x⑷ ⑸ ⑹()cos sin d x xd =−()2tan sec d x xd =()2cot csc d x xd =−x x x ⑺ ⑻ ⑼()sec sec tan d x x xd =⋅()csc csc cot d x x xd =−⋅()xxd e e dx =⑽ ⑾()ln x x d a a adx =()1ln d x dx x =⑿()1log ln x a d dx x a=⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =−+ 七、下列常用凑微分公式八、中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
极限的代换公式
极限的代换公式
极限的代换公式是数学中常用的一种方法，用于解决函数在某一点的极限问题。
它是基于函数的局部性质和函数的连续性原理，通过代换使得原函数可以化简为更容易处理的形式。
在极限的代换公式中，我们可以假设函数在某一点的极限存在，并通过一系列的代换来求得这个极限的值。
例如，当我们需要求函数
f(x)在x=a处的极限时，可以将x-a代换为t，那么当x趋近于a时，t也趋近于0。
这样一来，原来的函数f(x)可以转化为一个新的函数f(t)，并且我们可以通过对f(t)的处理来求得f(x)在x=a处的极限。
通过极限的代换公式，我们可以解决一些常见的极限问题，例如求多项式函数、指数函数、对数函数等在某一点的极限。
通过代换，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而更容易求得极限的值。
在极限的代换公式中，我们需要注意一些细节。
首先，我们需要确保代换后的新函数与原函数在极限点附近有相同的性质。
其次，我们需要注意代换后的函数是否在极限点附近有定义。
最后，我们需要注意代换是否涉及到不可解的情况，例如除以0或开根号等。
总的来说，极限的代换公式是一种常用且有效的数学工具，可以帮助我们解决一些复杂的极限问题。
通过合理的代换，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而更容易求得极限的值。
但是在使用代换时，我们需要注意一些细节，确保代换的正确性和有效性。
只
有在合适的情况下，极限的代换公式才能发挥出它的优势，帮助我们解决数学问题。
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学中，等价无穷小是很常见的概念。
等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数和它的无穷小表达式之间的关系。
在本文中，我们将介绍高等数学中几个常用的等价无穷小公式及其应用。
一、等价无穷小的定义在函数f(x)中，当x趋于a时，如果存在一个函数g(x)，满足当x 趋于a时，f(x)与g(x)的差趋于0，那么我们称g(x)是f(x)在x趋于a时的等价无穷小。
使用符号记作f(x)≈g(x)。
二、常用的等价无穷小公式1. 当x趋于0时，有以下等价无穷小公式：- sin(x)≈x- tan(x)≈x- arcsin(x)≈x- arctan(x)≈x- ln(1+x)≈x- e^x-1≈x2. 当x趋于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- e^x-1≈x- ln(1+x)≈x- sin(x)≈x- tan(x)≈x- arcsin(x)≈x- arctan(x)≈x三、等价无穷小的应用等价无穷小的公式在高等数学中有广泛的应用，特别是在极限计算中。
通过将函数替换为与其等价的无穷小形式，可以简化复杂的计算过程。
举个例子来说明，我们来计算lim(x→0) (sin(x)/x)。
由于sin(x)在x趋于0时与x是等价无穷小，因此可以将sin(x)替换为x。
这样，我们的极限计算就变成了lim(x→0) (x/x)，结果为1。
四、高等数学等价无穷小的注意事项在使用等价无穷小公式时，需要注意以下几个问题：1. 应该选择与原函数在某一特定点附近具有相同性质的等价无穷小。
2. 当使用等价无穷小公式进行计算时，需要满足等价无穷小的定义，即两个函数的差趋于0。
3. 在实际应用中，需要结合具体问题进行思考，是否适用等价无穷小公式。
综上所述，等价无穷小是高等数学中的重要概念，可以简化复杂的计算过程。
通过掌握常用的等价无穷小公式，我们可以更加高效地进行极限计算，并且在实际问题中能够灵活运用。
希望本文对您理解和应用等价无穷小有所帮助。
高数函数极限方法总结
高数函数极限方法总结
9、收敛数列的性质
1.收敛数列与其子数列收敛同一个数 2、（极限存在性定理）单调递增有上 界函数收敛，单调递减有下界函数收敛 。（证明） 利用每项数列趋于同一数方程求解。（ 求出极限）
高数函数极限方法总结
17、对数恒等式、幂指函数
lim f ( x ) g ( x)
高数函数极限方法总结
18、利用Taylor公式求极限
泰勒展开式公式 (含有e的x次方的时候 ，尤 其是含有正余弦的加减的时候要特别注意E
高数函数极限方法总结
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
高数函数极限方法总结
14、函数的连续性
高数函数极限方法总结
15、特殊型
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函 数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看 出来了
等比等差数列公式应用
（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
高数函数极限方法总结
10、无穷小和无穷大的性质：
无穷小与有界函数的处理办法 尤其对正余旋的复杂函数与其他函数相乘的形式
相同极限条件下 1.有限个无穷小的和是无穷小，无限个不一定 2.无穷小与有界函数的乘积是无穷小 3.有限个、无限个无穷小的乘积是无穷小
4.有限个无穷大之积是无穷大 5.无穷大与有界函数之和是无穷大，之积不一定 6.同号无穷大之和是无穷大
一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件： （1）从某项起，即当n>n。，其中n。∈N，有Yn≤Xn≤Zn。 (n=n。+1，n。+2
高数 极限计算 泰勒公式
高数极限计算泰勒公式
高数中的极限计算是指当一个函数的变量趋近于特定值或者无穷时，函数值接近于某一特定值的概念，极限计算用于求解一些模糊不定的函数表达式、不可解的不定积分及确定非线性微分方程的问题，极限计算的最经典方法就是泰勒公式。
泰勒公式（Taylor’s theorem）是一种可以用来求解复杂函数的极限计算方法，它是一种连续函数的一阶无穷近似，也就是可以将一个函数f(x)无穷近似等价于函数Rn(x)，这个无穷近似的函数Rn(x)可以用如下方式来表示：
Rn(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-
a)^3/3!+....+f^(n)(a)(x-a)^n/n!
其中a为函数f(x)的某一点，Rn(x)是f(x)的后n项泰勒展开式，当n趋向无穷的时候，Rn(x)接近f(x)的极限，而这就可以用来求解复杂函数的极限。
高数常用等价无穷小
常用等价无穷小
常用等价无穷小替换规定：可用于乘、除。
加、减在一定情况下仍然可用，下文将给出加、减等价代换的公式
● 当x →0时 乘除
1. Sinx=x 推广 ：sin 狗=狗
2. arcsinx=x arcsin 狗=狗
3. tanx=x tan 狗=狗
4. arctanx=x arctan 狗=狗
5. ln （1+x ）=x ln(1+狗)=狗
6. e x −1=x e 狗−1=狗
7. （1+x ）a -1=ax （1+x ）a
-1=a 狗
8. 1-cosx=12x 2 1-cos 狗=12狗2 注：“狗”代表任意数，例如：x+3、x n 等等
● 当x →0时 加减
1. X+sinx=2x x+arcsinx=2x
2. x-sinx=16x 3 x-arcsinx =-16
x 3 3. 1-cos =12x 2
注：1、之所以能如此代换，是因为在泰勒展开式中，有以下的展开式。
2、在极限的计算中，要抓大头（即极限趋向于0速度越快的一项，可以忽略不计），所以计算+法时，省略去x 后的高阶无穷小；--法计算时，由于x 项被减去，所以得到x 3。
这也正是书本上描述，加减法要慎重使用的原因
当x 0时
sinx=x - 1
x3+0(x3)0(x3)表示佩亚诺余项
6
Arcsinx= x+1
x3+0(x3)
6
Tanx= x+1
x3+0(x3)
3
Arctanx= x-1
x3+0(x3)
3
x2+0(x2)
Cosx= 1-1
2。
极限等价公式
极限等价公式
极限等价是数学中一个重要的概念，它是指当函数f(x)的值接近极限而不会
发生变化时，我们可以称函数f(x)的x的极限为相等的，简称“极限等价”，即
极限L＝非极限f(x)。
极限等价这一概念在微积分中发挥着重要作用，其主要应用有以下几类：
第一类是在定义不同函数下拉取相应极限，以求出极限等价表达式；第二类
是在函数连续性中，把函数f(x)的极限和f(x)的结果代入极限等价表达式，求出
最终的结果；第三类是在求定积分时，把函数f(x)及其极限分别代入极限等价表
达式，结合积分的性质和现实条件来求取积分的最终解。
极限等价这一概念有着复杂而又深刻的数学内涵，不仅仅是让学生们掌握数学
的基础和思想，更重要的是能够让他们对“极限等价”有更深刻的理解，从而达到在高级应用中正确使用极限等价这一概念，从而保证更准确、更有效的分析数学问题。
综上所述，极限等价是数学中一个根深蒂固的概念，它追溯到定义、函数连续
性以及求定积分的基础，是一种高科技的数学方法，可以帮助社会研究复杂的问题，推动社会技术的进步。
极限等价代换条件
极限等价代换条件极限等价代换是微积分中的重要概念，它在求解极限问题时起到了关键作用。
本文将从不同角度探讨极限等价代换条件，并介绍它在实际问题中的应用。
一、极限等价代换的定义和条件极限等价代换是指在一些特殊情况下，可以用一个函数去近似另一个函数，从而求得极限。
设函数f(x)和g(x)在某点x=a附近有定义，并满足以下条件：1. 当x趋近于a时，f(x)和g(x)趋近于同一极限L；2. 在x=a附近，g(x)不为0。
在满足以上条件的前提下，我们可以将f(x)近似地等价于g(x)，即f(x)可以用g(x)来代替。
二、极限等价代换的原理极限等价代换的原理可以用以下定理来表述：若函数f(x)和g(x)在点x=a附近有定义，并满足极限等价代换条件，即满足条件1和条件2，那么当x趋近于a时，f(x)和g(x)的极限相等。
三、极限等价代换的应用极限等价代换在实际问题中有广泛的应用，下面将以几个典型例子来说明。
1. 求极限：当x趋近于0时，sin(x)/x的极限。
根据极限等价代换的原理，我们可以将sin(x)近似地等价于x，当x 趋近于0时，sin(x)/x的极限即为1。
这个极限在计算机图像处理、信号处理、物理学等领域都有重要的应用。
2. 求极限：当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限。
根据极限等价代换的原理，我们可以将(1+1/x)^x近似地等价于e，其中e为自然对数的底数。
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限即为e。
这个极限在金融、概率统计、计算机科学等领域都有广泛的应用。
3. 求极限：当x趋近于0时，(1+sin(x))/x的极限。
根据极限等价代换的原理，我们可以将(1+sin(x))/x近似地等价于2，当x趋近于0时，(1+sin(x))/x的极限即为2。
这个极限在物理学、信号处理、电路设计等领域都有重要的应用。
四、极限等价代换的局限性尽管极限等价代换在许多问题中都具有广泛的应用，但它并不是万能的。
考研数学高数1极限与函数
第一讲：极限与函数数列极限：数列极限的严格定义不需要掌握，但需要理解如下定理：lim {}n n n x a x a →∞=⇔-是无穷小量数列极限的四则运算：设lim n n x x →∞=，lim n n y y →∞=，则：lim()n n n x y x y →∞±=±、lim()n n n x y xy →∞=、lim()(0)n n n x xy y y→∞=≠ 推论：若lim 0n n x →∞=，数列{}n y 有界，则lim 0n n n x y →∞=例：计算下列极限n n n n n 323)1(lim ++-∞→ )12(lim --+∞→n n n n数列极限的性质唯一性：如果数列{}n x 收敛，则其期限必唯一 有界性：如果数列{}n x 收敛，则该数列必定有界保序性：设数列{}n x 、{}n y 均收敛，且当n 足够大时，有n n x y >，则必有lim lim n n n n x y →∞→∞≥保序性的推论（保号性）：设数列{}n x 收敛，且当n 足够大时，有0n x >，则必有lim 0n n x →∞≥注意：1、后面的不等式并不是严格的不等号；2、保序性的逆命题不一定成立思考：求如下几个数列的极限：1111{sin }{sin }{sin }n n n n n n、、数列极限的三个常用定理：数列与其子列的关系：如果数列{}n x 收敛，则其任意子列均收敛，且收敛于同一极限lim n n x →∞；如果数列{}n x 中存在两个子列收敛于不同的极限，或是一个收敛一个发散到无穷大，则{}n x必发散。
例：计算(1)1lim[]nn n n-→∞+夹逼准则：如果当n 足够大时，数列{}n x 、{}n y 、{}n z 满足不等式n n n x y z ≤≤，且{}n x 、{}n z 收敛于同一极限，则{}n y 必收敛于该极限例：计算下列极限1、设0>>>c b a ，nn n n n c b a x ++=，求222111lim (1)(2)nn n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦2、2lim n n →∞⎛⎫+++ 3、222111lim (1)(2)n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦4、（思考）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n （需要用定积分来求）单调有界数列必收敛定理：如果数列{}n x 单调递增且有上界，或是单调递减且有下界，则{}n x 必收敛。
高数等价无穷小替换条件
高数等价无穷小替换条件高数中，等价无穷小替换条件是指在一些极限计算中，我们可以将一个无穷小量替换成另一个等价无穷小量，而不改变极限的结果。
这个思想在极限计算中具有重要的应用价值。
那么，何时可以使用等价无穷小替换呢？下面将一步一步回答这个问题。
首先，我们需要明确等价无穷小的定义。
在数学中，我们说函数f(x) 在x=a 处是无穷小量，是指当x 接近a 时，f(x) 的值也趋近于零。
而两个函数f(x) 和g(x) 在x=a 处是等价无穷小量，是指当x 接近a 时，f(x)/g(x) 的极限为1。
也就是说，两个函数的值在极限意义下极为接近。
那么，何时可以使用等价无穷小替换呢？主要有以下几种情况：情况一：函数间的代换在计算极限的过程中，我们可能遇到一些复杂的函数形式，难以直接计算。
这时，我们可以找到与其等价的更简单的函数来代替。
例如，当x 接近零时，可以将sin(x) 等价替换成x，cos(x) 等价替换成1，e^x 等价替换成1+x，ln(1+x) 等价替换成x，等等。
这样，原本复杂的函数就变得更简单，方便我们进行极限计算。
情况二：无穷大量的比较在极限计算中，经常会出现两个无穷大量（也称为无穷大函数）相除的情况，如lim[x→∞] (x^2+3x)/(2x^2-5x)。
此时，我们需要比较两个无穷大量的增长速度，以判断其大小关系。
常见的无穷大量的增长速度由小到大排列如下：常数< 对数函数< 幂函数< 指数函数。
根据这个顺序，我们可以确定两个无穷大量的大小关系，并进行等价无穷小替换。
例如，对于上述的极限计算，x^2 和2x^2 这两个无穷大量可等价替换，因为它们具有相同的增长速度，因而可以用1/2 来代替。
情况三：无穷小量的忽略在一些极限计算中，出现了一些含有无穷小量的表达式。
根据等价无穷小替换条件，当无穷小量相加或相乘时，我们可以忽略掉其中的无穷小量。
这是因为在极限计算中，我们关注的是函数在某一点的极限行为，而无穷小量相对于其他量来说已经趋近于零，因此在计算极限时可以忽略掉。
常用极限等价公式
常用极限等价公式在数学中，极限是一种重要的概念，它描述了函数在一些点附近的趋势或变化，对于求解限制条件和分析函数行为非常有用。
在数学分析中，我们经常会遇到各种各样的函数，为了简化计算和分析，常常会使用极限等价公式。
极限等价公式是一系列能够变换极限表达式的公式，它们可以将复杂的函数表达式简化为更简单的形式，从而更容易求解和分析。
下面列举几个常用的极限等价公式：1. 常数倍关系：若c为常数且f(x)在x=a处存在极限L，则lim(c*f(x), x->a)=cL。
这个公式指出，函数乘以一个常数不会改变极限的值。
2. 加法关系：若f(x)和g(x)在x=a处存在极限L和M，则lim(f(x)+g(x), x->a)=L+M。
这个公式指出，两个极限的和等于它们分别的极限之和。
3. 减法关系：若f(x)和g(x)在x=a处存在极限L和M，则lim(f(x)-g(x), x->a)=L-M。
这个公式指出，两个极限的差等于它们分别的极限之差。
4. 乘法关系：若f(x)和g(x)在x=a处存在极限L和M，则lim(f(x)*g(x), x->a)=L*M。
这个公式指出，两个极限的乘积等于它们分别的极限之乘积。
5. 除法关系：若f(x)和g(x)在x=a处存在极限L和M（且M不等于0），则lim(f(x)/g(x), x->a)=L/M。
这个公式指出，两个极限的商等于它们分别的极限之商。
6. 幂函数关系：若f(x)在x=a处存在极限L，则lim(f(x)^n, x->a)=L^n，其中n为正整数。
这个公式指出，幂函数的极限等于函数极限的幂。
7. 自然对数函数关系：若f(x)在x=a处存在极限L（且L为正数），则lim(ln(f(x)), x->a)=ln(L)。
这个公式指出，自然对数函数可以将指数函数的极限转化为自然对数的极限。
8. 指数函数关系：若f(x)在x=a处存在极限L（且L不等于0），则lim(a^f(x), x->a)=a^L，其中a为正实数且a不等于1、这个公式指出，指数函数的极限等于函数极限的指数。
高数等价无穷小公式
当x趋近于0的时候有以下几个常用的等价无穷小的公式：1、sinx~x、tanx~x、arcsinx~x、arctanx~x、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
2、（a^x）-1~x*lna [a^x-1)/x~lna]
3、（e^x）-1~x、ln(1+x)~x
4、(1+Bx)^a-1~aBx、[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x、
loga(1+x)~x/lna、（1+x)^a-1~ax(a≠0)。
扩展资料：
两个重要极限：
1、
2、
（其中e=2.7182818 是一个无理数，也就是自然对数的底数）。
无穷小的性质：
1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
3、无穷小量与自变量的趋势相关。
4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
无穷小比阶：
高低阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=0，则称当x趋近于x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。
同阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=c（c不等于0），ƒ和ɡ为x趋近于x0时的同阶无穷小量。
等价无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=1，则称ƒ和ɡ是当x趋近于x0时的等价无穷小量，记做f（x）~g（x）[x趋近于x0]。
高数重要知识点
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim1l = 0,称f x 是比gx 高阶的无穷小,记以f x = 0)(x g ,称gx 是比fx 低阶的无穷小; 2l ≠ 0,称f x 与gx 是同阶无穷小;3l = 1,称f x 与gx 是等价无穷小,记以f x ~ gx 2 常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x1 cos x ~ 2/2^x , x e 1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α二 求极限的方法1．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．夹逼定理设gx ≤ f x ≤ hx 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim0=→x xx 公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：10)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ；2)(x f 与)(x F 在0x3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达H L 'ospital 法则.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解 该极限属于“0”型不定式,于是由洛必达法则,得0e 1lim x x x →-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx→．解 该极限属于“0”型不定式,于是由洛必达法则,得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即二、∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： 1∞=→)(lim 0x f x x ,∞=→)(lim 0x F x x ；2)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ；3)()(lim 0x F x f x x ''→存在或为无穷大,则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式,连续n 次施行洛必达法则,有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： 1洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； 2只要条件具备,可以连续应用洛必达法则；3洛必达法则的条件是充分的,但不必要．因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆如果存在8．利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n 如果存在三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f x 的间断点;如果f x 在间断点0x 处的左、右极限都存在,则称0x 是f x 的第一类间断点;第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点; 2第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点;常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点;四．闭区间上连续函数的性质在闭区间a ,b 上连续的函数f x ,有以下几个基本性质;这些性质以后都要用到;定理1．有界定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,则f x 必在a ,b 上有界;定理2．最大值和最小值定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m ;定理3．介值定理如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,且其最大值和最小值分别为M 和m ,则对于介于m 和M 之间的任何实数c ,在a ,b 上至少存在一个ξ ,使得f ξ = c推论：如果函数f x 在闭区间a ,b 上连续,且f a 与f b 异号,则在a ,b 内至少存在一个点ξ ,使得f ξ = 0这个推论也称为零点定理第二章 导数与微分1.复合函数运算法则设y = f u ,u = x ,如果 x 在x 处可导,f u 在对应点u 处可导,则复合函数y = f x 在x 处可导,且有)('))(('x x f dxdudu dy dx dy φφ==对应地dx x x f du u f dy )('))((')('φφ==,由于公式du u f dy )('=不管u 是自变量或中间变量都成立;因此称为一阶微分形式不变性; 2.由参数方程确定函数的运算法则设x = t ,y =)(t ϕ确定函数y = yx ,其中)('),('t t ϕφ存在,且)('t φ≠ 0,则)(')('t t dx dy φϕ= 二阶导数3.反函数求导法则设y = f x 的反函数x = gy ,两者皆可导,且f ′x ≠ 0 则)0)('())(('1)('1)('≠==x f y g f x f y g4 隐函数运算法则可以按照复合函数理解设y = yx 是由方程Fx , y = 0所确定,求y ′的方法如下：把Fx , y = 0两边的各项对x 求导,把y 看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y ′ 的表达式允许出现y 变量 5 对数求导法则 指数类型 如x x y sin =先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y ′; 对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数注意定义域 P106 例6关于幂指函数y = f xg x 常用的一种方法,y = )(ln )(x f x g e 这样就可以直接用复合函数运算法则进行; 6 可微与可导的关系f x 在0x 处可微 f x 在0x 处可导;7 求n 阶导数n ≥ 2,正整数先求出 y ′, y ′′,…… ,总结出规律性,然后写出yn ,最后用归纳法证明;有一些常用的初等函数的n 阶导数公式 （1） x n x e y e y ==)(, （2） n x n x a a y a y )(ln ,)(== （3） x y sin =,)2sin()(πn x y n += （4） x y cos =,)2cos()(πn x y n +=5x y ln =,n n n x n y ----=)!1()1(1)(第三章 微分中值定理与导数应用一 罗尔定理 设函数 f x 满足1在闭区间a ,b 上连续；2在开区间a ,b 内可导；3 f a = f b 则存在ξ ∈a ,b ,使得f ′ξ = 0二 ★拉格朗日中值定理证明不等式 P134 9、10设函数 f x 满足1在闭区间a ,b 上连续；2在开区间a ,b 内可导；则存在ξ ∈a ,b ,使得)(')()(ξf ab a f b f =-- 推论1．若f x 在a ,b 内可导,且f ′x ≡ 0,则f x 在a ,b 内为常数;推论2．若f x , gx 在a ,b 内皆可导,且f ′x ≡ g ′x ,则在a ,b 内f x = gx + c ,其中c 为一个常数; 三 柯西中值定理设函数f x 和gx 满足：1在闭区间a ,b 上皆连续；2在开区间a ,b 内皆可导；且g ′x ≠0则存在ξ ∈a ,b 使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--)(b a <<ξ注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形gx = x 时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理;四 ★泰勒公式① 估值 ② 求极限麦克劳林 P145 T10 定理 1．皮亚诺余项的n 阶泰勒公式 设f x 在0 x 处有n 阶导数,则有公式,称为皮亚诺余项对常用的初等函数如x e ,sin x ,cos x ,ln1+ x 和α)1(x + α 为实常数等的n 阶泰勒公式都要熟记;定理2拉格朗日余项的n 阶泰勒公式设f x 在包含0 x 的区间a ,b 内有n +1阶导数,在a ,b 上有n 阶连续导数,则对x ∈a ,b ,有公式,,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0 x 为中心的n 阶泰勒公式;当0x =0 时,也称为n 阶麦克劳林公式;导数的应用一 基本知识设函数f x 在0x 处可导,且0x 为f x 的一个极值点,则0)('0=x f ;我们称x 满足0)('0=x f 的0x 称为)(x f 的驻点,可导函数的极值点一定是驻点,反之不然;极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点中进一步去判断; 极值点判断方法)(x f 在0x 的邻域内可导,且0)(0='x f ,则①若当0x x <时,0)(>'x f ,当0x x >时,0)(<'x f ,则0x 为极大值点；②若当0x x <时,0)(<'x f ,当0x x >时,0)(>'x f ,则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号,则0x 不是极值点.② 第二充分条件)(x f 在0x 处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f ,则①若0)(0<''x f ,则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点.二 凹凸性与拐点 1．凹凸的定义设f x 在区间I 上连续,若对任意不同的两点1 2 x , x ,恒有 则称f x 在I 上是凸凹的;在几何上,曲线y = f x 上任意两点的割线在曲线下上面,则y = f x 是凸凹的;如果曲线y = f x 有切线的话,每一点的切线都在曲线之上下则y = f x 是凸凹的; 2 拐点的定义曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点; 3 凹凸性的判别和拐点的求法 设函数f x 在a ,b 内具有二阶导数)(''x f ,如果在a ,b 内的每一点x ,恒有)(''x f > 0,则曲线y = f x 在a ,b 内是凹的； 如果在a ,b 内的每一点x ,恒有)(''x f < 0,则曲线y = f x 在a ,b 内是凸的; 求曲线y = f x 的拐点的方法步骤是： 第一步：求出二阶导数)(''x f ；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点k x x x ,...2,1 ；第三步：对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标； 第四步：求出拐点的纵坐标; 四 渐近线的求法 五 曲率第四章 不定积分一基本积分表：二 换元积分法和分部积分法 换元积分法1第一类换元法凑微分：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2第二类换元法变量代换：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ分部积分法使用分部积分法时被积函数中谁看作)(x u 谁看作)('x v 有一定规律;记住口诀,反对幂指三为)(x u ,靠前就为)(x u ,例如xdx e x arcsin ⎰,应该是x arcsin 为)(x u ,因为反三角函数排在指数函数之前,同理可以推出其他; 三 有理函数积分 有理函数：)()()(x Q x P x f =其中)()(x Q x P 和是多项式; 简单有理函数： ⑴21)()(,1)()(x x P x f x x P x f +=+=⑵))(()()(b x a x x P x f ++=⑶ba x x P x f ++=2)()()(1、“拆”；2、变量代换三角代换、倒代换、根式代换等.第五章 定积分一概念与性质1、 定义：∑⎰=→∆=ni ii bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2、 性质：10条（3）3 基本定理变上限积分：设⎰=Φxadtt f x )()(,则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ N —L公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰4 定积分的换元积分法和分部积分法第六章 定积分的应用（一）平面图形的面积1、 直角坐标：⎰-=badx x f x f A )]()([122、 极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、 旋转体体积： a 曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=ba xdx x f V )(2πb 曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴,绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=baydx x xf V )(2π 柱壳法2、 平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、 直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、 参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()( 极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(第七章 微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=,两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三） 齐次型方程)(x y dx dy ϕ=,设x y u =,则dxdux u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=,设y x v =,则dydv y v dy dx += （四） 一阶线性微分方程用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dxx P )()()(（五） 可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =,两边积分n 次；2、),(y x f y '=''不显含有y ,令p y =',则p y '=''；3、),(y y f y '=''不显含有x ,令p y =',则dy dppy =''（六） 线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解,则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解,则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解,其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解,*y 非齐次方程的特解.（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ,特征根： 21,r r（八） 常系数非齐次线性微分方程1、)()(x P e x f m x λ=设特解)(*x Q e x y m x k λ=,其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]xx R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=,其中 } ,max{n l m =,⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。
高数重要定理(高数上下)
1.找 n；
2.确定 x0，将函数 f (x)在点 x0处展开成泰勒公式.一般题设中会
提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点 x ，通常取 x 为函数值
0
0
为零的点、导数值为零的点、区间中点、函数的极值点或题设中
给出的其他特殊的点.
3.将区间端点a和b分别代入泰勒展开式，把得到的两个展开式相
加或相减.
若C = 1，称α ( x), β ( x)是等价无穷小，记为α ( x) ∼ β ( x);
（4）无穷小量的阶:
若lim
α(x) [β ( x)]k
=C
≠ 0，称α ( x)是β ( x)
的k 阶无穷小量.
宝典公式： (1) limg(x)=0, lim gf ((xx))= A，则lim f (x)=0； (2) lim f (x)=0, lim f (x)= A≠0，则limg(x)=0；
求导法则： 1．四则运算法则； 2．复合函数求导法； 3．隐函数求导法； 4．反函数求导数； 5．参数方程求导法； 6．对数求导法； 7．高阶导数.
高阶导数
1．归纳法
求一阶 y′、二阶 y′′，归纳n阶导数 y(n)． 2．公式法（莱布尼兹公式）：(uv)(n) = ∑n Cnk u(k) v(n−k).
g(x) (3) 已知lim f (x)g(x)= A，lim f (x)=∞，
则limg(x)=0.
1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续. 2.初等函数在其定义区间内处处连续. 3.闭区间上连续函数的性质
(1)最值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上必有最大值
x→a F ′( x)
( x→∞)
高阶等价无穷小公式
高阶等价无穷小公式
高阶等价无穷小公式是微积分中常用的概念，它描述了函数在某点附近的变化规律。
在高数学习中，学生们需要掌握高阶等价无穷小公式的相关知识。
高阶等价无穷小公式可以用于计算函数的极限和导数，一般表示为：
f(x) = g(x) + O(h(x))
其中，g(x)是f(x)的主项，h(x)是f(x)的次项，O(h(x))表示比h(x)高阶的无穷小。
具体来说，当x趋近于某个值a时，如果f(x)与g(x)之差的绝对值趋近于0，同时f(x)与h(x)之差的绝对值趋近于0，那么就可以说f(x)是g(x)的高阶等价无穷小。
在实际应用中，高阶等价无穷小公式可以用于求解一些极限和导数的问题，例如：
lim(x->0) [sin(x)/x] = 1
lim(x->∞) [1 + 1/x]^x = e
f'(x) = g'(x) + O(h'(x))
其中，f'(x)表示f(x)的导数，g'(x)表示g(x)的导数，h'(x)
表示h(x)的导数。
这个公式可以用于计算函数在某点处的导数，只需要求出主项的导数和次项的导数即可。
总之，学习高阶等价无穷小公式对于掌握微积分知识非常重要，它可以帮助我们更加深入地理解函数在某点附近的变化规律，也可以用于解决一些实际问题。
极限的代换公式
极限的代换公式
在数学中，极限的代换公式是一种重要的工具，它能够帮助我们在求解复杂的极限问题时简化计算过程。
极限的代换公式是一种基于数学推导和逻辑思维的方法，它可以将原本复杂的极限问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
以求解函数极限为例，当我们遇到形如lim(x→a) f(x)的极限问题时，如果直接计算f(a)的值并不容易，我们可以利用极限的代换公式来简化计算。
代换公式的基本思想是，当x趋向于某个特定的值a时，如果函数f(x)可以通过对x的变换得到一个新的函数g(x)，且lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) f(x)也存在，并且等于lim(x→a) g(x)。
通过代换公式，我们可以将原本复杂的函数进行变换，使其更易于求解。
例如，对于lim(x→0) sin(x)/x这个经典的极限问题，我们可以通过代换公式来简化计算。
将sin(x)除以x后得到1，即g(x)=1。
因此，lim(x→0) sin(x)/x等于lim(x→0) 1，也就是1。
极限的代换公式在求解极限问题时起到了至关重要的作用。
它不仅可以简化计算过程，还可以帮助我们更好地理解极限的性质和特点。
通过代换公式，我们可以将复杂的极限问题转化为简单的形式，从而更好地掌握极限的概念和应用。
总的来说，极限的代换公式是数学中一种重要的工具，它能够帮助
我们简化极限问题的计算过程，提高求解的效率。
通过代换公式，我们可以将原本复杂的极限问题转化为简单的形式，从而更好地理解和应用极限的概念。
在数学学习中，我们应该深入理解代换公式的原理和方法，并灵活运用，以提升自己的数学能力和解题水平。