极坐标与参数方程复习PPT课件
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高考总复习数学(文)：18.2 极坐标与参数方程 精品优选公开课件
【失误与防范】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不
仅仅是把其中的参数消去，还要注意 x，y 的取值范围，也即在 消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. ①题很容易忽略参数范围 0≤θ≤ π ，②题很容易忽略参数方程
2 中 0≤sin2θ≤1 而出错.
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
φ， φ
转换
成普通方程为 y＝x－a 和x92＋y42＝1，直线与 x 轴的交点为(a,0)
就是椭圆的右顶点(3,0)，所以 a＝3.
答案：3
【方法与技巧】常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参 数方程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、 椭圆的参数方程)等.经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲 线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围， 确保普通方程与参数方程等价.
_______________________________.
(2)柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式：
①柱坐标化为直角坐标公式： xy＝ ＝ρρcsionsθθ，， z＝z；
____________________.
x＝rsinφcosθ，
②球坐标化为直角坐标公式：
y＝rsinφsinθ， z＝rcosφ
C．x2＋y－122＝14
D.x－122＋y2＝14
3．若直线的参数方程为xy＝ ＝12＋ －23tt， (t 为参数)，则直线的
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5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
极坐标和参数方程ppt课件
解 由 公 式 1 0 - 1 ,可 得 :
x5cos352,
y5sin3523.
极坐标和参数方程
于 是 得 点 M 的 直 角 坐 标 为 5 2,523 .我 们 也 可 以 把 点 M 的
直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 ,由 公 式 101变 化 可 得 :
2 x2 y2
tan y x 0
例6 作出下列极坐标方程的图像.
(1) aa0; (2) .
2
解 (1)对于方程 a a 0,
可以看出,当取任何值时, 的
取值都是a,因此方程的图像是 以 极 点 O为 圆 心 , a为 半 径 的 圆
图 10-8 ;
a
x
O
a
a,0
图 1 0 8 例 6 题 ( 1 ) a a 0 的 图 像
设M1,是极坐标系中任意一点图1010,M3,
是M1,关于极点的对称点;M4,是M1,关于极
轴的对称点;M2 ,是 M1,关于直线2的
M2,
2
M1,
对称点.
x
O
M3,
M4,
极坐标和参数图方程10-10 极坐标系中的对称关系
由 以 上 点 的 对 称 关 系 , 可 得 到 曲 线 f 的 对 称 关 系 见
开点,又当 增大时, 也随之
增大, 每转一圈增加2,
CB
也相应增加2a. 依照表103可
••
D•
•A
作出曲线如图1015所示,图中
O
x
虚线表示 为负值时的曲线.
极坐标和参数方程
图10-15 等速螺线
例10 如图10-16所示,一凸轮的轮廓线由CDE和ABC两段 曲线组成.C为启动时从动杆与凸轮的接触点,凸轮轴心O与C点 的距离为100mm.当凸轮按箭头方向做等角速转动时,要求: CDE段推动从动杆向右做等速直线运动,其最大推程为10mm; 当从动杆接触到轮廓线上点E时,由于弹簧的作用从动杆就向 左移动到A,开始与凸轮的ABC段相接触,从动杆接触ABC段时 不动,试求凸轮的轮廓线ABC段和CDE段的极坐标方程.
x5cos352,
y5sin3523.
极坐标和参数方程
于 是 得 点 M 的 直 角 坐 标 为 5 2,523 .我 们 也 可 以 把 点 M 的
直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 ,由 公 式 101变 化 可 得 :
2 x2 y2
tan y x 0
例6 作出下列极坐标方程的图像.
(1) aa0; (2) .
2
解 (1)对于方程 a a 0,
可以看出,当取任何值时, 的
取值都是a,因此方程的图像是 以 极 点 O为 圆 心 , a为 半 径 的 圆
图 10-8 ;
a
x
O
a
a,0
图 1 0 8 例 6 题 ( 1 ) a a 0 的 图 像
设M1,是极坐标系中任意一点图1010,M3,
是M1,关于极点的对称点;M4,是M1,关于极
轴的对称点;M2 ,是 M1,关于直线2的
M2,
2
M1,
对称点.
x
O
M3,
M4,
极坐标和参数图方程10-10 极坐标系中的对称关系
由 以 上 点 的 对 称 关 系 , 可 得 到 曲 线 f 的 对 称 关 系 见
开点,又当 增大时, 也随之
增大, 每转一圈增加2,
CB
也相应增加2a. 依照表103可
••
D•
•A
作出曲线如图1015所示,图中
O
x
虚线表示 为负值时的曲线.
极坐标和参数方程
图10-15 等速螺线
例10 如图10-16所示,一凸轮的轮廓线由CDE和ABC两段 曲线组成.C为启动时从动杆与凸轮的接触点,凸轮轴心O与C点 的距离为100mm.当凸轮按箭头方向做等角速转动时,要求: CDE段推动从动杆向右做等速直线运动,其最大推程为10mm; 当从动杆接触到轮廓线上点E时,由于弹簧的作用从动杆就向 左移动到A,开始与凸轮的ABC段相接触,从动杆接触ABC段时 不动,试求凸轮的轮廓线ABC段和CDE段的极坐标方程.
极坐标与参数方程复习课件
详细描述
摆线的极坐标方程是ρ=a(1-cosθ)，其中ρ表示点到原点的距离，θ表示点与x轴的夹角，a表示摆线的 半径。通过这个方程，我们可以方便地计算摆线的长度和面积。
实例三：磁场线的参数方程
总结词
磁场线的参数方程表示
详细描述
磁场线的参数方程通常由两个参数构 成，例如时间和角度。参数方程可以 描述磁场线在任意时刻的位置和方向 ，从而方便地计算磁场线的长度和面 积。
极坐标与参数方程的转换关系
极坐标与直角坐标转换
极坐标系中的点可以用直角坐标系中的坐标表示，反之亦然。具体转换公式为 ：$x = rho cos theta, y = rho sin theta, x^2 + y^2 = rho^2$。
参数方程与直角坐标转换
参数方程中的点也可以用直角坐标系中的坐标表示，具体转换公式取决于参数 方程的形式。
05
极坐标与参数方程的习题及解析
习题一：求圆的极坐标方程
总结词
理解并掌握圆的极坐标方程的推 导方法
详细描述
通过给定的圆心和半径，利用极 坐标与直角坐标方程
80%
总结词
掌握参数方程转换为普通方程的 方法
100%
详细描述
通过消去参数，将参数方程转化 为普通方程，以便更好地理解曲 线的几何意义。
极坐标与直角坐标的关系
对于平面内任意一点P，其直角坐标为(x,y)，则其极坐标为(r,θ)， 其中r=√(x²+y²)，tanθ=y/x。
极坐标与直角坐标的转换
直角坐标转换为极坐标
已知点P的直角坐标为(x,y)，则其极 坐标为(r,θ)，其中r=√(x²+y²)， tanθ=y/x。
极坐标转换为直角坐标
摆线的极坐标方程是ρ=a(1-cosθ)，其中ρ表示点到原点的距离，θ表示点与x轴的夹角，a表示摆线的 半径。通过这个方程，我们可以方便地计算摆线的长度和面积。
实例三：磁场线的参数方程
总结词
磁场线的参数方程表示
详细描述
磁场线的参数方程通常由两个参数构 成，例如时间和角度。参数方程可以 描述磁场线在任意时刻的位置和方向 ，从而方便地计算磁场线的长度和面 积。
极坐标与参数方程的转换关系
极坐标与直角坐标转换
极坐标系中的点可以用直角坐标系中的坐标表示，反之亦然。具体转换公式为 ：$x = rho cos theta, y = rho sin theta, x^2 + y^2 = rho^2$。
参数方程与直角坐标转换
参数方程中的点也可以用直角坐标系中的坐标表示，具体转换公式取决于参数 方程的形式。
05
极坐标与参数方程的习题及解析
习题一：求圆的极坐标方程
总结词
理解并掌握圆的极坐标方程的推 导方法
详细描述
通过给定的圆心和半径，利用极 坐标与直角坐标方程
80%
总结词
掌握参数方程转换为普通方程的 方法
100%
详细描述
通过消去参数，将参数方程转化 为普通方程，以便更好地理解曲 线的几何意义。
极坐标与直角坐标的关系
对于平面内任意一点P，其直角坐标为(x,y)，则其极坐标为(r,θ)， 其中r=√(x²+y²)，tanθ=y/x。
极坐标与直角坐标的转换
直角坐标转换为极坐标
已知点P的直角坐标为(x,y)，则其极 坐标为(r,θ)，其中r=√(x²+y²)， tanθ=y/x。
极坐标转换为直角坐标
高考数学一轮复习 12.2极坐标与参数方程课件
x y
(θa为c o参s θ数, ),
b sin θ
双曲线 x
a
2 2
-y 2
b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为
x y
(φa为s e参c φ数, ),
b tan φ
抛物线y2=2px的参数方程为
x
(t为2 p参t 2 ,数).
y 2 pt
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7
1.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,- 3).若以原点O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是 ( )
ρ2 cos
θ=1.
4
(2)由ρsin
θ
=61,得
ρsin θ·cos -ρcos θ·sin =1,
6
6
∴直线的直角坐标方程为 1 x- 3 y+1=0,
22
又点
2
,
的6 直角坐标为(
,1),3
| 3 3 1|
∴点到直线的距离d= 2 =12.
完整版ppt
3
x
ρ
c
o
s
θ
,
ρ
2
x2
y2,
y
ρ
s
in
θ
,
t
an
θ
y x
(x
0).
(3)直线的极坐标方程:若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,
则它的方程为ρsin(θ-α)=⑥ ρ0sin(θ0-α) .
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
(i)直线过极点:θ=θ0和θ=⑦ π-θ0 ;
完整版ppt
2
ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序 数对④ (ρ,θ) 叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. (2)直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系 中取⑤ 相同 的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标、极 坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
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当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
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x
y
a b
r r
cos sin
(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
双基自测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝ ＝2－＋1t－t， (t 为参
数)所表示的图形分别是( )．
A．直线、直线
答案 (－4,0)
4．(2013·广州调研)已知直线 l 的参数方程为：xy＝＝12＋t，4t (t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ________．
x＝2t，
解析 将直线 l 的参数方程：
化为普通方程得，y＝1＋2x，
y＝1＋4t
圆 ρ＝2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，圆心(0， 2)到
重点方法：<1>消参的方法；<2>极 坐标方程化为直角坐标方程的方法； <3>设参的方法。
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其
中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度
数学优质课件精选选修系列极坐标与参数方程课件
(t 为参数)．
极坐标、参数方程的综合应用
利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把 点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决 有关问题．
例3 (2011 年盐城市高三调研)已知直线 l 的参数方 程xy＝＝1t ＋2t (t 为参数)和圆 C 的极坐标方程 ρ＝
2 2sin(θ＋π4)． (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极 坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系．
参数)，
所以曲线 C 的直线坐标方程为 y＝12x2(x∈[－
2,2])，
联立解方程组得xy＝＝00，，
或x＝2 3， y＝6.
根据 x 的范围应舍去x＝2 3， y＝6，
故 P 点的直角坐标为(0,0)．
考点探究·挑战高考
考点突破 极坐极系与直角坐标系的互化
1．极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长 度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一 不可．
y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的
关系：x＝_______，y＝_______.又可得到关
系 ρcosθ
ρsinθ
• 式：ρ2＝_______，tanθ＝ ___y_ (x≠0)．
x2＋y2
x
• 3．常见曲线的极坐标方程
• (1)直线的极坐标方程
• •
过 方 (2)点 程圆M为的(ρ_极ρs_0i_，n坐_(θ_θ标－_0)_方且α__)程倾＝__斜ρ_0_角s_in_为(_θ_α0_－的__α直_)_线_．l的极坐标
第三节 坐标系与参数方程
双基研习·面对高考 第 三 节
坐
标
考点探究·挑战高考
系
与
选修4-4极坐标与参数方程课件
转换的方法
转换的方法包括代入法、消元法、三角换元法等，具体使 用哪种方法需要根据具体的情况来选择。
参数方程的应用举例
01
物理问题中的应用
在物理问题中，很多运动轨迹可以用参数方程来表示，例如行星的运动
轨迹、摆线的形状等。通过建立物理问题的数学模型，可以将物理问题
转化为数学问题，进而求解。
02
工程问题中的应用
极坐标与参数方程在工程中的应用
在工程中，极坐标和参数方程被广泛应用于各种领域，如 机械工程、航空航天工程、土木工程等。例如，在机械工 程中，零件的形状可以用极坐标和参数方程来描述；在航 空航天工程中，飞行器的轨迹可以用极坐标来描述。
极坐标和参数方程在工程中还有许多其他应用，如管道设 计、电路设计、结构设计等。这些应用有助于提高工程设 计的精度和效率。
极坐标的应用举例
Hale Waihona Puke 010203
平面几何问题
极坐标在解决平面几何问 题中非常有用，例如求圆 的面积和周长，以及解决 与圆和直线相关的问题。
物理学中的应用
在物理学中，极坐标常用 于描述电子在磁场中的运 动轨迹，以及行星和卫星 的运动轨迹。
工程领域应用
在工程领域，极坐标常用 于解决流体力学、电磁学 和光学等领域的问题。
PART 04
极坐标与参数方程的综合 应用
REPORTING
WENKU DESIGN
极坐标与参数方程在几何图形中的应用
极坐标与参数方程在解析几何中有着广泛的应用，它们可以用来描述平面上的曲 线和曲面。例如，极坐标可以用来描述圆的轨迹，参数方程可以用来描述直线的 轨迹。
在几何图形中，极坐标和参数方程还可以用来描述旋转曲面、柱面等复杂的几何 形状。这些形状在建筑设计、工程制图等领域有着广泛的应用。
转换的方法包括代入法、消元法、三角换元法等，具体使 用哪种方法需要根据具体的情况来选择。
参数方程的应用举例
01
物理问题中的应用
在物理问题中，很多运动轨迹可以用参数方程来表示，例如行星的运动
轨迹、摆线的形状等。通过建立物理问题的数学模型，可以将物理问题
转化为数学问题，进而求解。
02
工程问题中的应用
极坐标与参数方程在工程中的应用
在工程中，极坐标和参数方程被广泛应用于各种领域，如 机械工程、航空航天工程、土木工程等。例如，在机械工 程中，零件的形状可以用极坐标和参数方程来描述；在航 空航天工程中，飞行器的轨迹可以用极坐标来描述。
极坐标和参数方程在工程中还有许多其他应用，如管道设 计、电路设计、结构设计等。这些应用有助于提高工程设 计的精度和效率。
极坐标的应用举例
Hale Waihona Puke 010203
平面几何问题
极坐标在解决平面几何问 题中非常有用，例如求圆 的面积和周长，以及解决 与圆和直线相关的问题。
物理学中的应用
在物理学中，极坐标常用 于描述电子在磁场中的运 动轨迹，以及行星和卫星 的运动轨迹。
工程领域应用
在工程领域，极坐标常用 于解决流体力学、电磁学 和光学等领域的问题。
PART 04
极坐标与参数方程的综合 应用
REPORTING
WENKU DESIGN
极坐标与参数方程在几何图形中的应用
极坐标与参数方程在解析几何中有着广泛的应用，它们可以用来描述平面上的曲 线和曲面。例如，极坐标可以用来描述圆的轨迹，参数方程可以用来描述直线的 轨迹。
在几何图形中，极坐标和参数方程还可以用来描述旋转曲面、柱面等复杂的几何 形状。这些形状在建筑设计、工程制图等领域有着广泛的应用。
极坐标与参数方程专题复习课件
极坐标与参数方程
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
2 2
t (t为参数). 2t
⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;
分析：高考在22题第一问都是考查三种形式方 程的互化。
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
4cos
θ.因为直线
l
的极坐标方程为
ρsinθ＋π6＝4，即
3 2
ρsin θ＋12ρcos θ＝4，
所以直线 l 的直角坐标方程为 x＋ 3y－8＝0.
(2)依题意，A ，B
两点的极坐标分别为
A
2，π 3
，B
4，π 3
，联
立射线θ ＝11π 与曲线 C 的极坐标方程得 P 点极坐标为
6
2
3，161π
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
解：因为
2 sin , 所以 2
2 sin ,又因为xy
cos sin
所以，C2的直角坐标方程为：x 2 y 2 2 y 0;
同理，C3的直角坐标方程为：x 2 y 2 2 3x 0;
联立
x x
2 2
y2 y2
2y 0 2 3x
，解得
0
x y
0种形式方程间的互化
2.在直角坐标系xOy中，C1：xy
t t
c s
os in
(t为参数,t 0)，
其中，0 ,曲线C2： 2sin ,曲线C3： 2 3 cos.
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
2 2
t (t为参数). 2t
⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;
分析：高考在22题第一问都是考查三种形式方 程的互化。
例1.三种形式方程间的互化
1.已知曲线C：x 2 4
y2 9
1,
直线l：xy
4cos
θ.因为直线
l
的极坐标方程为
ρsinθ＋π6＝4，即
3 2
ρsin θ＋12ρcos θ＝4，
所以直线 l 的直角坐标方程为 x＋ 3y－8＝0.
(2)依题意，A ，B
两点的极坐标分别为
A
2，π 3
，B
4，π 3
，联
立射线θ ＝11π 与曲线 C 的极坐标方程得 P 点极坐标为
6
2
3，161π
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
解：因为
2 sin , 所以 2
2 sin ,又因为xy
cos sin
所以，C2的直角坐标方程为：x 2 y 2 2 y 0;
同理，C3的直角坐标方程为：x 2 y 2 2 3x 0;
联立
x x
2 2
y2 y2
2y 0 2 3x
，解得
0
x y
0种形式方程间的互化
2.在直角坐标系xOy中，C1：xy
t t
c s
os in
(t为参数,t 0)，
其中，0 ,曲线C2： 2sin ,曲线C3： 2 3 cos.
1写出C
2与C
交点的直角坐标；
3
2020届二轮复习 极坐标与参数方程 课件(75张)(全国通用)
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2， 所以|－kk2＋＋21|＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没
有公共点；当k＝－
4 3
ห้องสมุดไป่ตู้
时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个
公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，
所以
|k＋2| k2＋1
综上，α的取值范围是(π4，34π)．
(2)l的参数方程为xy＝＝t－cosα2，＋tsinα
(t为参数，π4<α<34π)．
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝
tA＋tB 2
，且
tA，tB满足t2－2 2tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2 2sinα，tP＝ 2sinα.
又点P的坐标(x，y)满足xy＝＝t－Pcos2α＋，tPsinα， 所以点P的轨迹的参数方程是 yx＝＝－22s2i2n－2α，22cos2α(α为参数，π4<α<34π)．
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜
率．
解析 (1)曲线C的直角坐标方程为x42＋1y62＝1.
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方
程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①
解析 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋ 1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆． 由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记 y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外 面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点 且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个 公共点．
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＝
tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
2．直线的参数方程
过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为
□5
_________(t为参数)，则参数t的几何意义是□6 _________.
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选修4-4 第二节
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成的有向线段P0P的数量且在直线上任意两点P1、P2的距离为
|P1P2|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2.
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
3种方法——化参数方程为普通方程的方法 (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参 数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整 体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的 扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值 域，即x和y的取值范围．
选修4-4 第二节
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3．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．已知射线θ＝
π 4
与曲线
x＝t＋1， y＝t－12
(t为参数)相交
于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为__________．
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选修4-4 第二节
3．圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射 线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆
的参数方程为□7 __________________α∈[0,2π)．
4．椭圆的参数方程
以椭圆的离心角θ为参数，椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞Байду номын сангаас＞0)的参数
方程为□8 ________________θ∈[0,2π)．
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选修4－4
坐标系与参数方程
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选修4－4 坐标系与参数
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第二节 参数方程
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
自主园地 备考套餐
开卷速查
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
答案：x－3y－5＝0
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选修4-4 第二节
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2．曲线 __________．
x＝5cosθ， y＝3sinθ
(θ为参数)的左焦点的坐标是
解析：化为普通方程为2x52 ＋y92＝1，故左焦点为(－4,0)．
答案：(－4,0)
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1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上□1 ____的坐标
x，y都是某个变数t的函数：
x＝ft， y＝gt.
并且对于t的每一个允许
值，由方程组所确定的点M(x，y)都在□2 _____，那么方程叫做
这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称□3 _____.相对于参数
方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做□4 ________.
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选修4-4 第二节
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3个结论——参数方程的应用
根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结
论．
(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦
长l＝|t1－t2|；
(2)定点M0是线段M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
答案：
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1个要点——参数t的几何意义
在直线的参数方程
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
(t为参数)中t的几何意
义是表示在直线上从定点P0(x0，y0)到直线上的任一点P(x，y)构
12＋|2|－12＝ 2.
答案： 2
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5．若直线的参数方程为
x＝1＋3t， y＝2－ 3t
(t为参数)，则直线的倾
斜角为__________．
解析：由直线的参数方程知，斜率k＝
y－2 x－1
＝
－ 3t 3t
＝－
3 3
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解析：记A(x1，y1)，B(x2，y2)，将θ＝π4转化为直角坐标方程为 y＝x(x≥0)，曲线为y＝(x－2)2，联立上述两个方程得x2－5x＋4＝ 0，所以x1＋x2＝5，故线段AB的中点坐标为52，52.
答案：52，52
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考 1.了解参数方程，了解参数的意义． 纲 导 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方 学 程.
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选修4-4 第二节
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课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
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选修4-4 第二节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
(3)设线段M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝
t1＋t2 2
(由此
可求|M2M|及中点坐标)．
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选修4-4 第二节
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1．参数方程
x＝3t＋2， y＝t－1
____________________．
(t为参数)的普通方程为
解析：由y＝t－1，得t＝y＋1，代入x＝3t＋2，得x＝3y＋5.即 x－3y－5＝0.
选修4-4 第二节
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4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x＝t， y＝t＋1
(参数t∈R)，圆C的参数方程为
x＝cosθ＋1， y＝sinθ
(参数θ∈[0,2π))，则
圆心C到直线l的距离是__________．
解析：直线方程可化为x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋ y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心C(1,0)到直线l的距离为