相似三角形模型分析大全(非常全面经典)
相似三角形 经典模型总结与例题分类
相似三角形经典模型总结与例题分类相似三角形经典模型总结在相似三角形中，有一些经典的模型，包括平移型、平行型、旋转180°型、翻折180°型、一般型、特殊型、斜交型、双垂直型等。
这些模型可以帮助我们更好地理解和解决相似三角形的问题。
其中，平移型、平行型、翻折180°型、斜交型和双垂直型都是比较常见的模型。
在解决相似三角形的问题时，可以根据具体情况选择相应的模型进行分析。
以下是一些例题，可以帮助我们更好地理解相似三角形的模型和应用。
例1：如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE=EF=FM=MB，则S△.例2：如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD=9，BC=18，.例3：已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H。
则PEPH=PFPG。
例4：已知：在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，且AE=2，BE、CD相交于点F。
则ABF=2EFD。
例5：已知：在△ABC中，AD=11AB，延长BC到F，使CF=BC，连接FD交AC于点E。
则①DE=EF②AE=2CE。
例6：已知：D，E为三角形ABC中AB、BC边上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F，例7：如图，已知XXX，若AB=a，CD=b，EF=c，则a/b=c/(a+c)。
例8：如图，S△.例9：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，M是AC上一点，ME⊥AD于点E，MF⊥BC于点F。
则MF/ME+1=BD/AC。
例10：如图，在△ABC中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E，交BC的延长线于F。
则AE·BF=BE·CF。
BCF：在线段AB上取一点C，以AC、CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q，证明CP=CQ。
解法：首先，由等腰三角形的性质可知，∠XXX∠CEB，∠ACD=∠BCD，因此△ADC≌△CEB，从而AP=BP，AQ=CQ。
相似三角形常见模型(总结)
第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GBCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC D E B2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：∠=︒GBM905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．ABPD E（第25题图）GMFEHDCBADC双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。
相似三角形模型分析大全(非常全面,经典)
相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．ACDEB相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 90GMF EHDCBA5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DCB上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。
相似三角形模型总结
相似三角形模型总结相似三角形是中学数学中常见的一个概念。
相似三角形有着非常重要的应用，尤其在建筑、地图、航空等领域中被广泛地运用。
在这篇文章中，我将对相似三角形的模型及其应用进行总结。
一、相似三角形的定义相似三角形是指形状相似而大小不同的两个或多个三角形。
它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以推出相似三角形的判定定理：若两个三角形对应角度分别相等，则它们是相似的。
二、重心模型重心模型是一种抽象的几何模型，它是在研究固体对象的重心和转动惯量时得出的。
对于任意三角形 ABC，以其三条边的中点为顶点，连上互相垂直的直线，将它们相交于 G 点。
这里 G 点称为三角形 ABC 的重心，它与每个中点连成的线段相等。
同时，可以证明如果一个点在三角形内部且到三边距离的乘积等于其到三条中线距离的乘积，则该点一定是三角形的重心。
三、海龟图模型海龟图模型是一个很著名的相似三角形应用模型，它是由美国数学家T. N. Thiele 提出的。
在海龟图中，一个三角形符号代表前进一步，一个圆点符号则代表不动。
当这个图形以相似的规律继续扩展时，就能在图形中看到似乎随机且自相似的模式。
在实际操作中，我们可以将这个模型用于分形的制作和操作中，实现较好的效果。
四、印章模型印章模型是相似三角形的另一种应用模型。
在制作印章时，多会使用到相似三角形的概念。
根据相似三角形的定义，我们可以通过相似三角形来制造缩小复制的图案。
具体来说，我们可以通过将大三角形分割为单位面积相等的若干小三角形，然后根据相似的规律进行缩小，就可以得到与大三角形相似而更小的三角形。
五、三角剖分模型三角剖分模型是相似三角形的一种实际应用模型。
在三角剖分中，我们会把一个多边形分解为多个三角形，这些三角形可以保持相似性，这比将多边形分解成其它形状的图形更容易实现。
总结在本文中，我们总结了几种相似三角形的应用模型，这些模型不仅具有学术研究的意义，更能够应用于实际的生产和生活中。
相似三角形常见模型(地总结)
例 2：已知：如图，△ ABC中，点 E在中线 AD上, DEB 求证：（ 1） DB 2 DE DA ； （ 2） DCE
ABC ． DAC ．
A
B
D E
C
例 3：已知：如图，等腰△ ABC中， AB＝ AC， AD⊥ BC于 D， CG∥AB， BG分别交 AD、AC于 E、F． 求证： BE 2 EF EG ．
A
B
5．（本题满分 14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）、（ 3）小题满分各 已知：如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， BC=2，AC=4， P 是斜边 AB
一个动点， PD⊥ AB，交边 AC于点 D（点 D与点 A、 C都不重合） ，E 是射 线 DC上一点，且∠ EPD=∠A．设 A、P 两点的距离为 x，△ BEP的面积为 y．
（ 1）如图 8， P 为 AD上的一点，满足∠ BPC＝∠ A．
①求证；△ ABP∽△ DPC
AP
D
②求 AP的长．
B
C
（ 2）如果点 P 在 AD边上移动（点 P 与点 A、D不重合），且满足∠ BPE＝∠ A，PE交直线 BC于点 E，
同时交直线 DC于点 Q，那么
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实用标准文案
①当点 Q 在线段 DC的延长线上时，设 AP＝ x， CQ＝ y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定
长. A
D
B
C
E
2、已知：如图，在 Rt △ ABC中， AB=AC，∠ DAE=45°．
求证：（ 1）△ ABE∽△ ACD；
（ 2） BC 2 2BE CD ．
A
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一线三等角型相似三角形
B
相似三角形常见模型(总结材料)
第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）AADDEEBC BC（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型AABBJODCDC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型AADDBC C（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。
8字型拓展AAEFGD BEB CC共享性一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2OAOE．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,DEBABC．B 2；（2）DCEDAC．求证：（1）DBDEDADEAC例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2EFEG．相关练习：2．1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FDFBFC2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD;(2)ND 2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长A D到G，使DG=EF，M是AH的中点。
求证：GBM90AMEHBDCF5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）G 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边A B上的一个动点，PD⊥AB，交边A C于点D（点D与点A、C都不重合），E是射B 线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．P （1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；A CDE（第25题图）（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高A求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2EDED 2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。
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相似三角形几何模型(手拉手与十字架模型)(解析版)--九年级数学上册
相似三角形几何模型（手拉手与十字架模型）第一部分【知识点归纳】【模型一】“手拉手（旋转）”模型图1 图222ADE ABC ABC ACF ADE ∆ ∆∆ →A 绕点旋转如图：∽如图：∽ 以上就是相似三角形中的“手拉手模型”在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得第二对相似三角形）。
【模型二】“十字架”模型图3 图41EG AB HF BC⊥==如图3：正方形ABCD 中，EG HF,则有；EG AB HF BC ⊥=如图4：矩形ABCD 中，EG HF,则有. 以上就是矩形中的十字架模型，即矩形中两条互相垂直的线段之比等于矩形的两邻边之比。
第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】三角形中的的“手拉手（旋转）模型”【例1】（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践-问题情境：如图1，已知在ABC 中，D E ，分别是AB AC ，上的点，且DE BC ∥．（1）操作发现：求证：AB DB =．（2）深入探究：在图1的基础上，将ADE 绕着点A 逆时针旋转一个角度得到图2，连接BD CE ，，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．拓展探究：（3）如图3，当ADE 旋转到点B D E ，，在一条直线上时，BE 与AC 交于点F ，若7BF =，9BE =，求AF CF ⋅的值．【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)14【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的综合运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键．（1）根据平行线的性质可证ADE ABC △△∽，由此即可求解；（2）根据旋转的性质可证ABD ACE ∽，由此即可求解；（3）根据题意可得ABD ACE ∽，ABF ECF ∽△△，根据相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽， ∴AD AE AB AC=， ∴AB DB AC EC AB AC −−=，即DB EC AB AC =， ∴AB DB AC EC=． （2）解：成立，理由如下：由旋转的性质得BAC DAE ∠=∠， ∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，即BAD CAE ∠=∠， 由（1）得AD AE AB AC=， ∴ABD ACE ∽， ∴AB DB AC EC=， ∴（1）中的结论仍成立．（3）解：由（2）得ABD ACE ∽，∴ABD ACE ∠=∠， ∵AFB EFC ∠=∠， ∴ABF ECF ∽△△， ∴BF AF CF EF=， ∴BF EF CF AF ⋅=⋅，∵7BF =，9BE =，∴2EF BE BF =−=，∴7214AF CF ⋅=×=．【变式1】（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（90C E ∠=∠=°，30B ∠=°，45D ∠=°），AD BC =，顶点A 重合，将ADE 绕其顶点A 旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键．解：选项A ，∵90C C ∠=∠=°，30CAF B ∠=∠=°，∴ACF BCA ∽△△，故选项A 不符合题意．选项B ，如图，设CD 与AE 交于点O ，90ACO DEO ∠=∠=°∴ACO DEO △∽△，故选项B 不合题意；选项C ，∵90BCA AED ∠=∠=°，CAF DAE ∠=∠， ∴ACF AED △∽△，故选项C 不合题意；选项D 中没有相似三角形，符合题意．故选：D ．【变式2】（22-23九年级·上海·假期作业）在ABC 中，CA CB =，在AED △中，DA DE =，点D 、E 分别在CA 、AB 上．（1）如图1，若90ACB ADE ∠=∠=°，则CD 与BE 的数量关系是 ； （2）若120ACB ADE ∠=∠=°，将AED △绕点A 旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ．【答案】CD = CD 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理计算即可．（２）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H ，求得AC AB ，再证明ACD ABE ∆∆∽列式计算即可． 解：（1）90ACB ADE ∠=∠=° ∴DE BC ∥，∴AD DC AE EB ==，∴CD =．故答案为：CD =． （2）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H ，120ACB ∠=° ，30CAB ∴∠=° ，∴CA AH =，∴AC AB = 由ADE ACB ∽， 得：AD AC AE AB=， DAE CAB ∠=∠ ，∴ACD ABE △∽△，∴CDAC BE AB ==，∴CD =．故答案为：CD ． 【点拨】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．【题型2】四边形中的的“手拉手（旋转）模型”【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形ABCD 与四边形BEFG 都是正方形，将正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转，连接AG ，DF ，CE ．则AG 和CE 的数量关系为 ；在正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转的过程中，DF CE的值为 ．【答案】 AE CE =【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据SAS证明ABG CBE ≌△△，即可证明AE CE =；连接BD BF ，．由1245∠+∠=°，2345∠+∠°得到13∠=∠．在Rt DBC △中，BD BC =在Rt FBE中，BF BE，则BD BF BC BE =，则BDF BCE ∽△△，即可得到结论．熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．解：∵四边形ABCD 与四边形BEFG 都是正方形，∴90ABC GBE ∠=∠=°，AB BC =，BG BE =， ∴ABC GBC GBE GBC ∠−∠=∠−∠，即ABG CBE ∠=∠． 在ABG 和CBE △中，AB BC ABG CBE BG BE = ∠=∠ =， ∴()SAS ABG CBE ≌，∴AG CE =．如图，连接BD BF ，．∵1245∠+∠=°，2345∠+∠°， ∴13∠=∠．在Rt DBC △中，∵22222BD BC CD BC =+=，∴BD =，∴BD BC= 在Rt FBE中，同理可求BF BE= ∴BD BF BC BE =， ∴BDF BCE ∽△△，∴DF BD ==故答案为：AG CE =【变式1】（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD 中，等腰直角EBF △绕着B 点旋转，BF EF =，90BFE ∠=°，则:DE AF = ．【分析】连接BD ，证AFB DEB ∽，得DE BD AF AB=，根据等腰直角三角形斜边与直角边的比例关系即可得出比值．解：如右图，连接BD ，由题知，四边形ABCD EBF △为等腰直角三角形45FBA ABE FBE ∠+∠=∠=° ，45ABE EBD ABD ∠+∠=∠=°，FBA EBD ∴∠=∠，由题知，EBF △为等腰直角三角形，ABD △为等腰直角三角形，FB AB BE BD ∴== AFB DEB ∴ ∽，DE BD AF AB ∴==【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，根据FBA EBD ∠=∠，FB AB BE BD ==AFB DEB ∽是解题的关键． 【变式2】如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC绕C 点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC 的值为（）A．5:3 B．3:5 C．4:3 D．3:4【答案】C解：由题意知△BCE绕点C顺时转动了90度，∴△BCE≌△DCF，∠ECF=∠DFC=90°，∴CD=BC=5，DF∥CE，∴∠ECD=∠CDF，∵∠EMC=∠DMF，∴△ECM∽△FDM，∴DM：MC=DF：CE，∵=4∴DM：MC=DF：CE=4：3．故选C．【题型3】正方形中的“十字架模型”【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动=；点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP MN（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，=+；BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF ME FN【答案】（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）过B点作BH∥MN交CD于H，则AP BH⊥，根据平行四边形和正方形的性质求证()≌，然后根据三角形全等的性质即可证明；ABP BCH ASA=，然后根据等边对等角和等量代换求得（2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得FP FC∠=°，根据直角三角形斜边中线的性质得到FE=190AFPAP，结合（1）问结论即可求证．2解：（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP BH⊥，∥NH，BM∴四边形MBHN为平行四边形，∴=，MN BH四边形ABCD是正方形．∴=，90AB BC∠=°=∠，ABP C∠+∠=°，∴∠+∠=CBH ABH BAP ABH90∴∠=∠，BAP CBH()∴≌，ASAABP BCH∴=，BH AP∴=；MN AP（2）如图2，连接FA，FP，FC正方形ABCD 是轴对称图形，F 为对角线BD 上一点，FA FC ∴=，又FE 垂直平分AP ，FA FP ∴=，FP FC ∴=，FPC FCP ∴∠=∠，FAB FCP ∠=∠ ， FAB FPC ∴∠=∠，180FAB FPB ∴∠+∠=°，180ABC AFP ∴∠+∠=°，90AFP ∴∠=°，FE ∴=12AP ， 由（1）知，AP MN =，2MN ME EF FN AP EF ∴=++==，EF ME FN ∴=+．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键．【变式1】（23-24九年级上·重庆南岸·期中）如图，在矩形ABCD 中，10AD =，8AB =，点E 为AD 边上一点，将ABE 沿BE 翻折到FBE 处，延长EF 交BC 于点G ，延长BF 交CD 于点H ，且FH CH =，则FG 的长是（ ）A ．95B ．94C ．45D ．185【答案】A【分析】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．过E 作EM BC ⊥于M ，根据矩形性质和折叠的性质，结合勾股定理求得94FH CH == 941844BH =+=，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过E 作EM BC ⊥于M ，则90EMB EMG ∠=∠=°，四边形ABCD 是矩形，90A ABC C °∴∠=∠=∠=，10BC AD ==，ABE 沿BE 翻转到FBE 处，EF AE ∴=，8BFAB ==， 90EFB BFG A ∠=∠=∠=， 设FHCH x ==，则8BH x =+， 在Rt BCH △中，根据勾股定理得222BC CH BH +=()222108x x ∴+=+ 则94x =， 94FH CH ==， 941844BH =+=， FBG CBH =∠∠ ，BFG BCH ∠=∠BFG BCH ∴ ∽BG FG BF BH CH BC∴==8441910544BG FG === 解得：95FG =故选：A ． 【变式2】（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 边的中点，AE 的垂直平分线分别交AD ，BC 边于点F ，G ，垂足为点H ．若4AB =，则GH 的长为 ．【分析】过点B 作BN GF ∥交AD 于点N ，先证明()AAS AED BNA ≌，推出AEBN FG ==，利用勾股定理求出AE ，再证明AFH AED ∽，利用相似三角形的性质求出FH =解：过点B 作BN GF ∥交AD 于点N ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，4AB =，∴,4,90AD BC AD AB CD BAN D ===∠=∠=°∥， ∴四边形BGFN 是平行四边形，∴BN GF =，∵,AE FG BN GF ⊥∥，∴BN AE ⊥，∴90BNA EAD∠+∠=°， 90AED EAD∠+∠=°∴BNA AED ∠=∠， 在AED △和BNA 中，AED BNA D BAN AD AB ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS AED BNA ≌，∴AEBN FG ==， ∵点E 是DC 边的中点，∴2DECD ==，∴AE∴FG =∵H 是AE 的中点，∴12AH AE == ∵90,AHF D FAH EAD ∠=∠=°∠=∠，∴AFH AED ∽ ， ∴FH AH DE AD =，即2FH =∴FH =∴GH FG FH =−==，【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．【题型4】矩形中的“十字架模型”【例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接DE ，过点A 作AG DE ⊥于点F ，交BC 于G ，则AG 与DE 的数量关系是：AG ______DE （填“>”“=”“<”号）．(2)①如图2，在矩形ABCD 中，AB nBC M N =，、为AB CD 、上的点，连接MN ，过点D 作DE MN ⊥于点F ，交BC 于E ．小明发现，过M 作MG CD ⊥于点G ，可以得到MN 与DE 的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由；②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于______； ③应用上述结论解决问题：在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠°=，=，=，点D 是AB 的中点，连接CD ，过B 作CD 的垂线BE ，交直线AC 于E ，垂足是点F ，直接写出BE 的长度．【答案】(1)=(2)①数量关系为DE nMN =，理由见解析；②矩形两邻边的比；③152； 【分析】（1）证明ABG DAE ≌即可；（2）①证明MNG DEC ∽，由相似的性质即可得到MN 与DE 的数量关系；②由①的解答即可完成；③延长CD 到N ，使DN CD =，分别连接AN BN ，，则可得四边形ACBN 是矩形，且BE CN ⊥，由①的结论即可求得BE 长度．（1）解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90AB AD DAE ABG =∠=∠=°，， ∴90DAF BAG ∠+∠=°，∴90ADE DAF ∠+∠=°，∴ADE BAG ∠=∠， ∴(ASA)ABG DAE ≌，∴AG DE =，故答案为：=；（2）解：①数量关系为DE nMN =理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC C ∠=∠=∠=°，AD BC AB CD ==，； ∵MG CD ⊥，∴四边形ADGM 是矩形，AD MG BC ==；∵DE MN MG CD ⊥⊥，，∴90EDC MNG MNG NMG ∠+∠=∠+∠=°，∴EDC NMG ∠=∠， ∵90MGN C ∠=∠=°， ∴MNG DEC ∽， ∴MN MG DE CD=； ∵AB nBC =，∴CD nMG =， ∴1MN DE n=， 即DE nMN =；②由①知，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于矩形两邻边的比；故答案为：矩形两邻边的比；③如图，延长CD 到N ，使DN CD =，分别连接AN BN ，，∵D 为AB 的中点，∴BD AD =，∴四边形ACBN 是平行四边形，∵90ACB ∠=°， ∴四边形ACBN 是矩形，∴8BNAC ==，由勾股定理得：10CN =；∵BE CN ⊥，∴由①的结论知：86CN AC BE BC ==， ∴661015882CN BE ×===．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性．【变式1】（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形ABCD 中，BE AC ⊥于点F ，若1,BF BC ==则DE 的长度为（ ）A ．1B C ．32 D 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明ABF BCF ∽ ，可得AF BF BF CF =，可求AF 的长，通过证明AEF CBF ∽△△，可得AF AE CF BC=，可求DE 的长． 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴,90,AD BC AD BC ABC =∠=°∥∵BE AC ⊥，1,BF BC ==∴CF =，∵90AFB CFB ABC ∠=∠=∠=°， ∴90ABF CBF ABF BAC ∠+∠=°=∠+∠，∴BAC CBF ∠=∠， ∴ABF BCF ∽ ，∴AF BF BF CF=，∴1AF =，∴AF = ∵AD BC ∥，∴AEF CBF ∽△△，∴AF AE CF BC=，=∴AE =∴DE AD AE BC AE =−=−， 故选：B ．【变式2】（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，点E 在AD 上，连接CE ，交BD 于点F ，且DEF DBA ∽ ．（1）BD 与CE 是否垂直？ （填“是”或“否”）；（2）若1AB =，30CBD ∠=°，则EF CF的值为 ．【答案】 是 13【分析】（1）根据矩形ABCD 的性质可得90DAB ∠=°，已知DEF DBA ∽ 即可证得．（2）根据矩形ABCD 的性质可得AD ，根据DEF DBA ∽ 可得DF =，在证明DFC DCB ∽ ，根据相似比即可解得．（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=°，∵DEF DBA ∽ ，∴90DFE DAB ∠=∠=°，∴BD CE ⊥；故答案为：是；（2）1AB =，30CBD ∠=°，四边形ABCD 为矩形，∴1AB CD ==，2BD =，∴AD BC ===，∵DEF DBA ∽ ，∴ EFDFAB AD =，即 1EF= ∴DF =，∵DFC BCD ∠=∠，BDC BDC ∠=∠，∴DFC DCB ∽ ，∴ DFCFCD BC =，即 1DF=∴ =，∴ 12EFCF =．故答案为： 13．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 ．【答案】152/7.5 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD ，证明△BOF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF 即可．解：如图：四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=°，又6AB =，8AD BC ==，10BD ∴=，EF 是BD 的垂直平分线，5OB OD ∴==，90BOF ∠=°，又90C ∠=°，BOF BCD ∴∆∆∽， ∴OF BO CD BC =， ∴568=OF ， 解得，15OF =，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，90A ∠=°，EDO FBO ∴∠=∠，EF 是BD 的垂直平分线，BO DO ∴=，EF BD ⊥，在DEO ∆和BFO ∆中，EDO FBO BO DOEOD FOB ∠=∠ = ∠=∠， ()DEO BFO ASA ∴∆≅∆，OE OF ∴=，1522EF OF ∴==． 故答案为：152． 【点拨】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．【例2】（2022·湖南娄底·中考真题）如图，已知等腰ABC 的顶角BAC ∠的大小为θ，点D 为边BC 上的动点（与B 、C 不重合），将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D 处，连接BD ′．给出下列结论：①ACD ABD ′≅△△；ACB ADD ′ △；③当BD CD =时，ADD ′ 的面积取得最小值．其中正确的结论有 （填结论对应的序号）．【答案】①②③【分析】依题意知，ABC 和ADD ′ 是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS 证明ADC AD B ′≌△△，可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为AD AC ，故最小时ADD ′ 面积最小，即AD BC ⊥，等腰三角形三线合一，D 为中点时 .解：∵AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度得到AD ′∴DAD θ′∠=，AD AD =′ ∴CAB DAD ′∠=∠ 即CAD DAB DAB BAD ′∠+∠=∠+∠∴CAD BAD ′∠=∠ ∵AC AB CAD BAD AD AD ′= ∠=∠ =′得：ADC AD B ′≌△△（SAS ）故①对∵ABC 和ADD ′ 是顶角相等的等腰三角形∴ACB ADD ′ △△故②对 ∴2()AD D ABC S AD S AC′=△△ 即AD 最小时AD D S ′△最小当AD BC ⊥时，AD 最小点是BC 中点故③对故答案为：①②③【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 .2、拓展延伸【例1】（2024·辽宁沈阳·二模）如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接.DE 将CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现：①当0α=°时AE BD =______； ②当180α=°时，AE BD=______． (2)拓展探究：试判断当0360α°<<°时，AE BD的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：∵ECD ACB ∽，EC AC∴=③ ． 又∵旋转ECA DCB ∠=∠， ∴ECA DCB ∽△△，AE EC BD DC∴== ． (3)用以上结论解决问题：当CDE 绕点C 逆时针旋转至A ，B ，E 三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段BD 的长 ．【答案】DC BC【分析】（1）①先利用勾股定理可得AC =AE =，1BD =，由此即可得；②先画出图形，根据旋转的性质可得90CDE°∠=，2DE CE==，1CD =，然后根据线段和差分别求出AE ，BD 的长，由此即可得；（2）根据相似三角形的判定证出ECA DCB ∽△△，再根据相似三角形的性质即可得；（3）分①点E 在AB 的延长线上和②点E 在线段AB 上，利用勾股定理求出1BE =，从而可得AE 的长，再根据AE BD= （1）解：①当0α=°时，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，AC ∴=点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，12CE AE AC ∴===112BD CD BC ===，②如图1，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，4AB =，122DE AB ==，DE AB ∥， 90ABC ∴∠=°，90CDE ABC ∠=∠=°； 如图，当180α=°时，由旋转的性质得：CDE ∠的大小不变，仍等于90°，DE 长度不变，仍等于2，CE 的长度不变，AE AC CE ∴=+=1CD ，3BD BC CD ∴=+=，AE BD ∴==（2）解：当0360α°<<°，大小没有变化； 证明：ECD ACB ∽，EC CD AC BC ∴=， 又∵旋转ECA DCB ∠=∠， ECA DCB ∴ ∽，AE EC BD DC ∴==故答案为：CD CB （3）①如图2，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE 中，CE =2BC =，1BE ∴=，415AE AB BE ∴=+=+=，AE BD∴BD ∴== ②如图3，当点E 在线段AB 上时，在Rt BCE 中，CE =2BC ，1BE ∴=，413AE AB BE ∴=−=−=，AE BD∴BD ∴==，综上，线段BD 【点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形ABCD ，DEFG ，将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE 、CG 交于点P ，请直接写出线段AE 与CG 之间的数量关系是______，位置关系是______；（2）【拓展探究】如图2，矩形ABCD ，DEFG，22AD DE AB DG AD DG ===，，，将矩形DEFG 绕D 旋转；直线AE ,CG 交于点P ，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系；（3）【解决问题】若2428AD DE AB DG ====，，矩形DEFG 绕D 旋转过程中当点P 与点G 重合时，求线段AE 的长．【答案】（1）AE CG =，AE CG ⊥；（2）AE 、CG 的数量关系不成立，位置关系仍成立，AE 、CG 的数量关系为：2CG AE =，理由见解析；（3）AE 的长为【分析】（1）证明ADE CDG ≌得到AE 与CG 的数量关系，通过角的等量代换，求得90∠=°GPE ，得到AE 和CG 的位置关系；（2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明 ∽EDA GDC ，求得AE 和CG 的数量关系；然后利用角的等量代换，求得90∠=°GPE ，得到AE 和CG 的位置关系； （3）分情况讨论，①当点P 和点G 在边CD 上方重合时，②当点P 和点G 在边CD 下方重合时，分别求解．解：（1）AE CG =，AE CG ⊥；∵四边形ABCD ，DEFG 都是正方形，∴AD CD =，DE DG =，90ADC EDG °∠=∠=．∴ADC ADG EDG ADG ∠+∠=∠+∠，∴ADE CDG ∠=∠． ∴ADE CDG ≌．∴AE CG =，DEA DGC ∠=∠， DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠∴90∠=°GPE ． ∴AE CG ⊥；（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．2CG AE =，AE CG ⊥．理由如下：由题意知在矩形ABCD 、DEFG 中，90EDG ADC °∠=∠=，∴EDG GDA ADC GDA ∠+∠=∠+∠．∴EDA GDC ∠=∠．∵2AD DE =，2AB DG =， ∴12ED DG AD DC ==．∴ ∽EDA GDC ．∴2CG AE =，DEA DGC ∠=∠．∵DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠，∴90GPE °∠=．∴AE CG ⊥．综上所述：2CG AE =，AE CG ⊥；（3）如解图①，AE如解图2，连接AC ，设AE x =，则2CG x =，EG AC =在Rt AGC 中，222+=AG GC AC ，222((2)++x x ，∴x ==−x综上所述，当点P 与点G 重合时，线段AE 的长为 【点拨】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．。
相似三角形中的 基本模型 (共21张PPT)
连接BE并延长BE交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD=2，
ED BC
1 3
，求线段DC的长.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)求证:
EF BF
GE GB
.
(2)求证 EF GB BF GE .
AD AE ED AC AB BC
模型二：相交线型
例3 如图，要判断△ADE与△ACB相似，添加一个条件，不正
确的是：（C )
A. ∠ADE=∠C C. AE DE
AB CB
B. ∠AED=∠B D. AE AD
AB AC
模型二：相交线型
例4 如图，EC和BD相交于点A，且∠D=∠C, 则△EDA∽ △ BCA ; AD: AC = AE :AB
△BDC∽△CDA △BDC∽△BCA △CDA∽△BCA
练习4 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为
AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角（∠A、∠B）
向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，AD=3,BC=5，
则EF的长为
.
练习5. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC∥AD，BC＝AD
∴△EDF∽△CBF ∴DF:BF＝DE:BC 又∵ DE:BC＝ DE:AD= 2:5 ∴DF:BF＝2:5 而BF＝15 cm
∴DF＝6 cm
A B
ED F
C
模型二：相交线型
△AED∽△ACB AE AD ED AC AB CB
△AED∽△ABC
例4 如图，△ABC中，∠A=∠DBC，BC=3 ,CD=2,
9
则AC= 2 .
模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)
模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝．解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为．【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝AD+BD＝16，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC；（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，∴∠ABE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AE＝＝．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴＝，∵，∴CD＝BD，∴，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴．变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∵EA∥BC，∴△AEF∽△CBF，∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，∴＝＝＝＝，∴AF＝AC，EF＝BF，＝S△ABC，∴S△ABF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△AEF＝2，∵S△AEF＝6S△AEF＝6×2＝12，故选：C．∴S△ABC【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝1：2．解：如图，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，∴∠ACD＝30°，∴＝．又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，∴∠ABE＝30°，∴＝，∴＝．又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB＝2OE，＝2S△DOE＝2×1＝2，∴S△BOD＝3，∴S△BDE∵AD＝BD，＝2S△BDE＝6，∴S△ABE∵AE＝CE，＝2S△ABE＝2×6＝12．故选C．∴S△ABC变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，＝1，则S△ABC＝24．若S△EFG解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（AAS），＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∴S△DMF∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，＝2S△DMF＝2，∴S△ADM∵DM为△ABG的中位线，∴＝，＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S△ABG＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S梯形DMGB＝S梯形DMGB＝6，∴S△BDE∵DE是△ABC的中位线，＝4S△BDE＝4×6＝24，∴S△ABC方法二：连接AE，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F是DE的中点，∴＝，∴＝＝，＝1，∵S△EFG＝16，∴S△ACG∵EF∥AC，∴＝＝，∴＝＝，＝S△ACG＝4，∴S△AEG＝S△ACG﹣S△AEG＝12，∴S△ACE＝2S△ACE＝24，故答案为：24．∴S△ABC【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴＝，即＝，∴EB＝3．（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴FG＝EG﹣EF＝．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；：S△EBC：S△ECD．（2）求S△ABE（1）证明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，＝4m，∴S△CDE∵＝＝，＝2m，∴S△BEC：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．∴S△ABE模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；故选：D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AD＝2，CD＝4，∴，∴AB2＝12，∴AB＝2或﹣2（不合题意，舍去），故选：D．【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，∴OD：OE＝OA：OB＝：1，∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA即∠DOA＝∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案为：．变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝，∴BM＝3，在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）解：如图中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝，故答案为：．实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．解：A、∵EF∥AB，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故A正确，B、易知△ADE∽△EFC，∴＝，∴＝，故B正确．C、∵△CEF∽△CAB，∴＝，∴＝，故C正确．D、∵DE∥BC，∴＝，显然DE≠CF，故D错误．故选：D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．故选：C．3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝，∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A．4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．18解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则BE＝AD＝2，DE＝2，设B′C＝BC＝x，则DC＝x，∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，解得：x＝4（负值舍去），∴BC＝4，AC＝，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴∴△A′CA∽△B′CB，∴，即∴AA′＝，故选：A．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝6．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴AC2＝AP•AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，∴BP＝AB﹣AP＝6．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，＝4，＝（）2＝，∵S△AEF＝36，故答案为36．∴S△BCE8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．解：∵将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），∴∠D＝∠BEC，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠DEB+∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠AGB＝∠EGC，∴∠ACE＝∠ABE，∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝DE＝5，过B作BH⊥DE于H，则DH＝AH，BD2＝DH•DE，∴DH＝＝，∴AD＝，∴AE＝DE﹣AD＝，∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝，故答案为：．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴＝，且∠ACB＝∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB∴ME＝CE＝212．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝1；②求的值．（1）证明：如图①，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（2）解：①如图②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴AD＝＝＝AE，∵＝，∴AD＝BD，∴AE＝BD，∴＝1，故答案为：1．②如图②，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴＝，由①得AD＝AE，AD＝BD，∴＝＝，∴BD＝CE，∴AD＝×CE＝3CE，∴＝3，∴＝3，∴的值是3．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，∵∠EAF＝45°，∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠BME，∴△ABN∽△MBE．（2）证明：如图1，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接MH，∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，∵∠MAN＝∠EAF＝45°，∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAH＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH＝MN，∵∠ABH＝∠ADN＝45°，∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，∴BM2+HB2＝MH2，∴BM2+ND2＝MN2．（3）解：①如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，∴∠ABK+∠ABE＝180°，∴点K、点B、点E在同一条直线上，∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAFM，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EK＝EF，∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，∵CB＝CD＝AB＝4，∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，∴△CEF的周长是8．②如图2，∵F是CD的中点，∴CF＝DF＝CD＝2，∵∠C＝90°，∴CF2+EF2＝CE2，∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，解得BE＝，∴EF＝+2＝，∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴＝，∴＝，∴∠AMB＝∠NME，∴△AMB∽△NME，∴∠NEM＝∠ABM＝45°，∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，∵G是EF的中点，∴NG＝EF＝×＝，故答案为：．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，∴AD＝．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．解：（1）①猜想：BG ⊥DE ，BG ＝DE ；故答案为：BG ＝DE ，BG ⊥DE ；②结论成立．理由：如图2中，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴BG ＝DE ，∠CBG ＝∠CDE ，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG ⊥DE ．（2）∵AB ＝a ，BC ＝b ，CE ＝ka ，CG ＝kb ，∴＝＝，又∵∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ∽△DCE ，∴∠CBG ＝∠CDE ，＝＝，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG⊥DE．故答案为：＝，BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB＝4，BC＝3，CE＝2，CG＝1.5，∵BG⊥DE，∠BCD＝∠ECG＝90°∴BE2+DG2＝BO2+OE2+DO2+OG2＝BC2+CD2+CE2+CG2＝9+16+2.25+4＝．。
相似三角形模型专题精品
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A
E
B
F
D
C
练2. 如图在 ABCD中，E是BC上一点， BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则 BF：FD=_______，S △ADF : S △EBF =______
1:3
1:9
9:1
练3. 如图,在▱ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC, ∠BCD的角平分线分别交AD于E和F,BE与CF交于点G,则△EFG与△BCG面积之比是( ) A. 2:3 B. 4:9 C. 1:4 D. 1:9
6. 过∆ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E， 求证：AE：ED=2AF：FB。
C
A
B
F
D
E
G
已知：AB∥CD,连接AD,CB相交于点E.过E点作EF平行于线段AB，与线段AC相交于点F。求： 的值。
8字型 反8字型 （蝴蝶型） 相似三角形判定的基本模型二 （平行） （不平行）
迁移拓展 知识提升
P
（3） 当t=2秒时，连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若AN=1,求S△EPF.
注意运用转化的数学思想
迁移拓展 知识提升
（4）以OS为一边在∠SOC内作∠SOT,使 ∠SOT = ∠BDC,OT边交BC的延长线于点T, 若BT=4.8,求AK的长。
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
P
Q
M3
A
B
C
相似三角形中的常见五种基本模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型考点一、A 字相似模型【例1】．如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．➢变式训练 【变式1-1】．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AH ⊥BC 于点H ，与DE 交于点G ．若，则＝ ．例题精讲【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM 并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值➢变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5➢变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝．【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．➢变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则P A+PB 的最小值为．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．➢变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．185．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是．8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．12．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝；②求的值．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a ≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．。
相似三角形”A“字模型(含详细答案解析)~经典
教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t=秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．时，△CPQ与△CBA相似．．图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，相似三角形全章节教案和练习比例线段一，线段的比 定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。
(完整版)相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)
相似三角形模型分析大全1、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6）双垂型：2、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展B一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：．OE OA OC ⋅=2例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ．ABC DEB ∠=∠求证：（1）； （2）．DA DE DB ⋅=2DAC DCE ∠=∠ACDEB例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：．EG EF BE ⋅=2相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：．FC FB FD ⋅=22、已知：AD 是Rt△ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND =NC·NB23、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BCGBM90求证：∠=︒5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高A（第25题图）求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=6，求：点B 到直线AC 的距离。
初中数学 相似三角形的8大模型
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
0 1 模型1：A字型相似
0 2 模型2:“8”字型相似
0 3 模型3：三平行倒数和模型
0 4 模型4：一线三等角
0 5 模型5：半角形似（两个字母型相似）
0 6 模型6：旋转型相似
0 7 模型7：与圆有关的简单相似
0 8 模型8：阿氏圆
知识需知：
阿波罗尼斯圆:在平面上给定两点A、B，设点P在同一平面上且满足PB/PA= λ ，当 λ ＞ 0 且 λ ≠ 1 时，P点的轨迹就是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆（ λ
=1 时P点的轨迹为线段AB是的中垂线）。
相似三角形是几何中重要的模型之一，从历年中考考情来看，相似三角形的应用广泛。
在选择题中，直接应用相似三角形的性质，考察线段或面积比，分值4分，题型简单。
但它其实更多的是作为一种计算工具，在图形的翻折中，利用相似可以更快更简单求解；利用圆中的相似，快速求得线段或角度；在压轴大题二次函数中，利用相似可以简化模型，减少计算量，节约做题时间。
由此可看出相似三角形的重要性。
因此，笔者编写初中常见的八大相似模型，从最简单的“A”字、“8”字相似，到旋转型、半角型相似，从易到难，大家可以有选择性的进行学习。
“喜欢我到什么程度？”绿子问。
“整个世界的老虎全部融化成黄油。
” ——村上春树《挪威的森林》。
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。
相似三角形模型分析和典型例题讲解大全good
第一部分 相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）ABCDE（平行）CBA DE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行）（三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC D E B2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
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相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．ACDEB相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 90GMF EHDCBA5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DCB上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。
C共享型相似三角形120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=长.D2、已知：如图，在Rt△ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．求证：（1）△ABE ∽△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．DC一线三等角型相似三角形例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE CAD BEF例2：（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.例3：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．AB C备用图ABC DAB CDAB CPQABC备用图ABCDC（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长．CBA DCBA D例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，6AB CD BC===，3AD=．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMF B∠=∠，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF CD⊥，求BE的长．相关练习：1、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．ABCDE2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长．BCEDC BA P（第25题图）EDCBA（备用图）4、如图，已知边长为3的等边ABC∆，点F在边BC上，1CF=，点E是射线BA上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG∆，直线,EG FG交直线AC于点,M N，（1）写出图中与BEF∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BE x MN y==，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若1AE=，试求GMN∆的面积．一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作CPPE⊥，交边AB于点E,设yAExPD==,，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
备用图EBA P例2、在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），设y CQ x AP ==,，试求y 关于x 的函数关系，并写出定义域。
【练习1】在直角ABC ∆中，43tan ,5,90===∠B AB C o，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点F （1）、求AC 和BC 的长 （2）、当BC EF //时，求BE 的长。
（3）、连结EF,当DEF ∆和ABC ∆相似时，求BE 的长。
C BAOF DCBAAABAB【练习2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =(2)、当m DBAD=，求DF DE 的值（3）、当21,6===DB AD BC AC ，设y BF x AE ==,,求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域【 练习4】]如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3tan 4B =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.QPDCBAQPDCBA【 练习5】、（2009年黄浦一模25）如图,在梯形ABCD 中，CD AB , 34tan ,4,2===C AD AB ，P DAB ADC ,900=∠=∠是腰BC 上一个动点(不含点B 、C ),作AP PQ ⊥交CD 于点Q .(图1) (1)求BC 的长与梯形ABCD 的面积； (2)当DQ PQ =时,求BP 的长；(图2)(3)设y CQ x BP ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.（图1）（图2）。