分式的概念及其基本性质优秀教案

9.1分式（1）教学设计

一、教材分析

1.内容：分式的概念，分式有意义的条件。

2.内容解析：分式是描述实际问题中两个量之比的一类代数式。从运算角度看，分式表示两个整式相除的商，这与分数表示两个整数相除的商类似。正因为都是表示两个量相除的商，因此，分式与分数具有相似的基本性质和运算法则、相似的研究思路和方法。分式是分数的分子分母分别进行符号抽象的结果，分式是分数的一般化，分数是分式中字母取一些特殊值时具体的结果。

本课是分式一章的起始课，核心是分式的概念。作为起始课教学，需要引导学生类比分数的学习构建分式研究的整体思路和方法，在这一过程中能发展学生系统结构抽象的素养；类比分数表示整数运算结果的方法，研究整式的运算，产生分式，抽象分式概念,类比有理数的概念抽象有理式的概念，发展学生数学概念抽象的素养。因此，本课的重点是：类比分数抽象分式的概念，整体构建分式的研究思路和方法。

二、目标与目标解析

1.目标

（1）了解分式的概念和分式有意义的条件。

（2）能根据实际情境列出分式。

（3）能类比分数抽象分式的概念，提出分式研究的整体思路和方法。

2.目标解析

(1)目标（1）要求学生能判断一个代数式是否是分式，知道分式与分数、分式与整式的关系，能确定分式有意义的字母取值范围；

（2）目标（2）要求学生能根据实际问题中的数量关系列出分式；

（3）目标（3）要求类比分数得到分式的概念，提出分式研究的整体思路“定义——性质—运算”。

三、教学问题诊断分析

学生已经学习过整式及其运算，分数及其运算，这为分式的学习奠定了知识基础，提供了学习经验。学生从字面上理解分式的概念并不困难，难的是理解分式所反映的数量关系的本质，理解分数与分式、整式与分式之间的联系与区别。因此，设计合理的活动，让学生类比分数，经历分式概念的形成过程是帮助学生突破难点的关键，也是发展学生数学抽象素养的抓手。

四、教学整体思路

从整数四则运算的封闭性出发，引导学生回顾引入分数表示整数的商的做法；在此基础上，引导学生类比这一思路，考察整式四则运算的封闭性，用类似分数的方法表示两个整式相除的商，发现一类新的代数式，在这个过程中，插入字母表示数的抽象活动；接着类比分数提出研究这类新代数式的整体思路：用定义明确研究对象——探索性质——研究运算；然后，让学生列出实际问题中的分式，类比分数概括分式的本质属性——两个整式的商，分母含有字母；再给出分式的定义，用数系扩充的思想指导学生类比从整数到有理数的扩充过程得到有理式的概念;最后引导学生辨别分式与整式、分式与分数的联系与区别，确定分式有意义的条件。

五、教学过程设计

1.类比思考，发现分式

问题1任意给出两个整数，计算其和、差、积、商，计算的结果一定是整数吗？

师生活动：教师引导学生总结：任意两个整数的和、差、积一定是整数，商则不一定是

整数。

追问：当两个整数相除结果不是整数时，比如34÷，怎样表示商？能说出它的一种实际意义吗？

师生活动：教师引导学生回顾用分数

3

4表示。说出实际意义，如：长方形的面积为4m 2，长为3m ，则宽为34m ；小明散步的速度为3km/h ，走4km 所用的时间为34h ，等等。教师总结如图1的思路：

设计意图：抓住运算这一核心，分离出分数的本质属性——两个的整数相除，结果不为整数的商，为分式的产生提供思路，体会数系扩充的思想，同时为从分数到分式的一般化抽象提供样例。

追问1：任意两个整式的和、差、积、商一定是整式吗？

师生活动：教师引导学生通过具体整式的计算发现，两个整式的和、差、积一定是整式，但商不一定是整式，如)2(+÷x x 。

追问2：请类比分数表示)2(+÷x x 所得的商。

师生活动：学生用2

+x x 表示所得的商。教师总结：当两个整式相除的结果不是整式时，可以用类似于分数的形式表示商（如图2）。

设计意图：以实际问题为背景，类比引入分数表示整数商的方法，引导学生研究整式的运算，发现需要引入新的式子表示两个整式相除结果不是整式的商。

问题3 列式表示下列问题中的数量和数量关系：

1.有两块水稻田，第一块水稻m 公顷，平均每公顷产水稻a kg ；第二块水稻n 公顷，平均每公顷产量b kg ，这两块水稻平均每公顷产量是多少kg ？

2.在相距1600km 的两地之间运行一列车，速度提高25%后，运行时间缩短了4h ，求列车提速前的速度。

师生活动：教师引导学生列出式子：n

m bn am ++，4%)251(16001600++=x x ，指出:本章将研究这一类代数式及其运算，学习含有这一类式子的方程。

图1

设计意图：让学生体会，在现实生活中，需要用这类新的代数式表示数量；提出本章的学习内容。

2.抽象分式的概念

问题4对于这一类新的式子，我们应该研究什么？按照怎样的思路研究？

追问 ：在小学，我们学习了分数的哪些知识？是按照怎样的思路和方法研究分数的？

师生活动：教师引导学生回顾，学习了分数的意义、分数的基本性质、分数的通分约分、分数的四则运算等知识，按照“分数的定义——分数的基本性质——分数的运算”的思路、用归纳的方法研究分数。在此基础上提出新一类式子的研究内容和思路：

定义——性质——运算，类比过程如图3。

设计意图：引导学生回顾分数的学习经验，整体构建分式的研究思路和方法,明确本课任务：明确分式的特征，定义分式。

问题5 先来定义这类新的代数式，首先要知道这些式子有哪些特征？

师生活动：教师引导学生观察所得到的新的代数式：,2,+x x a S n m bn am ++，x

1600， x %)251(1600+，发现其共同特征：表示两个整式A,B 相除得到的商B

A ，并通过比较整式得到

B 中含有字母的特征。

设计意图：概括分式的本质属性：两个整式的商，分母含有字母。

追问：怎样定义分式？

师生活动：教师引导学生给出分式的定义：如果A,B 是两个整式，且B 中含有字母，则形如B

A 的式子叫做分式，A,

B 分别叫做该分式的分子、分母。 类似于“整数和分数统称有理数”，我们把整式和分式统称有理式（如图3）。

图4 类比

图3