空间两点间的距离公式

c
a2 b2
C b
a2 b2 c2
c
D
A
a
（1）
CA
b B
a
（2）
图2-58
BA
a2 b2
C
（3）
在Rt△ABC中，由勾股定理可知，|AC|= a2 b2 （如图2-58（2））
而在Rt△ACC′中，|AC′|= a2 b2 c2（如图2-28（3））
一般的，如果长方体的长、宽、高分别是a，b，c，那
作业：P113 5, 6
么对角线长 d= a2 b2 c2
二、坐标计算
给出空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，
z2），如何利用点的坐标求它们的距离？
（1）如左图，这两个点中，
Z
一个是原点O（0，0，0），另
C
一个不在坐标平面上，设为P
（x1，y1，z1），如何求出OP
O
P
的长？
BY
A
X
易知，A，B，C的坐标为A（x0，0，
0），B（0，y0，0），C（0，0，
z0），所以|OA|=|x0-0|=|x0|，
同理有|OC|=|z0-0|=|z0|，|OB|=|y0-
0|=|y0|，即|OP|= | OA|2 | OB |2 | OC |2
=
x2 0
y2 0
z2 0
（2）如下图，给出空间任意两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），如 何利用点的坐标求它们的距离？
三块砖可以按照图2-57（1）的方式码放，然后测量 AC′的长度； 两块砖则按照图2-57(2)的方式码放，也可以 测量AC′的长度。
A
（1）
C'
图2-57
C'
A
（2）
一、公式计算
如图2-58（1），已知一块砖的长、宽、高分别为a，b， c，我们如何计算出对角线AC′的长度？
D' A'
C'
C'
B'
Z
C BB
P D
AA
C
Y
X
易知，C，D两点坐标分别为（x1，y2，z1），（x2，y2，Z1）， 由于AC平行于y轴，所以|AC|=|y1-y2|，同理有|CD|=|x1-x2|， |DB|=|z1-z2|，由公式就有|AB|= | AC |2 | CD|2 | DB |2
即 |AB|= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )（2 空间两点的距离公式）
解 由已知，可设M（x，1-x，0），则
|MN|=
( x 6 )2 ( 1 x 5 )2 ( 1 0 )2
2( x 1)2 512
所以
|MN|min= 51
课堂练习
1.求点P（1，2，-2）和Q（-1，0，-1）之间的距离。 2.在方格纸上先画出一个空间直角坐标系，然后画出下列各点：
A（1，2，4），B（-1，2，4）， C（0，-1，-5），D（-1，-4，-3）。 3.求点N（3，-2，-4）到原点、各坐标平面和各坐标轴的距离。
小结:
空间任意两点A（x1，y1，z1）， B（x2，y2，z2）的距离公式:
|AB|= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
空间两点间的 距离公式
广东龙川一中 杨政菊
问来自百度文库提出
长方体的对角线:如图,连接长方体两个顶点A,C’的线段AC’ 就称为长方体的对角线
D' A'
D
A
C'
B' C
B
？建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量
出一块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线AC′的长 度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测量。 如果有三块砖，你如测量AC′的长度，两块呢？
例4 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P， 使它与点P0（4，1，2）的距离为 。30
解：设点的坐标是（x，0，0），由题意，|P0P|= 30
即
( x 4 )2 12 22 = 30
所以
（x-4）2=25
解得x=9或x=-1.
所以，P点的坐标为（9，0，0） 或（-1，0，0）.
例5 在xOy平面没的直线x+y=1上确定一点M， 使M到点N（6，5，1）的距离最小。