空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式
S1
O
Q1
R1
x
y
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2| |P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2 | P1P2 | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
平面内两点 P1(x1, y1, z1 ), P2(x2 , y2 , z2的) 距离公式是：
| P1P2 | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
z
P1(x1 , y1, z1 )
O
P2 (x2 , y2 , z2 )
x
y
4.3.2空间两点间的距离公式
例三 已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，1，4），求证其连线组成的三角形为直角三角形。 利用两点间距离公式，由
C．（-3，1，5）
D．（5，13，-3）
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式 | P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
y
P
1
o
x
P
2
温馨提示：为更好地满足您的学习和使用需求，课件在下载后可以自由编辑，请您根据实际情况进行调整！Thank you
空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z
| AB | 89,| AC | 75,| BC | 14
从而，| AC |2 | BC |2 | AB |2
根据勾股定理，结论得证。
随堂练习
1．若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则 线段AB的长为（ A）
A.4 3
B.2 3
C.4 2
D.3 2
4.3.2空间两点间的距离公式
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式. 这就是空间两点间的距离公式
思考2:在空间直角坐标系中， 思考 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 在空间直角坐标系中 A（x，y，0），B（0，y，z），C（x，0，z）， 与坐标原点O的距离分别是什么 的距离分别是什么？ 与坐标原点 的距离分别是什么？
| OA |=
思考:若直线 平面的一条斜线， 思考 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 若直线 平面的一条斜线 则点P 的距离如何计算？ 则点 1、P2的距离如何计算？
z P1 O y x M N P2
A
| P1P2 |=
(x1 - x2 ) + (y1 - y2 ) + (z1 - z2 )
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式. 这就是空间两点间的距离公式
2 2
| OP |=
x +y +z
• 思考 在空间直角坐标系中，方程 思考5:在空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示 为常数） 为常数 什么图形是什么？ 什么图形是什么？
z
P
O y
x
探究（二）:空间两点间的距离公式 探究（ 空间两点间的距离公式
在空间中,设点 在空间中 设点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的 设点 ， 在 平面上的 射影分别为M、 射影分别为 、N. 思考1:点M、N之间的距离如何？ 思考1:点 之间的距离如何？ 1:
B O A C
y
x
|OA|=|x|； |OB|=|y|； |OC|=|z|.
思考:若直线 平面的一条斜线， 思考 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 若直线 平面的一条斜线 则点P 的距离如何计算？ 则点 1、P2的距离如何计算？
4.3.2 空间两点间的距离公式
O
M1 M M2 H N2 y N
N1
在xOy平面上, MN ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 . 过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP 1 z1 , NP 2 z2 , 所以 HP2 z2 z1 .
P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N z
解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
MA MB
2
2
2 2 2 2 2 2 即 (0 4) (0 1) ( z 7) (3 0) (5 0) (2 z)
14 解之得 z 9 14 (0, 0, ). 所以所求点的坐标是 9
在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1，-3,1）
2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点的坐标为A(2，1，1)， 2 B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=_____. 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离 2x+2y-2z-3=0 相等，则x、y、z满足的关系式是_______________. 4．已知点P在z轴上满足|OP|=1（O是坐标原点），则点P到
P2
在Rt PHP 1 2中，
2 2 PH MN ( x x ) ( y y ) 1 2 1 HP ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 2 1 2 1 2 1 , 2 2
因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
2或 6 。 点A(1，1，1)的距离是_________
5．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A(-1，
4 。 2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的棱长为_____
4.3.2空间两点间的距离公式
x2 y2 z2
解:Q
x
1
x2 z2 10
17
x 1
, 解得
z
3
0
,
y
7 0
点P坐标为(1, 7, 3)或(-1, 7 , 3)。
谢谢！
uuur uuur uuur uuur
AB CB 7, AB CB 6 2 2 (3) 3 6 0,
uuur uuur AB CB,故为等腰Rt。
例 3、如图，正方体 A1 C 的棱长为 3，M BC1 ，N AC ，z
AN =2 CN ， BM =2 C1M ，求 MN 。
AB AB (xB xA )2 ( yB yA )2
3.空间直角坐标系O-xyz下，P1(x1, y1, z1), P2 (x2 , y2 , z2 ) 两点间距离公式又如何呢？
知识探究（一）:点 P（x，y，z）与坐标原 点O的距离公式是怎么样的？
z
O
P
y
x
M
| OP |= x 2 + y 2 + z 2
建立适当的空间直角坐标系，用空间直角坐标法求 D1E 。
z
D1
解:建立如图所示的空间直角坐标系，A1
则D1(0, 0, 2)、E(2, 4,1),
D
C1
B1
·E C
yy
D1E 4 16 1 21。
xA
B
4、若点 P(x, y, z) 到原点距离为 17 ，到平面 yOz 的距离为 1，到 y 轴的距离为 10 ， 求 P 点的坐标(设 y>0，z>0)。
空间两点间的距离公式
从空间某一点O引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 中O 点称为坐标原点，数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面. 三个坐标轴的正方向符合右手系. z 竖轴 方法一：
即以右手握住 z 轴，当右 x 轴 手的四个手指从正向
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
思考P109练习 4 在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标. z (1)关于坐标平 M M’ 面xoz对称的点 M’(1,2,3)
3
o
1 2
y
x
思考P109练习 4 在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。 z M’ (2)关于z轴对称的点 M M’(－1,2,3)
3
o
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
x
五、小结
空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3) ,
C ( 2,3,4) ,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
2
2
M 2 M 3 M 3 M1 ,
课件1：2.4.2 空间两点的距离公式
面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，
若CM＝BN＝a(0<a< )，求a为何值时，MN的长最小．
分析：该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该
说是既简单又易行的方法，方法的对照比较，也更体现出了
坐标法解题的优越性．
＝
.
点评：求几何体中线段的长度的步骤：(1)利用几何体中的
线面关系、对称关系等建立适当的坐标系；(2)表示出几何
体中各点的坐标；(3)利用距离公式求线段的长度．
跟 踪 训 练
1．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，
则△ABC的形状是(
A．等腰三角形
练习1：点M(4，－3,5)到坐标原点O(0,0,0)的距离为
+ (−) + =
___________________．
练习2：如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
答案：表示球心为O，球半径为r的球．
基 础 梳 理
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距
课堂小结
归 纳 总 结
空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，
常应用在四个方面：一是根据坐标求距离，二是根据距离
求点的坐标，三是利用边长判断三角形的形状，四是求空
间中点的轨迹方程．目的都是考查空间中两点间距离公式，
解答时可类比平面上解决类似问题的方法．在求轨迹方程
时，注意理解方程表示的图形．
∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
两点之间的距离公式
两点之间的距离公式
两点之间的距离公式：
两点之间的距离可以用一个简单的公式来表示：距离=根号（（x1-x2）的平方）+（（y1-y2）的平方）。
该公式也叫欧几里得距离，是基于欧几里得几何定义的直线距离。
两点之间的距离公式是由古希腊数学家欧几里得提出的，它描述了任何两点之间的距离，包括二维平面和三维空间中的两点。
公式可以用来计算距离，也可以用来计算两个点之间的距离。
欧几里得距离是常见的距离计算公式，在几何学和数学中都有广泛的应用。
它在许多地方都有用，比如计算两个城市之间的距离，或者在数据分析中计算两个点之间的相似度。
欧几里得距离公式也可以用来对多维数据进行分析。
例如，可以使用它来比较两个点在某个维度上的距离，从而确定它们之间的相似性。
它还可以用来计算两个点之间的距离，从而确定它们之间的差异性。
因此，欧几里得距离公式是一个重要的数学工具，它能够帮助我们快速计算两点之间的距离，从而发现数据之间的相关性以及差异性。
它在许多领域得到了广泛的应用，是一个非常有用的工具。
求两点间的距离公式
求两点间的距离公式在数学中，求两点间的距离是一种基本的计算方法。
无论是在平面上还是在空间中，我们都会使用这个公式进行计算。
在本文中，我们将探讨如何求两点间的距离公式，以及其应用。
一、平面上的两点间距离平面上两个点之间的距离，可以通过勾股定理来计算。
在坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]其中，√ 表示平方根。
例如，若点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,7)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)²]= √[3² + 4²]= √(9+16)= √25= 5这代表点A和点B之间的距离为5个单位长度。
二、空间中的两点间距离与平面上不同，空间中的两点之间的距离需要使用三维勾股定理来计算。
在三维坐标系中，设点A的坐标为(x1,y1,z1)，点B的坐标为(x2,y2,z2)，则这两个点之间的距离公式为：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]例如，若点A的坐标为(2,3,4)，点B的坐标为(5,7,2)，则这两个点之间的距离公式为:d = √[(5-2)² + (7-3)² + (2-4)²]= √[3² + 4² + (-2)²]= √(9+16+4)= √29这代表点A和点B之间的距离为√29个单位长度。
三、应用求两点间距离的公式，可以广泛应用于各个领域。
以下是一些例子：1. 道路建设：在规划道路时，需要计算两个建筑物之间的距离，以确定最佳道路位置。
2. GPS导航：GPS系统利用卫星定位技术来计算用户当前位置和目的地之间的距离。
3. 机器人设计：在设计机器人的路径规划系统时，需要计算机器人当前位置和目标位置之间的距离，以决定机器人的运动路径。
3.2空间两点间的距离公式.(正式)
3.2空间两点间的距离公式学习目标1.会推导空间两点间的距离公式；2.能够应用空间两点间的距离公式解决一些简单问题． 重点空间两点的距离公式的应用. 难点空间两点的距离公式的应用. 学习过程：在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|AB|=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？（2）空间中任意一点P ),,(z y x 到原点之间的距离公式会是怎样呢？O yzxP(x,y,z)B(x,y,0)A[1]222z y x OP ++=<3>类比平面两点间距离公式的推导，您能猜想一下空间两点),,(1111z y x P ，),,(2222z y x P 间的距离公式吗？<4>如果||OP 是定长，那么2222r z y x =++表示什么图形？结论：<3>先看简单的情形.设空间直角坐标系中点),,z y x P （,求点P 到原点O 的距离.如图所示，设点P 在xoy 平面上的射影是B ，则点B的坐标是（x,y,0).在xoy 平面上，我们可以得到结论有|OB|=22y x +.在直角三角形OBP 中，根据勾股定理|OP|=22||||BP OB +,因为|BP|=|z|,所以|OP|=222z y x ++.这说明，在空间直角坐标系Oxyz 中，任意一点P(x,y,z)与原点之间的距离是|OP|=22||||BP OB +下面再看一般的情况，设点),,(1111z y x P ，),,(2222z y x P 是空间任意两点，且两点在xoy 平面上的射影分别为M,N ，那么M,N 的坐标为)0,,(11y x M ，)0,,(22y x N .在xoy 平面上，221221)()(||y y x x MN -+-=.过点1P 做N P 2的垂线，垂足为H ，则|||||,|||2211z NP z MP ==，所以||||212z z HP -=.在直角三角形21HP P 中，==||||1MN H P 221221)()(y y x x -+-，根据勾股定理，得到结论如下所示：222121||||||HP H P P P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-=.因此空间中点),,(1111z y x P ，),,(2222z y x P 间的距离公式为可以表示成下面形式：||21P P 221221221)()()(z z y y x x -+-+-=.<4>表示一个球面.例1．在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离。
空间两点的距离公式
张喜林制 2.4.2 空间两点的距离公式教材知识检索考点知识清单空间两点的距离公式空间两点),,(),,(222111z y x B z y x A h 的距离公式=||AB ；特别地，点A （x ，y ，z ）到原点的距离公式为要点核心解读(1)设空间两点),,,(),,(222111z y x B z y x A 、则空间两点间的距离公式为221221221)()()(||z z y y x x AB -+-+-⋅=推导空间两点距离公式的思路是过两点分别作三个坐标平面的平行平面(如图2 -4 -2 -1)，则这六个平面围成一个长方体．我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．于是，只要写出交于一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式．(2)学习求空间两点间的距离要注意的方法：①求空间两点间的距离，要学会利用长方体模型，构造三角形，运用勾股定理，比较平面与空间的两点间距离公式的异同．②不仅要学会运用空间两点的距离公式求给出的点的距离，更要学会在简单的几何体中求两点间的距离，也要学会求解实际问题中的空间两点间的距离，③在解题中，注意灵活运用空间两点的距离公式，敏感图形的特殊性，点的位置的特殊性，典例分类剖析考点1 求空间两点间的距离命题规律给定几何体，求空间两点间的距离．[例1] 如图2-4-2-2所示，在长方体-OABC 1111C B A O 中，E AA AB OA ,2||,3||,2||1===是BC 的中点，作OD ⊥AC 于D ，求点1O 到点D 的距离．[答案] 由题意得点⋅)0,3,0()2,0,0()0,0,2(1C O A 、、设点D （x ，y ，O ），在Rt △AOC 中，,3||,2||==OC OA ⋅==∴=13136136||,13||OD AC 在Rt△ODA 中，⋅=⋅⋅==∴⋅=131821336|||,|||||2x x OA x OD 在Rt△ODC 中，|,|.|2C O y OD ⋅=∴===∴131231336||y y 点⋅)0,1312,1318(D ⋅==++=∴1328621311444)1312()1318(||2221D O [点拨] 此题也可以在D O Rt 01∆中求解，即=21||D O ,138841336||||212=+=+OO OD ⋅==∴1328621388||1D O 母题迁移 1．如图2 -4 -2 -3所示，建立空间直角坐标系Dxyz.已知正方体l D C B A ABCD 111-的棱长为1，点P 是正方体体对角线B D 1的中点，点Q 在棱1CC 上．(1)当||||21QC Q C =时，求∣PQ ∣；(2)当点Q 在棱1CC 上移动时，求∣PQ ∣的最小值．考点2 两点问距离公式的应用命题规律利用两点间距离公式求点的坐标或动点的轨迹．[例2] 正方形ABCD 、ABEF 的边长都是l ，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若⋅<<==)20(a a BN CM(1)求MN 的长；(2)求a 为何值时，MN 的长最小．[答案] ,ABEF ABCD 面面⊥ ,AB ABEF ABCD =与平面面⊥⊥AB BE AB ,,CBBE BC AB ABC BE 、、面,⊥∴两两互相垂直.∴ 以B 为原点，以B 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和x 轴，建立如图2 -4-2-4所示的空间直角坐标系.则点),221,0,22(a a M -点⋅)0,22,22(a a N 222)0221()220()2222(||--+-+-=∴a a a a MN ⋅+-=+-=21)22(1222a a a ∴ 当22=a 时，∣MN ∣最短为,22此时，M 、N 恰为 AC 、BF 的中点． [点拨] 该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解应该说是最简捷的方法．方法的对照比较，体现出了坐标法解题的优越性．母题迁移 2．在三棱柱///O B A ABO -中，,90 =∠AOB 侧棱⊥/OO 面.2OA ,/===OO OB OAB (1)若C 为线段A O /的中点，在线段/BB 上求一点E ，使∣EC ∣最小；(2)若E 为线段/BB 的中点，在A O /上找一点C ，使|EC|最小，优化分层测讯学业水平测试1．在长方体1111D C B A ABCD -中，若已知点,0,4()0,0,0(A D 、),3,0,4()0,2,4()01A B 、、则对角线1AC 的长为( )．9.A 29.B 5.C 62.D2．已知两点),1,3,1()2,0,1(-B A 、点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点的坐标为( )．)0,0,3.(-A )0,3,0.(-B )3,0,0.(-C )3,0,0.(D3．在空间直角坐标系中，已知正方体1111D C B A ABCD -的顶点A （3，-1，2），其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长等于4．写出与原点距离等于2的点的坐标所满足的条件5．设点.11||),,2,6()1,7,4(=-AB z B A 、求z ．6．在x 轴上求与点A （4，-1，7）和点B （-3，5，-2）等距离的点，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．点M(2，-3，5)到x 轴的距离(....).=d2225)3(2.+-+A 25)3(.+-B 22)3(2.-+C 2252.+D2．已知点),1,0,2()2,1,1()1,1,2(C B A 、、则下列说法正确的是( )．A.A 、B 、C 三点可以构成直角三角形B.A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形C.A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D.A 、B 、C 三点不能构成任何三角形3．若点P(x ，y ， z)满足,2)1()1()1(222=++-+-z y x 则点P 在( )．A ．以点（1，1，-1）为球心，半径为2的球上B ．以点（1，1，-1）为中心，棱长为2的正方体上C ．以点（1，1，-1）为球心，半径为2的球上D ．无法确定4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A （-6，-6，-6）B(8，8，8)，且两点不在正方体的同一个面上，则正方体的对角线长为( )． 314.A 143.B 425.C 542.D5．若空间一点P 到xOy 平面、yoz 平面、xoz 平面的距离之比是3：4：5，则满足条件的点P 的个数为( )．A.l 个B.2个C.4个D.8个6．已知点),2,2,1().12,5,(x x B x x x A -+--当∣AB ∣取最小值时，x 的值为( )．19.A 78.-B 78.C 1419.D 7．已知点)1,2,(x P 到点)1,1,2()2,1,1(R Q 、的距离相等，则x 的值为( )．21.A 1.B 23.C 2.D 8．到点A （-1，-1，-1）、B(l ，1，1)的距离相等的点C （x ，y ，z ）的坐标满足( )． 1.-=++z y x A 0.=++z y x B 1.=++z y x C 4.=++z y x D二、填空题（5分x4 =20分）9．在三角形ABC 中，若三个顶点坐标分别为,2()3,2,1(B A 、-),3,25,21()3,2C 、-则AB 边上的中线CD 的长是10.已知空间两点),3,2,2()1,1,3(---B A 、在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 的距离相等，则C 点的坐标是11．已知□ABCD 的两个顶点)2,3,1()5,3,2(---B A 、及它的对角线的交点E(4，-1，7)，则顶点C 的坐标为 ，D 的坐标为 。
两点之间距离公式
两点之间距离公式两点之间的距离是空间中的两个点之间的直线距离。
它是计算几何学的一个重要概念，可应用于许多领域，包括物理学、工程学和地理学等。
在一个平面坐标系中，我们可以通过使用勾股定理计算两点之间的距离。
勾股定理是一个关于直角三角形的定理，表示直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。
用数学表达式表示，可以表示为：c²=a²+b²，其中c是斜边的长度，a和b是直角边的长度。
假设我们有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。
首先，我们需要计算两个点之间在x轴和y轴上的差值，即Δx=x2-x1和Δy=y2-y1、然后，我们可以计算斜边的长度c=√(Δx²+Δy²)。
下面是通过勾股定理计算两点之间距离的具体步骤：1.确定两点的坐标：假设我们有点A(x1,y1)和点B(x2,y2)。
2.计算两点在x轴和y轴上的差值：Δx=x2-x1，Δy=y2-y13.计算两点之间的直线距离c：c=√(Δx²+Δy²)。
4.若需要，可以使用适当的单位进行转换。
例如，若需要将距离从像素转换为英寸，则需要知道每英寸的像素数。
以下是一个计算两点之间距离的示例，假设点A为(2,3)和点B为(5,7)：1.Δx=5-2=3Δy=7-3=42.c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5因此，点A和点B之间的距离为5个单位（可以是任何单位，根据给定的坐标系和应用的领域而定）。
需要注意的是，这种方法只适用于求解平面上两点之间的距离。
如果涉及到三维或更多维的空间，则需要使用其他方法，如欧氏距离或曼哈顿距离。
-欧氏距离是指平面上两点之间的最短路径距离。
在三维空间中，可以使用以下公式来计算两点之间的欧氏距离：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
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小结:
空间任意两点A（x1，y1，z1）， B（x2，y2，z2）的距离公式:
|AB|= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
Z
C BB
P D
AA
C
Y
X
易知，C，D两点坐标分别为（x1，y2，z1），（x2，y2，Z1）， 由于AC平行于y轴，所以|AC|=|y1-y2|，同理有|CD|=|x1-x2|， |DB|=|z1-z2|，由公式就有|AB|= | AC |2 | CD|2 | DB |2
即 |AB|= ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )（2 空间两点的距离公式）
么对角线长 d= a2 b2 c2
二、坐标计算
给出空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，
z2），如何利用点的坐标求它们的距离？
（1）如左图，这两个点中，
Z
一个是原点O（0，0，0），另
C
一个不在坐标平面上，设为P
（x1，y1，z1），如何求出OP
O
P
的长？
BY
A
X
易知，A，B，C的坐标为A（x0，0，
c
a2 b2
C b
a2 b2 c2
c
D
A
a
（1）
CA
b B
a
（2）
图2-58
BA
a2 b2
C
（3）
在Rt△ABC中，由勾股定理可知，|AC|= a2 b2 （如图2-58（2））
而在Rt△ACC′中，|AC′|= a2 b2 c2（如图2-28（3））
一般的，如果长方体的长、宽、高分别是a，b，c，那
空间两点间的 距离公式
广东龙川一中 杨政菊
问题提出
长方体的对角线:如图,连接长方体两个顶点A,C’的线段AC’ 就称为长方体的对角线
D' A'
D
A
C'
B' C
B
？建筑用砖通常是长方体，我们可以拿尺子测量
出一块砖的长、宽和高，那么怎样测量它的对角线AC′的长 度呢？直接测量比较困难，我们可以用间接的方法去测量。 如果有三块砖，你如测量AC′的长度，两块呢？
0），B（0，y0，0），C（0，0，
z0），所以|OA|=|x0-0|=|x0|，
同理有|OC|=|z0-0|=|z0|，|OB|=|y0-
0|=|y0|，即|OP|= | OA|2 | OB |2 | OC |2
=
x2 0
y2 0
z2 0
（2）如下图，给出空间任意两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），如 何利用点的坐标求它们的距离？
三块砖可以按照图2-57（1）的方式码放，然后测量 AC′的长度； 两块砖则按照图2-57(2)的方式码放，也可以 测量AC′的长度。
A
（1）
C'
图2-57
C'
A
（2）
一、公式计算
如图2-58（1），已知一块砖的长、宽、高分别为a，b， c，我们如何计算出对角线AC′的长度？
D' A'
C'
C'
B'
解 由已知，可设M（x，1-x，0），则
|=
( x 6 )2 ( 1 x 5 )2 ( 1 0 )2
2( x 1)2 512
所以
|MN|min= 51
课堂练习
1.求点P（1，2，-2）和Q（-1，0，-1）之间的距离。 2.在方格纸上先画出一个空间直角坐标系，然后画出下列各点：
例4 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P， 使它与点P0（4，1，2）的距离为 。30
解：设点的坐标是（x，0，0），由题意，|P0P|= 30
即
( x 4 )2 12 22 = 30
所以
（x-4）2=25
解得x=9或x=-1.
所以，P点的坐标为（9，0，0） 或（-1，0，0）.
例5 在xOy平面没的直线x+y=1上确定一点M， 使M到点N（6，5，1）的距离最小。
作业：P113 5, 6