2020年高考数学导数中的参数范围的求法

导数中的参数范围的求法

一、 与单调性有关的参数问题

此时参数可以位于函数中也可以位于区间内，常见的提问方式是函数在某个区间单调递减、单调递增、单调、不单调，研究这类问题的关键是把握原函数和导函数的关系，这里需要注意的一个问题：若函数()f x 单调，则'()f x 恒为非正或非负，函数的极值点并不等同于导函数的零点，极值点的个数和导函数的根的个数也不能直接划等号。

例1.已知函数32()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求a 的取值范围。 解析：先根据函数单调性作出函数的趋势图像，再安排存在参数的区间位置即可。

'2()3693(1)(3)f x x x x x =--=+-

令'()0f x >，则3x >或1x <-；令'()0f x <，则13x -<<，作出趋势图像如下：

函数在区间(,21)a a -上单调递减，需满足12131221a a a a a ≥-⎧⎪

-≤⇒<≤⎨⎪->⎩

例2．已知函数22

()ln f x x a x x

=++

在[1,4]上是减函数，求实数a 的取值范围。 解析：转化为函数单调性与导函数的正负性的关系即可，'22()2a f x x x x

=+

- 在[1,4]上是减函数，即'22

()02f x a x x

≤⇒≤-+在[1,4]上恒成立 令22()2g x x x =-+，因为()g x 在[1,4]上递减，则min 63()(4)2

g x g ==- 所以632

a ≤-

例3.已知函数(),()ln ,f x ax g x x a R ==∈，若函数()2

()()xf x G x ag x a x

=

++在区间[1,)+∞上为单调函数，求a 的取值范围。

解析：题目只是说明函数是单调函数，并未说明是单增还是单减，因此需要分两种情

况讨论，将单调性转化为参数恒成立问题即可。

()2()()xf x G x ag x a x

=++，3'

22222()2a x ax G x x x x x +-=+-=

若()G x 在区间[1,)+∞上单调递增，则'()0G x ≥在[1,)+∞上恒成立，即

222a x x ≥

-在[1,)+∞上恒成立，令22

()2h x x x

=-，因为()h x 在[1,)+∞递减，则 max ()(1)0h x h ==，此时0a ≥

若()G x 在区间[1,)+∞上单调递减，则'()0G x ≤在[1,)+∞上恒成立，即

222a x x ≤

-在[1,)+∞上恒成立，令22

()2h x x x

=-，因为()h x 无最小值，则不存 在这样的a 综上，0a ≥

例4.已知函数32()(1)(5)f x x k x k x =+-++，其中k R ∈，若函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，求k 的取值范围。

解析：这个问题相对复杂些，但是思路还算清晰，函数在(0,3)上不是单调函数，意味

着原函数在(0,3)上存在极值点，因为三次函数极值点的个数可能是两个也可能没有，原题目中排出没有的情况，因此题目存在两个极值点，但是这两个极值点有几个落在区间(0,3)内这是个问题，可能只有一个极值点在，也可能两个都在，此外极值点是导函数的根，题目即可转化为二次函数在区间内根的分布问题。

'2()32(1)5f x x k x k =+-++，函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，则()

f x 在(0,3)内必定存在极值点，此时()f x 不能单调递增，只能是保持一种增减增的状态，因此()f x 在(0,3)内的极值点可能是一个也可能是两个。 若极值点在(0,3)内只有一个，情况如下： （1）

此时'()

f x需要满足

'

'

(0)0

(3)0

f

f

⎧<

⎪

⎨

>

⎪⎩

，此时无解

（2）

此时'

()f x 只需要满足''(0)0

2657(3)0

f a f ⎧>⎪⇒-<<-⎨<⎪⎩

若极值点在(0,3)内有两个，图如下：

此时'

()f x 只需要满足''

(0)0

(3)0262071003f f a k ⎧>⎪>⎪⎪⇒-<<-⎨∆>⎪

-⎪<-<⎪⎩

综上所述，52a -<<- 二、与极值有关的参数范围问题

常见的问法是函数有无极值点，有几个极值点的问题，极值点是函数单调性发生改变的点，因此有极值点意味着函数不单调，没有极值点则意味着函数单调，有几个极值点意味着导函数有几个零点，但是导函数有几个零点不等同于函数有几个极值点。

（导函数为零的点不一定为极值点，极值点一定为导函数为零的点） 例5.已知函数ln(1)

()x f x x

+=，设3()()h x xf x x ax =--在(0,2)上有极值，求a 的取值范围。

解析：3()ln(1)(10)h x x x ax x x =+-->-≠且，

2'

2

1(331)()3111

x ax ax h x ax x x ---=--=++，()h x 在(0,2)上有极值，则'()

h x 在(0,2)上有零点，即23310ax ax ---=在(0,2)有根

2

1136a x x =-

≤-+，故1

18

a ≤- 例6.若函数2()(1)x f x e x ax a =+++没有极值点，求a 的取值范围。

解析：'2()[(2)21)x f x e x a x a =++++，令'()0f x =，即2(2)210x a x a ++++=

函数无极值点，则2(2)4(21)004a a a ∆=+-+≤⇒≤≤

例7.已知函数()ln 3f x a x ax =--，函数()f x 的图像在4x =处的切线的斜率为3

2

，且32'1()[()]32

m

g x x x f x =

++在区间 (1,3)上不是单调函数，求m 的取值范围。 解析：由已知得2a =-，321()(2)232

m

g x x x x =

++-，'2()(4)2g x x m x =++-，函数在区间(1,3)上不是单调函数，则导函数在区间上存在零点，根据二次函数根的

分布列不等式'

'(1)0

1933(3)0

g m g ⎧<⎪⇒-<<-⎨>⎪⎩

三、与双参数有关的参数问题

在参数问题中参数的个数可能不止一个，另外在此类问题中变量的个数也可能不止一个，也可能会出现双变量的问题。

题目中若含有双参数,m n ，其中一个一般是给出了区间，而让求另一个未给出的参数的取值范围，除了这个之外一般还会给出未知量x 的区间，一个参数一个未知量是以任意性和存在性方式给出，其实这种题目大多是参数恒成立或存在性问题的延伸，只不过需要求两次最值，因为多了一个参数，所以在难度上会适当的降低。