《基本不等式》典型例题复习进程
高考数学一轮总复习：基本不等式
2．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2 答案 D 解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D 正确．而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
∵x>0，y>0，∴x＋3y≥6. 【答案】 6
(3) 设 a， b>0 ， a ＋b ＝ 5， 则 a＋1 ＋ b＋3 的 最 大 值 为 ________．
【解析】 ( a＋1＋ b＋3)2＝a＋b＋4＋2 a＋1· b＋3≤9＋
（ 2·
a＋1）2＋（ 2
b＋3）2＝9＋a＋b＋4＝18，所以
x 16y y·x
＝18，当且仅当
8x＋1y＝1， xy＝1x6y，
即
x＝12， y＝3
时“＝”成
立，故x＋2y的最小值是18.
方法二：(消元法)由
8 x
＋
1 y
＝1，得y＝
x x－8
，由y>0⇒
x x－8
>0，又x>0⇒x>8，则x＋2y＝x＋
2x x－8
＝x＋
2（x－8）＋16 x－8
＝x＋
2＋ x－168
【答案】
1 5
★状元笔记★ 拼凑法求最值的技巧 (1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相 等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)①，“二 定”不满足时，需变形如例(1)②，“三相等”不满足时，可利用 函数单调性如例(1)③. (2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”如例 (2)本例的关键是变形，凑出和为常数．
基本不等式经典例题精讲
新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0＜x ＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x ＜31,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121. 解法二：∵0＜x ＜31,∴31-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［231x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2xx 1∙=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+)(1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11+x 的最小值.思路分析：x ＞-1⇒x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥2)1(1)1(+∙+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1.变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令t=x 2+1，则t≥1且x 2=t-1.∴y=133224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t+t 1≥2tt 1∙=2,当且仅当t=t 1,即t=1时，等号成立. ∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1，求x+y 的最小值. 思路分析：要求x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”, ∵x 1+y9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y 9)=10+yx x y 9+. ∵x ＞0,y ＞0,∴y x x y 9+≥2yx x y 9∙=6. 当且仅当yx x y 9=，即y=3x 时，取等号.又x 1+y9=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16. 解法二：由x 1+y 9=1，得x=9-y y . ∵x ＞0,y ＞0,∴y ＞9. x+y=9-y y +y=y+999-+-y y =y+99-y +1=(y-9)+99-y +10. ∵y ＞9,∴y-9＞0. ∴999-+-y y ≥299)9(-∙-y y =6. 当且仅当y-9=99-y ，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.解法三：由x 1+y9=1，得y+9x=xy, ∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2)9)(1(--y x =16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x 1+y9=1, ∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：x 1+y 9≥2xy 9①,即xy6≤1,∴xy ≥6. ∴x+y≥2xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1=y 9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)(y b x a +)=a+x ay y bx ++b=10+xay y bx +. ∵x,y ＞0,a,b ＞0，∴x+y≥10+2ab =18，即ab =4.又a+b=10，∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a 例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最小值（0＜x ＜1）. 思路分析：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,xlg 4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,x lg 4＜0.∴-xlg 4＞0. ∴(-lgx)+(-x lg 4)≥2)lg 4)(lg (xx --=4. ∴lgx+x lg 4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg 4≤3-4=-1. 当且仅当lgx=x lg 4,即x=1001时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+xlg 4 (0＜x ＜1)的最小值为-1. 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x ＜1这一个条件.变式训练1已知x ＜45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x ＜45，则4x-5＜0. 解：∵x ＜45,∴4x-5＜0. y=4x-5+541-x +3=-［(5-4x)+x 451-］+3 ≤-2x x 451)45(-∙-+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=x451-,即x=1时等号成立. 所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23,再求最值.解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23， ∵当x ＜23时，3-2x ＞0， ∴x x 238223-+-≥xx 2382232-∙-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-21时取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S ，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2y x 32⨯=2xy 6,∴2xy 6≤18,得xy≤227，即S≤227. 当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y. ∵x ＞0,∴0＜y ＜6. S=xy=(9-23y)y=23 (6-y)y. ∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0.∴S≤23［2)6(y y +-］2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥2y x 32∙=2xy 6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立.由⎩⎨⎧==,24,32xy y x 解得⎩⎨⎧==.4,6y x 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小. 方法二:由xy=24，得x=y 24. ∴l=4x+6y=y 96+6y=6(y 16+y)≥6×2y y⨯16=48,当且仅当y 16=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y 都是正数；（2）积xy （或x+y ）为定值；（3）x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x 米,则宽为x 200米(0＜x≤16,0＜x200≤16),∴12.5≤x≤16. 于是总造价Q(x)=400(2x+2×x 200)+248×2×x 200+80×200. =800(x+x 324)+16 000≥800×2xx 324∙+16 000=44 800, 当且仅当x=x 324 (x ＞0),即x=18时等号成立,而18∉［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800. 下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x 1＜x 2≤16,则x 2-x 1＞0,x 1x 2＜162＜324.Q(x 2)-Q(x 1)=800［(x 2-x 1)+324(1211x x -)］ =800×212112)324)((x x x x x x --＜0, ∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为n8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度. 导思：本问题实际是求n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n 层楼,此时的不满意程度为y. 由题意知y=n+n8. ∵n+n 8≥2248=⨯nn , 当且仅当n=n 8,即n=22时取等号. 但考虑到n ∈N *,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.例5解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1) 解 原不等式可化为 2)2()1(--+-x a x a ＞0， ①当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解 由于2111211a a a -=-<<-- ∴原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞) ②当a ＜1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2) ＜0同解 由于21111a a a -=---, 若a ＜0，211211a a a -=-<--,解集为(12--a a ，2)； 若a =0时，211211a a a -=-=--，解集为∅； 若0＜a ＜1，211211a a a -=->--,解集为(2，12--a a ) 综上所述 当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）。
2024年高考数学 高三大一轮复习专题04 基本不等式
专题04 基本不等式【知识精讲】一、基本不等式12a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大) 4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（7）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≥≥≥>>+ 二、常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mn x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+−+−=−+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =−时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=−+⋅≤−=−（，当且仅当mnx 2=时等号成立. 【题型精讲】题型一 利用基本不等式求最值【例1-1】对勾函数 求下列函数的最值（1）已知54x <，则函数1445y x x =+−的最大值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由于5,4504x x <−< ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x <，所以450x −<，540x −>,()1144554545y x x x x =+=−++−−()()11545254535454x x x x ⎡⎤=−−++≤−−⋅=⎢⎥−−⎣⎦当且仅当15454x x−=−，即1x =时，等号成立.故当1x =时，y 取最大值，即max 3y =.故答案为：3.（2）已知54x >，则函数1445y x x =+−的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由于5,4504x x >−> ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x >，所以450x −>，()1144554545y x x x x =+=−++−−()14555745x x ⎡⎤=−++≥=⎢⎥−⎣⎦当且仅当14545x x −=−，即32x =时，等号成立.故当32x =时，y 取最小值，即min7y=.故答案为：3.（3）已知2x ≥，则函数1445y x x =+−的最小值为___________. 【答案】325 【例1-2】最值定理（1）已知01x <<，则(43)x x −取得最大值时x 的值为________．【答案】 23【解析】 【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件； 【详解】解：（1）2113(43)4(43)3(43)3323x x x x x x +−⎡⎤−=⨯−≤⨯=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当343x x =−，即23x =时，取等号． 故答案为：23.（2）若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ）A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案． 【详解】由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=， 当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．【例1-3】“1”的妙用 （1）若正实数,a b 满足32a b +=，则11a b+的最小值为___________.【答案】22 【解析】 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值． 【详解】1111113(3)2()22222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当3b a a b =时，即a b ==时，11a b +的最小值为2.故答案为：2.（2）已知0x >，0y >，且22x y +=，则433x y x y++的最小值为__________.【答案】3【解析】 【分析】将目标式中4代换成24x y +，展开由基本不等式可得. 【详解】 因为22x y +=所以432434333333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+= 当且仅当4322yx x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3x y ==时，取等号，所以433x y x y ++的最小值为3故答案为：3【例1-4】分离常数法 当2x >−时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【答案】【解析】 【分析】将函数解析式变形为()222y x x =+++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为2x >−，则20x +>，则()()22224622222x x x y x x x x ++++===+++++≥=当且仅当2x 时，等号成立，所以，当2x >−时，函数2462++=+x xy x 的最小值为故答案为：【例1-5】换元法 已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（ ）AB ．34+CD ．38+ 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=， 即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∴21121344424444m n m n m n x y m n n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33244=+=，当且仅当244m n n m=，即2m =1n =时，等号成立， 故选：A.【例1-6】消元法 已知正实数a ，b 满足220ab a +−=，则4a b +的最小值是（ ）A．2 B ．2 C ．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +−=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++−+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +−=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++−⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==22取等号. 故选：B.【例1-7】一元二次不等式法 已知x ，y R ∈，2291x xy y −+=，则3x y +的最大值为________．【解析】 【分析】由229123x y xy x y +=+⋅⋅，可推出15xy ，而222(3)6917x y x xy y xy +=++=+，代入所得结论即可． 【详解】解：2291x xy y −+=，22916x y xy xy ∴+=+，即15xy ，当且仅当3x y =，即15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，222112(3)69171755x y x xy y xy ∴+=++=+≤+⨯=，∴3x y +≤3x y ∴+【例1-8】拆项法,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14CD【答案】A 【解析】 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12==≤=， 当且仅当222a c b b +=，且a c =取等，即a b c ==取等号，即则2222ab bc a b c +++的最大值为12，故选：A ．【练习1-1】（1）已知1x >−，求函数27101x x y x ++=+的值域；（2）已知0x >，0y >，且280x y xy +−=，求：x y +的最小值． 【答案】（1）[)9,+∞；（2）18． 【解析】 【分析】（1）设1t x =+，得到0t >，且1x t =−，化简2710451x x y t x t ++==+++，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；（2）由280x y xy +−=，得到821x y +=，化简()822810x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解. 【详解】（1）设1t x =+，因为1x >−，可得0t >，且1x t =−，故22710(1)7(1)10451x x t t y t x t t ++−+−+===+++，因为44t t+≥，可得459t t ++≥，当且仅当2t =时，即1x =时，等号成立．所以函数2710(1)1x x y x x ++=>−+的值域为[)9,+∞．（2）由280x y xy +−=，可得28x y xy +=，即821x y +=，则()82x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭281010218x y y x =++≥+=． 当且仅当28x y y x=，即12x =且6y =时，等号成立， 所以x y +的最小值为18．【练习1-2】已知正实数a ，b 满足26a b +=，则212a b ++的最小值为（ ）A ．45B ．43C ．98D ．94【答案】C 【解析】 【分析】利用乘1法即得. 【详解】 ∵26a b +=，∴()214114122222822a b a b a b a b ⎛⎫+=+=+++ ⎪+++⎝⎭()(42121941582288b a b a +⎡⎤=+++≥⨯+=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当()42222b ab a+=+,即23b =，83a =时，取等号. 故选：C.【练习1-3】已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +−+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】证明220x xy y −+>，由()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤，22222211x y xy x xy y x y +=−+−+结合基本不等式求出2222max x y x xy y ⎛⎫+ ⎪−+⎝⎭，即可得出答案. 【详解】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy −+=−+>， 则()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤， 又22222211x y xy x xy y x y +=−+−+， 因为222x y xy +≥，所以22112xy x y −≥+，所以22121xy x y ≤−+， 即22222x y x xy y+≤−+，当且仅当x y =时，取等号， 所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪−+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.故答案为：2.【练习1-4】已知正数a ，b 满足426a b ab ++=，则4a b +的最小值为（ ）A ．1BC ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式得出关于4a b +的不等式，解之可得． 【详解】由已知2146(4)2()22a b a b ab +−+=≤⋅，当且仅当4a b =时等号成立， 所以2(4)8(4)480a b a b +++−≥，(44)(412)0a b a b +−++≥， 又0,0a b >>，所以44a b +≥，即4a b +的最小值是4，此时12,2a b ==． 故选：C ．【练习1-5】设0a >，0b >，若221a b +=2ab −的最大值为（ ）A ．3+B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】 【分析】法一：设c b =−，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =−2ab −=)a b ac −=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ−=≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.题型二 求数、式的范围【例2-1】若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则 (1)ab 的取值范围是__ ； (2)a ＋b 的取值范围是__ __． 【答案】（1）_[9，＋∞) （2）[6，＋∞) [解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0． ∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b 2)2．今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0． ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 【例2-2】已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是 。
基本不等式经典例题（含知识点和例题详细解析）-（1）
基本不等式经典例题（含知识点和例题详细解析）-（1）基本不等式专题知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22?+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x2 ＝6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高三数学 第一轮复习 04：基本不等式
高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。
2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。
4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。
2025年高考数学复习核心考点全题型突破(新教材新高考)第03讲 基本不等式(解析版)
A．
f
(x)
x2
1 x2
B． f (x) cos x 1 (0 x )
cos x
2
C． f (x) x2 4 x2 3
D．
f
(x)
3x
4 3x
2
【答案】AD
【详解】对于选项
A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得 x2
1 x2
2 ，当且仅当
x2
1 x2
，即
x＝1
或
x= 1时，
等号成立，故选项 A 正确；
x 23
1 2 ，当且仅当 x2 3
x2 3
1 ，
x2 3
即 x2 2 时，等号成立，显然不可能取到，故选项 C 不正确；
对于选项
D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得
f
(x)
3x
4 3x
2
2
3x
4 3x
2 2 ，当且仅当 3x
4 3x
，即 x＝
log32 时，等号成立，故选项 D 正确． 故选：AD．
D．若
a,
b
Rห้องสมุดไป่ตู้
，且
ab
0
，则
b a
a b
b a
a b
2
b a
a b
2
【答案】D
【详解】对于 A 选项，当 ab 0 时， b a 0 ，所以 A 选项错误. ab
对于 B 选项，如 x 时， cos x 1 2 0 ，所以 B 选项错误. cos x
对于
C
选项，由于
x
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若 a,b R ，则 b a 2 b a 2 a b ab
《基本不等式》典型例题
高中数学必修五典题精讲典题精讲例1（1）已知0＜x ＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x ＜31,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121. 解法二：∵0＜x ＜31,∴31-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［231x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x1≥2x x 1•=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+)(1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1⇒x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥2)1(1)1(+•+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1.变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x 2+1，则t ≥1且x 2=t-1.∴y=133224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t ≥1,∴t+t 1≥2t t 1•=2,当且仅当t=t1,即t=1时，等号成立. ∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1，求x+y 的最小值. 思路分析：要求x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”, ∵x 1+y9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y9)=10+y x x y 9+. ∵x ＞0,y ＞0,∴y x x y 9+≥2y x x y 9•=6. 当且仅当yx x y 9=，即y=3x 时，取等号. 又x 1+y9=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.解法二：由x 1+y9=1，得x=9-y y . ∵x ＞0,y ＞0,∴y ＞9. x+y=9-y y +y=y+999-+-y y =y+99-y +1=(y-9)+99-y +10. ∵y ＞9,∴y-9＞0. ∴999-+-y y ≥299)9(-•-y y =6. 当且仅当y-9=99-y ，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.解法三：由x 1+y9=1，得y+9x=xy, ∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2)9)(1(--y x =16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x 1+y9=1, ∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：x 1+y 9≥2xy 9①,即xy6≤1,∴xy ≥6. ∴x+y ≥2xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1=y9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)(y b x a +)=a+x ay y bx ++b=10+xay y bx +. ∵x,y ＞0,a,b ＞0，∴x+y ≥10+2ab =18，即ab =4.又a+b=10，∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最小值（0＜x ＜1）. 思路分析：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,xlg 4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,x lg 4＜0.∴-xlg 4＞0. ∴(-lgx)+(-x lg 4)≥2)lg 4)(lg (xx --=4. ∴lgx+x lg 4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg 4≤3-4=-1. 当且仅当lgx=x lg 4,即x=1001时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+x lg 4 (0＜x ＜1)的最小值为-1. 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x ＜1这一个条件.变式训练1已知x ＜45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值.思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x ＜45，则4x-5＜0. 解：∵x ＜45,∴4x-5＜0. y=4x-5+541-x +3=-［(5-4x)+x 451-］+3 ≤-2xx 451)45(-•-+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=x451-,即x=1时等号成立. 所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x ·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23,再求最值.解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23， ∵当x ＜23时，3-2x ＞0， ∴x x 238223-+-≥x x 2382232-•-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-21时取等号. 于是y ≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S ，则S=xy.方法一：由于2x+3y ≥2y x 32⨯=2xy 6,∴2xy 6≤18,得xy ≤227，即S ≤227. 当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,5.4y x故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y. ∵x ＞0,∴0＜y ＜6. S=xy=(9-23y)y=23 (6-y)y. ∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0.∴S ≤23［2)6(y y +-］2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y ≥2y x 32•=2xy 6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立.由⎩⎨⎧==,24,32xy y x 解得⎩⎨⎧==.4,6y x故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小. 方法二:由xy=24，得x=y 24. ∴l=4x+6y=y 96+6y=6(y 16+y)≥6×2y y⨯16=48,当且仅当y 16=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y 都是正数；（2）积xy （或x+y ）为定值；（3）x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x 米,则宽为x 200米(0＜x ≤16,0＜x200≤16),∴12.5≤x ≤16. 于是总造价Q(x)=400(2x+2×x 200)+248×2×x 200+80×200. =800(x+x324)+16 000≥800×2x x 324•+16 000=44 800, 当且仅当x=x324 (x ＞0),即x=18时等号成立,而18∉［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800. 下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x 1＜x 2≤16,则x 2-x 1＞0,x 1x 2＜162＜324.Q(x 2)-Q(x 1)=800［(x 2-x 1)+324(1211x x -)］ =800×212112)324)((x x x x x x --＜0, ∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为n8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n 层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+n8.∵n+n8≥2248=⨯n n , 当且仅当n=n8,即n=22时取等号. 但考虑到n ∈N *,∴n ≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.。
第03讲 基本不等式(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--； 凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．D ．2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．5C ．32D ．524．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．53．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值44．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______．②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y +=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（ ） A ．16B ．4C ．24D ．122．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________.4．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为_______________.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值12．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-13．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）21(0)x x y x x ++=>； （2）226(1)1x x y x x ++=>-.④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（ ）A ．4B 2C ．18D ．142．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．7D ．63．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．104．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 5．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______. 6．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______．高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．()+∞B ．(,-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．94．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ） A ．72元B ．300元C ．512元D ．816元2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲D ．丙、甲、乙4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（ ） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．172a <C ．133a <D ．5a >2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．1D ．不存在4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（ ）A 0B ．有最大值为2491，最小值为0C D ．有最大值为2491，无最小值1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b ++的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．42．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为____________． 4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005xy x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）A ．12x x+≥ B ．函数224x y += 4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8 2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（ ） A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值23．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．404．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,-+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞-D ．(],2-∞5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（ ） A ．122V V V +<B ．122V V V +≤C ．122V V V +>D ．122V V V += 6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．()2,-+∞C ．(]2,2-D ．[)2,+∞7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y +--=.则x y +的取值范围为__________. 10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________. 11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M .(1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．。
基本不等式复习课
基本不等式（复习课）吴红考纲要求：1、了解基本不等式的证明过程2、会用基本不等式解决简单的最值问题考情分析：1、从内容上看本节，本节重点考查基本不等式的常规问题，即求最值问题。
2、从考查形式上看，单纯对基本不等式的命题，主要表现在选择题和填空题中，在解答题中参与函数、三角结合，难度适中。
3、从能力要求上看，要求学生具备较高的转化能力，具备将特殊问题转化为常规问题的能力。
教学目标与知识目标：1、了解基本不等式的证明过程。
2、会用基本不等式解决简单的最值问题。
重点：利用基本不等式求最值问题。
难点：配凑后用不等式的条件，一正二定三相等。
教学过程：一．基础知识 一、基本不等式2b a ab +≤ 1、基本不等成立的条件：a>0,b>02、等号成立的条件：当且仅当a=b 时取等式。
二、几个重要不等式 ()1ab b a 222≥+（a ∈R,b ∈R)(2)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a )(a ∈R,b ∈R (3)()02>≥+ab b a a b (4)22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+(a ∈R,b ∈R) 三、算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a 、b 的算术平均为2b a +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算述平均数不小于它们的几何平均数四、利用基本不等式求最值问题已知x>0、y>0，则：（1）如果积xy 是定值P ，那么，当且仅当x=y 时，x+y 有最小值2p （简记积定和最小）（2）如果和x+y 是定值P ，那么，当且仅当x=y 时，xy 有最大值42p （简记和定积最大）注意：一正二定三相等基础练习1、求下列各题的最值（1）f(x)=x+x 1的值域[变式：限制定义域x ∈[)+∞,2或x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 （2）x<3求f(x)=34-x +x 最大值 （3）求f(x)=sin 2x+1+1sin 52+x 的最小值 （4）已知x>0,y>0,且191=+yx ，求x+y 的最小值 （5）若0<x<1，求f(x)=x(4-3x)最大值典型例题例1，已知x>45，求函数y=54128162-+-x x x 的最小值 [分析：此为形如y=x C Bx Ax ++2或y=CBx Ax x ++2的一类求 值域的变形，此 题通过换元转化为]Ax+C xB +的形式 变形（1），将例1的条件改为x ≤54求y 的最小值 变形（2），将例1的条件改为x ≠45，求y 的值域. 变形（3），若将例1的条件改为0<x<45，求y 的最大值例2，已知a>0,b>0，且ab=a+b+3,求a+b 的最小值[分析一]化二元函数为一元函数[分析二]将ab=a+b+3与联立消去ab,可建立关于a+b的不等式，求出a+b 的取值范围备用例题围垦一个面积为360㎡的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上需留一个宽度为2m 的进出口（如图所示），已知旧墙的长度为x（单位：米）修建此矩形围墙的总费用为y（单位：元）。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
基本不等式知识点及题型归纳总结
基本不等式知识点及题型归纳总结知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：同号.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.题型归纳及思路提示题型1 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由能推出；但反之不然，因为的条件是，故选A.变式1 已知且，则（）A. B. C. D.变式2下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.例7.6 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（写出所有正确命题的序号）.①；②；③；④；⑤.解析：对于①，由及得，即(当且仅当时取等号)，故①正确；对于②，由及得，即(当且仅当时取等号)，故②正确；对于③，由得，故③正确.对于④，，因此(当且仅当时取等号)，故④不恒成立；对于⑤，，又，则，故⑤正确，故填①③⑤.变式1如果正数满足，那么（）A. ，且等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时的取值唯一C. ，且等号成立时的取值不唯一D. ，且等号成立时的取值不唯一题型2 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7 （1）若，求函数的最小值；（2）若，求函数的值域.分析：（1）因为满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值.（2）因为，故需先转化为，才能利用基本不等式求最值.解析：因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，取最小值.（2）因为，所以，则，且，即. 当且仅当，即时，取最大值.故函数的值域为.评注：解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最值时，各项必须为正数.变式1 （1）求函数的值域（2）求函数的最小值；（3）求函数的最小值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8已知，求函数的最大值.分析：因为，所以首先要调整符号，又不是常数，所以要对进行拆凑项，通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不等式的形式，从而求得函数的最值.解析：因为，所以，由（当且仅当时，即时取等号）得. 所以函数的最大值为1.当且仅当时，即时取等号，故当时，.评注：利用基本不等式求最值时要重视各种条件，即“一正二定上相等四同时”必须全部满足，方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“”改为“”，则如下求解：因为，所以，为错误求解，错误原因：在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等”加以验证，事实上，.一般地，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，若不满足“三相等”的条件可以利用函数的单调性求最值.另外，还要注意与对勾函数同形质异的函数在上和均为单调增函数.如可直接利用单调性求最值.变式1 求函数的最大值.变式2 设正实数满足，则当取得最大值时，最大值为（ ）A. 0B. 1C.D. 3 三、“1”的变换 例7.9 已知，且，求的最小值.分析：利用条件中“1”的变换.解析：解法一：因为，且，所以.当且仅当即，的最小值为16.解法二：由，且，得，所以10.因为0y >，所以90y ->，所以99(9)102(9)101699y y y y -++≥-+=--. 当且仅当999y y -=-，即12y =时取等号，此时4x =，所以当4,12x y ==时，x y +取得最小值16 评注 本题的解法一是利用条件中的“1”，代换成“19x y+”，将其所求的形配凑成利用基本不等式的形式，使得题目顺利求解，但下面的解法是错误的：因为1919612x y x y xy+=≥=，即36xy ≥，所以223612x y xy +≥=，错误的原因在于连续使用了两次基本不等式，但未对两个“=”成立的条件是否吻合进行验证，其实，这两次“=”不能同时取得，这就提醒我们，在多次使用基本不等式时，一定要验证多次“=”满足的条件能否同时成立.变式1 已知0a >，0b >，2a b +=，则11y a b=+的最小值是 变式2 求函数2214(0)sin cos 2y x x x π=+<<的最小值 变式3已知a b c >>，证明：1113a b b c c a a c++≥---- 变式4 设2a b +=，0b >则当a = 时，12a a b+最得最小值. 四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例7.10若正数,a b 满足3ab a b =++，则：（1）ab 的取值范围是 （2）a b +的取值范围是分析 由等量关系的结构特征可知，只需将所求部分之外的部分利用不等式转化为所求的形式，然后解不等式即可.解析（1）解法一：基本不等式.33ab a b =++≥，当且仅当a b =时取等号，所以230≥，3≥1-（舍），3≥，故有9ab ≥.当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的取值范围是[9,)+∞解法二：判别式法.令ab t =（3t >），则t b a =，代入原式得，3t t a a=++，整理得2(3)0a t a t +-+=. 2(3)40t t ∆=--≥，得9t ≥或1t ≤（舍），ab 的取值范围是[9,)+∞（2）解法一：23()2a b ab a b +=++≤，当且仅当a b =时取等号，令0S a b =+>，则234S S +≤，整理得即24120S S --≥得6S ≥或2S ≤-（舍），即a b +的取值范围是[6,)+∞解法二：判别式法，令a b t +=（0t >），则b t a =-，代入原式得，()3a t a t -=+，整理得230a at t -++=24(3)0t t ∆=-+≥，得6t ≥或2t ≤-（舍）.即a b +的取值范围是[6,)+∞评注：注意体会使用方程消元法求范围与利用基本不等式求范围的优劣，试用方程消元法求解本题的第（2）问.变式1 若,0x y >满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是变式2 若,0x y >满足2x y xy ++=，则x y +的最小值是 变式3 若,0x y >满足228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（ ）.A 3 .B 4 .C 92 .D 112五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式例7.11 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为 分析 观察所求式子与题中所给条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的关系是解题的核心.解析 0x ≥，0y ≥，2212y x +=所以== 221222y x ++≤2212222y x ++==（当且仅当2212y x +=时取“=”，即x =，2y =时取“=”）. 评注 本题除了利用基本不等式求解外，还可以利用已知条件中的2212y x +=，采用三角换元来求解，望同学们自己尝试．变式１ 已知0a >，0b >，4a b +=，求2211()()a b a b+++的最小值． 六、合理配组，反复应用基本不等式 例7.12 设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是（ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4解析 解法一：因为2112a b a b +≤+，所以411a b a b+≥+.故2114()ab a a b a ab ab +≥-+- 则211()a ab a a b ++-224a a ab ab≥++-2222444a a a =+≥=（当且仅当2ab a ab =-与44a =，0a b >>同时成立时，取得“=”），即当a =2b =211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D解法二：22111111()()a a ab a a b ab b a b a++=++---，因为0b >，0a b ->，所以22()()24a a b a b -≤=（当且仅当2a b =时取“=”），则222221444()a a b a b a a+≥+≥=-（当且仅当a ==”），所以当a =2b =时，211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D变式1 若0a >，0b >，满足11a b++ ）.A 2 .B .C 4 .D 5变式2 若,x y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（ ） .A 3 .B 72 .C 4 .D 92题型3 利用基本不等式证明不等式思路提示类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 例7.13 （1）,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c a b c+++≥+ （2）,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++（3）,,x y z R +∈，且1x y z ++=解析 （1）因为,,0a b c >，所以1111()()[()]()a b c a b c a b c a b c+++=+++++ 11a b c b c a +=++++2a b cb c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立. （2）因为,,0a b c >，所以22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥三式相加得：222()()()a b c b c a b c a +++++222a b c ≥++，即222a b c a b c b c a++≥++（3）分析法.要证明≤，只需证3x y z +++≤，只需证：1≤因为,,x y z R +∈，x y +≥，x z +≥，y z +≥，所以2()x y z ++≥1≤成立.评注 本题（2）的证明是综合法，（3）的证明是分析法.综合是从已知出发推导结果，分析法是从结果出发，去分析命题成立的条件，一般情况下两种方法是可以通用的，对于比较复习的问题，也可以结合这两种方法使用变式1若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥变式2 证明：若,,,,,x y z a b c R +∈，则222()b c c a a b y z xy yz xz a b c+++++≥++最有效训练题1．函数1()2f x x x =+-（2x >）在x a =处取得最小值，则a =（ ）.A 1 .B 1 .C 3 .D 42．已知0a >，0b >，2a b +=，则19y a b=+的最小值是（ ）.A 72 .B 8 .C 92.D 5 3．若0x >，0y >，2282y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） .A (,2][4,)-∞-⋃+∞ .B (,4][2,)-∞-⋃+∞ .C (2,4)- .D (4,2)-4．已知,a b R +∈，且21a b +=，则224S a b =-的最大值为（ ）.A .B 1 .C 1 .D 5．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=则（ ）.A 2x y +≤ .B 2x y +≥ .C 21)x y +≤ .D 21)x y +≥6．若224mn+<，则点(,)m n 必在（ ）.A 直线20x y +-=的左下方 .B 直线20x y +-=的右上方 .C 直线220x y +-=的右上方 .D 直线220x y +-=的左下方7．在“4+91=”中的“ ”处分别填上一个自然数，使他们的和最小，其和的最小值为8．已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数，且0p >），若()f x 在(1,)+∞上的最小值是4，则实数p 的值为9．已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为10．（1）设02x <<，求函数(42)y x x =-最大值. （2）设(0,)x π∈，求函数4()sin sin f x x x=+的最小值. （3）已知0x >，0y >，且1x y +=，求34x y+的最小值 （4）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是11．已知,a b≥12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车辆速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0，当车流速度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.。
2025届高考数学复习：历年(基本不等式)好题基础与提升练习(附答案)
A.15
B.14
C.13
D.12
7.(多选题)(2024ꞏ海南海口模拟)已知 a>0,b>0,且 a+2b=2,则(
A.ab 的最大值为
1
)
)
4
B.a+ 的最小值为 4
2
C.a2+4b2 的最小值为 2
2
1
D.
的最大值为 4
√ꞏ2
2,得
,所以
2 √ꞏ2 ,所以
2,所以 xy≤4,当且仅当√=2 即 x=4,y=1 时,等号成立,所以 xy
的最大值是 4.
9.2√2
过程详解 因为 ab=a-b+3,解得 b=
=1+
,则 a+b=a+1+
2√2,当且仅当
a=√2-1,b=√2+1 时,等号成立,故 a+b 的最小值为 2√2.
10.9
过程详解 (
√
√
)(√+4 )=5+
√
√
√
√
√
5+2√4=9,当且仅当
√
√
√
,即
x=4y>0 时,等号成立,
所以(
√
√
)(√+4 )的最小值为 9.
11.C 过程详解 设斜边 c=2√2,直角边为 a,b,则 a2+b2=8,因为 2ab≤a2+b2,所以
a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当 a=b=2 时,等号成立,此时 a+b 取最大值,则
基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)
基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题（含答案）基本不等式及其应用琴点梳理1.基本不等式a +b .若a>0,, b>0,则—2~ > ab,当且仅当________ 时取丄”.这一定理叙述为：两个正数的算术平均数__________ 它们的几何平均数. 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；(一正)(2)和或积为定值；(二定)(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值. (三相等) 2.常用不等式2 2(1)a + b N2ab(a, b€ R).(2)—b a,b 02注:不等式a2+ b2>2at和电亠> ab它们成立的条件不同，前者只要求2a + ba、b都是实数，而后者要求a、b都是正数■其等价变形：ab<(王」)222(3)ab<I (a，b€ R).< 2丿b a(4)a + 2a，b同号且不为0).嘗］2，a2^(a，b€ R).a,b 0 (6)1 1——a ba +b +c 3 —(8) 3 >, abc ； a,b,c 03 •利用基本不等式求最大、最小值问题（1） _________________________________________________________ 求最小值：a>0, b>0,当ab 为定值时，a + b, a 2 + b 2有 ________________________ ，即a2 2+ b 》 ________ , a + b 》 _________ .（2） ______________________________________________________________ 求最大值：a >0, b >0,当a + b 为定值时，ab 有最大值，即 _______________________ ; 或a 2+ b 2为定值时，ab 有最大值（a >0，b >0）,即 ___________ .慕础自測|47*牛刀小逍❶设a , b € R ,且a + b = 3,则2a + 2b的最小值是（ ）A.6B.4 2C.2 2D.2 6解：因为 2a >0, 2b >0,由基本不等式得 2a + 2b >2 2a • 2b = 2 2a +b = 4 2,3当且仅当a = b =扌时取等号，故选Bb >0,且a + 2b — 2= 0,贝U ab 的最大值为（ A.1B.1C.2D.4解：v a >0, b >0, a + 2b = 2,二 a + 2b = 2>2 2ab ,g 卩 ab <*.当且仅当 a 1=1, b = *时等号成立.故选A.&小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和b （a v b ）,其全程的平均时速为v ，则（）A.a v v v abB. v = . aba 3+b 3+c 3abc w 3------- ；a,b,c . 0若 a > 0,—a+ b C. ab v v v 2a+ b D.v = 2解：设甲、乙两地之间的距离为 s..2222ab ab — a a — a—a = > —a +b a + b a + b❹(2014 •上海)若实数x , y 满足xy = 1,则x 2+ 2y 2的最小值为 ___________ ,解：由xy = 1得x 2 + 2y 2 = x 2+刍》吋2,当且仅当x =±紡时等号成立.故 填2 2.O 点(m,n)在直线x +y = 1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m + log 2n 的最大值是 ____________ .解：由条件知，m > 0, n > 0, m + n = 1,所以mn < m + n 211当且仅当m = n =云时取等号,• Iog2m + log2n = log 2mn < Iog4= — 2, 故填—2.类型一利用基本不等式求最值(x + 5)( x + 2)x +1 (x >— 1)的值域.解：I x >— 1, • x + 1>0,令 m = x +1,则 m >0,且 y = m + 5= 9,当且仅当m = 2时取等号，故y min = 9. 又当m —+x 或m —0时，y —+x ，故原函数的值域是［9,+x ).• a v b ,「. v =2s2ab 2ab --- <v — a + b 2 ab=ab. 又 v — a =••• v > a.故选 A.=m +m +5>2叫(m + 4)( m + 1)m(1)求函数y =(2)下列不等式一定成立的是( C.x 2+ 1 > 2|x |(x € R) )1B.sirx + —>2(X M k n, k € Z)sinx 1D ・严 >1(x € R)21 12 1 解：A 中，x + 4>x(x >0),当 x =㊁时，x + 4= x.1 sinx + 臥三一2(sinx € [- 1, 0)).C 中，x 2-2|x|+ 1 = (|x|- 1)2>0(x € R).1D 中，x^€ (0, 1](x € R).故C 一定成立，故选C.点拨:ax + bx + c 这里(1)是形如f(x)= a----- 的最值问题，只要分母x + d >0,都可以将x + def(x)转化为f(x)= a(x + d) + x ++d + h(这里ae >0;若ae v 0,可以直接利用单调性 等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件 ---- 一正、二定、三相等，特别注意等号成立 条件要存在.当且仅当t = 1时，f(t)min =— 2,故填—2.A.lgx 2+1>lgx(x>0) B 中, sinx + 亠》2(sinx € (0,1])；(1)已知t >0,则函数f(t) = 2t 2— 4t + 1的最小值为解: ••• t > 0, f(t)= t 2— 4t +1tt +1 — 4>— 2,(2)已知 x >0, y >0,且 2x + 8y —xy = 0,求： (I )xy 的最小值； (II )x + y 的最小值.8 2解：(I )由 2x + 8y — xy = 0,得殳+y = 1,又 x >0, y >0, 则 1=x +=$y ,得彬 64, 当且仅当x = 4y ,即x = 16, y = 4时等号成立.8 2解法二：由2x + 8y -x尸0,得x +寸1,则 x +y = £+ 2)• (x +y)= 10 + 2^+ 8y >10 + 2寸牛•乎=18,当且仅当 y =6, x =12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围 若关于x 的不等式(1 + k 2)x < k 4+ 4的解集是M ，则对任意实常数k ,总有()A.2€ M , 0€ MB.2?M , 0?MC.2€ M , 0?MD.2?M , 0€ Mk 4+ 45解法一：求出不等式的解集：(1 + k 2)x < k 4+ 4? x w 门 =(k 2 + 1) + 2-—k +1 k + 1 2? x < [l (k 2+1)+ k +1 — 2爲门=2循一2(当且仅当k 2^/5— 1时取等号).(I )解法 2x + 8y —xy = 0,得 x = _8yy —2’x >0, ••• y > 2,贝U x + y = y + 皿y —2 = (y — 2)+ 16 y —2 + 10> 18, 当且仅当16y —2即 y = 6, x = 12时等号成立.解法二(代入法)：将X = 2, x = 0分别代入不等式中，判断关于 k 的不等式 解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题， 对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值 ■另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a >f(x)恒成立? a > f(x)max ； (2)a v f(x)恒成立? a v f(x)min ； (3)a > f(x)有解？ a > f(x)min ； (4)a v f(x)有解？ a v f(x)max .GZ0 已知函数f(x)二e x + e —x,其中e 是自然对数的底数■若关于x 的不等 式 mf(x)<e —x + m — 1在(0，+^ )上恒成立，求实数 m 的取值范围.解：由条件知m(e x + e —x —1)<e —x — 1在(0，+^)上恒成立.t — 1令 t = e x(x > 0)，则 t > 1，且 m < —12 —1+ i = 成立.「tT + t ZL l+ 1>2(t —广 1二 3,1 1t —1+匚1+1当且仅当t = 2,即x = ln2时等号成立. 故实数m 的取值范围是i — x ,— 3 .类型三 利用基本不等式解决实际问题亘®'围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙 （利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度 为1 1对任意t > 1t— 1+1—1 +12 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180 元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）.⑴将y表示为x的函数；（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则y= 45x+ 180（x—2）+ 180 2a= 225x+ 360a —360.由已知心360,得* 3x0,3602所以y= 225x+ ---- —360(x> 2).(2)v x> 0，A 225x+360> 2 225X 3602= 10800，••• y= 225x+逝-360》10440,x2当且仅当225x= 警，即x= 24时等号成立.答：当x= 24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.匡3 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am, 高度为b m,已知排出的水中该杂质的质量分数与a, b的乘积ab成反比■现有制箱材料60 m2，问a, b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小（A, B孔面积忽略不计）.解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数， k根据题意可知：y = ab ，其中k 是比例系数且k > 0. 依题意要使y 最小，只需ab 最大.由题设得：4b + 2ab + 2a < 60(a > 0, b > 0), 即 a + 2b < 30- ab(a > 0, b >0). I a + 2b >2 2ab,••• 2 2 •, ab + ab <30,得 0v , ab <3 2.当且仅当a = 2b 时取“二”号，ab 最大值为18,此时得a = 6, b = 3. 故当a = 6 m , b = 3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少. 解法二：同解法一得b < 30+才，代入y =Ob 求解.课时作业|店屆*卜北UAJt 仲解：v a > 1，二 a +丄;=a — 1 + 丄.+ 1> 2(a — 1) - \ +1 = 2+ 1a — 1 a — 1 y a — 1=3,当a = 2时等号成立.故选C.2.设a , b € R , a ^ b,且a + b = 2,则下列各式正确的是()2 2 2 2 2 2 2 2a +b a + b a + b a + bA.ab v 1 v —2 —B.ab v 1 < —2 —C.1 v ab v —2 —D. ab < —2 —三1于a ^ b ,所以不能取等号)得，ab v 1v,故选A.A.2B.aC.3D. 2 *aa —1 解：运用不等式ab <号2?ab < 1 以及(a + b)2< 2(a 2+ b 2)? 2< a 2 + b 2(由A.0B.1C.2D.321 +( 4— 4x + x ) 1解：当 X V 2 时，2 — x >0,因此 f(x) = = + (2—2 — x2 — xx)> 2寸2—x ( 2 — x )= 2,当且仅当2——^ 2— x 时上式取等号■而此方程有解 x = 1€ (— s, 2),因此f(x)在(— s, 2)上的最小值为2,故选C.4.(2014 -福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知 该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的 最低总造价是()A.80 元B.120 元C.160 元D.240 元4解：假设底面的长、宽分别为x m , 4m ,由条件知该容器的最低总造价为80y = 80 + 20x + — > 160,当且仅当底面边长 x = 2时，总造价最低，且为 160元. 故选C.5■下列不等式中正确的是( )A. 若 a , b € R ，则b+2: b = 2B. 若 x , y 都是正数，则 lgx + lgy > 2 Igx - IgyD.若 x <0,贝U 2x + 2—x >2 2x - 2—x= 2解：对于A , a 与b 可能异号，A 错；对于B , lgx 与lgy 可能是负数，B 错; 对于 C ,应是 x + x =— |[(— x )+—4x <— 2寸(—x ) —x = — 4, C 错；对于 D ,若 x < 0,贝U 2x + 2—x >2 2x - 2—x = 2 成立(x = 0 时取等号).故选 D.3■函数 f(x)= 25 — 4x + x在(—s, 2)上的最小值是(C.若 x<0, 则 x + 4>— 2x ・4=-4 x6.(2014 •重庆)若log4(3a + 4b) = log2 Ob,则a+ b 的最小值是( )解：因为 logi(3a +4b) = Iog 2 ab,所以 log 4(3a + 4b) = Iog 4(ab),即卩 3a + 4b3a + 4b > 0,4 3=ab,且，即 a >0, b >0,所以a + 二=1(a >0, b >0), a + b =(a +,ab > 0,a b4 3 4b 3a4b 3a4b 3a n ,b) a +b = 7+^ + ~b > 7+ 2 a -b = 7+ 4 3, 当且仅当—=石时取等号•故选 D.X7•若对任意ix x> 0, x ^+x+l 三a 恒成立，则a的取值范围是.1解：因为x >0,所以x + 2(当且仅当x = 1时取等号),X 1 11所以有 ---- = ---------- < ----- =- 所以有 x 2+ 3x + 1 1“ 2+ 3 5’x1 故填a >匚.58. (2014四川)设m € R ，过定点A 的动直线x + my = 0和过定点B 的动直线 mx — y -m + 3= 0 交于点 P(x , y),则 |PA| - |PB|的最大值是 ________ .解：易知定点A(0, 0), B(1, 3). 且无论m 取何值，两直线垂直. 所以无论P 与A , B 重合与否，均有|PA|2 + |PB|2= |AB|2= 10(P 在以 AB 为直径的圆上). 所以 |PA| |PB|< 1(|PA|2+ |PB|2) = 5.当且仅当|PA|= |PB|= ,5时，等号成立■故填5.~2~x + 3x +1A.6 + 2 3 C.6 + 4 3B.7+ 2 3 D.7 + 4 315的最大值为49.(1)已知0V X V亍，求x(4 —3x)的最大值；(2)点(x, y)在直线x+ 2y= 3上移动，求2x+ 4y的最小值.4解：(1)已知0v x v3，二0v3x v4.1 1 | 3x + 4 —3x2 4•-x(4 - 3x)二3(3X)(4 - 3x)< 3 2 二3，2当且仅当3x= 4—3x,即x= §时“=”成立.2 4• ••当x= §时,x(4 —3x)取最大值为3・(2)已知点(x，y)在直线x+ 2y= 3上移动，所以x+ 2y= 3.• 2x+ 4y>2 2x• 4y= 2 2x+2y= 2 23= 4 2.•••当x= 3，y= 3时,2x+ 4y取最小值为4 2.10.已知a> 0, b> 0,且2a + b= 1,求S= 2 ab—4a2—b2的最大值.解：v a>0, b>0, 2a + b= 1 ,• 4a2+ b2= (2a + b)2—4ab= 1—4ab且 1 = 2a + b>2 2ab,即.ab w], ab< 8,A S= 2 ab—4a2—b2= 2 . ab—(1 —4ab) = 2 ab+ 4ab—1< 1.当且仅当a = 丁，b= 2时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：⑴设每间虎笼长为xm,宽为y m,则由条件，知4x+ 6y= 36,即2x + 3y = 18.当且仅当2= 4y，lx+ 2y= 3,3 3即x= 2, y=3时“=”成立.设每间虎笼的面积为S ,则S = xy. 解法一：由于 2x + 3y >2 2x X 3y = 2 6xy , __ 27 27 :.2 6xy W 18,得 xy <云，即 S < p 当且仅当2x = 3y 时等号成立.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大 3解法二：由 2x + 3y = 18,得 x = 9 — ^y. ■/x >0,二 0v y v 6. S = xy = 9-务 y =舟(6-y)y. ••• 0v y v 6,A 6 — y >S <f （6-；）+ y 2二鲁当且仅当6— y = y ,即y = 3时，等号成立，此时x =4.5. 故每间虎笼长4.5 m ,宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S = xy = 24.设钢筋网总长为I ，则1= 4x + 6y.解法一：T 2x + 3y > 2 2x • 3y = 2 6xy = 24, •••I = 4x + 6y = 2(2x + 3y)>48,当且仅当 2x = 3y 时，等号成立. /2x = 3y ,xy = 24, 故每间虎笼长6 m ,宽4 m时，可使钢筋网总长度最小24解法二：由xy= 24,得由’ 2x = 3y ,2x + 3y = 18,解得Ix =4.54.96 (1616.・.I = 4x+ 6y = ~y + 6y = 6 y + y》6X 2 , y x y = 48, 当且仅当許y,即y=4时，等号成立，此时x= 6.故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋网总长度最小11•若0> 1则0+肓的最小值是()。
高一基本不等式例题
高一基本不等式例题摘要：一、基本不等式的概念和性质1.定义和表达式2.基本不等式的性质二、例题解析1.例题一2.例题二3.例题三三、解题方法和技巧1.代入法2.比较法3.综合法四、总结1.基本不等式在数学中的重要性2.提高解题效率的方法正文：一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，它是指对于任意的实数a 和b，都有a^2 + b^2 >= 2ab。
基本不等式有许多重要的性质，例如，当a 和b 相等时，等号成立；当a 和b 不相等时，等号不成立。
二、例题解析1.例题一：求解不等式x^2 + y^2 <= 10，其中x 和y 为实数。
解析：我们可以将该不等式看作是两个实数的平方和，根据基本不等式，我们知道x^2 + y^2 >= 2xy，所以2xy <= 10，即xy <= 5。
因此，该不等式的解集为xy <= 5。
2.例题二：证明a^2 + b^2 >= 2ab，其中a 和b 为实数。
解析：根据基本不等式，我们有a^2 + b^2 >= 2ab，等号成立的条件是a=b。
为了证明这个结论，我们可以将a 和b 的平方和表示为(a-b)^2 + 2ab，然后利用平方的非负性，得到a^2 + b^2 >= 2ab，等号成立的条件是a=b。
3.例题三：求解不等式(x-2)^2 + (y-3)^2 <= 10，其中x 和y 为实数。
解析：我们可以将该不等式看作是两个实数的平方和，根据基本不等式，我们知道(x-2)^2 + (y-3)^2 >= 2(x-2)(y-3)，所以2(x-2)(y-3) <= 10，即(x-2)(y-3) <= 5。
因此，该不等式的解集为(x-2)(y-3) <= 5。
三、解题方法和技巧1.代入法：在解题过程中，我们可以将未知数表示为已知数的函数，然后代入原式，从而简化问题的求解过程。
基本不等式典型例题
基本不等式典型例题一、利用基本不等式求最值1. 例1：已知x > 0，求y = x+(1)/(x)的最小值。
- 解析：对于基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0，当且仅当a = b时等号成立）。
- 在y=x+(1)/(x)中，a = x，b=(1)/(x)，因为x>0，所以(1)/(x)>0。
- 根据基本不等式y=x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2。
- 当且仅当x=(1)/(x)（x > 0），即x = 1时等号成立。
所以y的最小值为2。
2. 例2：已知x <0，求y=x+(1)/(x)的最大值。
- 解析：因为x<0，则-x>0。
- 此时y=x+(1)/(x)=-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]。
- 对于-x和(1)/(-x)，根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0），这里a=-x，b = (1)/(-x)，则(-x)+(1)/(-x)≥slant2√((-x)×frac{1){-x}}=2。
- 所以y =-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]≤slant - 2，当且仅当-x=(1)/(-x)，即x=-1时等号成立。
所以y的最大值为-2。
二、基本不等式在实际问题中的应用1. 例3：用篱笆围一个面积为100m^2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？- 解析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy = 100。
- 篱笆的周长C=2(x + y)。
- 根据基本不等式x + y≥slant2√(xy)，因为xy = 100，所以x +y≥slant2√(100)=20。
- 则C = 2(x + y)≥slant40。
- 当且仅当x=y时等号成立，由xy = 100且x=y，可得x=y = 10。
高三数学二轮复习教学案——基本不等式(1)(2)
高三数学二轮复习教学案——基本不等式（1）班级 学号 姓名【基础训练】1．设R y x ∈,，且0≠xy ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222411y x y x 的最小值为_____________。
2．若实数y x ,满足122=++xy y x ，则y x +的最大值是_____________。
3．己知0>b ，直线012=++y x b 与02)4(2=++-y b ax 互相垂直，则ab 的最小值为______________。
4．若实数b a ,满足)1(014>=+--a b a ab ，则)2)(1(++b a 的最小值为_____________。
5．若不等式ax x x x ≥-++2222对)4,0(∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________。
6．不等式011≥-+-+-ac c b b a λ，对满足c b a >>恒成立，则λ的取值范围是________。
7．己知0,,>c b a 且94222=+++bc ac ab a ，则c b a ++的最小值为______________。
【典型例题】8．某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元)0(≥m 满足13+-=m k x （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。
己知2007年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）。
（1）将2012年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元。
基本不等式复习(孙永)
阜宁县第一高级中学迎接期末考试复习教案（2）基本不等式及其应用出题人：孙永 审核人：张梁基本知识回顾1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x变式：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
【复习】基本不等式(基础训练 典型例题 能力提升 答案).doc
基本不等式◊考纲解读①了解基本不等式的证明过程.② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.◊知识梳理1 •常用的基本不等式和重要的不等式①a^R.a2 >0,\a\>0当且仅当_________________ ,②a,be _________ Ma2+b2>Zab2 2③ a.h G_____ ,则a-\-b> 2y[ab , ④_ ' 2 22.最值定理：设x, y > 0,由x + y»2j^%1如积小二P（定值），则积為y 2"%1如积x+y = S（定值），贝椒資_______ （）| 2运用最值定理求最值的三要素: __________________________________________________ ◊基础训练1.若G + b = 1 ,恒有（）A. ab<-B. ab>-C. «2/?2<16D.以上均不止确4 41Q2.当x>—时，v = x + --------- 的最小值为22x-l3.□，知0 < x < 1,则y = x（l - 2x）的垠大值为___________ .4.实数仏“满足a + 2b = 2,则3"+9"的最小值为_______________ •◊典型例题例1・求函数y^（ -+5）（ V+2）（x>-l）的最小值.X+1I 9例2.已知ciyb E R＞且—I— = 1,求a + Z?最小值• a h◊能力提升1.若a,b w R* , ab -（a + b） = I ,则A. 2^2 + 2B. + 22.下列命题中正确的是（）A . y = % + 一的最小值是2xX2 +5 5C. y =ci + b的最小值是（）C. 2V2-2D. 2^2 x2 +3B. y = ~4—的最小值是2■ VTT?D. y = 2-3x-~的最大值是2-4馅X3.若°上丘/?+满足4方=4+〃 + 3,则4〃的取值范围是 _________________ .4.若x>l时，不等式x + J—>a恒成立，则实数6/的取值范围是 _________________x-lr2 _ 7 r 4- ?5.若X w （—4,1）,求-―-—的最犬值.x-16.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是止整数），口每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用/（%）；（2）能否恰当地安排每批进货的数鼠，使资金够用泻出你的结论，并说明理山.1.①当且仅当d=o取等号，②7?,③7T.2.①最小值，②最大值. 一止，二定，三相等◊基础训练9161 • A 2. — 3.- 4.28◊典型例题例1.解：••• x>-\ ,•••x +1 > 0,.・・ y =(x + a)(x + 2) = (.T+l)_+(x + l)_4 = [ +(x+])+ _£_n] + 2j(H + ])(丄)=31 9 1 9 b 9a \h 9a例2.解：-- + - = ^：.a + b = (a + b) (- + -) = 10 +(- + —)> 10 +2J- — = 16, ci b a ba b V a b・•・a + b最小值为16.◊能力提升1. A2. C ,,3. [9,+oo),4. (-oo,3]5.解：V XG(-4,1),・•・x-l<0,x~ — 2x + 2 (x —1)~ 4-1x — 1 x — 1<-2J(l-x) (J-)=-2 V 1 -x当且仅当1 — x =丄，即x = 0吋取等号. l-JV— 2x + 2 . ... _---------- 反人fri 为—2.x — 16.W (1)设题中比例系数为匕若每批购入x台，则共需分Y批，每批价值为20x元. x由题意= —-4 + JI-20XX山兀二4 吋，v=52 得 /:=- = -" 80 5:.f (x) = ---- + 4x(0 < x < 36, x G NX(2)曲(1)知 /(%) = + 4x(0 < x < 36,x e144 当口仅当—= 4x,np 兀=6时，上式等号成立. x故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用. —x4x=48X （元。
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x+-x3∵-x＞0,∴(-x)+1精品文档典题精讲例1（1）已知0＜x＜13高中数学必修五典题精讲，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+1x的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x＜13,∴1-3x＞0.113x+(1-3x)11∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成33212611立.∴x=时，函数取得最大值.61211解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.3311111∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立.32123611∴x=时，函数取得最大值.612（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+1x1≥2x•=2，当且仅当x=1时，等号成立.x当x＜0时，y=x+1x1=-［(-x)+］.(-x)1≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.(-x)-x ∴y=x+1≤-2.x综上,可知函数y=x+1x的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+1x+1的最小值.1思路分析：x＞-1⇒x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.x+1∴f(x)=x+1.例2已知x＞0,y＞0，且1∵1∵x＞0,y＞0,∴y9x当且仅当y又1解：∵x＞-1,∴x+1＞0.11=x+1+-1≥2(x+1)•-1=1.x+1x+1(x+1)当且仅当x+1=1x+1,即x=0时,取得等号.∴f(x)min=1.x4+3x2+3变式训练2求函数y=的最小值.x2+1思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.x4+3x2+3(t-1)2+3(t-1)+3t2+t+11∴y====t++1.x2+1t t t∵t≥1,∴t+1≥2t•t11=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.t t∴当x=0时，函数取得最小值3.9+=1，求x+y的最小值.x y思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”,9+=1,x y∴x+y=(x+y)·(19y9x+)=10++.x y x yy9x+≥2•x y x y=6. 9x=，即y=3x时，取等号.x y9+=1,∴x=4,y=12.x+y=y∴y-9+9法三：由1当且仅当x-1=y-9时取得等号.又1产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是1,,.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法二：由19y+=1，得x=. x y y-9∵x＞0,y＞0,∴y＞9.y-9+999+y=y+=y++1=(y-9)++10.y-9y-9y-9y-9∵y＞9,∴y-9＞0.9≥2(y-9)•=6.y-9y-9当且仅当y-9=9y-9，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解9+=1，得y+9x=xy,x y∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2(x-1)(y-9)=16,9+=1,x y∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法二，通过消元化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：1996+≥2①,即≤1,∴xy≥6.x y xy xy∴x+y≥2xy≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.9=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同x y一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.+⎩b=2.⎧解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,4∴(-lgx)+(-4)≥2(-lg x)(-)=4.∴lgx+4精品文档变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,思路分析：本题属于“1”的代换问题.a b+=1，x+y的最小值为18，求a,b的值. x y解：x+y=(x+y)(a b bx ay bx ay +)=a+++b=10+. x y y x y x∵x,y＞0,a,b＞0，∴x+y≥10+2ab=18，即ab=4.又a+b=10，∴⎨a=2,⎩b=8⎧a=8,或⎨例3求f(x)=3+lgx+4lg x的最小值（0＜x＜1）.思路分析：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,4lg x＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.4＜0.∴-＞0.lg x lg x4lg x lg x4≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.lg x lg x当且仅当lgx=41,即x=时取得等号. lg x100则有f(x)=3+lgx+4lg x(0＜x＜1)的最小值为-1.黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.变式训练1已知x＜51，求函数y=4x-2+的最大值. 44x-53-2x8•≥2=4，当且仅当23-2x于是y≤-4+3精品文档思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜54，则4x-5＜0.解：∵x＜54,∴4x-5＜0.11y=4x-5++3=-［(5-4x)+］+34x-55-4x≤-2(5-4x)•15-4x当且仅当5-4x=15-4x+3=-2+3=1.,即x=1时等号成立.所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x＜38时，求函数y=x+的最大值.22x-38思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须2x-31833-2x83使用一些技巧对原式变形.可以变为y=（2x-3）++=-（+）+,再求最22x-3223-2x2值.解：y=1833-2x83（2x-3）++=-（+）+，22x-3223-2x23∵当x＜时，3-2x＞0，2∴3-2x83-2x81+=，即x=-时取等号.23-2x23-2x255=-，故函数有最大值-.222例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.∴26xy≤18,得xy≤27⎩⎩y=3.由⎨解得⎨∴S≤3由⎨⎧x=6,⎩xy=24,⎩y=4.∴l=4x+6y=96+6y=6(+y)≥6×2⨯y=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6..精品文档设每间虎笼的面积为S，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥22x⨯3y=26xy,27，即S≤.22当且仅当2x=3y时等号成立.⎧2x=2y,⎧x=4.5,2x+3y=18,故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-∵x＞0,∴0＜y＜6.33S=xy=(9-y)y=(6-y)y.223 2y.∵0＜y＜6,∴6-y＞0.(6-y)+y27［］2=.222当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥22x•3y=26xy=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.⎧2x=3y,解得⎨故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=24 y.161616y y y y故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y都是正数；（2）积xy（或x+y）为定值；（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论精品文档x 所示),由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两道隔墙 建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的 长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图 3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的 单调性进行求解.解：设污水处理池的长为 x 米,则宽为 200 200米(0＜x≤16,0＜ ≤16),∴12.5≤x≤16.x x200 200于是总造价 Q(x)=400(2x+2× )+248×2× +80×200.x x=800(x+ 324x 324 )+16 000≥800×2 x • +16 000=44 800,x当且仅当 x= 324 x(x ＞0),即 x=18 时等号成立,而 18∉ ［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800.下面研究 Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意 12.5≤x 1＜x 2≤16,则 x 2-x 1＞0,x 1x 2＜162＜324.Q(x 2)-Q(x 1)=800［(x 2-x 1)+324(121- )］ x 1=800× ( x 2 - x 1 )( x 1 x 2 - 324) x x1 2＜0,∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数. ∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为 16 米,宽为 12.5 米时,总造价最低,最低造价为 45 000 元. 问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第 n 层楼时,≥2 n ⨯ = 4 2 ,,上下楼造成的不满意度为 n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第 n 层楼时,环境不满意程度为8n.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求 n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式, 再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第 n 层楼,此时的不满意程度为 y.由题意知 y=n+8n.∵n+ 8n8 n当且仅当 n= 8,即 n= 2 2 时取等号. n但考虑到 n ∈N *∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选 3 楼,不满意度最低.。