高等量子力学考试知识点
高等量子力学复习纲要
高等量子力学复习纲要2012级硕士生高等量子力学期末考试复习纲要 1. 会证明矢量空间中矢量的一些基本运算性质和定理;由右矢空间中矢量的关系证明左矢空间中相应的关系;有限维空间中各种不同的完全集所含矢量数目相同。
2. 会利用Schmidt正交化方法构造基矢;会利用直积基矢来展开波函数。
3. 会证明一些重要的公式与定理,比如:算符有逆定理;Glauber公式;厄米算符的性质定理;幺正算符的性质定理;投影算符的性质;本征矢量的完全集等。
定理4. 会证明幺正变换不改变矢量和算符的关系式;有逆算符不改变矢量的相关性。
5. 掌握量子力学的五个基本原理。
6. 会利用Levi-Civita符号及算符的基本对易关系证明角动量算符各分量与其它算符各分量的对易关系。
7. 会利用作用在位置和动量本征矢量上的升降算符的定义证明动量算符的本征矢量在坐标表象中的表示。
8. 会利用角动量的升降算符讨论对给定的角量子数j相应磁量子数m的取值范围;利用轨道角动量的本征函数所满足的本征值方程求解。
Y(,,,)Y(,,,)lm009. 试述绘景变换与表象变换的关系;三种绘景的区别和联系;会证明Heisenber方程;相互作用绘景中态矢量和算符所满足的方程。
10. 试给出薛定谔绘景中密度算符的表达式,并由此推导Liouville方程;会证明密度算符是厄米算符。
11. 会判断纯态和混合态;会由态的密度矩阵求力学量的平均值或者相反;会由不正交参与态构成的混合态构造正交参与态构成的混合态。
12. 能写出真空和电磁场中电子的所满足的Dirac方程及其协变形式;给出其中各物理量的含义;给出并证明自由电子体系的守恒量;会说明为何自由电子的哈密顿的本征矢量为何是高度简并的。
13. 会推导位置算符和动量算符在空间反演下的变换性质;能写出空间平移和空间转动算符的形式;会区分标量和矢量算符;会区分真标量和赝标量以及真矢量和轴矢量算符。
14. 理解系统在某一空间对称变换下具有不变性的含义,能写出系统在空间变换Q下具有不变性的明确数学表达式。
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、(1)微观粒子状态的描述 (2)波函数具有什么样的特性 (3)波函数的统计解释2、态叠加原理(说明了经典和量子的区别)3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射(证明了光子具有粒子性) 第一章2、戴维逊-革末实验(证明了电子具有波动性) 第三章3、史特恩-盖拉赫实验(证明了电子自旋) 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化;2、厄密算符的本征值为实数;3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交;4、力学量算符的本征函数组成完全系;5、量子力学测不准关系的证明;6、常见力学量算符之间对易的证明;7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率;2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设: 德布洛意关系:戴维孙-革末电子衍射实验的结果: 2、德布洛意平面波:3、光的波动性和粒子性的实验证据:4、光电效应:5、康普顿散射: 附:(1)康普顿散射证明了光具有粒子性(2)戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ(全)()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=(3)史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1.量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2.波函数统计解释:若粒子的状态用()t r ,ρψ描写,τψτψψd d 2*=表示在t 时刻,空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率(设ψ是归一化的)。
量子力学复习重点
1 e 2
2 2
x
e
i Px
dx
e
1 2 x2 2
e
i Px
dx
1 2 1 2 1 2
e
1 ip p2 2 ( x 2 )2 2 2 2 2
dx
2 e
4 2 1 ( 3 2a0 a0
0
r 2 r / a0 (2r )e dr a0
2 2 a0 a0 4 2 2 ( 2 ) 4 2 4 4 2a0 2a0
(r , , )d (5) c( p) * p (r )
c( p ) 2
p2 ; 2
(3)动量的几率分布函数。
解:(1) U
1 1 2 x 2 2 2 2
x 2 e
2
x2
dx
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
1 4
(2) T
4 3 a0
0
r 3 a 2 r / a0 dr
4 3! 3 a0 3 4 2 a0 2 a 0
(2) U (
e2 e2 ) 3 r a0
0 0
2
0
1 2 r / a0 2 e r sin drd d r
e2 3 a0 4e 2 3 a0
解: U ( x)与t 无关,是定态问题。其定态 S—方程
大学物理易考知识点量子力学
大学物理易考知识点量子力学量子力学是大学物理中的一门重要的学科,是研究微观世界的基本理论之一。
在大学物理考试中,量子力学通常是一个难点,但也是一个相对容易获得高分的知识点。
本文将介绍一些大学物理中易考的量子力学知识点,以帮助学生更好地备考。
一、波粒二象性在量子力学中,物质既可以表现出粒子性,又可以表现出波动性。
这一概念被称为波粒二象性。
在考试中,常见的问题是要求学生解释波粒二象性,并举例说明。
其中一个经典的实验是双缝干涉实验,可以用来说明波动性和粒子性的结合。
二、波函数与薛定谔方程波函数是描述量子力学系统的数学函数。
在考试中,常见的问题是要求学生解释波函数的物理意义,并且了解薛定谔方程的基本形式和意义。
学生需要掌握如何根据薛定谔方程计算波函数的变化,并能够利用波函数计算相关的物理量。
三、量子力学中的不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一,它指出对于一些物理量,如位置和动量,无法同时进行精确测量。
在考试中,常见的问题是要求学生解释不确定性原理,并举例说明。
四、半经典近似在一些情况下,可以使用半经典近似来解决量子力学问题。
半经典近似是将量子理论与经典理论相结合的一种方法。
在考试中,常见的问题是要求学生解释半经典近似的基本原理,并能够应用半经典近似解决简单的物理问题。
五、量子力学中的算符和本征值问题在量子力学中,算符是描述物理量的数学对象,而本征值是算符作用于本征态时得到的物理量的取值。
在考试中,学生需要了解算符和本征值的概念,并能够解决与算符和本征值相关的问题。
六、量子力学中的隧穿效应隧穿效应是量子力学的一个重要现象,它指出在能量低于势垒高度的情况下,粒子可以穿越势垒。
在考试中,常见的问题是要求学生解释隧穿效应的物理原理,并举例说明。
七、量子力学中的简并简并是指在量子力学中,存在多个不同的量子态具有相同的能量。
在考试中,常见的问题是要求学生解释简并的概念,并能够解决与简并相关的问题。
总结:以上是一些大学物理易考的量子力学知识点,包括波粒二象性、波函数与薛定谔方程、量子力学中的不确定性原理、半经典近似、量子力学中的算符和本征值问题、量子力学中的隧穿效应以及量子力学中的简并。
量子力学所需的高数知识
第一章矩阵1.1矩阵的由来、定义和运算方法1.矩阵的由来2.矩阵的定义3.矩阵的相等4.矩阵的加减法5.矩阵和数的乘法6.矩阵和矩阵的乘法7.转置矩8.零矩阵9.矩阵的分块1.2行矩阵和列矩阵1.行矩阵和列矩2.行矢和列矢3.Dirac符号4.矢量的标积和矢量的正交5.矢量的长度或模6.右矢与左矢的乘积1.3方阵1.方阵和对角阵2.三对角阵3.单位矩阵和纯量矩阵4.Hermite矩阵5.方阵的行列式,奇异和非奇异方阵6.方阵的迹7.方阵之逆8.酉阵和正交阵9.酉阵的性质10.准对角方阵11.下三角阵和上三角阵12.对称方阵的平方根13.正定方阵14.Jordan块和Jordan标准型1.4行列式求值和矩阵求逆1.行列式的展开place展开定理3.三角阵的行列式4.行列式的初等变换及其性质5.利用三角化求行列式的值6.对称正定方阵的平方根7.平方根法求对称正定方阵的行列之值8.平方根法求方阵之逆9.解方程组法求方阵之逆10.伴随矩阵11.伴随矩阵法求方阵之1.5线性代数方程组求解1.线性代数方程组的矩阵表示2.用Cramer法则求解线性代数方程组3.Gauss消元法解线性代数方程组4.平方根法解线性代数方程组1.6本征值和本征矢量的计算1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量2.GayleyHamilton定理及其应用3.本征矢量的主定理4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换1.线性变换的矩阵表示2.矢量的酉变换3.相似变换4.等价矩阵5.二次型6.标准型7.方阵的对角化第二章量子力学基础2.1波动和微粒的矛盾统一1.从经典力学到量子力学2.光的波粒二象性3.驻波的波动方程4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式5.de Broglie波的实验根据6.de Broglie波的统计意义7.态叠加原理8.动量的几率——以动量为自变量的波函数2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程1.Schrdinger方程第一式2.Schrdinger方程第一式的算符表示3.Schrdinger方程第二式4.波函数的物理意义5.力学量的平均值(由坐标波函数计算)6.力学量的平均值(由动量波函数计算) 2.3算符1.算符的加法和乘法2.算符的对易3.算符的平方4.线性算符5.本征函数、本征值和本征方程6.Hermite算符7.Hermite算符本征函数的正交性——非简并态8.简并本征函数的正交化9.Hermite算符本征函数的完全性10.波函数展开为本征函数的叠加11.连续谱的本征函数12.Dirac δ函数13.动量的本征函数的归一化14.Heaviside阶梯函数和δ函数2.4量子力学的基本假设1.公理方法2.基本概念3.假设Ⅰ——状态函数和几率4.假设Ⅱ——力学量与线性Hermite算符5.假设Ⅲ——力学量的本征状态和本征值6.假设Ⅳ——态随时间变化的Schrdinger方程7.假设Ⅴ——Pauli互不相容原理2.5关于定态的一些重要推论1.定态的Schrdinger方程2.力学量具有确定值的条件3.不同力学量同时具有确定值的条件4.动量和坐标算符的对易规律5.Hesienberg测不准关系式2.6运动方程1.Heisenberg运动方程——力学量随时间的变化2.量子Poisson括号3.力学量守恒的条件4.几率流密度和粒子数守恒定律5.质量和电荷守恒定律6.Ehrenfest定理2.7维里定理和HellmannFeynman定理1.超维里定理2.维里定理3.Euler齐次函数定理4.维里定理的某些简化形式5.HellmannFeynman定理2.8表象论1.态的表示2.算符的表示3.另一套量子力学的基本假设第三章简单体系的精确解3.1自由粒子1.一维自由粒子2.三维自由粒子3.2势阱中的粒子1.一维无限深的势阱2.多烯烃的自由电子模型3.三维长方势阱4.圆柱体自由电子模型3.3隧道效应——方形势垒1.隧道效应2.Schrdinger方程3.波函数中系数的确定(E>V0)4.贯穿系数与反射系数(E>V0)5.能量小于势垒的粒子(E<V0)3.4二阶线性常微分方程的级数解法1.二阶线性常微分方程2.级数解法3.正则奇点邻域的级数解法4.若干二阶线性微分方程3.5线性谐振子和Hermite多项式1.线性谐振子2.幂级数法解U方程3.谐振子能量的量子化4.Hermite微分方程与Hermite多项式5.Hermite多项式的递推公式6.Hermite多项式的微分式定义——Rodrigues公式7.Hermite多项式的母函数展开式定义8.谐振子的波函数——Hermite正交函数9.矩阵元的计算第四章氢原子和类氢离子4.1Schrdinger方程1.氢原子质心的平移运动2.氢原子中电子对核的相对运动3.氢原子作为两个质点的体系4.坐标的变换5.变量分离6.球坐标系7.球坐标系中的变量分离8.Φ方程之解9.θ方程之解10.R 方程之解11.能级4.2Legendre多项式1.微分式定义2.幂级数定义3.母函数展开式定义和递推公式4.母函数的展开5.正交性6.归一化4.3连带Legendre函数1.微分式定义2.递推公式3.正交性4.归一化4.4laguerre多项式和连带Laguerre函数1.母函数展开式定义2.微分式定义3.级数定义4.积分性质5.连带Laguerre多项式和连带Laguerre函数6.连带Laguerre多项式的母函数展开式定义7.连带Laguerre多项式的级数8.连带Laguerre函数的积分性质4.5类氢原子的波函数1.类氢原子的波函数2.氢原子的基态3.径向分布4.角度分布5.电子云的空间分布6.波函数的等值线图和立体表示图第五章角动量和自旋5.1角动量算符1.经典力学中的角动量2.角动量算符3.对易规则4.Hamilton算符与角动量算符的对易规则5.三??算符具有相同本征函数的条件6.角动量的本征函数5.2阶梯算符法求角动量的本征值1.角动量算符的对易规则2.阶梯算符的性质3.阶梯算符的作用4.角动量的本征值、5.3多质点体系的角动量算符1.经典力学中多质点体系的角动量2.总角动量算符及其对易规则3.多电子原子的Hamilton 算符的对易规则5.4电子自旋1.电子自旋2.假设Ⅰ——自旋角动量算符的对易规则3.假设Ⅱ——单电子自旋算符的本征态和本征值4.电子自旋的阶梯算符5.自旋算符的矩阵表示6.假设Ⅲ——自由电子的g因子第六章变分法和微扰理论6.1多电子体系的Schrdinger方程1.原子单位2.多电子分子的Schrdinger方程3.BornOppenheimer原理4.多电子体系的Schrdinger方程举例5.多电子体系的Schrdinger方程的近似解法6.2变分法1.最低能量原理2.变分法3.氦原子和类氦离子的变分处理(一)4.氦原子和类氦离子的变分处理(二)5.激发态的变分原理6.线性变分法7.变分法的推广6.3定态微扰理论1.非简并能级的一级微扰理论2.基态氦原子或类氦离子3.简并能级的一级微扰理论4.微扰法在氢原子中的应用5.二级微扰理论6.4含时微扰理论与量子跃迁1.含时微扰理论2.光的吸收与发射3.激发态的平均寿命4.光谱选律5.偶极强度与吸收系数的关系。
量子力学期末考试总结
基本概念 第一章1,黑体辐射,光电效应揭示了光的波粒二象性。
戴维孙 革末(电子衍射)实验证明了德布罗易波的存在,粒子性和波动性关系(数学体现)?第二章2,量子力学的五个基本假设?① 体系的微观态用一个波函数完全描述,波函数满足连续、有限、单值。
② 力学量用厄密算符表示。
③ 微观体系波函数g 用算符F 本征函数f 展开λλλλd c c F nn n22||||⎰∑+=在F 态中测得④ 体系状态波函数满足薛定谔方程⑤ 全同粒子所组成的体系中,两全同粒子互换不改变体系的状态(全同性原理) 3,波函数的统计解释?波函数在空间一点找到粒子的概率和该点的强度成正比。
4,如何理解薛定谔方程?其解是什么?满足什么条件?解的物理意义?薛定谔方程是非相对论下,粒子状态随时间变化的规律,解是描述微观粒子状态的波函数,需要满足连续、单值、有限,物理意义是波恩统计解释第三章5,什么是厄密算符?厄密算符本征值为实数,证明厄密算符属于不同本征值的本征函数的正交性?对连续谱同理一样。
厄密算符:O OO dOdˆˆ*)ˆ(ˆ*==+⎰⎰或φψτφτψ6,波函数在算符(力学量)本征函数下展开式?展开系数?7,力学量的期望?8,守恒量和定态的去区别?((什么式守恒量,什么是定态?)定态下,一切不含时间的力学量的平均值和测值几率分布不随时间改变。
守恒量式在所有状态下的平均值和几率分布都不随时间该改变。
守恒量和体系的哈密顿量对易。
(守恒量和对称性相联系,时间--能量....)9,角动量算符的本征值和本征函数?氢原子能级和波函数?角动量算符:∇⨯-=r i L ˆL 2 和L Z 的本征值方程,本征值和本征函数()()(),θ,Y l l θ,Y L lm lm ϕϕ221ˆ += ()(),θ,Y m θ,Y L lm lm z ϕϕ =ˆ2)1( +l l (l=0 ,1,..l )(m=-l,..,0,...,+l),m L z =2l+1度简并ϕπφim m e 21=氢原子:.,,n ,n μe E sn 3212224=-=),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =lm n l n ±±±=-== ,2,1,012,1,0,3,2,1体系能量En 是n 2简并的。
量子力学期末考试复习重点、复习提纲
量子力学期末考试复习重点、复习提纲量子力学期末考试复习重点、复习提纲第一章绪论1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。
2、掌握玻尔—索末菲的量子化条件公式。
3、掌握并会应用德布罗意公式。
4、了解戴维逊-革末的电子衍射实验。
第二章波函数和薛定谔方程1、掌握、区别及计算概率密度和概率2、掌握可积波函数归一化的方法3、理解态叠加原理是波函数的线性叠加4、掌握概率流密度矢量5、理解定态的概念和特点6、掌握并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数及对应能级7、掌握线性谐振子的能级8、定性掌握隧道效应的概念及应用。
第三章量子力学中的力学量1、会算符的基本计算2、掌握厄米算符的定义公式,并能够证明常见力学量算符是厄米算符。
3、了解波函数归一化的两种方法4、掌握动量算符及其本征方程和本征函数5、掌握角动量平方算符和z分量算符各自的本征值,本征方程6、掌握三个量子数n,l,m的取值范围。
7、了解氢原子体系转化为二体问题8、掌握并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径9、掌握并会证明定理属于不同本征值(分立谱)的两个本征函数相互正交10、力学量算符F的本征函数组成正交归一系的表达式(分立谱和连续谱)11、理解本征函数的完全性,掌握波函数按某力学量的本征函数展开(分立谱),会求展开系数,理解展开系数的意义。
12、掌握两个计算期望值的公式,会证明其等价性,能应用两公式计算期望值13、掌握坐标、动量算符之间的对易关系,掌握角动量算符之间的对易关系。
14、掌握并会证明定理如果两个算符有一组共同本征函数,而且本征函数组成完全系,则两个算符对易15、掌握不确定关系不等式。
第四章态和力学量的表象(4.1~4.3节)1、理解和掌握什么是表象2、理解不同表象中的波函数描写同一状态。
3、理解态矢量和希尔伯特空间4、了解算符F在Q表象中的表示形式,算符在其自身表象中的表示形式。
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������������
≡
������ℎ 2������������������
=
9.274
13、算符 ������������ ≠ ������������
对易子
[������,������] ≡ ������������ ‒ ������������
������ × ������ = ������ℎ������ 厄米共轭算符
‒
‒
������0
+
������������
������∇������ ∗ )
7、一维无限深势阱(P31) 8、束缚态:粒子只能束缚在空间的有限区域,在无穷远处波函数为零的状态。
一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。
从(2.4.6)式还可证明,当 n 分别是奇数和偶数时,满足 ������������( ‒ ������) = ������������(������) (������为奇数)
对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资,配料不置试仅技卷可术要以是求解指,决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资,配料而置试且时卷可,调保需控障要试各在验类最;管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下,安与要全过加,度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高;试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中,核资或对料者定试对值卷某,弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试,.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置,弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误,试高要方中求案资技,料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高,术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术,管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高,案中为;资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资,管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装,工置合作调理并试利且技用进术管行,线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确:指灵在导活分。。线对对盒于于处调差,试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷,术调应问试采题技用,术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔,变开需压处要器理在组;事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故,资障强料时电、,回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资,料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而,与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检,卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。
量子力学所有简答题复习资料
简答题1.什么是光电效应?光电效应有什么规律?爱因斯坦是如何解释光电效应的?答:光照射到某些物质上,引起物质的电性质发生变化,也就是光能量转换成电能。
这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。
或光照射到金属上,引起物质的电性质发生变化。
这类光变致电的现象被人们统称为光电效应。
光电效应规律如下:1.每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率(或称截止频率),即照射光的频率不能低于某一临界值。
当入射光的频率低于极限频率时,无论多强的光都无法使电子逸出。
2.光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关,而与光强无关。
3.光电效应的瞬时性。
实验发现,只要光的频率高于金属的极限频率,光的亮度无论强弱,光子的产生都几乎是瞬时的。
4.入射光的强度只影响光电流的强弱,即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。
爱因斯坦认为:(1)电磁波能量被集中在光子身上,而不是象波那样散布在空间中,所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量,所以对应弛豫时间应很短,是瞬间完成的。
(2)所有同频率光子具有相同能量,光强则对应于光子的数目,光强越大,光子数目越多,所以遏止电压与光强无关,饱和电流与光强成正比。
(3)光子能量与其频率成正比,频率越高,对应光子能量越大,所以光电效应也容易发生,光子能量小于逸出功时,则无法激发光电子。
逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成:221mv A h +=ν这就是爱因斯坦光电效应方程。
其中,h 是普朗克常数;f 是入射光子的频率。
2.写出德布罗意假设和德布罗意公式。
德布罗意假设:实物粒子具有波粒二象性。
德布罗意公式:νωh E == λhk P ==3.简述波函数的统计解释,为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。
几率波满足的条件。
波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。
因为它能根据现在的状态预知未来的状态。
波函数满足归一化条件。
4.以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。
《量子力学》考试知识点(精心整理)
《量子力学》考试知识点第一章:绪论―经典物理学的困难考核知识点:(一)、经典物理学困难的实例(二)、微观粒子波-粒二象性考核要求:(一)、经典物理困难的实例1.识记:紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会:微观粒子的波-粒二象性、德布罗意波。
第二章:波函数和薛定谔方程考核知识点:(一)、波函数及波函数的统计解释(二)、含时薛定谔方程(三)、不含时薛定谔方程考核要求:(一)、波函数及波函数的统计解释1.识记:波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会:微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理(二)、含时薛定谔方程1.领会:薛定谔方程的建立、几率流密度,粒子数守恒定理2.简明应用:量子力学的初值问题(三)、不含时薛定谔方程1. 领会:定态、定态性质2. 简明应用:定态薛定谔方程第三章:一维定态问题一、考核知识点:(一)、一维定态的一般性质(二)、实例二、考核要求:1.领会:一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用:定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点:(一)、表示力学量算符的性质(二)、厄密算符的本征值和本征函数(三)、连续谱本征函数“归一化”(四)、算符的共同本征函数(五)、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求:(一)、表示力学量算符的性质1.识记:算符、力学量算符、对易关系2.领会:算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系(二)、厄密算符的本征值和本征函数1.识记:本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会:厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
(三)、连续谱本征函数“归一化”1.领会:连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系(四)、力学量的平均值随时间的变化1.识记:好量子数、能量-时间测不准关系2.简明应用:力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点:(一)、表象变换,幺正变换(二)、平均值,本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式(三)、量子态的不同描述二、考核要求:(一)、表象变换,幺正变换1.领会:幺正变换及其性质2.简明应用:表象变换(二)、平均值,本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用:平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用:利用算符矩阵表示求本征值和本征函数(三)、量子态的不同描述第六章:微扰理论一、考核知识点:(一)、定态微扰论(二)、变分法(三)、量子跃迁二、考核要求:(一)、定态微扰论1.识记:微扰2.领会:微扰论的思想3.简明应用:简并态能级的一级,二级修正及零级近似波函数4.综合应用:非简并定态能级的一级,二级修正、波函数的一级修正。
高等量子力学考试知识点
1、 黑体辐射:任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。
物体吸收的辐射能量与投射到物体 上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。
如果一个物体能吸收投射到它表面上的 全部辐射,即吸收系数为 1 时,则称这个物体为黑体。
光子可以被物质发射和吸收。
黑体向辐射场发射或吸收能量 hv 的过程就是 发射或吸收光子的过程。
2、 光电效应(条件):当光子照射到金属的表面上时,能量为 hv 的光子被电子吸收。
12临界频率 v 0 满足2 = ℎ −0 = 0⁄ℎ(1)存在临界频率 v 0,当入射光的频率 v<v 0 时,无论光的强度多大,都无光电 子逸出。
只有在 v≥v 0 时,即使光的强度较弱,但只要光照到金属表面上,几乎 在 10-9s 的极短时间内,就能观测到光电子;(2)出射的光电子的能量只与入射光的频率 v 有关,而与入射光的强度无关; (3)入射光的强度只影响光电流的强弱,即只影响在单位时间内由单位面积上 逸出的光电子的数目。
3、由于光子以光速运动,根据狭义相对论的质能关系式有2 = 2 4 + 2 2C 是光速, m 0 是光子的静质量,为零,因此得到光子的能量和动量的关系是=4、康普顿效应的推导( P7):康普顿效应还证实: 在微观的单个碰撞事件中, 能量守恒定律和动量守恒定律仍然成立。
5、薛定谔方程:6、概率流守恒定律概率流密度 7、一维无限深势阱(P31)0 2= − ( ∗ − ∗ )+ ∇ ∙ =ℎ22 +ℎ0 −=2ℎ8、束缚态:粒子只能束缚在空间的有限区域,在无穷远处波函数为零的状态。
一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。
从(2.4.6)式还可证明,当 n 分别是奇数和偶数时,满足{( −) = ( ) (n 为奇数)( −) = −( ) (n 为偶数)即n是奇数时,波函数是x的偶函数,我们称这时的波函数具有偶宇称;当n是偶数时,波函数是 x 的奇函数,我们称这时的波函数具有奇宇称。
量子力学主要知识点复习资料
大学量子力学主要知识点复习1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子,这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态,在这些状态下,谐振子的能量不能取任意值,只能是某一最小能量ε 的整数倍 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: 2.波粒二象性波粒二象性(wave-particle duality )是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中,研究对象总是被明确区分为两类:波和粒子。
前者的典型例子是光,后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年,爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释,人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年,德布罗意提出“物质波”假说,认为和光一样,一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说,电子也会具有干涉和衍射等波动现象,这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式3.波函数及其物理意义在量子力学中,引入一个物理量:波函数 ,来描述粒子所具εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅νh =εh νmc E ==2λh m p ==v有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示,其中,振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。
所以,应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发,可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数波函数的性质:可积性,归一化,单值性,连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数,则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数 ,则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。
表示点(x,y,z )处的体积元中找到粒子的概率。
这就是波函数的统计诠释。
自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值既然 表示 粒子出现在点 0),()](2[),(22=-∇+∂∂t r r V mt r t i ψψ)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ2|(,,)|x y z ψ2|(,,)|x y z x y z ψ∆∆∆x y zτ∆=∆∆∆2|(,,)|1x y z dxdydz ψ∞=⎰(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ22|()||(,,)|r x y z ψψ=),,(z y x r =23*3|()|()(),x r xd r r x r d r ψψψ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰附件的概率,那么粒子坐标的平均值,例如x 的平均值x __,由概率论,有 又如,势能V是 的函数:,其平均值由概率论,可表示为 再如,动量 的平均值为: 为什么不能写成因为x 完全确定时p 完全不确定,x 点处的动量没有意义。
高考物理中量子力学的基础知识点有哪些
高考物理中量子力学的基础知识点有哪些在高考物理中,量子力学作为现代物理学的重要组成部分,虽然涉及的内容相对基础和浅显,但对于考生理解微观世界的物理现象和规律仍具有重要意义。
以下我们来梳理一下高考物理中量子力学的一些基础知识点。
首先,我们要了解什么是量子化。
量子化是指物理量的取值不是连续的,而是离散的、一份一份的。
比如,能量的取值就是量子化的。
在经典物理学中,我们认为能量可以连续取值,但在微观世界,能量只能以特定的“量子”形式存在。
波粒二象性是量子力学的一个核心概念。
光既具有波动性,又具有粒子性。
这意味着光有时候表现出像波一样的干涉、衍射现象,有时候又表现出像粒子一样的能量和动量特性。
不仅光如此,电子、质子等微观粒子也具有波粒二象性。
对于微观粒子的运动状态,我们引入了波函数来描述。
波函数是一个复数函数,它的模的平方表示粒子在空间某点出现的概率密度。
通过求解薛定谔方程,可以得到波函数的具体形式,从而了解粒子的运动状态和可能的位置、能量等信息。
能量量子化的典型例子是氢原子的能级结构。
氢原子中的电子只能处于特定的能级上,这些能级是不连续的。
当电子从高能级跃迁到低能级时,会发射出光子,光子的能量等于两个能级的能量差。
量子力学中的不确定性原理也是一个重要的知识点。
它表明,我们不能同时精确地确定微观粒子的位置和动量,或者能量和时间。
如果我们对粒子的位置测量得越精确,那么对它的动量测量就越不精确,反之亦然。
还有一个需要掌握的概念是泡利不相容原理。
在一个原子中,不能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数。
这一原理决定了原子中电子的排布和元素的化学性质。
在高考中,可能会通过一些简单的计算来考查对这些知识点的理解。
比如,给出氢原子的能级图,计算电子从某一能级跃迁到另一能级时发射或吸收光子的频率或波长。
为了更好地理解量子力学的这些基础知识点,我们可以通过一些具体的例子和实验来加深印象。
比如,光电效应实验就很好地展示了光的粒子性。
量子力学考试知识点
《量子力学》考试知识点第一章:绪论―经典物理学的困难考核知识点:(一)、经典物理学困难的实例(二)、微观粒子波-粒二象性考核要求:(一)、经典物理困难的实例1.识记:紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会:微观粒子的波-粒二象性、德布罗意波。
第二章:波函数和薛定谔方程考核知识点:(一)、波函数及波函数的统计解释(二)、含时薛定谔方程(三)、不含时薛定谔方程考核要求:(一)、波函数及波函数的统计解释1.识记:波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会:微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理(二)、含时薛定谔方程1.领会:薛定谔方程的建立、几率流密度,粒子数守恒定理2.简明应用:量子力学的初值问题(三)、不含时薛定谔方程1. 领会:定态、定态性质2.简明应用:定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章:一维定态问题一、考核知识点:(一)、一维定态的一般性质(二)、实例二、考核要求:1.领会:一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用:定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点:(一)、表示力学量算符的性质(二)、厄密算符的本征值和本征函数(三)、连续谱本征函数“归一化”(四)、算符的共同本征函数(五)、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求:(一)、表示力学量算符的性质1.识记:算符、力学量算符、对易关系2.领会:算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系(二)、厄密算符的本征值和本征函数1.识记:本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会:厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
(三)、连续谱本征函数“归一化”1.领会:连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系(四)、力学量的平均值随时间的变化1.识记:好量子数、能量-时间测不准关系2.简明应用:力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点:(一)、表象变换,幺正变换(二)、平均值,本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式(三)、量子态的不同描述二、考核要求:(一)、表象变换,幺正变换1.领会:幺正变换及其性质2.简明应用:表象变换(二)、平均值,本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用:平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用:利用算符矩阵表示求本征值和本征函数(三)、量子态的不同描述第六章:微扰理论一、考核知识点:(一)、定态微扰论(二)、变分法(三)、量子跃迁二、考核要求:(一)、定态微扰论1.识记:微扰2.领会:微扰论的思想3.简明应用:简并态能级的一级,二级修正及零级近似波函数4.综合应用:非简并定态能级的一级,二级修正、波函数的一级修正。
湖南师范大学考研专业课高等量子力学知识点综述
量子力学的基本假设1、 微观体系的状态被一个波函数完全描述,从这个波函数可以得出体系的所有性质。
波函数一般应满足连续性、有限性和单值性。
2、 力学量用厄米算符表示。
如果在经典力学中有相应的力学量,则在量子力学中表示这个力学量的算符,由经典表示式中将动量P 换为∇- i 。
表示力学量的算符有组成完全系的本征函数。
3、 将体系的状态波函数ψ用算符F ˆ的本征函数φ展开(λλλφφφλφ==F F n n n ˆ,ˆ):⎰∑+=ψλφφλλd c c n n c ,则在ψ态中测量力学量F 得到结果为n λ的几率是2n c ,得到结果在λλλd +→范围内的几率是λλd c 2。
4、 体系的状态波函数满足薛定谔方程: ψψH ti ˆ=∂∂ 5、 在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互调换不改变体系的状态。
所谓全同性,是指无法确认两个物体之间的任何差别。
在量子体系中,由于态的量子化,两个量子态要么全同,要么全不同,没有中间连续的过渡态。
没有态的量子化,就谈不上全同性。
反之,全同性又对自然界中的可能出现的量子态给与很严格的限制,即全同粒子系的量子态,对于两个粒子交换,要么是对成的,要么是反对称,二者必居其一。
这种对称性导致统计性守恒。
矩阵力学与波动力学的关系量子力学本身是在1923-1927年一段时间中建立起来的,两个等价的理论——矩阵力学和波动力学几乎同时提出。
矩阵力学是在对波尔的旧量子论的批判中产生的。
矩阵力学的创始人海森伯的观点是:任何物理理论只应讨论物理上可以观测的物理量,对于建立微观现象的正确理论,尤其要注意这点。
他认为旧量子论中引用了一整套没有实验根据的概念,例如,电子轨道的概念,因为没有任何实验支持我们肯定电子有完全确定的轨道。
事实上,也没有什么实验证据妨碍我们抛弃电子由精确的轨道的概念。
海森伯、波恩与约当的矩阵力学,从物理上可观测量,例如原子辐射的频率及强度出发,赋予每一个物理以一个矩阵,它们的代数运算规则与经典物理量不相同,遵守乘法不可对易的代数。
高中量子力学试题及答案
高中量子力学试题及答案1. 量子力学的基本原理是什么?答案:量子力学的基本原理包括波粒二象性、不确定性原理、量子态的叠加原理和量子纠缠等。
2. 描述海森堡不确定性原理。
答案:海森堡不确定性原理指出,粒子的位置和动量不能同时被精确测量,其不确定性的关系由公式ΔxΔp ≥ ħ/2表示,其中Δx是位置的不确定性,Δp是动量的不确定性,ħ是约化普朗克常数。
3. 什么是量子态的叠加原理?答案:量子态的叠加原理指的是一个量子系统可以同时处于多个可能状态的叠加,这些状态的线性组合构成了系统的完整描述。
4. 简述波函数的物理意义。
答案:波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数,它包含了关于粒子的所有可能信息,如位置、动量等。
波函数的绝对值的平方给出了粒子在特定位置被发现的概率密度。
5. 什么是量子纠缠?答案:量子纠缠是量子力学中的一种现象,指的是两个或多个量子系统之间存在一种特殊的关联,即使它们相隔很远,一个系统的状态改变会立即影响到另一个系统的状态。
6. 描述薛定谔的猫思想实验。
答案:薛定谔的猫思想实验是一个关于量子叠加状态的经典比喻,实验中,一个猫被放置在一个盒子里,盒子内有一个放射性原子、一个盖革计数器、一个锤子和一个毒气瓶。
如果原子衰变,盖革计数器会触发锤子打碎毒气瓶,猫就会死亡。
在没有观察之前,猫的状态是既死又活的叠加态,只有当盒子被打开观察时,猫的状态才会塌缩为确定的死或活。
7. 什么是量子隧穿效应?答案:量子隧穿效应是指粒子能够穿越一个经典物理中不可能穿越的势垒。
这种现象在量子力学中是可能的,因为粒子的波函数在势垒的另一侧并不完全为零,这意味着存在一定的概率粒子能够出现在势垒的另一侧。
8. 简述量子力学中的波函数坍缩。
答案:波函数坍缩是指在量子力学中,当一个量子系统被测量时,系统的波函数会从一个叠加态突然转变为一个特定的状态,这个过程是随机的,并且与测量过程有关。
9. 什么是泡利不相容原理?答案:泡利不相容原理指出,在同一个量子系统中,两个相同的费米子(如电子)不能处于同一个量子态。
量子力学期末复习
e 1 2 [ n n | n 1 n 1 n | n 1 ]
0
x 1 2 [aˆ aˆ ]
aˆ | n n | n 1
aˆ | n n 1 | n 1
6、表象变换
1
7、近似方法的应用(微扰、变分)
8、电子体系考虑自旋时的态函数、泡利算符
9、含时微扰(跃迁概率)
三、几个重要模型
1、一维无限深势阱(宽为 a、2a;对称、非对称)
2、线性谐振子
3、氢原子
相关的结论须记住!
4、双电子体系(不考虑自旋间的相互作用)
四、常见题型
1、薛定谔方程
2、算符理论
3、表象理论
(0)
(0)
En En 1
En En 1
e 2 2
2 2
由于势场不再具有空间反射对称性,所以波函数没
有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数ψn
时再加上沿x方向的较弱的磁场 = ( , , ),从而
= + = ( , , ),求 > 时粒子的自旋态,以
及测得自旋“向上”( =1)的几率。
解: (1)在 表象中,H的矩阵表示为:
ˆ
ˆ
ˆ
H m B
mˆ mB (ˆ x ex ˆ y ey ˆ z ez )
2
21
能量二级修正:
E n( 2 )
mn
2
1
2
|
e
[
n
n
1
]
高等量子力学知识总结
高等量子力学总结 理论物理 张四平 学号:220120922061第一章 希尔伯特空间1、矢量空间,同类的许多数学对象(实数,复数,数组)在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算:加法,数乘,内积。
例:θ+ψ=ψ+θ;ψ+θ=0 即:ψ=-θ(存在逆元)(ψa )b=ψ(ab )ψ(a+b )=ψa+ψb(ψ,θ)=(θ,ψ)*(ψ,θa )=(ψ,θ)a矢量的空间性质:零矢量唯一;逆元唯一;ψ(-1)=-ψ;(θ+ψx )=θx+ψx ;2、正交矢量:(ψ,θ)=0; 模方:|ψ||ψ|=(ψ,ψ);schwarts 不等式:|(ψ,ψ)|≤|ψ||ψ|;三角不等式:|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|;3、基矢n 维空间中有限个矢量集合;一个线性无关的矢量的集合(完全集);正交归一的完全集; 对于同一矢量,左右因子不同,dirac 符号:<ψ|θ>=(ψ,θ)右矢量满足:|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>;|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>;(|ψ>+|θ>)*a=|ψ>a+|θ>a<ψ|θ>≥0;4、算符:|ψ>=A|ψ>; A (|ψ>+|θ>)=A|ψ>+A|θ>;线性算符的性质:定义域是个右矢空间,值域也是个右矢空间;定义域是有限维,值域也是 小于等于这个维数;零算符:0|ψ>=|0>;单位算符:I |ψ>=|ψ>;算符:A|ψ>=|θ>;逆算符:A -1|θ>=|ψ>;<θ|=<A ψ|=<ψ|A+(A+为A 的伴算符);若A 有逆,则(A+)-1 =(A -1)+;5、等距算符:定义:U+U=I ;性质:U+U=I ;<U θ|U ψ>=<θ|ψ> ;|U ψ|=|ψ|;6、幺正算符:定义:U+U=UU+=I 或U+=U-1;投影算符:|ψ><ψ|(厄米算符);7、本证矢和本证值:A|ψi>=a|ψi> (i=1,...s ){|ψi>}(本证子空间,s 重简并);厄米算 符A 的本证矢量:不简并的正交,S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间,与其他的本证 矢量正交;完全性;正交性;定理:有限维空间中,厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集;定理:当且仅当两个厄米算符对易时,他们有一组共同的本证矢量完全集;8、表象理论:基矢:厄米算符完备组K={P ,H ,...,}.基矢选他们共同的本证矢,K|i>=ki|i>;相似变换:存在幺正矩阵U :B=U -1AU ,A ,B 相似.trA=trB ,detB=detU+detA ,detA=detB ;任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵;L 表象:{|εi>} ∑|εi><εi|=1K 表象:{|να>} ∑|να><να|=1|να>= ∑|εi>Ui α|εi>= ∑|να>U αi-1 Ψα = ∑U αi -1ψiΨi = ∑Ui α ψαA αβ=∑∑U αi -1AijUj βAij=∑∑Ui αA αβU βj -1第二章 量子力学基本原理1、基本原理:原理1:描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量,相差一个复数因子的两个矢 量描写同一状态.原理2:1.描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符.2.物理量所能取得值是相应 的本征值.3.物理量A 在状态|ψ>中取各值ai 的概率,与态矢量|ψ>安A 的归一化本证矢量 {|ai>}的展开式|ai>的系数复平方成正比.原理3.微观系统中的每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi (i=1.2.3)与相应正则动量有下 列对易关系:[Xi,Xj]=0 [Pi,Pj]=0[Xi,Pj]=i(h/2π)ζij而不同粒子间的所有算符均相互对易.原理4.微观状态|ψ(t)>随时间变化的规律是薛定谔方程.原理5.描写全同粒子系统的态矢量,对于任意一对粒子的对调,是对称的,或是反对称的, 服从前者的粒子是波色子,服从后者的粒子是费米子.2、哈密顿算符不显含时间t 是能量算符.|ψ(t)>=|ψ>f(t).H|ψi>=Ei|ψi>定态薛定谔方程能量值确定.态矢量为:|ψi(t)>=|i>exp (-iEit/h ).含时间的H 对应薛定谔方程的解为:|ψ(t)>=∑|i> Ci exp (-iEit/h ).为各定态矢量的叠加 .若已知初态|ψ0>=∑|i> Ci则 |ψ(t)>=∑|i><i|ψ0>exp (-iE0t/h ).第三章 量子力学的基本概念和方法1、一个电子具有自旋角动量S ,s 沿着空间中某一固定方向,只有两个可能的投影值:Sz=+ /2 或Sz=- /2;电子磁矩:u=-g (e/2mc )s电子在外磁场中B 中又相互作用能量:H=-u*B2、自旋的矩阵表示:Sz=+ /2 -> α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01 Sz=- /2 -> β=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 电子的自旋态:|ψ(t)>|ψ(t)>=C1(t)α+C2(t)β<ψ(t)|=C1*(t)α-1+C2*(t)β-1电子的自旋态只能有两个(朝上或朝下).3、相继stern-Gerlach 实验说明:一般的说,测量必定要改变微观客体状态,当加第二个装置 Gx 测量Sx 时,原来关于Sz 的信息消失,一个电子的自旋要么按Sx 分解,要么按Sz 分解,电子不能同时具有Sz 和Sx.4、pauli 矩阵算符ζx 和ζy 之间不对易,S=( /2)ζζx = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ζy = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00i i ζz = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 对易关系:ζ*ζ=ζ 或 S*S=S Sz=mz极化矢量:<ζ>=P=<ψ(t)|ζ|ψ(t)>P^2=Px^2+Py^2+Pz^2=1;<ζp >=Px<ζx>+Py<ζy>+Pz<ζz>;P 标志了自旋S 的指向;电子自旋的量子本质表现与P 矢量始终存在着起伏,用均方偏差度量:<(Δζj )^2> = <(ζj-ζi )^2> = 1-<ζj >^25、分离谱:A|α> =a|α>; <α|α’>=δαα’; ∑|α><α|=1;连续谱:ξ|ξ’>=ξ’|ξ’> ; <ξ|ξ’> = δ(ξ’-ξ’’); ⎰d ξ’|ξ’><ξ’| = 1;6、sxhrodinger 图景:态矢 |ψ(t)>含t ,基矢|x>不含t ;Heisenberg 图景:态矢 |ψ(t)>不含t ,基矢|x>含t ;一般:H=p^2/2m+V;<x|V|x ’> = V (x )<x|x ’> = V(x)δ(x-x ’);<x|p^2/2m|x ’> = ⎰dp<x|p>(p^2/2m)<p|x ’>态矢:跟表象无关,跟图景有关;包函数:与表象有关,与图景无关(此为态矢在基矢上的投影);7、基态|0>:基态波函数:ψ0(x ) = <x|0>;第一激发态|1> = a+|0>: ψ1(x ) = <x ’|1>;第n 激发态: ψn (x ) = <x ’|n>;8、<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ 1/4|<[A,B]>|^2 ;对于任意的态矢:|α>=ΔA|>|β>=ΔB|>;<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ |(ΔA ,ΔB )|^2;9、谐振子不确定关系:基态:<(Δx^2)><(Δp^2)> = ^2/4;激发态: <(Δx^2)><(Δp^2)> =(n+1/2)^2 ^2;10、相干态:也是谐振子的量子态与经典粒子运动最为接近.相干态不是N 的本正态,但有确定的粒子数;不同本证值的相干态一般不正交;虽不正交,但有完备性;全部的相干态,过完备性;11、压缩态:算符:S(r)为幺正算符;在正则变换下:保持了对易关系:[b,b+]=[a,a+]=1;真空态:|0,r>= S(r)|0>;一般压缩态:|z,r>= D (z )S (r )|0>;12、经典力学到量子力学:薛定谔表述形成(波动力学),重视描述粒子的波粒二象性运动的波函数,服从薛定谔方程;heisenberg 矩阵力学,重视可观测量,算符;dirac 和feyman 路径积分,着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系,重视传播函数 或传播子的作用.基本思想:一个粒子在某一时刻的运动情况决定于他们的过去或一切历史;在复z 平面上,半经为1/2的圆,面积为1*pi/4,相干态;在复z 平面上的椭圆,面积1*pi/4 测量精度在I 上提高了,在另一个方向降低了,压缩态;第四章 对称性和角动量1、力学量成算符:{A,B}--->1/i [A,B];[F ,H]--->F 为守恒量;F 的一个守恒性必与体系的不可观测量的对称性变换直接联系;定态间的跃迁定则;分离对 称性;每个定态波函数必有严格的对称性;无限自由度的量子场论:H 中某一连续对称性在 真空有破坏,真空存在简并,但实际上对称也存在,表现为一个无质量的标量粒子; 2、F (r ,p )的平均值:<F> = <ψ(r)|F |ψ(r)>;3、态的无限小转动:自旋为零:|ψ’(r)> = |ψ(R -1r)>=ψ(x+y δθ,y-x δθ,z )R(n,δθ) = 1-i δθ*L*n/ ; L 是标量场无穷小生成元;自旋为1/2的粒子波函数:波函数为二分量的旋量:1/2)(x (x1/2)(r)(r)(r)-ϕ+ϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕϕ=φ2121; Φ’(r)=(1-i δθ( /2ζz+Lz ))Φ(r)/转动算符:(1-i δθ( /2ζz+Lz ))/ ;任意轴:R (n ,δθ)= 1-(i δθ/ )n (( /2)δ+I );粒子的总角动量:J= /2δ+L ,J 是旋量场的无限小生成元;4、角动量算符的一般性质:j^2=jx^2+jy^2+jz^2;[j^2,ji] = 0;[jz,j]=i j;[j+,j-] = 2 jz;5、标量算符:F=RFR -1 -- 转动不变;6、若态|ψ>在Rz 的作用下不变,则Rz|ψ> = exp (-i δ)|ψ>;假定体系在变换Q 下具有对称性,|ψ>=Q|ψ>,则保持几率不变,运动规律不变; 总之:量子力学中一个不可观测量的对称性变换往往联系于一个可观测量的守恒性;7、将体系沿x 轴平移一无限小距离,体系具有平移不变性:[Px (ε),H] = 0;ψ’(x) = Dx (ε)ψ(x)=ψ(x-ε);体系沿时间平移一无限小量η:|ψ’(t)> = D (η)|ψ(x)>=|ψ(t+η)>;ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt);8、本证态:ψ(-x ) = ψ(x ) 偶宇称态ψ(-x ) = -ψ(x ) 奇宇称态宇称本征值:pi=(-1)l变换方式:主动式:坐标系不动,算符动;被动式,算符不动,坐标系反向;P*X ---> 标量P*S ---> 赝标量9、支配运动的H 在空间反演中是标量,可能含有的项是:P^2,L*S,P*X ;不可有的项:P*S(赝标量);宇称守恒在强相互作用下,电磁相互作用中有充分的实验支持;则在弱相互作用下有赝标量项,宇称不再守恒;原子核自旋S 在低温下沿外磁场固定方向排列,测量这种“极化核”β衰变时放出电子对S 方向存在一定角分布;10、实算符,时间反演不变:THT -1=T -1 TXT -1=X ;虚算符:TPT -1= - P TJT -1= - J ;第五章 量子力学中的相位1、经典物理中:H ,A, θ(四维矢量),代替E,B (二阶反对称张量);量子物理中:A, θ,代替E,B 为本质上的需求;规范变换: A ’=A + ▽Λ(x );若要要求薛定谔方程在此变换下不变,否则物理规律就变了,就要求波函数做相应变化: Ψ’(x )= Ψ(x )exp[Λ(x )iq/ c ];薛定谔方程在定域规范变化下的不变性,是一种对称性,根据波函数的几率解释,这一变换 不影响可观测量;2、A--B 效应--->A 比B 更基本;因为表达了量子力学的相位差;确切的说不是相位, 而是相位因子: )dx A cie (⎰-μμ exp ; 才为描述电磁场最恰当的量,在物理上既不丢失信息,也不会附加非物理(不确定)信息, 称此因子为规范场的不可积相位因子. 在磁场中:总的波函数:)'x )d 'x (A exp()'x ()'x (c ie (0)1→→→→→⎰+ϕ=ϕ ,相位差改变了φc e , 称:φ=ce AB S (AB 相); 在电场中:总的波函数:t)(x,)dt't)),x (A -)t x,(A (cic -exp(t),x (t),x ((0)20102(0)1ϕ⎰+ϕ=ϕ→→→→ , φ=ce AB S --- 规范不变 AB 相不依赖于速度等力学量,属于几何相,也是拓扑相;3、在超导体圆柱磁通量是量子化的,且磁通量的值为e 2c ,后来,N.Byers 和杨指出这是超导 体内形成copper 对的结果;copper 对波函数是单值的,有: n 2s d s ⋅π=⋅∇⎰→Γ,即相角沿Γ走一圈回到原处,值只能变化n 2π.4、Berry 相:量子力学的量可分为两类:随时间变化的快变量;随时间变化的慢变量; 方法:现将慢变量固定,解决快变量,然后让慢变量变化,得到正确的解; e )(i (t)t 0n (t)R n,|))dt'(t'i -(ν→>⎰ε=ϕexp t 其中,e i (t)ν为Berry 相因子;。
大学物理易考知识点量子力学的基本概念和理论
大学物理易考知识点量子力学的基本概念和理论量子力学(Quantum mechanics)是研究微观领域中物质和辐射的行为的物理学理论,也是现代物理学的基石之一。
量子力学的基本概念和理论涵盖了很多方面,本文将介绍大学物理易考的量子力学知识点,帮助读者更好地理解相关内容。
一、波粒二象性(Wave-particle duality)波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质,也具有波动性质。
在量子力学中,粒子的行为既可以用粒子模型解释,也可以用波动模型解释。
这一概念首先由德布罗意(Louis de Broglie)提出,并在实验中得到了验证。
1. 德布罗意假设德布罗意提出,与粒子相对应的波动特性可以用波长(也称为德布罗意波长)来描述,其公式为λ = h/p,其中λ 是波长,h 是普朗克常量,p 是粒子的动量。
这一假设为量子力学奠定了基础。
2. 实验验证实验中,例如双缝干涉实验和扫描隧道显微镜实验,通过观察到物质波的干涉和衍射现象,验证了波粒二象性的存在。
这些实验结果对量子力学的发展产生了深远的影响。
二、波函数和薛定谔方程(Wave function and Schrödinger equation)波函数是量子力学中用来描述粒子状态的数学函数。
在波函数的框架下,薛定谔方程描述了波函数随时间的演化规律,是量子力学的基本方程之一。
1. 波函数的概念波函数用Ψ 表示,其表示了粒子在空间中的分布。
波函数的模长的平方|Ψ|^2 表示了粒子在某个位置被观测到的概率密度。
2. 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学体系演化的基本方程,可以写作HΨ = EΨ,其中 H 是哈密顿算符,Ψ 是波函数,E 是体系的能量。
薛定谔方程将量子力学问题转化为一个本征值问题,解这个方程可以得到体系的能级和波函数。
三、量子力学的观测和不确定性原理(Observation and uncertainty principle)量子力学中的观测和不确定性原理是描述微观领域的探测和测量所面临的限制。
量子力学复习提纲.doc
量子力学复习提纲.doc量子力学复习提纲一、简答题1、什么是黑体?答:在任何温度下,对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
2、简述光的波粒二象性。
答:吸收、发射以微粒形式,传播 c 。
描述波动性的力学量λν,与描述粒子的力学量p E ,之间的联系为νh E =,λhp =。
3、试简述Bohr 的量子理论。
答:(1)定态假设:电子只能在一组特殊的轨道上运动,在这组轨道上电子处于稳定状态,简称定态。
(2)频率条件:当电子从一个定态跃迁到另一个定态时,吸收或发射的辐射频率满足:νh E E n m =- 。
(3)量子化条件:电子在轨道上运动时,其角动量必须是h 的整数倍。
4、简述德布罗意假设。
答:具有能量E 和动量P 的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。
νh E =,λhp =。
5、粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短?答:由基本假设ph =λ,波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。
6、波函数模的平方()2,t r ψ的物理意义是什么?答:()2,t r ψ表示在t 时刻r 点附近单位体积中粒子出现的概率,即概率密度。
7、按照波函数的统计解释,试给出波函数应满足的条件。
答:波函数应满足的条件是:连续,有限,单值。
8、简述态叠加原理。
答:若n ψψψ,,,21 是体系的可能状态,则n n C C C ψψψψ+++= 2211也是体系的可能状态。
这一结论称为态叠加原理。
9.何谓定态?答:能量具有确定值的状态称为定态。
它用定态波函数()()iEte r t r -=ψψ,描写。
10、简述定态的特性。
答:定态的特性有:①能量具有确定值。
②几率密度及几率流密度不随t 变化。
③任何力学量(不含t )的平均值不随t 变化。
④任何力学量(不含t )取各种可能测量值的几率分布不随t 变化。
11、简要解释一维线性谐振子的零点能。
答:一维线性谐振子的零点能为ω 210=E ,它是谐振子基态的能量,是一种量子效应,是测不准关系所要求的最小能量,是粒子具有波粒二象性的具体体现,谐振子永远不会静止。
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1、黑体辐射:任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。
物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。
如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射,即吸收系数为1时,则称这个物体为黑体。
光子可以被物质发射和吸收。
黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。
2、光电效应(条件):当光子照射到金属的表面上时,能量为hv的光子被电子吸收。
12mv2=ℎv−W0临界频率v0满足v0=W0ℎ⁄(1)存在临界频率v0,当入射光的频率v<v0时,无论光的强度多大,都无光电子逸出。
只有在v≥v0时,即使光的强度较弱,但只要光照到金属表面上,几乎在10-9s的极短时间内,就能观测到光电子;(2)出射的光电子的能量只与入射光的频率v有关,而与入射光的强度无关;(3)入射光的强度只影响光电流的强弱,即只影响在单位时间内由单位面积上逸出的光电子的数目。
3、由于光子以光速运动,根据狭义相对论的质能关系式有ε2=m02c4+p2c2C是光速,m0是光子的静质量,为零,因此得到光子的能量和动量的关系是ε=cp4、康普顿效应的推导(P7):康普顿效应还证实:在微观的单个碰撞事件中,能量守恒定律和动量守恒定律仍然成立。
5、薛定谔方程:iℎðφðt=−ℎ22m∇2φ+Uφ6、概率流守恒定律∂w∂t+∇∙J=0概率流密度J=−iℎ2m(φ∗∇φ−φ∇φ∗)7、一维无限深势阱(P31)8、束缚态:粒子只能束缚在空间的有限区域,在无穷远处波函数为零的状态。
一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。
从(2.4.6)式还可证明,当n分别是奇数和偶数时,满足{φn(−x)=φn(x)(n为奇数)φn(−x)=−φn(x)(n为偶数)即n是奇数时,波函数是x的偶函数,我们称这时的波函数具有偶宇称;当n是偶数时,波函数是x的奇函数,我们称这时的波函数具有奇宇称。
9、谐振子(P35)(−ℎ22md2dx2+12mω2x2)φ(x)=Eφ(x)10、在量子力学中,常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数,或者说,多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并,而把对应的本征函数的个数称为简并度。
但对一维非奇性势的薛定谔方程,可以证明一个能量本征值对应一个束缚态,无简并。
11、半壁无限高(P51例2)12、玻尔磁子μB≡eℎ2m e c=9.274×10−24A∙m213、算符ÂB̂≠B̂Â对易子[Â,B̂]≡ÂB̂−B̂ÂL̂×L̂=iℎL̂厄米共轭算符Ô+=Ỗ∗厄米算符:若Ô+=Ô,则称算符Ô为自厄米共轭算符,简称厄米算符性质:(1)两厄米算符之和仍为厄米算符(2)当且仅当两厄米算符Â和B̂对易时,它们之积才为厄米算符,因为(ÂB̂)+=B̂+Â+=B̂Â只在[Â,B̂]=0时,B̂Â=ÂB̂,才有(ÂB̂)+=ÂB̂,即ÂB̂仍为厄米算符(3)无论厄米算符Â,B̂是否对易,算符12(ÂB̂+B̂Â)及12i(ÂB̂−B̂Â)必为厄米算符14、(1)力学量有确定值的条件〈(∆F)2〉=0的充要条件是(F̂−〈F〉)φ=0,即F̂φ=〈F〉φ当且仅当φ是力学量F̂的本征态时,在F̂的本征态φ中测得F̂才有确定值,而且这个确定值就是F̂在这个态的平均值。
(2)不同力学量同时有确定值得条件(F̂Ĝ−ĜF̂)φ=0φ必须是F̂和Ĝ的共同本征函数。
15、不确定性原理(P109)16、运动积分:若算符F̂对时间的全微商为零dF̂=0dt则称算符F̂所表示的力学量为运动积分。
运动积分在任一态中的平均值都不随时间而变化,是守恒量。
17、幺正算符P̂−1=P̂+18、对称性和守恒量:例如,时间平移不变性,对应能量守恒,意味着时间的原点不可观测;空间平移不变性,对应动量守恒,意味着空间的绝对位置不可观测;空间旋转不变性,对应角动量守恒,意味着空间的绝对方向不可观测,等等。
19、习题3.2习题3.4(2)20、在量子力学中,态和力学量的具体表述方式称为表象。
为表述态和算符,需要在希尔伯特空间中选定一组基底,这组基底应该是正交、归一、完备的。
厄米算符的本征函数系具有正交、归一、完备、封闭性。
21、幺正矩阵S+=S−1幺正变换不改变算符的本征值矩阵F的阵迹在幺正变换下不变22、算符n̂=â+â称为粒子数算符;â+称为产生算符â称为湮没算符23、微扰(P180例1)24、泡利矩阵(P234)25、塞曼效应E nlm=E nl+eB2m e cmℎ加上外磁场后,对m的2l+1度简并被消除,原来的E nl能级分裂为2l+1条能级,相邻两个能级之间的间隔是ℎωL=ℎeB2m e c ,ωL=eB2m e c称为拉摩频率。
光谱线在外磁场中的分裂的现象称为塞曼效应。
在强磁场下,不考虑自旋轨道耦合,原子光谱发生分裂的现象称为简单塞曼效应或正常塞曼效应。
在磁场较弱时,要考虑电子的自旋轨道耦合能的贡献,这时原子光谱线的分裂现象,称为反常塞曼效应或一般塞曼效应。
26、在量子力学中,如果在散射过程中两粒子之间只有动能交换,粒子内部运动状态并无改变,则这种散射过程称为弹性散射。
如果在散射过程中粒子内部运动状态有所改变,例如激发、电离等等,则称为非弹性散射。
入射粒子受A的作用而偏离原来的运动方向,发生散射,角θ为散射粒子的方向与入射粒子方向间的夹角,称为散射角(P295)27、称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内禀固有属性完全相同的粒子为全同粒子。
例如所有的电子是全同粒子,所有质子是全同粒子,但质子和电子不是全同粒子。
全同粒子在量子力学中是不可区分的。
不能说哪个是第一个粒子,哪个是第二个粒子。
全同粒子的不可区分性,在量子力学中称为全同性原理。
28、由电子、质子、中子这些自旋为h/2的粒子以及其他自旋为h/2的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系,它的波函数是反对称性的。
这些自旋为h/2的奇数倍的粒子称为费米子。
在量子统计中,由费米子组成的体系服从费米—狄拉克统计。
由光子、介子等自旋为h的偶数倍的粒子组成的全同粒子体系,它的波函数是对称的。
这些自旋为h/2的偶数倍或h整数倍的粒子称为玻色子。
在量子统计中,由玻色子组成的体系服从玻色—爱因斯坦统计。
如果有两个或两个以上的粒子的状态相同,则由于行列式中有两行或两行以上相同,这个行列式必为零。
这表示不能有两个或两个以上的全同费米子处在同一个状态,这个结果称为泡利不相容原理。
29、二次量子化用粒子数表象来讨论多体问题的方法,就是二次量子化方法。
将力学量,如动量、角动量等用算符表示,进行量子化,也就是通常所说的一次量子化。
现在,又将波函数、动力学方程的解量子化,这些动力学方程的解一般都描写场,将波函数量子化实质上就是将场量子化,从而有可能发展为量子场论。
对比于力学量的量子化,波函数的量子化也称为二次量子化。
30、物质在温度低于某一临界温度T c时,电阻突然消失的现象称为超导电性。
31、1938年,卡比查等人发现,如果让液H eⅡ流过一个直径约为10-5cm至10-4cm 的毛细管,在流速小于某一个临界速度v m时,H eⅡ在流动过程中不出现粘滞性,粘滞系数近似为零,这种现象称为超流动性。
另外,实验还发现,处在超流态下的液H eⅡ,它热传导系数差不多等于无限大,具有超热导性。
32、克莱因—戈尔登方程(∇2φ−1c2ð2φðt2)−m2c2ℎ2φ=033、狄拉克方程由于iℎðφðt=HφE=√c2p2+m2c4形式上写成cα∙p+βmc2,式中α,β均与坐标、动量无关,于是iℎðφðt=Hφ=[−iℎcα∙∇+βmc2]φ这里的α,β是两个算符,不可能是常数。
34、电子存在负能态,为了克服跃迁到负能态的困难,狄拉克提出“空穴”理论。
假定在真空状态下,所有负能态都已被电子填满,根据泡利不相容原理,在真空中运动的能量为正的电子不可能跃迁到负能态中去,这种被填满的负能态称为费米海。
在负能态中的电子,它的能量和动量是不能观测的,只有从费米海中移去一个或多个电子时才会产生克观测的效应。
例如,如果由于某种外来作用,把负能态中的一个电子激发到正能态,从而使得负能态中出现一个空穴(类似于某种具有正能量的东西),这是因为,原来在负能态中的电子,能量为-E p<0,质量为-m<0,电荷为-e<0,当它激发到正能态后,负能态中便减少了上述能量、质量和电荷,出现了一个空穴,空穴的能量为+E p>0,质量为+m>0,电荷为+e>0,这种空穴狄拉克称为正电子。