华东师大版八年级数学上册-第13章-全等三角形-全等三角形问题中常见的辅助线的作法-专题检测题-含答

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八年级数学上册第13章全等三角形13.4尺规作图第1课时作一条线段等于已知线段与作一角等于已知角华东师大版

八年级数学上册第13章全等三角形13.4尺规作图第1课时作一条线段等于已知线段与作一角等于已知角华东师大版
第13章 全等三角形
13.4 尺规作图
第1课时 作一条线段等于已知线段与作一个角等于已知角
知识点❶ 尺规作图
1.尺规作图是指( C)
A.用直尺规范作图 B.用刻度尺和圆规作图 C.用没有刻度的直尺和圆规作图 D.直尺和圆规是作图工具
知识点❷ 作一条线段等于已知线段
2.如图,已知线段a,b(a>b),作一条线段AD,使它等于2a-b,正确的
A.延长线段AB至点C,使AC=AB B.以点O为圆心作弧 C.以点O为圆心,以AC的长为半径作弧 D.在射线OA上截取OB=a,BC=b,则有OC=a+b
8.(随州中考)如图,用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为 圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA,OB于点E,F,那么第二步的
作图痕迹②的作法是( D )
13.如图,已知线段a及∠O,只用直尺和圆规,求作△ABC,使BC=a, ∠B=∠O,∠C=2∠B.(保留作图痕迹,不写作法)
解:如图
10.如图,已知线段a,c和∠α,求作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC
=∠α,根据作图在下面空格填上适当的文字或字母. (1)如图①所示,作∠MBN=___∠__α_; (2)如图②所示,在射线BM上截取BC=___a,在射线BN上截取BA=__;c (3)连结AC,如图③所示,△ABC就是_____所__要__求__作__的__三__角__形_.
解:作法:(1)作射线OM;(2)在OM上顺次截取OH=HF=AB;(3)在线段 OF上顺次截取OG=GE=CD,则线段EF就是所要求作的线段
知识点❸ 作一个角等于已知角
5.用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出△C′O′D′≌△COD的
依据是(
)

八年级数学上第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理2线段的垂直平分线授课课华东师大

八年级数学上第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理2线段的垂直平分线授课课华东师大

1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11 2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于 独立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐,提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
又∵E是AC上一点,
∴BE=DE.
(2)在△ABE和△ADE中,
∵AB=AD,BE=DE,AE=AE,
∴△ABE≌△ADE,
∴∠ABE=∠ADE.
总结
知2-讲
证明两条线段或两个角相等 常用方法: 1. 通过证明两条线段所在的 三角形全等; 2. 用线段垂直平分线的性质 证明两条线段相等; 3. 用轴对称图形的对应元素 证明 .
总结
知1-讲
利用线段垂直平分线的性质得出边相等,从而 得出三角形全等,再利用全等三角形中对应角相等 确定∠DCA的度数,根据角度差解决问题.
知1-练
1 (中考·义乌)如图,直线CD是线段AB的垂直平分线, P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB 的长度为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
知2-讲
总结
知2-讲
判断线段垂直平分线的两种方法: 一是定义法,二是判定定理 . 一般习惯用定义法 进 行判断,而利用判定定理 判断更简单 . 用判定定理判 定一条直线是线段的垂直平分线时,一定要证明直线上 有两点到线段两个端点的距离相等 .

第13章 全等三角形(单元小结)八年级数学上册(华东师大版)

第13章 全等三角形(单元小结)八年级数学上册(华东师大版)
等,如“如果两直线平行”叙述不完整,也不是命题.
2.命题的组成
每个命题都是由 条件 和 结论 两部分组成的.
条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题一般
写成“如果……,那么……”的形式,“如果”引出的部分是条
件,“那么”引出的部分是结论.
单元小结
3.命题的真假
命题有真有假,其中正确的命题叫做 真命题 ;错误的命题叫
∴∠F=
=
°−∠

°−°

=65°.
B
单元小结
针对训练
1、已知:如图, AB=AE ,AC=AD,∠BAE=∠CAD .求证:
BC=ED.
D
B
证明:∵∠BAE=∠CAD,
∴ ∠ = ∠
在△ABC和△AEDLeabharlann , = ∠ = ∠
=
∴△ ≌△ ,
单元小结
针对训练
1、如图,△ABC≌△DEC,点A和点D是对应顶点,点B和点E是对应
顶点,过点A作AF⊥CD ,垂足为点F,若∠BCE=65°,则∠CAF的
度数为( B)
A.30°
B.25°
A
E
B
C
F
D
C.35°
解:∵△ABC≌△DEC,
∴∠ACB=∠DCE,
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE,
已知一边为角找夹角的另一边S.A.S.
边一角
找夹边的另一角A.S.A.
的邻边找边的对角A.A.S.

找夹边A.S.A.
已知两角 找任一边A.A.S.
找夹角S.A.S.
已知两边找直角H.L.
找另一边S.S.S.


八年级数学上第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理授课课华东师大

八年级数学上第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理1互逆命题与互逆定理授课课华东师大
形是四边形.
知2-讲
总结
判断一个定理是否有逆定理的方法:先把定理作为 命题,写出它的逆命题,然后判断其逆命题是否正 确, 如果不正确,举一个反例即可,如果是真命题,加 以证 明即可判断原定理有逆定理.
1 下列定理中,没有逆定理的是( ) A.两直线平行,同旁内角互补 B.全等三角形的对应角相等 C.直角三角形的两个锐角互余 D.两内角相等的三角形是等腰三角形
谢谢观赏
You made my day!
我们,还在路上……
题就
知1-讲
例1 判断下列命题的真假,写出逆命题,并判断逆命 题的真假:
(1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点; (2)如果a>b,那么a2>b2; (3)如果两个数互为相反数,那么它们的和为零; (4)如果ab<0,那么a>0,b<0. 导引:根据题目要求,先判断原命题的真假,再将原命 题的条件和结论部分互换,写出原命题的逆命 题,最后判断逆命题的真假.
知2-练
1.每一个命题都有逆命题,只要将原命题的条件 改成结论,并将结论改成条件,就可以得到原命 题的 逆命题.但原命题的真假与逆命题是否为真命题 没有 丝毫关系. 2.每个定理都有逆命题,但每个定理不一定都有 逆定理,只有当定理的逆命题经过证明是正确的, 才
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11 2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于 独立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐,提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11

【精编版】华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解

【精编版】华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解

全等三角形判定一(SAS,ASA ,AAS )(基础)【学习目标】1.理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”,判定方法2——“角边角”,判定方法3——“角角边”;能运用它们判定两个三角形全等.2.能把证明角相等或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边”1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ”).要点诠释:如图,如果AB = ''A B ,∠A =∠'A ,AC = ''A C ,则△ABC ≌△'''A B C . 注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.如图,△ABC 与△ABD 中,AB =AB ,AC =AD ,∠B =∠B ,但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”). 要点诠释:如图,如果∠A =∠'A ,AB =''A B ,∠B =∠'B ,则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)要点诠释:由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图,在△ABC和△ADE中,如果DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A,但△ABC和△ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等;2.可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;3.由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;4.如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、(2016•泉州)如图,△ABC、△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB上.求证:△CDA≌△CEB.【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD,BC=AC,再利用全等三角形的判定证明即可.【答案与解析】证明:∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴CE=CD,BC=AC,∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE,∴∠ECB=∠DCA,在△CDA与△CEB中,∴△CDA ≌△CEB .【总结升华】本题考查了全等三角形的判定,熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键,同时注意证明角等的方法之一:利用等式的性质,等量加等量,还是等量.2、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 (A 、B 、D 三点共线,AB =CB ,EB =DB ,∠ABC =∠EBD =90°),连接AE 、CD ,试确定AE 与CD 的位置与数量关系,并证明你的结论.【答案】AE =CD ,并且AE ⊥CD证明:延长AE 交CD 于F ,∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB =BC ,BD =BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD (SAS )∴AE =CD ,∠1=∠2又∵∠1+∠3=90°,∠3=∠4(对顶角相等)∴∠2+∠4=90°,即∠AFC =90°∴AE ⊥CD【总结升华】通过观察,我们也可以把△CBD 看作是由△ABE 绕着B 点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三:【变式】已知:如图,PC ⊥AC ,PB ⊥AB ,AP 平分∠BAC ,且AB =AC ,点Q 在PA 上,求证:QC =QB【答案】证明:∵ AP 平分∠BAC∴∠BAP =∠CAP在△ABQ 与△ACQ 中∵∴△ABQ ≌△ACQ(SAS)∴ QC =QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂:379110 全等三角形判定二,例5】3、已知:如图,E ,F 在AC 上,AD ∥CB 且AD =CB ,∠D =∠B .求证:AE =CF .【答案与解析】证明:∵AD ∥CB∴∠A =∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE (ASA )∴AF =CE ,AF +EF =CE +EF故得:AE =CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形;(2)证明这两个三角形全等;(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.举一反三:【变式】如图,已知AE=CF ,∠AFD=∠CEB,AD∥BC,求证:△ADF≌△CBE.【答案】证明:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF ,即AF=CE ;∵AD∥BC,∴∠A=∠C;在△ADF 与△CBE 中,,∴△ADF≌△CB E (ASA ).类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂:379110 全等三角形的判定二,例6】4、已知:如图,AB ⊥AE ,AD ⊥AC ,∠E =∠B ,DE =CB .求证:AD =AC .【思路点拨】要证AC =AD ,就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明:∵AB ⊥AE ,AD ⊥AC ,∴∠CAD =∠BAE =90°∴∠CAD +∠DAB =∠BAE +∠DAB ,即∠BAC =∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD (AAS )∴AC =AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.举一反三:【变式】如图,AD 是△ABC 的中线,过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证:BE =CF.【答案】证明:∵AD 为△ABC 的中线∴BD =CD∵BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,∴∠BED =∠CFD =90°,在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(对顶角相等) ∴△BED ≌△CFD (AAS )∴BE =CF5、已知:如图,AC 与BD 交于O 点,AB ∥DC ,AB =DC .(1)求证:AC 与BD 互相平分;(2)若过O 点作直线l ,分别交AB 、DC 于E 、F 两点,求证:OE =OF.【思路点拨】(1)证△ABO ≌△CDO ,得AO =OC ,BO =DO (2)证△AEO ≌△CFO 或△BEO ≌△DFO【答案与解析】证明:∵AB ∥DC∴∠A=∠C在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩==对顶角相等) AB=CD∴△ABO ≌△CDO (AAS )∴AO =CO ,BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩=AO=CO=对顶角相等) ∴△AEO ≌△CFO (ASA )∴OE =OF.【总结升华】证明线段相等,就是证明它们所在的两个三角形全等.利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用6、要测量河两岸相对两点A ,B 间的距离,先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ,使CD=BC ,再在过点D 的l 的垂线上取点E ,使A 、C 、E 三点在一条直线上,这时ED 的长就是A ,B 两点间的距离.你知道为什么吗?说说你的理由.【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等,根据全等三角形对应边相等可得AB=DE ,从而得解.【答案与解析】解:∵AB⊥l,CD⊥l,∴∠ABC=∠EDC=90°,在△ABC 和△EDC 中,,∴△ABC≌△EDC(ASA ),∴AB=DE,即ED 的长就是A ,B 两点间的距离.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用,解答本题的关键是借助两个三角形全等,寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.。

华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(七)添加辅助线构造全等三角形的六大技巧课件

华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(七)添加辅助线构造全等三角形的六大技巧课件

方法四 平行线法 5.如图1和图2,直线MN和线段AB相交于点O,∠1=∠2=45°. (1)如图1,试说明AB⊥BD. (2)如图2,如果AO=BO,试说明AC=BD.
图1
图2
证明 (1)∵∠1=∠2=45°,∴∠BOD=∠1=45°, ∴∠B=180°-45°-45°=90°,∴AB⊥BD. (2)过点B作BE∥AC交MN于E. ∴∠A=∠EBO. 又∵AO=BO,∠AOC=∠BOE, ∴△AOC≌△BOE(A.S.A.),∴AC=BE,∠ACO=∠BEO, 又∵∠1+∠ACO=180°,∠BED+∠BEO=180°, ∴∠BED=∠1,∵∠1=∠2,∴∠BED=∠2. ∴BD=BE,∴AC=BD.
∵AB=BM,∴△ABE≌△BMN(S.A.S.), ∴BE=MN,∴MN=2BD.
方法三 补形法 4.(2023河南南阳宛城期末)如图,已知∠BAC=90°,AB=AC,BD 是∠ABC的平分线,且CE⊥BD交BD的延长线于点E.若CE=2, 则线段BD的长为 4 .
解析 如图,延长CE与BA交于点F, ∵∠BAC=90°,CE⊥BE,∴∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,
7.如图所示,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分 ∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD.
证明 如图,在AC上取点F,使AF=AE,连结OF,
∵AD平分∠BAC,∴∠EAO=∠FAO,
AE AF,
在△AEO与△AFO中, EAO FAO,
AO AO,
∴△AEO≌△AFO(S.A.S.),∴∠AOE=∠AOF.
(2)证明:如图,连结BF,
∵AB=BC,点F是AC的中点,
∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=

华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形

华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形

03
全等三角形在几何图形 中的应用
利用全等三角形求线段长度
通过全等三角形的对应边相等 ,可以求出一些线段的长度。
在一些复杂的几何图形中,可 以通过构造全等三角形来简化 问题,进而求出所需线段的长 度。
利用全等三角形的性质,可以 通过已知条件推导出其他线段 的长度。
利用全等三角形求角度大小
通过全等三角形的对应角相等,可以求出一些角的大小。 在一些涉及到角度计算的几何问题中,可以通过构造全等三角形来简化计算过程。
过程中的细节和准确性避免出错。
06
章节小结与拓展延伸
知识点总结回顾
全等三角形的定义和性质
01
能够准确描述全等三角形的定义,理解全等三角形的对应边相
等、对应角相等的性质。
全等三角形的判定方法
02
掌握SSS、SAS、ASA、AAS和HL五种全等三角形的判定方法,
并能够灵活运用它们来解决实际问题。
全等三角形的应用
全等三角形的对应边上的中线 相等。
全等三角形的判定方法
ASA(角边角)
SAS(边角边)
两边和它们的夹角对应相等的两 个三角形全等。
两角和它们的夹边对应相等的两 个三角形全等。
AAS(角角边)
两角和其中一个角的对边对应相 等的两个三角形全等。
SSS(边边边)
三边对应相等的两个三角形全等 。
HL(斜边、直角边)
直角三角形全等的判定
判定方法一
判定方法二
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等(HL)。
两个锐角对应相等的两个直角三角形,若 斜边相等,则这两个直角三角形全等。
判定方法三
注意事项
两个锐角对应相等的两个直角三角形,若 一条直角边相等,则这两个直角三角形全 等。

华东师大版八年级数学上册上课课件 第13章 全等三角形 命题、定理与证明 定理与证明

华东师大版八年级数学上册上课课件 第13章 全等三角形 命题、定理与证明 定理与证明

证明:∵AB∥CD (已知),
∴∠BEF=∠CFE (两直线平行,内错角相等).
∵EM 平分∠BEF,FN 平分∠EFC (已知),
∴∠2=
12∠BEF,∠1=
1 2
∠CFE(角平分线的定义).
∴∠1=∠2(等量代换).
∴EM ∥FN (内错角相等,两直线平行).
练习
1. 把下列定理改写成“如果……,那么……”的形式, 指出它们的条件和结论,并用演绎推理证明题(1) 所示的定理:
习题13.1
1. 判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题, 举一个反例加以说明: (1)两个锐角的和等于直角; (2)两条直线被第三条直线所截,同位角相等.
解: (1)假命题,例: 50°和20°是两锐角, 但50°+20°=70°≠ 90°. (2)假命题,例:如图,直线 AB、CD 被 EF 所截,但 AB 不平行于 CD ,此时,∠EMB≠∠END .
(2)如图所示,一位同学在画图时发现: 三角形三条 边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出 结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在 三角形的内部.他的结论正确吗?
(3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、 七边形等的内角和,得到一个结论: n 边形的内角和 等于 ( n -2) ×180°. 这个结论正确吗?是否有一个 多边形的内角和不满足这一规律?
课堂小结
基本事实
定义 常见的几条基本事实
定理与 证明
定理
定义 与基本事实的区别
证明
定义 证明的一般步骤
课后作业
1.从课后习题中选取; 2.完成练习册本课时的习题.
定理:
数学中,有些命题可以从基本事实或其他真命题出发, 用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以作为进一步 判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.

数学八年级上册第十三章专题练习五中常见辅助线的作法课件 华东师大版

数学八年级上册第十三章专题练习五中常见辅助线的作法课件 华东师大版
又∵在△ACE 中,AC+CE>AE,
∴AC+AB>2AD,即 AD<12 (AB+AC)
7.如图,在△ABC中,AB=4 cm,BC=6 cm,BD是AC边上的中线, 求BD的取值范围.
解:延长BD至点E,使DE=BD.连结CE,∵BD是AC边上的中线, ∴CD=AD.∵∠BDA=∠CDE,∴△BDA≌△EDC(SAS).∴CE=AB, 在△CBE中,BC-CE<BE<BC+CE, ∴2 cm<2BD<10 cm.∴1 cm<BD<5 cm
3.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB, BD,CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以证明.
解:BC=BE+CD,证明:在 BC 上截取 BF=BE,连结 OF. ∵BD 平分∠ABC,∴∠EBO=∠FBO.∴△EBO≌△FBO(SAS). ∴∠EOB=∠FOB.∵∠A=60°,BD,CE 分别平分∠ABC 和∠ACB, ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12 ∠ABC-12 ∠ACB=180°
解:过点 C 作 CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F.∵AE=12 (AB+AD),
∴AB+AD=2AE.∵AC 平分∠BAD,即∠DAC=∠CAB, 且 CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF.又∵AC=AC, ∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL).∴AF=AE.∴AB+AD=AE+AF. ∴AB-AE=AF-AD,即 BE=DF.∴Rt△CFD≌Rt△CEB(SAS). ∴∠ABC=∠CDF.∴∠ABC+∠ADC=∠CDF+∠ADC=180°
方法2:如图②延长AC到点F,使CF=CD,连结DF. ∵CF=CD,∴∠CDF=∠F. ∵∠ACB=∠CDF+∠F,∴∠ACB=2∠F. 又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠F.∴△ABD≌△AFD(AAS). ∴AB=AF.∴AB=AF=AC+CF=AC+CD

华东师大版八年级上册第十三章第二节三角形全等的判定(四)优秀教学案例

华东师大版八年级上册第十三章第二节三角形全等的判定(四)优秀教学案例
我重视小组合作的学习方式,将学生分成若干小组,让他们在小组内进行讨论、交流和合作。例如,在讲解三角形全等的判定方法时,我可以让学生小组内讨论并总结出判定方法。通过这样的小组合作,学生能够发挥团队合作精神,共同解决问题,提高他们的沟通能力和团队协作能力。
(四)反思与评价
我注重学生的反思与评价,让他们通过自己的思考,发现知识之间的联系,从而形成系统化的知识体系。例如,在讲解完三角形全等的判定方法后,我可以让学生进行反思,思考并评价自己所学的判定方法的应用场景和限制条件。通过这样的反思与评价,学生能够加深对知识的理解,提高他们的批判性思维能力。
(五)作业小结
在作业小结环节,我会布置一些具有挑战性的题目,让学生运用所学的三角形全等判定方法进行解决。我会要求学生在解题过程中,注意分析题目中的已知条件和所求目标,合理运用判定方法,并注重解答的简洁性和逻辑性。同时,我会鼓励学生在作业中尝试创新,发挥自己的聪明才智。通过这样的作业小结,学生能够巩固所学知识,提高他们的实际操作能力。
3.小组合作的学习方式:本案例鼓励学生进行小组合作,让学生在讨论和交流中共同解决问题。这种学习方式不仅提高了学生的团队合作能力,还促进了学生之间的知识共享和思维碰撞。
4.反思与评价的培养:本案例注重学生的反思与评价,让学生通过自己的思考发现知识之间的联系,形成系统化的知识体系。通过反思与评价,学生能够加深对知识的理解,提高批判性思维能力。
(三)学生小组讨论
在学生小组讨论环节,我会将学生分成若干小组,让他们在小组内探讨三角形全等的判定方法的应用场景和限制条件。我会引导学生从实际问题出发,运用所学知识进行分析、讨论和交流。例如,小组可以探讨在建筑设计、几何作图等领域中,三角形全等的判定方法如何应用。通过这样的小组讨论,学生能够发挥团队合作精神,提高他们的沟通能力和团队协作能力。

华东师大版八年级数学上册第13章《全等三角形》全章课件(共285张PPT)

华东师大版八年级数学上册第13章《全等三角形》全章课件(共285张PPT)

练习:将下列命题改写成“如果…那么…”
的形式,然后指出这个命题的题设和结论。
(1)同角的补角相等。 (2)两直线平行,同位角相等。 (3)在同一平面内,同垂直于第三条
直线的两直线平行。
分析命题“不相等的两个角不可能是对顶角” 条件: 两个角不相等
结论: 这两个角不可能是对顶角
改写成“如果……,那么……”的形式: 如果两个角不相等, 那么这两个角不可能是对顶角。
观察 2、下列各图中的两个三角形是全等形吗? 思考
A
D
B A
C
E
M C
F S
O
O
B
D
N
T
经过平移、旋转、翻折等位移变换
得到的三角形与原三角形全等。
1、能够完全重合的两个三角形,叫做
全等三角形。
A
D
B
CE
F
2、把两个全等的三角形重叠到一起时, 重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做 对应边,重合的角叫做对应角。
强调:
观察、猜想、度量、实验得 出的结论未必都正确;
一个命题的真假,常常需要 进行有理有据的推理才能作出正 确的判断,这个推理过程叫做命 题的证明.把经过证明的真命题 叫做定理.
巩固:
下列语句中哪些是命题?请判断其中命题 的真假,并说明理由。
(1)每单位面积所受到的压力叫做压强. (2)两个奇数的和是偶数. (3)两个无理数的乘积一定是无理数. (4)偶数一定是合数吗? (5)连结AB. (6)不相等的两个角不可能是对顶角.
3、全等三角形的表示法:
A
D
B
CE
F
表示图中的△ABC和△DEF全等:
记作△ABC≌△DEF, 读作△ABC全等于△DEF.
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华东师大版八年级数学上册 第13章 全等三角形 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 专题检测题
1.在△ABC 中,AB =8,AC =6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是( )
A .6<AD <8
B .2<AD <14
C .1<A
D <7 D .无法确定
2.如图,在△ABC 中,AD 为BC 上的中线,E 为AC 的一点,BE 与AD 交于点F ,若AE =EF.求证:AC =BF.
3.如图,在△ABC 中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 的中点,EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ,交AB 于点G .若BG =CF ,求证:AD 为△ABC 的角平分线.
4.如图,CE ,CB 分别是△ABC ,△ADC 的中线,且AB =AC.求证:CD =2CE.
5.如图,在△ABC 中,∠B =60°,∠BAC ,∠ACB 的平分线AD ,CE 交于点F ,试猜想AE ,CD ,AC 三条线段之间的数量关系,并加以证明.
6.已知:如图,ABCD 是正方形,∠FAD =∠FAE.求证:BE +DF =AE.
7.如图,△ABC 是边长为2的等边三角形,BD =CD ,∠BDC =120°,E ,F 分别在AB ,AC 上,且∠EDF =60°.
(1) 证明:BE +CF =EF ;
(2)求△AEF 的周长.
三、过角平分线上一点向角两边作垂线
8.如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,BD 平分∠ABC ,求证:AB =BC +CD.
9.如图,AB <BC ,BD 平分∠ABC ,AD =DC ,求证:∠BAD +∠BCD =180°.
10.如图,在△ABC 中,∠C =2∠B ,∠1=∠2,求证:AB =AC +CD.
11.如图,在△ABC 中,∠B =2∠C ,且AD ⊥BC 于D.求证:CD =AB +BD.
12.如图,在△DEF 中,DE =DF ,过EF 上一点A 作直线分别与DE ,DF 的延长线交于点B ,C ,且BE =CF.求证:AB =AC.
答案:
1. C
2.
证明:延长AD 至G ,使DG =AD ,连结BG ,
在△BDG 和△CDA 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧BD =CD ∠BDG =∠CDA DG =DA
, ∴△BDG ≌△CDA(,∴BG =AC ,∠CAD =∠G ,又∵AE =EF ,∴∠CAD =∠AFE ,又∠BFG =∠AFE ,∴∠CAD =∠BFG ,∴∠G =∠BFG ,∴BG =BF ,∴AC =BF
3.
延长FE ,截取EH =EG ,连结CH ,∵E 是BC 中点,∴BE =CE ,∴∠BEG =∠CEH ,在△BEG 和△CEH
中,⎩⎪⎨⎪⎧BE =CE ∠BEG =∠CEH GE =EH
,∴△BEG ≌△CEH(,∴∠BGE =∠H ,∴∠BGE =∠FGA =∠H ,∵BG =CH ,∵CF =BG ,∴CH =CF ,∴∠F =∠H =∠FGA ,∵EF ∥AD ,∴∠F =∠CAD ,∠BAD =∠FGA ,∴∠CAD =∠BAD ,∴AD 平分∠BAC
4.
证明:延长CE 到F ,使EF =CE ,连结FB.∵CE 是△ABC 的中线,∴AE =EB ,又∵∠AEC =∠BEF ,∴△AEC ≌△BEF(,∴∠A =∠EBF ,AC =FB.∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB ,∴∠CBD =∠A +∠ACB =∠EBF +∠ABC =∠CBF ,∵CB 是△ADC 的中线,∴AB =BD ,又∵AB =AC ,AC =FB ,∴FB =BD ,又∵CB =CB ,∴△CBF ≌△CBD(,∴CD =CF =CE +EF =2CE
5. 在CA 上取点G 使得CG =CD ,∵∠AFC =180°-12(∠BAC +∠ACB)=180°-12
(180°-60°)=120°,∴∠AFE =∠CFD =60°,∵在△GCF 和△DCF 中,⎩⎪⎨⎪⎧FC =FC ∠GCF =∠FCD CD =CG
,∴△GCF ≌△DCF(,∴∠GFC =∠CFD =60°,CD =CG.∴∠AFG =120°-60°=60°=∠AFE ,∵在△AEF 和△AGF 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE =∠AFG ∠EAF =∠GAF AF =AF
,∴△AEF ≌△AGF(,∴AE =AG ,∴AE +CD =AG +CG =AC 6.
延长CB 到G ,使BG =DF ,连结AG ,∵四边形ABCD 为正方形,∴AB =AD ,AB ∥CD ,∠D =∠ABC =90°,∴∠5=∠BAF =∠1+∠3,∠ABG =180°-∠ABC =90°,在△ABG 和△ADF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ∠ABG =∠ADF =90°,BG =DF
∴△ABG ≌△ADF(,∴∠G =∠5,∠1=∠2=∠4,∴∠G =∠5=∠1+∠3=∠4+∠3=∠EAG ,∴AE =GE =BE +GB =BE +DF
7.
(1)延长AB 到N ,使BN =CF ,连接DN ,∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC =∠ACB =60°,∵BD =CD ,∠BDC =120°,∴∠DBC =∠DCB =30°,∴∠ACD =∠ABD =30°+60°=90°=∠NBD ,∵在
△NBD 和△FCD 中,⎩⎪⎨⎪⎧BD =CD ∠NBD =∠FCD =90°,BN =CF
∴△NBD ≌△FCD(,∴DN =DF ,∠NDB =∠FDC ,∵∠
BDC =120°,∠EDF =60°,∴∠EDB +∠FDC =60°,∴∠EDB +∠BDN =60°,即∠EDF =∠EDN ,
在△EDN 和△EDF 中,⎩⎪⎨⎪⎧DE =DE ∠EDF =∠EDN DN =DF
,∴△EDN ≌△EDF(,∴EF =EN =BE +BN =BE +CF ,即BE
+CF =EF
(2)∵△ABC 是边长为2的等边三角形,∴AB =AC =2,∵BE +CF =EF ,∴△AEF 的周长为AE +EF +AF =AE +EB +FC +AF =AB +AC =4
8.
过点D 作DE ⊥AB 于点E ,∵BD 平分∠ABC ,
∴CD =DE ,在△BCD 与△BED 中,
⎩⎪⎨⎪⎧∠DBC =∠DBE ∠C =∠BED =90°BD =BD
,∴△BCD ≌△BED(,∴BC =BE , ∵△ABC 是等腰直角三角形,∴∠A =45°,∴△ADE 是等腰直角三角形,∴DE =AE =CD ,∴AB =BE +AE =BC +CD
9.
过点D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ,DF ⊥BC 于F ,∵BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB ,DF ⊥BC ,∴DE
=DF ,∠AED =∠CFD =90°,∵在△AED 和△CFD 中,⎩
⎪⎨⎪⎧AD =CD DE =DF ,∴△AED ≌△CFD(H .L .)∴∠DAE =∠BCD ,∵∠BAD +∠DAE =180°,∴∠BAD +∠BCD =180°
10.
方法1:在AB 上取AE =AC ,连接DE ,∵AE =AC ,∠1=∠2,且AD =AD ,∴△ACD ≌△AED(,∴ED =CD ,∠AED =∠C =2∠B ,又∵∠AED =∠B +∠BDE ,∴∠B =∠BDE ,∴EB =ED ,即△BED 为等腰三角形.∴BE =ED =CD ,∴AB =AE +EB =AC +CD.
方法2:延长AC 到E ,使CE =CD ,连接DE.则∠CDE =∠E ,∴∠ACB =∠CDE +∠E =2∠E ,∵∠ACB =2∠B ,∴∠B =∠E ,∵∠1=∠2,AD =AD ,∴△ABD ≌△AED ,∴AB =AE =AC +CD
11.
如图,在DC 上取DE =BD ,∵AD ⊥BC ,∴AB =AE ,∴∠B =∠AEB ,在△ACE 中,∠AEB =∠C +∠CAE ,又∵∠B =2∠C ,∴2∠C =∠C +∠CAE ,∴∠C =∠CAE ,∴AE =CE ,∴CD =CE +DE =AB +BD
12.
过B 作BG ∥CD ,交EF 于G ,∵BG ∥CD ,∴BG ∶DF =BE ∶DE ,∠AGB =∠AFC ,又∵DE =DF ,∴BG =BE ,又∵BE =CF ,∴BG =CF ,又∵∠GAB =∠FAC ,∴△ACF ≌△ABG ,∴AB =AC。

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