参数法功率谱估计
功率谱估计方法的比较
功率谱估计方法的比较功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域上的能量分布情况。
不同的功率谱估计方法适用于不同的信号特性和应用场景。
本文将对几种常见的功率谱估计方法进行比较，并讨论其适用性和优缺点。
主要涉及的方法包括周期图法、Welch法、半周期图法、高分辨功率谱估计方法以及非参数方法。
周期图法是最基本也是最简单的功率谱估计方法之一、它通过计算信号的自相关函数来获得功率谱。
周期图法适用于信号周期性明显的情况，能够对周期性成分进行准确的估计。
然而，周期图法对非周期性成分的估计精度较低，容易受到噪声的影响。
此外，由于其需要计算自相关函数，计算复杂度较高。
Welch法是一种常用的非周期信号功率谱估计方法。
它将信号分成多个重叠的子段，并对每个子段进行信号窗和傅里叶变换，最后将各个子段的功率谱平均，得到最终的功率谱估计值。
Welch法通过增加样本数量来提高估计精度，对非周期信号有较好的适应性。
然而，Welch法存在频率分辨率较低的问题，特别是在功率谱曲线出现忽略不计的成分时，精度会受到影响。
半周期图法是一种结合了周期图法和Welch法的功率谱估计方法。
它将信号分成多个重叠的子段，并对每个子段进行信号窗和自相关函数的计算，最后将各个子段的功率谱平均。
半周期图法具有比Welch法更好的频率分辨率，对非周期信号有更好的适应性。
然而，半周期图法也存在计算复杂度较高的问题。
高分辨功率谱估计方法是一类通过对信号进行重构和增加相位信息来提高频率分辨率的方法。
例如，MUSIC（多重信号分类）算法通过将信号子空间与噪声子空间进行相关分析，得到更精确的功率谱估计。
高分辨功率谱估计方法适用于信号含有多个成分且互相之间相对较远的情况。
然而，高分辨功率谱估计方法常常对信号的要求较高，对信号中噪声和非线性成分比较敏感。
非参数方法是一种不依赖于信号模型的功率谱估计方法。
它通过直接对信号进行傅里叶变换，并对结果进行平方，得到信号的功率谱估计值。
第3章 功率谱估计和信号频率估计方法
1 N
UN (w)2
26
归一化功率谱(dB) 归一化功率谱(dB)
0 -5 -10 -15 -20
-25 -30 -35 -40
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 w 2p
（a） N = 32
0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50
当 M = N - 1 时，周期图法和BT法是相同的，即
åN- 1
rˆ(m)e-
m= - (N - 1)
jwm =
1 N
U N (w) 2
而当 M = N - 1时，这相当于对长度为 2N - 1的 rˆ(m)
做截断处理，也即施加了一个矩形窗，即
rˆM (m) = w2(RM)+ 1 (m)rˆ(m)
的渐近一致估计。
另外，还有一种常用的 r(m) 的估计 rˆ(m)
å rˆ (m) =
1 N- m
N- 1
uN (n)uN* (n -
n= 0
m),
其均值为
E {rˆ(m)}= r (m)
m? N 1
9
若信号 u(n)是零均值的实高斯随机信号，则 rˆ(m)的方
差为
å var {rˆ(m)}=
N
1 -
|m|
N,
| m |? N 1 其它
7
的乘积，w2(TN)- 1(m) 的长度为 2N - 1。 (2) 方差
rˆ(m) 的方差为
{ } var {rˆ(m)}= E rˆ(m) - E{rˆ(m)}2 { } = E rˆ(m) 2 - E{rˆ(m)}2
假定信号 u(n) 是零均值的实高斯随机信号，得
经典功率谱估计
雷达和声呐系统
目标检测
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计常被用于目标检测。通过对接收到的信号进行功率 谱分析，可以判断是否存在目标以及目标的位置和速度等信息。
距离和速度测量
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于距离和速度测量。通过对接收到的信号 进行功率谱分析，可以估计出目标与系统之间的距离和相对速度。
信号分类
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于信号分类。通过对接收到的信号进行功 率谱分析，可以判断目标的类型，例如区分飞机、船舶或车辆等不同类型目标。
05 经典功率谱估计的改进方 法
基于小波变换的功率谱估计
1
小波变换能够将信号分解成不同频率和时间尺度 的分量，从而更好地揭示信号的内在结构和特征。
然而，这些方法通常需要较长 的数据长度和较为复杂的计算 过程，对于短数据和实时处理 的应用场景具有一定的局限性 。
研究展望
01
随着信号处理技术的发展，经典功率谱估计方法仍有进一步优化的空 间。
02
针对短数据和实时处理的应用场景，研究更为快速、准确的功率谱估 计方法具有重要的实际意义。
03
结合机器学习和人工智能技术，探索基于数据驱动的功率谱估计方法 是一个值得关注的方向。
优点
能够提供较高的频率分辨率和较低的估计误差。
原理
格莱姆-梅尔谱估计利用了信号的模型参数，通过 构造一个模型函数来描述信号的频率响应特性， 并求解该函数的极值问题得到信号的功率谱。
缺点
需要预先设定模型函数的形式和参数，且计算复 杂度较高。
03 经典功率谱估计的优缺点
优点
01
02
03
算法成熟
经典功率谱估计方法经过 多年的研究和发展，已经 相当成熟，具有较高的稳 定性和可靠性。
信号区识别方法介绍
信号区识别方法介绍信号识别的方法有很多种，以下是其中几种常见的信号识别方法：1. 特征参数法：根据信号的瞬时幅度、瞬时相位、瞬时频率等特征参数进行识别。
这种方法计算量小，简单，但受信噪比影响大。
2. 功率谱方法：通过经典功率谱估计方法对信号进行频谱分析，提取信号的频率、幅度、相位等特征。
该方法简单、快速，但当数据量太大或太小，其谱分辨率和方差性能可能会有所下降。
3. 小波变换法：对信号进行小波变换，提取变化后时域的包络方差与均值平方之比作为特征参数，同时提取频域的频率、幅度、相位、功率谱密度等特征。
该方法可以克服傅里叶变换的不足，对瞬时信息具有较强的检测能力，但对类间识别效果还需与其他方法结合使用。
4. 高阶累积量方法：计算二阶、四阶、六阶、八阶累积量，并通过归一化、平方等变换寻找差异进行区分。
该方法对噪声不敏感，但对载波和码元同步要求较高。
5. 人工智能识别方法：利用专家系统、人工神经网络、模糊推理、Agent 理论、遗传算法等人工智能方法形成经验与知识的推理规则。
这种方法不依赖数据库的先验知识，分析灵活，自我学习能力较强，但可能存在漏检、误判的问题。
6. 基于支持向量机的信号识别：通过优化算法函数（结构风险最小化原理，粒子群优化，模糊数学，粗集理论），模型建立（一对一或一对多）和参数的选择（带宽、均值、峰值点，归一化瞬时幅度等）进行信号的识别。
这种方法善于解决高维分类问题，识别准确率高，但复杂度高，理论算法还不够完善。
此外，还有基于基站的信号识别方法，主要依据手机与附近基站的连接和切换来进行判断。
每个手机信号基站都有自己的小区识别码和扇区码、频点等，当手机跨过地界的时候，就会切换到信号更强的基站，这说明已经进入新地区新基站的覆盖范围。
因此，当手机切换到新的基站时，可以判断已经进入了新的行政区域。
以上信息仅供参考，建议查阅信号处理相关书籍或咨询专业人士获取更全面和准确的信息。
第3章功率谱估计和信号频率估计方法
第3章功率谱估计和信号频率估计方法在信号处理和通信系统设计中，功率谱估计和信号频率估计是非常重要的技术。
功率谱估计可以用来研究信号的频域特性和频率分量的强度分布，信号频率估计可以用来确定信号的频率成分。
本章将介绍功率谱估计和信号频率估计的常用方法。
3.1功率谱估计功率谱是描述信号功率随频率变化的函数。
常用的功率谱估计方法有非参数法和参数法。
非参数法是一类基于信号的样本序列进行计算的方法，不依赖于对信号的概率模型的先验假设。
常见的非参数法有周期图法、半周期图法等。
周期图法是一种基于时域序列的离散傅里叶变换的方法。
它将信号分成多个时段，对每个时段进行傅里叶变换，然后求得功率谱密度。
周期图法具有快速计算和较好的频率分辨能力的特点，适用于信号周期性较强的情况。
半周期图法是周期图法的一种改进方法。
它首先将信号分成两个连续的时段，计算各自的功率谱密度，然后取两个时段的平均值作为最终的功率谱估计。
半周期图法减少了周期图法中窗函数的影响，提高了估计的准确性。
参数法是一种基于对信号进行参数建模的方法。
常见的参数法有自回归(AR)模型、线性预测(ARMA)模型等。
自回归模型是一种用于描述信号随机过程的自回归线性滤波模型。
它通过自回归系数描述信号当前样本值与过去样本值的线性关系。
自回归模型估计功率谱的方法主要有Burg方法、 Yule-Walker方法等。
自回归模型具有较好的频率分辨能力和较高的准确性，适用于信号具有较长时间相关性的情况。
线性预测模型是将信号分解成预测误差和线性组合的方式。
它通过选择适当的线性预测滤波器系数来最小化预测误差的均方差，从而得到功率谱的估计。
线性预测模型估计功率谱的方法主要有Levinson-Durbin算法和Burg算法等。
线性预测模型具有较好的频率分辨能力和较高的估计准确性，适用于信号具有较强的谱峰特性的情况。
3.2信号频率估计信号频率估计是通过对信号进行时域分析来确定信号的频率成分。
精选-数字信号处理-谱估计基础及仿真分析
谱估计基础及仿真分析0引言 现代信号分析中,对于常见的具有各态历经的平稳随机信号,不可能用清楚的数学关系式来描述,但可以利用给定的N 个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。
它是数字信号处理的重要研究内容之一。
功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。
功率谱估计在实际工程中有重要应用价值,如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域,发挥了重要作用。
一 相关的数学基础 1.1 概率论：1.1.1多维高斯分布高斯分布公式：22()2()x p x μσ--=(1)3σ准则为：(,)σσ-内68.26%；2σ：95.44%；3σ：99.74%。
向量的形式的公式为：11/21/211()exp[()()](2)||2T x xx x N xx p x x C x C μμπ--=---vv v v v (2) 其中[()()]Txx x x C E x x μμ=--v v v v；[]{[[]][[]]}xx ij i i j j C E x E x x E x =--(3)1.1.2 mont-carlo 仿真1ln ,(0,1)y u u λ=-∈为指数分布，y σ=1.2 随即过程平稳随即过程：多维联合概率密度和时间起点无关，狭义的平稳。
数字特征： ()[()]t E x t μ=相关函数：1212(,)[()()]xx r t t E x t x t =(4) 协方差：121122(,){[()()][()()]}xx x x C t t E x t t x t t μμ=--(5) 广义的平稳：1221(,)()()xx xx xx r t t r t t r τ=-=，12(,)()xx xx C t t C τ=(6)各态历经性：时间平均代替集平均。
信号的谱估计_周期图法
2007/2008年第二学期本科课程设计2-周期图法功率谱估计一、 基本概念在电子信息工程领域，有许多问题的解决需要我们估计一个随机过程在频率域上的功率分布，这样的问题有很多，譬如：设计滤波器消除噪声，信号的回波抵消，信号的特征抽取与表示等等。
谱估计的分类，通常分为两类，一类是参数法谱估计，一类是非参数法谱估计。
参数法谱估计通常对数据进行建模,如把数据建模成滑动平均模型（Moving Average），或者自回归（Autoregressive）模型，而非参数法除了要求信号满足广义平稳之外，没有其它的统计假设。
与非参数法相比较，参数法的优点是在一个给定的数据集合上能够有较少的偏差（Bias）与方差（Variance）. 对于非参数法谱估计,常用的方法有:• 周期图法• Bartlett 法（平均多个周期图, 采用不同数据块）• 自相关法 (Blackman-Tukey 法)在本课程设计中,我们将实现采用周期图法和Bartlett 法来对功率谱进行估计.周期图的定义是：（1）其中X (f )为随机信号的一次实现的频谱表示。
Bartlett 法（平均周期图）是对周期图法的改进。
它是平均多个不同数据块的周期图估计结果.平均周期图法的定义：（2）22102|)(|1)(1)(ˆf X N e m x N f P N m fm j xx ==∑−=−π∑==K i i XX B xx f K f P P 1)()(1)(图1：平均周期图法示意图二.设计要求:1.技术要求:1)基本要求：根据实验大纲，分别用周期图法和Bartlett法对给定的信号进行功率谱估计。
2) 提高要求：实现周期图法中的Welch方法2.报告要求报告要求字迹工整，条理清楚，报告格式符合学术论文规范，包括论文名称、中英文摘要、引言/概述、正文、结束语，参考文献，最后给出本次课程设计总结，包括设计的创新点、现有不足与需要改进的地方及改进的建议和意见，鼓励和提倡创新。
简述ar模型功率谱估计步骤
简述ar模型功率谱估计步骤
自回归（AR）模型是一种常用于信号处理和时间序列分析的模型。
在进行功率谱估计时，可以使用AR模型来估计信号的频谱特性。
下面是使用AR模型进行功率谱估计的基本步骤：
1. 数据准备，首先，需要准备要分析的时间序列数据。
这些数
据应该是经过预处理的，包括去除趋势、季节性等，确保数据符合
平稳性的要求。
2. 模型拟合，接下来，使用自回归模型拟合时间序列数据。
这
涉及确定AR模型的阶数（p），可以使用一些常见的准则如AIC、BIC等来选择合适的模型阶数。
3. 参数估计，一旦确定了AR模型的阶数，就可以利用最小二
乘法或Yule-Walker方程等方法来估计AR模型的参数。
4. 模型检验，在估计参数之后，需要对AR模型进行检验，确
保模型符合时间序列数据的特性。
可以使用残差分析、单位根检验
等方法来检验模型的拟合效果。
5. 谱估计，最后，利用已经拟合好的AR模型，可以通过模型的系数来计算功率谱密度函数。
这可以通过利用模型的自协方差函数来实现，从而得到频率域上的信号功率谱估计。
总之，使用AR模型进行功率谱估计的基本步骤包括数据准备、模型拟合、参数估计、模型检验和谱估计。
这些步骤需要谨慎地进行，以确保得到准确可靠的功率谱估计结果。
第7章 参数谱估计
7.2.2 自相关法（全加窗法）
14
在5.4.1节中，讨论了线性预测系数与AR模型系数之 间的关系，说明可以采用线性预测的方法对AR模型 进行系统辨识。 平稳AR(p)过程的自相关函数满足Yule-Walker方程。 因此，如果给定 { rx (0), rx (1), ..., rx ( p )} ，则可以通过 求解该方程得AR模型的系数和激励噪声的方差。 对于功率谱估计问题而言，我们往往不可能精确推 导出自相关函数，而只能利用给定的观测数据进行 自相关估计。 采用Yule-Walker方程和自相关估计，即可实现 AR 谱估计。因而，AR模型谱估计的自相关法也称为 Yule-Walker法。 EE of BUPT 现代信号处理
2
r (1) rx (0) x rx ( p ) rx ( p 1)
a rx ( p 1) 1 0 rx (0) a p 0
现代信号处理
因此，对于高斯随机过程，最大熵谱估计和 AR 模型 谱估计是一致的。
如果我们能对自相关进行更精确的外推，就可能消 除加窗效应。
EE of BUPT
现代信号处理
7.2.1 最大熵谱估计——burg外推
11
最大熵谱估计的思想是：假设已知（或可以估计 出） {rx (0), rx (1), ..., rx ( p)} ，为了用自相关序列计算 功率谱，需外推自相关函数。 设外推得到的自相关为 rex ( p 1), rex ( p 2), ... ， 则该随机过程的功率谱为：
ˆx ( k , l ) x( n k ) x( n l ) r ˆx ( l , k ) r
参数法和非参数法的比较
非参数法谱估计的两种不同途径：直接法和 间接法 直接法又称周期图法，间接法又称相关图法 周期图法计算步骤： 信号——>频谱——>功率谱估计 相关图法计算步骤： 信号——>自相关函数——>功率谱估计
参数化谱估计的定义
• 参数化谱估计法是针对非参数化谱估计估 计法的不足提出的，将被估计的信号，根 据序列及已知理论选择合适模型后，根据 观测数据估计模型的参数，从而求出谱估 计的方法，一般常用的方法有：自回归 (AR)模型、滑动平均(MA) 模型、自回归滑 动平均模型(ARMA）
• 参数化谱估点：需要对信号进行数学建模，如果数 据不符合模型，该种方法的谱估计性能就 会大大降低，从而导致错误估计 • 优点：它能提供很高的谱分辨率，且不需 要对未知数据进行任何假设
• 1.为被估计的随机过程确定或选择一个合理模型，这有赖 于对随机过程进行的理论分析和实验研究 • 2.用已观察到的样本数据或自相关函数的数据（如果已知 或可以估计出）来确定模型参数 • 3、用估计得到的参数计算功率谱。
非参数化谱估计的特点
• 优点：非参数化方法无需对信号建模，可 直接计算，且计算简单，但必须对未知数 据进行假设（假定N个样本以外的数据全部 为0，该假设有误） • 缺点：分辨率差，方差性能不好，不能包 含估计过程中可能获得的一些先验信息
功率谱估计模型法
i
此模型只有零点，没有极点，对应幅度谱结构中存 在谱谷点。
平稳随机信号的参数模型
ARMA模型：
H ( z)
1 bi z i 1 ai z i
i 1 i 1 p
q
此模型同时有零点、极点，对应幅度谱结构中存在 谱峰、谱谷
系统模型
对于一阶全极点传递函数
1 1 ai z
i 1 p i
因此有h(0)=1
AR模型估计功率谱密度
rxx (m) ak rxx (m k ) rxu (m)
k 1 p
根据上式以及rxu(m)的求解：
p ak rxx (m k ) k 1 rxx (m) p a r (k ) 2 k xx k 1
i 1
p
s( n ) (1 ai z i ) e(n )
i 1
p
G ( z ) 1 ai z i
i 1
p
AR模型与线性预测的关系
这里我们发现线性预测过程是AR模型估计功率 谱的逆过程。
x(n)
h(n)
e(n)
当预测器的阶数和AR模型的阶数相同时，对应 的预测器系数h和AR模型参数ai才有一一对应的 关系。
Pxx (w) | H (w) |
2
性系统传递函数H(z)的特性 去表征随机信号x(n)的功率谱密度，称为参数模 型功率谱估计。 参数模型功率谱估计的步骤：
对H(z)选择合适的模型：MA模型、AR模型、ARMA 模型 根据已知样本数据x(n)，或者x(n)的自相关函数，确 定H(z)的参数 利用H(z)估计x(n)的功率谱。
AR模型阶数p的选择
参数模型功率谱估计
于是
rx m ak rx m k rxu m , 2.1
k 1
p
由于u(n)是方差为σ2的白噪声，由（1.2）式， 有 rxu m E u n m x n
E u n m h k u n k k 0
ak rx m k , m 1
p
rx(m)=
k 1
ak rx k 2 , m 0
k 1
p
(2.3)
应用了自相关函数的偶对称性， 即rx(m)=rx(-m)
把上式写成矩阵形式
rx 1 rx 0 rx p 1 2 1 rx p a 0 1 ——（2.4） rx p 1 0 a p rx 0
可知pbfb仅为km的函数，令
，得
再利用Levinson2Durbin递推算法可得AR模 型系数:
Burg算法是建立在数据基础之上的,避免了 先计算自相关函数从而提高计算速度;是较 为通用的方法,计算不太复杂,且分辨率优 于自相关法,但对于白噪声加正弦信号有时 会出现谱线分裂现象
3.改进协方差算法： 同Burg算法一样,改进协方差（修正协方差） 算法进行功率谱估计时令前后向预测误差 功率之和最小,即对前后向预测误差都不加 窗,但得到的协方差矩阵不是Toeplitz矩阵, 因此正则方程不能用Levinson递推算法求 解。Marple于1980年提出了实现协方差方 程求解的快速算法,大大提高了谱估计的性 能。
x n h k u n k ——（1.2）
参数模型功率谱估计
LSI系统的输入、输出关系：
差分方程 卷积关系 以上两式是LSI系统的时域表示，无论对确 定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、 输出是平稳随机信号（输入是白噪声）。
转移函数的两 种表示形式， 独立于信号。
谱分解 的Z域 表示
待辨识 的参数。
Px (z)
u2H (z)H (z1)
u2
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
求解方法：由下面的差分方程入手：
两边同乘 x(n m) ，求均值
p
ak Ex(n m k)x(n) k 1
Eu(n m)x(n)
x(n) 和
u(n) 的
互相关
卷积 关系
因果 系统
结果1： 结果2：
结合 起来
正则方程 （Normal Eq.）
rx (0) rx (1) rx (1) rx (0)
k
可以得到使 最小的 1,L , p 及 min 。
不求导，使用正交原理：
E{x(n m)[x(n) xˆ(n)]} 0, m 1, 2, L , p
e(n)
p
rx (m) k rx (m k), m 1, 2, L , p k 1
Wiener-Hopf Eq.
min E{x(n)[x(n) xˆ(n)]}
u(n)
x(n)
AR模型
1 A(z)
白化滤 x(n)
波器
A(z)
e(n)
x(n)
线性预 测器
1 A(z)
xˆ(n)
e(n)
Yule-Walker 方程的快速计算
－Levinson-Durbin快速算法： 要求解的参数：
ap (1), ap (2),L , ap ( p), 2(min @p )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
参数法功率谱估计一、信号的产生（一）信号组成在本实验中，需要事先产生待估计的信号，为了使实验结果较为明显，我产生了由两个不同频率的正弦信号（频率差相对较大）和加性高斯白噪声组成的信号。
（二）程序N=1024;n=0:N-1;xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,1024);这样就产生了加有白噪声的两个正弦信号其波形如下0100200300400500600-8-6-4-2246810(a) 两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形二、参数模型法功率谱估计（一）算法原理简介1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下：① 假定所研究的过程)(n x 是由一个白噪声序列)(n 激励一个因果稳定的可逆线性系统)(z H 的输出；② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x 估计)(z H 的参数；③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。
2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。
“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。
此模型可以表现为以下三式：① ∑=+--=p k k n u k n x a n x 1)()()(；② ∑=-+==p k kk z a z A z H 111)(1)(；③ 2121)(∑=-+=p k jwkk jw x e a e P σ。
3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下：=)(m r x ∑=--p k x k k m r a 1)( 1≥m 时，=)(m r x 21)(σ+-∑=k r a pk x k 0=m 时。
（二）两种AR 模型阶次的算法1．Yule-Walker 算法(自相关法)（1）算法主要思想Yule-Walker 算法通过解Yule-Walker 方程获得AR 模型参数。
从低阶开始递推，直到阶次p ，给出了在每一个阶次时的所有参数。
公式如下：① 1111/])()()([--=-∑+--=m m k x x m m m r k m r k a k ρ；② )()()(11k m a k k a k a m m m m -+=--；③ ]1[21mm m k -=-ρρ。
（2）运算简要框图Yule-Walker 法谱估计运算简要框图(3) 程序示例clear all;close all;N=512;n=0:N-1;xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+2*randn(1,512);Rx=zeros(1,N+1);%从课本上的公式来看，Rx （m ）中的m 属于（0，m ），即共有m+1个，故在这里设Rx 是一个一行，N+1列的向量figure(1)plot(n,xn);title('（a ）两正弦信号加白噪声波形')%下面用书中所讲自相关函数估计中的渐进无偏估计来估计自相关函数for m=1:N+1;%由于在matlab中，下角标不能是0，m属于（0，m），在此只能从1到N+1sum=0;for n=1:(N+1-m);%同样道理，把书中公式里m换成m-1,N换成N+1，求和下限变为1sum=sum+xn(n).*xn(n+m-1);endRx(m)= sum/N;%切记，这里的Rx(1)才是自相关函数在0点的取值。
Rx（m）只是一个存储数据的代号，为了跟书中公式一致，才叫Rx end%下面估计各参数P=50;a=zeros(P,P);%a中有两个变量m,i，所以设a是P行P列的向量km=zeros(1,P);%因为阶次是P，故反射系数有P个p=zeros(1,P+1);%由于matlab中没有ρ，故用p来代替表示，ρ的范围是（0，P）共有P+1个%下面计算AR模型参数的各个初始化值p(1)=Rx(1);a(1,1)=-Rx(2)/Rx(1);km(1)=a(1,1);p(2)=Rx(1).*(1-abs(a(1,1).^2));for m=2:P %由于m=1时的各个值在上面已经给出，故从m=2开始求sum1=0;for i=1:m-1sum1=sum1+a(m-1,i).*Rx(m-i+1);enda(m,m)=-(Rx(m+1)+sum1)/p(m);%km(m)=a(m,m);求出kmfor i=1:m-1a(m,i)=a(m-1,i)+a(m,m)*a(m-1,m-i);endp(m+1)=p(m)*(1-abs(a(m,m)).^2);endz=[1,a(P,:)];G=sqrt(p(P));[H w]=freqz(G,z,512);%调用计算数字滤波器频响的函数figure(2)plot(w/(2*pi),10*log10(abs(H).^2));title('自相关法')ylabel('10log(PSD)')title('(b) yule-walker法估计功率谱密度')（4）结果分析00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5051015202530(b) yule-walker 法估计功率谱密度10l o g (P S D )从波形图中可以十分清晰的分辨出两个不同频率的正弦波2．Burg 法（1）算法主要思想Burg法不是直接估计AR模型的参数，而是先估计反射系数。
使用线性预测的方法来计算不同阶数下的反射系数，其同时使用前向和后向线性预测，使前向和后向预测误差的平均功率相对各阶反射系数m k最小，将反射系数代入Levinson-Durbin公式即可求解。
（2）运算简要框图X(n)（3）程序示例clear all;close all;N=512;n=0:N-1;xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,512);Rx=zeros(1,N+1);%从课本上的公式来看，Rx（m）中的m属于（0，m），即共有m+1个，故在这里设Rx是一个一行，N+1列的向量figure(1)plot(n,xn);title('（a）两正弦信号加白噪声波形')%下面用书中所讲自相关函数估计中的渐进无偏估计来估计自相关函数for m=1:N+1;%由于在matlab中，下角标不能是0，m属于（0，m），在此只能从1到N+1sum=0;for n=1:(N+1-m);%同样道理，把书中公式里m换成m-1,N换成N+1，求和下限变为1sum=sum+xn(n).*xn(n+m-1);endRx(m)= sum/N;%切记，这里的Rx(1)才是自相关函数在0点的取值。
Rx（m）只是一个存储数据的代号，为了跟书中公式一致，才叫RxendP=50;a=zeros(P,P);%a中有两个变量m,i，所以设a是P行P列的向量p=zeros(1,P+1);%由于matlab中没有ρ，故用p来代替表示，ρ的范围是（0，P）共有P+1个%下面计算AR模型参数a(1,1)=-Rx(2)/Rx(1);ef=zeros(P,N);eb=zeros(P,N);ef(1,:)=xn;eb(1,:)=xn;for m=2:P+1;km1=0;km2=0;for n=m:Nkm1=km1+ef(m-1,n).*eb(m-1,n-1);km2=km2+(ef(m-1,n)).^2+(eb(m-1,n-1)).^2;enda(m,m)=(-2)*km1./km2;for n=m:Nef(m,n)=ef(m-1,n)+a(m,m).*eb(m-1,n-1);eb(m,n)=eb(m-1,n-1)+a(m,m).*ef(m-1,n);endendp(1)=Rx(1);p(2)=Rx(1).*(1-abs(a(1,1).^2));a=a(2:P+1,2:P+1);for m=2:P %由于m=1时的各个值在上面已经给出，故从m=2开始求for i=1:m-1a(m,i)=a(m-1,i)+a(m,m)*a(m-1,m-i);endp(m)=p(m-1)*(1-abs(a(m,m)).^2);endz=[1,a(P,:)];G=sqrt(p(P));[H, w]=freqz(G,z,512);%调用计算数字滤波器频响的函数figure(2)plot(w/(2*pi),10*log10(abs(H).^2));ylabel('10log(PSD)')title('(b)Burg 法估计功率谱密度 ')（4）结果分析下面是程序运行后的结果00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5-10-5510152025303510l o g (P S D )(b)Burg 法估计功率谱密度从上图中我们同样可以看到信号中有两个频率分量，一个在0.2处，一个在0.213左右处，与产生的信号相一致。
（三）、两种算法的比较00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5051015202530(b) yule-walker 法估计功率谱密度10l o g (P S D )00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5-10-5510152025303510l o g (P S D )(b)Burg 法估计功率谱密度由上面两图我们可以看出Burg 算法得出的功率谱更平坦些。
（四）与古典法功率谱估计的比较512点00.10.20.30.40.50.60.70.80.910100200300S k00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-5005010010l o g (P S D )(c) 周期图法估计功率谱密度00.10.20.30.40.50.60.70.80.910100200300S k00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-5005010010l o g (P S D )(d) Bartlett 法估计功率谱密度 L=2在上面这两张图中我们就不能够很好的分辨两个靠的比较近的谱峰，在同样条件下参数法功率谱估计却能够实现谱峰的分辨，充分体现了参数法功率谱估计的优越性。
下面减小一下点数，再进行分析256点古典法00.10.20.30.40.50.60.70.80.910100200300400S k 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-5005010010l o g (P S D )(c) 周期图法估计功率谱密度256点参数法功率谱估计00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5051015202510l o g (P S D )(b) yule-walker 法估计功率谱密度由上面两图的对比我们可以看到，当采样的点数减少的时候，古典法的估计就十分不准确了，而参数法功率谱估计却还可以让人清晰地分辨两个挨得较近的谱峰。