平面的点法式方程与一般方程

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高等数学第八章第三节平面及其方程

取法向量 n n1 n2 (10 , 15 , 5) 所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化简得 2x 3 y z 6 0
第八章第三节
16
例7 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
• B y + D =0 表示平行于 zox 面的平面。
第八章第三节
9
例3 设平面过原点及点 (6 , 3 , 2) ，且与平面 4x y 2z 8 垂直，求此平面方程。
解设平面为 Ax By Cz D 0
由平面过原点知 D 0
由平面过点 (6 , 3 , 2) 6A 3B 2C 0
C
2 2
第八章第三节
Π1
12
特别地
n2
(1) Π 1 Π 2
n1 n2
Π1
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
(2) Π 1 // Π 2
n1 // n2
n2
n1
Π2
n1
A1 B1 C1 A2 B2 C2
Π2 Π1
第八章第三节
13
例5 研究以下各组里两平面的位置关系：
第三节平面及其方程
教学内容
1 曲面方程与空间曲线方程的概念
2 平面的点法式方程 3 平面的一般方程 4 两平面的夹角
考研要求
掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹角，并会利用平面的相互关系(平行，垂直，相交等)，解决有关问题。
第八章第三节
1
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例求到两定点 A(1 , 2 , 3) 和 B(2 , -1 , 4) 等距离的点的轨迹方程。

3.1平面方程

即
y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0. z3 z1
(3)
O
M1 M3
M2
M
y
平面的三点式方程.
x
例1: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.
解:
根据平面的截距式方程(4), 可设平面方程为:
x y z 1 2 3 c
又平面过点M(3, 1, 2)，则有
3 2 4 1 2 3 c
即:
12x +8y + 19z +24 = 0
(三) 平面的点法式方程
z n
1. 法向量:
O
y
x
若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n为平面的法向量. 注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面的法向量n与上任一向量垂直.
设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有方位向量 a , b
z

2. 向量式参数方程:
对于平面上任一点 M (x , y , z),
M 0 M, a , b

M0
b
M
r0

共面

M0M u a v b

O
r

a
y
x
又因为
M 0 M r r0 ，则上式可写为
3 B C = 0
C = 3B
所求平面方程为 By 3Bz = 0
即:
y 3z = 0
平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; (即y = k) 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即x = k)

空间中平面及直线的方程(3)

5-3 空间中平面与直线的方程
1.平面的方程
设一平面通过已知点
P( x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C) , 求该平面的方程.
任取点 P(x, y, z) , 则有
P0P n
故
P0P n 0
z
P
n
P0
o
x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,
称 n 为平面的法向量.
平面的点法式方程（1）可以化成
Ax By Cz D 0
其中D Ax 0 By0 Cz0 是常数，x, y, z的系数A，B，C依次是法向量向量的三个坐标分向量.
例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
C1C2 | A22 B22
C
2 2
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
两平面垂直的条件
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直
P1P2 P1P3
设 P x,是y,平z面上任一点, 显然
P1P2 P1P3 0,
垂直于
P1P
P1P2 P1P3
P1P P1P2 P1P3 0.
此混合积的坐标形式为:
x x1 x2 x1 x3 x1

一、平面的点法式方程

平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1
n2
1
平面的位置关系：
(1) 1 2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
求此平面方程.
解设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1 )
o x
n
M0
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ① 平面的点法式方程, 称 n 为平面的法向量.
例1 求过三点
的平面的方程.
解: 取该平面的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面的方程
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量

第五节平面及其方程

其对应方程为方程组
G ( x, y , z ) 0
F ( x, y , z ) 0
z
S O y
x
S2
C F ( x, y , z ) 0
S1
则方程组(1)叫做空间曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程组(1) 的图形.
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两个基本问题 : (1) 已知一曲面(曲线)作为点的几何轨迹时, 求曲面(曲线)方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2

1
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C2
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2
2
2
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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
故
O
M0
y
因此所求球面方程为
x
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n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2

-空间中平面及直线的方程

的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
2(x 1) 3( y 1) 4(z 1) 0,
即
2x 3y 4z 9 0.
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铃
补例求过三点
的平面的方程.
解取该平面的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
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铃
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
此混合积的坐标
形式为:
Z
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0. x3 x1 y3 y1 z3 z1
例4 设已知三点 P1(0,0,1), P2(1,1,0)及P（3 1，0，1），求过该三点的平面方程.
解所求的平面方程是
即：y z 1 0.
x 0 y 0 z 1 1 1 1 0. 10 0
| A1A2 B1B2 C1C2 |
.
A12 B12 C12 A22 B22 C22
平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
.
A12 B12 C12 A22 B22 C22
两平面垂直的条件
平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相垂直的充要条件是

3.1平面的方程

2. 坐标式参数方程
设点 M 0 , M 的坐标分别为 x0, y0, z0 , x, y, z ，那么 r0 x0, y0, z0, r x, y, z ；并设 a X1,Y1, Z1,b X2,Y2, Z2
x x0 ux1 vx2
则平面
的坐标式参数方程为
y
y0
uy1
vy2
， u, v
取 1
1
乘平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0
n
A2 B2 C2
可得法式方程
Ax
By
Cz
D
0
A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2 C 2
在取定符号后叫做法式化因子
选取的符号通常与常数项 D 相反的符号
例3 已知两点 M1 1, 2,3, M2 3,0, 1 ，求线段M1M2 的
垂直平分面的方程
例4 把平分面的方程 3x 2y 6z 14 0 化为法式方程，求自原点指向平面的单位向量及其方向余弦，并求原点到
平面的距离
例5 求过三点 A2,1,0, B0,1,2,C 3,0,4 的平面方程
（向量式，参数式，点位式，三点式，截距式，一般式，点法式，法式）
平面的坐标式方程，简称法式方程为 x cos y cos z cos p 0
平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程： ①一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1；
②因为p是原点O 到平面的距离，所以常数 p 0
平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化
O;i, j, k
，设点
M
的向径为

高等数学平面及其方程

M0
O
y
x
2021/7/17
3
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
4
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
5
一、平面的点法式方程
法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
2021/7/17
M0 O
y
6
一、平面的点法式方程
法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
9
例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)
的平面的方程． z
解先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}，n

过一点与平面平行的平面方程

过一点与平面平行的平面方程平面是我们日常生活中的一个重要概念，它是由三维空间中的点所组成的二维图形。

平面的方程可以用一般式或者点法式来表示，而本文要讨论的是如何求过一个点并且与给定平面平行的平面方程。

一、平面方程的一般式平面方程的一般式是Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量，D是平面与原点的距离。

如果已知平面上的一点P(x0, y0, z0)，则平面方程可以表示为A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0，这就是平面方程的点法式。

二、过一点与平面平行的平面方程如果已知一个平面的方程和一个点Q(x1, y1, z1)，求过这个点并且与给定平面平行的平面方程。

我们可以使用以下步骤来解决这个问题：1. 求出给定平面的法向量A、B、C。

2. 求出点Q到平面的距离d，这个距离可以用点到平面的距离公式来求解：d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。

3. 求出与给定平面平行的平面的法向量A1、B1、C1。

由于这个平面与给定平面平行，所以它的法向量与给定平面的法向量是相同的，即A1 = A，B1 = B，C1 = C。

4. 求出与给定平面平行的平面与点Q的距离d1。

由于这个平面与给定平面平行，所以它与给定平面的距离也相同，即d1 = d。

5. 求出与给定平面平行的平面的方程。

根据点法式，这个平面的方程可以表示为A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0，其中x1、y1、z1是点Q的坐标。

三、实例分析例如，我们要求过点Q(2, 3, 1)并且与平面2x + 3y - z + 4 = 0平行的平面方程。

1. 求出给定平面的法向量A、B、C。

由于2x + 3y - z + 4 = 0，所以A = 2，B = 3，C = -1。

2. 求出点Q到平面的距离d。

将点Q的坐标代入点到平面的距离公式中，得到d = |2 × 2 + 3 × 3 - 1 × 1 + 4| / √(2^2 + 3^2 + (-1)^2) = 7 / √14。

平面的点法式方程

因为此平面过点 M 1，M2 ，所以
A 2C D 0 ,
①
A 2B 2C D 0 . ②
又由于所求平面与向量 a 1 , 1 , 1 平行，因此它
的法向量与 a 垂直，即 A+B+C=0
③
解联立方程①、②、③，得 A = C，B = 2C，D = C，
所以有
Cx 2Cy Cz C 0,
消去 C ，即为所求的平面方程为
x 2 y z 1 0.
例 5 设一平面通过 x 轴和点 M(4, 3, 1)，试求该平面的方程.
解因为所求平面通过 x 轴，所以可设它的方程为
By + Cz = 0 .
④
由于点 M 在所求的平面上，因此有
3B C = 0 ，
将 C = 3B 代回方程 ④，并简化，即得所求平面方程为
y 3z = 0
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角，称为两平面的夹角. 设平面
1、2 的方程分别为
A1 x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2z D2 0 .
它们的夹角为 .
cos
cos (n1 ,n2 )
n1 n2 n1 n2

A1 A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12
A22

B22

C
2 2
④
则平面1、2 垂直的充要条件是 A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0；
平行的充要条件是
A1 B1 C1 . A2 B2 C2
将方程 ① 展开，得
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0,

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）c bx ax y bkx y ++=+=2一般形式的定义域：x ∈R（2）x k y =分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0（4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0二、函数的性质1、函数的单调性当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。

当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。

2、函数的奇偶性定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-）(1) 偶函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f =-。

(2) 奇函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f -=-。

三、基本初等函数1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。

2、幂函数：ux y =， (u 是常数)。

它的定义域随着u 的不同而不同。

图形过原点。

3、指数函数定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。

4、对数函数定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。

图形过（1,0）点。

5、三角函数(1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。

(2) 余弦函数: x y cos =.π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。

(3) 正切函数: x y tan =.π=T ， },2)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .(4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .5、反三角函数(1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2,2[)(ππ-=D f 。

两平面平行方程关系

两平面平行方程关系平面是我们生活中经常接触到的几何图形，平面的基本性质之一就是平行性。

两个平面如果不相交且在同一平面内，那么它们就是平行的。

本文将从平面方程的角度探讨两平面平行的方程关系。

一、平面方程平面方程是描述平面的数学式子，通常写成一般式和点法式。

一般式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量，D是平面的截距。

点法式为(x - x0)A + (y - y0)B + (z - z0)C = 0，其中(x0, y0, z0)是平面上的一个点，A、B、C是平面的法向量。

二、两平面平行的条件两个平面平行的条件是它们的法向量平行。

设平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，则两个平面平行的条件为n1 || n2，即n1与n2平行。

三、平行平面的方程关系两个平面平行的情况下，它们的法向量平行，可以表示为n1 = k*n2，其中k是一个实数。

我们可以将平面P1的一般式写成Ax + By + Cz + D1 = 0，平面P2的一般式写成Ax + By + Cz + D2 = 0，将它们的法向量代入一般式中得到：A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0其中A1 = k*A2，B1 = k*B2，C1 = k*C2，D1 ≠ k*D2。

两个平面的方程可以表示为一个线性方程组，我们可以通过高斯消元法求解得到它们的方程关系。

四、实例分析我们来看一个具体的例子。

设平面P1的法向量为(1, -2, 1)，平面P2的法向量为(2, -4, 2)，它们的一般式为：x - 2y + z + D1 = 02x - 4y + 2z + D2 = 0将它们的法向量代入一般式中得到：x - 2y + z + D1 = 02x - 4y + 2z + D2 = 0其中2*(x - 2y + z + D1) - (2x - 4y + 2z + D2) = 0，化简得到3D1 - D2 = 0。

第四节平面方程

解 π1，π2的法线向量分别为n1=(2,–1,1)，n2=(1,1,2). 由两平面的夹角公式有
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

2 1 (1) 11 2
1，
22 (1)2 12 12 12 22 2
例4 研究平面Cz+D=0的几何特性. 解易知所给平面法线向量n=(0,0,C)与z轴的方向平行.
因此可知Cz+D=0表示平行于Oxy坐标平面的平面. 同理Ax+D=0表示平行于Oyz坐标面； By+D=0表示平行于Oxz坐标面的平面.
例5 求过x轴，且过点(1,1,–1)的平面方程.
解设过x轴的平面方程为By+Cz=0. 由于平面过点(1,1,–1)，因此有 B–C=0，即B=C.将其代入所设方程并化简可得 y+z=0 为所求平面方程.
2A
C D 0,
A B C D 0,
3A 2B C D 0，
A 2 D，B 4 D，C D ,
3
3
3
代入所设平面方程并化简可得
2x–4y+z–3=0.
三、平面的截距式方程
设平面π过点M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)三点，下面研究平面π的方程(其中a，b，c皆不等于0).
设两平面π1，π2的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0.
它们的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1)， n2=(A2,B2,C2) ，
设这两个法线向量间的夹为，则由两向量的夹角

7-4曲线方程、平面方程

设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角的余弦为
2
cos n1 n2
即
n1 n2

cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面的平面.
例2. 求以下两直线的夹角
解: 直线的方向向量为
L2
:

x y20 x 2z 0
i jk
直线的方向向量为 s2 1 1 0 (2, 2, 1)
二直线夹角的余弦为
10 2
1 2 (4) (2) 1 (1)
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
P1(x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为
d Prj n P1P0

P1P0 n n
n P0
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
以上两式相减 , 得平面的点法式方程

平面的方程包括点法式方程和一般方程

平面的方程包括点法式方程和一般方程
平面可以用不同的方程形式表示，其中包括点法式方程和一般方程。

点法式方程：
点法式方程是描述平面的一种方程形式，它使用平面上的一个点和平面的法向量来定义平面。

点法式方程的一般形式如下：
Ax + By + Cz = D
其中，A、B、C为平面的法向量的三个分量，x、y、z 为平面上的一个点的三个坐标分量，D为常数。

点法式方程的优点是可以方便地计算平面的法向量和平面上的点到该平面的距离。

它也可以通过两个不同的点来确定一个平面。

一般方程：
一般方程是描述平面的另一种常见方程形式。

一般方程的一般形式如下：
Ax + By + Cz + D = 0
其中，A、B、C为平面的法向量的三个分量，x、y、z 为平面上的任意一点的三个坐标分量，D为常数。

一般方程可以方便地将平面表示为一个方程，但计算平面的法向量和平面上的点到该平面的距离就不如点法式方程方便了。

平面的一般方程化为法式方程

平面的一般方程化为法式方程平面是我们日常生活中接触最多的一种几何图形，许多计算机视觉、图像处理等应用也离不开对平面的认识和处理。

在平面几何中，一般方程是一种非常重要的工具，它可以将平面图形表示成一种代数形式。

本文将对平面一般方程的转换过程进行详细讲解。

一、平面的一般方程平面的一般方程是指将平面上任意一点`(x,y)`的坐标代入以下的方程中：Ax + By + C = 0（其中A、B、C为常数）这个方程就是平面的一般方程，它可以表示平面上所有满足方程的点。

通过一般方程我们可以推出平面的向量方程和点法式方程，但它们在实际应用中并不方便。

因此，需要将一般方程转换成我们更习惯的法式方程。

二、平面法式方程的含义和性质平面通过法线和一点来定位，法线有方向，而平面无法向，所以需要规定法线的方向。

一般约定法线方向与坐标轴的正方向一致，这时平面方程就可以写成：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0（其中(x0,y0,z0)为平面上任意一点，A、B、C为法线的x、y、z分量）这个方程就是平面的法式方程，它的意义是：平面上所有满足`(x,y,z)`坐标符合法式方程的点，都在同一个平面上。

法式方程的一个重要性质是，它的法线向量是`(A,B,C)`，与平面垂直。

这个向量可以方便地用于计算平面的夹角、距离等量，以及平面与直线、平面与平面的位置关系。

三、平面一般方程转化为法式方程我们来看看如何将平面的一般方程转换为法式方程。

先假设平面的一般方程为：Ax + By + Cz + D = 0为了方便起见，我们可以令 `D=-1`，这样平面方程可以写成：Ax + By + Cz = 1然后我们来求出法线向量`(A,B,C)`。

这个向量的意义是，它垂直于平面上的每一个切向量，因此可以从平面上的两个点`(x1,y1,z1)`和`(x2,y2,z2)`中构造出来：```(A,B,C) = ((y2-y1)z - (z2-z1)y, (z2-z1)x - (x2-x1)z, (x2-x1)y - (y2-y1)x)```其中`x=(x1+x2)/2`，`y=(y1+y2)/2`，`z=(z1+z2)/2`。

一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角

(点到平面的距离公式)
例8. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成四面体的球面方程.
例8. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成
四面体的球面方程.
解: 设球心为 M 0 (x0 , y0 , z0 ) , 则它位于第一卦限,且
x0 + y0 + z0 −1 = 12 + 12 + 12
z
P(a,0,0) , Q(0,b,0) , R(0,0, c)
R
时,平面方程为
x + y + z = 1 (a ,b ,c ≠ 0) abc
此式称为平面的截距式方程.
o Qy xP
分析:利用三点式
x−a y z −a b 0 =0
−a 0 c 按第一行展开得 (x − a)bc − y(−a)c + zab = 0
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n = ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 )
特殊情形
Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 )
垂直: n1 ⋅ n2 = 0 平行: n1 × n2 = 0
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 A1 = B1 = C1 A2 B2 C2

关于法线的方程

关于法线的方程
平面的法线方程描述了垂直于平面的向量方向。

对于二维平面和三维空间中的平面，法线方程都可以用不同的方式表示。

1.二维平面：在二维平面中，平面的法线方程可以表示为一
般形式的直线方程 Ax + By = C, 其中 (A, B) 是平面的法线向量的坐标，(x, y) 是二维平面上的点坐标，C 是常数项。

法线向量的坐标可以通过平面的法向量或斜率来推导。

2.三维平面：在三维空间中，平面的法线方程可以表示为点
法式和一般方程两种形式。

•点法式：点法式通过平面上的一点和法线向量来表示法线方程。

假设平面上的一点为 (x0, y0, z0)，法线向量为 (a, b,
c)，那么法线方程可以表示为 (x - x0)*a + (y - y0)*b + (z -
z0)*c = 0。

•一般方程：一般方程通过平面的法向量的系数来表示法线方程。

假设平面的法向量为 (a, b, c)，平面上的一点为 (x0, y0, z0)，那么法线方程可以表示为 a*x + b*y + c*z = d，其中 d 是由 (x0, y0, z0) 和法向量 (a, b, c) 确定的常数。

注意，不同的表示方式可能适用于不同的问题和情况，选择正确的法线方程形式取决于具体需求和问题的背景。

在使用法线方程时，需要注意选择适当的坐标系和单位，以及确保法线向量的长度为1，表示一个单位向量。