《工程力学》组合变形

工程力学第十一章组合变形

土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力，那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置，并写出相当应力。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。

工程力学之组合变形

工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。

10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。

又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。

此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。

再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。

10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。

研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。

(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。

(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。

(4)判断危险点的位置，建立强度条件。

10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。

斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。

斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。

10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。

下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。

图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。

12-2 工程力学-组合变形的强度计算

故，安全。
3 2 4 2
6.37 2 435.7 2 71.7 MPa
[例7] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由轴向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。
解：
N M m ax A W
a2 a a a2 P P/ P / 8 2 2 4 4 6 a
§12–3
拉(压)弯组合偏心拉（压）
一、拉(压)弯组合变形：杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P P R
x z
P
x y z Mz
P
My
y My
二、应力分析： x z Mz P
P
MZ
My
y My
P xP A
Mzy xM z Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
max
F1 M max A Wz F1 F e A Wz
m
m
4）强度计算因危险点的应力是单向应力状态，所以其强度条件为：
F1 F e max 135MPa [ ] A Wz
例11-11 如图所示为一起重支架。已知a =3.0m， b=1.0m，F=36.0kN，AB梁材料的许用应力[ ]=140 MPa。试确定AB梁槽钢的型号。
拉压与弯曲组合变形的分析步骤
(1)、外力分析：
y
x
y P1
y
y P
x
=
P1
x
+
x P2
P2
P
P1 P cos
P2 P sin
(2)、内力分析：

工程力学第15章组合变形

32(1.0103)20.75(1.0103)2
M 20.010.21kNm 3 160106
max
2 2 r4M2W0.75T232M2d30.75T2
d3
32
M2 0.75T2
由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处 ⑶ 确定AB 轴的直径所以AB 轴的直径d = 44mm 。
例：图所示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1 上作用有径
tmax
Mymax Wy
Mzmax Wz
F2l bh2 /
6
2F1l hb2 /6
90118605201109/618029082001019/6 cmax(MWymyaxMWzmzax)9.98MPa
例：图所示一矩形截面悬臂梁，截面宽度b = 90mm ，高度h = 180mm ，两在两个不同的截面处分别承受水平力F1和铅垂力F2。已知F1 = 800N ， F2 = 1650N ，l = 1m ，求梁内的最大正应力并指出其作用位置。
FN
N
FN A
F S y F S z （对实心截面引起切应力很小，忽略）
M y Mz
M
My Iy
z
Mz Iz
y
T
T
IP
1
1(
2
242)
3
1(
2
242)
强度条件
弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强度条件。分析危险截面A A
3
T 410 A W
20MPa 20103 (10103)2(8103)2
6
W 20010 85104 100106
P
强度校核由内力图及强度公式可判断危险截面距B 端2m 处，计算危险点在横截面的应力值所以AB 段强度满足要求。

组合变形(工程力学课件)

偏心压缩（拉伸）
轴向拉伸（压缩）
偏心压缩
F2 F2e
轴向压缩（拉伸）和弯曲两种基本变形组合
偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
双向偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
外力
内力
平移定理
应力
+
=
弯矩
轴力
max
min
FN A
Mz Wz
【例 1】求横截面上的最大正应力
F 50 kN
e 10 mm
组合变形的概念及其分析方法
杆件的四种基本变形
轴向拉压剪切扭转
F
F
F
F
Me
Me
沿轴线的伸长或缩短相邻横截面相对错动横截面绕轴线发生相对转动
Me
弯曲
Me
F
轴线由直线变为曲线横截面发生相对的转动
两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形
常见的组合变形
（1）拉（压）弯组合（2）斜弯曲（弯、弯组合）（3）偏心压缩（拉伸）（4）弯扭组合
24 106 401.88 103
64
4.3 59.7 64 [ ] 满足强度要求
59.7 55.4
斜弯曲
平面弯曲
作用线与截面的纵向对称轴重合
梁弯曲后挠曲线位于外力F所在的纵向对称平面内
斜弯曲
作用线不与截面的对称轴重合
梁弯曲后挠曲线不再位于外力F所在的纵向平面内
图示矩形截面梁，应用叠加原理对其进行分析计算：
3、应力分析
( z,y)
横截面上任意一点（ z, y）处的正应力计算公式为
Mz
z
O
x
1.拉伸正应力
N

工程力学-组合变形

s
强度条件为 nb
n
塑性材料脆性材料
(2) 概述复杂应力状态下的强度计算：
组合变形的构件内危险点多为二向或三向应力状态。
难以用实验测定各种应力状态而建立强度条件，常常依据部分实验结果提出假设，推测材料失效的原因，从而建立强度理论。
5
§14.2 强度理论概论
强度理论 (theory of strength)
(1) 两种失效现象：屈服和断裂
各种材料的强度不足引起的失效现象不同，表现为屈服和断裂两类。
(2) 衡量变形的程度：
衡量构件受力变形程度的量有应力、应变、能量等。
(3) 强度理论：
根据材料破坏现象和大量的实验资料，人们对强度的失效提出了各种假说，称为强度理论。
不同的强度理论认为，材料按某种方式（屈服或断裂）
在二向应力状态下，为两个非零主应力，
则在为坐标的平面坐标系中，当同号时，失效准则为
当异号时，失效准则为
28
故任意情况下失效准则在所示。
平面中为六角形，如图
若某一平面应力状态其两个非零主应力
所在的点 M ，落在六来自形区域之内，则该应力状态不会引起屈服。
若点 M 落在六角形边界上，则该应力状态会引起材料屈服。
本章主要内容：
(1) 介绍几种常见的强度理论； (2) 讨论工程中常见的斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉
（压）、弯扭等组合变形形式的强度计算。
2
第14章组合变形 (combined deformation)
§14.1 组合变形的概念与分析方法
四种基本变形
拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲。
组合变形 (combined deformation)

工程力学-组合变形课程课件

离中性轴最远的点，这就是危险点。
令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标，
即得中性轴方程
中性轴
z
1 ez z ey y 0
O
Iy
Iz
中性轴在 y , z 两轴上的截距为 D2
ay
D1
az y
ay
iz2 ey
az
iy2 ez
工程力学
第12章组合变形
例12.6 螺旋夹紧装置如图所示，已知 F 2kN ，
800
D
C
A
2500
B
1500
F
工程力学
第12章组合变形
1、先计算出CD 的杆长
800
D
C
A
2500
1500
FCD
FAx A
FCDx
FAy
FCDy
l 25002 8002 2620mm 2.62m
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
MA 0
F
FCD
2.5 2.5 2.62
F
(2.5 1.5)
中性轴与y 轴的夹角q 为
tanq z0 I y M z I y tan
y0 I z M y I z
式中，为合弯矩与轴的夹角。
Iz Iy Iz Iy
q q
斜弯曲平面弯曲
工程力学
中性轴将横截面分为两部分，一部分受拉应力，一部分受压应力。作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。将危险点的坐标代入（12.1）式，即可求得横截面上的最大拉应力和最大压应力。危险点的应力状态为单向应力状态或近似当作单向应力状态，故其强度条件为

上篇工程力学部分第10章组合变形

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第二节
斜弯曲
外力F的作用线只通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称平面内，这类弯曲称为斜弯斜弯曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，下面将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
一、正应力计算
斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和剪应力，但因剪应力值很小，一般不予考虑。斜弯曲梁的正应力计算的思路可以归纳为“先分后合”，具体计算过程如下： 1．外力的分解：由图10-3（a）可知：Fy=Fcosφ，Fz=Fsinφ 2．内力的计算距右端为l1的横截面上由Fy、Fz引起的弯矩分别是： Mz=Fya=Facosφ My=Fza=Fasinφ 3．正应力的计算由Mz和My在该截面引起K点正应力分别为σ’=±Mzy/Iz ， σ’’=±Myz/Iy Mz和My共同作用下K点的正应力为
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的双向偏心压缩（拉伸）正应力计算
图10-7(a)所示的偏心受拉杆，平行于轴线的拉力的作用点不在截面的任何一个对称轴上，与z轴、y轴的距离分别为ey和ez，此变形称为双向偏心拉伸双向偏心拉伸，当F 双向偏心拉伸为压力时，称为双向偏心压缩双向偏心压缩。双向偏心压缩双向偏心压缩（拉伸）实际上是轴向压缩（拉伸）与两个平面弯曲的组合变形。任一点的正应力由三部分组成，计算这类杆件任一点正应力的方法，与单向偏心压缩（拉伸）类似。三者共同作用下，横截面上ABCD上任意点K的总正应力为以上三部分叠加，即 F Mz y M yz / // /// (10-6) σ = σ +σ +σ = ± ± A Iz Iy
Mz FN (b) _ h (a) +

工程力学组合变形

取=0 ，以y0、z0代
表中性轴上任一点的坐
标，则可得中性轴方程
2024/1/28
1
zF iy2
z0
yF iz2
y0
0
23
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
ay
iz2 yF
,
az
iy2 zF
z
对于周边无棱角的截面，可作两条
D1(y1,z1)
2024/1/28
10
0.642 qa 2
0.444qa 2 0.321 qa 2
A
DC
0.617 a
A
DC
My 图 (N m) B
B Mz 图 (N m)
0.456 qa 2 0.383 qa 2
在xoz主轴平面内的弯矩图(y轴为中性轴)
在xoy主轴平面内的弯矩图 (z轴为中性轴)
0.266 qa 2
4.强度分析根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算。
2024/1/28
3
§8-2 斜弯曲
一、概念
平面弯曲：外力施加在梁的对称面（或主平面）内时，梁将产生平面弯曲。
即梁变形后，轴线位于外力所在的平面之内。对称弯曲：平面弯曲的一种。
斜弯曲梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外。
2024/1/28
F A
FzF Wy
FyF Wz
危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为
t,max [ t ] c,max [ c ]
2024/1/28
26
补充例题图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下
表面的轴向正应变分别为εa＝1×10－3、 εb ＝0.4×10－3，材料的弹性模量E＝210GPa 。(1).试绘出横截面上的正

工程力学-第8章组合变形

斜弯曲也称为双向平面弯曲。一、强度计算：
外力分解： Py Pcos
内力计算： Pz Psin
MzPyxPcosxMco;s MyPzxPsinxMsin;
应力计算：
返. 回下一张上一张小结
最大应力：
ma x M Izzym ax M Iyyzma x M W zzM Iyy;
强度条件：
m axM Wzz
返. 回下一张上一张小结
二、计算：以挡土墙为例。
自重作用使任意截面产生轴向
压力N(x)；对应各点产生压应力：
N(x);
N
A
土压力作用使截面产生弯矩
M(x)；对应点产生正应力：
M(x)y;
M
Iz
X截面任意点应力：
k
N(x)M(x)y;
A
Iz
ma x N(x)M(x);
min
A
W z
挡土墙底部截面轴力和弯矩最大，
返. 回下一张上一张小结
3. 常见组合变形的类型：（1）斜弯曲（2）拉伸（压缩）与弯曲组合（3）偏心拉伸（压缩）（4）弯扭组合
二、计算方法：组合变形若忽略变形过程中各基本变形间的互相影
响，则可依据叠加原理计算。
1. 叠加原理：弹性范围小变形情况下，各荷载分别单独作用所产生的应力、变形等互不影响，可叠加计算。
设计 W z ： M [m ]a x12c0 m 3;
查表 1号 6选工字 W z 钢 14 c， 1 m 3,A2,6 1 cm 2;
校核 m a | xN A ： M W m z | a1 x .4 0 M 0 1 P 0 0 0 a [] 5;
因此，可选16号工字钢。

工程力学第11章组合变形

第三节
偏心压缩
三.截面核心的概念 ——若外力作用在截面形心附近的某一个区域，使得杆件整个截面上全为压应力而无拉应力，这个外力作用的区域称为截面核心。
第三节
偏心压缩
例2. 起重机支架的轴线通过基础的中心。起重机自重180kN，其作用线通过基础底面QZ轴，且有偏心距e=0.6m.已知基础混凝土的容重等于22kN/m3，若矩形基础的短边长3m。试计算：（1）其长边的尺寸为多少时使基础底面不产生拉应力？（2）在所选的值之下，基础底面上的最大压应力为多少？

Mzy M cosy Iz Iz

Myz Iy

M sin z Iy
（4）应力叠加——危险点应力

Mz y Myz cos sin M ( y z) IZ Iy IZ Iy
第二节
危险点的应力为：
max
斜弯曲
工程力学
第十一章组合变形
主要内容
第一节组合变形的概念第二节斜弯曲第三节偏心压缩
第一节
组合变形的概念
牛腿柱
第一节
组合变形的概念
F F F
试分析受压立柱的变形形式
压缩-弯曲变形
压缩变形
压缩-弯曲变形
第一节
组合变形的概念
一.组合变形的概念 1.组合变形——由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形称为组合变形。 2.组合变形杆件的强度计算方法——叠加原理。二.叠加原理解题步骤：（1）分解：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化为基本变形的受力方式；（2）叠加：对各基本变形进行应力计算后，将各基本变形同一点处的应力进行叠加，以确定组合变形时各点的应力；（3）强度条件：分析确定危险点的应力，建立强度条件。

工程力学-组合变形汇总

⼯程⼒学-组合变形汇总10 组合变形1、斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏⼼拉伸（压缩）等组合变形的概念；2、危险截⾯和危险点的确定,中性轴的确定；如双向偏⼼拉伸, 中性轴⽅程为3、危险点的应⼒计算，强度计算，变形计算、。

4、截⾯核⼼。

10.1、定性分析图10.1 ⽰结构中各构件将发⽣哪些基本变形图 10.1[解]（a ）AD 杆时压缩、弯曲组合变形，BC 杆是压缩、弯曲组合变形；AC 杆不发⽣变形。

（b ）AB 杆是压弯组合变形，BC 杆是弯曲变形。

（c ）AB 是压缩弯曲组合变形，BC 是压弯组合变形。

（d ）CD 是弯曲变形，BD 发⽣压缩变形，AB 发⽣弯伸变形，BC 发⽣拉弯组合变形。

10.2 分析图10.2中各杆的受⼒和变形情况。

解题范例图 10.2[解] (a)⼒可分解成⽔平和竖直⽅向的分⼒,为压弯变形。

(b)所受外⼒偶矩作⽤,产⽣弯曲变形。

(c)该杆受竖向集中荷载,产⽣弯曲变形.(d)该杆受⽔平集中荷载,偏⼼受压,产⽣压缩和弯曲变形。

(e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。

(f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。

(g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。

10.3分析图10.3 ⽰构件中 (AB、BC和CD) 各段将发⽣哪些变形?图10.3[解] AB 段发⽣弯曲变形，BC 段发⽣弯曲、扭转变形；CD 段发⽣拉伸、双向弯曲变形。

10.4⼀悬臂滑车架如图 10.4 所⽰，杆AB 为18号⼯字钢（截⾯⾯积30.6cm 2，Wz=185cm 3），其长度为l =2.6m 。

试求当荷载F=25kN 作⽤在AB 的中点处时，杆内的最⼤正应⼒。

设⼯字钢的⾃重可略去不计。

图 10.4[解] 取AB 为研究对象，对A 点取矩可得NBCY F 12.5kN = 则 3225==NBCX NAB F F 分别作出AB 的轴⼒图和弯矩图:kN3225kN.mNBCX轴⼒作⽤时截⾯正应⼒均匀分布，AF N=σ（压）弯矩作⽤时截⾯正应⼒三⾓形分布，WzM=σ（下拉上压）可知D 截⾯处上边缘压应⼒最⼤,叠加可得最⼤正应⼒94.9MPa （压10.5如图 10.5 所⽰,截⾯为 16a 号槽钢的简⽀梁,跨长 L=4.2m, 受集度为 q 的均布荷载作⽤ ,q=2KN/m 。

工程力学力 08章组合变形-1

中性轴
Z y
z y
Z y
斜弯曲
3.横截面为园形或椭圆形（无棱角），则先合成弯矩后计算应力：先用双箭头矢量表示绕两个轴的弯矩，然后按照矢量合成法则
确定合弯矩，然后确定最大拉、压正应力点，根据材料进行强
度校核。
例题：结构如图，在端部Py过形心且与沿y轴方向，在中部Pz过形心且与沿z轴方向。尺寸如图。求此梁的最大应力。
max
N Mz (拉，在最上沿的各点) A Wz
或者
偏心拉伸时，中性轴不再过截面形心，甚至没有中性轴。
或者
max
N Mz (拉，在最上沿的各点) A Wz
强度条件：
注意：偏心拉伸时，无论什么材料，只有一个危险点即：最大拉应力点。
基本工作： ①安全校核 ②பைடு நூலகம்面设计 ③确定承载力
•根据截面应力的分布规律，可以找到危险点，然后进行强度校核。
2.两种组合变形应力计算：
•拉压与弯曲—在危险点处：
（弯曲应力）（拉、压应力）
•偏心拉压—在危险点处：
(拉、压应力) ( y向弯曲应力) ( z向弯曲应力)
3.斜弯曲变形的应力处理方法：（1）矩形或工字形截面：
x
Pz z y L H Py
解：对于园截面杆，在危险截面的形心处，分解出与基本变形对
应的载荷，将绕Y轴和Z轴的弯矩My、Mz用双箭头矢量表示，然后按照矢量合成的方法，计算出合弯矩M，根据弯曲应力的分布规律，可以找到危险点。 Mz=PyL
M
My=PzH
x
2 M y M z2
最大拉应力σT
（假设：各个基本变形互不影响）
③叠加。

第十二章工程力学之组合变形

二、叠加原理杆在组合变形下的应力和变形分析，一般可利用叠加原理。
叠加原理：实践证明，在小变形和材料服从虎克定律的前提下，杆在几个载荷共同作用下所产生的应力和变形，等于每个载荷单独作用下所产生的应力和变形的总和。当杆在外力作用下发生几种基本变形时，只要将载荷简化为一系列发生基本变形的相当载荷，分别计算杆在各个基本变形下所产生的应力和变形，然后进行叠加，就得到杆在组合变形下的应力和变形。另外，在组合变形情况下，一般不考虑弯曲剪应力。
（2）根部截面的内力分析
作轴的扭矩图和弯矩图如图12-6（c）所示。
根部截面上的扭矩 T m 120 N m
弯矩
M Pl 3Fl 3 960 0.12 346 N m
（3）应力分析
根部截面在弯曲、扭转基本变形下的应力分布如图12-6（d）所示
由此可见，A点既有正应力，也有剪应力，B点只有剪应力
max N M 5.9 115 120.9MPa
最大应力几乎等于许用应力，故可安全工作。
例12-2：图12-5（a）所示为一钻床，在零件上钻孔时，钻床的立柱受到的压力为P=15kN。已知钻床的立柱由铸铁制成，许用拉应力，［σ拉］=35MPa，e=400mm试计算立柱所需的直径d。解：（1）内力分析，判断变形形式用截面法求立柱横截面上的内力，如图12-5（b）所示，横截面上的内力有两个，轴力FN和弯矩M，且有

可见， Tx和Fcx使AC产生轴向压缩，而Ty、P和Fcy产生弯曲变形，所以AC杆实际发生的是轴向压缩与弯曲的组合变形。（2）作内力图，找出危险截面 AC梁的轴力图和弯矩图如图12-4（b）所示。
从图中可以看出，在梁的中间截面上有最大弯矩，而轴力在各个截面上是相同的，所以，梁的中间截面是危险截面。

工程力学8组合变形

最大拉应力最大压应力
σt max
P 425×7.5P = + MPa 15 5310
P 425×12.5P = − MPa 15 5310
′ σcmax = σ′ +σc′max
由抗拉强度条件
σt max ≤ [σt ] = 30 MPa
由抗压强度条件
P ≤ 45.1 kN P ≤171.3 kN
A =15×10 m , zo = 7.5 cm , 4 I y = 5310 cm
2
−3
求内力(作用于截面形心求内力作用于截面形心) 作用于截面形心
10
几何参数
A =15×10 m , zo = 7.5 cm , 4 I y = 5310 cm
2
−3
求内力(作用于截面形心求内力作用于截面形心) 作用于截面形心取研究对象如图
23
i
2 z
+
i
2 y
= −1
当压力作用点在直线上移动时当压力作用点在直线pq上移动时，C点的应力保直线上移动时，点的应力保持为零。持为零。中性轴通过C点，但方位不断变化。中性轴通过点但方位不断变化。截面核心的确定截面核心的确定设AE为中性轴为中性轴的截距为a 中性轴的截距为 y, az，由：
b h 2 i = , iz = 12 12
2 y
2
2
设AB为中性轴为中性轴
a点坐标点坐标
h AB直线的截距为： ay = − , az = ∞ 直线的截距为：直线的截距为 2 2 2 iy iz h 由：ya = − , z = − ya = , za = 0 a ay az 6
26

工程力学-弯扭组合

M
∴
d 3
32 M T π[σ ]
2
图
664669 N· mm
3
32 1940.9 664.7 π 100 10
6
2
= 0.0593 m = 59.3 mm T图圆整，取： d = 60 mm
上海应用技术学院
18 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
㊉
|M|max=F1l T = Me
上海应用技术学院
FN=F2
O T O
㊉
Me
x x
3. 应力分析 a点为危险点：取单元体：
F1
s
a
s
tT tT
σ σM σ N
τT T Wp T 2W
a b A M O
6 Me B
F2
l
M W

FN A
㊀
x F2
㊉
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T M FN σ σM σN O W A
M
Fy
A
y M2
B
F'y
C D
13 x
Fz T
z
1kN· m
㊉
F'z
My
z
Mz
O Mz O
㊀
0.568kN· m
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O