大学物理课后习题详解(第十章)中国石油大学

这违反静电场中E的环流定律。所以在静电场中，若电场线平行必然 是等间距的，即均匀场可用平行等间距的场线表示。
10-26 假如静电场中某一区域电场线的形状是以点O为中心的同心圆 弧，如图所示。试证明：该区域各点的电场强度的大小都应与该点离O 点的距离成反比。 [解] 如图所示，取闭合回路L，由环路定理有
10-10 如图所示，一厚度为b的无限大带电平板，其体电荷密度为 (0≤x≤b)，式中k为正常量。求：(1)平板外两侧任一点和处的场强大小； (2)平板内任一点P处的电场强度； (3)场强为零的点在何处? [解] (1)过点作一圆柱体穿过无限大带电平板，由高斯定理
即 所以 因此平板外一点的场强与距平板的距离无关， (2)板内(即0≤x≤b区域) (3)若电场强度为0，则 此时，此即为场强为0的点。
在任意一条电力线上，取任意两点A和B，过A、B作垂直于电力线的 面元，用平行于电力线的柱面围成闭合高斯面。将取得如此之小，可以 认为在范围内场强均匀不变，柱的侧面平行于电力线，故通量为零。于 是高斯面上的电通量为
所讨论的空间中不存在电荷，即 故根据高斯定理
从而证明同一条电场线上的场强处处相等。其次，在电场中作闭合 环路abcda
建立如图所示坐标系，在距O点为x处取微元，它在距O点处产生的 场强为
因此左棒在处产生的场强为 在处取电荷元，它受到的左棒的电场力为 右棒受的总电场力为 [解二] 求电荷元与的库仑力叠加。在两带电细棒上各取一微元、，它们 之间的距离为，则受的库仑力为 F方向为x正向，左棒受右棒库仑力
10-4 用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q， 试求圆心处点O的场强。 [解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl，带电量
(1) 处的场强是密度为的大球和的小球所产生的场强的叠加。 大球产生场强： 在球体内做半径为d的同心高斯球面，应用高斯定理
而小球产生场强由于对称性为0 因此点的场强 (2)P点的场强也是两球场强的叠加。 同理大球产生的场强 小球产生的场强 合场强
10-25 试用静电场的环路定理证明，电场线为一系列不均匀分布的平行 直线(如图所示)的静电场不存在。 [证明一] 首先利用高斯定理可以证明在任意一条电力线上的所有点，电 场强度都相等。
所以 证毕。
10-27 电量q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离 为a的点P的电势(以无穷远为零电势点)。 [解] 取如图所示的电荷元dq，，它在P点产生的电势为
则整个带电直线在P点产生的电势为
10-28 如图所示，在点电荷+q的电场中，若取图中点P处为电势零点， 则点M的电势为多少? [解] 取P点为电势零点，则M点电势为
这些带电圆环在该点产生的电势的叠加。取半径为r，宽度为dr的圆 环，其上所带电量为。它在O点产生的电势为
则整个带电薄圆盘在P点产生的电势为
l0-31 两同轴带电长直金属圆筒，内、外圆筒半径分别为和，两筒间介 质为空气。已知内、外电势分别为U＝2，＝，为常量。求两金属圆筒 间的电势分布。 [解] 设内筒单位长度上带电为，则两筒间场强为
(2) 粒子的加速度
10-2 如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求 在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。 [解] 建立如图所示坐标系ox，在带电直导线上距O点为x处取电荷元，它 在P点产生的电场强度为
则整个带电直导线在P点产生的电场强度为 故
10-3 两根相同均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为，沿同一直线放 置，两细棒间最近距离也是L，如图所示。设棒上的电荷不能自由移 动，试求两棒间的静电相互作用力。 [解一] 先按左棒为场源电荷，而右棒为受力电荷。计算左棒场强再求右 棒所受电场力。
10-6 如图所示，一半径为R的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，单位 长度上的带电量为，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。 [解] 对应的无限长直线单位长带的电量为
它在轴线O产生的场强的大小为 (见27页例1)
因对称性成对抵消
10-7 一半径为R、长度为L的均匀带电圆柱面，总电量为Q。试求端面 处轴线上点P的场强。 [解] 取如图所示的坐标，在圆柱上取宽为dz的圆环，其上带电量为，由 例题3知，该圆环在轴线上任一点P产生的电场强度的大小为
当时 与r无关。因此得证。
10-21 设电荷体密度沿x方向按余弦规律分布在整个空间，式中为体电 荷密度，为其幅值。试求空间的场强分布。 [解] 由于电荷体密度与y、z无关，即在任何平行y-z平面的平面上电荷均 匀分布，所以场强只有x分量。沿x轴方向电荷是周期性分布，所以在与 过圆点的y-z平面相对称的两平行平面上场强数值都一样。过坐标为+x 及-x的两点作平行于y-z平面的面元。用平行于x轴的侧面将其封闭构成 闭合高斯面，它的电通量为
而
根据高斯定理可得 方向由的正负确定
10-22 如图所示，在xOy平面内有与y轴平行、位于和处的两条无限长平 行均匀带电直线，电荷线密度分别为和。求z轴上任一点的电场强度。
[解] 无限长带电直线在线外任一点的电场强度 所以 P点的场强 由对称性知合场强的z方向分量为零，x方向分量 而
所以 方向指向x轴负方向 10-23 如图所示，在半径为R，体电荷密度为的均匀带电球体内点处放
方向沿x正方向
10-15 真空中一半径为R的圆平面，在通过圆心O与平面垂直的轴线上一 点P处，有一电量为q的电荷，＝h。求通过圆平面的电通量。 [解] 如图，在以P点为球心，为半径的球面上剖出一个球冠，通过圆面 的电量等于通过球冠面的电通量。球冠面的表面积为，x为球冠高，r为 球面半径
通过球面单位面积的电通量为
则总电量为 (2)在球内作半径为r的高斯球面，按高斯定理有 得 (r≤R) 在球外作半径为r的高斯球面，按高斯定理有 得 (r>R) (3)球内电势，设无穷远处为零势能点
(r<R) 球外电势
10-20 有一带电球壳，内、外半径分别为和，体电荷密度，在球心处有 一点电荷Q，试证明：当A＝时，球壳区域内(<r<)的场强E的大小与r无 关。 [解] 以同心球面为高斯面，电通量为
它在坐标原点O产生的电场强度 沿坐标轴的分量为 半个细圆环产生的电场强度分量为
方向沿y轴负向。
10-13 如图所示，一无限长圆柱面，其面电荷密度为，为半径R与x轴之 间的夹角，试求圆柱面轴线上一点的场强。 [解] 在圆柱面上取一窄条dl，窄条可看成无限பைடு நூலகம்带电直线。设窄条的电 荷线密度为，圆柱的半径r，窄条dl在轴线上任一点O的电场强度为
dq在O点的场强 从对称性分析，y方向的场强相互抵消，只存在x方向的场强
方向沿x轴正方向
10-5 如图所示，一绝缘细棒弯成半径为R的半圆形，其上半段均匀带有 电量q，下半段均匀带有电量-q。求半圆中心点O处的电场强度E。 [解] 上半部产生的场强
将上半部分成无穷多小段，取其中任一小段dl (所带电量) 在O点产生的场强 方向如图所示 下半部产生的场强 以x轴为对称轴取跟dl对称的一小段(所带电量) 在O点产生的场强 方向如图所示 根据对称性，在x方向的合场强相互抵消为0，只存在y方向的场强分 量 总场强
习题十 10-1 卢瑟福实验证明：两个原子核之间的距离小到m时，它们之间的斥 力仍遵守库仑定律。已知金原子核中有79个质子，粒子中有2个质子， 每个质子的带电量为，粒子的质量为6.68kg。当粒子与金原子核相距 6.9m时，试求：(1) 粒子所受的力；(2) 粒子的加速度。 [解] (1) 粒子电量2e，金核电量为79e。粒子所受的库仑力为
一个点电荷q。试求：点O、P、N、M处的场强 (、O、P、N、M在一条 直线上)。 [解] 由电场叠加原理
10-24 一球体内均匀分布着体电荷密度为的正电荷，若保持电荷分布不 变，在该球体内挖去半径为r的一个小球体，球心为，两球心间距离， 如图所示。求：(1)在球形空腔内，球心处的电场强度。 (2)在球体内点P 处的电场强度E。设、O、P三点在同一直径上，且=d。 [解] 在空腔内分别填上密度为的电荷和密度为的电荷。
方向如图 窄条dl的电荷线密度 即 因此 积分得到 方向沿x轴负向 所以
10-14 半径为R、线电荷密度为的均匀带电圆环，在其轴线上放一长 为l、线电荷密度为的均匀带电直线，该线段的一端处于圆心处，如图 所示。求该直线段受到的电场力。 [解] 在细棒上距O点x处取一线元dx，所带电量为
均匀带电圆环在dx处产生的场强为 dq在带电圆环的电场中所受到的电场力的大小为 所以 整个带电细棒所受的电场力为
(r>R) (或) 当A>0时，场强方向均径向向外；当A<0时，场强方向均指向球心。
l0-19 一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为 (r≤R) (r>R)
试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的 电势。 [解] (1)因为电荷分布具有球对称性，把球体分成许多个薄球壳，其中任 一球壳厚度为dr，体积为。在此球壳内电荷可看成均匀分布。此球壳所 带电量为
整个圆柱形薄片在P点产生的电场强度的大小为
E方向 Q>0时沿z轴正方向，Q<0时沿z轴负方向。
10-8 一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心点 O处的场强。 [解] 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r，到球心距离为x， 所带电量绝对值。
在O点产生的场强(利用圆环轴线场强公式) 带电半球壳在O点的总场强 由于 ，， 所以
∥∥，⊥，⊥，并设ab=cd=l 在此回路上，场强E的闭合环路积分等于 在前面已证明沿同一条电力线场强处处相等。 故
在静电场中，场强的闭合环路积分恒等于零。所以。即任意两条电 力线上的场强都相等。这就证明了整个区域中的电场是均匀的。
[证明二] 在静电场中作一矩形闭合回线abcd，根据场强与电力线密 度的关系式，可知ab线上各点场强，cd线上各点场强各自相等。所以
10-29 如图所示，一沿x轴放置的长为l的不均匀带电细棒，其线电荷密 度为，为一常量。取无穷远处为零电势参考点，求坐标原点O处的电 势。 [解] 在带电细棒上取线元dx，其电量
其上电荷在场点贡献的电势为 故带电棒在O点总电势为
10-30 一半径为R的均匀带电圆盘，面电荷密度为。设无穷远处为零电 势参考点，求圆盘中心点O处的电势。 [解] 把带电圆盘视为无数个不同半径的圆环。圆盘中心点O处的电势等于
方向沿x轴负向
10-9 一面电荷密度为的无限大平面，在距平面am远处的一点P的场强 大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆 (其轴线过点P)面积范围内的 电荷所产生的。试求该圆半径的大小。 [解] 由于无限大带电平面产生场强为
所以半径为R的圆内电荷在P点产生场强为 由例4知，半径为R的圆盘，在P电产生的场强为 因此 即
10-16 有一边长为a的正方形平面，在其中心垂线上距中心点O为处，有 一电量为q的正点电荷，如图所示。求通过该平面的电通量是多少? [解] 构造正立方体使q为中心，a为边长。由高斯定理知，通过此立方体 表面电通量为
又由于对称性，通过此正立方体六个正方形面的电通量相等。所以 通过每一面的电通量为
10-17 A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间 的电场强度为E，两平面外侧电场强度大小都是，方向如图。求两平 面A、B上的电荷和。 [解] 无限大平面产生的场强为
10-1l 一半无限长的均匀带电直线，线电荷密度为。试证明：在通过带 电直线端点与直线垂直的平面上，任一点的电场强度 E的方向都与这直 线成45°角。 [解] 如图选择直角坐标系，在棒上取电荷元
它在过棒端的垂直面上任意点贡献场强为
由于
且
所以
总场强的分量为 它与负y方向的夹角是
10-12 一带电细线弯成半径为R的半圆形，线电荷密度，式中为一常 量，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示。试求环心O处的电场强度。 [解] 取电荷元
则 解得
10-18 一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为 (r≤R) (r>R)
A为常量。试求球内、外的场强分布。 [解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。
应用高斯定理有 q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带 电量为dq r≤R时
解得 (r≤R) (或) r>R时高斯面内包围的是带电体的总电量Q 应用高斯定理