正弦型函数图像高考题

合集下载

7.3.2 正弦型函数的图像

第七章三角函数7．3.2 正弦型函数的图像1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义．2.能借助图像理解参数ω，φ，A的含义，了解参数变化对函数图像的影响．3．会求y＝A sin(ωx＋φ)的参数，如周期，定义域，最大、最小值．4.通过学习，提高学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．(一)教材梳理填空1．正弦型函数的定义：一般地，形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0.2．φ，ω，A对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响3．正弦型函数的性质(1)一般地，正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)的定义域为R ，值域为[－|A |，|A |]，周期是T ＝2π|ω|，而且函数的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到． (2)正弦型函数中的常数A ，ω，φ的实际意义：|A |称为振幅；φ称为初相；周期T ＝2π|ω|，f ＝1T ＝|ω|2π称为频率．(二)基本知能小试 1．判断正误(1)“五点法”只能作函数y ＝sin x 的图像，而不能作函数y ＝sin(x ＋φ)的图像. ( )(2)利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，“ωx ＋φ”依次取0，π2，π，3π2，2π五个值．( )(3)将y ＝sin x 的图像上的点的横坐标伸长到原来的3倍就得到y ＝sin 3x 的图像．( )答案：(1)× (2)√ (3)×2.函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1的最小正周期为( ) A. π2 B.π C ．2π D.4π答案：B3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像，只要将y ＝sin x 的图像( ) A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向上平移π4个单位D.向下平移π4个单位解析：选B 将y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像． 4．函数f (x )＝－8sin 3x 为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D.非奇非偶函数解析：选A 由于f (－x )＝－8sin 3(－x )＝8sin 3x ＝－f (x )，所以此函数为奇函数．第一课时正弦型函数的图像题型一 “五点法”作正弦型函数的图像[学透用活][典例1] 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图像．[解] 令t ＝x 2＋π6，列表如下：[方法技巧]用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的步骤第一步：列表第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像．[对点练清]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像只可能是( )解析：选B 当x ＝0时，y ＝A sin φ＞0，排除C 、D ；另外，由－π2＜ωx ＋φ＜π2得到其中一个单调增区间为⎝⎛⎭⎫－π＋2φ2ω，π－2φ2ω，结合图像，排除A ，故选B.2．用五点法作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，并指出函数的单调区间．解：(1)列表：(2)描点．(3)连线．用光滑的曲线顺次连接各点，如图所示为该函数在一个周期内的图像，将图像左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R 内的图像．可见在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上递减，又因为函数的周期为π，所以函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．同理，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．题型二正弦型函数的图像变换[学透用活]对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的系数A ，ω，φ的三点说明 (1)A 越大，函数图像的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图像的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图像向左平移，φ小于0时，函数图像向右平移，即“左加右减”． [典例2] (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像是由函数y ＝sin x 的图像通过怎样的变换得到的？(2)说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像是由y ＝sin x 的图像经过怎样变换得到的． [解] (1)法一：法二：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)[法一先伸缩后平移][法二先平移后伸缩][方法技巧]由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的步骤[提醒] 确定函数y ＝sin x 的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x ”而言．[对点练清]1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只要将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像． 2．把函数y ＝f (x )的图像向左平移π4个单位长度，然后再把所得图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图像，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B.y ＝cos 2x C ．y ＝－cos 2xD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选C 将函数y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin 2x 的图像，再将所得图像向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图像．故选C.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．用五点法作y ＝2sin 2x 的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB.0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD.0，π4，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π，得x ＝0，π4，π2，3π4，π.2．把y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位长度，得到的图像的解析式为( )A ．y ＝－cos xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D.y ＝cos x解析：选D y ＝sin x ――――→向左平移π2个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . 3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图像，只要将函数y ＝sin x2的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D.向右平移2π3个单位解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝sin 12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，所以将函数y ＝sin x 2的图像向左平移2π3个单位即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图像．4．将函数y ＝sin 3x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得到函数________的图像．解析：将函数y ＝sin 3x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得，函数y ＝sin(3×3x )＝sin 9x 的图像.答案：y ＝sin 9x 二、创新应用题5．已知函数f (x )的图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图像沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图像与y ＝12sin x 的图像相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，三、易错防范题6．为了得到y ＝sin 12x 的图像，只需要将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像( ) A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析：选C ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6＝sin 12⎝⎛⎭⎫x －π3，∴将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像向左平移π3个单位，可得y ＝sin 12x 的图像． [易错矫正] 本题中有三个易错点：①审题不清，没有弄清楚哪一个函数图像移动变换得另一个函数图像．②平移方向上应该是“左加右减”．③平移的单位长度由于忽视了x 的系数导致错误．解决本类题目谨记平移只是针对x 而言的．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．函数y ＝3sin 3x 的图像可看作是由y ＝sin x 的图像按下列哪种变换得到( ) A ．横坐标不变，纵坐标变为原来的13倍B ．横坐标变为原来的13倍，纵坐标变为原来的3倍C ．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍D ．横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的13倍解析：选B2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32＜0，排除B 、D.当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C ，故选A.4．用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π2，则x 2＋x 4等于( )A.π2 B ．π C.3π2D.2π解析：选C 由五点法作图原理知，x 2－x 1＝x 3－x 2＝x 4－x 3＝x 5－x 4＝T4，故x 1与x 5的中点是x 3, x 2与x 4的中点是x 3，所以x 2＋x 4＝2x 3＝x 1＋x 5＝3π2.5．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图像向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图像，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图像． 6．将函数y ＝sin x 的图像的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图像向右平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为________________．解析：y ＝sin x ―――――――――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标伸长到原来的3倍y ＝3sin x 3―――――→向右平移3个单位长度y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤13(x －3)＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －1. 答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －1 7．某同学给出了以下结论：①将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度，得到y ＝－sin x 的图像； ②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度，得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图像．其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．解析：将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ，所以①正确；将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －2)，所以②不正确；将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin [－(x ＋2)]＝sin(－x －2)，所以③正确．答案：①③8．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得图像对应的解析式为____________．解析：将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的图像，再将所得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －5π6的图像．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －5π6 9．将函数y ＝12sin 2x 的图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图像的函数解析式．解：y ＝12sin 2x ――――→横坐标变为原来的2倍y ＝12sin 2·⎝⎛⎭⎫12x ＝12sin x ――――→纵坐标变为原来的一半y ＝14sin x . 即所得图像的解析式为y ＝14sin x .10．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. (1)用“五点法”画函数的图像；(2)说出此图像是由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到的．解：(1)列表：描点：在坐标系中描出下列各点⎝⎛⎭⎫π2，0，⎝⎛⎭⎫3π2，3，⎝⎛⎭⎫5π2，0，⎝⎛⎭⎫7π2，－3，⎝⎛⎭⎫9π2，0. 连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图像，如图所示．这样就得到了函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右平移4k π(k ∈Z )个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像．(2)①把y ＝sin x 的图像上所有的点向右平行移动π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像； ②把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像；③将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像．B 级——高考水平高分练1．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 解析：选C 将函数y ＝sin x 的图像上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图像；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图像，所以所求函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位，所得图像对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D.偶函数解析：选D 把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图像，y ＝－cos 2x 是偶函数．3．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图像向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图像重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图像．因为所得函数图像与函数y ＝sin ωx 的图像重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：524．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图像向右平移4π3个单位长度后与原图像重合，求ω的最小值．解：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图像向右平移4π3个单位长度后，所得图像的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2.因为平移后的图像与原图像重合，所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k2(k ∈Z )，又因为ω＞0，所以k ≥1，故ω＝3k 2≥32.故ω的最小值为32.5．设m 为实常数，已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β. (1)求m 的取值范围； (2)求α＋β的值．解：作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间(0,2π)上的图像如图所示．(1)若方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像与y ＝m 有两个相异的交点．观察图像知，当－2＜m ＜2且m ≠1时有两个相异的交点，即方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m 的取值范围为(－2，1)∪(1，2)．(2)当m ∈(－2，1)时，由图像易知两交点关于直线x ＝5π4对称，∴α＋β2＝5π4，α＋β＝5π2. 当m ∈(1，2)时，由图像易知两交点关于直线x ＝π4对称，∴α＋β2＝π4，α＋β＝π2.故α＋β的值为5π2或π2.。

正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象[学习目标]1•了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. -=知识梳理自主学习知识点一正弦曲线正弦函数y = sin x(x€ R)的图象叫正弦曲线.利用几何法作正弦函数y= sin x, x€ [0,2 n]图象的过程如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0, £ n，扌，…，2n等角的正弦线.6 3 2③找横坐标：把x轴上从0到2 n (2 6.28一段分成12等份.④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合.⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y= sin x, x€ [0,2 n]的图象.在精度要求不太高时,y= sin x, x € [0,2 诃以通过找出(0,0),(寸，1), ( n 0) , (# —1),(2 n 0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图.思考在所给的坐标系中如何画出y= sin x, x€ [0,2 7的图象？如何得到y= sin x, x€ R的图象？只要将函数y= sin x, x€ [0,2 n的图象向左、向右平行移动（每次2n个单位长度），就可以得到正弦函数y= sin x, x€ R的图象.知识点二余弦曲线余弦函数y= cos x（x€ R）的图象叫余弦曲线.n n 根据诱导公式sin x+ 2 = cos x, x€ R.只需把正弦函数y= sin x, x€ R的图象向左平移-个单位长度即可得到余弦函数图象（如图）.n 3要画出y = cos x, x€ [0,2従的图象，可以通过描出（0,1）,勺，0，（n - 1）, 0 , （2 n 1）五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y= cos x, x€ [0,2的图象.思考在下面所给的坐标系中如何画出y= cos x, x€ [0,2品的图象？答案题型探究重点突破题型一五点法”作图的应用例1利用五点法”作出函数y= 1-sin x（0 * 2曲）简图. 解（1）取值列表:⑵描点连线，如图所示:跟踪训练1作函数y = sin x , x € [0,2 n 与函数y =— 1 + sin x , x € [0,2冗的简图，并研究它们之间的关系. 解按五个关键点列表：x 0 n2 n3 n ~22 n sin x1 0—1 0—1 + sin x—1 0—1 —2—1利用正弦函数的性质描点作图:x € [0,2 的图象.题型二利用正弦、余弦函数图象求定义域例2 求函数f(x)= lg sin x +寸16 — x 2的定义域. sin x>0,解由题意得，x 满足不等式组216 — x 2 >0,—4 w x W 4,即作出y = sin x 的图象，如图所示.sin x>0,y =— 1 + sin x , 由图象可以发现，把结合图象可得定义域：x€ [ —4，—nU (0, n)跟踪训练2 求函数f(x)= lg cos x+ 25-x2的定义域.cos x>0解由题意得，x满足不等式组25—"0，cos x>0即—5W迄5，作出y= C0S x的图象，如图所示.结合图象可得定义域:x € —5,—3 nU题型三利用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3在同一坐标系中，作函数y= sin x和y= lg x的图象，根据图象判断出方程sin x = lg x 的解的个数.解建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y= sin x, x€ [0,2冗的图象，再依次向左、右连续平移2 n个单位，得到y= sin x的图象.描出点(1,0), (10,1)并用光滑曲线连接得到y= lg x的图象，如图所示.由图象可知方程sin x= lg x的解有3个.跟踪训练3方程x2—cos x = 0的实数解的个数是___________答案2解析作函数y= cos x与y= x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.思韻方法数形结合思想在三角函数中的应用例4函数f(x) = sin x+ 2|sin x|, x€ [0,2冗的图象与直线y= k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.3sin x, x € [0 , n,解f(x)= sin x+ 2|sin x|=—sin x, x€ n 2 n ].图象如图,F当堂检测自查自纠1.函数y= sin x (x€ R)图象的一条对称轴是()A. x轴B. y轴C.直线y= x D .直线x = 22.用五点法画y= sin x, x€ [0,2的图象时，下列哪个点不是关键点()1 A.(6，2)% 八B.(2, 1)C. ( , 0)D. (2 , 0)3.函数y= sin x, x€ [0,21 亠的图象与直线y= —2的交点为A(X1, y1), B(x2, y2),贝U X1 + x24. 利用五点法”画出函数y= 2-sin x, x€ [0,2的简图.5. 已知O w x< 2 n^试探索sin x与cos x的大小关系.若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，根据图可得k的取值范围是(1,3).A'课时精练、选择题n 3 n1函数y= —sin x, x€ —2, y 的简图是()2. 在同一平面直角坐标系内，函数y= sin x, x€ [0,2 与y= sin x, x€ [2 n 4 n的图象（）A .重合B .形状相同，位置不同C.关于y轴对称sin x= 10的根的个数是3.方程4.D .形状不同，位置不同B. 8C. 9D. 10函数A'3 n n5.如图所示，函数y= cos x阳n x|（0且x③的图象是（）D6. 若函数y= 2cos x(0< x< 2 n的图象和直线y= 2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A . 4B . 8C . 2 nD . 4 n二、填空题7. __________________________________________________ 函数y= ” . log^sin x的定义域是_________________________________________________________ .&函数y= _ 2cos x+ 1的定义域是 ___________ .___ 19. 函数f(x) = >,'sin 或为 ---------------- .10. _______________________________________________________________ 设0<x< 2 n,且|cos x—sin x|= sin x—cos x，贝U x 的取值范围为 ______________________ .三、解答题111. 用“五点法”画出函数y = 2 + sin x, x€ [0,2 n的简图.12. 根据y= cos x的图象解不等式:-于三cos x< 2, x€ [0,2 n]13. 分别作出下列函数的图象.(1) y= |sin x|, x€ R；(2) y= sin|x|, x€ R.当堂检测答案1答案 D 2. 答案 A 3. 答案 3n 解析如图所示， _ 3 nx i + X 2= 2 = 3 n. 4.解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3n~22 n sin x 0 1 0 —i 0 y = 2— sin x21232⑵描点连线，图象如图所示:由图象可知 ①当x =m 或x = 5n时，sin x = cos x ；44③当 O W x <n或5n<x< 2 n时，sin x <cos x. 课时精炼答案一、选择题 1•答案 D 2.答案 B5 •解用“五点法”作出sin x>cos x ;解析根据正弦曲线的作法可知函数y= sin x, x€ [0,2 n与y= sin x, x€ [2 n 4n的图象只是位置不同，形状相同.3. 答案Ax解析在同一坐标系内画出y= 10和y= sin x的图象如图所示:¥=血JT根据图象可知方程有7个根.4. 答案D解析由题意得n 32cos x, 0或2 n 炸2,c 冗30, 2<x<2 n.显然只有D合适.5. 答案C解析当冗当2<x< n时，y= cos x • |tan| =—sin x;当n<<3n寸，y= cos x |tax|= sin x,故其图象为C.6. 答案D解析作出函数y = 2cos x, x€ [0,2 n]图象，函数y = 2cos x,x€ [0,2 n的图象与直线y = 2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又••• OA= 2, OC= 2n,S阴影部分=S矩形OABC = 2 X 2 n= 4 n.、填空题7. 答案{x|2k n<<2k n+ n k€ Z}1解析由log2sin x> 0知0<sin x< 1,由正弦函数图象知2kn«2k n+n k€乙… 2 2& 答案2k n—3冗，2k n+ k€ Z1 2 2解析2cos x+ 1> 0 , cos x>—2,结合图象知x€ 2k n— " n, 2k n+" n , k€ Z.9.答案（一4,— nU [0 , n]sin x > 0, 2kx < 2k n+ n,解析2?16— x 2>0 — 4<x<4? — 4<x W — n 或 0 < x W n. 解析由题意知sin x — cos x >0, 即卩cos x W sin x ,在同一坐标系画出 y = sin x , x € [0,2 n 与三、解答题11•解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3 2n 2 n sin x 0 1 0 —1 0 1 ,. 1 3 1 1 1 -+ sin x222222⑵描点、连线，如图所示.12.解函数y = cos x , x € [0,2 n 的图象如图所示: 根据图象可得不等式的解集为n, ,5 n 7 n, , 5 n{x|—W x < 或一W x < }3 6 63,.10.答案n 5 n 4，~4y = cos x , x € [0,2n 观察图象知x € 4, 5 n~4 .n 的图象,sin x 2k x< 2k n+n, 13.解(1)y= |sin x|=—sin x 2k n+n<W 2k n+ 2 n(k€ Z).其图象如图所示,sin x x>0 ,(2)y= sin |x| =—sin x x<0 .其图象如图所示,。

高考数学：三角函数的图像和性质问题(解析版)

【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数A, 的正负；第二步利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；第三步运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数cos( 2 )y x 的单调递增区间是（）4A．[k π＋，kπ＋8 58π] B ．[k π－38π，kπ＋8]C．[2k π＋，2kπ＋8 58π] D ．[2k π－38π，2kπ＋8] （以上k∈Z）【答案】 B.考点：三角函数单调性.【点评】本题解题的关键是将 2x作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数y cos( 2x)的单调44递增区间转化为2x 在区间2k ,2k 上递减的.4【变式演练1】已知函数 f (x) sin( 2 x )( 0), 直线x x1,x x2 是y f (x) 图像的任意两条对称6轴，且x1 x 的最小值为2 2．求函数 f (x) 的单调增区间；【答案】[ k , k ], k Z .3 6【解析】试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求，根据公式求此函数的单调递增区间.试题解析：由题意得T , 则1, f (x) sin(2 x ). 由2k 2x 2k , 解得6 2 6 23 k , Z. 故 f ( x) 的单调增区间是k k ], k Z x k k [ .,6 3 6考点：1．y A sin x 的单调性；【变式演练2】已知函数sin( )+ ( 0 0 )f x A x B A ，，的一系列对应值如下表：2x6 3 5643116 [73176y 2 4 2 4 （1）根据表格提供的数据求函数 f x 的解析式；（2）求函数 f x 的单调递增区间和对称中心；【答案】（1） f x 3sin x 1（2）352k ，2k (k Z)（k + ，1）(k Z).6 6 3（2）当2 2 ( )k x k k Z，即2 3 25x k ，k k Z时，函数f x 单调递2 2 ( )6 6增．令= ( x k k Z)，所以函数 f x 的对称中心为+ 1 ( x k k Z)，得= + ( k k Z)（，）．3 33考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法[ 来源:Z*xx*]类型二由y A sin( x ) 的图象求其函数式使用情景：一般函数y A s in( x ) 求其函数式解题模板：第一步观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x轴交点坐标等；第二步利用特殊点代入函数解析式计算得出参数A, , 中一个或两个或三个；第三步要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；第四步得出结论.例2 已知函数y A sin( x ) y A s in( x )( 0, , x R) 的图象如图所示，则该函数的2解析式是（）（A）y 4 sin( x ) （B）y 4 s in( x )8 4 8 4（C）y 4 s in( x ) （D）y 4 sin( x )8 4 8 4【答案】 D考点：y Asin x 的图像【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x轴的交点坐标可得其周期为T ，进而可得的大小；然后观察图像知其振幅 A 的大小；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到的大小.【变式演练3】已知函数 f x A sin x （其中 A 0, 0, ）的部分图象如图所示，则f x2的解析式为（）6A．2sinf x x B．f x2sin2x36C．2sin2f x x D．f x2sin4x6【答案】B【解析】考点：由y A s in(x)的部分图像确定解析式。

高三数学正弦型函数y=Asinωx+φ的图象及应用复习试题

第4讲正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日【2021年高考会这样考】1．考察正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考察y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用．3．考察y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点〞作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．根底梳理1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0 π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0 A 0 －A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤3．当函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，详细如下： (1)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝xk(其中 ωxk ＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk ＋φ＝kπ，k ∈Z)成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，假设最大值为M ，最小值为m ，那么A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1． y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.简谐运动f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的局部图象如下图，那么该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x(x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，那么g(x)的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，那么ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 5．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如下图，那么ω＝________.考向一作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．(1)“五点法〞作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位．【训练1】函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？考向二求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式【例2】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的局部图象如下图，那么f(0)的值是________．解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一局部如下图．(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．考向三函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的间隔为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f(x)的值域．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的间隔为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的递增区间．标准解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否那么容易产生错误．(2)主要题型：①求三角函数的值域(或者最值)；②根据三角函数的值域(或者最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或者最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】 ①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a2＋b2，sin φ＝b a2＋b2，将原式化为y ＝a2＋b2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或者最值)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或者最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a(t2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【例如】►(此题满分是12分)函数f(x)＝4cos xsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．首先化为形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4，求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值．[解答示范] (1)因为f(x)＝4cos xsin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，(4分) 所以f(x)的最小正周期为π.(6分)(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分)于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f(x)获得最大值2；(10分)当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f(x)获得最小值－1.(12分)解决这类问题常常借助三角函数的有界性或者转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin2x ＋acos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1？假设存在，求出对应的a 值？假设不存在，试说明理由． [尝试解答] y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a24＋58a －12，当0≤x≤π2时，0≤cos x≤1，令t ＝cos x ，那么0≤t≤1，∴y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a24＋58a －12，0≤t≤1.当0≤a 2≤1，即0≤a≤2时，那么当t ＝a 2，即cos x ＝a2时．ymax ＝a24＋58a －12＝1，解得a ＝32或者a ＝－4(舍去)．当a2＜0，即a ＜0时，那么当t ＝0，即cos x ＝0时， ymax ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，那么当t ＝1，即cos x ＝1时， ymax ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上知，存在a ＝32符合题意．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

正弦型三角函数的图像-简单难度-讲义

正弦型三角函数的图像知识讲解一、正弦型三角函数的性质1.函数()sin y A x ωϕ=+的图像与函数sin y x =图像的关系振幅变换：()sin 0,1y A x A A =>≠的图像，可以看成是sin y x =图像上所有点的纵坐标都伸长()1A >或缩短()01A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：)1,0(sin ≠>=w w wx y 的图像，可以看成是sin y x =的图像上各点的横坐标都缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原点的1ω倍（纵坐标不变）而得到的，由于sin y x =的图像得到()sin y A x ωϕ=+的图像主要有下列两种方法：()()()sin sin sin sin y x y x y x A x ϕωϕωϕ=−−−−→=+−−−−→=+−−−−→+相位变换周期变换振幅变换()()sin sin sin sin y x y x y x y A x ωωϕωϕ=−−−−→=−−−−→=+−−−−→=+周期变换相位变换振幅变换2.三角函数的性质函数 sin y x =cos y x =tan y x = cot y x =定义域 R R{|,,}2x x R x k k ππ∈≠+∈Z 且{|,,}x x R x k k π∈≠∈Z 且值域 [1,1]-[1,1]-RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数3.sin y x=与sin y x=的性质典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•全国）要得到y=cosx，则要将y=sinx（）A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：要将y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）=cosx的图象，故选：C．2．（2018•榆林一模）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2【解答】解：根据曲线=sin（x﹣），把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x﹣）的图象，故选：B．3．（2018•岳阳二模）若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象对应的函数解析式为y=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故所得图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，故选：D．4．（2018•四川模拟）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin（2x++）=2sin（2x+）的图象，令2x+=kπ+，可得x=﹣，k∈Z，则平移后图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，故选：A．5．（2018•一模拟）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos （4x﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．6．（2018•通渭县模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．7．（2018•一模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，根据+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．故选：A．8．（2018•红桥区二模）设函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递增B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递减D．g（x）在（，π）上单调递增【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵T==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得：k，k∈Z，当k=0时，x∈[0，]，即g（x）在（0，）上单调递减．故选：C．9．（2018•佛山一模）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x ﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．10．（2018•渭南二模）函数y=Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：根据函数y=Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象，可得A=2，•=﹣（﹣），∴=2．再根据当x=﹣时，y=2sin（﹣+φ）=2，可得sin（﹣+φ）=1，故有﹣+φ=2kπ+，求得φ=2kπ+，结合0＜φ＜π，求得φ=，故函数y=Asin（2x+），故选：A．二．填空题（共3小题）11．（2016•淮安一模）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ），图象中AB两点距离为5，设A（x1，2），B（x2，﹣2），∴（x2﹣x1）2+42=52，解得：x2﹣x1=3，∴函数的周期T=2×3=，解得：ω=．故答案为：．12．（2016•海淀区模拟）把函数y=sin（﹣2x）向右平移个单位，然后把横坐标变为原来的2倍，则所得到的函数的解析式为y=cosx．【解答】解：函数向右平移个单位，得，把横坐标变为原来的2倍，得函数的解析式为y=cosx．故答案为：y=cosx．13．（2016春•南通期末）函数y=sin2x图象的振幅为．【解答】解：函数y=sin2x图象的振幅为，故答案为：．三．解答题（共2小题）14．（2018春•双台子区校级期末）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及图象的对称中心；（2）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x+=sin2x﹣•+=sin2x﹣cos2x=•sin（2x﹣），故它的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ，求得x=+，可得函数的图象的对称中心为（+，0）．（2）在闭区间[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为．15．（2010•广州模拟）已知函数，x∈R．（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解答】解：（1）函数的振幅为，周期为π，初相为．（2）列表：x0π2π00画简图：（3）函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的一半得到函数的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的一半得到函数的图象．。

2021年高考数学真题逐题解析：正弦型函数的单调性及应用(解析)

第4题正弦型函数的单调性及应用一、原题呈现【原题】下列区间中,函数 π7sin 6x x f单调递增的区间是（）A.π0,2B.π,π2C.3ππ,2D.3π,2π2【答案】A 【解析】解法一：因为函数sin y x 的单调递增区间为 ππ222π,2πk k kZ ,对于函数 π7sin 6x x f,由 πππ2π2π262k x k kZ ,解得 π2π2π2π33k x k k Z ,取0k ,可得函数 f x 的一个单调递增区间为π2π,33,则ππ2π0,,233 ,ππ2π,π,233,A 选项满足条件,B 不满足条件；取1k ,可得函数 f x 的一个单调递增区间为5π8π,33,3ππ2ππ,,233 且3π5π8ππ,,233 ,3π5π8π,2π,233,CD 选项均不满足条件.,故选A.解法二：利用复合函数的单调性逐个验证.设π6t x 对于A,当π0,2x时ππ,63t ,由7sin y t 在ππ,63上是增函数,可得A 满足条件；对于B,当π,π2x时π5π,36t ,由7sin y t 在π5π,36上不单调,可得B 不满足条件；对于C,当3ππ,2x时5π4π,63t ,由7sin y t 在5π4π,63上是减函数,可得C 不满足条件；对于D,当3π,2π2x 时4π11π,36t ,由7sin y t 在4π11π,36上不单调,可得D 不满足条件；故选A.解法三： π7sin 6x x f在区间 ,a b 上单调递增,则 ,x a b 时 π7cos 06f x x恒成立.对于A,当π0,2x时πππ663x , 0f x 恒成立,A 满足条件；对于B,当π,π2x时,由5π2π1cos 0632f,可得B 不满足条件；对于C,当3ππ,2x时,由7πcos π106f,可得C 不满足条件；对于D,当3π,2π2x时,由19π17πcos 01212f,可得D 不满足条件；故选A.【就题论题】本题以正弦型函数为载体,考查三角函数的单调性,试题简洁流畅,属于常规题型,侧重对重要基础知识的考查.三角函数单调性是三角函数的一个重要性质,也是高考考查的热点,对于求正弦型函数的单调性课本有不少类似的题,这说明课本是高考试题的生长点,复习时不要丢掉课本.二、考题揭秘【命题意图】本题考查三角函数的单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易.【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质.【得分秘籍】(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解；(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解；如已知ω>0,函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2,π)上单调递增,求ω的取值范围．可先根据函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π,2k π],k ∈Z ,＋π4≥－π＋2k π，＋π4≤2k π，k ∈Z ,解得4k －52≤ω≤2k －14,k ∈Z ,再根据4k －52－kk ∈Z 且2k －14＞0,k ∈Z ,得k ＝1,求得ω的取值范围是32，74.(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间 ,a b 上的值域或最值,一般根据y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间 ,a b 上的单调性来求；(4)研究sin cos y a x b x 的单调性,要先利用辅助角公式把函数化为构造y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式；(5)研究22sin sin cos cos y a x b x x c x d的单调性,要先利用21cos21sin ,sin cos 2,22x x x x x21cos 2cos 2xx降幂,再利用辅助角公式把函数化为构造y ＝Asin(2x ＋φ)+B 的形式.【易错警示】(1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性时,如果ω＜0,一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；(2)把sin cos y a x b x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时忽略φ所在象限,导致φ值求错.(3)单调区间表示不规范,如没有用区间表示,没有写k Z 等.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021福建省宁德市高三质量检查）若偶函数())cos(2)f x x x 在,04上为减函数,则φ的可能取值为（）A ．6B ．3C ．56D ．23【答案】D【解析】因为())cos(2)2sin(2)6f x x x x为偶函数,所以62k,k Z ,即3k ,k Z ,故A ,C 错误,当23时,()2cos 2f x x 在[4,0]上为减函数,故D 正确；当3时,()2cos 2f x x 在[4 ,0]上为增函数,故B 错误；故选D2．（2021广东省燕博园高三3月数学综合能力测试）已知函数 sin f x A x （A , , 均为正常数）,相邻两个零点的差为π2 ,对任意x , 2π3f x f恒成立,则下列结论正确的是（）A ． 220f f f ＜＜B ． 022f f f ＜＜C ．202f f f ＜＜D ．202f f f ＜＜【答案】A【解析】函数sin f x A x （A , , 均为正常数）,相邻两个零点的差为π2,所以πT ,所以2 ,对任意x , 2π3f x f 恒成立,即2πsin 23A A,故π6所以πsin 26f x A x ．故 ππ2sin 4sin 42π066f A Aπ2sin 406f A, π5π0sin sin 066f A A ,由于3ππ5π42π26π2 ,函数在π3π,22上单调递减,故 220f f f ．故选A ．3．（2021河北省沧州市高三三模）把函数2sin 2y x 的图象向左平移3个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可得到函数 f x 的图象,则（）A ． 2sin 213f x xB ． f x 的最小正周期为2C ． f x 的图象关于直线6x对称D ． f x 在5,612上单调递减【答案】D【解析】将函数2sin 2y x 图象向左平移3 个单位长度得到22sin 22sin 233y x x的图象,再向上平移1个单位长度可得到 22sin 213f x x的图象,故A 错误.22T ,故B 错误；令22,32x k kZ ,得,122k x k Z ,当0k 时,12x ；当1k 时,512x ,故C 错误.令23222,232k x k k Z ,5,1212k x k k Z ,所以 f x 在5,612上单调递减,故D 正确.故选D.4．（2021湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中高三下学期二模）已知函数()sin (0)f x x x 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位,得到函数()g x 的图象,则函数()g x （）A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x 对称C ．在ππ,42 上是增函数D ．在区间π2π,63上的值域为【答案】D【解析】 sin 2sin 3f x x x xQ ,由于函数 y f x 的零点构成一个公差为2的等差数列,则该函数的最小正周期为 ,0 ∵,则22,所以 2sin 23f x x,将函数 y f x 的图象沿x 轴向右平移6个单位,得到函数 2sin 22sin 263g x x x的图象.对于A 选项,函数 y g x 的定义域为R , 2sin 22sin 2g x x x g x ,函数 y g x 为奇函数,A 选项错误；对于B 选项,2sin 022g,所以,函数 y g x 的图象不关于直线2x对称,B 选项错误；对于C 选项,当,42x 时,22x ,则函数 y g x 在,42上是减函数,C 选项错误；对于D 选项,当263x 时,4233x,则sin 212x , 2g x .所以,函数 y g x 在区间2,63 上的值域为 ,D 选项正确.故选D.5．（2021湖南省三湘名校教育联盟高三下学期第三次大联考）函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递增区间为（）A ．[kπ﹣512 ,k 12],k ∈Z B ．[kπ+12,kπ+712],k ∈ZC ．[kπ﹣2 ,kπ+2],k ∈Z D ．[kπ+12,kπ+512],k ∈Z 【答案】A 【解析】由图象知,74123T ,∴T =π,∴2 ,ω=2,∴())f x x过点7,12 ,∴722,122k k Z,所以223k ,k Z ,且|φ|<π,∴23,∴2()23f x x,当23222232k x k ,k Z ,即7131212k x k,k Z 时,函数单调递增,∴ f x 的单调递增区间为713,,1212k k k Z,∴ f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z.故选A .6．（2021湖南省怀化市高三联考）已知函数()sin (0)6f x x在区间2,43上单调递增,则的取值范围为（）A ．80,3B ．10,2C ．18,23D ．3,28【答案】B【解析】由函数解析式知：()f x 在 2,222k k k Z上单调递增,∴121(2)(2),33k x k k Z,()f x 单调递增,又∵()f x 在区间2,43上单调递增,∴12(23412(233k k,解得8831320k k k Z,所以当0k 时,有102 ≤,故选B7．（2021江苏省镇江市四校高三联考）函数()sin()0,0,||2f x A x A的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象向左平移3个单位长度后得到()y g x 的图象,则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2C ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k kZ D ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k kZ 【答案】D【解析】由图象可知3A ,33253441234T ,∴2 ,则()3sin(2)f x x .将点5,312的坐标代入()3sin(2)f x x 中,整理得5sin 2112,∴522,Z 122k k ,即2,Z 3k k ；||2,∴3,∴()3sin 23f x x.∵将函数()f x 的图象向左平移3 个单位长度后得到()y g x 的图象,∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R. ()3sin 23sin 233g x x x g x,∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数,故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T,故B 不正确.令2,32x k k Z ,解得,122k x k Z ,则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z .故C 错误；由222,232k x k kZ ,可得5,1212k x k k Z ,∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z.故D 正确；故选D.8．（2021山东省淄博市高三一模）已知cos cos f x x x x 在区间,3m上的最大值是32,则实数m 的最小值是（）A ．12B ．3C ．12D ．6【答案】D【解析】cos cos f x x x x 2cos cos x x x1cos 211sin 2sin 2cos 222222x x x x1sin 262x .由于1131sin 21,sin 262622x x,即 f x 的值域为13,22,211sin 33622f ,即 f x 在3x 处取得最小值,而 f x 的最小正周期为22 ,其一半为2 ,则326,所以 f x 在,36上递增,且在6x 处取得最大值32,故m 的最小值为6 .故选D9．（2021山东省日照第一中学高三第二次联合考试）已知函数 f x 在定义域上是单调函数,且 20202021xf f x,当 sin g x x x kx 在,22上与 f x 在R 上的单调相同时,实数k 的取值范围是（）A ． ,1B ．C ．, D ．【答案】C【解析】∵函数 f x 在定义域上是单调函数,且 20202021x f f x ,2020x f x 为定值,设 2020x f x t ,则 2021f t ,且 2020t f t t ,20212020t t ,解之得1t , 20201xf x , f x 在R 上的单调递增,sin 2sin3g x x x kx x kx ∵, 2cos 3g x x k,sin g x x x kx ∵在,22上与 f x 在R 上的单调性相同,2cos 03g x x k在,22 上恒成立,2cos 3x k在,22 上恒成立,5636x ,3cos 123x,2cos 23x ,k .故选C10．（2021广东省惠州市高三下学期一模）切割是焊接生产备料工序的重要加工方法,各种金属和非金属切割已经成为现代工业生产中的一道重要工序.被焊工件所需要的几何形状和尺寸,绝大多数是通过切割来实现的.原材料利用率是衡量切割水平的一个重要指标.现需把一个表面积为28π的球形铁质原材料切割成为一个底面边长和侧棱长都相等的正三棱柱工业用零配件,则该零配件最大体积为（）A ．6B ．C ．18D ．2二、多选题11．（2021广东省珠海市高三二模）已知函数 22cos cos sin f x x x x x ,则（）A ．是函数 f x 的一个周期B ．6x是函数 f x 的一条对称轴C ．函数 f x 的一个增区间是,36D ．把函数2sin 2y x 的图像向左平移12个单位,得到函数 f x 的图像【答案】ACD【解析】依题意： 2cos 22sin(26f x x x x,对于A 选项： f x 的周期22T,即A 正确；对于B 选项：因2sin[2(]2sin(16666f,则6x 不是函数 f x 的对称轴,即B 不正确；对于C 选项：222()262k x k k Z 得()36k x k k Z,即 f x 单调递增区间是(,)()36k k k Z,k =0时,,36是 f x 的一个增区间,即C 正确；对于D 选项：函数2sin 2y x 的图像向左平移12 个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x,即D 正确.故选ACD12．（2021广东省汕头市高三三模）已知函数 sin cos 0f x a x b x ab ,且对任意x R 都有66f x f x,则以下正确的有（）A ． f x 的最小正周期为2B ． f x 在7,66上单调递减C ．23x是 f x 的一个零点D ．33a b 【答案】ACD【解析】由题意可知函数 f x 的图象关于直线6x对称,则6f即1322a b ,整理可得2230a b ,即20b,所以,b,0ab ∵,所以,33a b ,D 选项正确；sin cos 2sin 3f x a x x a x,故函数 f x 的最小正周期为2 ,A 选项正确；当766x 时,可得3232x ,若0a ,则函数 f x 在7,66上单调递增,B 选项错误；22sin 03f a,故23x 是 f x 的一个零点,C 选项正确.故选ACD.13．（2021河北省石家庄市高三下学期质检）函数 2sin 0,0f x x 的图象如图,把函数 f x 的图象上所有的点向右平移6个单位长度,可得到函数 y g x 的图象,下列结论正确的是（）A ．3B ．函数 g x 的最小正周期为C ．函数 g x 在区间,312上单调递增D ．函数 g x 关于点,03中心对称【答案】BC【解析】由图可知：1112113124T T,所以11211129 ,所以18241111 ,又因为02sin f ,0 ,所以3或23,又因为11112sin 21212f,所以112,122k k Z ,又因为113,2122 ,所以113,3122,所以1k ,当3时,1113126 ,解得2611 ,这与18241111 矛盾,不符合；当23 时,1111126,解得2 ,满足条件,所以 22sin 23f x x,所以 22sin 22sin 2633g x x x,A ．由上可知A 错误；B ．因为 2sin 23g x x,所以 g x 的最小正周期为2=2,故B 正确；C ．令222,232k x k k Z,所以5,1212k x k k Z,令0k ,此时单调递增区间为5,1212,且5,,3121212,故C 正确；D ．因为2sin 20333g,所以,03 不是对称中心,故D 错误；故选BC.14．（2021湖北省武汉市武昌区高三下学期5月质量检测）已知函数 sin sin 03f x x x在 0, 上的值域为,12,则实数的值可能取（）A ．1B ．43C ．53D ．2【答案】ABC 【解析】1sin sin sin sin cos cos sin sin cos 33322f x x x x x x x xsin 3x,因为 0,x ,所以,333x,又函数 f x 在 0, 上的值域为,12, 02f ,所以由正弦函数的对称性,只需4233 ,则5563,因此ABC 都可能取得,D 不可能取得.故选ABC.15．（2021湖北省十堰市高三下学期4月调研）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x (0,0)a ,若()f x 的最小正周期为 ,且对任意的x R , 0()f x f x 恒成立,下列说法正确的有（）A ．2B ．若06x,则aC ．若022f x,则a D ．若()()2|()|g x f x f x 在003,4x x上单调递减,则324 【答案】BCD【解析】因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x sin 2cos2)a x x x ,其中cossin．因为()f x 的最小正周期为 ,所以1 ,故A 错误．因为对任意的x R , 0()f x f x 恒成立,以 0f x 是()f x 的最小值．若06x,则22()62k kZ ,2()6k k Z ．所以3cos 2,a 故B 正确．因为 0f x 是()f x 的最小值,所以02f x为最大,2 ,所以a 故C 正确．因为当003,42x x x时,()0f x ,所以()() g x f x ．因为()f x 在003,42x x 上单调递增,所以()g x 在003,42x x上单调递减．当00,24x x x时,()0f x ,所以()() g x f x ．因为()f x 在00,24x x 上单调递减,所以()g x 在00,24x x上单调递增,所以000342x x x,所以324,故D 正确．故选BCD16．（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考）将曲线23sin )sin()2y x x x ,上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,得到 g x 的图像,则下列说法正确的是（）A ．213gB ． g x 在 0, 上的值域为30,2C ． g x 的图像关于点(,0)6对称D ． g x 的图像可由1cos 2y x 的图像向右平移等23个单位长度得到【答案】BD【解析】223sin )sin sin cos 2y x x x x x x11111cos 2sin 2sin 2cos 2sin 22222262x x x x x,所以 1sin 62g x x,所以对于A 选项,2213sin 133622g,故A 选项错误；对于B 选项,当 0,x 时,5,666x,所以 30,2g x,故B 选项正确；对于C 选项, g x 的图像关于点1,62对称,故C 选项错误；对于D 选项,1cos 2y x的图像向右平移等23个单位长度得到2111cos cos sin 3262262y x x x,故D 选项正确.故选BD17．（2021江苏省南通学科基地2021届高三下学期高考全真模拟）已知函数()sin (0)3f x x在 0, 上有且只有三个零点,则下列说法中正确的有（）A ．在 0, 上存在1x ,2x ,使得 122f x f xB ．的取值花围为710,33C ．()f x 在0,4上单调递增D ．()f x 在(0,) 上有且只有一个最大值点【答案】ABC【解析】对于A,由题意可知 f x 的最小正周期T ,所以在(0,) 上既可以取得最大值也可以取得最小值,故A 正确.对于B,函数 f x 图象在y 轴右侧与x 轴交点的横坐标分别为3 ,43 ,73 ,103,要使 f x 在 0, 上有且只有三个零点,只需73103,解得71033 ,故B 正确.对于C,函数 f x 在50,6上单调递增,因为71033,所以55,6414 ,故C 正确.对于D,考虑到710173326的取值范围为1717,2014 ,显然1720 ,所以可能存在两个最大值点,故D 错误.故选ABC.三、填空题18.（2021湖北省部分重点中学高三联考）已知函数()2sin 23f x x在区间173a，上是单调函数,则实数a 的最大值为__________.【答案】7312【解析】sin y x 的单调增区间为2,2,22k k k Z当6k 时,sin y x 的单调增区间为12,1222由于1735212,1233322则要使函数()2sin 23f x x在区间173a，上是单调函数必须732123212a a即实数a 的最大值为7312 ,故答案为731219．（2021河北省唐山市高三模拟）若函数()sin()f x x （0 ,02 ）的图像关于点(,0)6对称,且()f x 在[0,]6上单调递减,则 __________．【答案】3【解析】因为 sin f x x 的图像关于点,06 对称,且 f x 在0,6上单调递减,所以有246T,即ω3 ,又 2k Z 6k，,因为0 ,02 ，所以有26662k,所以312k 612k ,因为03k Z ，,所以k 0,36 ,故ω3 .。

2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图像和性质练习(含解析)

专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】－π6【解析】由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。

正弦型三角函数的图像-简单难度-讲义

正弦型三角函数的图像] · [培优] · [知识点+典型例题]

正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图像(附答案)海黄和紫檀哪个更有价值怕上当受骗，我们教你如何鉴别小叶紫檀的真伪！点击访问：木缘鸿官网北京十里河古玩市场，美不胜收的各类手串让记者美不胜收。

“黄花梨和紫檀是数一数二的好料，市场认可度又高，所以我们这里专注做这两种木料的手串。

”端木轩的尚女士向记者引见说。

海黄紫檀领风骚手串是源于串珠与手镯的串饰品，今天曾经演化为集装饰、把玩、鉴赏于一体的特征珍藏品。

怕上当受骗，我们教你如何鉴别小叶紫檀的真伪！点击访问：木缘鸿官网“目前珍藏、把玩木质手串的人越来越多，特别是海黄和印度小叶檀最受藏家追捧，有人把黄花梨材质的手串叫做腕中黄金。

”纵观海南黄花梨近十年的价钱行情，不难置信尚女士所言非虚。

一位从事黄花梨买卖多年的店主夏先生通知记者，在他的记忆中，2000年左右黄花梨上等老料的价钱仅为60元/公斤，2002年大量收购时，价格也仅为2万元/吨左右，而往常，普通价钱坚持在7000-8000元/公斤，好点的1公斤料就能过万。

“你看这10年间海南黄花梨价钱涨了百余倍，都说水涨船高，这海黄手串的价钱自然也是一路飙升。

”“这串最低卖8000元，能够说是我们这里海黄、小叶檀里的一级品了，普通这种带鬼脸的海黄就是这个价位。

”檀梨总汇的李女士说着取出手串让记者感受一下，托盘里一串直径2.5mm的海南黄花梨手串熠熠生辉，亦真亦幻的自然纹路令人入迷。

当问到这里最贵的海黄手串的价钱时，李女士和记者打起了“太极”，几经追问才通知记者，“有10万左右的，普通不拿出来”。

同海南黄花梨并排摆放的是印度小叶檀手串，价位从一串三四百元到几千元不等。

李女士引见说，目前市场上印度小叶檀原料售价在1700元/公斤左右，带金星的老料售价更高，固然印度小叶檀手串的整体售价不如海黄手串高，但近年来有的也翻了数十倍，随着老料越来越少，未来印度小叶檀的升值空间很大。

“和海黄手串比起来，印度小叶檀的价钱相对低一些，普通买家能消费得起。

专题07 三角函数的图像与性质-2020年高考数(文)题根探源(全国Ⅰ卷)

专题07 三角函数的图像与性质【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 最小正周期为224332T πππω===，故选：C 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．的【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=.故选B.【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 【命题意图】（1）能画出y =sin x ，y =cos x ，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等）. （3）能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（4）理解同角三角函数的基本关系式、诱导公式，能运用和与差的三角函数公式、二倍角公式等进行简单的恒等变换. 【命题规律】三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下. 常见的命题角度有：（1）三角函数的图象变换；（2）三角函数解析式的确定；（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）；（4）函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用．【方法总结】（一）函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. （二）结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法（1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（三）求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；（2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；（3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．（四）三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. （五）三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T =2||ωπ，T =2||ωπ，T =||ωπ求解．（2）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f （x 0）的值进行判断．（3）若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0. （六）三角函数的图象及性质与三角恒等变换相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式．（2）利用公式2π(0)T ωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．【好题训练】1．【2020广西南宁高三调研】如图，直线 2230x y +-=经过函数() sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||ϕπ<）图象的最高点 M 和最低点 N ，则A ．2πω=，4πω=B ．ωπ=， 0ϕ=C ．2πω=，4πϕ=-D ．ωπ=， 2ϕπ=【答案】A【解析】由M ，N 分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和1-，代入直线2230x y +-=得其横坐标分别为12和52，故1,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,12N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得51 2222T =-=，故24T πω==，故2πω=，M代入()f x 得11sin 22πϕ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭，故12222k ππϕπ⨯+=+，所以24k k Z πϕπ=+∈，因为||ϕπ<，所以4πϕ=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题．A 为振幅，有其控制最大、最小值，ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T 和4T,φ称为初象，通常解出A ，ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.2．【2020福建三明高三三模】函数()|sin |cos 2f x x x =+的值域为 A ．91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意得22()|sin |12sin 2|sin ||sin |1f x x x x x =+-=-++21992sin 0,488x ⎛⎫⎡⎤=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选D.【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变换及性质，考查二次函数值域，考查运算求解能力，是中档题.3．【2020安徽阜阳高三模拟】已知函数()()2sin 0,0y x ωθωθπ=+><<为偶函数，其图象与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ，若12x x -的最小值为π，则 A ．=2=2πωθ， B ．1==22πωθ， C ．1==24πωθ，D ．=2=4πωθ，【答案】A【解析】因为函数与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ，且12x x -的最小值为π，所以周期T π=，,所以2==2πωπ，又函数为偶函数且0θπ<<，所以=2πθ，故选A. 【名师点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，涉及周期性和奇偶性，属于中档题.4．【2020河南洛阳高三联考】将函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是A ．函数()g x 1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()g x 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D【解析】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得：πππ()2sin 22sin 2666h x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得：()π2sin 6g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()g x 的最大值为2，可知A 错误；()g x 的最小正周期为2π，可知B 错误；π3x =时，ππ66x -=，则π3x =不是()g x 的图象的对称轴，可知C 错误；当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ0,62x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 【名师点睛】本题考查三角函数图象平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.求解时，根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.5．【2020湖南邵阳高三质检】已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于4π，若()6，x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭，则正数ϕ的最小值为A ．6πB ．56π C ．3π D ．4π 【答案】B【解析】∵函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于4π， ∴1224ππω⋅=，∴4ω=，∴()sin(4)f x x ϕ=+，又∵()6，x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭，∴6x π=是()f x 的一条对称轴，∴462k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈ ，∴6，k k Z πϕπ=-∈.∵0ϕ>，故令1k =，得56πϕ=为最小值.故选：B. 【名师点睛】本题为考查“()sin()f x A x b ωϕ=++的图像和性质”的基本题型，考查学生对三角函数相关性质的理解记忆，以及运用，为中等偏下难度题型. 6．【2020广东省韶高三调研】已知函数ππ()sin cos 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是 A ．()f x 的图象关于π=4x 对称 B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．()f x 的一个对称中心是(π,0)【答案】D【解析】ππ1π1()sin cos sin 2|cos2|44222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()f x 的图象知，()f x 的图象关于π4x =对称，故A 正确；()f x 的最小正周期为π2，故B 正确； ()f x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故C 正确；点(π,0)不是()f x 的一个对称中心，故D 错误.选：D【名师点睛】本小题考查三角函数的图象，考查余弦函数的最小正周期、对称轴、对称中心、单调区间等基本知识，考查了运算能力，逻辑推理能力，函数与方程思想，属于中档题.7．【2020江西赣州高三诊断】已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B 【名师点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.8．【2020广东佛山高三模拟】已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为A ．1B ．3C ．6D ．7【答案】D【解析】因为()()11f x f x =+-，则()()2f x f x =-，所以()f x 的最小正周期为2，又由()()()111f x f x f x +=-=-得()f x 的图像关于直线1x =对称.令()cos g x x π=，则()g x 的图像如图所示，由图像可得，()y f x =与()cos g x x π=的图像在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有7个交点且实数解的和为2317⨯+=,故选D.【名师点睛】一般地，方程()()f x g x =的解的性质的讨论，可以通过构建新函数()()()F x f x g x =-来讨论，也可以通过考虑()y f x =和()y g x =的图像的交点性质来讨论. 9．【2020湖北襄阳高三模拟】关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.【名师点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．【2020河南郑州高三质检】已知函数()1cos 2c 4os f x x b x c =++，若对任意1x ，2x R ∈，都有12()()4f x f x -≤，则b 的最大值为 . 【答案】2 【解析】2111()cos 2cos cos cos 424f x x b x c x b x c =++=++-，令[]cos 1,1t x =∈-，问题等价于211()24g t t bt c =++-，对任意1t ∀，[]21,1t ∈-，都有()()124g t g t -≤，即max min ()()4g t g t -≤，欲使满足题意的b 最大，所以考虑0b >，21()2g t t bt c =++对称轴为x b =-，当01b <<时，2max min 11()(1),()()22g t g b c g t g b b c ==++=-=-+m max 22in ()()4111(1)2222g t g t b b b =-=++<≤+，01b ∴<<；当1b ≥时，max min ()()(1)(1)24g t g t g g b -=--=≤，2b ≤，12b <≤，综上，02b <≤,b 的最大值为2，故选：C.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了二次函数的性质应用问题，属于较难题．。

高三数学三角函数图象变换试题

高三数学三角函数图象变换试题1.将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．【答案】.【解析】将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故所得的图象的函数解析式为．【考点】三角函数图象变换．2.将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可化为.依题意等价于将函数向下平移一个单位得到，再向右平移个单位即可得到.【考点】1.三角函数的平移.2.三角函数诱导公式.3.将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为将函数的图像向右平移个单位，可得到函数图像对应的函数解析式为.再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为.化简可得，即.故选C.【考点】1.函数图像的左右上下平移规则.2.三角形函数二倍角公式.4.把函数的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是A．B．C．D．【答案】A【解析】把函数的图象向右平移个单位后，所得到函数为，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是，选A.【考点】三角函数图像的平移、伸缩变换.5.以下命题正确的是_____________.①把函数的图象向右平移个单位，得到的图象；②的展开式中没有常数项；③已知随机变量~N(2,4)，若P(＞)= P(＜)，则；④若等差数列前n项和为，则三点，(),()共线.【答案】①②④【解析】把函数的图象向右平移个单位，得，即，①正确；的展开式的通项公式为（），令=0，无解，②正确；由题意正态曲线关于对称，且P(＞)= P(＜)，则，③错误；因为等差数列的前n项和为，所以，故点在直线上，④正确.【考点】1、三角函数图像变换；2、二项式定理；3、等差数列前n项和的性质.6.如果函数的图像关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的图像关于直线对称，则在处取得最值，所以，而，所以，故选D.【考点】1.三角函数的性质；2.函数的最值求解.7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B．【解析】函数，只需将函数向左平移个长度单位可得函数.【考点】三角函数的图像平移.8.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是，故选【考点】三角函数图像变换.9.将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是___________________.【答案】【解析】,将其图像向左平移个长度单位后得到，图像关于轴对称，则有所以的最小值是.【考点】10.函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为________．【答案】【解析】，得周期，于是，图象易知，根据五点作图法有，解得，所以，将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为【考点】函数的图象与性质.11.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】,由，只需向右平移个单位长度.【考点】函数图象的平移.12.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】将函数向右平移个单位长度得；将函数向右平移个单位长度得；将函数向左平移个单位长度得；将函数向左平移个单位长度得【考点】三角函数图像平移点评：三角函数向左平移个单位得向右平移个单位得13.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【答案】A【解析】因为，=，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象，向右平移个长度单位，选A。

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析1.要得到函数y＝3sin(2x＋)的图象，只需要将函数y＝3cos2x的图象()A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】A【解析】把函数y＝3cos2x的图象向右平移个单位得到的图象相应的函数解析式是y＝3cos2(x－)＝3cos(2x－)＝3sin(2x＋)，因此选A．2.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数图象所有的点向右移动个单位长度后所得图象的函数解析式为，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为.故C正确.【考点】三角函数的伸缩平移变换.3.为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．4.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”给出下列函数；；；其中“互为生成函数”的是（）A．①②B．①③C．③④【答案】B【解析】,向左平移个单位得到函数的图象，向上平移2个单位得到的图象，与中的振幅不同，所以选B.5.把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】B【解析】把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：，向左平移1个单位长度得：，再向下平移1个单位长度得：．令x＝0，得：；x＝，得：；观察即得答案．6.设命题：函数的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称；命题：函数在上是增函数．则下列判断错误的是（）A．为假B．为真C．为假D．为真【答案】D【解析】命题p,函数的图像向左平移个单位长度得到的函数解析式为,因为不是偶函数,所以不关于y轴对称,即命题p 为假命题.命题q,如图作出的函数图像可以发现该函数在区间上是单调递减的,在区间是单调递增的,所以命题q也是假命题,根据真值表可得为假命题,所以D是错误的,故选D【考点】命题真假三角函数指数函数域图像变化真值表7.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是A．B．C．D．【解析】由题意，选D．【考点】图象变换．8.已知向量（为常数且），函数在上的最大值为．（1）求实数的值；（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求取最大值时的单调增区间．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把向量，（为常数且），代入函数整理，利用两角和的正弦函数化为，根据最值求实数的值；（2）由题意把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，利用在上为增函数，就是周期，求得的最大值，从而求出单调增区间．试题解析：（1）．因为函数在上的最大值为，所以故．（2）由（1）知：，把函数的图象向右平移个单位，可得函数．又在上为增函数的周期即，所以的最大值为，此时单调增区间为．【考点】1．平面向量数量积的运算；2．三角恒等变换；3．三角函数的最值；4．三角函数的单调性；4、函数的图象变换．9.已知函数，则要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】,根据左加右减的平移原理，所以应该向左平移个单位长度，故选A.【考点】的图像变换10.已知的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，要得到的图像，只须把的图像 ( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解析】由于函数的最大值为1，又函数的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期为.所以.所以函数的解析式为.所以要得到函数只需要将向左平移各单位即可.故选A.【考点】1.三角函数的图像.2.三角函数图像的平移.3.三函数的诱导公式.11.已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－(ω>0)，其最小正周期为.(1)求f(x)的解析式．(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【答案】（1）sin（2）－<k≤或k＝－1.【解析】(1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－＝sin 2ωx＋－＝sin ，由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝.∴ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝sin 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图象．∴g(x)＝sin ，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.∴－<k≤或k＝－1.12.函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝cos2x的图象，则只要将f(x)的图象()．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由图象可知A＝1，，所以T＝π，又T＝＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin (2x＋φ)，又f＝sin ＝sin ＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin .因为g(x)＝cos 2x＝sin＝sin ，所以直线将f(x)向左平移个单位长度即可得到g(x)的图象．13.已知函数（，c是实数常数）的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是，(1)求函数的解析式及其单调增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围.【答案】（1），单调递增区间是；（2）.【解析】（1）三角函数问题一般都要化为的一个三角函数的形式，然后才可利用正弦函数的性质解题，这个函数图象上相邻有最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，而周期，再加上最高（低）点在函数图象上，我们就可出这个函数的解析式了（）；（2）由，根据向量数量积定义我们可求出，那么三角形的另一内角的范围应该是，即函数中的范围是，然后我们把一个整体，得出，而正弦函数在时取值范围是，因此可求出的值域．试题解析：(1)∵，∴.∵和分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，∴解得∴.由，解得.∴函数的单调递增区间是.(2)∵在中，，∴.∴，即.∴.当时，，考察正弦函数的图像，可知，.∴，即函数的取值范围是.【考点】（1）五点法与函数的图象；（2）三角函数在给定区间的值域．14.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）【答案】B【解析】这题考查函数图象的两个变换，平移变换，周期变换，当把函数图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，则得函数的图象，故本题选B.【考点】三角函数的图象变换.15.要得到函数y= sinx的图象，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位;C．向左平移个单位D．向左平移个单位;【答案】B【解析】首先函数化为.即由函数的图像向右平移可得函数的图像.所以选B.本校题要注意函数是要得到的函数.否则易做反了.【考点】1.正余弦函数的平移.2.关注诱导公式的变形.16.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )A．B．C．0D．【答案】B【解析】令，则，∵为偶函数，∴，∴，∴当时，，故的一个可能的值为．故选B．【考点】三角函数图像变化．17.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A．【解析】，故只需将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选A．【考点】三角函数的图像变换．18.把函数的图象按向量=（－，0）平移，所得曲线的一部分如图所示，则，的值分别是（）A．1，B．2，－C．2，D．1，－【答案】B【解析】把函数的图象按向量=（－，0）平移，得.由图得函数的周期.又.选B.【考点】三角函数图象的变换.19.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称【答案】D【解析】由函数的最小正周期是可知，，所以有，向右平移个单位后有是奇函数，所以，因为，所以.所以，关于点对称，关于直线对称.【考点】1.求三角函数的解析式；2.三角函数的图像与性质20.已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中常数(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，用五点法作出函数在区间的图像.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)由向量的数量积的坐标表示将表示出来，并利用正弦和余弦的二倍角公式将其表示为的形式，再由对称轴为，所以在处函数值取到最大值或最小值，从而得，代入并结合求的值，再利用和的关系，求；(Ⅱ)用代换得，先由，确定，从中取特殊点，，，，，再计算相应的自变量和函数值，列表，描点连线，即得在给定区间的图象.试题解析：(Ⅰ)，；(Ⅱ)0-2020【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、正弦和余弦的二倍角公式；3、五点作图法.21.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】D【解析】三角函数的图象在平移的过程中，振幅不变，①的函数的解析式化简为，④中的函数的解析式化简为，将③中的函数的图象向左平移个单位长度便可得到④中的函数图象，故选D.【考点】1.新定义；2.三角函数图象变换22.将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是 ()．A．sinx B．cosx C．2sinx D．2cosx【答案】D【解析】将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移个单位得,再作关于x轴的对称变换得，，即，令则，所以，，故f(x)可以是2cos x，选D.【考点】三角函数图象平移变换、二倍角公式.23.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】B【解析】∵，∴只需把函数的图象向右平移个单位，选B.【考点】三角函数的图象.24.将函数（）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为【答案】2【解析】，根据函数的图象可知，当函数在上为增函数的最大满足，所函数在上为增函数的最大.【考点】的图象与性质.25.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是，故选【考点】三角函数图像变换.26.函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则=___________.【答案】【解析】因为原函数解析式为，所以图象平移后的解析式为=，所以，解得.【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的图象变换等基础知识，这两部分知识都是高考的热点内容之一，几乎年年必考，熟练其基础知识是解答好本类题目的关键.27.函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数图象向右平移个单位，得到函数的解析式为A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．则说明周期为，w=2,排除A,B，对于C,D由于将函数图象向右平移个单位，变为，故可知答案为D.【考点】三角函数的图象变换点评：主要是考查了三角函数图象的平移变换的运用，属于基础题。

专题36 正弦函数、余弦函数的图像(解析版)

专题36 正弦函数、余弦函数的图像考点1 正弦函数的图像1.函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是()A．B．C．D．【答案】B【解析】按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示：2.用“五点法”画y＝sin x，x∈[－2π，0]的简图时，正确的五个点应为()A．(0,0)，(π2,1)，(π，0)，(3π2,−1)，(2π，0)B．(0,0)，(−π2,−1)，(－π，0)，(−32π,1)，(－2π，0)C．(0,1)，(π2,0)，(π，1)，(32π,0)，(2π，－1)D．(0，－1)，(−π2,0)，(－π，1)，(−32π,0)，(－2π，－1)【答案】B【解析】由五点法作图的概念可知B正确．3.函数y＝sin(2x－π3)在区间[－π2，π]的简图是()A．B．C．D．【答案】B【解析】当x＝－π2时，y＝sin[(2×(－π2)－π3]＝－sin(π＋π3)＝sinπ3＝√32＞0，故排除A，D；当x＝π3时，y＝sin(2×π3－π3)＝sin0＝0，故排除C，故选B.4.给出下列说法：①作正弦函数的图象时，单位圆的半径与x轴的单位长度要一致；②y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)对称；③y＝sin x，x∈[π2，5π2]的图象关于直线x＝3π2对称；④正弦函数y＝sin x的图象不超出直线y＝1和y＝－1所夹的区域．其中，正确说法的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】作出正弦函数y＝sin x的图象，可知①②③④均正确．5.已知函数f(x)＝|sin x|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝12的所有根的和等于() A．0B ．πC ．－πD ．－2π【答案】A【解析】若f (x )＝12，即|sin x |＝12，∴sin x ＝12或sin x ＝－12，∵x ∈[－2π，2π]，∴方程sin x ＝12的4个根关于x ＝－π2对称，则对称的2个根之和为－π，则4个根之和为－2π.由对称性可得sin x ＝－12的四个根之和为2π.故选A.6.如下图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧⌒AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】如下图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2sin θ，l ＝2θR ＝2θ， ∴d ＝2sin l 2，根据正弦函数的图象知，C 中的图象符合解析式.7.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是()A．[－1,1]B．(1,3)C．(－1,0)∪(0,3)D．[1,3]【答案】B【解析】由题意知，f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]＝{3sinx，x∈[0，π)－sinx，x∈[π，2π],在坐标系中画出函数图象：由其图象可知当直线y＝k，k∈(1,3)时，与f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，故选B.8.求函数f(x)＝lgsin x＋√16−x2的定义域.【答案】由题意，知x满足不等式组{sinx＞0，16−x2≥0,即{－4≤x≤4，sinx＞0，作出y＝sin x的图象，如图所示：结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).考点2 余弦函数的图像8.对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述：①向左向右无限伸展；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同.其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】如图所示为y＝cos x的图象.可知三项描述均正确.9.若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A．4B．8C．2D．4π【答案】D【解析】作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，其与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.10.若方程|cos x|＝ax＋1恰有两个解，则实数a的取值集合为()A．(－2π，－23π)∪(23π，2π)B．(－2π，0)∪(0，2π)C．[－2π，2π]D．{－2π，2π}【答案】D【解析】作出函数y＝|cos x|和y＝ax＋1的图象，由图象可知当直线经过点(π2，0)或(－π2，0)时，两个图象有两个交点，此时a ＝－2π或2π，故实数a 的取值集合为{－2π，2π}.11.利用“五点法”作出函数y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)的简图.【答案】(1)取值列表如下：(2)描点连线，如图所示：12.根据y ＝cos x 的图象解不等式：－√32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]. 【答案】函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为{x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}.考点3 正弦函数和余弦函数的综合应用13.在(0,2π)内使sin x＞|cos x|的x的取值范围是()A．(π4,3π4)B．(π4,π2]∪(5π4,3π2]C．(π4,π2 )D．(5π4,7π4)【答案】A【解析】∵sin x＞|cos x|，∴sin x＞0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈(π4,3π4).14.函数f(x)＝sin x的图象与g(x)＝cos x的图象关于某条直线对称，这条直线可以是()A．x＝3π4B．x＝3π2C．x＝－7π2D．x＝－7π4【答案】D【解析】设这条直线是x＝a，∵函数f(x)＝sin x的图象与g(x)＝cos x的图象关于x＝a对称，∴sin(2a－x)＝cos x，即有cos[π－(2a－x)]＝cos x，2∴可解得π－(2a－x)＝x＋2kπ，k∈Z，2故有a＝π－kπ，k∈Z，4.∴当k＝2时，a＝－7π415.若0＜x＜π，则2x与πsin x的大小关系是()2A．2x＞πsin xB．2x＜πsin xC．2x＝πsin xD．与x的取值有关【答案】B【解析】在同一坐标平面内作出函数y＝2x与函数y＝πsin x的图象，如图所示：观察图象易知：当x＝0时，2x＝πsin x＝0；时，2x＝πsin x＝π；当x＝π2)时，函数y＝2x是直线段，而曲线y＝πsin x是上凸的.所以2x＜πsin x，故选当x∈(0,π2B.16.已知a是实数，则函数f(x)＝a cos ax的图象可能是()A．B．C．D．【答案】C【解析】函数f(x)＝a cos ax，因为函数f(－x)＝a cos(－ax)＝a cos ax＝f(x)，所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为π，所以a＝2，所以B错误，C正确.17.在同一坐标系中，曲线y＝sin x与y＝cos x的图象的交点是()A．(2kπ+π2,1)B．(kπ+π4k √2)C．(kπ+π2,(−1)k)D．(kπ，0)k∈Z【答案】B【解析】在同一坐标系中，画出曲线y＝sin x与y＝cos x的图象，观察图形可知选项B正确，18.若函数f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a－1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个零点x1，x2(x1≠x2)，则x 1＋x 2－a 的取值范围是( ) A ．(π3−1,π3+1)B ．[π3,π3+1)C ．(2π3−1,2π3+1)D ．[2π3,2π3+1)【答案】B【解析】函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a －1的周期为π，令2x ＋π6＝π2，求得x ＝π6，可得函数在y 轴右侧的第一条对称轴方程为x ＝π6. 由于函数的两个零点为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝2×π6＝π3.由函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a －1(a ∈R )在区间[0，π2]上有两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2)，可得y ＝2sin(2x ＋π6)的图象和直线y ＝1－a 在区间[0，π2]上有两个交点. 由x ∈[0，π2]，可得2x ＋π6∈[π6，7π6]，2sin(2x ＋π6)∈[－1,2]，∴1≤1－a ＜2，求得－1＜a ≤0，故0≤－a ＜1， ∴π3≤x 1＋x 2－a ＜π3＋1.19.如图是函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0，|φ|≤π2)图象的一部分，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝√3，则φ的值为( )A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】D【解析】根据函数f(x)＝A sin(2x＋φ)(A＞0，|φ|≤π2)图象的一部分，可得A＝2，周期为2π2＝π，∴b－a＝π2.由f(x1)＝f(x2)，可得函数的图象关于直线x＝x1x22＝a+b2对称，故a＋b＝x1＋x2.由五点法作图可得2a＋φ＝0,2b＋φ＝π，∴a＋b＝π2－φ.结合f(a＋b)＝f(π2－φ)＝2sin(π－2φ＋φ)＝2sinφ＝f(x1＋x2)＝√3，可得sinφ＝√32，∴φ＝π3.20.函数y＝x－2sin x在区间[－π2，π2]上的图象大致为()A．B．C．D．【答案】D【解析】f(－x)＝－x＋2sin x＝－f(x)，∴函数为奇函数，故排除A，B，f(π3)＝π3－√3，f(π6)＝π6－1，f(π6)＞f(π3)，即在x＝π3时，取到最小值，排除C，故选D.21.已知函数f(x)＝sinπx和函数g(x)＝cosπx在区间[0,2]上的图象交于A，B两点，则△OAB的面积是()A．3√28B．√22C．5√28D．3√24【答案】A【解析】如图所示，∵sinπx ＝cosπx ＝sin(π2－πx )，x ∈[0,2]，∴解得πx ＝π－(π2－πx )＋2k π，k ∈Z (无解)或πx ＝π2－πx ＋2k π，k ∈Z ， ∴解得x ＝14＋k ，k ∈Z ，且x ∈[0,2]，∴x ＝14或54，∴解得坐标A (14，√22)，B (54，－√22).∴解得直线AB 所在的方程为y －√22＝－√2(x －14)，联立方程y ＝0，可解得，x ＝34，OC＝34.∴S △OAB ＝S △OAC ＋S △COB ＝12×OC ×√22＋12×OC ×√22＝3√28.故选A.22.函数f (x )＝2sinπx －11−x ，x ∈[－2,4]的所有零点之和为________. 【答案】8【解析】设t ＝1－x ，则x ＝1－t ，原函数可化为g (t )＝2sin(π－πt )－1t ＝2sinπt －1t ，其中，t ∈[－3,3]，因g (－t )＝－g (t )，故g (t )是奇函数，观察函数y ＝2sinπt 与曲线y ＝1t 的图象可知，在t ∈[－3,3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 7＋t 8＝0，从而x1＋x2＋…＋x7＋x8＝8.23.设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________.【答案】[π4,5π4]【解析】由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系内画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，观察图象知x∈[π4,5π4].24.若函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)(ω＞0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为____.【答案】π2【解析】由题意可得，函数的周期为2×2＝2πω，求得ω＝π2.25.已知0≤x≤2π，试探索sin x与cos x的大小关系.【答案】用“五点法”作出y＝sin x，y＝cos x(0≤x≤2π)的简图.由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ； ②当π4＜x ＜5π4时，sin x ＞cos x ；③当0≤x ＜π4或5π4＜x ≤2π时，sin x ＜cos x .。

高三数学三角函数的图象与性质试题

高三数学三角函数的图象与性质试题1.将函数的图象关于x＝对称，则ω的值可能是( )A．B．C．5D．2【答案】D【解析】根据正弦型函数的性质及已知条件，有取k＝0，得ω＝2满足条件，选D考点:三角函数的图象及其性质2.设函数（1）求函数的周期和单调递增区间；（2）设A,B,C为ABC的三个内角，若AB=1，，，求s1n B的值.【答案】（1）周期为,单调递增区间为（2）【解析】（1）用两角和差公式、二倍角公式和化一公式将函数化简为的形式，根据周期公式求其周期；将整体角代入正弦的单调增区间内，即可解得函数的增区间。

（2）根据可得角，根据正弦定理可得。

试题解析：=（1）函数的周期为.令，则∴函数f(x)的单调递增区间为（2）由已知，因为所以，，∴s1n C =.在中，由正弦定理，，得.【考点】1三角函数的化简；2正弦定理。

3.下列函数中周期为且图象关于直线对称的函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以选项A,B,C,D的周期依次为又当时，选项A,B,C,D的值依次为所以只有选项A,B关于直线对称，因此选B.【考点】三角函数性质4.函数的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】．令，解得．令得，故选D．【考点】1．三角恒等变换；2．三角函数图像性质．5.将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的最小值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】由于y＝cos x＋sin x＝2cos，向左平移m(m＞0)个单位长度后得到函数y＝2cos的图象．由于该图象关于y轴对称，所以m－＝kπ(k∈Z，m＞0)，于是m＝kπ＋ (k∈Z，m＞0)，故当k＝0时，m取得最小值.6.函数y=(acosx+bsinx)cosx有最大值2,最小值-1,则实数(ab)2的值为________.【答案】8【解析】y=acos2x+bsinxcosx=a·+sin 2x=sin(2x+φ)+,∴∴a=1,b2=8,∴(ab)2=8.【方法技巧】三角恒等变换的特点(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.7.设函数f(x)=msinx+cosx(x∈R)的图象经过点(,1).(1)求f(x)的解析式,并求函数的最小正周期.(2)若f(α+)=且α∈(0,),求f(2α-)的值.【答案】(1) f(x)= sin(x+) T=2π (2)【解析】(1)∵函数f(x)=msinx+cosx(x∈R)的图象经过点(,1),∴msin+cos=1,∴m=1,∴f(x)=sinx+cosx=sin(x+),∴函数的最小正周期T=2π.(2)f(α+)=sin(α++)=sin(α+)=cosα=,∴cosα=,又∵α∈(0,),∴sinα==,∴f(2α-)=sin(2α-+)=sin2α=2sinαcosα=.8.已知函数f(x)=sin(2x+).(1)求函数y=f(x)的单调递减区间.(2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.【答案】(1) [kπ+,kπ+](k∈Z) (2)见解析【解析】(1)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).∴函数的单调递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).(2)∵0≤x≤π,∴≤2x+≤.列表如下:2x+画出图象如图所示:9.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图像如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．【答案】(1) f(x)＝sin (2)【解析】解：(1)由图像得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将代入得1＝sin，而－<φ<，所以φ＝.因此函数f(x)＝sin.(2)由于x∈，－≤x＋≤，所以－1≤sin≤，所以f(x)的取值范围是.10.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为()．A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】由f＝0知是f(x)图象的一个对称中心，又x＝是一条对称轴，所以应有解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A.11.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()．A．2，－B．2，－C．4，－D．4，【答案】A【解析】T＝－，T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，又φ∈，∴φ＝－，选A.12..函数的部分图象如图所示，则的值分别是A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足故，.所以或由逐个检验知【考点】正弦函数的图象和性质.13.函数f(x)＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可以为()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【答案】A【解析】对于函数的对称轴方程为，则令，解得函数的对称轴方程为，当，有.所以正确答案为A.【考点】正弦函数的对称轴14.已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）值域为．【解析】(Ⅰ)首先由函数图象上一个最低点为，得A=2．又函数图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，所以，由此可求得的值，进而可求得的值．利用函数图象上一个最低点为，由代入法或关键点法可求得的值，最后得函数的解析式；（Ⅱ）在(Ⅰ)的基础上首先写出的表达式，利用三角函数的有关公式，将其化为一个复合角的三角函数，利用整体思想来求函数的值域．试题解析：（1）由最低点为，得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得，即，，由点在图像上得故，，又6分（2），．因为，则，所以值域为．12分【考点】1．由三角函数的图像及其性质求三角函数的解析式；2．三角函数的值域．15.已知函数，下列命题是真命题的为（）A．若，则.B．函数在区间上是增函数.C．直线是函数的一条对称轴.D．函数图象可由向右平移个单位得到.【答案】C【解析】，∵，∴，∴，∴所以A错；∵，∴，∴函数在上是减函数，所以B错；函数图像可由向左平移个单位得到，所以D错；直线是函数的一条对称轴，C正确.【考点】1.三角函数的最值；2.函数的对称轴；3.函数图像的平移变换；4.函数的单调性.16.将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位，得到函数y="g" (x)的图象．若y=g(x)在[]上为增函数，则的最大值( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意，要使其在[]为增函数，如图所示，只需，所以，选B.【考点】1、三角函数的图象变换；2、函数的单调性.17.函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数的解析式可得周期T=2，再结合图象可得A、P、B的坐标．设点P在x轴上的射影为M，得tan∠BPM=和tan∠APM=的值，再由tan∠APB=tan（∠BPM+∠APM）=，故选B.【考点】1.两角差的正切公式；2.三角函数的图像18.）已知向量=(，)，=(1，)，且=，其中、、分别为的三边、、所对的角.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求边的长．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由向量，，和 ,利用数量积公式可求得,即；（Ⅱ）因为,且,利用正弦定理将角转化为边,利用余弦定理来求试题解析：（Ⅰ）在中，，,所以，又, 所以,所以，即；（Ⅱ）因为，由正弦定理得,，得,由余弦定理得,解得.【考点】1、向量的数量积, 2、三角恒等变形, 3、解三角形.19.函数的部分图象如图所示，则的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将点（6,0）代入验证可知，的解析式为，故选B。

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析1.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，横坐标伸长到原来的2倍，则x变为2x，，向左平移个单位，x变为，，即，对称轴，化简得，当k取1时，故选：A．【考点】三角函数的图象变换．2.若把函数的图象向右平移m个单位（m＞0）后，所得到的图象关于轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，图象向右平移m个单位（m＞0）后，得到，其图象关于轴对称，即是偶函数，所以，解得m的最小值是，选D.【考点】三角函数辅助角公式，三角函数图象的变换.3.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数图象所有的点向右移动个单位长度后所得图象的函数解析式为，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为.故C正确.【考点】三角函数的伸缩平移变换.4.已知函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则()A．ω=1,φ=B．ω=1,φ=-C．ω=2,φ=D．ω=2,φ=-【答案】D【解析】因为=-=,所以T=π,所以ω=2,又×2+φ=,所以φ=-.5.将函数的图像向右平移个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线对称，则的最小正值为．【答案】【解析】由题意得：函数变为，因为所得图像关于直线对称，所以的最小正值为.【考点】三角函数图像变换6.函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像只需将的图像（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【答案】A【解析】由题意知函数的周期为，即；将向右平移个单位，得到.【考点】三角函数的图像平移变换.7.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】将函数的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，然后向左平移个单位得到函数，选C.8.把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】B【解析】把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：，向左平移1个单位长度得：，再向下平移1个单位长度得：．令x＝0，得：；x＝，得：；观察即得答案．9.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，选D．【考点】图象变换．10.函数的图像经过下列平移，可以得到偶函数图像的是（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】C【解析】由题意，假设向左平移个单位得到偶函数，即为偶函数，则，解得，由选项可知，当时，，即向右平移个单位，故选C.【考点】1.三角函数的平移；2.三角函数的奇偶性.11.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位，得到，再向上平移1个单位，得到，故选C.【考点】三角函数图象变换12.已知函数的图象经过点.（1）求实数的值；（2）设，求函数的最小正周期与单调递增区间.【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递增区间为.【解析】（1）将点代入函数的解析式即可求出实数的值；（2）根据（1）中的结果，先将函数的解析式进行化简，化简为或，再根据周期公式计算函数的最小正周期，再利用整体法对施加相应的限制条件，解出的取值范围，即可求出函数的单调递增区间.试题解析：（1）由于函数的图象经过点，因此，解得，所以；（2），因此函数的最小正周期，由，解得，故函数的单调递增区间为.【考点】1.二倍角公式；2.三角函数的周期性与单调性13.若ω>0，函数y＝cosωx＋的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值为()A．B．C．3D．4【答案】C【解析】由题意，得＝k (k∈N*)，所以ω＝3k(k∈N*)，所以ω的最小值为3.14.将函数y＝cos x＋sin x(x∈R) 的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是________．【答案】【解析】y＝cos x＋sin x＝2sin ，向左平移m个单位长度后得到y＝2sin ，由它关于y轴对称可得sin(＋m)＝±1，∴＋m＝kπ＋，k∈Z，∴m＝kπ＋，k∈Z又m>0，∴m的最小值为.15.为了得到函数y＝sin 的图象，只需把函数y＝sin 的图象()．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】注意到把y＝sin 的图象向右平移个单位长度得到y＝sin [2(x－)＋]＝sin 的图象，故选B.16.函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，只需将f(x)的图象()．A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由图象可知A＝1，，即T＝＝，所以ω＝3，所以f(x)＝sin (3x＋φ)，又f＝sin ＝sin ＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<所以φ＝，即f(x)＝sin，又g(x)＝sin 3x＝sin＝sin ，所以只需将f(x)的图象向右平移个单位长度，即可得到g(x)＝sin 3x的图象．17.已知的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，要得到的图像，只须把的图像 ( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】由于函数的最大值为1，又函数的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期为.所以.所以函数的解析式为.所以要得到函数只需要将向左平移各单位即可.故选A.【考点】1.三角函数的图像.2.三角函数图像的平移.3.三函数的诱导公式.18.定义＝a1a4－a2a3,若函数f(x)＝，则将f(x)的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是()．A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝π【答案】A【解析】由定义可知，f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，将f(x)的图象向右平移个单位得到y＝2sin ＝2sin，由2x－＝＋kπ，k∈Z.得对称轴为x＝，k∈Z，当k＝－1时，对称轴为x＝.19.将函数的图像分别向左、右平移个单位，所得的图像关于y轴对称，则的最小值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为将函数的图像向左平移个单位可得函数为.其图像关于y轴对称，则.所以所以最小的.同理可求出向右平移个单位的图像关于y轴对称的的最小值为.故选A.【考点】1.三角函数的左右平移.2.三角函数的奇偶性.3.待定系数方程的解法.20.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】因为，所以，要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位，选D.【考点】三角函数图象的平移21.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】因为.又因为余弦函数是偶函数.所以.所以为了得到函数的图象可以由函数的图象右平移的单位.即选B.【考点】1.正弦函数与余弦函数的相互转化.2.三角函数的平移问题.22.函数的部分图像如图，其中,且，则f(x)在下列哪个区间中是单调的（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当图像过原点时，即时，，在上为减函数，上为增函数当图像的最高点在轴上时，，在上是减函数，上为增函数，所以在上是单调的.【考点】1.三角函数的单调区间；2.三角函数图像.23.函数（其中＞0，＜的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】A=1，，即T=，所以3，由得，所以=sin （3x+）=，所以把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故选D.【考点】1.正弦型函数的性质和图像；2.函数图像的变换规律.24.如果函数的图像关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的图像关于直线对称，则在处取得最值，所以，而，所以，故选D.【考点】1.三角函数的性质；2.函数的最值求解.25.要得到一个奇函数，只需将的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【答案】C【解析】，因为是奇函数，所以将的图象向左平移个单位，得到的图象，故答案为：向左平移个单位．【考点】三角函数图像变化，两角和与差的正弦，三角函数的奇偶性．26.将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是 ()．A．sinx B．cosx C．2sinx D．2cosx【答案】D【解析】将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移个单位得,再作关于x轴的对称变换得，，即，令则，所以，，故f(x)可以是2cos x，选D.【考点】三角函数图象平移变换、二倍角公式.27.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象,若的一个对称中心是，则的一个可能取值是( )A．B．C．D．【答案】【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，所得到图象的解析式为：.因为的一个对称中心是，所以，即.取得.【考点】三角函数图象的变换.28.设,函数图像向右平移个单位与原图像重合，则最小值是（）A．B．C．D．3【答案】C【解析】图像向右平移个单位，得到，与图像重合，∴，∴，∴.【考点】1.图像的平移变换；2.三角函数的图像.29.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】B【解析】∵，∴只需把函数的图象向右平移个单位，选B.【考点】三角函数的图象.30.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】三角函数图象变换31.已知函数，且当时，的最小值为2.（1）求的值，并求的单调增区间；（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向右平移个单位，得到函数，求方程在区间上的所有根之和.【答案】（1）0，；（2）.【解析】（1）首先利用三角函数的和差倍半公式，将原三角函数式化简，根据三角函数的性质，确定得到最小值的表达式，求得；（2）遵循三角函数图象的变换规则，得到，利用特殊角的三角函数值，解出方程在区间上的所有根，求和.试题解析：（1） 2分因为，时，的最小值为2，所以，. 4分6分（2） 9分由，. 11分12分【考点】三角函数的和差倍半公式，三角函数图象的变换.32.函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）.A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由T=,所以=2，因为，故选A.【考点】正弦型函数的性质和图象的平移.33.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是，故选【考点】三角函数图像变换.34.已知的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，只须把的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】，，由于函数的图象与的图象的两相邻交点的距离为，即函数的最小正周期为，，，故得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位.【考点】辅助角变换、三角函数周期、三角函数图象变换35.将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为 () A．B．C．D．【答案】A【解析】将图像向左平移个单位，得到.【考点】三角函数图像的平移.36.函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则=___________.【答案】【解析】因为原函数解析式为，所以图象平移后的解析式为=，所以，解得.【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的图象变换等基础知识，这两部分知识都是高考的热点内容之一，几乎年年必考，熟练其基础知识是解答好本类题目的关键.37.将函数的图形按向量平移后得到函数的图形，满足，则向量的一个可能值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，则关于直线对称，则是奇函数，图像关于对称，，函数变形为，将其向右平移向上平移3个单位可得对称中心在原点，平移向量为【考点】三角函数平移变换点评：在三角函数中，x轴方向的平移与有关，伸缩与有关，Y轴方向的平移与有关，伸缩与有关38.设的最大值为16，则。

专题4 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲(举一反三)(新高考地区专用)(解析版)

专题4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：,1),( π,0),(-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象①图象变换法作余弦函数的图象由诱导公式六，我们知道，而函数x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数的性质的性质4．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-上的简图.5．余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质：的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1 三角函数的定义域和值域（最值）】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有：(1)借助三角函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性.【例1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tan(x+π4)的定义域为（）A．{x|x≠kπ+π4,k∈Z}B．{x|x≠2kπ+π4,k∈Z}C．{x|x≠kπ−π4,k∈Z}D．{x|x≠kπ,k∈Z}【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.【解答过程】因为x+π4≠kπ+π2,k∈Z，所以x≠kπ+π4,k∈Z.故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π4,k∈Z}.故选：A.【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））若x∈[π4,2π3]，则函数f(x)=3sin x cos x+√3sin2x的值域为（） A ．[0,3√32]B ．[0,√32] C ．[0,√3]D ．[0,3+√3]【解题思路】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为f (x )=√3sin(2x -π6)+√32，结合正弦函数的图像和性质，求解即可. 【解答过程】由题意，f (x )=3sin x cos x +√3sin 2x =32sin2x +√32(1-cos2x )=√3×(√32sin2x -12cos2x )+√32=√3×(cos π6sin2x -sin π6cos2x )+√32=√3sin(2x -π6)+√32,当x ∈[π4,2π3]时，有2x -π6∈[π3,7π6]，当2x -π6=π2，即x =π3时，f (x )max =f (π3)=√3+√32=3√32；当2x -π6=7π6，即x =2π3时，f (x )min =f (2π3)=0.即函数f (x )的值域为[0,3√32].故选：A.【变式1-2】（2022·福建省高二阶段练习）函数f (x )=sinx +cos (x +π6)的值域为（） A ．[−2,2]B ．[−√3,√3]C ．[−1,1]D ．[−√32,√32] 【解题思路】利用两角和的余弦公式和辅助角公式进行化简，即可得到答案【解答过程】解：函数f (x )=sinx +cos (x +π6)=sinx +√32cosx −12sinx =√32cosx +12sinx =cos (x −π6)，∵x ∈R ，∴cos (x −π6)∈[−1,1]，∴函数的值域为[−1,1]，故选：C ．【变式1-3】（2022·全国·高一单元测试）若x ∈[−π3,2π3]，则函数y =cos 2(x +π6)+sin (x +2π3)的最大值与最小值之和为（）A ．12B ．1C ．74D ．√2【解题思路】利用诱导公式可化简函数为y =(cos (x +π6)+12)2−14，根据余弦型函数值域的求法可求得cos(x+π6)∈[−√32,1]，结合二次函数最值的求法可求得y的最大值和最小值，加和即可求得结果.【解答过程】y=cos2(x+π6)+sin(x+2π3)=cos2(x+π6)+sin(π2+x+π6)=cos2(x+π6)+cos(x+π6)=(cos(x+π6)+12)2−14，当x∈[−π3,2π3]时，x+π6∈[−π6,5π6]，∴cos(x+π6)∈[−√32,1]，∴当cos(x+π6)=1时，y max=94−14=2；当cos(x+π6)=−12时，y min=−14；∴y max+y min=2−14=74.故选：C.【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.【例2】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=sin(x2−π4)的最小正周期是（）A．π2B．πC．2πD．4π【解题思路】利用正弦函数的周期求解．【解答过程】f(x)的最小正周期为T=2π12=4π．故选：D．【变式2-1】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=cos(12x+π6)的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【解题思路】利用余弦型函数的周期公式进行求解.【解答过程】∵f(x)=cos(12x+π6)，∴f(x)最小正周期T=2π12=4π．故A，B，C错误.故选：D.【变式2-2】（2022·甘肃临夏·高二期末（理））函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则f(π2)=（）A．−√32B．−12C．12D．√32【解题思路】由周期求出ω，从而可求出f(x)，进而可求出f(π2).【解答过程】因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以ω=2ππ=2，得f(x)=cos(2x+π6)，所以f(π2)=cos(2×π2+π6)=−cosπ6=−√32．故选：A.【变式2-3】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在(0,π2)为减函数的是（）A．f(x)=sin|2x|B．f(x)=cos(2x+π6)C．f(x)=|cosx|D．f(x)=tan(2x−π4)【解题思路】根据三角函数的图像性质，逐个选项进行判断即可得出答案.【解答过程】对于A，f(x)=sin|2x|的图像关于y轴对称，在(0,π2)为增函数，不符题意，故A错；对于B，f(x)=cos(2x+π6)的最小正周期为π，x∈(0,π2),2x+π6∈(π6,7π6)，不是减函数，不符题意，故B错；对于C，f(x)=|cosx|的最小正周期为π，在(0,π2)为减函数，符合题意，故C对；对于D，f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2，不符题意，故D错；故选：C.【题型3 三角函数的奇偶性】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例3】（2022·广东·高三学业考试）若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，则φ可取一个值为（）A．−πB．−π2C．π4D．2π【解题思路】根据偶函数的定义得φ=kπ+π2,k∈Z,结合选项可确定答案.【解答过程】∵函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即sin(−x+φ)=sin(x+φ).∴−x+φ=x+φ+2kπ或−x+φ+x+φ=π+2kπ,k∈Z.当−x+φ=x+φ+2kπ时，可得x=−kπ，不满足函数定义.当−x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+π2,k∈Z,若φ=kπ+π2=−π，解得k=−32∉Z，故A错误;若φ=kπ+π2=−π2，解得k =−1∈Z ，故B 正确; 若φ=kπ+π2=π4，解得k =−14∉Z ，故C 错误;若φ=kπ+π2=2π，解得k =32∉Z ，故D 错误;故选:B.【变式3-1】（2022·全国·高一）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（） A ．y =sinxB ．y =|sinx |C ．y =tanxD ．y =cos (x −π2)【解题思路】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【解答过程】对于A ，∵y =sinx 定义域为R ，sin (−x )=−sinx ，∴y =sinx 为奇函数，A 错误；对于B ，∵y =|sinx |定义域为R ，|sin (−x )|=|−sinx |=|sinx |，∴y =|sinx |为偶函数，B 正确；对于C ，∵y =tanx 定义域为(kπ−π2,kπ+π2)(k ∈Z )，即定义域关于原点对称，tan (−x )=−tanx ，∴y =tanx 为奇函数，C 错误；对于D ，∵y =cos (x −π2)=sinx 定义域为R ，sin (−x )=−sinx ，∴y =cos (x −π2)为奇函数，D 错误. 故选：B.【变式3-2】（2022·北京高三阶段练习）函数f (x )=cos x +cos2x 是（） A ．奇函数，且最大值为2 B ．偶函数，且最小值为-98 C ．奇函数，且最小值为-98D ．偶函数，且最大值为98【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断出函数f (x )的奇偶性，利用二次函数的基本性质可求得函数f (x )的最值.【解答过程】函数f (x )的定义域为R ，f (-x )=cos (-x )+cos (-2x )=cos x +cos2x =f (x )，故函数f (x )为偶函数，因为-1≤cos x ≤1，则f (x )=2cos 2x +cos x -1=2(cos x +14)2-98，所以，f (x )min =-98，f (x )max =2+1-1=2.故选：B.【变式3-3】（2022·广西·模拟预测（理））若将函数f (x )=sin2x −√3cos2x 的图象向右平移m (m >0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解题思路】首先对f (x )化简得到f (x )=2sin (2x −π3)，再写出平移后的解析式y =2sin (2x −2m −π3)，因为其为奇函数，则−2m −π3=k π,k ∈Z ，解出m 即可得到最小值.【解答过程】f (x )=sin2x −√3cos2x =2(12sin2x −√32cos2x)=2sin (2x −π3)，向右平移m(m >0)个单位后得到函数y =2sin [2(x −m )−π3]=2sin (2x −2m −π3)，由于是奇函数，因此，得−2m −π3=k π,k ∈Z ，m =−π6−k π2,k ∈Z.又∵m >0，则当k =−1时，m 的最小值是π3，故选：B.【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.【例4】（2022·安徽·高三开学考试）函数f (x )=tan (2x −π3)的图象的一个对称中心为（） A ．(π12,0)B ．(7π12,0)C ．(−5π12,0)D ．(−π12,0)【解题思路】根据正切型函数的对称中心为(k π2,0) k ∈Z ，求解即可. 【解答过程】由2x −π3=k π2,k ∈Z ，可得x =k π4+π6,k ∈Z ，当k =0时，x =π6，当k =1时，x =π4+π6=5π12，当k =2时，x =8π12=23π，当k =−1时，x =−π4+π6=−π12，当k =−2时，x =−4π12=−13π，当k =−3时，x =−7π12，所以(−π12,0)为f (x )图象的一个对称中心，故选：D.【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数f (x )=2cos (ωx −π6)(ω>0)在[0,2π]内恰有三条对称轴，则ω的取值范围是（） A ．[43,116)B ．(43,116]C ．[1312,1912)D ．(1312,1912]【解题思路】根据余弦函数的性质可得2π≤2ωπ−π6<3π，进而即得. 【解答过程】因为0≤x ≤2π，所以−π6≤ωx −π6≤2ωπ−π6，所以2π≤2ωπ−π6<3π，解得1312≤ω<1912．故选：C.【变式4-2】已知函数f(x)=sin (12x −π6)，则结论正确的是（）A ．f (x )的图象关于点(5π3,0)中心对称B ．f (x )的图象关于直线x =−π3对称C ．f (x )在区间(−π,π)内有2个零点D ．f (x )在区间[−π2,0]上单调递增【解题思路】A 、B 应用代入法判断对称轴和对称中心；C 、D 根据给定区间求12x −π6的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性. 【解答过程】A ：f(5π3)=sin (12×5π3−π6)=sin2π3≠0，故(5π3,0)不是对称中心，错误；B ：f(−π3)=sin[12×(−π3)−π6]=−sin π3≠±1，故x =−π3不是对称轴，错误；C ：在x ∈(−π,π)，则12x −π6∈(−2π3,π3)，故f(x)=0，可得12x −π6=0，所以x =π3为f (x )在(−π,π)内的唯一零点，错误；D ：在x ∈[−π2,0]，则12x −π6∈[−5π12,−π6]，故f(x)=sin (12x −π6)递增，正确. 故选：D.【变式4-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=2cos (ωx +φ)（ω>0，0<φ<π）的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且为奇函数，将f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象（） A ．关于点(−5π3,0)对称B ．关于点(π2,0)对称 C ．关于直线x =−π3对称D ．关于直线x =π2对称【解题思路】两个相邻对称轴的为半个周期，奇函数可以确定f (x )为正弦函数，由此条件得出f (x )的解析式，再根据平移得出g (x )的解析式，根据解析式写出对称中心和对称轴的通式即可得出答案.【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离为2π可知T2=2π，即T =4π，ω=2πT ，ω=12, 因为f (x )为奇函数，根据0<φ<π可知φ=π2，f (x )=2sin 12x , g (x )=2sin (12(x −π3))=2sin (12x −π6),对称中心：12x −π6=k π(k ∈Z )，x =2k π+π3(k ∈Z )，故A 正确，B 错误;对称轴：12x −π6=π2+k π(k ∈Z )，x =2k π+4π3(k ∈Z )，故C 、D 错误;故选：A.【方法点拨】三角函数的单调性问题主要有：三角函数的单调区间的求解、比较函数值的大小、根据三角函数的单调性求参数；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））函数y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])为增函数的区间是（） A ．[0,π3]B ．[π12,7π12]C ．[π3,5π6]D ．[5π6,π]【解题思路】根据三角函数单调性的求法求得正确答案. 【解答过程】y =sin (π6−2x)=−sin (2x −π6)，2k π+π2≤2x −π6≤2k π+3π2，k π+π3≤x ≤k π+5π6，k ∈Z ，令k =0可的y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])的递增区间为[π3,5π6]. 故选：C.【变式5-1】（2022·河南信阳·一模（理））已知函数f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x ，若f (x )在区间[m ,π4]上单调递减，则实数m 的取值范围（）A ．[π6,π4]B ．[π3,π2]C ．[π6,π4)D ．[π6,π3)【解题思路】利用三角恒等变换，化简三角函数，利用正弦型函数的单调性，建立不等式组，可得答案.【解答过程】f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x =2√3sin x cos x -2·1-cos2x 2=√3sin2x -1+cos2x=2(√32sin2x +12cos2x)-1 =2sin (2x +π6)-1，由x ∈[m ,π4]，则2x +π6∈[2m +π6,2π3]，由题意，[2m +π6,2π3]⊆[π2,3π2]，则π2≤2m +π6<2π3，解得π6≤m <π4. 故选：C.【变式5-2】（2022·江苏·高三阶段练习）已知a =log 168，b =πln0.8，c =sin2.5，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】由对数的运算法则求出a ，又πln0.8，sin2.5分别可看做y =πx ，y =sinx 的函数值，考虑构造指数函数和正弦函数，利用函数的单调性对其值进行估计，又因为ln0.8估值困难，故考虑利用与函数y =lnx 近似的有理函数y =1−1x 对其大小进行估值，最后求得答案.【解答过程】由题意，a =log 168=log 2423=34=0.75，设f (x )=lnx +1x −1，则f ′(x )=1x −1x 2=x−1x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1,+∞)上单调递增，所以f (0.8)>f (1)，即ln0.8+54−1>0，所以ln0.8>−14，因为函数y =πx 在(−∞,+∞)上单调递增，所以πln0.8>π−14，又(π−14)−4=π，(34)−4=25681≈3.16，所以(34)−4>(π−14)−4，因为y =x−4在(0,+∞)单调递减，所以34<π−14，所以πln0.8>34，故b >a ，因为3π4<2.5<5π6，函数y =sinx 在(π2,π)上单调递减，所以sin 5π6<sin2.5<sin3π4，所以12<sin2.5<√22，所以sin2.5<34，即c <a ，所以c <a <b ，故选：A.【变式5-3】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））若函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，则ω的最大值为（）A ．37 B ．34C ．14D ．1【解题思路】由题知ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4)，再根据函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减可得7π4ω+π4≤π，进而解不等式求解即可.【解答过程】解：因为函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，所以7π4≤12T =πω，解得0<ω≤47，因为x ∈(0,7π4)，所以ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4)，因为函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减，所以，函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减，则有7π4ω+π4≤π，解得ω≤37，所以ω的取值范围是ω∈(0,37]，即ω的最大值为37. 故选：A.【方法点拨】解决正(余)弦型函数性质的综合应用问题的思路： (1)熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.(2)直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题. 【例6】已知函数f (x )=4sinxcos (x +π6)+1.(1)求f (x )的最小正周期及单调区间； (2)求f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.【解题思路】（1）先利用三角恒等变换化简得到f (x )=2sin (2x +π6)，从而利用T =2π|ω|求出最小正周期，再利用整体法求解函数的单调区间；（2）根据x ∈[−π6,π4]求出2x +π6∈[−π6,2π3]，从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为−1.【解答过程】（1）因为f (x )=4sinx (cosxcos π6−sinxsin π6)+1=2√3sinxcosx −2sin 2x +1 =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6) 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π；令−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ，解得：[−π3+k π,π6+k π]，k ∈Z ，令π2+2k π≤2x +π6≤3π2+2k π，k ∈Z ，解得：[π6+k π,2π3+k π]，k ∈Z ，单调增区间为[−π3+k π,π6+k π]，k ∈Z ，单调减区间为[π6+k π,2π3+k π]，k ∈Z ；（2）已知x ∈[−π6,π4]，所以2x +π6∈[−π6,2π3]，当2x +π6=π2，即x =π6时，f (x )取得最大值，最大值为2，当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f (x )取得最小值，最小值为-1，所以f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值为2，最小值为−1.【变式6-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x )=4sin (ωx +φ)（ω>0，|φ|<π2）图象的一条对称轴为直线x =−π12，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8．(1)求f (x )；(2)求f (x )在[−π24,π4]上的值域．【解题思路】（1）先求出周期，由此求出ω的值，利用对称轴方程求出φ，即可得到函数的解析式；（2）根据自变量的范围求得4x −π6∈[−π3,5π6]，根据正弦函数的取值求得函数的值域【解答过程】（1）因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8，所以T =π2，故ω=2πT=4，又f(x)的图象的一条对称轴方程为x =−π12，则4×(−π12)+φ=π2+k π，k ∈Z ，即φ=5π6+k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ=−π6，故f(x)=4sin (4x −π6)；（2）因为x ∈[−π24,π4]，所以4x −π6∈[−π3,5π6]，所以sin (4x −π6)∈[−√32,1]，所以4sin (4x −π6)∈[−2√3,4]，故f (x )在[−π24,π4]上的值域为[−2√3,4].【变式6-2】（2021·天津·高一期末）已知函数f (x )=2√3cos 2(π2+x)-2sin(π+x )cos x -√3 (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间； (2)求f (x )在区间[π4,π2]上的最值；(3)若f (x 0-π6)=1013,x 0∈[3π4,π]，求sin2x 0的值．【解题思路】（1）根据三角恒等变换可得f (x )=2sin (2x -π3)，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据正弦函数的性质即得；（3）由题可得sin (2x 0-2π3)=513，然后根据同角关系式及和差角公式即得. 【解答过程】（1）因为f (x )=2sin x cos x +2√3sin 2x -√3 =sin2x -√3cos2x =2sin (2x -π3)．所以f (x )的最小正周期T =2π2=π，∵π2+2k π≤2x -π3≤3π2+2k π,k ∈Z ，∴5π12+k π≤x ≤11π12+k π，所以f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z)；（2）由（1）知f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z)，∵x ∈[π4,π2]，∴f (x )在[π4,5π12]上单调递增，在[5π12,π2]上单调递减，又f (5π12)=2sin π2=2,f (π4)=2sin π6=1,f (π2)=2sin2π3=√3，故f (x )min =1,f (x )max =2；另解：∵x ∈[π4,π2]， ∴t =2x -π3∈[π6,2π3]，∵y =sin t 在t ∈[π6,π2]单调递增，在[π2,2π3]上单调递减， ∴当t =π2时，(sin t )max =1,f (x )max =2×1=2， ∴当t =π6时，(sin t )min =12,f (x )min =2×12=1；（3）∵f (x 0-π6)=1013，∴sin (2x 0-2π3)=513，由x 0∈[3π4,π]，得2x 0-2π3∈[5π6,4π3]，∴cos (2x 0-2π3)=-1213， ∴sin2x 0=sin [(2x 0-2π3)+2π3]=sin (2x 0-2π3)cos2π3+cos (2x 0-2π3)sin 2π3=513×(-12)+(-1213)×√32=-5+12√326．【变式6-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f (x )=[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]. (1)求f (x )的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足f (3A4)=-1，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解题思路】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得f (x )=√2cos (2x +π4)，从而可求出最小正周期，再由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )求出其单调区间，（2）由f (3A4)=-1，求得A =π3，再由圆的性质可得C =2π3，设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d ，分别在△ABD 和△CBD 中利用余弦定理结合基本不等式可得0<ab ≤4，0<cd ≤43，从而可求出四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解答过程】（1）[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]=[(sin x -cos x )+√2sin x]⋅[(sin x -cos x )-√2sin x]=(sin x -cos x )2-2sin 2x =sin 2x -2sin x cos x +cos 2x -2sin 2x=1-2sin 2x -sin2x =cos2x -sin2x=√2cos (2x +π4)， ∴f (x )=√2cos (2x +π4) ∴T =π.由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )，得kπ-π8≤x ≤kπ+3π8(k ∈Z )，所以f (x )单调递减区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ). （2）由于f (3A4)=-1，根据（1）得√2cos (2×3A 4+π4)=-1，∵0<A <π2，∴A =π3，C =2π3.分别设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d .因BD =2，分别在△ABD 和△CBD 中由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos π3=4，c 2+d 2-2cd cos2π3=4，∴a 2+b 2=4+ab ，c 2+d 2=4-cd .∵a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，等号在a =b =2，c =d =2√33时成立，∴4+ab ≥2ab ，4-cd ≥2cd ，解得0<ab ≤4，0<cd ≤43. ∴0<ab +cd ≤163.等号在a =b =2，c =d =2√33时成立，∵S =12ab sin A +12cd sin C =√34(ab +cd )，所以S 的取值范围是(0,4√33].。

第五课时正弦函数的图像例题展示(笔记整理)

第五课时正弦函数的图像例题展示（笔记整理）知识点一：（任意角的正弦）例1若sin x =1m -,则实数m 的取值范围是A.［-2,0］B.［－1,1］C. ［-2,2］D.［0,2］【答案】D【解析】111,m -≤-≤解得02m ≤≤变式训练1.函数 y=sinx (π6 ≤x ≤2π3 ) 的值域是( ) A. [-1,1] B. [ 12 ,1] C. [12 , 3 2 ] D. [ 32 ,1] 【答案】B【解析】根据正弦函数的图像可知，当2x π=时，函数取得最大值1，当6x π=时，函数取得最小值12。

知识点二：（五点法作图）函数y=sinx 在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0).例2 画出函数y=|sinx|,x∈R 的简图.图8变式训练 2.方程sinx=10x的根的个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10解:这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函数y=10x的图象与y=sinx 的图象的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象.如图9,从图中可看出,两个图象有7个交点.图9答案:A3.用五点法作函数y=2sin2x 的图象时,首先应描出的五点横坐标可以是( )A.0,2π,23π,2πB.0,4π,2π,43π,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,6π,3π,2π,32π答案:B。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

正弦型函数历年高考题
1
一、选择题
1、(2005)函数y=sinx 的图象向左平移
6
π
后得到的图像的解析式是（） A 、y=sinx+6π B 、y=sinx-6π C 、y=sin(x+6π) D 、y=sin(x-6
π
)
2、(2007)函数y=sin2x 的图象向左平移6
π
后得到的图像的解析式是（）
A 、y=sin(2x+6π)
B 、y=sin(2x-6π)
C 、y=sin(2x-3π)
D 、y=sin(2x+3
π
)
3、 (2009)如图是函数y=2sin(x ωϕ+)
(其中ω>0,ϕ<
2
π
)，则ω、ϕ正确的是（ A ω=2，ϕ=6π B ω=2，ϕ=3
π
C ω=1，ϕ=
6π D ω=1，ϕ=3
π 5、（2011）把y=sinx 的图像向左或向右平移π／2个单位，得到的函数是（） A y=sinx B y=-cosx C cos y x = D y=sinx 或 y=-cosx 6、（2012）函数)4
2sin(2π
+
=x y 的图像，可由函数x y 2sin 2=的图像（）而得到。

A. 向左平移
4π个单位 B. 向右平移4π
个单位 C. 向左平移8π个单位 D.向右平移8π
个单位
二、填空题
7、（2003）函数sin 24y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向右平移
8
π
单位，所得图象的函数解析式是。

2、（2004）函数sin
22
x x
y =的最小正周期为 ,值域为。

3、（2007）函数y=sinxcosx 的最小正周期是，最小值是。

8、（2012）正弦型函数)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ϕA 在一个最小正周期内的图像中，最高点为
)2,9(π，最低点是)2,9
4(-π
，则ω=___________. 9、（2014）把正弦函数sin 2y x =的图像向_________________个单位，可以得到正弦函数
sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像。

正弦型函数图像高考题

7.3.2 正弦型函数的图像

正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

高考数学：三角函数的图像和性质问题(解析版)

高三数学 正弦型函数y=Asinωx+φ的图象及应用复习 试题

正弦型三角函数的图像-简单难度-讲义

2021年高考数学真题逐题解析：正弦型函数的单调性及应用(解析)

2020届高考数学一轮复习第四篇三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图像和性质练习(含解析)

正弦型三角函数的图像-简单难度-讲义

正弦型三角函数的图像] · [培优] · [知识点+典型例题]

正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

专题07 三角函数的图像与性质-2020年高考数(文)题根探源(全国Ⅰ卷)

高三数学三角函数图象变换试题

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析

专题36 正弦函数、余弦函数的图像(解析版)

高三数学三角函数的图象与性质试题

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析

专题4 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲(举一反三)(新高考地区专用)(解析版)

第五课时 正弦函数的图像例题展示(笔记整理)

高三数学正弦型函数y=Asinωx+φ的图象及应用复习试题

第五课时正弦函数的图像例题展示(笔记整理)