宁夏银川二中2021届高三年级上学期统练三数学(理)试题
宁夏银川市第二中学2021届高三数学上学期统练试题二 文(含解析)
宁夏银川市第二中学2021届高三数学上学期统练试题二文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|x2-x-6≤0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.设x∈R，则“|x|＞3”是“2x＞8”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知函数则的值为（）A. B. 2 C. D. 94.已知a=log27，b=log38，c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的定义域为R，，对任意的x∈R满足f'（x）＞4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为（）A. B. C. D.6.已知cos（+α）=，α∈（，π），则cosα=（）A. B. C. D.7.函数f（x）=2sin x-sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 58.要得到y=sin x函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（）A. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,再向右平移个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变,再向右平移个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度9..若，则=（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则使f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A. B. C. D.11.已知方程x2+3ax+3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且，则α+β=（）A. 或B. 或C.D.12.函数y=ln|x|+1的图象大致为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= ______ ．14.函数y=tan（2x+）的最小正周期是______ ．15.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，M（，）为其终边上一点，则cos2α=______16.已知，tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°，则sinα=______三、解答题（本大题共7小题）17.已知函数f（x）=ln x-ax，g（x）=x2．a∈R．（1）求函数f（x）的极值点；（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求A，ω的值；（2）求f（x）的单调增区间；（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．（1）求cos B；（2）若a=2，求△ABC的面积．20.已知函数f（x）=（1）求f（x）的对称中心（2）若x，f（x）=，求cos2x的值21.已知函数f(x)＝e x cos x－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．22.直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线．（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．23.设函数f（x）=|x+a|+|x-a2-a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若存在a∈[-1，0]，使得不等式f（x）≥b对一切x∈R恒成立，求实数b 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：对于集合A，由x2-x-6≤0得，所以，（x+2）（x-3）≤0，解得，x∈[-2，3]，即A={x|-2≤x≤3}，而B={x|x＞1}，所以，A∩B={x|1＜x≤3}，故选：B．先解出集合A，由（x+2）（x-3）≤0得出A={x|-2≤x≤3}，再确定A∩B即可．本题主要考查了交集及其运算，涉及一元二次不等式的解法和集合的表示，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：|x|＞3，则x＜-3或x＞3，所以2x＞8或0＜2x，故充分性不成立；若2x＞8，则x＞3，所以|x|＞3，故必要性成立，所以“|x|＞3”是“2x＞8”的必要不充分条件，故选：B．分别解出不等式，利用充要条件的判定方法即可得出．本题考查了不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵∴f（）==-2，则=f（-2）==9故选：D．先根据已知函数可求f（）==-2，然后代入可求=f（-2）本题主要考查了分段函数在函数求值中的应用，属于基础是试题4.【答案】A【解析】解：由题意，可知：a=log27＞log24=2，b=log38＜log39=2，c=0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．5.【答案】A【解析】解：令g（x）=f（x）+1-2x2，则g′（x）=f′（x）-4x＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（）=f（）+1-2×=-+1-=0，∴g（x）＞0的解集为x＞，∵cos2α=1-2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α＞0等价于f（sinα）+1-2sin2α＞0，即g（sinα）＞0，∴sinα＞，又α∈[0，2π]，∴＜α＜．故选：A．令g（x）=f（x）+1-2x2，求导可得g（x）单调递增，且g（）=0，故不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为g（sinα）＞0的解集．本题考查了利用导数研究函数单调性，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：已知cos（+α）=，α∈（，π），所以：，故cos．故选：C．直接利用三角函数诱导公式的应用和同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题．解函数f（x）=2sin x-sin2x=0，在[0，2π]的解，即2sin x=sin2x令左右为新函数h （x）和g（x），作图求两函数在区间的交点即可．【解答】解：函数f（x）=2sin x-sin2x在[0，2π]的零点个数，即：2sin x-sin2x=0在区间[0，2π]的根个数，即2sin x=sin2x，令左右为新函数h（x）和g（x），h（x）=2sin x和g（x）=sin2x，作图求两函数在区间[0，2π]的图象可知：h（x）=2sin x和g（x）=sin2x，在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个．故选：B．8.【答案】A【解析】解：∵只需将函数的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）函数的图象；再向右平移个单位长度，可得y=sin x函数的图象，故选：A．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：cos（2α+）=-sin2α=-=-=-2×=-，故选：A．由cos（2α+）=-sin2α=-=-，再代值计算即可．本题考查了二倍角公式和诱导公式，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：结合图象可知，A=2，f（x）=2sin（ωx+φ），∵f（0）=2sinφ=1，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，f（x）=2sin（ωx+），结合图象及五点作图法可知，ω×+=2π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+），其对称轴x=，k∈z，∵f（a+x）-f（a-x）=0成立，∴f（a+x）=f（a-x）即f（x）的图象关于x=a对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a=故选：B．结合图象由最值可求A，由（0）=2sinφ=1，可求φ，结合图象及五点作图法可知，ω×+=2π，可求ω，再求出函数的对称轴方程即可求解．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的图象求解函数解析式，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．11.【答案】D【解析】解：∵方程x2+3ax+3a+1=0两根tanα、tanβ，∴tanα+tanβ=-3a，tanαtanβ=3a+1，∴tan（α+β）==1，又∵α，β∈（-，），ta nα+tanβ=-3a＜0，tanαtanβ=3a+1＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0，∴α，β∈（-，0），∴α+β∈（-π，0），结合tan（α+β）=1，∴α+β=-，故选：D．由韦达定理和两角和的正切公式可得tan（α+β）=1，进一步缩小角的范围可得α+β∈（-π，0），则α+β可求．本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理的应用，属中档题．12.【答案】A【解析】解：∵函数的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，以-x代替x，函数值不变．∴函数是个偶函数，函数图象关于y轴对称，且与y轴无交点．在（0，+∞）上单调递增，过点（1，1），x趋向0时，y趋向-∞，结合图象可知，应选A．故选：A．分析解析式特点，可得函数是个偶函数，函数图象关于y轴对称，且与y轴无交点．再根据在（ 0，+∞）上单调递增，图象过点（1，1），选出满足条件的选项．本题考查利用函数解析式分析函数图象的特征，注意利用奇偶性、单调性、特殊点及函数值的范围．13.【答案】-8【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x-4）=-f（x）=f（-x），∴f（x）的图象关于直线x=-2对称，又f（x-4）=-f（x），∴f（x）=-f（x+4），∴f（x-4）=f（x+4），∴f（x）周期为8，作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）=m的4个根中，两个关于直线x=-6对称，两个关于直线x=2对称，∴x1+x2+x3+x4=-6×2+2×2=-8．故答案为：-8．由条件“f（x-4）=-f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．本题主要考查方程根的应用，根据条件结合函数的周期性和奇偶性，利用数形结合是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：∵y=tan（2x+），∴函数的周期T=，故答案为：．根据正切函数的周期公式即可得到结论．本题主要考查三角函数的周期的计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础．15.【答案】【解析】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点M（，），|OM|=，∴cosα=，则cos2α=2cos2α-1=2×=．故答案为：．利用任意角的三角函数的定义求得cosα，再由二倍角公式求cos2α．本题考查任意角的三角函数的定义，训练了倍角公式的应用，是基础题．16.【答案】【解析】解：∵tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°=sin（76°-46°）=sin30°=，即，∴cosα=2sinα，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=．故答案为：．由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式求解sinα．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题．17.【答案】解：（1）f′（x）=-a=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调增，不存在极值点；当a＞0，f′（x）=0，则x=a，x∈（0，a），f′（x）＜0，x∈（a，+∞），f′（x）＞0，∴x∈（0，+∞），有极小值，无极大值．且极小值f（a）=ln a-a2；（2）f（x）≤g（x）恒成立，即ln x-ax≤x2（x＞0），可得a≥，令h（x）=（x＞0），则h′（x）═=，令t（x）=1-x2-ln x（x＞0），t′（x）=-2x-，∵x＞0，t′（x）＜0恒成立，即函数t（x）在（0，+∞）单调递减，而t（1）=1-12-ln1=0，所以x∈（0，1），t（x）＞0，x∈（1，+∞），t（x）＜0，即x∈（0，1），h′（x）＞0，x∈（1，+∞），h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）单调递减．所以函数h（x）在（0，+∞），h（x）≤h（1）=-1，所以a的取值范围（-∞，-1]．【解析】（1）先求导，再利用参数的范围求极值点；（2）函数恒成立转化为a大于等于一个函数，求出另一个函数的最大值，进而求出a 的取值范围．考查参数的取值不同得到的极值，恒成立问题分离出参数大于等于另一个函数，转化为求另一个函数的最大值问题，属于中难度题．18.【答案】解：（1）由图象知A=1，由图象得函数的最小正周期为，则由得ω=2（2）∵，∴．∴．所以f（x）的单调递增区间为．（3）∵，∵，∴．∴．当，即时，f（x）取得最大值1；当，即时，f（x）取得最小值．【解析】（1）通过函数的图象直接求A，利用函数的周期即可求出ω的值；（2）根据函数的单调增区间，直接求f（x）的单调增区间即可；（3）通过x∈，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的最值，直接求解f（x）的最大值和最小值．本题考查函数解析式的求法，正弦函数的单调性的应用，正弦函数的最值的求法，考查计算能力．19.【答案】解：（1）∵2sin B=sin A，∴2b=a，即a=．又∵c=b，∴cos B=．（2）∵a=2，∴c=3．∵cos B=，∴sin B=，∴S△ABC=．【解析】（1）由2sin B=sin A，可得2b=a，再利用余弦定理求出cos B即可；（2）利用S△ABC=a•c•sin B求出三角形的面积．本题考查三角形的正余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属基础题．20.【答案】解：（1）f（x）=====．由，得x=，k∈Z．∴f（x）的对称中心为（，0），k∈Z；（2）由f（x）=，得，∴sin（2x-）=，∵x，∴2x-∈[-，]，则cos（2x-）=±．当cos（2x-）=时，cos2x=cos[（2x-）+]=cos（2x-）cos-sin（2x-）sin==；当cos（2x-）=-时，cos2x=cos[（2x-）+]=cos（2x-）cos-sin（2x-）sin=．【解析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由相位终边落在y轴上求得x值，则答案可求；（2）由f（x）=求得sin（2x-）=，分类求出cos（2x-），再由cos2x=cos[（2x-）+]，展开两角和的余弦求解．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）=e x cos x-x的导数为=e x（cos x-sin x）-1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为，,切点为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cos x-x的导数为=e x（cos x-sin x）-1，令g（x）=e x（cos x-sin x）-1，则g（x）的导数为=e x（cos x-sin x-sin x-cos x）=-2e x•sin x，当x∈[0，]，可得=-2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]上单调递减，可得g（x）≤g（0）=0，即,则f（x）在[0，]上单调递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0-0=1；最小值为f（）=cos-=-．【解析】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于较易题．（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C1：（α为参数）化为普通方程为x2+y2=2x，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点的极径为，重点中学试卷可修改欢迎下载射线与曲线C2的交点的极径满足，解得，所以．【解析】（1）根据曲线C1的参数方程，消去α得出普通方程，再化为极坐标方程，由曲线C2的普通方程得出极坐标方程；（2）将射线方程分别代入曲线C1和C2，求出ρ1和ρ2，作差得到弦长AB的长度．本题考查参数方程与普通方程，以及普通方程和极坐标方程的互化，以及利用极坐标方程求弦长的问题，属于中档题目．23.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-2|=，x≤-1时，不等式f（x）≤5化为-2x+1≤5，解得x≥-2，即-2≤x≤1；1-1＜x＜2时，不等式f（x）≤5化为3≤5，不等式恒成立，即-1＜x＜2；x≥2时，不等式f（x）≤5化为2x-1≤5，解得x≤3，即2≤x≤3；综上所述，不等式f（x）≤5的解集为{x|-2≤x≤3}；（Ⅱ）不等式f（x）≥b的解集为R，∴f（x）min≥b，∵f（x）=|x+a|+|x-a2-a|≥|（x+a）-（x-a2-a）|=|a2+2a|，∴f（x）min=|a2+2a|≥b对任意a∈[-1，0]恒成立，∵|a2+2a|=|（a+1）2-1|，∴当a=0时，|a2+2a|取得最小值为0，∴实数b的取值范围是（-∞，0]．【解析】（Ⅰ）a=1时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式f（x）≤5的解集即可；（Ⅱ）不等式f（x）≥b的解集为R，等价于f（x）min≥b，求出f（x）min在a∈[-1，0]的最小值即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，是中档题．11。
宁夏银川二中2020届高三上学期统练三数学(文)试题 (含答案)
宁夏银川二中2020届高三（上）统练试卷（三）数学（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（）A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．23．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（）A．2 B．C．D．﹣4．等比数列{a n}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C．D．5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（）A．B．C．D．7．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（）A．66 B．99 C．144 D．2978．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．19．函数f（x）＝sin ax+cos ax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（）A．B．C．D．11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（）A．B．C．D．12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．i为虚数单位，若，则|z|＝．14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时．16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．18．设向量，的坐标为．（1）若||，求sin x cos x的值；（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．19．设{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当q＞1时，令b n＝1+log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求∠B；（2）若∠C为钝角，求的取值范围．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（）A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P【解答】解：依题意P＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），又∵M＝{x|x＞1}，所以M∪P＝P，故选：B．2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【解答】解：∵，∴z1•z2＝（1+i）（x2﹣i）＝（x2+1）+（x2﹣1）i，由z1•z2为实数，得x2﹣1＝0，即x＝±1．故选：C．3．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（）A．2 B．C．D．﹣【解答】解：如图，E是AB中点；∴，；∴＝．故选：B．4．等比数列{a n}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2＝4，，∴a3a6＝a4a5＝a2•a7＝4×＝，故a3a6+a4a5 ＝+＝，故选：C．5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），∴＝（﹣3，2），＝（﹣3，3），∴＝（﹣3）×（﹣3）+2×3＝15；|＝＝3；则向量在向量上的投影为，＝＝．故选：D．6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数，所以函数的最小正周期为T＝π．由于f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值为．故选：B．7．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：由a1+a4+a7＝3a1+9d＝39，得a1+3d＝13①，由a3+a6+a9＝3a1+15d＝27，得a1+5d＝9②，②﹣①得d＝﹣2，把d＝﹣2代入①得到a1＝19，则前9项的和S9＝9×19+×（﹣2）＝99．故选：B．8．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．1【解答】解：如图所示，＝＝﹣．∴m＝﹣，n＝，∴，故选：C．9．函数f（x）＝sin ax+cos ax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝sin ax+cos ax＝sin（ax+），∵T＝＝1，则a＝2π，∴f（x）＝sin（2πx+）∵令2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+，k∈Z，解得：k﹣≤x≤k+，k∈Z，∴f（x）的递增区间为：[k﹣，k+]，k∈Z．故选：D．10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴cos A＝＝，sin A＝＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝×（﹣）+×＝，∵由正弦定理，可得AB＝＝，∴S△ABC＝AB•BC•sin B＝×1×＝．故选：A．11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故函数f（x）为奇函数且单调递增，∵f（﹣cos600°）＝f（），f（﹣log）＝f（），∵f（），∴f（﹣cos600°）＞f（﹣log），故选：B．12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，∴，且△ABC的面积为S，且∴＝，∴，且0＜∠ABC＜π，∴．故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．i为虚数单位，若，则|z|＝．【解答】解：，则|z|＝＝＝＝．故答案为：．14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝﹣．【解答】解：∵sin（+θ）＝，即+＝，平方可得+sin2θ＝，解得 sin2θ＝﹣，故答案为﹣．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10 海里/小时．【解答】解：根据题意得：AB＝10，∠ADC＝75°，∠BDC＝60°，DC⊥AC，∴∠DBC＝30°，∠BDA＝∠A＝15°，∴BD＝AB＝10，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝10×＝5，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷＝10海里/小时故答案为：10．16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．．【解答】解：∵，x＞0，则f′（x）＝，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，∵b＞a＞3，∴b＞＞＞a＞3，∴f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．故答案为：f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．【解答】解：，．（1）∵，∴．化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1．又，故．（2）∵，∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，化简得：，两边平方得：，∴，故sinα﹣cosα＞0，而，∴，18．设向量，的坐标为．（1）若||，求sin x cos x的值；（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴①cos x＝0时，sin x cos x＝0；②cos x≠0时，，∴，∴或，∴，综上得，sin x cos x＝0或；（2）＝＝＝，解，得f（x）的对称轴方程为，k∈Z，＝＝＝＝＝．19．设{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当q＞1时，令b n＝1+log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得a1+a1q+a1q2＝7，6a2＝a1+3+a3+4，即6a1q＝a1+a1q2+7，解得a1＝1，q＝2或a1＝4，q＝，则a n＝2n﹣1或a n＝23﹣n；（2）当q＞1时，b n＝1+log2a n＝1+log22n﹣1＝1+n﹣1＝n，a n+b n＝2n﹣1+n，则前n项和T n＝（1+2+4++2n﹣1）+（1+2+3++n）＝+n（n+1）＝2n﹣1+．20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求∠B；（2）若∠C为钝角，求的取值范围．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为．∴×2ac cos B＝ac sin B，解得：tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵A+C＝，∠C为钝角，∴A∈（0，），可得tan A∈（0，），∈（，+∞）∴＝＝•∈（2，+∞），故的取值范围为（2，+∞）．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．【解答】（1）解：当a＝时，f（x）＝（x+2）lnx+x2﹣4x+，函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）且f′（x）＝lnx++x﹣3．设g（x）＝lnx++x﹣3，则g′（x）＝﹣+1＝＝，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0（当且仅当x＝1时取等号）．即当x＞0时，f′（x）≥0（当且仅当x＝1时取等号）．所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有一个零点．因为f（1）＝0，x＝1是函数f（x）唯一的零点．所以若a＝，则函数f（x）的所有零点只有x＝1．（2）证法1：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4．当a≥时，f′（x）≥lnx++x﹣3，由（1）知lnx++x﹣3≥0．即当x＞0时，f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．所以f（x）不存在极值．证法2：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4设m（x）＝lnx++2ax﹣4，则m′（x）＝﹣+2a＝，（x＞0）．设h（x）＝2ax2+x﹣2，（x＞0），则m′（x）与h（x）同号．当a≥时，由h（x）＝2ax2+x﹣2＝0，解得x1＝＜0，x2＝＞0．可知当0＜x＜x2时，h（x）＜0，即m′（x）＜0，当x＞x2时，h（x）＞0，即m′（x）＞0，所以f′（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．由（1）知lnx++x﹣3≥0．则f′（x2）＝lnx2++x2﹣3+（2a﹣1）x2≥（2a﹣1）x2≥0．所以f′（x）≥f′（x2）≥0，即f（x）在定义域上单调递增．所以f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，将，代入得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）设点M（3+2cosθ，4+2sinθ）到直线AB：x+y+2＝0的距离为d，则d＝＝，当sin（）＝﹣1时，d有最小值，所以△ABM面积的最小值S＝＝9﹣2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解（1）当a＝1时，由f（x）＞x，得|2x﹣1|﹣1＞x+1．（1分）当x≥时，2x﹣1﹣1＞x+1，解得x＞3．当x时，1﹣2x﹣1＞x+1，解得x＜﹣．综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x＜﹣}．（2）因为||2x﹣1|﹣|2x+1||≤|（2x﹣1）﹣（2x+1）|，即﹣2≤|2x﹣1|﹣|2x+1|≤2，则|2x﹣1|﹣|2x+1|≥﹣2．所以g（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+1|+|2x﹣1|≥﹣2+|2x﹣1|≥﹣2，当且仅当x＝时等号成立．所以g（x）min＝﹣2．所以实数a的取值范围为（﹣2，+∞）。
宁夏省银川市2021-2022学年高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．22D 5 3．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -4．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±=B ．250x =C 520x y ±=D 50x y ±=5．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞D ．(3,1)--6．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝16，a 3a 4＝﹣32，则S 8＝（ ） A ．﹣21B ．﹣24C ．85D ．﹣857．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．21+D ．221+8．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为359．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>10．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.11．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 12．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宁夏银川市第二中学2021届高三数学第三次模拟考试试题文含解析
某某某某市第二中学2021届高三数学第三次模拟考试试题文〔含解析〕一、选择题〔共12小题，每一小题5分，共60分〕．1．假如复数z满足z〔1+i〕＝2i〔i为虚数单位〕，如此|z|＝〔〕A．1B．2C．D．2．集合A＝{y|y＝﹣x2+5}，B＝{x|y＝}，A∩B＝〔〕A．[1，+∞〕B．[1，3]C．〔3，5]D．[3，5]3．设x，y∈R，向量＝〔x，1〕，＝〔1，y〕，＝〔2，﹣4〕，且⊥，，如此x+y＝〔〕A．0B．1C．2D．34．角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P〔﹣1，﹣2〕，如此sin2α+sin2α＝〔〕A．B．C．D．5．在流行病学中，根本传染数指每名感染者平均可传染的人数．当根本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当根本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的根本传染数．假设某种传染病的根本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗〔称为接种率〕，那么1个感染者新的传染人数为．新冠病毒在某地的根本传染数R0＝5，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为〔〕A．50%B．60%C．70%D．80%6．实数x，y满足约束条件，如此z＝y﹣3x的最大值为〔〕A．﹣6B．﹣3C．1D．27．m，n表示两条不同直线，α表示平面，如下说法正确的答案是〔〕A．假如m∥α，n∥α，如此m∥n B．假如m⊥α，n⊂α，如此m⊥nC．假如m⊥α，m⊥n，如此n∥αD．假如m∥α，m⊥n，如此n⊥α8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos B+b sin A＝a，如此B＝〔〕A．B．C．D．9．执行如下列图的程序框图，如此输出S的值为〔〕A．B．C．D．10．函数图象的大致形状是〔〕A．B．C．D．11．假如双曲线C：﹣＝1〔a＞0，b＞0〕与圆M：x2+y2＝c2的公共点和双曲线两个焦点〔﹣c，0〕，〔c，0〕构成正六边形，如此C的离心率为〔〕A．2B．C．4+2D．+112．函数f〔x〕＝e x﹣e﹣x，g〔x〕＝cos x+x2﹣ax．对于任意x1，x2∈[]且x1≠x2，都有＞0，如此实数a的最大值是〔〕A．B．+1C．1﹣D．1二、填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分。
宁夏银川二中2021届高三数学上学期统练试题三 文(含解析)
宁夏银川二中2021届高三数学上学期统练试题三文（含解析）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（）A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．23．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（）A．2 B．C．D．﹣4．等比数列{a n}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C．D．5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（）A．B．C．D．7．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（）A．66 B．99 C．144 D．2978．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．19．函数f（x）＝sin ax+cos ax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（）A．B．C．D．11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（）A．B．C．D．12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．i为虚数单位，若，则|z|＝．14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时．16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．18．设向量，的坐标为．（1）若||，求sin x cos x的值；（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．19．设{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当q＞1时，令b n＝1+log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求∠B；（2）若∠C为钝角，求的取值范围．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．2021-2022宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（文科）（三）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（）A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P【解答】解：依题意P＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），又∵M＝{x|x＞1}，所以M∪P＝P，故选：B．2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【解答】解：∵，∴z1•z2＝（1+i）（x2﹣i）＝（x2+1）+（x2﹣1）i，由z1•z2为实数，得x2﹣1＝0，即x＝±1．故选：C．3．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（）A．2 B．C．D．﹣【解答】解：如图，E是AB中点；∴，；∴＝．故选：B．4．等比数列{a n}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2＝4，，∴a3a6＝a4a5＝a2•a7＝4×＝，故a3a6+a4a5 ＝+＝，故选：C．5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），∴＝（﹣3，2），＝（﹣3，3），∴＝（﹣3）×（﹣3）+2×3＝15；|＝＝3；则向量在向量上的投影为，＝＝．故选：D．6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数，所以函数的最小正周期为T＝π．由于f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值为．故选：B．7．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：由a1+a4+a7＝3a1+9d＝39，得a1+3d＝13①，由a3+a6+a9＝3a1+15d＝27，得a1+5d＝9②，②﹣①得d＝﹣2，把d＝﹣2代入①得到a1＝19，则前9项的和S9＝9×19+×（﹣2）＝99．故选：B．8．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．1【解答】解：如图所示，＝＝﹣．∴m＝﹣，n＝，∴，故选：C．9．函数f（x）＝sin ax+cos ax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝sin ax+cos ax＝sin（ax+），∵T＝＝1，则a＝2π，∴f（x）＝sin（2πx+）∵令2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+，k∈Z，解得：k﹣≤x≤k+，k∈Z，∴f（x）的递增区间为：[k﹣，k+]，k∈Z．故选：D．10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴cos A＝＝，sin A＝＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝×（﹣）+×＝，∵由正弦定理，可得AB＝＝，∴S△ABC＝AB•BC•sin B＝×1×＝．故选：A．11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故函数f（x）为奇函数且单调递增，∵f（﹣cos600°）＝f（），f（﹣log）＝f（），∵f（），∴f（﹣cos600°）＞f（﹣log），故选：B．12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，∴，且△ABC的面积为S，且∴＝，∴，且0＜∠ABC＜π，∴．故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．i为虚数单位，若，则|z|＝．【解答】解：，则|z|＝＝＝＝．故答案为：．14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝﹣．【解答】解：∵sin（+θ）＝，即+＝，平方可得+sin2θ＝，解得 sin2θ＝﹣，故答案为﹣．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10 海里/小时．【解答】解：根据题意得：AB＝10，∠ADC＝75°，∠BDC＝60°，DC⊥AC，∴∠DBC＝30°，∠BDA＝∠A＝15°，∴BD＝AB＝10，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝10×＝5，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷＝10海里/小时故答案为：10．16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．．【解答】解：∵，x＞0，则f′（x）＝，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，∵b＞a＞3，∴b＞＞＞a＞3，∴f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．故答案为：f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．【解答】解：，．（1）∵，∴．化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1．又，故．（2）∵，∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，化简得：，两边平方得：，∴，故sinα﹣cosα＞0，而，∴，18．设向量，的坐标为．（1）若||，求sin x cos x的值；（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴①cos x＝0时，sin x cos x＝0；②cos x≠0时，，∴，∴或，∴，综上得，sin x cos x＝0或；（2）＝＝＝，解，得f（x）的对称轴方程为，k∈Z，＝＝＝＝＝．19．设{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当q＞1时，令b n＝1+log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得a1+a1q+a1q2＝7，6a2＝a1+3+a3+4，即6a1q＝a1+a1q2+7，解得a1＝1，q＝2或a1＝4，q＝，则a n＝2n﹣1或a n＝23﹣n；（2）当q＞1时，b n＝1+log2a n＝1+log22n﹣1＝1+n﹣1＝n，a n+b n＝2n﹣1+n，则前n项和T n＝（1+2+4++2n﹣1）+（1+2+3++n）＝+n（n+1）＝2n﹣1+．20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求∠B；（2）若∠C为钝角，求的取值范围．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为．∴×2ac cos B＝ac sin B，解得：tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵A+C＝，∠C为钝角，∴A∈（0，），可得tan A∈（0，），∈（，+∞）∴＝＝•∈（2，+∞），故的取值范围为（2，+∞）．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．【解答】（1）解：当a＝时，f（x）＝（x+2）lnx+x2﹣4x+，函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）且f′（x）＝lnx++x﹣3．设g（x）＝lnx++x﹣3，则g′（x）＝﹣+1＝＝，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0（当且仅当x＝1时取等号）．即当x＞0时，f′（x）≥0（当且仅当x＝1时取等号）．所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有一个零点．因为f（1）＝0，x＝1是函数f（x）唯一的零点．所以若a＝，则函数f（x）的所有零点只有x＝1．（2）证法1：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4．当a≥时，f′（x）≥lnx++x﹣3，由（1）知lnx++x﹣3≥0．即当x＞0时，f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．所以f（x）不存在极值．证法2：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4设m（x）＝lnx++2ax﹣4，则m′（x）＝﹣+2a＝，（x＞0）．设h（x）＝2ax2+x﹣2，（x＞0），则m′（x）与h（x）同号．当a≥时，由h（x）＝2ax2+x﹣2＝0，解得x1＝＜0，x2＝＞0．可知当0＜x＜x2时，h（x）＜0，即m′（x）＜0，当x＞x2时，h（x）＞0，即m′（x）＞0，所以f′（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．由（1）知lnx++x﹣3≥0．则f′（x2）＝lnx2++x2﹣3+（2a﹣1）x2≥（2a﹣1）x2≥0．所以f′（x）≥f′（x2）≥0，即f（x）在定义域上单调递增．所以f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，将，代入得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）设点M（3+2cosθ，4+2sinθ）到直线AB：x+y+2＝0的距离为d，则d＝＝，当sin（）＝﹣1时，d有最小值，所以△ABM面积的最小值S＝＝9﹣2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解（1）当a＝1时，由f（x）＞x，得|2x﹣1|﹣1＞x+1．（1分）当x≥时，2x﹣1﹣1＞x+1，解得x＞3．当x时，1﹣2x﹣1＞x+1，解得x＜﹣．综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x＜﹣}．（2）因为||2x﹣1|﹣|2x+1||≤|（2x﹣1）﹣（2x+1）|，即﹣2≤|2x﹣1|﹣|2x+1|≤2，则|2x﹣1|﹣|2x+1|≥﹣2．所以g（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+1|+|2x﹣1|≥﹣2+|2x﹣1|≥﹣2，当且仅当x＝时等号成立．所以g（x）min＝﹣2．所以实数a的取值范围为（﹣2，+∞）．。
宁夏银川市第二中学2021届高三上学期统练二数学(理)试题及答案
20．（本题满分 12 分）
已知函数
f
(x)
Asin( x
)( A 0,
0,|
|
)
的图象过点
P(
, 0)
，图象与
P
点最近的一个最高点坐标为
2
6
(5 ,3) ． 12
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 x [ , ] ，求函数 f (x) 的值域； 43
2
，
上存在唯一的零点；
（Ⅱ）证明：对任意 x 0, ，都有 f (x) 2x ln x x(1 sin x)
D．点 (3 ， 0) 是函数 g(x) 图象的对称中心 4
11．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数 y Asin t ，我们听到的声音
是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 f (x) sin x 1 sin 2x ，则下列结论不正确的是 2
（Ⅲ）若方程 f (x) 1 在 x (0, ) 上有两个不相等的实数根 x1 ， x2 ，求 sin(x1 x2 ) 的值．
21．（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) ln x x sin x , f (x) 是 f (x) 的导数，且 g(x) f (x)
（Ⅰ）证明：
g
(
x)
在区间
1．全集U R ， A {x | y ln(x 1) ， B {x | x2 x 2 0} ，则 B (ðU A) (
)
A． (2, )
B． (, 2)
C．
D． (1, 2)
2．设函数 y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) 2x ，则 f (2) ( )
宁夏银川第二中学2022-2023学年高三数学理科统练三试题含答案
★启用前银川二中2022-2023学年第一学期高三年级统练三理科数学试题注意事项：1.本试卷共22小题，满分150分。
考试时间为120分钟。
2.答案写在答题卡上的指定位置。
考试结束后，交回答题卡。
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.已知集合2{|60}A x x x =--≤，{}|1B x x =>，则A B =A．(12]，B．(]1,3C．(]1,23[),+∞ D．R2.命题2,2n n N n ∃∈>的否定是A．2,2n n N n ∀∈>B．2,2nn N n ∃∈≤C．2,2nn N n ∀∈≤D．2,2nn N n ∃∈=3.20222i i -=A．2B．2C．5D．54.若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是A．()(||1)sin f x x x =+B．sin ()||1x f x x =+C．()(||1)cos f x x x =+D．cos ()||1x f x x =+5.若函数()ln bf x a x x=-在点()()1,1f 处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为A．12B．22C．32D．346.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A．a c b<<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<7.已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是A．6π=ϕB．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈8.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =A．7B．8C．9D．109.为了得到函数cos y x =的图象，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移3π个单位C．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位D．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移3π个单位10.设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为A．37B．79C．1941D．1-11.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O 的直径MN CD ∥，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅的最小值为A．5B．6C．7D．812.已知0a <，若1x >时，e lne ln x x a a x x ---≥-恒成立，则a 的最小值为A．1-B．2-C．2e-D．e-二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(1,3)M 为其终边上一点，则cos 2α=____．14.已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.15.实数x 、y 满足条件01001x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩，则3x y -的最大值为__________．16.已知函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()ln 1y f x x =--的零点个数是______个．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，2c =45B ︒=.（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．19.（本小题满分12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务．某跨国带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且2210,040901945010000,40x ax x R x x x x ⎧+≤<⎪=⎨-+≥⎪⎩．经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金4000R =万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年该企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本．20.（本小题满分12分）已知函数()2ππ13cos cos sin 262f x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的对称中心；（2）若π04x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()36f x =cos2x 的值.21.（本小题满分12分）已知函数1()f x x alnx x=-+．（1）当0a =时，求函数()f x 在点(1,0)处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪⎝=∈<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α．23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()22f x x t x t =-++．(1)当1t =时，解关于x 的不等式()6f x ≥；(2)当0t >时，()f x 的最小值为6，且正数,a b 满足a b t +=．求111a b ab++的最小值．高三数学理科统练三参考答案一、选择题.BCDDA ADABC DD 二、填空题.13.12-14.3-15.516.3三、解答题.17.【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由1210a a +=，34530a a a ++=可得112103930a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得142a d =⎧⎨=⎩，∴42(1)22n a n n =+-=+；(2)∵数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，∴13n n n a b -+=，又22n a n =+，可得1322n n b n -=--，所以1(1393)(4622)n n S n -=++++-++++ (13[42]2)113n n n n -=+⋅---231322n n n =---．18.【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得22222cos 922325b a c ac B =+-=+-⨯=，所以5b =由正弦定理得sin 5sin sin sin c b c B C C B b =⇒==.[方法二]【最优解】：几何法过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，由2,45c B ==°，可得1AE BE ==，又3a =，所以2EC =．在Rt ACE 中，225AC AE EC =+=15sin 55C ==．（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-.3254525555525由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法在（1）的方法二的图中，由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos cos()cos 5ADE ADC ADC π∠=-∠=-∠=，从而4sin 4sin cos ,tan 5cos 3DAE DAE ADE DAE DAE ∠∠=∠=∠==∠．又由（1）可得tan 2ECEAC AE∠==，所以tan tan 2tan tan()1tan tan 11EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠．[方法三]：几何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC ==．在Rt ADE △中，45,cos sin 3AE AD ED AD ADE ADE ===∠=∠，所以23CD CE DE =-=．在ACD △中，由正弦定理可得25sin sin CD DAC C AD ∠=⋅=由此可得2tan 11DAC ∠=．[方法四]：构造直角三角形法如图，作AE BC ⊥，垂足为E ，作DG AC ⊥，垂足为点G ．在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC ==由4cos 5ADC ∠=-，可得243cos ,sin 1cos 55ADE ADE ADE ∠=∠=-∠=．在Rt ADE △中，22542,,sin 333AE AD DE AD AE CD CE DE ADE ===-==-=∠．由（1）知5sin 5C =所以在Rt CDG △中，222545sin DG CD C CG CD DG =⋅==-=，1151521121119.【解析】（1）由题意知，当10x =时，()21010104000R x a =⨯+=，所以a =300．当040x ≤<时，()229001030026010600260W x x x x x =-+-=-+-；当40x ≥时，22901945010000919010000900260x x x x W x x x -+-+-=--=．所以2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩，（2）当040x ≤<时，()210308740W x =--+，所以当30x =时，W 有最大值，最大值为8740；当40x ≥时，10000100009190291908990W x x x x ⎛⎫=-++≤-⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x =，即x =100时，W 有最大值，最大值为8990．因为87408990<，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元．20.（1）()2ππ13cos cos sin 262f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1cos 2133sin cos 22x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-31πsin2cos 2223x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3113sin2cos2sin22222x x x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭31sin2cos244x =-1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=，则=+212k x ππ.所以()f x 的对称中心为+,0212k ππ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z .（2）∵()1π3sin 2266f x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴π3sin 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵π04x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴πππ2663x -≤-≤，∴π6cos 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3π1cos 2sin 26262x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63133223=⨯-⨯2326=-.21.11则221()x ax f x x -+-'=，当0a =时，221()x f x x --'=，所以f '（1）2=-，则()f x 在(1,0)处的切线方程为22y x =-+；（2）解：函数的定义域为(0,)+∞，且221()x ax f x x -+-'=，令2()1g x x ax =-+-，且(0)1g =-，①当0a 时，()0g x <恒成立，此时()0f x '<，则()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当0a >时，判别式△24a =-，()i 当02a < 时，△0 ，即()0g x ，所以()0f x ' 恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；()ii 当2a >时，令()0g x >，解得224422a a a a x --+-<<，令()0g x <，解得240a a x --<<24a a x +->所以()f x 在24(2a a -，24)2a a +-上单调递增，在24(0,2a a --和24(2a a +-，)+∞上单调递减．综上所述，当2a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当2a >时，()f x 在24(2a a --，242a a -上单调递增，在24(0,)2a a -和24(2a a +-，)+∞上单调递减．（3）证明：由（2）可知，2a >，1201x x <<<，121x x =，则1211221211()()[]f x f x x alnx x alnx x x -=-+--+2112121()(1)()x x a lnx lnx x x =-++-21122()()x x a lnx lnx =-+-，则12121212()()()2f x f x a lnx lnx x x x x --=-+--，故问题转化为证明12121lnx lnx x x -<-即可，即证明1212lnx lnx x x ->-，则111111lnx ln x x x ->-，即证11111lnx lnx x x +>-，即证11112lnx x x >-在(0,1)上恒成立，121022222212110则()h x h >（1），即120lnx x x -+>，故12lnx x x >-，所以1212()()2f x f x a x x -<--．22.(1)解：1C 的参数方程为244x t y t⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，(2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-，设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OM ON =，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以2sin α=2sin 2α=（舍）所以π4α=.23.【解析】(1)当1t =时，()2121f x x x =-++；当1x ≤-时，()()1221416f x x x x =--+=--≥，解得：74x ≤-；当112x -<<时，()()122136f x x x =-++=≥，解集为∅；当12x ≥时，()()2121416f x x x x =-++=+≥，解得：54x ≥；综上所述：不等式()6f x ≥的解集为75,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.(2)当0t >时，()()()22222236f x x t x t x t x t t =-++≥--+==（当且仅当2tt x -≤≤时取等号），2t ∴=，即2a b +=；211113332a b a b ab ab ab a b ++++==≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∴（当且仅当1a b ==时取等号），即111a b ab++的最小值为3.。
宁夏回族自治区银川市第二中学2021届高三数学上学期12月月考试题 理(含解析).doc
宁夏回族自治区银川市第二中学2021届高三数学上学期12月月考试题 理（含解析）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2log ,04A y y x x ==<≤，集合{}1xB x e =>，则A B 等于A. (],2-∞B. (0,)+∞C. (,0)-∞D. R【答案】D 【解析】∵{}](2|log ,042A y y x x ，∞==<≤=-，{}()|10xB x e ∞=>=+，, ∴ A B R ⋃= 故选D点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.设复数z 满足()12z i -= (其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是（ ） A. 2z = B. 复数z 的虚部是iC. 1z i =-+D. 复数z 在复平面内所对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】分析：先求出1i z =+，然后依次判断模长，虚部，共轭复数，对应的点是否正确即可. 详解：()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+∴z ==z 的虚部是1，1z i =-，复数z 在复平面内所对应的点为()1,1，显然在第一象限. 故选D点睛：本题考查复数的除法运算，求模长，定虚部，写共轭，及几何意义，属于基础题. 3.在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A. －12 B. －13C. 12D. 13【答案】B 【解析】设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13， 故选B.4.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A. a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且507a = B. a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且507c =C. a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且507a =D. a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且507c =【答案】D 【解析】由条件知a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n 项和，即502450.7c c c c ++=⇒=故答案为D . 5.函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A.6π B.3π C.4π D.23π 【答案】B 【解析】求出函数图象平移后的函数解析式，再利用函数图象关于原点对称，即()00g =，求出ϕ，比较可得.【详解】函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后得到()πsin 2sin 2x 63g x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.此函数图象关于原点对称，所以()π0sin 03g ϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.所以πk π,k Z 3ϕ-+=∈.当k 0=时，3πϕ=．故选B.【点睛】由sin y x =的图象，利用图象变换作函数()sin (0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位. 6.在公比为2的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 7﹣2S 6＝1，则a 1+a 5＝（ ） A. 5 B. 9C. 17D. 33【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质找到76,S S 的关系计算即可得出首项与公比,再求15a a +即可. 【详解】由等比数列前n 项和的性质11+=+n n S a qS 可知,当6n =时7162S a S =+,又7621-=S S ,得11a =,故41511217a a +=+⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和的性质11+=+n n S a qS ,属于中等题型. 7.ABC ∆中A 为其内角，设3,sin 2a A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1cos ,3b A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//a b ，则sin cos A A +=A. 2B. 2C. 2- D. 2【答案】B【解析】分析：直接利用向量的共线的充要条件，列出方程，解出A值，代入()sin cos245A A sin A+=+︒即可.详解：a=（32，sin A），b=（cos A，13）且a∥b，∴sin A cos A =3123⨯=12，∴sin2A =1，∵a 是锐角，所以2A=90°，∴A=45°．()sin cos2452902A A sin A sin+=+︒=︒=. 故选B 点睛：本题考查向量共线的充要条件的应用，三角函数的化简求值，属于基础题．8.设,x y满足24,1,2 2.x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y=+A. 有最小值7-，最大值3 B. 有最大值3，无最小值C. 有最小值2，无最大值 D. 有最小值7-，无最大值【答案】C【解析】x，y满足平面区域如图：当直线y=﹣x+z 经过A 时z 最小， 经过B 时z 最大， 由242=2x y x y +=⎧⎨-⎩得到A （2，0）所以z 的最小值为2+0=2， 由于区域是开放型的， 所以z 无最大值； 故选C ．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，且S 17＜0，则当S n 取最大值时的n 值为（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 16【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】由116168916()08()02a a S a a +>⇒=+>,即890a a +>.又179901700S a a <⇒<⇒<.故890,0a a ><.故等差数列{}n a 是首项为正数,公差为负数的等差数列.故当8n ≤时0n a >,当9n ≥时0n a <.故当n S 取最大值时8n =.故选：B【点睛】本题主要考查首项为正,公差为负的等差数列的性质,属于中等题型.10.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n nS a +的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据等比中项得出2444,2a a == ，然后求得公比2,q =首项114a =，再利用公式求得n S ，通项n a 代入用基本不等式求最值.【详解】因为264a a =，且等比数列{}n a 各项均为正数，所以2444,2a a ==公比432,a q a ==首项114a = 所以1(1)2114n n n a q S q --==- ，通项11124n n n a a q --==所以29()2164448242n n n n S a +=++≥=当且仅当216,342n n n =∴=所以当3n =时，2942n nS a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为8故选C【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”. 11.已知O 是等边ABC ∆的外接圆，其半径为4，M 是ABC ∆所在平面内的动点，且1OM =，则2MA MB MC ++的最大值为( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量基本定理，表示所求式子，计算最值，即可．【详解】结合题意，绘制图形，可知,,MA OA OM MB OB OM MC OC OM =-=-=-，4,1OC OM ==代入得到2224MA MB MC OA OM OB OM OC OM OC OM ++=-+-+-=-故222816328MA MB MC OC OC OM OM OM OC ++=-⋅+=-⋅而cos 4cos OM OC OM OC θθ⋅=⋅⋅=故要计算最大值，可知当cos 1θ=-的时候，取到648=，故选C ．【点睛】考查了平面向量基本定理，关键表示出所求式子，难度偏难．12.已知函数()lnxf x x=，关于 x 的不等式()()2 0?f x af x ->有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是 A. 52 )52ln ln ⎡⎢⎣， B. 53)53ln ln ⎡⎢⎣， C. 52(52ln ln ⎤⎥⎦， D.53(53ln ln ⎤⎥⎦， 【答案】A 【解析】【详解】对函数求导可得()21ln 'xf x x-=，令()'0f x >，解得0x e <<，令()'0f x <，解得x e >，所以()f x 的递增区间为()0,e ，递减区间为(),e +∞，故()f x 的最大值()1f e e=，x →+∞时()0,0f x x →→时，故在()0,1时，()0f x <，在()1,+∞时，()0f x >，所以0a <时，由不等式()()20fx af x ->得()0f x >或()f x a <，而()0f x >或()f x a <，而()0f x >的解集为()1,+∞，整数解有无数多个，不合题意；0a =时，由不等式()()20f x af x ->，得()0f x ≠，解集为()()0,11,+∞，整数解有无数多个，不合题意；0a >时，由不等式()()20f x af x ->得()()0f x a f x ><或，所以()0f x <的解集为()0,1无整数解．若不等式()()20f x af x ->有且只有三个整数解，()f x 在()0,e 递增，有(),e +∞递减，而23e <<，()()24f f =，所以三个正整数为2,3,4，而()ln 242f =，综上，实数a 的取值范围是ln 5ln 2[,)52．故本题答案选A ． 13.已知向量,a b 的夹角为60，1,3a b ==，则5a b -= ． 【答案】19 【解析】 试题分析：由题设,所以5a b -=.考点：向量的数量积公式及模的运算．14.已知命题p ：2,20x R x x m ∃∈++≤，命题q ：幂函数113()m f x x +-=在()0,∞+是减函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】(](),12,3-∞⋃ 【解析】 【分析】化简命题p 可得1m ≤，化简命题q 可得23m <<，由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围. 【详解】对命题p ，因为2,20x R x x m ∃∈++≤，所以440m -≥，解得1m ≤；命题q ，因为幂函数()113m f x x +-=在()0,+∞是减函数，所以1103m +<-，解得23m <<； 因为“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，所以p q 、一真一假，若p 真q 假，可得1m ≤且3m ≥或2m ≤，解得1m ≤； 若p 假q 真，可得 1m >，且23m <<，解得23m <<； 实数m 的取值范围是(](),12,3-∞⋃， 故答案为(](),12,3-∞⋃.【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 15.数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝2a n +1，（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n ＝_____． 【答案】2n +1﹣2﹣n 【解析】 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a +,进而求得{}n a 的通项公式再进行求和即可. 【详解】121n n a a +=+,即()1121n n a a ++=+, 可得数列{}1n a +为首项为2,公比为2的等比数列,可得12nn a +=,即21n n a =-,所以数列{}n a 的前n 项和12(22...2)nn S n =+++-()12122212n n n n +-=-=---.故答案为：122n n +--【点睛】本题主要考查了根据递推公式构造数列求通项公式的方法,同时也考查了分组求和与等比数列求和公式,属于中等题型.16.()f x 是R 上可导的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数已知0x >时()()'f x f x <，()1f e =，则不等式(()(ln 0ln x f x e <≤的解集为______．【答案】210,2e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】构造函数()g x ，判定单调性，建立关于x 的不等式，计算结果，即可． 【详解】构造新函数()()xf xg x e=，则()()()''xf x f xg x e-=，结合当0x >时，()() 'f x f x <可知，()g x 在0x >时递增的. 则()()()()00100,11f f g g ee====.由(()(ln 0ln x f x e<+≤，得ln 01f x+<≤，令(ln t x =，即()()()01g g t g <≤所以01t <≤，得到1e x <，解得210,2e x e ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦【点睛】考查了利用导函数判定原函数单调性，考查了构造函数的思想，难度偏难． 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分17.己知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3122n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设32log 1n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（1）13n n a -=；（2）21n n + 【解析】 【分析】（1）运用1n n n a S S -=-，证明数列{}n a 是等比数列，计算通项，即可．（2）将通项n a 代入，得到n b 的通项，结合裂项相消法，计算求和，即可．【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31.22n n S a =-① 当1n =时，113122a a =-， 解得：11a =． 当2n ≥时，113122n n S a ②--=-， -①②得：()1132n n n n n a S S a a --=-=-，整理得：13n n a a -=，即：13(nn a a -=常数)， 所以：数列{}n a 是以11a =，3为公比的等比数列，则：11133(n n n a --=⋅=首项符合)， 故：13n n a -=． （2）由于13n n a -=，所以32log 121n n b a n =+=-，所以：()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 则：111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭， 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 21nn =+． 【点睛】考查了等比数列的判定，考查了裂项相消法，考查了等比数列通项计算方法，难度中等．18.设函数()f x a b =⋅，其中2sin ,cos24a x x π⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin ,4b x π⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝，x R ∈ ()1求()f x 的最小正周期和对称轴；()2若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）最小正周期T π=，对称轴为：5122k x ππ=+，k Z ∈；（2）[]0,1. 【解析】 【分析】()1用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；()2将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决．【详解】()()212sin sin 2sin 1cos 2sin214444f x a b x x x x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴最小正周期T π=，由232x k πππ-=+，得5122k x ππ=+，k Z ∈，所以()f x 的对称轴为：5122k x ππ=+，k Z ∈， ()2因为()2f x m -=可化为2sin 213m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，等价于求函数2sin 213y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的值域，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,363x πππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ []0,1y ∴∈故实数m 的取值范围是[]0,1【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算.考查了正弦函数的图像和性质，属基础题．19.在数列{}n a 中，1112,2n n n a a a n++== ()n N *∈． (1)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)设4nn na b n a =-，若数列{}n b 的前n 项和是n T ，求证：2n T <.【答案】（1）证明见解析；42n nna =.（2）证明见解析； 【解析】 【分析】 （1）由题设得1112n n a a n n +=⋅+，又121a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式求出121222n n n a n --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，即可求出n a .（2）由(1)知412442142n n n n n nna b n n a n ===---，根据放缩法得112n n b -≤，再由等比数列的求和公式即可证出.【详解】证明：(1)由题设得1112n n a a n n +=⋅+，又121a=， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为12的等比数列，所以121222n nn a n --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，2422nn n na n -=⋅=. (2)由(1)知412442142n n n n n nn a b n n a n ===---，因为对任意1,212nn n N *-∈-≥恒成立，所以112n n b -≤. 所以2311111112(1)222222n n nT -≤+++++=-<. 【点睛】本题考查了等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式以及放缩法证明不等式，综合性比较强，不仅要熟记公式，更要灵活运用知识点.20.江心洲有一块如图所示的江边，OA ，OB 为岸边，岸边形成120︒角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l ：在岸边OB 上取两点,P Q ，用长度为1km 的围网依托岸边线PQ 围成三角形MPQ （MP ，MQ 两边为围网）；方案2：在岸边OA ，OB 上分别取点,E F ，用长度为1km 的围网EF 依托岸边围成三角形EOF .请分别计算MPQ ，EOF △面积的最大值，并比较哪个方案好.【答案】MQP ∆，EOF ∆面积的最大值分别为218km ，2312km .其中方案2好. 【解析】 【分析】分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案1和方案2中MPQ ∆和EOF ∆面积的最大值，通过最大值的比较可知方案2好. 【详解】方案1：设MP xkm =，MQ ykm =由已知“用长度为1km 的围网，MP ，MQ 两边为围网”得(),0,1x y ∈且1x y +=2211111sin sin 12222228MPQx y S xy PMQ π+⎛⎫⎛⎫∴=∠≤⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12x y ==且2PMQ π∠=时，等号成立MPQ ∴∆面积的最大值为218km方案2：设OE akm =，OF bkm =在EOF ∆中，由余弦定理得：2222cos EF OE OF OE OF EOF =+-⋅⋅∠即222212cos3a b a b π=+-⋅⋅22123a b a b ab ab ab ∴=++⋅≥+=（当且仅当a b ==时等号成立）1211sin 2323EOF S ab π∆∴=≤⨯=（当且仅当a b ==EOF ∴∆面积的最大值为21231128> ∴方案2好 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值，涉及到基本不等式的应用，属于常规题型. 21.已知函数()()212f x xlnx mx x m R =--∈． （1）若函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数，其实数m 的取值范围；（2）若函数f （x ）在（0，+∞）上存在两个极值点x 1，x 2，证明：lnx 1+lnx 2＞2． 【答案】（1）1m e≥．（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)由题知'()0f x ≤在()0,∞+上恒成立.参变分离求实数m 的取值范围即可.(2)求导代入极值点分析12,x x 满足的关系式,再代换m 构造出关于12,x x 的方程,再换元证明不等式即可.【详解】（1）由函数f （x ）在（0,+∞）上是减函数,可知,f ′（x ）＝lnx ﹣mx ≤0恒成立,∴m lnx x ≥恒成立,故m ()lnxx≥max , 令g （x ）lnxx=,x ＞0,则g ′（x ）21lnxx -=,当x ∈（0,e ）,g ′（x ）21lnxx -=＞0,g （x ）单调递增, 当x ∈（e ,+∞）,则g ′（x ）21lnxx-=＜0,g （x ）单调递减,g （x ）max ＝g （e ）1e=∴1m e≥． （2）由（1）f ′（x ）＝lnx ﹣mx ,由f （x ）在（0,+∞）上存在两个极值点,不妨设x 1＜x 2,知112200lnx mx lnx mx -=⎧⎨-=⎩,则m 12121212lnx lnx lnx lnx x x x x +===+, 又m 1212lnx lnx x x -=-,∴12121212lnx lnx lnx lnx x x x x +-=+-,即lnx 1+lnx 211221211122211x x lnx x x x x ln x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=⋅=--, 设t 12x x =∈（0,1）, 要证明：lnx 1+lnx 2＞2, 只要证()121t lnt t +-＞,只要证lnt ()211t t -+＜,即证lnt ()211t t --+＜0,构造函数h （t ）＝lnt ()211t t --+,h ′（t ）22214(1)(1)(1)t t t t t -=-=++＞0, h （t ）在（0,1）上单调递增,∴h （t ）＜h （1）＝0, 即h （t ）＝lnt ()211t t --+＜0,∴lnx 1+lnx 2＞2．【点睛】本题主要考查根据函数的单调性求参数的范围问题,同时也考查了双极值点不等式问题,需要消参构造函数证明不等式,属于难题.（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （0，﹣2），M 是曲线C 上任意一点，求△ABM 面积的最小值．【答案】（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）9﹣ 【解析】 【分析】(1)先将3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩化简成直角坐标方程,再利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩与222x y ρ+=化简即可.(2)由ABM 为以AB 为底,M 到AB 的距离为高可知要求ABM 面积的最小值即求M 到AB 的距离最大值.再设(32,42)M cos sin θθ++求解最值即可.【详解】（1）∵曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩,（θ为参数）,有3242x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩.上下平方相加得曲线C 的直角坐标方程为22(3)(4)4x y -+-=, 化简得2268210x y x y +--+=将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩与222x y ρ+=,代入得曲线C 的直角坐标方程有： 26cos 8sin 210ρρθρθ--+=．（2）设点(32,42)M cos sin θθ++到直线AB ：x +y +2＝0的距离为d ,则d ==, 当sin （4πθ+）＝﹣1时,d所以△ABM 面积的最小值S 12AB d =⨯⨯=9﹣． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标和极坐标系的互化,同时与考查了圆上的点到直线距离最值的问题,属于中等题型. 23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣a ． （1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＞x +1；（2）若存在实数x ，使得f （x ）12＜f （x +1），求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{x |x ＞3或x 13-＜}．（2）（﹣2，+∞）． 【解析】 【分析】 (1)分12x ≥与12x <两种情况求解()1f x x >+即可.(2)代入()21f x x a =--到不等式1()(1)2f x f x <+中,再根据能成立问题,分x 的不同取值去绝对值,参变分离求函数最值即可.【详解】解（1）当a ＝1时,由f （x ）＞x ,得|2x ﹣1|﹣1＞x +1． 当x 12≥时,2x ﹣1﹣1＞x +1,解得x ＞3． 当x 12＜时,1﹣2x ﹣1＞x +1,解得x 13-＜．综上可知,不等式f （x ）＞x +1的解集为 {x |x ＞3或x 13-＜}． （2）因为1()(1)2f x f x <+,得1212122ax a x --<+-.即22121a x x >--+. 令()22121g x x x =--+ ,则存在实数x ,使得1()(1)2f x f x <+成立等价于min ()a g x >. 因为123,211()61,22123,2x x g x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩,故当12x =时, min 1()()22g x g ==-故2a >-.即实数a 的取值范围为()2,-+∞【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解方法,包括分情况讨论与利用三角不等式进行求解分析,属于中等题型.。
2020-2021学年宁夏银川二中高三(上)统练数学试卷(一)(附答案详解)
2020-2021学年宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2<x<4}，B={x|y=lg(x−2)}，则A∩(∁R B)=()A. (2,4)B. (−2,4)C. (−2,2)D. (−2,2]2.已知a，b都是实数，那么“√a>√b”是“ln a>ln b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，则sinα的值为()A. 12B. −12C. −√32D. −√334.已知sin(π4+α)=√32，则sin(3π4−α)值为()A. 12B. −12C. √32D. −√325.在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为()A. 50(1+√33)m B. 50(1+√3)mC. 50(√6+√2)mD. 50(√6+√2)m6.已知f(x)是定义在R上满足f(x+2)=f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)=4x−1，则f(−5.5)的值为()A. 2B. −1C. −12D. 17.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①−3是函数y=f(x)的极值点；②−1是函数y=f(x)的最小值点；③y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是()A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8.设alog34=2，则4−a=()A. 1B. 1C. 1D. 19. 已知α∈(0,π2),2sin2α−1=cos2α，则cosα=( )A. 15B. √55C. √33D. 2√55 10. 已知曲线C ：y =cos(2x +φ)(|φ|<π2)的一条对称轴方程为x =π3，曲线C 向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标别(π4,0)，则θ的最小值是( )A. π6B. π4C. π3D. π1211. 函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(11)的值等于( )A. √2B. 2+√2C. 2+2√2D. −2−2√212. 已知函数f(x)=√3sin2x +cos2x −m 在[0,π2]上有两个零点x 1，x 2，则tanx 1+x 22的值为( )A. √3B. √22 C. √32 D. √33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =lnx +x +1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______． 14. 已知函数f(x)={3x+1(x ≤0)log 13x(x >0)，则不等式f(x)>1的解集为 ．15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsinA +acosB =0，则B = ．16. 已知cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则sinβ=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2−c 2=ab ．(1)求∠C 的大小；(2)若c =2√3,sinA =2sinB ，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx +a ，且当x ∈[0,π2]时，f(x)的最小值为2． (1)求a 的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数y =f(x)的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移π12个单位，得到函数y =g(x)的图象，求方程g(x)=4在区间[0,π2]上所有根之和．19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cosB =35，sinAcosB −(c −cosA)⋅sinB =0． (1)求边b 的值；(2)求△ABC 的周长的最大值．20. 已知函数f(x)=1e x −ax(x ∈R)．(1)当a =−2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若a >0且x ≥1时，f(x)≤lnx ，求a 的取值范围．21.已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；(2)若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=8√2sin(θ+π4).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P(1,0)作倾斜角为45°的直线l与圆C交于A，B两点，试求1|PA|+1|PB|的值．23.已知f(x)=|x+1|−|ax−1|．(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的交集和补集的运算，考查对数函数的定义域，属于基础题．进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵B={x|y=lg(x−2)}={x|x−2>0}={x|x>2}，∴∁R B={x|x≤2}，∴A∩(∁R B)=(−2,2]．故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．【解答】解：∵lna>lnb⇒a>b>0⇒√a>√b，是必要条件，而√a>√b，如a=1，b=0则lna>lnb不成立，不是充分条件，故选：B．3.【答案】C【解析】解：因为α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，点P即为(1,−√3)，则sinα=−√32=−√32．故选C．本题考查三角函数的定义，基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：sin(π4+α)=√32，sin(3π4−α)=sin(π−π4−α)=sin(π4+α)=√32故选：C．直接利用诱导公式化简sin(3π4−α)，求出sin(π4+α)的形式，求解即可．本题是基础题，考查三角函数的诱导公式，整体思想，考查计算能力．5.【答案】B【解析】解：如图，由已知可得：AD=DC=50m，∴BD=ADtan60°=50√3m，∴塔高为CD+BD=50(1+√3)m．故选：B．在直角三角形ABD中根据BD=ADtan60°求得BD，进而可得答案．本题主要考查解三角形在实际中的应用．属基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的周期性，考查运算求解能力，是基础题．根据题意得，函数周期为2推导出f(−5.5)=f(0.5)，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)=f(x)，则函数是周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)=4x−1，∴f(−5.5)=f(−5.5+6)=f(0.5)=2−1=1．故选：D．7.【答案】C【解析】解：根据导函数图象可知当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，在x∈(−3,1)时，f′(x)≤0∴函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,1)上单调递增，故③正确则−3是函数y=f(x)的极小值点，故①正确∵在(−3,1)上单调递增，∴−1不是函数y=f(x)的最小值点，故②不正确；∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确故选：C．根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切线的斜率等有关知识，属于中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题．直接根据对数和指数的运算性质即可求出．【解答】解：因为alog34=2，则log34a=2，则4a=32=9则4−a=14 a =19，故选：B．9.【答案】D【解析】解：∵α∈(0,π2),2sin2α−1=cos2α，∴4sinαcosα−1=2cos2α−1，可得2sinαcosα=cos2α，∵cosα>0，∴可得sinα=12cosα，∴解得：cosα=2√55．故选：D．由已知利用二倍角公式可得2sinαcosα=cos2α，结合cosα>0，根据同角三角函数基本关系即可解得cosα的值．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系在三角函数化简求值中到应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：曲线C：y=cos(2x+φ)(|φ|<π2)的一条对称轴方程为x=π3，∴2×π3+φ=kπ，k∈Z，∴φ=π3，曲线C：y=cos(2x+π3).把曲线C向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到曲线E：y=cos(2x+2θ+π3)的图象，∵曲线E的一个对称中心的坐标别(π4,0)，∴2×π4+2θ+π3=nπ+π2，n∈Z．则θ的最小值为π3，此时，n=1，故选：C．由题意利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求出θ的最小值．本题主要考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的部分图象可得A=2，ϕ=0，且12×2πω=4−0，∴ω=π4．∴函数y=2sin(π4x)，且函数的周期为8．由于f(1)+f(2)+f(3)+⋯f(8)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯f(11)=f(1)+f(2)+f(3)=2sinπ4+2sinπ2+2sin3π4=2+2√2，根据所给的三角函数的图象，可以看出函数的振幅和周期，根据周期公式求出ω的值，写出三角函数的形式，根据函数的图象过点(2,2)，代入点的坐标，整理出初相，点的函数的解析式，根据周期是8和特殊角的三角函数求出结果．本题考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定函数的解析式，考查特殊角的三角函数值，本题解题的关键是看出要求结果的前八项之和等于0，要理解好函数的中的周期、振幅、初相等概念，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵f(x)=√3sin2x+cos2x−m=2(√32sin2x+12cos2x)−m=2sin(2x+π6)−m，∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴−1≤2sin(2x+π6)≤2，∵f(x)=√3sin2x+cos2x−m在[0,π2]上有两个零点x1，x2，∴正弦y=m与f(x)=√3sin2x+cos2x在[0,π2]上有两个交点，如图：∴x1+x2=π3，∴tan x1+x22=tanπ6=√33，故选：D．利用两角和与差的正弦将f(x)化简为f(x)=2sin(2x+π6)−m，由x∈[0,π2]⇒2x+π6∈[π6,7π6]，利用正弦函数的单调性可求对应区间上f(x)=2sin(2x+π6)−m的值域，结合题意可从而可得答案．本题考查两角和与差的正弦，考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的零点与半角三角函数，求得x1+x22是关键，属于中档题．13.【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，解得m=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，故答案为：y=2x．14.【答案】(−1,13)【解析】【分析】由已知中分段函数的解析式，分当x≤0时，和当x>0时，分别解不等式f(x)>1，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是指数不等式和对数不等式，分段函数，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．【解答】解：当x≤0时，由3x+1>1得：x+1>0，解得：x>−1，∴−1<x≤0；当x>0时，由log13x>1得：0<x<13，∴0<x<13，综上所述，不等式f(x)>1的解集为(−1,13)，故答案为：(−1,13)15.【答案】3π4【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB +sinAcosB =0，由于sinA >0，化简可得tanB =−1，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值为3π4． 【解答】解：∵bsinA +acosB =0，∴由正弦定理可得：sinAsinB +sinAcosB =0， ∵A ∈(0,π)，sinA >0，∴可得：sinB +cosB =0，可得：tanB =−1， ∵B ∈(0,π)，∴B =3π4．故答案为3π4．16.【答案】√22【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cos(β−α)的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sinβ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 【解答】解：∵cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=2√55，∴β−α∈(−π2,π2)，∴cos(β−α)=√1−sin 2(β−α)=3√1010，∴sinβ=[(β−α)+α]=sin(β−α)cosα+cos(β−α)sinα=(−√1010)×√55+3√1010×2√55=√22． 故答案为：√22．17.【答案】解：(1)a 2+b 2−c 2=abcosC =a2+b 2−c 22ab=12，C ∈(0,π)，∴C =π3．(2)∵sinA =2sinB ， ∴a =2b ，∵c 2=a 2+b 2−2abcosC ，∴(2√3)2=4b 2+b 2−2⋅2bb ⋅12=3b 2，∴b =2， ∴a =4，∴S △ABC =12absinC =2√3．【解析】(1)利用余弦定理，化简求解即可．(2)利用正弦定理以及余弦定理，求出b ，a ，然后求解三角形底面积．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18.【答案】解：(1)化简可得f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx +a=cos2x +1+√3sin2x +a =2sin(2x +π6)+a +1， ∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴f(x)的最小值为−1+a +1=2，解得a =2， ∴f(x)=2sin(2x +π6)+3，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2可得kπ−π3≤x ≤kπ+π6， ∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，(k ∈Z)；(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin(4x −π6)+3，由g(x)=4可得sin(4x −π6)=12， ∴4x −π6=2kπ+π6或4x −π6=2kπ+5π6，解得x =kπ2+π12或x =kπ2+π4，(k ∈Z)，∵x ∈[0,π2]， ∴x =π12或x =π4， ∴所有根之和为π12+π4=π3．【解析】(1)化简可得f(x)=2sin(2x +π6)+a +1，由题意易得−1+a +1=2，解方程可得a 值，解不等式2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2可得单调区间；(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin(4x −π6)+3，可得sin(4x −π6)=12，解方程可得x =π12或x =π4，相加即可． 本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．19.【答案】解：(1)由sinAcosB −(c −cosA)⋅sinB =0得sinAcosB +cosAsinB =csinB ． ∴sinC =csinB ，即sinC c =sinB ． 由正弦定理得sinB b=sinC c，故b =1．(2)由余弦定理得，a 2+c 2=b 2+2accosB =1+65ac ． ∴(a +c)2=1+165ac ≤1+165(a+c 2)2，∴a +c ≤√5．所以当a =c 时，△ABC 的周长的最大值为√5+1．【解析】(1)利用两角和与差的三角函数以及正弦定理化简求解即可．(2)利用余弦定理化简通过基本不等式求出a +c 的最大值，然后求解三角形的周长的最大值．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．20.【答案】解：(1)∵当a =−2时，f(x)=1e x +2x ，∴f′(x)=−1e x +2.令f′(x)=−1e x +2=0，得x =ln 12=−ln2．当x<−ln2时，f′(x)<0；当x>−ln2时，f′(x)>0．∴函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−ln2)，递增区间为(−ln2,+∞)．(2)当x≥1时，f(x)≤lnx等价于1e x −ax≤lnx，即lnx−1e x+ax≥0.(∗)令g(x)=lnx−1e x +ax(a>0)，则g′(x)=1x+1e x+a>0，∴函数g(x)在[1,+∞)上单调递增．∴g(x)≥g(1)=−1e+a．要使(∗)成立，则−1e +a≥0，得a≥1e．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为lnx−1e x +ax≥0.令g(x)=lnx−1e x+ax≥0(a>0)，通过函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．21.【答案】(1)证明：∵f(x)=2sinx−xcosx−x，∴f′(x)=2cosx−cosx+xsinx−1=cosx+xsinx−1，令g(x)=cosx+xsinx−1，则g′(x)=−sinx+sinx+xcosx=xcosx，当x∈(0,π2)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x∈(π2,π)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴当x=π2时，极大值为g(π2)=π2−1>0，又g(0)=0，g(π)=−2，可知函数在(0,π2)上无零点，在(π2,π)上有唯一零点，∴g(x)在(0,π)上有唯一零点，即f′(x)在(0,π)上有唯一零点；(2)解：由(1)知，f′(x)在(0,π)上有唯一零点x0，使得f′(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)>0，当x∈(x0,π)时，f′(x)<0，∴f(x)在[0,x0)递增，在(x0,π]递减，结合f(0)=0，f(π)=0， 可知f(x)≥0在[0,π]上恒成立，令ℎ(x)=ax ，表示横过定点(0,0)的直线， ∵f(x)≥ℎ(x)恒成立，∴直线y =ax 的斜率a 小于等于0， ∴a ∈(−∞,0]．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点和恒成立问题，属于较难题． (1)令g(x)=f ′(x)，对g(x)再求导，研究其在(0,π)上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；(2)利用(1)的结论，可设f ′(x)的零点为x 0，并结合f ′(x)的正负分析得到f(x)≥0在[0,π]上恒成立，即得出结论．22.【答案】解：(1)由ρ=8√2sin(θ+π4)得ρ2=8√2ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)，即，将代入上式可得x 2+y 2−8x −8y =0． (2)直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)，将其代入圆C 的方程可得：t 2−7√2t −7=0， 设A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2， 则t 1+t 2=7√2，t 1t 2=−7<0， 所以1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=3√147．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属于中档题． (1)两边同乘ρ，利用两角和的正弦公式和互化公式可得；(2)先得到直线l 的参数方程，联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义可得．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x +1|−|x −1|={2,x >12x,−1≤x ≤1−2,x <−1，由不等式f(x)>1，得{−2>1x <−1或{2x >1−1≤x ≤1或{2>1x >1， 解得x >12，故不等式f(x)>1的解集为(12,+∞)； (2)当x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立，∴当x ∈(0,1)时，|x +1|−|ax −1|−x >0恒成立， 即：当x ∈(0,1)时，x +1−|ax −1|−x >0恒成立， 即：当x ∈(0,1)时，|ax −1|<1恒成立， ∴当x ∈(0,1)时，−1<ax −1<1成立， ∴当x ∈(0,1)时，0<ax <2成立， 由x ∈(0,1)， 可知a >0， ∴a <2x ， ∵2x >2，∴0<a ≤2，故a 的取值范围为(0,2]．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了运算能力，属于中档题． (1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集； (2)由题意，可得：当x ∈(0,1)时，0<ax <2成立，即可得解．。
2021届宁夏银川二中高三上学期统练三数学(理)试题(解析版)
2021届宁夏银川二中高三上学期统练三数学（理）试题一、单选题1．设集合M ={x ||x -1|<1}，N ={x |x <2}，则M ∩N =（ ） A ．(-1，1) B ．(-1，2) C ．(0，2) D ．(1，2)【答案】C【分析】先由绝对值不等式的解法求得集合M ，再由集合的交集运算可得选项. 【详解】{}{}{}{}{}{}|11|02|2|02|2|02M x x x x N x x M N x x x x x x =-<=<<=<∴⋂=<<⋂<=<<=，，， 故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 2．已知sin 2α=，α为第二象限角，则tan α的值是（ ） A． B．3-C ．12-D【答案】A【分析】根据题中条件，由同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】因为sin α=，α为第二象限角，所以1cos 2α===-，因此sin 2tan 1cos 2ααα===-.故选：A.【点睛】本题主要考查由正弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型. 3．在ABC中，AC =1BC =， 60B =︒，则ABC 的面积为（ ） AB ．2C．D ．3【答案】A【分析】结合余弦定理求出AB ，进而可求出三角形的面积.【详解】解：由余弦定理可知，2222cos AC BC AB AB BC B =+-⋅⋅，即21312cos60AB AB =+-︒，整理得2120AB AB --=，解得4AB =或3-(舍去)，则11sin 14sin 60322ABC S BC BA B =⋅⋅=⨯⨯⨯︒=△， 故选:A.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题.本题的关键是求出AB .4．函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ω、ϕ的值分别是（ ）A ．4，3π B ．2，6π-C ．4，6π-D ．2，3π-【答案】D【分析】利用正弦函数的周期性可得3344T π=，进而求得ω，再利用512x π=时取得最大值可求得ϕ值.【详解】由图观察可知，函数的周期T 满足3344T π=，由此可得2T ππω==，解得2ω=，函数表达式为()()2sin 2f x x ϕ=+.又∵当512x π=时,取得最大值2， ∴2sin 2212πϕ5⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，可得()5262k k Z ππϕπ+=+∈，∵22ππϕ-<<， ∴取0k =，得3πϕ=-.故选：D.【点睛】本题考查由()sin y A ωx φ=+的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性和最值，属于基础题.5．若向量,a b ，满足3,2,()a b a a b ==⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 【答案】D【分析】由向量垂直可得()0a a b ⋅+=，结合数量积的定义表达式可求出2cos ,aa b a b-<>=，又3,2,a b ==，从而可求出夹角的余弦值得解.【详解】解：因为()0a a b ⋅+=，所以22()0,a a b a a b a b a ⋅+=+⋅=⇒⋅=-， 因为3,2,a b ==，所以23cos ,2aa ab a bb--<>===-，.cos ,[0,]a b π<>∈，5,6a b π∴<>= 故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积、向量垂直及向量夹角的计算.属于基础题6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的变分别为a 、b 、c ，则“”a b ≤是“sin sin ?A B ≤的（ ）A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】A【分析】利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果.【详解】由正弦定理得2sin sin a b R A B==（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）， 则2sin a R A =，2sin b R B =，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ≤⇔≤⇔≤，因此a b ≤“”是sin sin A B ≤的充分必要必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7．要得到函数()()sin 2f x x x x R =∈的图象，可将2sin 2y x =的图象向左平移（ ） A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位【答案】A【分析】利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论.【详解】()sin 222sin 22sin 236f x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，将2sin 2y x =的图象向左平移6π可得到函数()y f x =的图象. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）5=，且(4)()f x f x +=-，则(2020)(2021)f f +的值为（ ）A ．0B ．5-C ．2D ．5【答案】B【分析】根据题意，分析可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，则有(2020)(0)f f =，(2021)f f =（1），由奇函数的性质求出(0)f 与f （1）的值，相加即可得答案.【详解】解：根据题意，函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，则有(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，(2020)(48252)f f f =+⨯=(4)(0)0f ==， (2021)(58252)f f f =+⨯=(5)f =-（1）5=-，则(2020)(2021)(0)f f f f +=+（1）5=-， 故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.9．在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间(y 单位：小时)与储存温度(x 单位：)℃满足函数关系( 2.71828kx b y e e +==⋯为自然对数的底数，k ，b 为常数)，若该食品在0C 时的保鲜时间为120小时，在30C 时的保鲜时间为15小时，则该食品在20C 时的保鲜时间为( ) A ．30小时 B ．40小时 C ．50小时 D ．80小时【答案】A【分析】列方程求出10k e 和b e 的值，从而求出当20x =时的函数值．【详解】解：由题意可知1203015be k be=+⎧⎪=⎨⎪⎩，3018k e ∴=，1012k e ∴=， 201021()120304k b k b e e e +∴=⋅=⋅=． 故选A ．【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，考查函数值的计算，考查了实际应用的问题，属于中档题．题目给定y 与x 的函数关系式ekx by +=，里面有两个参数,k b ，需要两个已知条件来求出来，根据题目所给已知条件列方程组，解方程组求得,k b 的值，也即求得函数的解析式.10．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（ ）AB ．14CD【答案】B【分析】利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案； 【详解】cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，∴2b c =，又a b =，∴22222114cos 12422ba cb B ac b ⋅+-===⋅⋅，故选：B.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值.11．若函数()()2,0132,0xe x a xf x a x a x ⎧-+>⎪=⎨-+-≤⎪⎩在(),-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(]1,3C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]1,2 【答案】B【分析】根据分段函数一侧的单调性，确定另一侧的单调性，再比较分界点处函数值的大小，求实数a 的取值范围.【详解】因为函数()f x 在(),-∞+∞上是单调函数，并且当0x >时，()2x f x e x a =-+，()10x f e x ='->，所以函数在()0,∞+单调递增，所以0x ≤时，()()132f x a x a =-+-也是增函数，所以10a ->，即1a >，并且在分界点处需满足当0x =时，()0103202a a e a -⨯+-≤-+，解得：3a ≤，综上可知 实数a 的取值范围是(]1,3. 故选：B【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.12．已知函数()xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞ B ．(),e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由题意得出()()1122x f x x f x <，构造函数()2xg x e ax =-，可知函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增，可得出()20x g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，利用参变量分离法可得出2x e a x ≤，利用导数求得函数()2xe h x x=在区间()0,∞+上的最小值，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】函数()xe f x ax x =-的定义域为()0,∞+，当21x x >时，()()1221f x f x x x <恒成立，即()()1122x f x x f x <，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，则()()12g x g x <，所以，函数()2xg x e ax =-在区间()0,∞+上为增函数，则()20xg x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，2xea x∴≤，令()2xe h x x=，其中0x >，则()min a h x ≤.()()212x e x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =的最小值为()()min 12e h x h ==，2e a ∴≤.因此，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．函数()ln f x x =在点()1,0处的切线方程为______． 【答案】10x y --=【分析】因为曲线f （x ）＝lnx 在点（1，0）处的切线的斜率为 f ′（1），用点斜式求得函数f （x ）＝lnx 的图象在点（1，0）处的切线方程． 【详解】解：∵f ′（x ）1x=，∴曲线f （x ）＝lnx 在点（1，0）处的切线的斜率为f ′（1）＝1，所以函数f （x ）＝lnx 的图象在点（1，0）处的切线方程是y ﹣0＝x ﹣1， 整理得x ﹣y ﹣1＝0． 故答案为x ﹣y ﹣1＝0．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础． 14．已知sin214α=，则2cos 2（π4α-）=__________．【答案】54【解析】 ∵sin214α=，∴2cos 2（π4α-）=π1cos 22α⎛⎫+- ⎪⎝⎭=1+sin2α=15144+=．故答案为54． 15．已知20.32212,,log 33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是____________. 【答案】a b c >>【分析】首先,,a b c 分别和0,1比较大小，再比较,,a b c 的大小.【详解】0.30221a =>=，22439b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，2231log log 10c =<=，即1,01,0a b c ><<<， 所以a b c >>. 故答案为：a b c >>【点睛】本题考查指对数比较大小，属于基础题型.三、双空题16．设函数()()()2,142,1x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩.①若1a =，则()f x 的最小值为____________；②若()f x 恰有2个零点，则正实数a 的取值范围是____________.【答案】1- [)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】①分析()f x 在()[),1,1,-∞+∞上的取值范围，从而确定出()f x 的最小值；②考虑函数2x y a =-在(),1-∞上的零点个数，由此得到对应的关于a 的不等式组，从而求解出a 的取值范围.【详解】①()()()21,1412,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，当1x <时，21011xy =->-=-；当1≥x 时，()()412y x x =--的对称轴为32x =，所以min 33412122y ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的最小值为1-；②当2x y a =-在(),1-∞上有1个零点时，所以200a a ->⎧⎨>⎩，所以02a <<，此时()()42y x a x a =--在[)1,+∞上有1个零点，所以121a a <⎧⎨≥⎩，所以112a ≤<， 所以此时1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当2x y a =-在(),1-∞上没有零点时，所以2a ≥或0a ≤， 此时()()42y x a x a =--在[)1,+∞上有2个零点，所以1a ≥， 所以此时[)2,a ∈+∞， 所以a 的取值范围是[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：1-；[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查分段函数的综合应用，涉及分段函数的最值、零点问题以及分类讨论思想，主要考查学生的分析与计算能力，难度较难.四、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求角A 的大小；（2）若ABC 3a =，求ABC 的周长. 【答案】（1）3A π=；（2）8.【分析】（1）利用正弦定理完成边化角，然后化简原等式即可求解出A 的大小； （2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解出b c +的值，从而ABC 的周长可求.【详解】（1）因为cos cos 2cos +=ac B b C A，所以()sin sin cos sin cos sin sin 2cos AC B B C B C A A+=+==，因为()0,A π∈，所以sin 0A >，所以1cos 2A =，所以3A π=； （2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以229b c bc +-=， 又因为1sin 2ABC Sbc A =，所以163bc =，所以22433b c +=，所以()22243322+=2533b c b c bc +=++=，所以5b c +=，所以ABC 的周长为：538a b c ++=+=.【点睛】本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形以及三角形面积公式，主要考查学生对正、余弦定理的公式的熟练运用，难度一般.18．已知函数()21cos 2cos f x x x x m =--+的最大值为3.（1）求m 的值；（2）若锐角ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()0f A =，求b c的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先化简函数()2sin 26f x x m π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再根据函数的最值求m 的值；（2）首先求角A ，再根据三角形时锐角三角形，确定角C 的范围，再根据正弦定理用角表示12b c =，并求范围.【详解】()121cos2f x x x m =--+2sin 26x m π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，函数取得最大值231m m +=⇒=； （2）()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ()2sin 2106f A A π⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666A πππ⎛⎫∴+∈⎪⎝⎭，5266A ππ∴+=， 得3A π=，23B C π+=， 又,B C 为锐角，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，,62C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，231sin cos sin sin 31322sin sin sin 2C C Cb Bc C C C π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+, 其中3tan ,3C ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,330,2tan 2C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,即311,22tan 22C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 综上可知b c的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦定理边角互化，三角函数的性质的综合应用，重点考查转化与变形，计算能力，本题的易错点是容易忽略锐角三角形这个条件. 19．如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m 的圆形广场（圆心为O ）与此公路所在直线l 相切于点A ，点P 为北半圆弧（弧APB ）上的一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，计划在PAQ ∆内（图中阴影部分）进行绿化，设PAQ ∆的面积为S （单位：2m ），（1）设()BOP rad α∠=，将S 表示为α的函数； （2）确定点P 的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积． 【答案】（1）S 5000(sin sin cos )ααα=+，(0)απ<<.（2）当点p 距公路边界l 为150m 时，绿化面积最大，2max 37503()S m =.【分析】（1）由三角函数的定义可用α表示AQ ，PQ ，从而代入三角形面积公式，得答案；（2）对（1）问中函数求导，利用导数求得最大值，得答案.【详解】（1）由题可知100sin AQ α=，100100cos PQ α=+，()0,απ∈，. 则PAQ ∆的面积11100sin (100100cos )22S AQ PQ αα=⋅=⨯⨯+ 5000(sin sin cos )ααα=+，(0)απ<<.（2）2225000(cos cos sin )5000(2cos cos 1)S ααααα'=+-=+-5000(2cos 1)(cos 1)αα=-+令0S '=，则1cos 2α=或cos 1α=-（舍），此时3πα=．当03πα<<时，1cos 12α<<，0S '>，S 关于α为增函数．当3παπ<<时，11cos 2α-<<，0S '<，S 关于α为减函数． 所以当3πα=时，2max 15000(sinsincos )=3332)22S m πππ=+⋅+， 此时1100100cos=100100=15032PQ m π=++⨯．故：当点p 距公路边界l 为150m 时，绿化面积最大，2max )S m =.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而构建对应的函数关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于较难题. 20．设函数()cos x f x ae x =+，其中a R ∈. （1）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（2）若()f x 在区间[0,]π内有两个不同的零点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）34,2e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【分析】（1）由()sin 0xf x e x '=->得()f x 在(0,)+∞上为增函数，则()(0)2f x f >=从而得证. （2）即cos x xa e =-在区间[0,]π内有两个不同的实数根,设cos (),xx h x e=-求出()h x的导数，研究出()h x 的单调性，从而可得答案. 【详解】（1）()sin xf x e x '=-， 由0x >，得1,sin [1,1]xe x >∈-，则()sin 0xf x e x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >.（2）由()cos 0xf x ae x =+=，得cos x xa e=-. 设函数cos (),[0,]xxh x x e π=-∈， 则sin cos ()xx xh x e'+=. 令()0h x '=，得34x π=. 则30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3()0,,4h x x ππ'⎛⎤>∈ ⎥⎝⎦时，()0h x '<， 所以()h x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调逼增，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调减.又因为343(0)1,(),4h h e h ππππ--⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以当34,2a e e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，方程cos x x a e =-在区间[0,]π内有两个不同解，即所求实数a 的取值范围为34,2e e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式和利用导数研究零点问题，考查等价转化的能力，属于中档题.21．已知函数1()f x kx x=+(0k ≠)，()ln g x x λ=(R λ∈)，且函数()f x 的图像在点(1，(1)f )处的切线方程为220x y +-=． （1）求实数k 的值；（2）当2λ≥-时，令函数()()()h x g x f x =+，求()h x 的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数()h x 有两个极值点为1x ，2x ，其中1x ＜2x ，试比较1()h x与2()h x 的大小．【答案】（1）1k =-；（2）答案见详解；（3）12()()h x h x <.【分析】（1）先求出切点，对函数()f x 求导得到(1)12f k '=-=-，即可求出k 的值；（2）求出1()ln ,(0)h x x x x xλ=+->，求导，若22λ-≤≤时，()0h x '≤，若2λ>时，求导数的零点，利用导函数的正负得到原函数的单调性即可；（3）由（2）知，2λ>，由于()h x 的两个极值点12,x x 满足方程210x x λ-+=，利用韦达定理得211x x =，1201x x <<<，求12()()h x h x -，令11()()ln ,(01)m x x x x x x x=++-<<，求导，分析()m x 的单调性，求出最值，即可得出结论.【详解】（1）由题意知，(1)1f k =+， 所以切点为(1,1)k +，且1()f x kx x=+的定义域为{}|0x x ≠， 所以21()f x k x'=-， 则(1)12f k '=-=-， 所以1k =-； （2）由（1）知，1()f x x x=-， 1()ln ,(0)h x x x x x λ=+->，所以22221(1)()x x x x h x x x λλ-+---+'==， 若22λ-≤≤时，()0h x '≤，此时()h x 在(0,)+∞内单调递减；若2λ>时， 令()0h x '=，得x =或x =，当(0,2x λ-∈或()2x λ∈+∞，()0h x '<，当(,22x λλ-+∈时，()0h x '>，综上：当22λ-≤≤时，()h x 在(0,)+∞内单调递减；当2λ>时，()h x在和)+∞上单调递减；在(22λλ+上单调递增.（3）由（2）知，()h x 有两个极值点当且仅当2λ>，由于()h x 的两个极值点12,x x 满足方程210x x λ-+=， 所以1212,1x x x x λ+==， 所以211x x =， 因为120x x <<， 所以1201x x <<<.121122121111111111111111()()ln (ln )11ln (ln )22ln 2112[()ln ]h x h x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλλ-=+--+-=+---+-=+-=++-令11()()ln ,(01)m x x x x x x x =++-<<，所以22(1)ln ()x xm x x-'=，因为01x <<时，210,ln 0x x -<<， 则()0m x '>，所以()m x 在(0,1)上单调递增， 所以()(1)0m x m <=， 即12()()0h x h x -<， 所以12()()h x h x <.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查了函数的极值和最值问题，运用了构造函数的思想，考查了分类讨论思想.考查了逻辑推理能力以及运算求解能力.属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2232x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()43sin cos a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标.【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设设圆C 的圆心为1O ,点()0022,32M cos sin θθ++，由题意可得1O Ml ‖，得到22sin cos θθ的值，结合同角三角函数的平方关系求得00,cos sin θθ的值后即可得解.【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=， 可得曲线C 是圆心为()12,3O ，半径为2的圆， 直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；（2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022,32M cos sin θθ++，由题知1O Ml ‖，002324sin cos θθ∴=-，又22001cos sin θθ+=，解得004535cos sin θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004535cos sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题.23．已知函数()|1||2|f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）35,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）[2,1]-. 【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果； （2）先根据绝对值三角不等式得()f x 值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【详解】（1）当1a =时，()4|1||2|4f x x x <⇒++-<，化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩，解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<， ∴3522x -<<.即不等式()4f x <的解集为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.2224(1)33m m m -+=-+≥，又由于()|1||2||21|f x x x a a =++-≥+，∴()f x 的值域为[|21|,)a ++∞故|21|3a +≤，∴21a -≤≤.即实数a 的取值范围为[2,1]-【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.。
宁夏银川市第二中学高三数学上学期统练试题(三)理
银川二中2015-2016学年第一学期高三年级统练三数 学 试 卷（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}01032>-+=x x x A ,{}52≤≤-=x x B 则B A C R I )(等于( ) A ．{}25-≤≤-x x B ．{}22≤≤-x x C ．{}52≤≤-x x D ．{}55≤≤-x x 2. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ） A ．DC AB = B ．AC AB AD =+ C ．BD AD AB =- D ．BD CD AD =+3．若b a <<0且1=+b a ，则下列四个数中最大的是 （ ）A ．12B ．22a b +C ．ab 2D ．a4．设一个球的表面积为1S ，它的内接正方体的表面积为2S ，则21S S 的值等于 ( ) A.π2 B. 2π C. π6 D. 6π 5.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-010x y x y x 则y x z 2+=的最大值为( )A ．0B ．1C ．23 D ．26．定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+．当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=L （ ） A.336 B.355 C.1676 D.2015 7．已知等比数列{}n a ,且dx x a a ⎰-=+22844,则)2(10626a a a a ++的值为( )A ．2π B ．4 C ．π D ．π9-8.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+10. 在ABC ∆中,2π>C ,若函数)(x f y =在[]1,0上为单调递减函数,则下列命题正确的是( )A. )(cos )(cos B f A f >B. )(sin )(sin B f A f >C. )(cos )(sin B f A f >D. )(cos )(sin B f A f <11．如图)(x f y =是可导函数，直线l ：2+=kx y 是曲线)(x f y =在3=x 处的切线，令)(),()(x g x xf x g '=是)(x g 的导函数，则=')3(g （ ）A ．1-B ．0C ．2D ．412.若b a ,是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且2,,-b a 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9二、填空题(请将答案填入答题纸填空题的相应位置上,每小题5分,共20分) 13. 已知向量)1,2(=a ，),3(m b =，若)2(b a -与平行，则m 的值是 _ 14．已知tan 2α=，则2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--= 15. 若数列{}n a 是正项数列，且)(3...221*∈+=+++N n n n a a a n ，则=++++1 (322)1n a a a n16.给出下列四个命题：①函数x x x f +-=2ln )(在区间),1(e 上存在零点； ②要得到函数x y sin =的图象，只需将函数)3cos(π-=x y 的图象向左平移6π个单位； ③若1-≥m ，则函数)2(log 221m x x y --=的值城为R ；④“1=a ”是“函数xxae e a x f +-=1)(在定义域上是奇函数”的充分不必要条件;⑤已知{}n a 为等差数列，若11011-<a a ,且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，20=n 。
宁夏银川二中2021届高三数学上学期统练三试题 文(含解析)
宁夏银川二中2021届高三数学上学期统练三试题 文（含解析）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|1M x x =>，{}2|1P x x =>，则下列关系中正确的是（ ）A. M P P ⋃=B. M P =C. M P M ⋃=D.M P P ⋂=【答案】A 【解析】试题分析：由题意知{}()()2|1,11,P x x =>=-∞-⋃+∞，所以M P ⊆，因此M P P ⋃=，M P M ⋂=，故选A.考点：集合的包含关系 2.设复数2121,()z i z x i x R =+=-∈，若12z z ⋅为实数，则x =（ ）A. 1B. 1﹣C. 1或1﹣D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先求得2212(1)(1)z z x x i ⋅=++-,由实数可知,其虚部为0,进而求解即可 【详解】解:2121,()z i z x i x R =+=-∈,22212(1)(1)(1())z z i x i x x i ∴⋅=+-=++-,由12z z ⋅为实数,则210x -=,即1x =±, 故选:C【点睛】本题考查已知复数的类型求参数,考查复数的乘法法则的应用3.在ABC 中，已知90ACB ︒∠=，3CA =，4CB =，点E 是边AB 的中点，则CE AB ⋅=（ ）A. 2B.72D. 72-【答案】B【解析】 【分析】 由题可知1=(+),=2CE CB CA AB CB CA -,进而求解即可 【详解】解:如图,E 是AB 中点,∴1=(+),=2CE CB CA AB CB CA -,()22117(+)=()222CE AB CB CA CB CA CB CA ∴⋅=⋅--=故选:B【点睛】本题考查向量的线性运算,考查数量积的运算 4.等比数列{}n a 中，2714,16a a ==，则3645a a a a +的值是（ ） A. 1 B. 2C.12D.14【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质可知364527114164a a a a a a ===⨯=,进而求解即可 【详解】解:∵等比数列{}n a 中,2714,16a a ==, 364527114164a a a a a a ∴===⨯=, 故3645111442a a a a +=+=, 故选:C【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,属于基础题5.若三点(1,1),(1,2),(4,1)A B C -，则向量CA 在向量CB 上的投影为（ ）A. C. D.2【答案】D 【解析】 【分析】先求得(3,2),(3,3)CA CB =-=-,再利用||CA CBCB ⋅求解即可【详解】解:∵三点(1,1),(1,2),(4,1)A B C -,(3,2),(3,3)CA CB ∴=-=-,(3)(3)2315CA CB ∴⋅=-⨯-+⨯=,(CB =-=则向量CA 在向量CB 上的投影为||3CA CB CB ⋅==,故选:D【点睛】本题考查向量的投影,考查向量的坐标表示,考查运算能力6.设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()1,()0f x f x =-=，则21||x x -的最小值是（ ） A.3π B.4π C.23π D.34π 【答案】D 【解析】 【分析】由12()1,()0f x f x =-=可得1x x =与()2,0x 为对称轴和对称中心，进而求出1115,12x k k Z ππ=-+∈，222,62k x k Z ππ=-+∈，由120x x <，对12,k k 取值，得21||x x -的最小值.【详解】函数()sin(2)3f x x π=+，由于1()1f x =-,得11122,32x k k Z πππ+=-+∈，所以1115,12x k k Z ππ=-+∈， 由2()0f x =，得2222,3x k k Z ππ+=∈，所以222,62k x k Z ππ=-+∈，120x x <，∴10k ≤，且1k Z ∈，2k Z +∈ 则22212111512642422k k k k x x k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫-==-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎝⎫-+--+ ⎪⎭⎝⎭， ∴当211,0k k ==时，212k k -是最小的正数，所以21x x -的最小值为2344πππ+=. 故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7.在等差数列{}n a 中，如果14736939,27a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 前9项的和为( ) A. 297 B. 144C. 99D. 66【答案】C 【解析】 试题分析：14739a a a ++=，36927a a a ++=，∴a 4=13,a 6=9,S 9=1946()9()922a a a a +⨯+⨯==99考点：等差数列性质及前n 项和点评：本题考查了等差数列性质及前n 项和，掌握相关公式及性质是解题的关键．8.设E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且1=2AE AB ，2=3BF BC ，如果=+EF mAB nAC （m n ，为实数），那么m n +的值为 A. 12-B. 0C.12D. 1【答案】C 【解析】由题意得，如图所示1123EF EA AC CF AB AC BC =++=-+- 1112()2363AB AC BA AC AB AC =-+-+=-+, 所以12,63m n =-=，所以12m n +=，故选C.9.函数()sin cos (0)f x ax ax a =+>的最小正周期为1，则()f x 的递增区间为（ ）A. 5[,]()88k k k Z ππππ++∈ B. 3[k ,k ](k )88Z ππππ++∈ C. 15[,]()88k k k Z ++∈ D.31[,]()88k k k Z -++∈31[,]()88k k k Z -++∈ 【答案】D 【解析】 【分析】 先由周期可得2a π=,即()2)4f x x ππ=+,令222,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈,进而求解即可【详解】解:()sin cos 2)4f x ax ax ax π=+=+,21aT π==,则2a π=, ()2)4f x x ππ∴=+,∵令222,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈,解得31,88k x k k Z -≤≤+∈, ()f x ∴的递增区间为31[,],88k k k Z -+∈,故选:D【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力10.在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( )【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ，【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴sin 10A =， 由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin 2a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos15012b b b =+-︒=+，2302b -=，32b =（32b =舍去），∴1133sin 1sin1502238ABC S ab C ∆==⨯⨯︒=． 故选：A ．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．11.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()0f x f x ，且对任意正实数1212,()x x x x ≠恒有1212()[()()]0x x f x f x -->，则必有（ ）A.2(cos600)(10f f g ︒>-B. 2(cos600)(10f f g ︒->-C.12(cos600)(log f f ︒-<D.12(cos600)(10f f g ︒-<- 【答案】B 【解析】【分析】由题可分析得到()f x 为奇函数且单调递增,化简可得1(cos600)()2f f -︒=,1(()3f f -=,再利用单调性求解即可【详解】解:()()0f x f x -+=,且对任意正实数1212,()x x x x ≠恒有1212()[()()]0x x f x f x -->,∴函数()f x 奇函数且单调递增,1(cos600)()2f f -︒=,1(()3f f -=,1123>11()()23f f >∴,(cos600)(f f ︒∴->-, 故选:B【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查利用单调性比较函数值的大小12.已知ABC 的面积为S 满足条件1(2S ∈，且1AB BC ⋅=，则ABC ∠的取值范围为（ ） A. (,)64ππB. (,)43ππC. 23,3(4)ππ D.35,4(6)ππ 【答案】C 【解析】 【分析】 由1AB BC ⋅=可得1||||cos AB A B CB C =-∠,则11||||sin tan 22S ABC ABC BA BC =∠=-∠,由S 的范围即可求得ABC ∠的范围 【详解】解:1AB BC ⋅=,||||cos 1BA BC BA BC ABC ∴⋅=⋅∠=-,1||||cos AB A BC CB ∴=-∠,ABC 的面积为S ,且1(,22S ∈,111||||sin tan (,2222BA S ABC ABC BC ∴=∠=-∠∈,tan (1)ABC ∴∠∈-,0ABC π<∠<,23(,)34ABC ππ∴∠∈ 故选:C【点睛】本题考查三角形面积的应用,考查数量积的应用 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分） 13.i 为虚数单位，若51034iz i-+=+，则||z =____.【解析】 【分析】先将z 整理为a bi +的形式,再求解即可 【详解】解:()()()()5103451012343434i i i z i i i i -+--+===+++-,则||z ==故答案为【点睛】本题考查复数的模,考查复数的除法法则的应用 14.设1sin()43πθ+=，则sin2θ=________ 【答案】79- 【解析】分析：由题意利用诱导公式和二倍角公式，化简2sin 2cos(2)[12sin ()]24ππθθθ=-+=--+，代入即可得到答案.详解：由题意，可得2217sin 2cos(2)[12sin ()]2()12439ππθθθ=-+=--+=⨯-=-. 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理利用诱导公式和二倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继 续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时________．【答案】10海里 【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt△ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时)． 16.若13,()x b f x x n a >>=，则(),(),(),()2a bf a f b f f ab +按照由小到大的顺序排列为_____.【答案】()()(()2a bf b f f ab f a +<<< 【解析】 【分析】先利用导函数判断()f x 的单调性,由32a bb ab a e +>>>>>,再利用单调性比较函数值的大小即可 【详解】解:1(),0nxf x x x=>, 则21ln ()xf x x -'=,令()0f x '=,则x e =,当(0,)x e ∈时()0f x '>,则()f x 单调递增； 当(,) x e ∈+∞时,()0f x '<,则()f x 单调递减,3b a >>, 32a bb a e +∴>>>>>, ()()()2a bf b f f f a +∴<<<, 故答案为:()()()2a bf b f f f a +<<< 【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用单调性比较函数值的大小 三.解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分 17.已知,,A B C 三点的坐标分别为3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,)22A B C ππααα∈ （1）若||||AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα+-的值.【答案】（1）54πα=（2）63【解析】 【分析】先求得(cos 3,sin ),(cos ,sin 3)AC BC αααα=-=-,（1=进而求解即可； （2）由1AC BC ⋅=-可得2sin cos 3αα+=,作平方处理可得52sin cos 9αα=-,进而可得sin cos 3αα-=,从而化简后代入即可 【详解】解:(cos 3,sin ),(cos ,sin 3)AC BC αααα=-=-, （1）B ABC =,=化简得:sin cos αα=,tan 1α∴=,又3(,)22ππα∈, 故54πα=（2）1AC BC ⋅=-,(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα∴-+-=-,化简得:2sin cos 3αα+=, 两边平方得:412sin cos 9αα+=,即52sin cos 9αα=-,(,)2παπ∴∈,故sin cos 0αα->,214(sin cos )12sin cos 9αααα-=-=, sin cos αα∴-=, 222sin sin 22sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )sin 1tan cos sin 1cos αααααααααααααα+++∴==---523-⨯==【点睛】本题考查向量的模的应用,考查利用同角的三角关系和三角恒等变换公式化简求值 18.设向量,a b的坐标为(sin ,),(cos ,cos )a x x b x x ==. （1）若//a b ，求sin cos x x 的值； （2）若函数3()2f x a b =⋅-，求()f x 的对称轴方程和()24f π的值.【答案】（1）0（2）对称轴方程为k ,122x k ππ=+∈Z ，()24f π= 【解析】 【分析】（1）由//a b 可得2sin cos 0x x x -=,进而求解即可；（2）整理可得()sin(2)3f x x π=+,令232x k πππ+=+,k Z ∈,求解对称轴,再将24x π=代入()f x 中求解即可【详解】解:（1）//a b ,2sin cos 0x x x ∴=,∴①cos 0x =时,sin cos 0x x =；②cos 0x ≠时,sin 0x x =,tan x ∴=,1sin 22x x ∴==或1sin 22x x =-=-,sin cos 4x x ∴=,综上得,sin cos 0x x =（2）3()2f x a b =⋅-2sin cos x x x =+1sin 2cos 2)2x x =++-sin(2)3x π=+,令232x k πππ+=+,k Z ∈,解得,122k x k Z ππ=+∈,所以()f x 的对称轴方程为,122k x k Z ππ=+∈, 所以()sin(243242)f πππ=⨯+ 5sin12π= sin()64ππ=+sincoscossin6464ππππ=+12222=⨯+4=【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查数量积的坐标运算,考查正弦的和角公式的应用 19.设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37S =，且1233,3,4a a a ++构成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1q >时，令21log n n b a =+，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a 或32nn a -=；（2）2212nn n nT +=-+【解析】 【分析】（1）由题可知271112137634S a a q a q a a a ⎧=++=⎨=+++⎩,解得1,a q ,进而求解即可；（2）由（1）,当1q >时,12n na ,则nb n =,再利用分组求和法求解即可【详解】解:（1）由题,37S =,则21231117a a a a a q a q ++=++=,因为1233,3,4a a a ++构成等差数列,213634a a a =+++,即211167a q a a q =++, 解得11,2a q ==或114,2a q ==, 则12n na 或32n n a -=（2）当1q >时,12n n a ,则1221log 1log 211n n n b a n n -=+=+=+-=,所以12n n n a b n -+=+,则前n 项和1(1242)(123)n n T n -=+++++++++2121(1)211222n nn n n n -+=++=-+- 【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查分组求和法求数列的和,考查运算能力 20.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，已知ABC的面积为222)S a c b =+-. （1）求B ； （2）若C ∠为钝角，求ca的取值范围. 【答案】（1）3π（2）(2,)+∞ 【解析】 【分析】（112cos sin 2ac B ac B =,进而求解即可； （2）由（1）可知23A C π+=,由C ∠为钝角可知(0,)6A π∈,利用正弦定理可得2sin()sin 3sin sin A c Ca AAπ-==,进而求解即可 【详解】解:（1）ABC的面积为222)4S a c b =+-, 12cos sin 42ac B ac B =,解得tan B =(0,)B π∈,3B π∴=（2）23A C π+=,C ∠为钝角, (0,)6A π∴∈,可得1tan (0,),)3tan A A∈∈+∞,21sin()sin sin 11322(2,)sin sin sin 2tan 2A A A c Ca AA A A π-+∴====+∈+∞, 故ca的取值范围为(2,)+∞ 【点睛】本题考查利用余弦定理化边为角,考查三角形面积公式的应用,考查利用正弦定理化边为角21.已知函数2()(2)ln 47()f x x x ax x a a =++-+∈R .（1）若12a =，求函数()f x 的所有零点； （2）若12a ≥，证明函数()f x 不存在的极值.【答案】(1) 1x = (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）首先将12a =代入函数解析式，求出函数的定义域，之后对函数求导，再对导函数求导，得到()0f x '≥（当且仅当1x =时取等号），从而得到函数()f x 在()0,∞+单调递增，至多有一个零点，因为()10f =，1x =是函数()f x 唯一的零点，从而求得结果；（2）根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数，结合题中所给的参数的取值范围，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，从而证得结果. 【详解】（1）解：当12a =时，()()2172ln 422f x x x x x =++-+，函数()f x 的定义域为()0,∞+， 且()2ln 3f x x x x=++-'．设()2ln 3g x x x x=++-， 则()()()2222211221x x x x g x x x x x+-+-='=-+= ()0x >． 当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>， 即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以当0x >时，()()10g x g ≥=（当且仅当1x =时取等号）． 即当0x >时，()0f x '≥（当且仅当1x =时取等号）． 所以函数()f x 在()0,∞+单调递增，至多有一个零点. 因为()10f =，1x =是函数()f x 唯一的零点. 所以若12a =，则函数()f x 的所有零点只有1x =． （2）证法1：因为()()22ln 47f x x x ax x a =++-+， 函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()2ln 24x f x x ax x++'=+-． 当12a ≥时，()2ln 3f x x x x ≥++-'，由（1）知2ln 30x x x++-≥．即当0x >时()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增． 所以()f x 不存在极值．证法2：因为()()22ln 47f x x x ax x a =++-+，函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()2ln 24x f x x ax x++'=+-． 设()2ln 24x m x x ax x+=++-， 则()22212222ax x m x a x x x+-=-+=' ()0x >． 设()()2220h x ax x x =+-> ，则()m x '与()h x 同号．当12a ≥时，由()2220h x ax x =+-=，解得10x =<，20x =>．可知当20x x <<时，()0h x <，即()0m x '<，当2 x x >时，()0h x >，即()0m x '>，所以()f x '在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． 由（1）知2ln 30x x x++-≥． 则()()()2222222ln 321210f x x x a x a x x =++-+-≥-≥'． 所以()()20f x f x ''≥≥，即()f x 在定义域上单调递增． 所以()f x 不存在极值．【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有求函数的零点，函数的极值存在的条件，属于中档题目.（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （0，﹣2），M 是曲线C 上任意一点，求△ABM 面积的最小值．【答案】（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）9﹣ 【解析】 【分析】(1)先将3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩化简成直角坐标方程,再利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩与222x y ρ+=化简即可.(2)由ABM 为以AB 为底,M 到AB 的距离为高可知要求ABM 面积的最小值即求M 到AB 的距离最大值.再设(32,42)M cos sin θθ++求解最值即可.【详解】（1）∵曲线C 的参数方程为3242x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩,（θ为参数）,有3242x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩.上下平方相加得曲线C 的直角坐标方程为22(3)(4)4x y -+-=, 化简得2268210x y x y +--+=将x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩与222x y ρ+=,代入得曲线C 的直角坐标方程有： 26cos 8sin 210ρρθρθ--+=．（2）设点(32,42)M cos sin θθ++到直线AB ：x +y +2＝0的距离为d ,则d ==, 当sin （4πθ+）＝﹣1时,d所以△ABM 面积的最小值S 12AB d =⨯⨯=9﹣． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标和极坐标系的互化,同时与考查了圆上的点到直线距离最值的问题,属于中等题型. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣a ． （1）当a ＝1时，解不等式f （x ）＞x +1；（2）若存在实数x ，使得f （x ）12＜f （x +1），求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{x |x ＞3或x 13-＜}．（2）（﹣2，+∞）． 【解析】 【分析】(1)分12x ≥与12x <两种情况求解()1f x x >+即可. (2)代入()21f x x a =--到不等式1()(1)2f x f x <+中,再根据能成立问题,分x 的不同取值去绝对值,参变分离求函数最值即可.【详解】解（1）当a ＝1时,由f （x ）＞x ,得|2x ﹣1|﹣1＞x +1．当x 12≥时,2x ﹣1﹣1＞x +1,解得x ＞3． 当x 12＜时,1﹣2x ﹣1＞x +1,解得x 13-＜．综上可知,不等式f （x ）＞x +1的解集为 {x |x ＞3或x 13-＜}． （2）因为1()(1)2f x f x <+,得1212122ax a x --<+-.即22121a x x >--+. 令()22121g x x x =--+ , 则存在实数x ,使得1()(1)2f x f x <+成立等价于min ()a g x >. 因为123,211()61,22123,2x x g x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩,故当12x =时, min 1()()22g x g ==-故2a >-.即实数a 的取值范围为()2,-+∞【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解方法,包括分情况讨论与利用三角不等式进行求解分析,属于中等题型.。
宁夏银川二中2021届高三上学期统练三数学(文)试题 Word版含解析
银川二中2020-2021学年第一学期高三年级统练三数学试卷（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合M ={x ||x -1|<1}，N ={x |x <2}，则M ∩N =（ ） A. (-1，1) B. (-1，2) C. (0，2) D. (1，2)【答案】C 【解析】 【分析】先由绝对值不等式的解法求得集合M ，再由集合的交集运算可得选项. 【详解】{}{}{}{}{}{}(|11|02|2|02|2|020M x x x x N x x M N x x x x x x =-<=<<=<∴⋂=<<⋂<=<<=，，，， 故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2. 已知sin α=，α为第二象限角，则tan α的值是（ ）A. B. C. 12-【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，由同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】因为sin 2α=，α为第二象限角，所以1cos 2α===-，因此sin 2tan 1cos 2ααα===-故选：A.【点睛】本题主要考查由正弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型. 3. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=， 联立11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得4d =. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的简单应用，注意计算，属于基础题． 4. 在ABC中，AC =1BC =， 60B =︒，则ABC 的面积为（ ）B. 2C. D. 3【答案】A 【解析】 【分析】结合余弦定理求出AB ，进而可求出三角形的面积.【详解】解：由余弦定理可知，2222cos AC BC AB AB BC B =+-⋅⋅，即21312cos60AB AB =+-︒，整理得2120AB AB --=，解得4AB =或3-(舍去)，则11sin 14sin 60322ABC S BC BA B =⋅⋅=⨯⨯⨯︒=△， 故选:A.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题.本题的关键是求出AB . 5. 函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ω、ϕ的值分别是（ ）A. 4，3π B. 2，6π-C. 4，6π-D. 2，3π-【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期性可得3344T π=，进而求得ω，再利用512x π=时取得最大值可求得ϕ值. 【详解】由图观察可知，函数的周期T 满足3344T π=，由此可得2T ππω==，解得2ω=， 函数表达式为()()2sin 2f x x ϕ=+.又∵当512x π=时,取得最大值2，∴2sin 2212πϕ5⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，可得()5262k k Z ππϕπ+=+∈，∵22ππϕ-<<， ∴取0k =，得3πϕ=-.故选：D.【点睛】本题考查由()sin y A ωx φ=+的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性和最值，属于基础题.6. 要得到函数()()sin 23f x x x x R =∈的图象，可将2sin 2y x =的图象向左平移（ ） A. 6π个单位 B.3π个单位 C.4π个单位 D.12π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论. 【详解】()sin 222sin 22sin 236f x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，将2sin 2y x =的图象向左平移6π可得到函数()y f x =的图象. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.7. 若向量,a b ，满足3,2,()a b a a b ==⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A.2π B.23π C.6π D.56π 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直可得()0a a b ⋅+=，结合数量积的定义表达式可求出2cos ,aa b a b-<>=，又3,2,a b ==，从而可求出夹角的余弦值得解.【详解】解：因为()0a a b ⋅+=，所以22()0,a a b a a b a b a ⋅+=+⋅=⇒⋅=-， 因为3,2,a b ==，所以23cos ,aa ab a bb--<>===-，.cos ,[0,]a b π<>∈，5,6a b π∴<>=故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积、向量垂直及向量夹角的计算.属于基础题 8. 若2()ln f x x m x =+在(2,)+∞是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A. [8,)-+∞ B. (8,)-+∞C. (,8)-∞-D. (,8]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】由题得()0f x '≥在(2,)+∞恒成立，即220x m +≥在(2,)+∞恒成立，即得解.【详解】对2()ln f x x m x =+求导得22()2m x mf x x x x'+=+=，因为若2()ln f x x m x =+在(2,)+∞是增函数， 所以()0f x '≥在(2,)+∞恒成立， 即220x m +≥在(2,)+∞恒成立， 所以()2max28m x ≥-=-.故选：A【点睛】本题主要考查导数的单调性问题和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（ ）A.B.14C.D.【答案】B 【解析】 分析】利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案； 【详解】cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，∴2b c =，又a b =，∴22222114cos 12422ba cb B ac b ⋅+-===⋅⋅，故选：B.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值.10. 在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间(y 单位：小时)与储存温度(x 单位：)℃满足函数关系( 2.71828kx by ee +==⋯为自然对数的底数，k ，b 为常数)，若该食品在0C 时的保鲜时间为120小时，在30C 时的保鲜时间为15小时，则该食品在20C 时的保鲜时间为( )A. 30小时B. 40小时C. 50小时D. 80小时【答案】A 【解析】 【分析】列方程求出10k e 和b e 的值，从而求出当20x =时的函数值．【详解】解：由题意可知1203015be k be=+⎧⎪=⎨⎪⎩，3018k e ∴=，1012k e ∴=， 201021()120304k b k b e e e +∴=⋅=⋅=． 故选A ．【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，考查函数值的计算，考查了实际应用的问题，属于中档题．题目给定y 与x 的函数关系式ekx by +=，里面有两个参数,k b ，需要两个已知条件来求出来，根据题目所给已知条件列方程组，解方程组求得,k b 的值，也即求得函数的解析式.11. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）5=，且(4)()f x f x +=-，则(2020)(2021)f f +的值为（ ）A. 0B. 5-C. 2D. 5【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，则有(2020)(0)f f =，(2021)f f =（1），由奇函数的性质求出(0)f 与f （1）的值，相加即可得答案.【详解】解：根据题意，函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，则有(8)(4)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为8的周期函数，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，(2020)(48252)f f f =+⨯=(4)(0)0f ==， (2021)(58252)f f f =+⨯=(5)f =-（1）5=-，则(2020)(2021)(0)f f f f +=+（1）5=-， 故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.12. 已知函数()xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (],e -∞ B. (),e -∞C. ,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出()()1122x f x x f x <，构造函数()2xg x e ax =-，可知函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增，可得出()20x g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，利用参变量分离法可得出2x e a x ≤，利用导数求得函数()2xe h x x=在区间()0,∞+上的最小值，由此可求得实数a的取值范围.【详解】函数()xe f x ax x=-的定义域为()0,∞+，当21x x >时，()()1221f x f x x x <恒成立， 即()()1122x f x x f x <，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，则()()12g x g x <，所以，函数()2xg x e ax =-在区间()0,∞+上为增函数，则()20xg x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，2xea x∴≤，令()2xe h x x=，其中0x >，则()min a h x ≤.()()212x e x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =的最小值为()()min 12e h x h ==，2e a ∴≤.因此，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若变量x ，y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是__________．【答案】53【解析】【详解】试题分析：作出可行域如图，令2z x y =+变形可得1122y x z =-+.作出目标函数线1:2l y x =-,平移目标函数线使之经过可行域,当目标函数线过点A 时,纵截距最大此时z 也最大. 112{,233x y A y x +=⎛⎫⇒ ⎪=⎝⎭.所以max 1252333z =+⨯=.即max 5(2)3x y +=.考点：线性规划. 14. 已知sin214α=，则2cos 2（π4α-）=__________．【答案】54【解析】 ∵sin214α=，∴2cos 2（π4α-）=π1cos 22α⎛⎫+- ⎪⎝⎭=1+sin2α=15144+=．故答案为54．15. 已知20.32212,,log 33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是____________.【答案】a b c >> 【解析】 【分析】首先,,a b c 分别和0,1比较大小，再比较,,a b c 的大小.【详解】0.3221a =>=，22439b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，2231log log 10c =<=，即1,01,0a b c ><<<，所以a b c >> 故答案为：a b c >>【点睛】本题考查指对数比较大小，属于基础题型. 16. 若ABC 的面积为2223()a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】 (1). 60 (2). (2,)+∞ 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=，即cos 3B =，sin 3,cos 3B B B π∴=∠=， 则231sin cos sin sin 31132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan 0,,3,3tan A A ⎛⎫∴∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.三、解答题（共70分）17. 已知函数()()2sin cos cos 2f x x x x =++. （1）求()f x 的最小正周期； （2）画出()f x 在区间[]0,π上的简图. 【答案】（1）π；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)利用恒等变换把()f x 化为标准型，结合周期求解公式可得;(2) 通过列表找出一个周期内的五个关键点，在坐标系中描出这五个点，然后用一条平滑的曲线连接即可.【详解】由已知得：()sin2cos212sin 214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭（1）函数的最小正周期22T ππ==． （2）列表24x π+4π 2π π32π 2π94π x8π 38π 58π 78π πy2 2+112+1-12.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用恒等变换先把目标函数化为标准型sin()y A x B ωϕ=++，考查五点法画函数图象，属于基础题.18. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求角A 的大小；（2）若ABC 3a =，求ABC 的周长. 【答案】（1）3A π=；（2）8.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理完成边化角，然后化简原等式即可求解出A 的大小；（2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解出b c +的值，从而ABC 的周长可求. 【详解】（1）因为cos cos 2cos +=ac B b C A，所以()sin sin cos sin cos sin sin 2cos AC B B C B C A A+=+==，因()0,A π∈，所以sin 0A >，所以1cos 2A =，所以3A π=； （2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以229b c bc +-=， 又因为1sin 2ABC Sbc A =，所以163bc =，所以22433b c +=，所以()22243322+=2533b c b c bc +=++=，所以5b c +=，所以ABC 的周长为：538a b c ++=+=.【点睛】本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形以及三角形面积公式，主要考查学生对正、余弦定理的公式的熟练运用，难度一般.19. 已知以下条件：①3545,7a a S +==；②243n S n n =+；③425514,S S a =是3a 与92的等比中项．从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若 . （1）求n a ；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a +=，*n N ∈；（2）22nn +【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件求出数列{}n a 的首项和公差，进一步求出{}n a 的通项公式；（2）求得n b ，运用数列的裂项相消求和，化简可得数列{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】解：（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ，则11265,4347,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,1,2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴12n n a +=，*n N ∈； 选择条件②：243n S n n =+，∴当2n 时，()()221444313122n n n a S S n n n n n -=-=+----=+即1(2)2n n a n +=， 当1n =时，21113114a S +⨯===，也适合上式，∴12n n a +=，*n N ∈； 选择条件③：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112115(46)14(2),9(4)(2),2a d a d a d a d ⨯+=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11a =，12d =，或10a =，0d =，不合题意，舍去， ∴12n n a +=，*n N ∈；（2）由（1）可知，114114(1)(2)12n n n b aa n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，∴1211111111442351234n n T b b b n n ⎛⎫=++⋯+=-+-+-++- ⎪++⎝⎭1124222n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，裂项相消求和，主要考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20. 如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m 的圆形广场（圆心为O ）与此公路所在直线l 相切于点A ，点P 为北半圆弧（弧APB ）上的一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，计划在PAQ ∆内（图中阴影部分）进行绿化，设PAQ ∆的面积为S （单位：2m ），（1）设()BOP rad α∠=，将S 表示为α的函数； （2）确定点P 的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积． 【答案】（1）S 5000(sin sin cos )ααα=+，(0)απ<<.（2）当点p 距公路边界l 为150m 时，绿化面积最大，2max 37503()S m =. 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义可用α表示AQ ，PQ ，从而代入三角形面积公式，得答案； （2）对（1）问中函数求导，利用导数求得最大值，得答案.【详解】（1）由题可知100sin AQ α=，100100cos PQ α=+，()0,απ∈，. 则PAQ ∆的面积11100sin (100100cos )22S AQ PQ αα=⋅=⨯⨯+ 5000(sin sin cos )ααα=+，(0)απ<<.（2）2225000(cos cos sin )5000(2cos cos 1)S ααααα'=+-=+-5000(2cos 1)(cos 1)αα=-+令0S '=，则1cos 2α=或cos 1α=-（舍），此时3πα=．当03πα<<时，1cos 12α<<，0S '>，S 关于α为增函数．当3παπ<<时，11cos 2α-<<，0S '<，S 关于α为减函数． 所以当3πα=时，2max 3315000(sinsincos )=5000()=333375032()22S m πππ=+⋅+⋅， 此时1100100cos=100100=15032PQ m π=++⨯． 故：当点p 距公路边界l 为150m 时，绿化面积最大，2max 37503()S m =.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而构建对应的函数关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于较难题. 21. 已知函数()2xe xf x a =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在只有一个零点，求a 的值.【答案】（1）见解析；（2）24e a =【解析】【详解】分析：(1)先构造函数()()211xg x x e-=+-，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究()f x 零点，等价研究()21xh x ax e-=-的零点，先求()h x 导数：()()'2xh x ax x e -=-，这里产生两个讨论点，一个是a 与零，一个是x 与2，当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；当0a >时，()h x 先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a 的值. 详解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于()2110xx e-+-≤．设函数()()211xg x x e-=+-，则()()()22'211x x g x x x e x e --=--+=--．当1x ≠时，()'0g x <，所以()g x 在()0,∞+单调递减． 而()00g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数()21xh x ax e -=-．()f x 在()0,∞+只有一个零点当且仅当()h x 在()0,∞+只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()()'2xh x ax x e -=-．当()0,2x ∈时，()'0h x <；当()2,x ∈+∞时，()'0h x >． 所以()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增． 故()2421ah e =-是()h x 在[)0,+∞的最小值． ①若()20h >，即24e a <，()h x 在()0,∞+没有零点； ②若()20h =，即24e a =，()h x 在()0,∞+只有一个零点； ③若()20h <，即24e a >，由于()01h =，所以()h x 在()0,2有一个零点，由（1）知，当0x >时，2x e x >，所以()()()333244216161614111102a a a a a h a e a a e =-=->-=->． 故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,∞+有两个零点．综上，()f x 在()0,∞+只有一个零点时，24e a =． 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程：22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2232x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()43sin cos a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设设圆C 的圆心为1O ,点()0022,32M cos sin θθ++，由题意可得1O M l ‖，得到0022sin cos θθ的值，结合同角三角函数的平方关系求得00,cos sin θθ的值后即可得解. 【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=， 可得曲线C 是圆心为()12,3O ，半径为2的圆， 直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；（2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022,32M cos sin θθ++，由题知1O Ml ‖，002324sin cos θθ∴=-，又22001cos sin θθ+=，解得004535cos sin θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004535cos sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题.选修4－5：不等式选讲：23. 已知函数()|1||2|f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[2,1]-. 【解析】 【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式得()f x 值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【详解】（1）当1a =时，()4|1||2|4f x x x <⇒++-<，化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩，解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<， ∴3522x -<<.即不等式()4f x <的解集为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.2224(1)33m m m -+=-+≥，又由于()|1||2||21|f x x x a a =++-≥+，∴()f x 的值域为[|21|,)a ++∞ 故|21|3a +≤，∴21a -≤≤.即实数a 的取值范围为[2,1]-【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.。
宁夏银川一中2021届高三上学期第三次月考数学试卷(理科) Word版含解析
宁夏银川一中2021届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞]B．（﹣∞，0）∪[1，2]C．（﹣∞，0]∪[1，2]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2021，则化简得z=（）A．0B．﹣1 C．1D．1+i3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．1084．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D ．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M 满足等于（）A．2B．3C．4D．66．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B．C．D．f（x）=e x+e﹣x8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D ．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D ．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．22012．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）在△ABC 中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n 的最小值为．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy ﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C 的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC ﹣csinA，求c的值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，争辩函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②假如函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．宁夏银川一中2021届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞]B．（﹣∞，0）∪[1，2]C．（﹣∞，0]∪[1，2]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]考点：补集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，依据全集M求出N的补集即可．解答：解：由M中不等式变形得：2x≤4=22，即x≤2，∴M=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即N=（0，1），则∁M N=（﹣∞，0]∪[1，2]．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，娴熟把握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2021，则化简得z=（）A．0B．﹣1 C．1D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的周期性、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵i4=1，∴复数z=1+i+i2+i3+…+i2021===0．故选：A．点评：本题考查了复数的周期性、等比数列的前n项和公式，属于基础题．3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据所给的项a2，a8的下标特点，和所求和的下标特点，可以依据等差数列性质，利用a2+a8=2a5，求出a5，而S9=9a5，问题获解．解答：解：依据等差数列性质，可得a2+a8=2a5=6，∴a5=3，依据等差数列和的性质可得，S9=9a5=27．故选：B．点评：本题考查等差数列通项公式，求和计算．合理利用性质求解，应是本题的立意所在．4．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．解答：解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a ，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．点评：本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M 满足等于（）A．2B．3C．4D．6考点：平面对量数量积的运算．专题：计算题．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，留意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题考点：命题的真假推断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．解答：A、“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x0∈R，e x≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x﹣1有一个零点时，a=﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a=﹣1或a=0；∴命题错误．故选：B．点评：本题通过命题真假的判定考查了简洁的规律关系的应用，是基础题．7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B．C．D．f（x）=e x+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项推断即可得到答案．解答：解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．A中，f（0）=0，且f（x）为奇函数，故f（x）=4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）=ln=ln1=0，且f（﹣x）=ln =ln=﹣ln=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln为“和谐函数”；C中，f（0）=tan0=0，且f（﹣x）=tan=﹣tan=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）=tan为“和谐函数”；D中，f（0）=e0+e﹣0=2，所以f（x）=e x+e﹣x的图象不过原点，故f（x））=e x+e﹣x不为“和谐函数”；故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查同学对新问题的分析理解力量及解决力量，属中档题．8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D ．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，娴熟把握公式是解本题的关键．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D ．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：依据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由题意可得，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又由于a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b1•22n﹣2=22n﹣2．设c n =，所以c n=22n﹣2，所以，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．故选D．点评：解决此类问题的关键是娴熟把握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：利用平方关系与二倍角的正弦将y=sin4x+cos4x化为y=1﹣×sin22x，再利用降幂公式可求得y=+×cos4x，从而可求其周期和值域．解答：解：∵y=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣×sin22x=1﹣×=+×cos4x，∴其周期T==，其值域为[，1]故选：C．点评：本题考查三角函数的周期性、值域及其求法，突出考查二倍角的正弦与余弦，降幂是关键，属于中档题．11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．220考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得C n（n，n+），D n （，n+）从而可求得a n=4n；继而可求得a2+a3+…+a10的值．解答：解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n （，n+）；∴|A n B n|=n ﹣（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n ﹣）+2（n+）=4n．∴a n+1﹣a n=4，又a1=4，∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．点评：本题考查数列的求和，求得a n=4n是关键，考查分析推理与运算力量，属于中档题．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1B．2C．3D．4考点：函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．解答：解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x0．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选B．点评：本题考查了函数的零点，擅长转化及娴熟利用导数推断方程的根的个数是解决问题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y 的最大值为8．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x ﹣z ，平移直线y=2x ﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A （5，2）将A 的坐标代入目标函数z=2x ﹣y，得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：依据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式，即可求出结论．解答：解：由余弦定理，得12=b2+c2﹣bc．又S=bcsinA=bc；而b2+c2≥2bc⇒bc+12≥2bc⇒bc≤12，（当且仅当b=c时等号成立）所以S=bcsinA=bc≤3．即△ABC的面积S的最大值为：3．故答案为：3．点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题．解决本题的关键在于依据余弦定理以及基本不等公式得到bc≤12．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n 的最小值为﹣4．考点：定积分；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，先由微积分基本定理求出a n再依据通项的结构求出数列的前n项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案解答：解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{ }的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又b n=n﹣8，n∈N*，则b n S n=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2 ﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故b n S n的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，学问转换快，解题时要严谨认真，莫因变形消灭失误导致解题失败．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy ﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式sh2x﹣ch 2=﹣1，ch2x ﹣sh2x=1．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：留意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项，即可得到新的关系式．解答：解：sh2x=（e2x+﹣2）ch2x=（e2x++2）∴sh2x﹣ch2=﹣1∴ch2x﹣sh2x=1故答案为：sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1点评：本题为开放题型，考查类比推理，考查分析问题、解决问题的力量．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，由已知条件，列出方程组，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出a n与b n．（2）由（1）及c n=|b n﹣a5|，推导出c n=|3n﹣1﹣15|=，由此利用分组求和法能求出{c n}的前项和T n．解答：（本题满分14分）解：（1）∵等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=，等差数列{a n}中，a1=3，∴，即，解得q=3，或q=﹣4（舍），d=3，∴a n=3n，（7分）（2）∵c n =|b n﹣a 5|，∴c n=|3n﹣1﹣15|=，∴当n≤3时，=，当n ≥4时，T n=﹣15n+2T3=．∴．（14分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，留意公组求和法的合理运用．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC ﹣csinA，求c的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，依据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．（Ⅱ）依据条件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．（2分）∵最高点与相邻对称中心的距离为=，则，即T=π，（3分）∴，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）又f（x）过点，∴，即，∴．（5分）∵，∴，∴．（6分）（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．（8分）又∵，∴．（9分）又，，∴b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．（12分）点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列．（2）依据（1）求出数列的递推公式，得出a n ，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由已知：，∴，（2分）∴，又，∴，（4分）∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，∴．（8分）设，①则，②由①﹣②得：，（10分）∴．又1+2+3+…．（12分）∴数列的前n 项和：．（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数推断．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为争辩函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值状况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．解答：解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可争辩函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值状况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴g max（x）=g（1）=+ln2，g min（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，留意函数与方程思想、数形结合思想的运用．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，争辩函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过争辩a的范围，从而得出函数的单调性；（2）先假设存在实数a，满足题意，通过争辩x1，x2的大小，得不等式组，求出a无解，从而得出结论．解答：解：（1）f（x）=x2+（a﹣2）x﹣2alnx（x＞0），f′（x）=x+a﹣2﹣=（x＞0），①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．②当﹣2＜a≤0时，f（x）在（0，﹣a）上是增函数；在（﹣a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数．③当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．④当a＜﹣2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，﹣a）上是减函数；在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a恒成立，当x1＞x2时，等价于f（x2）﹣f（x1）＜a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＜f（x1）+ax1恒成立．令g（x）=f（x）+ax=x2﹣2alnx﹣2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）≥0恒成马上可．又g′（x）=x ﹣﹣2+2a=，只要x2+（2a﹣2）x﹣2a≥0在（0，+∞）恒成马上可．设h（x）=x2+（2a﹣2）x﹣2a，则由△=4（a﹣1）2+8a=4a2+4＞0及得，a∈∅，当x1＜x2时，等价于f（x2）﹣f（x1）＞a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1恒成立，g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）＞0恒成马上可，a∈∅，综上所述，不存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有＜a．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求参数的范围问题，考查了导数的应用，是一道综合题．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等学问，属于中档题．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．考点：椭圆的参数方程；简洁曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：综合题；压轴题．分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解答：解：（1）点A，B，C，D 的极坐标为点A，B，C，D 的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②假如函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带确定值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观看可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观看可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有确定值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
宁夏银川二中2021届高三年级上学期统练三数学(文)试题
宁夏银川二中2021届高三年级上学期统练三数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合M ={x ||x -1|<1}，N ={x |x <2}，则M ∩N =（ ） A ．(-1，1) B ．(-1，2) C ．(0，2) D ．(1，2)2．已知sin α=，α为第二象限角，则tan α的值是（ ）A ．B ．-C ．12-D3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84．在ABC 中，AC =1BC =， 60B =︒，则ABC 的面积为（ ）A B ．2C ．D ．35．函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ω、ϕ的值分别是（ ）A ．4，3πB ．2，6π-C ．4，6π-D ．2，3π-6．要得到函数()()sin 2f x x x x R =∈的图象，可将2sin 2y x =的图象向左平移（ ） A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位7．若向量,a b ，满足3,2,()a b a a b ==⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 8．若2()ln f x x m x =+在(2,)+∞是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[8,)-+∞B ．(8,)-+∞C ．(,8)-∞-D ．(,8]-∞-9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cosB 等于（ ） AB ．14CD 10．在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间(y 单位：小时)与储存温度(x 单位：)℃满足函数关系( 2.71828kx b y e e +==⋯为自然对数的底数，k ，b 为常数)，若该食品在0C 时的保鲜时间为120小时，在30C 时的保鲜时间为15小时，则该食品在20C 时的保鲜时间为( ) A ．30小时B ．40小时C ．50小时D ．80小时11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）5=，且(4)()f x f x +=-，则(2020)(2021)f f +的值为（ ）A ．0B ．5-C ．2D ．512．已知函数()xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞ B ．(),e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是__________．14．已知sin214α=，则2cos 2（π4α-）=__________．15．已知20.32212,,log 33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是____________.三、双空题16．若ABC222)a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.四、解答题17．已知函数()()2sin cos cos 2f x x x x =++. （1）求()f x 的最小正周期； （2）画出()f x 在区间[]0,π上的简图.18．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 2cos +=a c B b C A.（1）求角A 的大小； （2）若ABC3a =，求ABC 的周长. 19．已知以下条件：①3545,7a a S +==；②243n S n n =+；③425514,S S a =是3a 与92的等比中项．从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若 . （1）求n a ； （2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m 的圆形广场（圆心为O ）与此公路所在直线l 相切于点A ，点P 为北半圆弧（弧APB ）上的一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，计划在PAQ ∆内（图中阴影部分）进行绿化，设PAQ ∆的面积为S （单位：2m ），（1）设()BOP rad α∠=，将S 表示为α的函数； （2）确定点P 的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积． 21．已知函数()2xe xf x a =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在只有一个零点，求a 的值.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2232x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()43sin cos a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标.23．已知函数()|1||2|f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围.。
2021届宁夏银川市第二中学高三三模数学(文)试题(解析版)
2021届宁夏银川市第二中学高三三模数学（文）试题一、单选题1．设复数z 满足(1)2z i i +=，i 是虚数单位，则||z =A ．B ．2C ．1D 【答案】A【详解】()()()2121111i i i z i z i i i -===+∴=++-， A.2．已知集合{}{2|5,|A y y x B x y ==-+==，则A B ⋂=A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．[]3,5D ．(]3,5【答案】C【详解】试题分析：{}{}{}[]2|5|5,|33,5A y y x y y B x x A B ==-+=≤=≥∴⋂=,选C【解析】集合的运算3．设,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，则x y +=（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据a c ⊥的垂直关系，可求出2x = ；根据//b c 的平行关系，可求出2y =- ，进而求出x y +的值．【详解】因为a c ⊥，所以240x -= 因为//b c ，所以420y --=所以22x y =⎧⎨=-⎩，所以0x y += 故选：A ．4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()1,2P --，则2sin sin 2αα+=（ ）A ．58B ．85C D【答案】B【分析】先由正弦、余弦函数的定义得到sin αα==，再求值即可. 【详解】由正弦、余弦函数的定义有sin α==，cos α==所以2248sin sin 2sin 2sin cos 2((55ααααα+=+=+⨯⨯=. 故选：B.5．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为0R ，1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 个人中有V 个人接种过疫苗（VN称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为()0R N V N-．已知新冠病毒在某地的基本传染数05R =，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ） A ．50% B ．60%C ．70%D ．80%【答案】D【分析】根据已知条件可得出关于VN的不等式，由此可得出结果. 【详解】由题意可得()5511V N V N N ⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，解得45V N ≥，因此，该地疫苗的接种率至少为80%. 故选：D.6．已知实数x ，y 满足约束条件2122x x y x y ≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则3z y x =-的最大值为（ ）A ．6-B ．3-C ．1D ．2【答案】C【分析】作出可行域，当目标函数3z y x =-过点()0,1A 时取得最大值，最大值为max 1301z =-⨯=.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当直线3y x z =+过A 时，直线在y 轴上的截距最大所以联立方程122x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得：()0,1A ，所以3z y x =-的最大值为：max 1301z =-⨯=，即：z 有最大值1． 故选：C ．7．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若m α⊥，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】根据线面关系的判定性质，逐项分析判断即可得解.【详解】对A ，平行同一平面的两条直线并不能判断此两条直线平行，故A 错误； 对B ，直线垂直与平面，则垂直与平面内的任意一条直线，故B 正确； 对C ，不确定n 直线是否在平面α内，所以C 错误；对D ，若m α⊥，m n ⊥，则n ⊂α或者//n α，而不是n α⊥，故D 错误. 故选：B8．△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin a B b A a =，则B =（ ）A ．6π B ．3πC ．2π D ．23π【答案】D【分析】应用正弦定理，结合已知等式可得2sin()16B π+=，根据三角形内角的性质即可求B .【详解】由正弦定理知：sin (cos 3sin )sin A B B A +=，而sin 0A ≠， ∴cos 3sin 2sin()16B B B π+=+=，又7666B πππ<+<，即566B ππ+=，∴23B π=. 故选：D.【点睛】关键点点睛：应用正弦定理及辅助角公式化简等式条件，根据三角形的内角及正弦函数的性质求角.9．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．4453B ．911C ．1113D ．265309【答案】A【分析】判断，执行条件可得选项.【详解】初始条件：0,1S i ==，判断5i <，所以，1S =；2i =时，判断5i <，23S =； 3i =时，判断5i <，3921133S ==+； 4i =时，判断5i <，444953411S ==+； 5i =时，，判断5i <不满足条件，退出循环，输出4453． 故选：A ．10．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】分析函数()f x 的奇偶性以及在()0,π上的函数值符号，可得出合适的选项.【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，该函数的定义域为R ， ()()()()()111sin sin sin 111x x x xx x x xe e e ef x x x x f x e e e e --------=-=-==+++，函数()f x 为偶函数，当0πx <<时，10x e -<，10x e +>，sin 0x >，此时()0f x <. 因此，函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是C 选项中的函数图象. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆222:M x y c +=的公共点和双曲线两个焦点(,0),(,0)c c -构成正六边形，则C 的离心率为 A ．2 B 2C ．423+D 31【答案】D【分析】根据题意作出图像，利用题中条件解12QF F ∆，由双曲线定义列方程，再利用双曲线离心率公式求解即可． 【详解】根据题意作图，如下图，由12,,,,,F M N F P Q 构成正六边形可知：122F F c =，1FQ c =,23F Q c =,由双曲线定义可知：2132F Q FQ c c a -=-=，所以双曲线的离心率：3131c e a ===-， 故选D【点睛】本题考查双曲线的定义，简单几何性质，圆的标准方程，考查转化思想，属于中档题．12．已知函数()xxf x e e -=-，()21cos 2g x x x ax =+-.对于任意1x ，2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，都有()()()()12120f x f x g x g x ->-.则实数a 的最大值是（ ）A ．2π B ．12π+C ．12π-D ．1【答案】C【分析】根据已知不等式的特征，判断两个函数的单调性，结合导数，通过构造函数进行求解即可． 【详解】因为()()()()12120f x f x g x g x ->-，所以()()()()1212,f x f x g x g x --同号，因此()f x 与()g x 的单调性相同，因为()0xxf x e e-+=>'，所以函数()f x 单调递增，因此()g x 也单调递增，()sin g x x x a '=-+-，因为()g x 是增函数，故sin 0x x a -+-≥恒成立．即sin a x x ≤-+恒成立．()sin h x x x =-+，则()cos 1h x x '=-+，因为cos 10x -+≥故()sin h x x x =-单调递增，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 故()sin h x x x =-+最小值为122h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故12a π≤-，则a 的最大值是12π- 故选：C【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、填空题13．函数()xf x xe =在0x =处的切线方程是________.【答案】y x =【分析】先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由函数()xf x xe =，求导可得()'(1)x f x x e =+，所以()'01f=，又()00f =，即函数()xf x xe =在0x =处的切线方程是01(0)y x -=⨯-，即y x =，故答案为：y x =.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.14．如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为______．【答案】43【分析】由于是向正方形内随机地撒200颗黄豆，其落在阴影外的概率是阴影外的面积与整个正方形的面积之比，从而可列式求得阴影部分的面积.【详解】解：设阴影外部分的面积为s ，则由几何概型的概率公式得：1141010200=⨯s ，解得57=s ，可以估计出阴影部分的面积约为1005743-=． 故答案为: 43【点睛】本题主要考查了几何概型，以及利用几何意义求面积，属于基础题．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．本题利用几何概型求解．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，15AA =，6AB =，8BC =，10AC =，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是___________. 【答案】16π【分析】先由题意可得球的半径为底面三角形内切圆的半径r ，易得2r，又12AA r <，可得该三棱柱内能放置的最大球半径为2，最后由球的表面积计算公式计算即可．【详解】由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径r ， ∵底面三角形的边长分别为6、8、10， ∴底面三角形为直角三角形，6810222AB BC AC r +-+-===，又∵15AA =，522<， ∴该三棱柱内能放置的最大球半径为2， 此时表面积2244216S r πππ==⨯= 故答案为：16π【点睛】关键点点睛：解题关键是得出所求球的半径为直三棱柱底面三角形内切圆的半径r ，继而进行分析计算．16．数学家斐波那契()17701250，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若2359597...k a a a a a a a ++++++=则k =__________【答案】60【分析】利用21n n n a a a ++=+化简得出235795960a a a a a a a ++++++=，即可得出结果.【详解】由于21n n n a a a ++=+，则2357959a a a a a a ++++++457959a a a a a ++++=+67959585960a a a a a a a ++++==+==，因此，60k =. 故答案为：60.三、解答题17．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为n S ，2a ，4a ，5a ，成等比数列，且515S =. （1）求数列{}n a 的通项公式：（2）求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和.【答案】（1）6n a n =-；（2）552． 【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式； （2）推出112n S n n -=，令n n Sc n =，得到{c n }是首项为5，公差为12-的等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2111(3)4a d a d a d +=++，即215d a d =-，又∵d ≠0，可得15a d =-； 而51545152S a d ⨯=+=，解得1d =-，所以()116n a a n d n =+-=-， 即数列{a n }的通项公式为6n a n =-． （2）因为()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=，所以112n S n n -=，令nn S c n =，则112n n c c +-=-为常数，∴{c n }是首项为5，公差为12-的等差数列， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯⨯-⨯=． 18．在四棱台1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AA A B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ．（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ； （2）求四棱锥11C ABB A -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（23【分析】（1）连1DC ，通过证明四边形11B EDC 为平行四边形，可证得11E//C B D ，进而得证；（2）取AB 中点F ，可证得11CF ABB A ⊥面，进而可得体积.【详解】（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，E 是棱AD 的中点，得，11//E B C D 且11=E B C D 故四边形11B EDC 为平行四边形．所以11E//C B D ， 又1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂/平面11CDD C ， 所以1//B E 平面11CDD C（2）取AB 中点F ，连接AC ，CF ，因为底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒， 所以CF AB ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，∴1AA CF ⊥，∵1AA AB A =所以11CF ABB A ⊥面，即CF 为四棱锥11-C ABB A 的高，且=3CF 而11(12)1322AA B B S +⨯==直角梯形，所以四棱锥11-C ABB A 的体积1333=322V =⨯⨯19．去年我校有30名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序号之间的统计图如下：（1）下表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出a ，b 的值，并估计这些学生面试分数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； 面试分数 [0，100) [100，200) [200，300) [300，400) 人数 15a 41频率12b215 130（2）该大学的招生办从25～30号这6位学生中随机选择两人进行访谈，求选择的两人的面试分数均在200分以上的概率． 【答案】（1）a ＝10，b ＝13；面试分数的平均值为120分；（2）15．【分析】（1）由已知及频率分布表即可求参数,a b ，进而根据所得表格数据求平均值即可.（2）列举出25～30号学生的所有可能的两人组合，根据折线图有25，26，27这三个号的学生面试分数均在200分以上，即可求概率.【详解】（1）面试分数在[100,200)内的学生共有30－15－4－1＝10(名)，故a ＝10，b＝1030＝13， 估计这些学生面试分数的平均值为50×12＋150×13＋250×215＋350×130＝120(分)． （2）从25～30号学生中任选两人的选择方法有(25,26)，(25,27)，(25,28)，(25,29)，(25,30)，(26,27)，(26,28)，(26,29)，(26,30)，(27,28)，(27,29)，(27,30)，(28,29)，(28,30)，(29,30)共15种，而由折线图知：25号，26号，27号学生的面试分数均在200分以上， ∴选择的两人的面试分数均在200分以上的选择方法有(25,26)，(25,27)，(26,27)共3种，故选择的两人的面试分数均在200分以上的概率为315，即15．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>抛物线2:4E x y =的焦点F 是椭圆C 的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 不经过F ，且与C 相交于A ，B 两点，若直线FA 与FB 的斜率之和为-1，证明：l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线2:4E x y =的焦点()0,1F 是椭圆C 的一个顶点，求得1b =，a 即可. （2）当斜率不存在时，设:l x m =，由 直线FA 与直线FB 的斜率的和为-1，求得m ，判断0∆>是否成立即可；当斜率存在时，设:l y kx t =+，1t，()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆方程联立，由直线FA 与FB 直线的斜率的和为-1，结合韦达定理求得t 与k 的关系，若满足0∆>即可【详解】（1）因为抛物线2:4E x y =的焦点()0,1F 是椭圆C 的一个顶点，所以1b =，由c e a ==解得2a =，则椭圆方程为2214x y +=；（2）①当斜率不存在时，设:l x m =，(),A A m y ，(),A B m y -，∵直线FA 与直线FB 的斜率的和为-1，11111A B A A FA FB A B y y y y k k x x m m-----+=+=+=-， 解得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足；②当斜率存在时，设:l y kx t =+，1t，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2244y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()222148440k x ktx t +++-=， 122814kt x x k +=+，21224414k x x k-=+① ∵直线FA 与FB 直线的斜率的和为-1， ∴()()()12121212121121211112FA FB x kx t kx x t x x y y k k x x x xl x x +-+-+--+=+===-，②①代入②得211kt =-+， ∴21t k =--，此时64k ∆=-，存在k ，使得0∆>成立， ∴直线l 的方程为21y kx k =--， 当2x =时，1y =-， ∴l 过定点()2,1-.【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．21．函数()x f x e =，()1=-g x ax ，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）若a e =，求函数()()()F x f x g x =-的最小值； （2）若0x ≥时，()()1f x xg x +≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）12a ≥-. 【分析】（1）当a e =时，()()()=1x F x f x g x e ex =--+，对函数()F x 求导，分析函数()F x 的单调性，可得()F x 的最小值，（2）令函数2()()+()11x h x f x xg x e ax x =-=+--（0x ≥），对函数()h x 求导，分析其导函数的正负，得出函数()h x 的单调性，可得出a 的取值范围.【详解】（1）当a e =时，()()()=1x F x f x g x e ex =--+，∴'()x F x e e =-，①当1x <时，'()0F x <，()F x 在()1-∞，上单调递减； ②当1x >时，'()0F x >，()F x 在()1+∞，上单调递增. ∴min ()(1)1F x F ==；（2）令2()()+()11x h x f x xg x e ax x =-=+--（0x ≥），则'()21x h x e ax =+-，∴'(0)0h =，令'()()21x x h x e ax ϕ==+-，则'()2x x e a ϕ=+， ①当12a ≥-时，'()0x ϕ≥恒成立，可得()h x '在[0,)+∞上单调递增，∴''()(0)=0h x h ≥，∴()(0)=0h x h ≥恒成立，∴()+()1f x xg x ≥恒成立. ②当12a <-时，当[0,ln(2))x a ∈-，()0x ϕ'<，()h x '在[0,ln(2))a -上单减， 当ln(2))x a ∈-+∞[，，()0x ϕ'>，()h x '在ln(2))a -+∞[，上单增， 则当[0,ln(2))x a ∈-时，()(0)0h x h ''<=， ∴00x ∃>，0(0,)x x ∈时，0()(0)0h x h <=. ∴()+()1f x xg x ≥不是恒成立的. 综上所述，a 的取值范围是12a ≥-. 【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和最值，构造新函数解决不等式恒成立问题，属于较难题. 22．已知直线l的参数方程为1422x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程；（2）若直线()6πθρ=∈R 与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求||AB 的值.【答案】（1）C :22x y x +=;l:cos 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）【分析】(1) 先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2) 将6πθ=分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A ，B 到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l的参数方程为1422x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），y -=．∴直线lcos sin θρθ-= （2）将π6θ=代入曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=得ρ， ∴A点的极坐标为π6⎫⎪⎭． 将π6θ=代入直线l的极坐标方程得3122ρρ-=ρ= ∴B点的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AB =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题． 23．已知函数()221f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；（2）[]12x ∃∈，，使得不等式()2f x x a >-+成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -；（2）7a <【分析】（1）利用分类讨论法求出不等式()6f x 的解集；（2）[1x ∈，2]时()5f x x =-+，不等式2()f x x a >-+化为25a x x <-+； 设2()5g x x x =-+，[1x ∈，2]，求出()g x 的最大值即可．【详解】解：（1）函数33,2()2215,1233,1x x f x x x x x x x -⎧⎪=-++=-+-<<⎨⎪-+-⎩，当2x 时，不等式()6f x 化为336x -， 解得3x ，即23x ；当12x -<<时，不等式()6f x 化为56x -+， 解得1x -，即12x -<<；当1x -时，不等式()6f x 化为336x -+， 解得1x -，即1x =-；综上，不等式()6f x 的解集为{|13}x x -；（2）[1x ∈，2]时，()5f x x =-+，不等式2()f x x a >-+化为25x x a -+>-+， 即25a x x <-+；设2()5g x x x =-+，[1x ∈，2]，则()g x 在[1x ∈，2]上是单调增函数，且()g x 的最大值为(2)4257g =-+=， 根据题意知实数a 的取值范围是7a <．【点睛】本题考查含有绝对值的不等式解法与应用问题，考查运算求解能力，是中档题．。
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【分析】
由向量垂直可得 ，结合数量积的定义表达式可求出 ，又 ，从而可求出夹角的余弦值得解.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，. ，
故选:D.
【点睛】
本题考查向量的数量积、向量垂直及向量夹角的计算.属于基础题
6．A
【分析】
利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果.
4．D
【分析】
利用正弦函数的周期性可得 ，进而求得 ，再利用 时取得最大值可求得 值.
【详解】
由图观察可知，函数的周期 满足 ，由此可得 ，解得 ，
函数表达式为 .又∵当 时,取得最大值2，
∴ ，可得 ，∵ ，
∴取 ，得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查由 的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性和最值，属于基础题.
23．已知函数 .
（1）若 ，解不等式 ；
（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得 ，求实数a的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
先由绝对值不等式的解法求得集合M，再由集合的交集运算可得选项.
【详解】
，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2．A
【分析】
根据题中条件，由同角三角函数基本关系，即可求出结果.
（1）设 ，将 表示为 的函数；
（2）确定点 的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．
20．设函数 ，其中 .
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在区间 内有两个不同的零点，求a的取值范围.
21．已知函数 ( )， ( )，且函数 的图像在点(1， )处的切线方程为 ．
（1）求实数k的值；
（2）当 时，令函数 ，求 的单调区间；
2．已知 ， 为第二象限角，则 的值是（）
A． B． C． D．
3．在 中， ， ， ，则 的面积为（）
A． B．2C． D．3
4．函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 、 的值分别是（）
A．4， B．2， C．4， D．2，
5．若向量 ，满足 ，则 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
6．在 中，角 、 、 所对应的变分别为 、 、 ，则 是 的（）
宁夏银川二中2021届高三年级上学期统练三数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合M={x||x-1|<1}，N={x|x<2}，则M∩N=（）
A．(-1，1)B．(-1，2)
C．(0，2)D．(1，2)
7．A
【分析】
利用辅助角公式化简函数 的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论.
【详解】
，
因此，将 的图象向左平移 可得到函数 的图象.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.
8．B
【分析】
根据题意，分析可得 ，即函数 是周期为8的周期函数，则有 ， （1），由奇函数的性质求出 与 （1）的值，相加即可得答案.
四、解答题
17．在 中，角 的对边分别是 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的周长.
18．已知函数 的最大值为3.
（1）求 的值；
（2）若锐角 中角 所对的边分别为 ，且 ，求 的取值范围.
19．如图，在南北方向有一条公路，一半径为100 的圆形广场（圆心为 ）与此公路所在直线 相切于点 ，点 为北半圆弧（弧 ）上的一点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，计划在 内（图中阴影部分）进行绿化，设 的面积为 （单位： ），
A．充分必要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
7．要得到函数 的图象，可将 的图象向左平移（）
A． 个单位B． 个单位C． 个单位D． 个单位
8．已知函数 是定义在 上的奇函数， （1） ，且 ，则 的值为（）
A．0B． C．2D．5
9．在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间 单位：小时 与储存温度 单位： 满足函数关系 为自然对数的底数，k，b为常数 ，若该食品在 时的保鲜时间为120小时，在 时的保鲜时间为15小时，则该食品在 时的保鲜时间为
【详解】
由正弦定理得 （其中 为 外接圆的半径），
则 ， ，
，
因此 是 的充分必要必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
二、填空题
13．函数 在点 处的切线方程为______．
14．已知sin2 ，则2cos2（ ）=__________．
15．已知 ，则 的大小关系是____________.
三、双空题
16．设函数 .①若 ，则 的最小值为____________；②若 恰有2个零点，则正实数 的取值范围是____________.
A．30小时B．40小时C．50小时D．80小时
10．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 且 ，则 等于（）
A． B． C． D．
11．若函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【详解】
因为 ， 为第二象限角，
所以 ，
因此 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查由正弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.
3．A
【分析】
结合余弦定理求出 ，进而可求出三角形的面积.
【详解】
解：由余弦定理可知， ，即
，整理得 ，解得 或 (舍去)，
则 ，
故选:A.
【点睛】
本题考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题.本题的关键是求出 .
（3）在（2）的条件下，设函数 有两个极值点为 ， ，其中 ＜ ，试ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ较 与 的大小．
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，且直线 与曲线 有两个不同的交点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）已知M为曲线C上一点，且曲线C在点M处的切线与直线 垂直，求点M的直角坐标.