(专升本)第四章不定积分
高等数学(重庆专升本及高职高专)4.1不定积分
csc x cot xdx csc x C
1 dx arcsin x C 1 x2
1
1 x2
dx
arctan
x
C
以上基本积分公式是求不定积分的基础，必须记牢！
例3. 求
解: 原式 =
x
4 3
dx
x341
4 3
1
C
3x
1 3
C
例4. 求
解: 原式=
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
例 5.判断下列各式是否正确：
(3). (xex )dx (
);
(4). 2x arctan xdx (
xe x C
) . 2x arctan x
二、基本积分公式
由 F(x) f (x) 可得 f (x)dx F(x) C
导数基本公式
基本积分公式
C 0
0dx C
xa1
a
1
xa
a
1
ax ax ln a
在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
其中
— 积分号;
— 积分变量;
若
则
— 被积函数; — 被积表达式.
例如, exdx ex C
x2dx
1 3
x3
C
( C 为任意常数 )
C 称为积分常数, 不可丢 !
sin xdx cos x C
不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 .
高等 數學
第四章 不 定 积 分
第一节 不定积分的概念及性质
目录
第一节 不定积分的概念及性质
01
专转本第四章不定积分41
4
5
5 上一页 下一页
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F (x) C .
1 例 2 例 2. 求函数 f (x) 的不定积分. x 1 解 ： x>0 时, (ln x) , 解：当 x 1 dx ln x C (x>0) x 1 1 当 x<0 时, [ln(x)] (1) , x x 1 dx ln(x) C (x<0). x 合并得： 1 dx ln | x| C (x0). x
证明： 由导数的线性运算法则和不定积分的定义
( f ( x)dx) ' ( g ( x)dx) ' ( ( x)dx) '
10 上一页 下一页
f ( x) g ( x)
所以，有：
( x)
[ f ( x) g ( x)
( x)dx f ( x)dx g ( x)dx
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6 下一页
不定积分的几何意义 若F(x)是f (x)的一个原函数， 则称F(x)的图形为f (x)的一条积分 曲线， F(x)+c的图形是由F(x)的图 形沿 y 轴平移c(任意的）所得 积分曲线组成的曲线轴.
如图f (x)=2x的积分曲线图 结论：
2x的积分曲线
函数f (x)的不定积分在几何上表示f (x)的全部积 分曲线所组成的平行曲线族
f (x)dx F (x) C .
结论：求f (x)的不定积分只要求它的一个原函数F(x) 再加任意常数C.
4 上一页 下一页
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F (x) C . 例1 求
不定积分知识点归纳专升本
不定积分知识点归纳专升本不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础之一。
在专升本考试中，不定积分的知识点是必考内容。
以下是对不定积分知识点的归纳总结：不定积分的定义：不定积分是求导数的逆运算，如果一个函数\( f(x) \)的导数是\( F'(x) \)，那么\( F(x) \)被称为\( f(x) \)的一个原函数。
数学上表示为：\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]其中，\( C \)是积分常数。
基本积分公式：掌握基本的积分公式是解决不定积分问题的关键。
例如：- \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)（\( n \neq -1 \)）- \( \int e^x \, dx = e^x + C \)- \( \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \)（\( a > 0, a\neq 1 \)）- \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \)- \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)- \( \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \)- \( \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \)换元积分法：换元积分法是一种常用的积分技巧，适用于那些直接积分较难的函数。
它包括两种形式：第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（代换法）。
- 第一类换元法适用于积分函数中含有根式或可以转化为根式的函数。
- 第二类换元法适用于积分函数中含有复合函数的情况。
分部积分法：分部积分法是另一种解决复杂积分问题的方法，适用于两个函数的乘积形式。
其公式为：\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]有理函数的积分：有理函数是指分子和分母都是多项式的函数。
专升本高数不定积分的求解技巧
专升本高数不定积分的求解技巧高等数学中的不定积分是一个非常重要的概念，它是求解函数的原函数的方法之一。
由于不定积分的求解过程相对于定积分更加灵活，所以在专升本高数考试中，不定积分的求解技巧也是非常重要的。
下面我将为你介绍一些常用的不定积分求解技巧。
技巧一：常数项的处理在求解不定积分的时候，往往会出现一个常数项。
此时，我们可以将常数项视为一个新的常数，直接对函数进行积分即可。
例如对于f(x) = x^2 + 2x + 1来说，我们可以将其不定积分表示为F(x) = x^3/3 + x^2 + x + C，其中C是常数项。
技巧二：换元法换元法是不定积分中最常用的一种求解方法。
所谓换元法，就是通过变量的代换，将原函数转化为一个新的函数，使得新的函数更容易求解。
具体而言，我们可以通过以下步骤进行换元法求解积分：1.将被积函数中的某个变量用一个新的变量来代替，使得被积函数中的求导和化简更加容易。
2.求出新变量关于原变量的导数，并将原变量用新变量表达式表示出来。
3.将被积函数中的原变量全部用新变量表示出来，并求出新变量对应的极限。
4.将积分上下限转化为新变量的上下限，并对新变量进行积分。
技巧三：分部积分法分部积分法又称为“乘法法则的逆运算”，它可以将一个复杂的不定积分转化为两个简单的不定积分。
具体而言，我们可以通过以下步骤进行分部积分法求解积分：1.根据乘法法则将被积函数中的两个函数进行拆分，并选择其中一个函数进行求导。
2.将求导后的函数与未求导的函数相乘，得到新的积分表达式。
3.将新的积分表达式进行化简，并对其进行求解。
4.根据分部积分法的公式，将原来的积分表达式拆分，并分别进行求解。
技巧四：有理函数的部分分式分解有理函数的部分分式分解是将一个有理函数分解为一系列分式的和的过程，从而可以更方便地对原函数进行求解。
具体而言，我们可以通过以下步骤进行有理函数的部分分式分解：1.将有理函数进行因式分解。
2.对于每个不可约的因子，确定其分解式的形式。
不定积分的求解技巧专升本
不定积分的求解技巧专升本不定积分是高等数学中重要的概念之一，有广泛的应用。
在考试中，不定积分的求解是常见的题型之一。
掌握不定积分的求解技巧，可以帮助我们快速解答问题，提高解题效率。
下面将介绍一些常见的不定积分的求解技巧。
一、基本求导法基本求导法就是对于已知的函数，通过求导来得到它的不定积分。
常见的基本求导公式有：1、幂函数：(x^n)' = nx^(n-1) ，其中n是任意常数。
2、指数函数：(a^x)' = a^xln(a) ，其中a是常数。
3、对数函数：(ln(x))' = 1/x 。
4、三角函数：(sinx)' = cosx 、(cosx)' = -sinx 、(tanx)' = sec^2x 。
5、反三角函数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2) 、(arccosx)' = -1/√(1-x^2) 、(arctanx)' = 1/(1+x^2) 。
二、换元法换元法是指通过代换变量的方法，将原函数转化为一个新的函数，从而方便求解不定积分。
常见的换元法有以下几种：1、代数换元法：根据题目的要求，选择一个自变量的代数式来代替原函数中的自变量。
例如，设u = g(x)，则dx = du/g'(x)，从而不定积分可以转化为∫f(g(x))dx = ∫f(u)du 。
2、三角换元法：当被积函数中有三角函数的乘积时，可以尝试将其中一个三角函数用另外一个三角函数来表示。
例如，设 u = sinx，则可以用 cos^2x = 1 - sin^2x 来替换其中的三角函数。
3、指数换元法：当被积函数中有指数函数的乘积或幂函数的指数为指数函数时，可以尝试使用指数换元法。
例如，设 u = ax+b ，则 dx = du/a ，从而不定积分可以转化为∫f(ax+b)dx = (1/a)∫f(u)du 。
三、分部积分法分部积分法是求不定积分的一种常用的方法，它是从求导数的乘积的角度出发，将一个函数的导函数与它的一个因子连乘积的形式相联系，然后对这个因子进行不定积分，由此可以用对数、三角函数等等来表示这一积分。
专升本不定积分的求解技巧
专升本不定积分的求解技巧不定积分是微积分的重要概念之一，也是微积分中的基础知识。
专升本考试中，通常也会涉及到不定积分的求解问题。
下面将介绍一些不定积分的求解技巧。
1.基本积分公式：掌握基本的求导和积分公式是不定积分的基础。
比如常见的多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分公式都是必须掌握的。
2.代换法：对于一些复杂的不定积分问题，可以通过合适的代换将其转化为简单的形式。
最常见的代换法是用一个变量替换整个被积函数。
3.部分分式分解法：当被积函数为有理函数时，可以通过部分分式分解将其拆解成若干个简单的分式，再进行不定积分。
4.分部积分法：对于一些具有乘积形式的函数，可以利用分部积分法将其转化为积分形式更简单的函数。
5.换元积分法：当被积函数中含有复杂的函数表达式时，可以通过换元积分法将其转化为一个形式更简单的函数再进行求解。
6.凑微分法：当被积函数中含有较高次数的函数或多项式时，可以通过凑微分法将其转化为更易求解的形式。
7.递推法：递推法主要用于一些具有递推关系式的函数，通过推导出递推关系，可以得到一般项的计算公式，并进行不定积分。
8. Euler换元法：Euler换元法主要用于一些含有平方根的函数，通过合理的换元将其转化为一个形式更简单的函数再进行求解。
除了上述的求解技巧，还需要熟练掌握基本的计算技巧，比如如何计算常数项、如何处理无理函数的积分、如何处理带有绝对值符号的函数等。
在考试中，如果遇到不定积分的求解问题，可以先根据题目给出的函数类型选择合适的求解技巧，然后按照相应的方法进行计算。
在计算过程中，要注意一步一步进行，避免出错。
最后，要检查计算结果的合理性，以确保计算无误。
在专升本考试中，不定积分的求解是一个重点和难点，需要投入一定的时间和精力进行学习和练习。
通过反复的积累和练习，掌握不定积分的求解技巧，提高自己的计算能力和解题能力，才能在考试中取得好成绩。
山东高等数学2专升本教材
山东高等数学2专升本教材山东高等数学2专升本教材是为了满足山东地区高等数学2课程的专升本需求而编写的教材。
本教材旨在帮助学生夯实高等数学的基础知识，提高数学解题能力，为顺利通过专升本考试提供帮助。
第一章：函数与极限本章以函数与极限为主题，主要介绍数列极限与函数极限的基本概念和性质。
通过对极限的学习，学生将了解数列与函数的收敛性、界的性质以及函数的连续性等重要概念。
第二章：导数与微分本章主要介绍导数的概念及其性质。
通过学习导数，学生将学会求导数的方法和技巧，进而应用导数解决实际问题。
重点内容包括导数的定义、基本导数公式、高阶导数、隐函数求导以及微分的应用等。
第三章：定积分本章以定积分为主题，介绍定积分的概念和性质。
通过学习定积分，学生将了解定积分的几何意义、基本性质和计算方法。
主要内容包括定积分的定义、不定积分的计算、定积分的计算、定积分的应用等。
第四章：不定积分与定积分的应用本章主要介绍不定积分和定积分的应用。
通过学习不定积分和定积分的应用，学生将学会利用不定积分和定积分解决实际问题，如求曲线长度、曲线面积、旋转体体积等。
第五章：微分方程与应用本章以微分方程为主题，介绍微分方程的基本概念和解法。
通过学习微分方程，学生将了解微分方程的基本类型、求解方法以及应用。
主要内容包括一阶常微分方程的解法、高阶常微分方程的解法、变量可分离形式的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程等。
第六章：多元函数微分学本章主要介绍多元函数微分学的基本概念和性质。
通过学习多元函数微分学，学生将了解多元函数的极限与连续、偏导数以及多元函数的极值等概念。
主要内容包括多元函数的极限与连续、偏导数与全微分、多元函数的极值、条件极值等。
总结：山东高等数学2专升本教材全面涵盖了函数与极限、导数与微分、定积分、不定积分与定积分的应用、微分方程与应用以及多元函数微分学等重要知识点。
适合山东地区高等数学2专升本考试的备考需求。
通过学习本教材，学生能够全面提高高等数学的理解和运用能力，为专升本考试取得成功打下坚实的基础。
(专升本)数学不定积分专题
1专题---不定积分§1、不定积分的概念与性质1、原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。
1连续函数一定有原函数；2若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数；事实上，())()()(''x f x F C x F ==+3)(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。
定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。
显然Cx F dx x f +=⎰)()(例1、求下列函数的不定积分①⎰+=Ckx kdx ②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x 2、基本积分表（共24个基本积分公式）3、不定积分的性质①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()(②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf 例2、求下列不定积分①⎰⎰+-=++-==+--C x C x dx x xdx 11)2(11)2(22②⎰⎰+=++-==+--Cx C x dx x xdx 21)21(11)21(21③⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522⑤()⎰⎰⎰++-=-=-Cx x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 22222222⑦()⎰⎰+--=-=Cx x dx x dx x cot 1csc cot 22§2、不定积分的换元法一、第一类换元法（凑微分法）1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=+⎰⎰1,1即例1、求不定积分①()Cx udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin ②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121③()())20(arctan 111222Ca x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()nn n n n n dx dx x dx x f n dx x x f ==--⎰⎰11,1即例2、求不定积分①()()()()Cx C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰232121221221221311112111211②()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131③⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122④⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos 3、,tan sec ,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a x x d dx xx d dx xx d xdx x ±±=±=-=+=例3、求不定积分①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan C x C x x xd dx x x xdx ②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot C x C x x xd dx x x xdx ⑤()⎰⎰+==C x xdx x x ln ln ln ln ln 1⑥()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e x xxx x 1ln 111⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx x x x x x 1ln 111⑨()⎰⎰+=+=+Ce e de dx e e x xx xx arctan 1122⑩()Ce x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122)22)(21(ln 21C ax ax a +-=④()Cx x x xd x dx xdx +-=⋅-==⎰⎰⎰2sin 412122cos 21212122cos 1sin 2⑤()⎰⎰+--=+=Cx x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin ⑥⎰⎰⎰⎰+====C x x xd x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot ⑦C x x xx d xdx dx x x x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、第二类换元法1、三角代换例1、dxx a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdta dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C a x a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42C x a x a x a +-+=22221arcsin 21例2、()()C axa x a x d x a dx +=-=-⎰⎰arcsin1222解：令ta x sin =原式=⎰⎰+=+==C a xC t dt t a tdt a arcsin cos cos 例3、⎰+22x a dx 解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdta dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==Ca x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec ())24(ln 22Ca x x +++=例4、⎰+42x x dx 解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdtdx t x 22sec 2,sec 24==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、⎰-22a x dx 解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdtt a dx t a a x tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++==c aa x a x C t t tdt t a tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec ())25(ln 22Ca x x +-+=例6、⎰-dx xx 92解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==-原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅C t t t tdt tdt t tttan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322C xx C x x +--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3arccos393arccos 39322小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x ta x t a x sec tan sin 2、无理代换例7、⎰++311x dx 解：令dtt dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222()()C x x x +++++-+=333211ln 313123例8、()⎰+31xx dx解：令dtt dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235()Cx x +-=66arctan 6例9、⎰+dxxx x 11解：令()22212,11,1--=-==+t tdtdx t x t x x 则原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdtt t 11ln 212111212121222222C xx xx x x +++-+-+-=11ln 12例10、⎰+xe dx1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdtdx t x t e x 则原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C e e C t t t dt dt t t t x x 1111ln 11ln 21212121224、倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1t dtdx t t x x t x -=+=+=则原式()()C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln 24114ln 2411414241416666666()C x x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()VU UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdUUV UdV （前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdxx cos ⎰⎰++=-==Cx x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin 例2、⎰dxxe x ⎰⎰+-=-==Ce xe dx e xe xde x x x x x例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=Cx x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln 或解：令te x t x ==,ln 原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdxarcsin ()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=Cx x x x x d x x dxxx x x x xd x x 22221arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin 或解：令tx t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdxe x sin ()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxe x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde x x x x x xx x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin 故()C x x e xdx e xx +-=⎰cos sin 21sin 例6、⎰dx xx2cos Cx x x xdx x x x xd +-=-==⎰⎰sec ln tan tan tan tan 例7、()⎰++dxx x 21ln ()()()Cx x x x dxxx x x x dx x x x xx xx x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln §4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。
专升本高等数学教材安徽省
专升本高等数学教材安徽省专升本高等数学教材专升本高等数学教材对于考生来说，是备考复习中非常重要的一部分。
针对安徽省的考生，我们特别整理了本教材，以帮助大家更好地备考高等数学。
第一章：数列与数学归纳法1.1 数列的概念1.2 常用数列的性质1.3 数学归纳法的原理与应用第二章：函数与极限2.1 函数的概念与性质2.2 极限的定义与性质2.3 极限的计算方法第三章：导数与微分3.1 导数的定义与性质3.2 常用函数的导数3.3 微分的概念与应用第四章：不定积分与定积分4.2 常用函数的不定积分4.3 定积分的定义与性质4.4 定积分的计算方法第五章：微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 一阶微分方程的解法5.3 高阶微分方程的解法第六章：空间解析几何6.1 点、向量的概念与性质6.2 空间几何图形的方程6.3 空间直线与平面的位置关系第七章：多元函数与偏导数7.1 多元函数的概念与性质7.2 偏导数的计算与应用第八章：多重积分8.1 二重积分的概念与性质8.3 多重积分的计算方法第九章：无穷级数9.1 数项级数的概念与性质9.2 收敛级数的判定方法9.3 幂级数与泰勒展开第十章：常微分方程10.1 高阶线性常微分方程的解法10.2 常系数齐次线性微分方程的解法10.3 非齐次线性微分方程的解法通过对以上章节的学习，考生们将能够全面掌握高等数学的基本知识和解题方法。
同时，建议考生们多进行真题练习，加深对知识点的理解，并提高应试能力。
本教材将以简洁明了的方式呈现给考生，以便帮助他们更好地理解和掌握高等数学知识。
希望同学们能够认真学习本教材，并在考试中取得优异的成绩。
祝愿各位考生顺利通过专升本高等数学考试！。
(专升本)第四章不定积分
第四章不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理．2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin)cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数．函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()kf x dx k f x dx =⎰⎰．5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰或()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰．（2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x dx F x C'=+⎰或()()dF x F x C=+⎰．二、基本积分公式1．kdx kx C=+⎰（k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰（1μ≠-）3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x Cx =++⎰5．arcsin dx x C=+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰7．sin cos xdx x C=-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x Cx ==+⎰⎰9．221csc cot sin dx xdx x Cx ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C=+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰12．xxe dx e C =+⎰13．ln xxa a dx C a=+⎰*14．tan ln cos xdx x C =-+⎰*15．cot ln sin xdx x C =+⎰*16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰*17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰*18．2211arctan xdx C a x a a=++⎰*19．2211ln 2x adx Cx a a x a -=+-+⎰*20．arcsinx dx C a=+⎰*21．ln(x C =++⎰*22．ln dx x C=+⎰说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dxd x b d ax b a=+=+（a ，b 均为常数且0a ≠）（2）11()1aa x dx d xb a +=++（a ，b 均为常数且1a ≠-）2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d =（3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+（4）()()xx x edx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xx x adx d a d a b a a==+（6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+（7）cos (sin )(sin )xdxd x d x b ==+（8）2sec (tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc(cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+（11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++（12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则1()[()]f x dx F x Cϕ-=+⎰．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形：（1sin x a t =；（2，可令tan xa t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()uu x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu=-⎰⎰．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）．（3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】【例4-1】计算下列不定积分．1．2x xedx ⎰．解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰．2．21xdx x +⎰．解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰．3．221(1)x x dx x x +++⎰．解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dxx x x x x x x x +++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰．解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x Cx ==+⎰⎰．5．1ln dx x x ⎰．解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解：2sec (sec tan )sec sec tan x x x dx xdx x xdx-=-⎰⎰⎰tan sec x x C =-+．7．2sin xdx ⎰．解：21cos 211sin cos 2222x xdx dx dx xdx-==-⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =-+．8．2cos xdx ⎰．解：21cos 211cos cos 2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =++．9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰．10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C=-=-=--+⎰⎰⎰⎰．11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰1(1)ln(1)1x xxdx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰．12．21825dx x x -+⎰．解：22211114825(4)99()13dx dx dxx x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰．解：原式2242sincos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++．14．cos3cos 2x xdx ⎰．解：111cos3cos 2(cos cos5)sin sin 52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰．【例4-2】计算下列不定积分．1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x xxe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰．3．ln x xdx ⎰．解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令lnx t =，则t x e =，t dx e dt =，故原式2222111()222tttt t te t e dt te dt td e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰2222221111ln ln 242424t t x x te e C x x x C x C =-+=⋅-+=-．4．arctan x xdx ⎰．解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰22222111arctan (1)221221x x x x dx x dx x x =-⋅=--++⎰⎰211arctan arctan 222x x x x C =-++．5．ln xdx ⎰．解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x Cx =-=-⋅=-+⎰⎰⎰．6．arctan xdx ⎰．解：2arctan arctan (arctan )arctan 1xxdx x x xd x x x dx x=-=-+⎰⎰⎰2221(1)1arctan arctan ln(1)212d x x x x x x C x +=-=-+++⎰．7．cos x e xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x xe d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xx e xdx e x x C =++⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x =-⋅⎰⎰sin(ln )x x =-1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C=-+⎰．说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt=⋅==-⎰⎰⎰sin cos ()sin cos (sin )t t t t t e t td e e t e t e t dt=-=-+-⎰⎰，故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t t e t e t C x x x x C =-+=-+．【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--，其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143(4ln 33ln 25632x dx dx x x Cx x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++，则22(1)()(21)x A x x Bx C x +=+++++，即22(2)(2)x A B x A B C x A C +=++++++，有20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dxx x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-++++++⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-+++．3．1x dx x⎰．解：为了去掉根号，可以设u =，于是21x u =+，2dx udu =，故222211222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C=-+=+．4．⎰．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln 1C =-+．【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰．解：对等式()arcsin xf x dx x C=+⎰两边对x求导，可得()xf x =则()f x =，故211()(1)()2dx x f x ==--⎰⎰⎰332222121()(1)(1)233x C x C =-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰．解：因为sin xx是()f x 的一个原函数，所以2sin cos sin ()()x x x xf x x x -'==且sin ()xf x dx C x=+⎰，故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x C x x-'==-=⋅+⎰⎰⎰cos sin sin 2sin cos x x x x xC x C x x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是（）（A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰（B ）()()df x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰（C ）()()F x dx f x '=⎰（D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）．2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（）（A ）2x C +（B ）ln x C +（C）C +（DC +解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x'=变为()f t '=，该式两边对x取不定积分得，()f t C ==⎰，即()f x C =+．选（C ）．3．（2006年，2分）若11()xxf x edx eC --=+⎰，则()f x =（）（A ）1x（B ）1x -（C ）21x（D ）21x-解：等式11()xxf x edx eC--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x ee x--=⋅，故21()f x x=．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（）（A ）tanln sin x x x c -+（B ）tanln sin x x x c++（C ）tan ln sin cos dx x x x-⎰（D ）tan ln sin cos dxx x x+⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan ln sin tan tan ln sin sin xx x xdx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰．解：由题意，()x f x e -=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰．三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x --=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x xdx C C x x x x x--=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分⎰．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰⎰x x C =-=-⎰．3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C=+⎰两边对x 求导，可得()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C-=-=-=-+⎰⎰⎰．4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan222x xd dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan 2xt =，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰⎰tan 2x C C ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎝⎭．四、应用题或综合题1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx Cx x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下．因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C Cx x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。
河南省普通专升本高等数学教材
河南省普通专升本高等数学教材高等数学教材第一章：函数与极限1.1 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
函数的定义域、值域、图像等基本概念要通过例题进行说明和讲解。
1.2 函数的性质与运算介绍函数的奇偶性、周期性、单调性等基本性质，并讲解函数的四则运算、复合运算等。
1.3 极限的概念与性质引入极限的概念，重点讲解极限的局部有界性、保序性、保号性等基本性质，同时介绍重要的极限定理和计算极限的方法。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与几何意义介绍导数的定义及其几何意义，包括切线与函数图像的关系等。
2.2 导数的基本公式与性质讲解导数的基本运算法则，如四则运算、复合运算、反函数的导数等。
2.3 高阶导数与相关公式深入研究高阶导数的概念和计算方法，并介绍莱布尼茨公式等相关公式。
第三章：微分中值定理与应用3.1 罗尔中值定理详细讲解罗尔中值定理的假设、结论以及证明思路，并通过实例解释应用。
3.2 拉格朗日中值定理介绍拉格朗日中值定理的条件和结论，包括柯西中值定理的特殊情况。
3.3 应用题解析通过一些实际问题，例如曲线的凹凸性、最值问题等，来解释中值定理的应用。
第四章：不定积分与定积分4.1 不定积分的定义与基本性质介绍不定积分的概念与基本性质，讲解几个常用的不定积分法则。
4.2 定积分的概念与性质引入定积分的概念，介绍黎曼积分的定义、性质和存在性。
4.3 定积分的计算方法讲解定积分的计算方法，包括换元积分法、分部积分法和分段积分法等。
第五章：微分方程基本概念与常微分方程5.1 微分方程的概念与基本性质介绍微分方程的定义、分类及基本性质，例如线性微分方程和常系数线性微分方程。
5.2 常微分方程的解法讲解一阶常微分方程和二阶常微分方程等基本类型的解法，包括常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。
5.3 应用问题分析通过一些实际问题，例如生物衰变问题和弹簧振动问题，来引入微分方程解的应用。
河南省高等数学专升本教材
河南省高等数学专升本教材高等数学专升本教材高等数学是大学数学基础课程之一，旨在为学生提供扎实的数学理论基础和解决实际问题的数学方法。
本教材将全面介绍河南省高等数学专升本教学内容，帮助学生系统学习和掌握高等数学知识。
第一章函数与极限1.1 函数概念1.2 函数的表示与性质1.3 极限的定义与性质第二章导数与微分2.1 导数的概念与计算2.2 导数的几何意义与应用2.3 微分学基本定理第三章微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理3.2 高阶导数与泰勒展开式3.3 函数的单调性与曲线图像第四章不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与计算4.2 定积分的概念与性质4.3 微积分基本定理与定积分的应用第五章多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.3 隐函数与参数方程的导数第六章重积分与曲线曲面积分6.1 二重积分的概念与计算6.2 三重积分的概念与计算6.3 曲线曲面积分的基本概念与计算第七章微分方程7.1 常微分方程的基本概念7.2 一阶常微分方程的解法7.3 高阶常微分方程的解法第八章线性代数8.1 行列式与矩阵8.2 线性方程组与矩阵的运算8.3 特征值与特征向量第九章概率与数理统计9.1 概率基本概念与计算9.2 随机变量与概率分布9.3 统计基本概念与参数估计第十章傅里叶级数与变换10.1 傅里叶级数的基本概念10.2 傅里叶变换的基本概念与性质10.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换以上是河南省高等数学专升本教材的内容大纲，通过系统的学习和掌握，学生将能够在高等数学领域应用数学理论解决问题。
本教材旨在帮助学生全面理解和掌握高等数学的基本概念、定理和方法，为进一步学习更高层次的数学和应用数学打下坚实的基础。
专升本高等数学课程考试大纲-湖南工程学院教务处
专升本《高等数学（一）》课程考试大纲一、考试对象参加专升本考试的各工科专业专科学生。
二、考试目的《高等数学（一）》课程考试旨在考核学生对本课程知识的掌握和运用能力，包括必要的高等数学基础知识和基本技能，一定的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力，比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力等。
三、考试的内容要求第一章 函数、极限与连续1. 函数（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。
（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
（3）理解复合函数及分段函数的概念，了解隐函数及反函数的概念。
（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2．数列与函数的极限（1）理解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念，了解极限的性质与极限存在的两个准则。
（2）掌握极限四则运算法则，会应用两个重要极限。
３．无穷小与无穷大（1）理解无穷小的概念，掌握无穷小的基本性质和比较方法。
（2）了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。
４．函数的连续性（1）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
（2）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。
第二章 导数与微分1．导数概念理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义。
2．函数的求导法则掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数、隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法，了解对数求导法。
3．高阶导数理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4．函数的微分理解微分的概念，掌握导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
第三章 微分中值定理与导数的应用1．微分中值定理理解罗尔定理和拉格朗日中值定理及其简单应用。
2．洛必达法则掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
高数专升本知识点目录总结
高数专升本知识点目录总结第一章：集合与函数1.1 集合的基本概念1.2 集合的运算1.3 函数的概念1.4 函数的性质1.5 反函数和复合函数第二章：极限与连续2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 极限的运算法则2.4 无穷大与无穷小2.5 连续的概念2.6 连续函数的运算法则第三章：导数与微分3.1 导数的定义3.2 导数的计算3.3 隐函数和参数方程的导数3.4 高阶导数和导数的应用3.5 微分的概念3.6 微分的近似计算第四章：不定积分4.1 不定积分的性质4.2 不定积分的基本公式4.3 特殊函数的不定积分4.4 不定积分的计算方法4.5 定积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的定义5.2 定积分的计算5.3 特殊函数的定积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 微分方程的解的存在唯一性6.3 一阶微分方程的解法6.4 高阶微分方程的解法6.5 微分方程的应用第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限7.2 偏导数7.3 全微分7.4 多元函数的极值7.5 条件极值第八章：重积分8.1 二重积分的概念8.2 二重积分的计算8.3 三重积分的概念8.4 三重积分的计算8.5 重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 曲线积分的概念9.2 第一型曲线积分9.3 第二型曲线积分9.4 曲面积分的概念9.5 曲面积分的计算第十章：无穷级数10.1 级数的概念10.2 收敛级数的性质10.3 收敛级数的判别法10.4 幂级数的收敛半径10.5 函数展开为幂级数第十一章：向量代数11.1 向量的基本概念11.2 向量的线性运算11.3 空间直角坐标系中的向量11.4 点、线、面的向量方程11.5 向量的数量积和向量积第十二章：空间解析几何12.1 空间直角坐标系中的点、直线、平面12.2 空间中的曲线和曲面12.3 空间中的曲线积分12.4 空间中的曲面积分12.5 空间中的曲率和法线方程以上的知识点目录总结包括了高数专升本课程的所有重要知识点，涵盖了集合与函数、极限与连续、导数与微分、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微分学、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数以及空间解析几何等内容。
黑龙江统招专升本高等数学第四章不定积分
黑龙江统招专升本高等数学第四章不定积分一、考试范围（1）不定积分的概念：原函数与不定积分的定义、原函数存在定理、不定积分的性质、不定积分几何意义（2）不定积分性质（2）基本积分公式（3）换元积分法：第一换元法（凑微分法）第二换元法（三角代换、简单根式代换）（4）分部积分法（5）一些简单有理函数的积分二、学习达到目标（1）理解原函数与不定积分概念及关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。
（2）熟练掌握不定积分的基本公式。
（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。
（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。
（5）会求简单有理函数的不定积分。
三、常用基础公式基本积分公式()()()()112,1113,ln 04,,1ln 5,u ux xx x kdx kx C k x x dx C u u dx x C x xa a dx C a o a ae dx e C+=+=+≠-+=+≠=+>≠=+⎰⎰⎰⎰⎰，为常数 22226,sin cos 7,cos sin 8,sec tan 9,csc cot 10,sec tan sec 11,csc cot csc 12,arcsin 1113,arctan 114tan ln cos 15,cot ln sin 16,sec xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C dx x Cx dx x Cx xdx x C xdx x C=-+=+=+=-+=+=-+=+-=++=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，()()()222222222222222ln sec tan 17csc ln csc cot ln tan 21118,arctan 1119,ln 220,arcsin 021,arcsin 02222,ln 0xdx x x C xxdx x x C C xdx C a x a a a xdx Ca x a a xxdx C a a a x a x x a x dx a x C a a dx x x a C a x a =++=-+=+=+++=+--=+>--=+-+>=+±+>±⎰⎰⎰⎰⎰，三、历年命题趋势研判2014 2015 2016 2017 2018 2019 平均分 题号选择题（13、14） 计算题（24）选择题（13、14） 计算题（24）选择题（12、13、14）计算题（24）选择题（12、13、14）计算题（24）选择题（7、13、14、15） 计算题（24）选择题（7、12、13、14、15）计算题（24）分值 18 18 22 22 263023命题趋势：这几年对不定积分的考察有所提升。
专接本 数学不定积分基本公式(很有用)
不定积分基本公式设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分。
记作∫f(x)dx。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
由定义可知：求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。
也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.由不定积分定义，若F'(x)=f(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C不定积分几何意义F(x)+C为无穷多条曲线，通常称为f(x)的积分曲线族。
由[F(x)+C]'=F'(x)=f(x)可知，在点x处，积分曲线族中每条曲线有相同的导数，按导数的几何意义，由相同的切线斜率，即切线平行，于是有：∫f(x)dx表示一族曲线，族中每条曲线在点x处有平行的切线.常见不定积分公式1）∫0dx=c2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;1. ∫adx = ax+C (a 为常数)2. ∫sin(x)dx = -cos(x)+C3. ∫cos(x)dx = sin(x)+C4. ∫tan(x)dx = -log e |cos(x)|+C = log e |sec(x)|+C5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C7. ∫sin 2(x)dx= 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2= 1 x - 1 sin(2x)+C 2 49. ∫cos 2(x)dx= 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2= 1 x + 1 sin(2x)+C 2 411.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C13.∫sin(ax)sin(bx)dx= sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)14.∫sin(ax)cos(bx)dx= - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)15.∫cos(ax)cos(bx)dx= sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C20.∫e x dx = e x +C21.∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x。
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第四章不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理．2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin)cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数．函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()kf x dx k f x dx =⎰⎰．5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰或()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰．（2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x dx F x C'=+⎰或()()dF x F x C=+⎰．二、基本积分公式1．kdx kx C=+⎰（k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰（1μ≠-）3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x Cx =++⎰5．arcsin dx x C=+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰7．sin cos xdx x C=-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x Cx ==+⎰⎰9．221csc cot sin dx xdx x Cx ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C=+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰12．xxe dx e C =+⎰13．ln xxa a dx C a=+⎰*14．tan ln cos xdx x C =-+⎰*15．cot ln sin xdx x C =+⎰*16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰*17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰*18．2211arctan xdx C a x a a=++⎰*19．2211ln 2x adx Cx a a x a -=+-+⎰*20．arcsinx dx C a=+⎰*21．ln(x C =++⎰*22．ln dx x C=+⎰说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dxd x b d ax b a=+=+（a ，b 均为常数且0a ≠）（2）11()1aa x dx d xb a +=++（a ，b 均为常数且1a ≠-）2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d =（3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+（4）()()xx x edx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xx x adx d a d a b a a==+（6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+（7）cos (sin )(sin )xdxd x d x b ==+（8）2sec (tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc(cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+（11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++（12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则1()[()]f x dx F x Cϕ-=+⎰．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形：（1sin x a t =；（2，可令tan xa t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()uu x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu=-⎰⎰．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）．（3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】【例4-1】计算下列不定积分．1．2x xedx ⎰．解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰．2．21xdx x +⎰．解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰．3．221(1)x x dx x x +++⎰．解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dxx x x x x x x x +++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰．解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x Cx ==+⎰⎰．5．1ln dx x x ⎰．解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解：2sec (sec tan )sec sec tan x x x dx xdx x xdx-=-⎰⎰⎰tan sec x x C =-+．7．2sin xdx ⎰．解：21cos 211sin cos 2222x xdx dx dx xdx-==-⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =-+．8．2cos xdx ⎰．解：21cos 211cos cos 2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =++．9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰．10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C=-=-=--+⎰⎰⎰⎰．11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰1(1)ln(1)1x xxdx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰．12．21825dx x x -+⎰．解：22211114825(4)99()13dx dx dxx x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰．解：原式2242sincos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++．14．cos3cos 2x xdx ⎰．解：111cos3cos 2(cos cos5)sin sin 52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰．【例4-2】计算下列不定积分．1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x xxe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰．3．ln x xdx ⎰．解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令lnx t =，则t x e =，t dx e dt =，故原式2222111()222tttt t te t e dt te dt td e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰2222221111ln ln 242424t t x x te e C x x x C x C =-+=⋅-+=-．4．arctan x xdx ⎰．解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰22222111arctan (1)221221x x x x dx x dx x x =-⋅=--++⎰⎰211arctan arctan 222x x x x C =-++．5．ln xdx ⎰．解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x Cx =-=-⋅=-+⎰⎰⎰．6．arctan xdx ⎰．解：2arctan arctan (arctan )arctan 1xxdx x x xd x x x dx x=-=-+⎰⎰⎰2221(1)1arctan arctan ln(1)212d x x x x x x C x +=-=-+++⎰．7．cos x e xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x xe d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xx e xdx e x x C =++⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x =-⋅⎰⎰sin(ln )x x =-1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C=-+⎰．说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt=⋅==-⎰⎰⎰sin cos ()sin cos (sin )t t t t t e t td e e t e t e t dt=-=-+-⎰⎰，故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t t e t e t C x x x x C =-+=-+．【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--，其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143(4ln 33ln 25632x dx dx x x Cx x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++，则22(1)()(21)x A x x Bx C x +=+++++，即22(2)(2)x A B x A B C x A C +=++++++，有20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dxx x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-++++++⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-+++．3．1x dx x⎰．解：为了去掉根号，可以设u =，于是21x u =+，2dx udu =，故222211222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C=-+=+．4．⎰．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln 1C =-+．【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰．解：对等式()arcsin xf x dx x C=+⎰两边对x求导，可得()xf x =则()f x =，故211()(1)()2dx x f x ==--⎰⎰⎰332222121()(1)(1)233x C x C =-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰．解：因为sin xx是()f x 的一个原函数，所以2sin cos sin ()()x x x xf x x x -'==且sin ()xf x dx C x=+⎰，故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x C x x-'==-=⋅+⎰⎰⎰cos sin sin 2sin cos x x x x xC x C x x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是（）（A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰（B ）()()df x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰（C ）()()F x dx f x '=⎰（D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）．2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（）（A ）2x C +（B ）ln x C +（C）C +（DC +解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x'=变为()f t '=，该式两边对x取不定积分得，()f t C ==⎰，即()f x C =+．选（C ）．3．（2006年，2分）若11()xxf x edx eC --=+⎰，则()f x =（）（A ）1x（B ）1x -（C ）21x（D ）21x-解：等式11()xxf x edx eC--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x ee x--=⋅，故21()f x x=．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（）（A ）tanln sin x x x c -+（B ）tanln sin x x x c++（C ）tan ln sin cos dx x x x-⎰（D ）tan ln sin cos dxx x x+⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan ln sin tan tan ln sin sin xx x xdx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰．解：由题意，()x f x e -=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰．三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x --=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x xdx C C x x x x x--=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分⎰．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰⎰x x C =-=-⎰．3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C=+⎰两边对x 求导，可得()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C-=-=-=-+⎰⎰⎰．4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan222x xd dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan 2xt =，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰⎰tan 2x C C ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎝⎭．四、应用题或综合题1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx Cx x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下．因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C Cx x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。