(专升本)第四章不定积分

第四章不定积分

【考试要求】

1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理．2．熟练掌握不定积分的基本公式．

3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．

4．熟练掌握不定积分的分部积分法．

【考试内容】

一、原函数与不定积分的概念

1．原函数的定义

如果在区间

I

上，可导函数

()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I

∈，都有

()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）

在区间I 上的原函数．

例如，因(sin

)cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．

2．原函数存在定理

如果函数

()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一

x I ∈都有()()F x f x '=．

简单地说就是，连续函数一定有原函数．

3．不定积分的定义

在区间I 上，函数

()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区

间I 上的不定积分，记作

()f x dx ⎰．其中记号⎰

称为积分号，

()f x 称为被积函数，

()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．

如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积

分，即

()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个

原函数．

函数

()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．

4．不定积分的性质

（1）设函数

()f x 及()g x 的原函数存在，则

[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．

（2）设函数

()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则

()()kf x dx k f x dx =⎰⎰．

5．不定积分与导数的关系

（1）由于

()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故

()()d f x dx f x dx ⎡

⎤=⎣

⎦⎰或

()()d f x dx f x dx

⎡⎤=⎣⎦

⎰．

（2）由于()F x 是()F x '的原函数，故

()()F x dx F x C

'=+⎰或

()()dF x F x C

=+⎰．

二、基本积分公式

1．

kdx kx C

=+⎰（k 是常数）

2．1

1

x x dx C μμ

μ+=++⎰（1μ≠-）

3．

1ln dx x C x =+⎰4．

21arctan 1dx x C

x =++⎰5

．arcsin dx x C

=+⎰

6．cos sin xdx x C =+⎰7．

sin cos xdx x C

=-+⎰8．2

21sec tan cos dx xdx x C

x ==+⎰⎰9．

2

21csc cot sin dx xdx x C

x ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C

=+⎰11．

csc cot csc x xdx x C =-+⎰12．x

x

e dx e C =+⎰

13．ln x

x

a a dx C a

=+⎰*

14．tan ln cos xdx x C =-+⎰*

15．cot ln sin xdx x C =+⎰

*

16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰

*

17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰

*

18．

22

11arctan x

dx C a x a a

=++⎰*

19．

2211ln 2x a

dx C

x a a x a -=+-+⎰

*

20

．

arcsin

x dx C a

=+⎰*

21

．

ln(x C =++⎰*

22

．

ln dx x C

=+⎰

说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．

三、第一类换元法（凑微分法）

1．定理

若

()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则

[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．

2．常用凑微分公式

（1）1

()()dx

d x b d ax b a

=+=

+（a ，b 均为常数且0a ≠）

（2）11

()

1

a

a x dx d x

b a +=++（a ，b 均为常数且1a ≠-）

22

11()()22xdx d x d x b ==+

2dx d =（3）1

(ln )(ln )

dx d x d x b x

==+（4）()()x

x x e

dx d e d e b ==+（5）11()()ln ln x

x x a

dx d a d a b a a

=

=+（6）sin (cos )(cos )

xdx d x d x b =-=-+（7）cos (sin )(sin )

xdx

d x d x b ==+