偏微分方程期末考试试题(06)

黑龙江科技学院考试试题

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110适用专业（班级）：数学 命题人：潘晓丽

教研室主任：

、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点

2

2

U

2

U

一、（10分）求一维波动方程

t 2

x 2

，t 0

的通解

x

u x,0 x , u t x,0

三、（15

分）

写出达朗贝尔公式并利用公式求解

u tt a 2

u xx , t 0,

x

u x,0 sinx U t x,0 cosx

四、（10分）计算积分 x 3

J 2 x dx . 五、（15分）设m 1,n

1，证明

六、（15分）用分离变量法求解

2

u tt a U xx 0, 0 x l,t 0

u x,0 0,u t x,0 x u 0,t 0,u l,t 0

八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理.

黑龙江科技学院考试试题答案

七、（10分）解固有值问题

y'' y 0, y' l y' l

第一套 共1页 第1页

n 1

0x m

p n xdx

1

m 1 , m 0 x p n 1 x dx

2

一、解：波动方程：一a2u f t,x

t -

热传导方程：汁a2 u f t,x

位势方程：u f x (5)

其中x X j，x2,L ,x n，a为常数，f t，x及f x为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数u是时间变量t和空间坐标变量x x1,x2,L ,x n的函数，在位势方程中，未知函数u是空间坐标变量x 为必,L ,人的函数，而与时间t无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。 (15)

二、解：首先判别方程的类型，

a20 ............. 2 分

即此方程在整个全平面上都是双曲型的。

特征方程为：dx $ a2 dt $ 0

2 2 2

dx a dt 0 dx madt 0

x at 特征曲线为G

x at C2

做变量替换，令

x at

x at 由链式法则得u 0

通解u f g f x at g x at ....................... .10 ................................ 分

1 1 x at

.5分、解：u x,t x at x at — d

2 2a x at

1 . 1 x at

u x,t sin x at sin x at cos d

2 2a x at

sin x cosat sin x at

2a

1

sin xcosat cosxsin

at

a sin x at .10分

.15分

四、解：由分部积分法及微分关系x v J v x v J v 1，有

x3J 2x dx x4x 1J 2 dx x4 x 1J 1 4 x31J 1 dx

x3 4 x2J 1dx x3J 1 4 x2 J

'0dx

.5分x3J14X2J08 xJ0dx .8分

8x J14X2J0 x .10分

五、证明：

1

m

n x P n x

0 dx

1 m

x

xp P'n 1x dx .5

分

P n m

x P n

m

x dx x p n 1x

1

1

0 0mx

m 1

P n 1

x dx .10分

1

m 0x P n x dx m 1

P n 1 x dx .15分

移项有1

x m p n x dx

n

P n dx

六、解: 设u

x,t

xT

代入方程组得解固有值问题

X

a2T

..3

分

T n

n 2

n [厂]n

[―]2代入T

l

C n cos^^t

l

1,2,

3

a2T

Dn^ a t

X n x sin

l

..9

分

所以u n x,t [C n cos^-^t D n sinin>x 叠加得原解..6分

1 n 12l 2

-2~2 n a

..13

分

y x A cos x Bsi n x ..... .3 分

将此式代入边界条件, 并消去公因子

，得

Asi n l Bcos l 0

(1)

Asi n l Bcos l 0

为使A,B 不全为0，必须系数行列式

sin l sin l cos l cos l

si n2 1 0

故

n

n 2l ,

2 n

n

2

n

2l

,n 1,2丄…… ….7分

u

x,t

U n x,t

n 1

[C n

n 1

n a cos t l

n a n

D n sin t]sin ——x

l l 代入初值条件u x,0

U n n 1

x,0

C n

sin

^x 0 2l

得系数

U t x,0

D n sin 牛 x

C n 0

所以得原问题的解 1n12l 2 u x,t 厂

n a sinn a

ts in — x n 1 l l .2分 -刘方程，其中k x 1,q x 0, x 1，又题中两端边界条 件都是第二类，故 0,而且有零固有值

0，相应固有函数为y X 1。

当

0时，设 2

0，方程的通解为

七、解：题中方程是斯 D n 丄 n a 2 1

.

xsi n