1980-2005年上海市高中数学竞赛试题(含答案)
2005全国高中数学联赛试题及答案[1]
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2005年高中数学联赛试卷（一）一、选择题1. 使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是（ ） A.36-B.3C.36+D.62. 空间四点A 、B 、C 、D ，满足3||=、4||=BC 、11||=、9||=，则⋅的取值（ ）A. 只有一个B. 有两个C. 有四个D. 有无穷多个 3. △ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线交此圆于A 1、B 1、C 1三点，则CB A CCC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，ABCD －A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A. S 是定值，l 不是定值B. S 不是定值，l 是定值C. S 、l 均是定值D. S 、l 均不是定值5. 方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ） A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线6. 记集合}6,5,4,3,2,1,0{=T ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（ ） A.43273767575+++ B. 43272767575+++ C. 43274707171+++ D. 43273707171+++二、填空题7. 将多项式2019321)(xx x x x x f +-+-+-= 表示为关于y 的多项式=)(y g202019192210y a y a y a y a a +++++ ，且4-=x y ，则2010a a a +++ =__________。
上海数学奥赛试题及答案
上海数学奥赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(x)等于：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. x^3 - 3xD. 3x^2 + 1答案：A2. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的点积为：A. 10B. 8C. 7D. 6答案：B3. 计算极限lim(x→0) [sin(x) / x]的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，那么A∩B等于：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 4}答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 若函数g(x) = 2x^2 + 3x - 5，求g(-1)的值为______。
答案：-96. 已知等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求该数列的第10项。
答案：237. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值为______。
答案：1/38. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式值。
答案：-2三、解答题（每题10分，共60分）9. 证明：若a, b, c是实数，且满足a^2 + b^2 + c^2 = 1，则(a +b + c)^2 ≤ 3。
证明：由于(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) ≤ a^2 + b^2 + c^2 + 2(a^2 + b^2 + c^2) = 3(a^2 + b^2 + c^2)= 3，所以(a + b + c)^2 ≤ 3。
10. 解方程：x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0。
解：x = 111. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的极值。
解：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)，令f'(x) = 0，得x = 1, 3。
上海市高中数学竞赛试题及参考答案
上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,,a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：（1）43xy yz zx ++≥； （2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．上海市高中数学竞赛答案1、42、923、114、(){},04-∞526、()()3,0,2,27、258、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=， 故 ()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥解得（结合1x >）11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证 （1）记t =)33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分） （2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ），故3A >． 又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分） （2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+=． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}1122,21n n B A++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21nn n n n B A=----，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-，所以{}21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=-，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
1 1 0 4 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
D．
1 1 0 3 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
ak p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ，得
M = a1 73 + a2 72 + a3 7 + a4 | ai T , i = 1,2,3,4 = a1a2 a3a4 7 | ai T , i = 1,2,3,4 ．
DA2 = DA = AB + BC + CD
2
(
)
2
= AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2 AB BC + BC CD + CD AB
(
)
= AB 2 − BC 2 + CD 2 + 2 BC + AB BC + BC CD + CD AB
(
2
)
= AB2 − BC 2 + CD2 + 2 AB + BC BC + CD ，即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 − AB 2 − CD 2 = 0, AC BD 只有
(sin 2 − sin 3) − (cos 2 − cos 3) = 2 2 sin −
2
2− 3 2 + 3 3 3 2+ 3 2− 3 0， ， + ． 0 ，∴ sin 2 2 2 4 4 2 4 2 2+ 3 + ) 0 ，∴ ()式 0. 2 4
5 +1 ． 6 解：由题设知， f ( x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 − x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：
上海中考数学竞赛试题及答案
上海中考数学竞赛试题及答案试题一：代数基础1. 已知\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个实数根，求\( a^2 + b^2 \)的值。
2. 若\( x \)满足\( |x - 3| + |x - 5| = 4 \)，求\( x \)的取值范围。
试题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，若AB=13，AC=5，求BC的长度。
2. 圆O的半径为10，点P在圆上，PA=8，PA与圆O的切线垂直，求点P到圆心O的距离。
试题三：函数与方程1. 已知函数\( y = 2x^2 - 3x + 1 \)，求该函数的顶点坐标。
2. 若\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
试题四：概率与统计1. 一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。
2. 某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
随机选择2名学生，求选出的两名学生都是女生的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5本书，其中3本数学书，2本语文书，将它们排成一排，求数学书和语文书不相邻的排列方式有多少种。
2. 一个班级有10名学生，需要选出3名学生参加数学竞赛，求选出的3名学生中至少有1名男生的选法有多少种。
答案：试题一：1. 根据韦达定理，\( a + b = 5 \)，\( ab = 6 \)，因此\( a^2 +b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 12 = 13 \)。
2. 根据绝对值的性质，\( x \)的取值范围是[3,5]。
试题二：1. 根据勾股定理，\( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 -5^2} = 12 \)。
2. 由于PA与圆O的切线垂直，根据切线性质，PA是切线，所以点P到圆心O的距离等于半径，即10。
试题三：1. 函数的顶点坐标为\( (-\frac{-3}{2 \times 2}, \frac{4ac -b^2}{4a}) = ( \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}) \)。
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
2005年高考理科数学（上海卷）试题及答案
2005年高考理科数学上海卷试题及答案源头学子小屋一、填空题（41248´=） 1.函数()()4log 1f x x =+的反函数()1fx -=________________2.方程4220xx+-=的解是___________________ 3.直角坐标平面xOy 中，若定点()1,2A 与动点(),P x y 满足4O P O A ×=，则点P 的轨迹方程是______________4.在()10x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =______________5.若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是()10,0，则双曲线的方程是____6.将参数方程12cos 2sin x y q q=+ìí=î（q 为参数）化为普通方程，所得方程是______7.计算：1132lim32n nnn n ++®¥-=+______________8.某班有50名学生，其15人选修A 课程，另外35人选修B 课程从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是____________（结果用分数表示）（结果用分数表示）9.在A B C D 中，若120A Ð= ，5A B =，7B C =，则A B C D 的面积S=_________10.函数()[]sin 2sin 0,2f x x x x p =+Î的图像与直线y k =又且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________ 11.有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a ()0a >用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的一个是四棱柱，全面积最小的一个是四棱柱，则则a 的取值范围是_______12.用n 个不同的实数12,,,n a a a 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵对第i 行12,,,i i in a a a ，记()123231n i i i i in b a a a na =-+-++- ()1,2,3,,!i n = 例如：用1，2，3可得数阵如下，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，1261221231224b b b +++=-+´-´=- 那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12120b b b +++= ___________________ 二、选择题（4416´=）13.若函数()121xf x =+，则该函数在(),-¥+¥上是上是 (A)单调递减无最小值单调递减无最小值 (B)单调递减有最小值单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值单调递增无最大值 (D)单调递增有最大值单调递增有最大值14.已知集合{}12,M x x x R =-£Î，51,1P xx Z x ìü=³Îíý+îþ，则M P 等于等于 (A){}03,x x x Z <£Î (B){}03,x x x Z ££Î (C){}10,x x x Z -££Î (D){}10,x x x Z -£<Î4a 5a3a2a4a 5a3a2a123132213231312321æöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èø15.过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线，则这样的直线 (A)又且仅有一条又且仅有一条 (B)有且仅有两条有且仅有两条 (C)有无穷多条有无穷多条 (D)不存在不存在 16.设定义域为为R 的函数()lg 1,10,1x x f x x ì-¹ï=í=ïî，则关于x 的方程()()20fx bf x c ++=有7个不同的实数解得充要条件是个不同的实数解得充要条件是(A)0b <且0c > (B)0b >且0c < (C)0b <且0c = (D)0b ³且0c =三、解答题三、解答题17.已知直四棱柱1111C A B CD D A B C D -中，12A A =，底面A B C D 是直角梯形，90A Ð= ，//A B C D ，4A B =，2A D =，1D C =，求异面直线1B C 与D C 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）三角函数表示）18.证明：在复数范围内，方程()()255112i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解19.点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右焦点，点F 是椭圆的右焦点点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A P F ^ （1）求P 点的坐标；点的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于M B ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值FAPB M oyxD 1C 1B 1A 1D CBA20.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到那一年底，那么，到那一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分对定义域是f D .g D 的函数)(x f y =.)(x g y =，规定：函数ïîïíìÎÏÏÎÎÎ=gf g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式；的解析式； （2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；的值域；（3）若)()(a +=x f x g ，其中a 是常数，且[]p a ,0Î，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个a 的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明22.在直角坐标平面中，已知点()11,2P ，()222,2P ，()333,2P ，(),,2nn P n ，其中n 是正整数对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，, n A 为1n A -关于点n P 的对称点（1）求向量02A A的坐标；的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像，其中()f x 是以3位周期的周期函数，且当(]0,3x Î时，()lg f x x =求以曲线C 为图像的函数在(]1,4上的解析式；解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标学卷315121551317HD 1C 1B 1D C在△ABC 1中,cos∠C 1BA =17173,∴∠C 1BA =a r c cos17173异面直线BC 1与DC 所成角的大小为a r c cos17173另解另解::如图如图,,以D 为坐标原点为坐标原点,,分别以DA 、DC 、DD 1所在所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.. 则C 1(0,1,2),B (2,4,0), ∴1BC =(=(－－2,2,－－3,2),CD =(0,=(0,－－1,0),1,0),设设1BC 与CD 所成的角为θ,则cos θ=CDBC CD BC ××11=17173,θ= a r c cos17173.异面直线BC 1与DC 所成角的大小为a r c cos 1717318. [18. [解解] ] 原方程化简为原方程化简为i i z z z-=++1)(2,设设z =x +yi (x 、y ∈R),代入上述方程得∈R),代入上述方程得 x 22+y 22+2xi =1=1－－i ,∴∴x 22+y 22=1且2x =－1,1,解得解得x =－21且y =±23,∴原方程的解是∴原方程的解是z =－21±23i .19. [19. [解解]（1）由已知可得点A (－6,0),F (0,4) 设点设点P (x ,y ),),则则AP ={x +6,y },FP ={x －4,y },由已知可得由已知可得 22213620(6)(4)0x y x x y ì+=ïíï+-+=î则则2x 22+9x －18=0,18=0,解得解得x =23或x =－6.由于由于y >0,>0,只能只能x =23,于是y =235.∴点∴点P 的坐标是的坐标是((23,235)(2) (2) 直线直线AP 的方程是x －3y +6=0.D 1C 1B 1A1DCBAxzy6+m 6+m 915)=1x =1+11x +2,=4p+4p)+cos2(+4p)=cos2)=1+2sin2=2p,)= 1+2sin2()=1－－2sin2)= (1+2sin2)( 1－－2sin2∴∴20A A ={2,4}. (2) ∵(2) ∵20A A ={2,4},∴f (x )的图象由曲线C 向右平移2个单位个单位,,再向上平移4个单位得到个单位得到. .因此因此, , , 曲线曲线C 是函数y =g (x )的图象的图象,,其中g (x )是以3为周期的周期函数为周期的周期函数,,且当x ∈(－∈(－2,1]2,1]时,g (x )=lg(x +2)+2)－－4.4.于是于是于是,,当x ∈(1,4]时∈(1,4]时,,g (x )=lg(x －1)1)－－4. 另解设点A 0(x ,y ), A 2(x 2,y 2),),于是于是x 2－x =2,y 2－y =4,若3< x 2≤6,则0< x 2－3≤3,于是f (x 2)=f (x 2－3)=lg(x 2－3). 当1< x ≤4时, , 则则3< x 2≤6,y +4=lg(x －1). ∴当x ∈(∈(1,4]1,4]1,4]时时,g (x )=lg(x －1)1)－－4. (3)n A A 0 =n n A A A A A A 24220-+++ , 由于k k k k P P A A 2122222--=,得n A A 0 =2(nn P P P P P P 14321-+++ ) =2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n －1})=2{2n ,3)12(2-n}={n ,3)12(4-n}。
2005年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题与解答
2005年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题与解答
佚名
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2005(000)008
【摘要】一年一度的上海市TI杯高二年级数学竞赛于2005年5月28日再次拉
开序幕，这是全国惟一允许使用计算器的赛事．计算器型号不限，包括可以编写程序的、拥有计算机代数操作系统（CAS）的图形计算器,竞赛分个人赛和团体赛，
每个参赛学校指派3名学生参加团体赛，参赛学生允许对试题讨论、分工和合作,
他们的个人赛成绩与团体赛得分的总和为学校团体总分．本刊2002年第3期曾经报道了上海市（首届）TI杯高二年级数学竞赛，2003年5月因非典原因停办一次，今年举办的是第三届．计算器的熟练使用已成为此赛事关注的热点之一,现刊登本
次大赛的试题和解答，以飨读者.
【总页数】4页(P40-43)
【正文语种】中文
【中图分类】G632.479
【相关文献】
1.2017年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J],
2.2016年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J], 熊斌;顾鸿达;李大元;黄华;忻重义
3.2015年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J],
4.2005年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J], 顾鸿达; 李大元; 邱万作; 熊斌; 忻重
义
5.2017年上海市TI杯高二年级数学竞赛 [J],
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上海市高中数学竞赛初赛试题
11．C
【解析】
【详解】
解：∵x=1，∴ ， .①
∵ ，∴ ， ②
∵ ，∴ ，
即 .
∴ ③
由①、②可得：a-c=0，∴a=c.
∴ .
∴b=2c-4.（这里b=-2c不合）
代入①、②可得： ， ，∴ .故选C..
12．B
【解析】
【详解】
解一：由题设可知：
即 由反三角函数图第三象限内的点时，实数x的取值范围是
A． B． C． D． .
13．一个等比数列 的首项 ，它的前11项的几何平均数为 ，若前11项中抽去一项后的几何平均数为 ，则抽去的项是
A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项
14． 和 两者大小关系是（其中e是自然对数的底，π是圆周率）
A．
B．
C．
D．不能确定它们大小关系。
15．A，B，C，D是空间不共面的四点，它们到平面a的距离之比依次为1：1：1：2，则满足条件的平面a的个数是：
A．1B．4C．7D．8.
二、填空题
16．已知A，B，M，N为非空集， ，M={A的真子集}，N={B的真子集}，那么 ______.
17．已知函数 .那么它的值域是____
6．已知函数 对任意实数x都有意义，又直线 的倾角为θ，则θ的值等于
A．
B．
C．
D．
7．已知三个实数 其中0.9<a<1，这三个数的大小关系是
A． B． C． D．
8．设a为正数，而 ， ，是 平面内的点集，则 的一个充分必要条件是
A．a=2B． C． D．
9．若极坐标方程 是一圆锥曲线，则它的焦点到其相应准线的距离是
A． B． C．1D．2
高中数学历届全国高中数学联赛一试解析版
19 1999 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 97
20 2000 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 102
21 2001 年全国高数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 107
和 AB′ 相交的直线有 4 条，共面 (相交或平行)
C. 24
的直线有 2 条，与其异面的直线有 5 条：
CD′, DA′, BC′, BD, A′C′.
于是异面直线的对数为 12 ·5 2
= 30. 所以选
A.
D. 48
6. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N . M 是由 y ⩾ 0, y ⩽ x 和 y ⩽ 2 − x 这三个
7 1987 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 33
8 1988 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 37
9 1989 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 42
解答
S△ABC =
1 2 ab
sin C
⇒ C1 =Biblioteka C2 或C1 = π
− C2，于是甲
⇏
乙，乙
⇒
甲.
甲是乙的必要条件，所以选 B.
2. 条件甲：√1 + sin θ = a；条件乙：sin θ + cos θ = a. 则
2
2
()
A. 甲是乙的充分必要条件
B. 甲是乙的必要条件
C. 甲是乙的充分条件
上海高一高中数学竞赛题目
上海高一高中数学竞赛题目第一题：函数的性质及运算1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 2，求函数 f(x) 的单调递增区间和单调递减区间。
解析：为了确定函数 f(x) 的单调性，我们需要求出 f'(x) 的符号。
首先求出 f'(x)，然后我们将 f'(x) = 0 的解代入 f(x)，再根据求出的f'(x) 的符号表，确定 f(x) 的单调性。
计算 f'(x) 得到 f'(x) = 3x^2 - 3。
令 f'(x) = 0，解得 x = 1 或 x = -1。
将 x = -1 代入 f(x)，得到 f(-1) = -2，将 x = 1 代入 f(x)，得到 f(1) = 0。
因此，我们得到以下符号表：x | -∞ | -1 | 1 | +∞f'(x) | - | + | - | +根据符号表，我们可以得出以下结论：1. 当 x < -1 时，f'(x) < 0，即 f(x) 在 (-∞, -1) 区间是单调递减的。
2. 当 -1 < x < 1 时，f'(x) > 0，即 f(x) 在 (-1, 1) 区间是单调递增的。
3. 当 x > 1 时，f'(x) < 0，即 f(x) 在(1, +∞) 区间是单调递减的。
综上所述，函数 f(x) 的单调递增区间为 ( -1, 1 )，单调递减区间为( -∞, -1 ) 和( 1, +∞ )。
第二题：二次函数与一元二次方程2. 已知二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图像经过点 P (1, 2) 和 Q (-1, 6)，且在 x = 2 处的切线与 x 轴平行。
求函数 f(x) 的解析式。
解析：由题意可知，点 P (1, 2) 和 Q (-1, 6) 在二次函数的图像上，并且在 x = 2 处的切线与 x 轴平行。
上海市历届高中数学竞赛(新知杯)试卷及答案(1980-2012)
【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分 60 分，前 4 题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分）
1．如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1，它的 6 条对角线又围成一个正六边
形 A2B2C2D2E2F2 ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是
.
6.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A(3, a) ， B (3, b) 使 ∠AOB = 450 ，其中 a 、b 均为整数，且
a > b ，则满足条件的数对 (a,b) 共有
组.
( ) 7.已知圆 C 的方程为 x2 + y2 − 4x − 2 y +1 = 0（圆心为 C ），直线 y = tan100 x + 2 与圆 C 交于 A 、B
2
22
解得（结合 x > 1 ）
1< x ≤ 2 +1．
综上所述， h(x) = x2 −1 ，1 < x ≤ 2 +1 ． 2x
…………………（14 分）
10．解 f (x) = (a + sin x)(4 + sin x) = 1+ sin x + 3(a −1) + a + 2 ．
1+ sin x
6
5
= − 17 ，则 tan (α + β + γ ) =
．
5
4．已知关于 x 的方程 lg (kx) = 2 lg ( x +1) 仅有一个实数解，则实数 k 的取值
范围是
．
5．如图， ΔAEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形，已知 ∠AEF = 90° ，
上海市高中数学竞赛试卷及答案
2005年上海市高中数学竞赛试卷（2005年3月27日 星期日 上午8：30～10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分） 1．计算：0!1!2!100!i +i +i ++i = 95+2i ．（i 表示虚数单位）2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin 8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合是279,,,,3321010πππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（用列举法表示） 3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是 1122i + ．4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ，2CF =cm ，则线段EF．5．若关于x 的方程4(3)250x xa ++⋅+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为8.25,3⎡---⎣ ．6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为17943125． 7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n ，()f n的表达式 2322n n +- ．8．实数x 、y 、z 满足0x y z ++=，且2221x y z ++=，记m 为2x 、2y 、2z 中最大者，则m 的最小值为12． i x 1A B FD E二、（本题满分14分）设()f x =a 的值：至少有一个正数b ，使()f x 的定义域和值域相同．解：若a ＝0，则对每个正数b，()f x =[)0,+∞，故a ＝0满足条件若a ＞0，则对每个正数b，()f x =D ＝{}[)20,0,b x a x bx a⎛⎤+≥=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x =A [)0,⊆+∞故D ≠A ，即a ＞0不合条件 若a ＜0，则对每个正数b，()f x =D ＝0,b a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，由于此时()max 2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()f x =⎡⎢⎣所以，04a b a a a <⎧⎪-=⇔⇔=-⎨=-⎪⎩综合所述，a 的值为0或－4三、（本题满分14分）已知双曲线22221x y a b-=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2b ac =．,P Q 是双曲线上任意两点，M为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ⋅的值．解：∵M 是PQ 的中点，设M （x 0，y 0），P （x 0＋α，y 0＋β－），Q （x 0－α，y 0－β） 于是00,OM PQ y k k x βα== ∵P 、Q 都在双曲线上，所以()()()()2222220022222200220020220440OM PQb x a y a b b x a y a b b x a y y b ac ck k x a a aαβαβαββα+-+=---=-=∴⋅====相减得： 又由)222212c a bc a b ac⎧=+⎪⇒=⎨=⎪⎩舍负根∴12OM PQ k k ⋅=四、（本题满分16分）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭N 的元素个数． 解：由()2212111002200520052005k k k k ++-=≤≤，解得即当()()2222111,2,3,,100212005200520052005k k k k k ⎡⎤⎡⎤++⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦时或22210021500,0,1,2,,1002,0,1,,500200520052005k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦当时能取遍()()222222222211003,1004,,2004,1,2005200511003100420041,,,,2005200520052005200520041002100210031002501,200520052k k k k k k n n +=->⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=另外,当时由于故即各不相同，这些数有个注意到＝就知集合,12004,50110021503005k k N ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭共有＋＝个元素.五、（本题满分16分）数列{}n f的通项公式为n nn f ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n ∈+Z ． 记1212C +C +C nn n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．解：记αβ==则()()()()1000S11n ni i i i i in n ni in nn ni i i in ni in nC CC Cαβαβαβαβ=====--⎫⎤=-=+-+⎪⎦⎭⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦∑∑注意到3553,12222+=⋅=，可得()1121S3S Sn n n n nn n++++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+--⎢⎥⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭=-*因此，S n+2除以8的余数，完全由S n+1、S n除以8的余数确定11211122122,3S C f S C f C f==+=，故由(*)式可以算出{}n S各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而83nS n⇔故当且仅当38nn S时，。