小学奥数-比和比例(教师版)

比和比例

【例1】★已知3 :（x -1）=7:9，求x . 【解析】7

64=x 【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。

【解析】原有40人，男生有40×3÷5=24人，女生40-24=16人，

现在男女人数之比24:20=6:5

【例2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是7:3，那么甲与乙的面积之比是多少？

【解析】长+宽相等。甲的长:宽=6:4，乙的长:宽=7:3.

所以甲乙的面积比为(64):(73)8:7⨯⨯=

【例3】★★两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？

【解析】两个瓶子体积相同。第一个瓶子酒精:水=3:1=15:5，第二个瓶子酒精:水=4:1=16:4，于是混合后酒精:水=(15+16):(5+4)=31:9

【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5.如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个。问:水果店运来的西瓜有多少个？

【解析】卖的瓜的总数比为西瓜:白兰瓜=5:4=25:20,原有西瓜:白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36个,每份12个，所以原有西瓜28×12=336个。

【例4】★★商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1，甲种糖果每千克6元，乙种每千克2元。如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？

【解析】费用比2:1，单价比3:1，重量比21

2331=：：，平均价格为6223 3.623

⨯+⨯=+(元/千克) 【例5】★★甲乙二人共加工零件400个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用15分钟。完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？

【解析】工效之比15:9=5:3，甲比乙多加工5340010053-⨯=+（个）

【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲?

【解析】甲乙速度之比3:4，设乙x 分追上甲，则甲用(5+x )分，3(5+x )=4x ，x =15

【例6】★★甲走的路比乙多31，乙用的时间却比甲多4

1，则甲乙两人的速度比是多少? 【解析】甲乙路程之比是4:3，甲乙时间之比是4:5，所以甲乙速度之比是5:3

【例7】★★从A 地到B 地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是4:5，如果甲、乙两人同时分别从A 、B 两地相对骑出，40分钟相遇。相遇后继续前进，乙到达A 地比甲到达B 地晚多少分钟？

【解析】甲速:乙速=5:4.所以相遇时,甲与乙所行路程之比为5:4。

相遇后,甲还要行40(45)40325⨯+-=分,乙还要行40(45)4050

4⨯+-=分

所以乙到达A 比甲到达B 晚18分钟。

【小试牛刀】甲乙两列车分别从A 、B 两站同时相向开出，已知甲车速度与乙车速度之比为3:2，C 站在A,、B 之间。甲、乙两列车到达C 站的时间分别是上午5点和下午3点。问:甲、乙两车在几点相遇？

【解析】甲行驶到C 点时乙行驶到D 点，从D 到C ，乙行驶了12+3-5=10小时

甲乙在CD 中某点E 相遇，路程比为3:2，共5份，乙行5份用了10小时,所以乙相遇用了21045⨯=小时，所以在上午（5+4=）9点相遇

【例8】★★快、慢两列车的长分别是150米，200米，它们相向行驶在平行轨道上，如果坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少秒？

【解析】设慢车驶过快车窗口所用的时间是x 秒。两车相对速度一样，路程与时间成正比， 所以有150:200=6: x ，解得x =8

【小试牛刀】有甲、乙两辆汽车，在机场与售票处之间往返行驶。甲车去时速度为60千米/小时，回来时速度为40千米/小时。乙车往、返的速度都是50千米/小时。那么，甲、乙两车往返一次所需的时间之比是多少？

解:设机场到售票处的距离为1,两车所需时间之比为24:25)250

1(:)401601(=⨯+ 【例9】★★★一段公路分为上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比是1:2:3. 某人走各段路程所用的时间之比是4:5:6，已知他上坡的速度为每小时3千米，路程全长50千米，那么此人走完全程用了多少时间？ 【解析】上坡路程为125501233⨯=++千米，上坡时间为2525339

÷=小时，全程时间为12

510154925=÷小时 【小试牛刀】如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？

【解析】用甲齿、乙齿、丙齿代表三个齿轮的齿数．甲乙丙三个齿轮转数比为

5∶7∶2，根据齿数与转数成反比例的关系．

甲齿∶乙齿=7∶5=14∶10，

乙齿∶丙齿=2∶7=10∶35，所以

甲齿∶乙齿∶丙齿=14∶10∶35

由于14，10，35三个数互质，且齿数需是自然数，

所以甲、乙、丙三个齿轮齿数最少应分别是14，10，35

【例10】★★★某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是:大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5:6，小客车与小轿车之比是4:11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天三种车辆通过的数量。

【解析】大客车:小客车:小轿车=10:12:33

以10辆大客车，12辆小轿车，33辆小轿车为一组，每组中小轿车的通行费比大客车多

3010303310=⨯-⨯（元）

，所以这天通过的车辆共有730210=÷组 大客车 70710=⨯（辆） 小客车 84712=⨯（辆） 小轿车 231733=⨯（辆）

【例11】★★★某供销公司将1200吨化肥售给甲、乙、丙三个乡使用，若甲乡分售的是乙乡的126倍，乙乡分售的是丙乡的1

15

倍，则甲、乙、丙三个乡分别得多少吨化肥? 【解析】甲:乙:丙=111213:6:5655

⨯=1：1：1，于是有13+6+5=24份，每份1200÷24=50吨，于是甲分得13×50=650吨，乙6×50=300吨，丙5×50=250吨。

1． 一个长方体，长与宽的比为2:1，宽与高的比为3:2，则长与高的比为

【解析】3:1

2． 一个长方形与一个正方形的周长之比为6:5，长方形的长是宽的215

倍，则这个长方形与正方形的面积之比为是多少？

【解析】长方形长:宽=7:5，正方形边长为5(75)562

+⨯=，面积比为(57):(55)7:5⨯⨯= 3． 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现有1825个零件需要加工。如果规定三人用同样的时间完成任务，那么，甲、乙、丙应分别加工多少个零件？

【解析】甲:乙:丙=111::28:24:213 3.54

=，28＋24＋21=73 甲加工700个,乙加工600个,丙加工525个

4． 一班和二班人数之比为8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数之比为4:5。求原来一班的人数。

【解析】原来，一班:二班=8:7=24:21

现在，一班:二班=4:5=20:25

一班减少24-20=4份，8人，可见1份为2人，于是原来一班有2×24=48人。

也可以用方程解决。

5． 甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只.问:最后三人各分到多少只贝壳?

【解析】甲:乙=5:4，乙:丙=5:6，于是甲:乙:丙=25:20:24，所以甲50，乙40，丙48

6． 甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲所付钱数的21，等于乙所付钱数的3

1，等于丙所付钱数的7

3.已知丙比甲多付了120元，那么这台电视机多少钱? 【解析】由题意，甲:乙=112332=：：，甲:丙=31

6772

=：：，于是甲:乙:丙=6:9:7

所以，电视机 264079667120=++-÷(元) 7. 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是3∶4∶5。已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程用多少时间？