二阶微分不具有形式不变性

二阶微分不具有形式不变性
设中间变量u=u(x)，函数y=y(x)=y(u(x))，x为自变量。

如果求导时符号没有下标，也就是没有写明对哪个
变量求导，那么默认就是对自变量求导。

在求一阶微分的时候，我们通常是先求导，再乘上x
的改变量：
此时y对x的导数可以写作，也就是y的改变量的
近似值除以自变量x的改变量。

这个规则对中间变量u仍然成立，即
所以y对u的导数可以写作，我们称一阶微分具有
形式不变性。

在求二阶微分的时候，求d2y也可以先对x求二阶导数，再乘上x的改变量的平方：
此时y对x的二阶导数可以写作，也就是“y的
改变量的近似值”的改变量的近似值除以自变量x的
改变量的平方。

但是这里要求x必须为自变量，因为我们规定了
d(d x)=0，也就是d x是与x无关的常数。

如果u(x)为函数，那么d2u≠0，于是
因此y对u的二阶导数不能写作，求d2y时也必须同时求出y对u的二阶导数和一阶导数，分别与(d u)2和d2u相乘，然后相加。

二阶微分不具有形式不变性！（更高阶微分或偏微分的情况，请参阅英文维基百科Differential of a function条目下面的Higher-order differentials一节内容）
例如，若u=x2+1，y=2u2，则
(1) y=2(x2+1)2=2x4+4x2+2
(2) d y=(8x3+8x)d x
(3) dy=4u d u
(4) d2y=(24x2+8)(d x)2
(5) d2y≠4(d u)2
（因为u是函数，所以d2u≠0）
(6) d2y=4(d u)2+4u d2u
(7) d u=2x d x
(8) d2u=2(d x)2
（因为x是自变量，所以d2x=0）
如果要用微分的形式表示，那么应该写成或。