§4.5 Lebesgue可积函数的逼近

并且
113
∫
b a
f − g dx ≤ ∫
1
( A−U )∪(U − A )
I A − IU dx = m( A −U ) + m(U − A) < ε.
1
■
定理 4 设 f ∈ L(R ). 则对任意 ε > 0, 存在 R 上的一个具有紧支集的阶梯函数 g , 使得
∫
R1
f − g dx < ε .
零. 则 g 是为 R 上的具有紧支集的阶梯函数. 我们得到
∫
R1
f − g dx ≤ ∫
R1
f − ϕ dx + ∫ 1 ϕ − g dx
R k
= m( A) − m( Ak0 ) + ∫ ϕ − g dx < + = ε . −k 2 2
ε
ε
■
下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子. 例 1 (Riemann-Lebesgue 引理)设 f ∈ L[a, b]. 则
§4.5 Lebesgue 可积函数的逼近
教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题. 本节要证明几个关于积分的 逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 教学要点 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 因此 L 可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法.
n n
上具有紧支集的连续函数 g , 使得
∫
E
f − g dx < ε .
证明 设 f ∈ L( E ). 先设设 f = I A 是特征函数,其中 A ⊂ E 并且 m( A) < +∞. 对任
112
意
ε > 0, 由 §2.3 定 理 6, 存 在 开 集 G 和 有 界 闭 集 F , 使 得 F ⊂ A ⊂ G, 使 得
δ > 0,
使 得 当 x ′, x ′′ ∈ S (0, r ),
d ( x ′, x ′′) < δ 时 , 成 立 f ( x ′) − f ( x ′′) < ε .
记
f t ( x) = f ( x + t ). 于是当 d (0, t ) < δ 时, 我们有
∫
Rn
f t − f dx = ∫
n→∞
lim ∫ f ( x) cos nxdx = 0.
a n→∞
b
(1) (2)
lim ∫ f ( x) sin nxdx = 0.
a
b
证明 先设 f = I (α , β ) , 其中 (α , β ) ⊂ [a, b]. 则
∫
b a
f ( x) cos nxdx = ∫ f ( x) cos nxdx =
Rn
g − f dx
< + + = Nhomakorabea. 3 3 3
ε
ε
ε
小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 本 节的结果表明 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近. 利用积分 的逼近定理, 可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例 1 和例 2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法. 习 题 习题四, 第 40 题—第 42 题.
∞
任意 ε > 0, 存在 k 0 使得 m( A) − m( Ak0 ) < 在 [− k , k ] 上的阶梯函数 g , 使得
1
ε
2
. 令 ϕ = I Ak0 . 则 ϕ ∈ L[− k , k ]. 由定理 3, 存 2
∫
k
−k
ε ϕ − g dx < . 延拓 g 的定义使得 g 在 [−k , k ]c 上为
∫
f − g dµ < ε .
证明 设 f ∈ L( µ ). 由§3.1 推论 10, 存在一个简单函数列 { f n }, 使得 { f n } 处处收敛 于 f , 并且 f n ≤ f , n ≥ 1. 由于 f 可积 , 因此每个 f n 都可积 . 注意到 f n − f ≤ 2 f 并 且 f n − f → 0 ( n → ∞), 利用控制收敛定理得到
lim ∫ f n − f dµ =0.
n→∞
因此存在一个 n0 , 使得
∫
f n0 − f dµ < ε . 令 g = f n0 即知定理成立.■
n
Lebesgue 积分的逼近 设 E 是 R 中的 L 可测集. 用 L( E ) 表示 E 上的 Lebesgue 可积函 数的全体. 定理 2 设 E 是 R 上的一个 Lebesgue 可测集, f ∈ L( E ). 则对任意 ε > 0, 存在 R
1
证明 设 f ∈ L(R ). 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 f = I A , 其中 m( A) < +∞. 令
Ak = A ∩ [− k , k ], k = 1, 2,
. 则 Ak ↑ 并且 A = ∪ Ak . 于是 lim m( Ak ) = m( A). 因此对 k →∞
k =1
α
β
sin nβ − sin nα → 0, n → ∞. n
于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数 f , (1) 式成立 . 现在设 f ∈ L[a, b]. 对任意
b ε ε > 0, 由定理 3, 存在一个阶梯函数 g , 使得 ∫ f − g dx < . 由上面证明的结果, 存在 a
N > 0, 使得当 n > N 时,
∫
b
a
g ( x) cos nxdx <
ε
2
2
. 于是当 n > N 时有
∫
b a
f ( x) cos nxdx ≤
∫
b a b
( f ( x) − g ( x)) cos nxdx + f − g dx + < ε . 2
∫
b a
g ( x) cos nxdx
≤∫
ε
a
114
因此(1)成立. 类似地可以证明(2)成立. ■ 例2 设 f 是R
∫
b a
f − g dx < ε .
证明 设 f ∈ L( E ). 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 f = I A , 其中 A ⊂ [ a, b] 并且
m( A) < +∞. 由 §2.3 例 3, 对任意 ε > 0, 存在开集 U , U 是有限个开区间的并集 , 使得
m(( A − U ) ∪ (U − A)) < ε .. 显然我们可以设 U ⊂ (a, b), 令 g = I U , 则 g 是阶梯函数 .
设给定一个测度空间 ( X , F , µ ),
C 是可积函数类 L( µ ) 的一个子类. 若对任意可积
函数 f ∈ L( µ ) 和 ε > 0, 存在一个 g ∈ C , 使得 中的函数逼近. 一般测度空间上积分的逼近
∫
f − g dµ < ε , 则称可积函数可以用C
定理 1 设 ( X , F , µ ) 是一个测度空间, f ∈ L( µ ). 则对任意 ε > 0, 存在 L( µ ) 中的 简单函数 g , 使得
ε
f − g dx < . 3
ε
由 上 面 所 证 , 存 在 δ > 0,
使得当
∫ ∫
因此(3)成立.■
Rn
f t − gt dx = ∫
Rn
f − g dx < . 3
ε
于是当 d (0, t ) < δ 时, 我们有
Rn
f t − f dx ≤ ∫
Rn
ft − gt dx + ∫
Rn
gt − g dx + ∫
S (0, r )
ft − f dx < ε m( S (0, r )).
n
这表明当 f 是具有紧支集的连续函数时,(3)成立.一般情形, 由定理 2, 存在 R 上的具有紧 支集的连续函数 g , 使得
∫
R
n
d (0, t ) < δ 时,
∫
R
n
gt − g dx < . 由§4.1 例 4, 有 3
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n
∫
E
I Ai − g i dx <
ε
2k ai
. 令 g = ∑ ai g i , 则 g
i =1
k
是 R 上具有紧支集的连续函数. 我们得到
∫
E
f − g dx = ∫ f − ϕ dx + ∫ ϕ − g dx
E E
< + ∑ ai 2 i=1
ε
k
∫
E
I Ai − gi dx < + = ε . 2 2
n
上的 L 可积函数, 则
lim ∫
t →0
Rn
f ( x + t ) − f ( x) dx = 0.
(3)
证明 先设 f 是具有紧支集的连续函数 . 则存在闭球 S (0, r ), 使得当 x ∉ S (0, r ) 时
f = 0. 由于 f 在 S (0, r ) 上连续, 因此 f 在 S (0, r ) 上一致连续. 因此对任意 ε > 0, 存在
F
= 1, g
B
= 0. 则 g 是 R n 上具有紧支集的连续函数. 注意到 0 ≤ g ( x) ≤ 1,