两端固定之弦的驻波驻波的频率
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波腹間的距離 = 12 。
解
2
5.0 5
2.0(m)。
23
範例2
2 基音與諧音
弦線A的長度為 L，線密度為μ，張力為T，兩端固
定。另一弦線 B，線密度為2μ，張力為 3T，兩端
也固定。欲使 B 弦的基頻與 A 弦的第三諧音頻率
相同，則 B 弦長度應為
。【87日大】
24
兩端固定之弦的駐波頻率 f nv n F (n 1，2，3，4......)：
(3)駐波的波形無法前進，能量被限制在波節間無法 傳遞出去，能量以動能和位能的形式來回互換。
7
動畫：克卜勒第二定律
動 畫 ：繩波上的駐波
8
影片：駐波
以 Windows Media Player 播放
9
二、兩端固定之弦的駐波
1. 駐波的頻率
(1)如下頁表內的圖所示，將一彈性弦的兩端固 定，撥弄弦使之振動，產生波在弦上傳播， 經兩固定端反射後，因為干涉而形成駐波。
10
= 1
2
= = 2
2
= 3 2
= 2 = 4
2
11
(2)分析右表內的圖可得，形成 駐波的條件為：
= n (n 1，2，3，4，……)
2
駐波的波長：
= 2 (n 1，2，3，4，……) 。
n
(3)由v f，可得駐波的頻率：
f
=
v
=
3
(3)v f
f
v
200 2
300(Hz。 )
3
28
※速解法：附圖所示為第三諧音(n 3) f nv 3 200 300(Hz。 ) 2 21
29
範例4
4 一端為自由端的駐波
一根線密度為0.02 公斤/公尺之弦，弦一端固定於 一振盪器上，另一端接於一個質量可不計的環上， 環則套在一個細長且光滑的柱上。振盪器的振動頻 率為175赫茲時，弦的張力為98牛頓，可使弦產生 如下圖(a)所示的駐波，則
2 2 基音 n 1 。 第三諧音 n 3 。
解 依題意：fB1 f A3 1 2LB
3T 3
2 2L
T
LB
6 L。 6
25
範例3
3 兩端皆為固定端的駐波
一條長度為1公尺、質量為10公克的均勻琴弦，一端連在起振器
上，另一端跨過定滑輪，與重量400牛頓的砝碼連接。若調整起
20
21
範例1
1 駐波的基本觀念
一條長度為5.0公尺、兩端固定的繩上所形成的駐波， 其示意圖如下圖。此駐波是由波形相同，但行進方向 相反的二波重疊而成，此二波的波長為何？(A)1.0 (B)1.5 (C)2.0 (D)2.5 (E)3.0 公尺。【100指考】
22
形成駐波時，相鄰兩波節或相鄰兩
振器的振動頻率，使弦上產生三個波腹的駐波，如下圖所示，
則
(1)弦上波速為 公尺/秒。
(2)駐波的波長為 公尺。
(3)起振器振動頻率是 赫茲。
26
解 (1)線密度 10 103 102 (kg/m)
1
波速 v
F
400 102
200(m/s。 )
27
(2)1.5 1 2 (m。 )
v 2
= nv = n 22
F (n = 1，2，3，4，……)
。
n
12
2. 基音與泛音
(1) 當n＝1時，為弦樂器的弦振動時所發出的聲音當中 ，振動頻率最低的音，稱為 基音 或 第一諧音 。
(2) 當n＝2、3、4……時，為振動頻率較高的音，稱為 . 泛音 或 高次諧音 。
(3)基音和泛音統稱為 諧音 ，如下頁表所示。
13
14
三、一端固定、一端為自由端之弦的駐波
1. 駐波的頻率
(1)如下頁表內的圖所示，將一彈性弦一端固定、一 端為自由端，撥弄弦使之振動，產生波在弦上傳 播，經兩端反射後，因為干涉而形成駐波 。
15
= 1 4
=3 4
= 5
4 =7
4
16
(2)分析右表內的圖可得，形成
駐波的條件為：
18
◎樂器的波形 1.樂器所發出的聲波，並不是由單一種基音所組成，
而是基頻與其他比例不同的泛音所共同形成，因此， 若想知道某個音符的波形，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ然要靠疊加原理來描 繪，如下圖所示。
19
2.不同樂器所發出的同一律音，其基音的強度與頻 率雖可以調到一致，但泛音的數目與強度，則無 法完全相同，因而產生不同的波形，便有不同的 音色。下頁圖為音叉、橫笛與單簧管因泛音強度 不同造成不同波形的比較圖。
，則駐波中相鄰兩波節或相鄰兩波腹間的距離
=
1
2
，而相鄰之波節與波腹之距離=
1
4
，
如上圖所示。
6
3. 駐波的特性
(1)駐波振動的頻率 與波長和原來的 進行波相等。
(2)如右圖所示，除節 點外，各質點均在 原處作 S.H.M. ，其振幅則隨各質點之位置而異。 腹點的振幅最大（為原進行波振幅的 兩倍 ），越 靠近節點處，其振幅則漸減。
一、駐波 二、兩端固定之弦的駐波 三、一端固定、一端為自由端之弦的駐波
範例 1 範例 2 範例 3 範例 4 範例 5
1
一、駐波
1. 形成駐波的條件
如下圖所示，振幅、波長、頻率（週期）皆 相等 ， 但行進方向 相反 的兩正弦波交會時，其合成波的波 形不見前進，波幅僅在波節與波節間作週期性的漲落 ，稱為駐波。
30
(1) 弦長為 公尺。
(2)如下圖(b)所示，欲使中間的節點數再增加一個，
則振盪的頻率應調整為
赫茲。
(3)承(2)，此時駐波的波長為 公尺。
31
(1)一端固定之弦的駐波頻率f nv n 44
圖(a)為第五諧音 圖(b)為第七諧音
= n (n = 1，3，5，7，……)
4
駐波的波長：
= 4 ( n = 1，3，5，7，……) 。
n
(3)由v f，可得駐波的頻率：
f=v= v
4
= nv 4
n =
4
F (n = 1，3，5，7，……)
。
n
17
2. 基音與泛音
與兩端固定之弦的駐波類似，但沒有偶數的諧音， 如下表所示。
2
2. 波節與波腹
3
4
(1)形成駐波的介質中，恆靜止不振動的質點，稱為波 節或節點，如上圖中的N1、N2、N3、N4、N5、N6等 各點。
(2) 形成駐波的介質中，位於相鄰兩節點間中央之振幅 最大的質點，稱為波腹或腹點，如上圖中的A1、A2、 A3、A4、A5等各點。
5
(3)駐波的波腹與波節等距分布，若進行波的波長為λ
解
2
5.0 5
2.0(m)。
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範例2
2 基音與諧音
弦線A的長度為 L，線密度為μ，張力為T，兩端固
定。另一弦線 B，線密度為2μ，張力為 3T，兩端
也固定。欲使 B 弦的基頻與 A 弦的第三諧音頻率
相同，則 B 弦長度應為
。【87日大】
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兩端固定之弦的駐波頻率 f nv n F (n 1，2，3，4......)：
(3)駐波的波形無法前進，能量被限制在波節間無法 傳遞出去，能量以動能和位能的形式來回互換。
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動畫：克卜勒第二定律
動 畫 ：繩波上的駐波
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影片：駐波
以 Windows Media Player 播放
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二、兩端固定之弦的駐波
1. 駐波的頻率
(1)如下頁表內的圖所示，將一彈性弦的兩端固 定，撥弄弦使之振動，產生波在弦上傳播， 經兩固定端反射後，因為干涉而形成駐波。
10
= 1
2
= = 2
2
= 3 2
= 2 = 4
2
11
(2)分析右表內的圖可得，形成 駐波的條件為：
= n (n 1，2，3，4，……)
2
駐波的波長：
= 2 (n 1，2，3，4，……) 。
n
(3)由v f，可得駐波的頻率：
f
=
v
=
3
(3)v f
f
v
200 2
300(Hz。 )
3
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※速解法：附圖所示為第三諧音(n 3) f nv 3 200 300(Hz。 ) 2 21
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範例4
4 一端為自由端的駐波
一根線密度為0.02 公斤/公尺之弦，弦一端固定於 一振盪器上，另一端接於一個質量可不計的環上， 環則套在一個細長且光滑的柱上。振盪器的振動頻 率為175赫茲時，弦的張力為98牛頓，可使弦產生 如下圖(a)所示的駐波，則
2 2 基音 n 1 。 第三諧音 n 3 。
解 依題意：fB1 f A3 1 2LB
3T 3
2 2L
T
LB
6 L。 6
25
範例3
3 兩端皆為固定端的駐波
一條長度為1公尺、質量為10公克的均勻琴弦，一端連在起振器
上，另一端跨過定滑輪，與重量400牛頓的砝碼連接。若調整起
20
21
範例1
1 駐波的基本觀念
一條長度為5.0公尺、兩端固定的繩上所形成的駐波， 其示意圖如下圖。此駐波是由波形相同，但行進方向 相反的二波重疊而成，此二波的波長為何？(A)1.0 (B)1.5 (C)2.0 (D)2.5 (E)3.0 公尺。【100指考】
22
形成駐波時，相鄰兩波節或相鄰兩
振器的振動頻率，使弦上產生三個波腹的駐波，如下圖所示，
則
(1)弦上波速為 公尺/秒。
(2)駐波的波長為 公尺。
(3)起振器振動頻率是 赫茲。
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解 (1)線密度 10 103 102 (kg/m)
1
波速 v
F
400 102
200(m/s。 )
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(2)1.5 1 2 (m。 )
v 2
= nv = n 22
F (n = 1，2，3，4，……)
。
n
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2. 基音與泛音
(1) 當n＝1時，為弦樂器的弦振動時所發出的聲音當中 ，振動頻率最低的音，稱為 基音 或 第一諧音 。
(2) 當n＝2、3、4……時，為振動頻率較高的音，稱為 . 泛音 或 高次諧音 。
(3)基音和泛音統稱為 諧音 ，如下頁表所示。
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14
三、一端固定、一端為自由端之弦的駐波
1. 駐波的頻率
(1)如下頁表內的圖所示，將一彈性弦一端固定、一 端為自由端，撥弄弦使之振動，產生波在弦上傳 播，經兩端反射後，因為干涉而形成駐波 。
15
= 1 4
=3 4
= 5
4 =7
4
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(2)分析右表內的圖可得，形成
駐波的條件為：
18
◎樂器的波形 1.樂器所發出的聲波，並不是由單一種基音所組成，
而是基頻與其他比例不同的泛音所共同形成，因此， 若想知道某個音符的波形，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ然要靠疊加原理來描 繪，如下圖所示。
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2.不同樂器所發出的同一律音，其基音的強度與頻 率雖可以調到一致，但泛音的數目與強度，則無 法完全相同，因而產生不同的波形，便有不同的 音色。下頁圖為音叉、橫笛與單簧管因泛音強度 不同造成不同波形的比較圖。
，則駐波中相鄰兩波節或相鄰兩波腹間的距離
=
1
2
，而相鄰之波節與波腹之距離=
1
4
，
如上圖所示。
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3. 駐波的特性
(1)駐波振動的頻率 與波長和原來的 進行波相等。
(2)如右圖所示，除節 點外，各質點均在 原處作 S.H.M. ，其振幅則隨各質點之位置而異。 腹點的振幅最大（為原進行波振幅的 兩倍 ），越 靠近節點處，其振幅則漸減。
一、駐波 二、兩端固定之弦的駐波 三、一端固定、一端為自由端之弦的駐波
範例 1 範例 2 範例 3 範例 4 範例 5
1
一、駐波
1. 形成駐波的條件
如下圖所示，振幅、波長、頻率（週期）皆 相等 ， 但行進方向 相反 的兩正弦波交會時，其合成波的波 形不見前進，波幅僅在波節與波節間作週期性的漲落 ，稱為駐波。
30
(1) 弦長為 公尺。
(2)如下圖(b)所示，欲使中間的節點數再增加一個，
則振盪的頻率應調整為
赫茲。
(3)承(2)，此時駐波的波長為 公尺。
31
(1)一端固定之弦的駐波頻率f nv n 44
圖(a)為第五諧音 圖(b)為第七諧音
= n (n = 1，3，5，7，……)
4
駐波的波長：
= 4 ( n = 1，3，5，7，……) 。
n
(3)由v f，可得駐波的頻率：
f=v= v
4
= nv 4
n =
4
F (n = 1，3，5，7，……)
。
n
17
2. 基音與泛音
與兩端固定之弦的駐波類似，但沒有偶數的諧音， 如下表所示。
2
2. 波節與波腹
3
4
(1)形成駐波的介質中，恆靜止不振動的質點，稱為波 節或節點，如上圖中的N1、N2、N3、N4、N5、N6等 各點。
(2) 形成駐波的介質中，位於相鄰兩節點間中央之振幅 最大的質點，稱為波腹或腹點，如上圖中的A1、A2、 A3、A4、A5等各點。
5
(3)駐波的波腹與波節等距分布，若進行波的波長為λ