《随机过程与排队论》PPT课件
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t1,t2,…,tnT，x1,x2,…,xnR 称为随机过程{X(t),tT}的n维分布函数。
2019/5/16
计算机科学与工程学院 顾小丰
49－9
三、随机过程的分布
设 {X(t),tT} 是 一 个 随 机 过 程 ， 对 于 每 一 个 tT，X(t)是一个随机变量，它的分布函数
F(t,x)＝P{X(t)<x}，tT，xR=(-,+) 称为随机过程{X(t),tT}的一维分布函数。
Leabharlann Baidu
2F(s, t;x, y) f (s, t;x, y)
xy
2019/5/16
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49－12
n维分布函数
设{X(t),tT}是一个随机过程，对任意 t1,t2,…,tnT，n维随机变量(X(t1), X(t2),…,X(tn))的联合分布函数
F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn) ＝P{X(t1)<x1,X(t2)<x2,…,X(tn)<xn}，
2019/5/16
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49－10
二维分布函数
设{X(t),tT}是一个随机过程，对任意 s,tT，(X(s),X(t))是一个二维随机变量， 它的联合分布函数
F(s,t;x,y)＝P{X(s)<x,X(t)<y}， tT，xR
称为随机过程{X(t),tT}的二维分布函数。
只要研究随时间变化的动态系统的随机现象 的统计规律，就要用到随机过程的理论。
2019/5/16
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49－5
例
电话问题
布设朗X运(t,动)表示某电话台在[0,t)时间内收到用 热生设 户 X整 变 悬 作 置 是 电 所噪物(一量浮有 子布引的t数的,声群族X在一 元朗起横，呼)是(体随液个 件运t的座随唤,一机体生 或动端标着)次，个变中物器。电，时数0随量的群件设压当间t。机，微体由XXtt变的对(变(即粒于，t，t,,化变量某一由内由即))时表化称，个个于部于一示，，为随它固分电繁个时X就机热可子子殖定随(刻t过得噪以的的而,机的t程到声是)微随随产过t，(。一电任0粒机机生程0族压意t碰热所后。t随。非撞运处代) 而动机，负位， ， 对
2019/5/16
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49－8
随机过程的分类
1. 按状态空间和参数集分类
参数集T
离散
连续
状态空间E
离散 连续
(离散参数)链 随机序列
(连续参数)链 随机过程
2. 按状态空间和参数集分类
独立过程 独立增量过程 正态过程 泊松过程
维纳过程 平稳过程 马尔可夫过程
……
对 于 t的于固变固定化定的得的t到0n，(一n≥X族1()t，随,令)机是X变(一n,量个)表X随(示t机,第变)n，代量t生，0物，随群是着体 的一个个数随，机X过(n程,。) 是 随 机 变 量 ， 可 取 非 负 整 数 值 0,1,2,…，而X(n,),n=0,1,2,…是一族随机变量，即
随机过程与排队论
上一讲内容回顾
随机变量的数字特征
• 数学期望 • 方差 • k阶矩 • 协方差
条件数学期望 随机变量的特征函数
2019/5/16
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49－2
本讲主要内容
随机过程的基本概念
• 随机过程的定义
• 随机过程的分布 • 随机过程的数字特征
重要随机过程
如果对于每一个tT，随机变量X(t)是连续型
随机变量，存在非负可积函数f(t,x)，使得
x
F(t, x) f (t, y)dy , t T, x R
则 称 f(t,x) ， tT,xR 为 随 机 过 程 {X(t),tT} 的 一
维概率密度(函数)。此时
f(t,x)＝F’x(t,x)，tT，xR
一个随机过程。
2019/5/16
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49－6
二、随机过程的定义
设(Ω,F,P)是一个概率空间，T是一个参数 集(TR)，X(t,)，tT，Ω是TΩ上 的 二 元 函 数 ， 如 果 对 于 每 一 个 tT ， X(t,)是(Ω,F,P)上的随机变量，则称随机 变量族{X(t,)，tT}为定义在(Ω,F,P)上 的随机过程(或随机函数)。简记为{X(t)， tT}，其中t称为参数，T称为参数集。
• 独立过程
• 独立增量过程
2019/5/16
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49－3
第二章 随机过程的基本概念
随机过程的引入 随机过程的定义 随机过程的分布 随机过程的数字特征 几种重要的随机过程
2019/5/16
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49－4
一、随机过程的引入
随机过程产生于二十世纪初，起源于统计物 理学领域，布朗运动和热噪声是随机过程的最早 例子。随机过程理论社会科学、自然科学和工程 技术的各个领域中都有着广泛的应用。例如：现 代电子技术、现代通信、自动控制、系统工程的 可靠性工程、市场经济的预测和控制、随机服务 系统的排队论、储存论、生物医学工程、人口的 预测和控制等等。
2019/5/16
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49－11
二维概率密度
如果(X(s),X(t))是连续型二维随机变量， 存在非负可积函数f(s,t;x,y)，使得
xy
s,t T
F(s, t;x, y)
f (s, t;u, v)dudv ,
x, y R
成立，则称f(s,t;x,y)，s,tT，x,yR为随机 过程{X(t),tT}的二维概率密度(函数)。此 时
2019/5/16
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49－7
样本函数与状态空间
随机过程X(t,)是定义在TΩ上的二元函 数：一方面，当tT固定时，X(t,)是定 义在Ω上的随机变量；另一方面，当 Ω固定时，X(t,)是定义在T上的函数， 称为随机过程的样本函数。
随机过程在时刻t所取的值X(t)=x称为时 刻t时随机过程{X(t),tT}处于状态x，随 机过程{X(t),tT}所有状态构成的集合称 为状态空间，记为E，即： E＝{x：X(t)=x,tT}
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49－9
三、随机过程的分布
设 {X(t),tT} 是 一 个 随 机 过 程 ， 对 于 每 一 个 tT，X(t)是一个随机变量，它的分布函数
F(t,x)＝P{X(t)<x}，tT，xR=(-,+) 称为随机过程{X(t),tT}的一维分布函数。
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2F(s, t;x, y) f (s, t;x, y)
xy
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49－12
n维分布函数
设{X(t),tT}是一个随机过程，对任意 t1,t2,…,tnT，n维随机变量(X(t1), X(t2),…,X(tn))的联合分布函数
F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn) ＝P{X(t1)<x1,X(t2)<x2,…,X(tn)<xn}，
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二维分布函数
设{X(t),tT}是一个随机过程，对任意 s,tT，(X(s),X(t))是一个二维随机变量， 它的联合分布函数
F(s,t;x,y)＝P{X(s)<x,X(t)<y}， tT，xR
称为随机过程{X(t),tT}的二维分布函数。
只要研究随时间变化的动态系统的随机现象 的统计规律，就要用到随机过程的理论。
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49－5
例
电话问题
布设朗X运(t,动)表示某电话台在[0,t)时间内收到用 热生设 户 X整 变 悬 作 置 是 电 所噪物(一量浮有 子布引的t数的,声群族X在一 元朗起横，呼)是(体随液个 件运t的座随唤,一机体生 或动端标着)次，个变中物器。电，时数0随量的群件设压当间t。机，微体由XXtt变的对(变(即粒于，t，t,,化变量某一由内由即))时表化称，个个于部于一示，，为随它固分电繁个时X就机热可子子殖定随(刻t过得噪以的的而,机的t程到声是)微随随产过t，(。一电任0粒机机生程0族压意t碰热所后。t随。非撞运处代) 而动机，负位， ， 对
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随机过程的分类
1. 按状态空间和参数集分类
参数集T
离散
连续
状态空间E
离散 连续
(离散参数)链 随机序列
(连续参数)链 随机过程
2. 按状态空间和参数集分类
独立过程 独立增量过程 正态过程 泊松过程
维纳过程 平稳过程 马尔可夫过程
……
对 于 t的于固变固定化定的得的t到0n，(一n≥X族1()t，随,令)机是X变(一n,量个)表X随(示t机,第变)n，代量t生，0物，随群是着体 的一个个数随，机X过(n程,。) 是 随 机 变 量 ， 可 取 非 负 整 数 值 0,1,2,…，而X(n,),n=0,1,2,…是一族随机变量，即
随机过程与排队论
上一讲内容回顾
随机变量的数字特征
• 数学期望 • 方差 • k阶矩 • 协方差
条件数学期望 随机变量的特征函数
2019/5/16
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49－2
本讲主要内容
随机过程的基本概念
• 随机过程的定义
• 随机过程的分布 • 随机过程的数字特征
重要随机过程
如果对于每一个tT，随机变量X(t)是连续型
随机变量，存在非负可积函数f(t,x)，使得
x
F(t, x) f (t, y)dy , t T, x R
则 称 f(t,x) ， tT,xR 为 随 机 过 程 {X(t),tT} 的 一
维概率密度(函数)。此时
f(t,x)＝F’x(t,x)，tT，xR
一个随机过程。
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二、随机过程的定义
设(Ω,F,P)是一个概率空间，T是一个参数 集(TR)，X(t,)，tT，Ω是TΩ上 的 二 元 函 数 ， 如 果 对 于 每 一 个 tT ， X(t,)是(Ω,F,P)上的随机变量，则称随机 变量族{X(t,)，tT}为定义在(Ω,F,P)上 的随机过程(或随机函数)。简记为{X(t)， tT}，其中t称为参数，T称为参数集。
• 独立过程
• 独立增量过程
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第二章 随机过程的基本概念
随机过程的引入 随机过程的定义 随机过程的分布 随机过程的数字特征 几种重要的随机过程
2019/5/16
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49－4
一、随机过程的引入
随机过程产生于二十世纪初，起源于统计物 理学领域，布朗运动和热噪声是随机过程的最早 例子。随机过程理论社会科学、自然科学和工程 技术的各个领域中都有着广泛的应用。例如：现 代电子技术、现代通信、自动控制、系统工程的 可靠性工程、市场经济的预测和控制、随机服务 系统的排队论、储存论、生物医学工程、人口的 预测和控制等等。
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49－11
二维概率密度
如果(X(s),X(t))是连续型二维随机变量， 存在非负可积函数f(s,t;x,y)，使得
xy
s,t T
F(s, t;x, y)
f (s, t;u, v)dudv ,
x, y R
成立，则称f(s,t;x,y)，s,tT，x,yR为随机 过程{X(t),tT}的二维概率密度(函数)。此 时
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49－7
样本函数与状态空间
随机过程X(t,)是定义在TΩ上的二元函 数：一方面，当tT固定时，X(t,)是定 义在Ω上的随机变量；另一方面，当 Ω固定时，X(t,)是定义在T上的函数， 称为随机过程的样本函数。
随机过程在时刻t所取的值X(t)=x称为时 刻t时随机过程{X(t),tT}处于状态x，随 机过程{X(t),tT}所有状态构成的集合称 为状态空间，记为E，即： E＝{x：X(t)=x,tT}