高一必修一函数单调性的应用

例4：证明函数 f (x) x2 1 x 在其定义域内 是减函数。
例4：证明函数 f (x) x2 1 x 在其定义域内 是减函数。
证明： f (x)的定义域为 ，
设任意的 x1, x2 f (,), 且x1 x2
f (x1) f (x2 ) ( x12 1 x1) ( x22 1 x2 )
2
由图象可知只要 x a 1 ，即a 2即可.
2
小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点？ 2.判断函数单调性有哪些常用方法？ 3.你学会了哪些数学思想方法？
作业
1、教材 p39 1，2，3，4
2、证明函数 f（x）=-x2在 0, 上是 减函数。
3、证明函数
f（x）=
x
1
在
单调递增的。
x
证明:任x1取,x2 [0，+∞）,且x1 < x2，
取值
则： f (x1 ) f (x2 ) x1 x2
x1 x2 x1 x2
由0≤ x1 < x2 得 x1 x2 0 x1
作差 变形 x2 0 定号
于是 f(x1)-f(x2)＜0。 即 f(x1)＜f(x2)
所以函数f (x) x 在区间[0，+∞）上为增函数。下结论
(C) y 2 x
(B) y 3x2 1
(D) y 2x2 x 1
x 1 x 0 x 1 x 0
________
成果运用
若二次函数f (x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递
增，求a的取值范围。
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f (x) x2 ax 4的对称轴为 x a ,
0,1 上是
证明：任取 x1, x2 R,且x1 x2
则f (x1) f (x2 ) (x13 x1) (x23 x2 )（x13 x23） (x1 x2 )
（x1 x2）(x12 x1x2 x22 ) (x1 x2 ) (x1 x2 )( x12 x1x2 x22 1)
配 方 法
f (x) 是定义在R上的单调函数，且 f (x) 的图
象过点A（0，2）和B（3，0）
（1）解方程 f (x) f (1 x) （2）解不等式 f (2x) f (1 x) （3）求适合 f (x) 2或f (x) 0 的 x 的
取值范围
返回
成果运用
若二次函数f (x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递
( x12 1
x22 1) (x1 x2 )
x12
x12 1
x22 x2 2
1
( x1
x2
)
有 理 化
(x1 x2 x12 1
)(x1 x2 ) x22 1
( x1
x2
)
( x1
x2
)
( x1
x2
)( x12
x12 1
1 x2 2
x2 2 1
1)
(x1 x2 ) (x1
x12 1) (x2 x22 1) x12 1 x22 1
x1 x2 x1 x2 0，且 x12 1 x22 1 0 又 对任意x R，都有 x2 1 x2 x x
x2 1 x,即有x x2 1 0 x1 x12 1 0, x2 x22 1 0 f (x1) f (x2 ) 0 即f (x1) f (x2 ) f (x) x2 1 x在其定义域内是减函数。
单调性．
例2：证明函数 f (x) x 2 在（ 2， ）上是增函数。
x
证明：任取 x1, x2 2, ，且x1 x2
2
2
因 f
( x1 )
f
(x2 )
( x1
) x1
(x2
x2
)
式分 （x1
x2）
(
2 x1
2 x2
)
（x1
x2）
2(x2 x1) x1x2
（x1
x2）(1
2 x1x2
)
（x1
x2）( x1xx12x2
2)
解
2 x1 x2 x1 x2 0, x1x2 2， x1x2 2 0 f (x1) f (x2 ) 0，即f (x1) f (x2 )
f (x) x 2 在（ 2， ）上是增函数 x
例3：证明函数 f (x) x3 x在R上是增函数。
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的 一般步骤：
1 取值：任取 x1，x2∈D，且x1<x2； 2 作差：f(x1)－f(x2)； 3 变形：通常是因式分解、配方和有理化； 4 定号：即判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5 下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的
(
x1
x2
)
x12
x1x2
x2 2
2
3 4
x2 2
1
wenku.baidu.com
( x1
x2
) ( x1
x2 2
)2
3 4
x2 2
1
x1 x2 x1 x2 0
而（x1
x2 2
）2
3 4
x2 2
1
0
f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 )
f (x) x3 x在R上是增函数。
（3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。
1
（上4都）是因减为函函数数，f(x所)=以xf(在x)区= 1间（在-（∞-，∞0，）0和 ）（ ∪0（，0+，∞+）∞）
上是减函数。
x
例1 证明函数 f (x) x 在区间[0，+∞）上单调递增。
增，求a的取值范围。
变式1
若二次函数 f (x) x2 ax 4 的单调增区间是 ,1 ，
则a的取值情况是 （ ）
A. a 2 B. a 2 C. a 2 D. a 2
变式2
请你说出一个单调减区间是 , 1 的二次函数
变式3
请你说出一个在 , 1上单调递减的函数
(A) y 2x 1
函数单调性的应用
知识回顾
❖ 1.函数单调性的定义。 ❖ 2.定义里面有什么关键词？ ❖ 3.什么叫函数的单调区间？ ❖ 4.如何判断函数的单调性？我们介绍了几种
方法？
练习：判断正误： （1）已知f(x)= 1 ，因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是
增函数。 x
（2）若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2，3] 上为增函数。