知识点四：三线合一专题

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中考数学复习几何模型专题讲解4---中点模型(解析版)

中考数学复习几何模型专题讲解专题4 4 中点模型中点模型名师点睛中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。

A B C D E A B C DEFE D C B A典题探究例题1. 如图，在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N ．求证：MQ ＝QN ．【解答】证明：连接BG 和CE 交于O ，∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，在△BAG和△EAC中，，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，∴MQ＝CE，QN＝BG，∵BG＝CE，∴QN＝MQ．变式练习>>>>变式练习1. 如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P，∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形，∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；。

七级三角形三线合一性质专题

F E D C B A E DC B AB 'C BA 专题四（第九讲）：三角形三线性质金牌数学专题系列导入知识要点三角形的重要线段意义图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 D CB A1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 D CB A1.AE 是△ABC 的BC 上的中线.2.BE=EC=12BC. 三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段21D CB A1.AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC.双基练习一、选择题：1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( )A.是边BB ′上的中线B.是边BB ′上的高C.是∠BAB ′的角平分线D.以上三种性质合一(1) (2)(3) 2.如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法正确的是( )A.DE 是△BCD 的中线B.BD 是△ABC 的中线C.AD=DC,BD=ECD.∠C 的对边是DE3.如图3所示,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于( )小学时上课爱睡觉。

一次语文课老师布置作业写一篇作文，题目是《假如我是蜘蛛》。

F E DC B A 654321F E CB A 140︒80︒1 A.2cm 2B.1cm 2C.12cm 2 D.14cm 24.在△ABC,∠A=90°,角平分线AE 、中线AD 、高AH 的大小关系为( )A.AH<AE<ADB.AH<AD<AEC.AH ≤AD ≤AED.AH ≤AE ≤AD5.在△ABC 中,D 是BC 上的点,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.246.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形 7.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 8.已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60° C.48°,32°,38° D.40°,50°,90°9.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A 的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 10.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形 11.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( )A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角D.三个都可能是锐角 12.在△ABC 中,∠A=12∠B=13∠C,则此三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形13.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定14.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.120°15.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( ) A.90° B.110° C.100° D.120° 16.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )A.等腰直角三角形;B.一般的等腰三角形;C.等边三角形;D.等腰钝角三角形 17.如图1所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE 等于( )A.120°B.115°C.110°D.105°(1) (2) (3) 18.如图2所示,在△ABC 中,E,F 分别在AB,AC 上,则下列各式不能成立的是( )A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;B.∠2=∠5-∠A;C.∠5=∠1+∠4;D.∠1=∠ABC+∠4 二、填空题:1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.2.等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________.3.在△ABC 中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE 分别是△ABC 的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________. 5.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.E D C A21C 'FE C A 6.在△ABC 中, 若∠A+∠B ＞∠C,则此三角形为_______三角形，若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B ＜∠C,则此三角形是_____三角形.7.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______. 8.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度. 9.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角. 10.如图3所示,∠1=_______. 11.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度. 12.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.13.∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.14.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________三、基础训练:1.如图所示,在△ABC 中,∠C-∠B=90°,AE 是∠BAC 的平分线,求∠AEC 的度数.2.在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm,△ABD 的周长为30cm, 求AD 的长.3.如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.4321DCBA4.如图所示,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,AE 平分∠BAC(∠C>∠B), 试说明∠EAD=12(∠C-∠B).5.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数.四、提高训练: 1.在△ABC 中,∠A=50°,高BE,CF 所在的直线交于点O,求∠BOC 的度数.2.如图所示,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C ′处,试探求∠1,∠2与∠C 的关系.21D A CA43P21DC B A3.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=158°, 求∠EDF 的度数.4.如图，已知，在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；（2）若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．五、探索发现:1. 如图5所示的是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆的总数为s.按此规律推断s 与n 有什么关系,并求出当n=13时,s 的值.2. 如图所示,在△ABC 中,∠A=α,△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.(1)PC BA (2)PCBA(3)PCBAF E D C B An=2,s=3n=3,s=6n=4,s=9。

八年级数学上册第2章轴对称图形专题训练4三线合一知一推二习题课件新版苏科版

第2章
专题训练4
轴对称图形
三线合一
知一推二
一
等腰＋中点
1. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点， BE ⊥
AC 于点 E . 求证：∠ BAC ＝2∠ EBC .
证明：∵ AB ＝ AC ， D 是 BC 的中点，
∴ AD ⊥ BC ，∠ BAC ＝2∠ DAC ，
∴∠ ADC ＝90°，∵ BE ⊥ AC ，
∴∠ BEC ＝90°，∴∠ DAC ＝∠ EBC ，
∴∠ BAC ＝2∠ EBC .
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2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 是 BC 的中点，过
点 A 作 EF ∥ BC ，且 AE ＝ AF . 求证：
(1) DE ＝ DF ；
∴△ BDG ≌△ CDH (ASA)，∴ BG ＝ CH .
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678二源自等腰＋高3. 如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，垂足为点 D ，
DE ∥ AC ，求证： AE ＝ DE .
证明：∵ AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，
∴∠ BAD ＝∠ CAD .
∵ DE ∥ AC ，∴∠ EDA ＝∠ CAD .
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证明：(1)如图，连接 AD ，∵ AB ＝
AC ，点 D 为 BC 的中点，∴ AD ⊥
BC ，∴∠ ADB ＝90°，∵ EF ∥ BC ，
∴∠ DAF ＝∠ ADB ＝90°，∴ AD ⊥
EF ，∵ AE ＝ AF ，∴ AD 垂直平分

八年级数学三线合一知识点

八年级数学三线合一知识点八年级数学是学生们数学学习中的一个重要阶段，数学三线合一也是其学习的一个重要内容。

在本文中，我们将详细讨论八年级数学的三线合一知识点，帮助学生们更好地掌握数学知识，提高数学成绩。

一、数轴数轴是研究数与数之间的关系的一种有效方法，主要用于表示数的大小、比较数的大小以及数的加减。

数轴上的数点表示数的大小，数点左边的数比数点右边的数小。

例如，在数轴上，点A 表示数-3，点B表示数2，点C表示数4，那么A、B、C三点之间的大小关系是A<B<C。

二、平面直角坐标系平面直角坐标系又称笛卡尔坐标系，是二维空间内表示点的最常用方式，由横坐标和纵坐标两个有序实数构成。

平面直角坐标系的两条互相垂直的坐标轴，称为x轴和y轴。

横坐标表示一个点在x轴上的位置，纵坐标表示一个点在y轴上的位置。

例如，在坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（4，-1），那么A、B两点之间的距离是√(（4-2）^2+（-1-3）^2)=√20。

三、线性方程组及解法线性方程组是指一组关于多项式未知数的方程，其中每个方程的次数都为1。

一般来说，我们通过消元或代入的方法求解线性方程组。

例如，求解以下线性方程组：2x-y=5x+y=7我们可以通过代入的方法，将第二个式子中的y用第一个式子中的x代入，得到2x-(7-x)=5，解得x=4，再将x的值代入第一个式子，解得y=3。

因此，该线性方程组的解为（4，3）。

四、平面几何平面几何是关于平面内的图形形状、大小、相对位置等性质的研究。

常见的平面几何知识点包括三角形、四边形、圆等。

例如，如果已知三角形的三条边长分别为a、b、c，那么我们可以通过海龙公式求得其面积S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2。

五、立体几何立体几何是关于三维空间内的图形形状、大小、相对位置等性质的研究。

常见的立体几何知识点包括立方体、长方体、圆柱体等。

例如，如果已知一个正方形的边长为a，则其所在的正方体表面积为6a^2，体积为a^3。

初中数学 [三线合一]性质的应用专题辅导

初中数学 [三线合一]性质的应用专题辅导赵春祥等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

例1. 如图1，在AB C ∆中，AB=AC ，D 是形外一点，且CD BD =。

求证：AD 垂直平分BC 。

证明：由于AD AD ,CD BD ,AC AB ===，所以)SSS (ACD ABD ∆≅∆。

故C AD B A D ∠=∠。

AD 平分∠BAC 。

在等腰ABC ∆中，由“三线合一”知BC AD ⊥，且AD 平分BC 。

评注：若能证出两直线之一是等腰三角形的底边所在的直线，另一条为等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线所在的直线，则这两条直线互相垂直。

例 2. 如图2，BM ，CN 分别是ABC ∆的外角A C EA B D ∠∠、的平分线。

CN AN ,BM AM ⊥⊥，M 、N 为垂足。

求证：BC //MN 。

证明：这里有角平分线BM 、CN ，也有垂直于BM 、CN 的直线，若延长AM 、AN ，交CB 、BC 的延长线于D 、E ，如图3。

由“角平分线和高重合”可知构成了等腰ABD ∆和等腰ACE ∆，且M 、N 分别为这两个等腰三角形底边的中点。

这样，MN 是ADE ∆的中位线，故有MN//BC 。

例3. 如图4，锐角ABC ∆中，∠B=2∠C ，AD 为BC 边上的高，求证：BD AB DC +=。

证明：在DC 边上取点G ，使DB DG =，连接AG 。

如图5。

BD AB DC BD GD AB GC AB AG GA GC C 2+=⇒⎭⎬⎫==⇒⎭⎬⎫==⇒∠=∠⇒。

评注：利用“三线合一”证明两直线垂直，应具备两个条件：（1）三角形是等腰三角形；（2）两线中一条是这个三角形顶角的平分线或底边上的中线。

专题6 妙用三线合一巧解题（含答案）

专题6 妙用三线合一巧解题知识解读三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

三线合一的几种应用：如图2－6－1，在△ABC 中，①若AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，则AD ⊥BC ，BD ＝CD ； ②若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，则∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ；③若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ；④若∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，则AB ＝AC ，BD ＝CD ； ⑤若∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ，则AD ⊥BC ，AB ＝AC ； ⑥若AD ⊥AC ，BD ＝CD ，则AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD 。

即“AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BC ，BD ＝CD ”中已知其中两个结论，总能推出其他两个结论是成立的.等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义.可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等. 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

培优学案典例示范一、利用三线合一证明角度之间的倍分关系例1如图2－6－2，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D .求证：∠BAC ＝2∠DCB .【提示】欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，∠BAC 是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与∠DCB 的关系【解答】D B CA图2-6-2【技巧点评】要证明一个角等于等腰三角形顶角的一半，常考虑构造等腰三角形三线合一的那根线.由这道题目，我们还可以得出这样一个常用的结论，等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.跟踪训练1.如图2-6-3①，点P 是BC 的中点，如图2-6-3②，点P 与点C 重合，如图2-6-3③，点P 在BC 的延DBC A 图2-6-1长线上，△ABC都是等腰三角形，BC为底边，PD⊥AB，∠A与∠BPD之间都存在一个相同的数量关系，请猜想这个数量关系，并就图③进行验证。

解题技巧专题：利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线压轴题三种模型全攻略(解析版)

解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】1如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，过D 作直线DE 交直线AB 与E ，过D 作直线DF ⊥DE ，并交直线AC 与F ．(1)若E点在线段AB 上(非端点)，则线段DE 与DF 的数量关系是；(2)若E 点在线段AB 的延长线上，请你作图(用黑色水笔)，此时线段DE 与DF 的数量关系是，请说明理由．【答案】(1)DE =DF(2)图见解析，DE =DF ，理由见解析【分析】(1)连接AD ，先根据等腰直角三角形的性质可得AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°，AD ⊥BC ，再根据垂直的定义、等量代换可得∠BDE =∠ADF ，然后根据三角形全等的判定证出△BDE ≅△ADF ，根据全等三角形的性质即可得出结论；(2)分①当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，②当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时两种情况，参考(1)的思路，根据三角形全等的判定与性质即可得出结论．【详解】(1)解：如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =BD =CD ,∠B =∠DAF =45°,AD ⊥BC ，∴∠BDE +∠ADE =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠ADF+∠ADE =90°，∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠B =∠DAFBD =AD ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≅△ADF ASA ，∴DE =DF ，故答案为：DE =DF ．(2)解：DE =DF ，理由如下：①如图，当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的下方时，如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =BD ,∠ABD =∠DAC =45°,AD ⊥BC ，∴∠DBE =∠DAF =135°,∠ADF +∠BDF =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠BDE +∠BDF =90°，∴∠BDE =∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，∠DBE =∠DAFBD =AD ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≅△ADF ASA ，∴DE =DF ；②如图，当点E 在线段AB 的延长线上，且在BC 的上方时，如图，连接AD ，∵在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 的中点，∴AD =CD ,∠ACD =∠DAB =45°,AD ⊥BC ，∴∠DCF =∠DAE =135°,∠ADE +∠CDE =90°，∵DF ⊥DE ，∴∠CDF +∠CDE =90°，∴∠ADE =∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，∠DAE =∠DCFAD =CD ∠ADE =∠CDF，∴△ADE ≅△CDF ASA ，∴DE =DF ；综上，线段DE 与DF 的数量关系是DE =DF ，故答案为：DE =DF ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．【变式训练】1如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =a ，点E 为边AC 上任意一点，点D 为AB 的中点，过点D 作DF ⊥DE 交BC 于点F ．求证：CE +CF为定值．【答案】证明见解析【分析】连接CD ，证明△CDE ≌△BDF ，得CE =BF ，进一步证明CE +CF =BC =AC =a ，从而得到结论．【详解】证明：连接CD ，如图，∵△ABC 是等腰直角三角形，且D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，CD 平分∠ACB ，AD =BD =CD∴∠DCA =∠DCB =∠DBC =45°又DE ⊥DF∴∠EDC +∠FDC =90°而∠FDC +∠FDB =90°∴∠EDC =∠FDB在△CDE 和△BDF 中，∠DCE =∠DBFCD =CD∠EDC =∠BDF∴△CDE ≌△BDF∴CE =BF∵BC =AC =a ∴CE +CF =BE +CF =BC =AC =a ，故：CE +CF 为定值．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明CE =BF 是解答此题的关键．2如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点P 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在边AC ,BC 上，连接PD ,PE ，若PD ⊥PE．(1)求证：PD =PE ；(2)若点D ，E 分别在边AC ,CB 的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证明；(3)在(1)或(2)的条件下，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出∠PEB 的度数(不用说理)；若不能，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)能成为等腰三角形，此时∠PEB 的度数为22.5°或67.5°或90°或45°【分析】(1)连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得∠DCP =45°=∠B ，从而得到CP =BP ，再由PD ⊥PE ，可得∠DPC =∠EPB ，可证得△DPC ≌△EPB ，即可求证；(2)连接PC ，根据等腰直角三角形的性质可得∠ECP =45°=∠ABC =∠A =∠ACP ，从而得到CP =AP ，再由∵PD ⊥PE ,CP ⊥AB ，可得∠APD =∠CPE ，可证得△APD ≌△CPE ，即可；(3)根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．【详解】(1)明∶连接PC，∵∠ACB =90°,AC =BC ，∴∠A =∠B =45°，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∴∠DCP =45°=∠B ，∴CP =BP ，∵PD ⊥PE ，∴∠DPC +∠CPE =∠CPE +∠EPB =90°，∴∠DPC =∠EPB ，在△DPC 和△EPB 中，∠DCP =∠BPC =PB ∠DPC =∠EPB，∴△DPC ≌△EPB ASA ，∴PD =PE ；(2)解：PD =PE 仍成立，理由如下：连接CP，∵∠C =90°,AC =BC ，∴∠A =∠ABC =45°，∵P 为斜边AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∴∠ECP =45°=∠ABC =∠A =∠ACP ，∴CP =AP ，又∵PD ⊥PE ,CP ⊥AB ，∴∠DPE =∠CPA =90°，∴∠DPE +∠CPD =∠CPA +∠CPD ，∴∠APD =∠CPE ，在△APD 和△CPE 中，∠PAD =∠PCEPC =PA ∠APD =∠CPE，∴△APD ≌△CPE ASA ，∴PD =PE ；(3)解：△PBE 能成为等腰三角形，①当BE =BP ，点E 在CB 的延长线上时，则∠E =∠BPE ，又∵∠E +∠BPE =∠ABC =45°，∴∠PEB =22.5°；②当BE =BP ，点E 在CB 上时，则∠PEB =∠BPE =12180°-45° =67.5°；③当EP =EB 时，则∠B =∠BPE =45°，∴∠PEB =180°-∠B -∠BPE =90°；④当EP =PB ，点E 和C 重合，∴∠PEB =∠B =45°；综上所述，△PBE 能成为等腰三角形，∠PEB 的度数为22.5°或67.5°或90°或45°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点．(1)若∠EOF=90°，两边分别交AC,BC于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边AC和BC上时，求证：OE=OF；②如图2，当点E，F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF，若OE=6，则S△EOF=．(2)如图3，若∠EOF=45°，两边分别交边AC于E，交BC的延长线于F，连接EF，若CF=3,EF=5，试求AE的长．【答案】(1)①见解析；②18(2)2【分析】(1)①由“ASA”可证△AOE≌△COF，可得OE=OF；②由“ASA”可证△COE≌△BOF，可得OE=OF=6，即可求解；(2)由“ASA”可证△COF≌△AOH，可得CF=AH=3，OF=OH，由“SAS”可证△EOF≌△EOH.，可得EF=EH=5，即可求解．【详解】(1)①证明：如图1，连接OC，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠=∠B=45°.∵点O为AB的中点，∴∠AOC=∠EOF=90°，∴△AOC和△BOC是等腰直角三角形，∴AO=CO=BO，∴∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF；②解：如图2，连接OC，同理可证：AO=CO=BO，∠ABC=∠ACO=45°，∴∠OCE=∠OBF=135°，∵∠AOC=∠EOF=90°，∴∠COE=∠BOF，∴△COE≌△BOF(ASA)，∴OE=OF=6，×OE⋅OF=18，∴SΔEOF=12故答案为：18；(2)解：如图3，连接CO，过点O作HO⊥FO，交CA的延长线于点H，∵AC=BC，∠ACB=90°，点O为AB的中点，∴AO=CO=B0,∠AOC=∠FOH=90°,∠BAC=∠BCO=45°，∴.∠COF=∠AOH,∠OCF=∠OAH=135°，∴△COF≌△AOH(ASA)，∴CF=AH=3,OF=OH，∵∠EOF=45°,∠FOH=90°，∴∠EOF=∠EOH=45°，又∵OF=OH,EO=EO，∴△EOF≌△EOH(SAS)，∴EF=EH=5，∴.AE=EH-AH=2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】1如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．(1)如图1，求证：BD=CE；(2)如图2，当AD=CD时，过点C作CM⊥AD于点M，如果DM=2，求CD-BD的值．【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)过A作AH⊥BC于点H，根据三线合一可得：BH=CH，DH=EH，即可证明；(2)过A作AH⊥BC于点H，易证△AHD≌△CMD，可得MD=DH，即可求解．【详解】(1)证明：如图过A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AE，∴DH=EH，∴BD=CE；(2)解：过A作AH⊥BC于点H，在△AHD 和△CMD 中，∠CDM =∠ADH∠CMD =∠AHD =90°CD =AD∴△AHD ≌△CMD AAS ，∴DH =MD ，∴CD -BD =CH +DH -BH -DH =2DH =2MD =4．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1如图，△ADB 与△BCA 均为等腰三角形，AD =AB =CB ，且∠ABC =90°，E 为DB 延长线上一点，∠DAB =2∠EAC．(1)若∠EAC =20°，求∠CBE 的度数；(2)求证：AE ⊥EC ；(3)若BE =a ，AE =b ，CE =c ，求△ABC 的面积(用含a ，b ，c 的式子表示)．【答案】(1)20°(2)见解析(3)12a 2+12bc 【分析】(1)先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出∠D =∠DBA =70°，即可由∠CBE =180°-∠DBA -∠ABC 求解；(2)过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，证明△BAF ≌△CBG AAS ，得出AF =BG ，BF =CG ，进而求得∠AEF =∠ACB =45°，∠CEG =∠AEF =45°，即可得出∠AEC =90°，从而得出结论；(3)由(2)可知CG =BF ，AF =EF ，从而有CG =BF =EF -BE =AF -BE ，再根据S △ABC =S △AEB +S △AEC -S △BEC ，则有S △ABC =12BE ⋅AF +12AE ⋅EC -12BE ⋅CG =12BE AF -CG +12AE ⋅EC =12BE ⋅BE +12AE ⋅EC ，即可求解．【详解】(1)解：∵∠EAC =20°，∠DAB =2∠EAC ，∴∠BAD =40°，∵AD =AB ，∴∠D =∠DBA =12180°-∠BAD =12180°-40° =70°，又∵∠ABC =90°，∴∠CBE =180°-70°-90°=20°．(2)证明：过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，∴∠AFB =∠ABC =∠CGB =90°，又∵AD =AB =CB ，∴∠BAC =∠ACB =45°，∠FAB =12∠DAB =∠CAE ，∵∠FAB +∠FBA =∠FBA +∠CBG =90°，∴∠FAB =∠CBG =∠CAE ，∴在△BAF 和△CBG 中，∠BAF =∠CBG∠AFB =∠CGB AB =BC，∴△BAF ≌△CBG AAS ，∴AF =BG ，BF =CG ，∵∠CBG =∠CAE ，设AE 、BC 交于点O ，则∠AEF =180°-∠CBG -∠BOE∠ACB =180°-∠CAE -∠AOC又∠BOE =∠AOC ，∴∠AEF =∠ACB =45°，∴AF =EF =BG ，BF =CG ，∴BF =EG =CG ，∴∠CEG =∠AEF =45°，∴∠AEC =90°，∴AE ⊥EC ．(3)解：由(2)可知CG =BF ，AF =EF ，∴CG =BF =EF -BE =AF -BE ，∵S △ABC =S △AEB +S △AEC -S △BEC ，∴S △ABC =12BE ⋅AF +12AE ⋅EC -12BE ⋅CG ．=12BE AF -CG +12AE ⋅EC =12BE ⋅BE +12AE ⋅EC =12a 2+12bc ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．2已知OP 平分∠MON ，如图1所示，点B 在射线OP 上，过点B 作BA ⊥OM 于点A ，在射线ON 上取一点C ，使得BC =BO ．(1)若线段OA =3cm ，求线段OC 的长；(2)如图2，点D 是线段OA 上一点，作∠DBE ，使得∠DBE =∠ABO ，∠DBE 的另一边交ON 于点E ，连接DE ．①∠OBC =2∠DBE 是否成立，请说明理由；②请判断三条线段CE ，OD ，DE 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)6cm(2)①∠OBC =2∠DBE 成立，理由见解析；②CE =OD +DE ，理由见解析【分析】(1)如图所示，过点B作BH⊥OC于H，由三线合一定理得到OC=2OH，由角平分线的定义得到∠BOA=∠BOH，进一步证明△BAO≌△BHO，得到OH=OA=3cm，则OC=2OH=6cm；(2)①如图所示，过点B作BH⊥OC于H，由三线合一定理得到∠OBC=2∠OBH，同(1)可得△BAO≌△BHO，则∠OBH=∠OBA，由∠DBE=∠ABO，即可推出∠OBC=2∠OBH=2∠DBE；②如图所示，在CE上截取CQ=OD，连接BQ，先证明∠BOD=∠BCQ，进而证明△BOD≌△BCQ，得到BD=BQ，∠OBD=∠CBQ，进一步证明∠EBQ=∠EBD，从而证明△EBD≌△EBQ，得到DE=QE，由CE=CQ+QE可证明CE=OD+DE．【详解】(1)解：如图所示，过点B作BH⊥OC于H，∵BC=OB，BH⊥OC，∴OH=CH，即OC=2OH，∵OP平分∠MON，∴∠BOA=∠BOH，∵BA⊥OM，BH⊥OC，∴∠BAO=∠BHO=90°，又∵OB=OB，∴△BAO≌△BHO AAS，∴OH=OA=3cm，∴OC=2OH=6cm(2)解：①∠OBC=2∠DBE成立，理由如下：如图所示，过点B作BH⊥OC于H，∵BC=OB，BH⊥OC，∴∠OBH=∠CBH，即∠OBC=2∠OBH，同(1)可得△BAO≌△BHO，∴∠OBH=∠OBA，∵∠DBE=∠ABO，∴∠DBE=∠OBH，∴∠OBC=2∠OBH=2∠DBE；②CE=OD+DE，理由如下：如图所示，在CE上截取CQ=OD，连接BQ，∵OB=BC，∴∠BOC=∠BCO，∵△BAO≌△BHO，∴∠BOA=∠BOH，∴∠BOD=∠BCQ，∴△BOD≌△BCQ SAS，∴BD=BQ，∠OBD=∠CBQ，∠OBC，∵∠DBE=12∠OBC，∴∠OBD+∠ODE=12∴∠CBQ+∠ODE=1∠OBC，∴∠EBQ =12∠OBC ，∴∠EBQ =∠EBD ，又∵EB =EB ，∴△EBD ≌△EBQ SAS ，∴DE =QE ，∵CE =CQ +QE ，∴CE =OD +DE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】1如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 的中点，过点E 作FG ⊥AD 交AD 的延长线于H ，交AB 于F ，交AC 的延长线于G ．求证：(1)AF =AG ；(2)BF =CG ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据ASA 证明△AHF ≌△AHG ，即可得出AF =AG ；(2)过点C 作CM ∥AB 交FG 于点M ，由△AHF ≌△AHG 可得∠AFH =∠G ，根据平行线的性质得出∠CMG =∠AFH ，可得∠CMG =∠G ，进而得出CM =CG ，再根据据ASA 证明△BEF ≌△CEM ，得出BF =CM ，等量代换即可得到BF =CG ．【详解】(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAH =∠GAH ，∵FG ⊥AH ，∴∠AHF =∠AHG =90°，在△AHF 和△AHG 中，∠FAH =∠GAHAH =AH ∠AHF =∠AHG，∴△AHF ≌△AHG ASA，∴AF =AG ；(2)证明：过点C 作CM ∥AB 交FG 于点M ，∵△AHF ≌△AHG ，∴∠AFH =∠G ，∵CM ∥AB ，∴∠CMG =∠AFH ，∴∠CMG =∠G ，∴CM =CG ，∵E 是BC 的中点，∴BE =CE ，∵CM ∥AB ，∴∠B =∠ECM ，在△BEF 和△CEM 中，∠B =∠ECMBE =CE ∠BEF =∠CEM，∴△BEF ≌△CEM ASA ，∴BF =CM ，∴BF =CG ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键．【变式训练】1如图所示，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A =∠ABD ，若BD =1，BC =3，求：线段AC的长．【答案】5【分析】延长BD 交AC 于点E ，由题意可推出BE =AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC =CE ，AE =BE =2BD ，根据BD =1，BC =3，即可求出AC 的长度．【详解】解∶延长BD 交AC 于点E ，∵∠A =∠ABD ，∴BE =AE ，∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD ，∴∠BDC =∠EDC =90°，∴∠BCD +∠EBC =∠ECD +∠BEC =90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD =∠ECD ，∴∠EBC =∠BEC ，∴BC =CE，∵BE ⊥CD ，∴BE =2BD ，∵BD =1，BC =3，∴BE =2，CE =3，∴AE =BE =2，∴AC =AE +EC =2+3=5．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．2如图，AD 为△ABC的角平分线．(1)如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB =8，AC =5．则BE =．(2)如图2，若∠C =2∠B ，点E 在AB 上，且AE =AC ，AB =a ，AC =b ，求CD 的长；(用含a 、b 的式子表示)(3)如图3，BG ⊥AD ，点G 在AD 的延长线上，连接CG ，若△ACG 的面积是7，求△ABC 的面积．【答案】(1)3(2)a -b(3)14【分析】(1)利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得出AE =AC =5，再利用BE =AB -AE 即可求得答案；(2)利用SAS 证明△AED ≌△ACD ，得出∠AED =∠C ，ED =CD ，由题意可得出BE =AB -AE =a -b ，再利用等角对等边证得DE =BE ，即可得出答案；(3)延长AC 、BG 交于H ，先证明△ABG ≌△AHG ，得出：BG =GH ，S △ABG =S △AHG ，利用等底等高的两个三角形面积相等可得S △CBG =S △CGH ，设S △CBG =S △CGH =x ，即可得出答案．【详解】(1)解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAF =∠CAF ，∵CE ⊥AD ，∴∠AFE =∠AFC =90°，在△AEF 和△ACF 中，∠EAF =∠CAFAF =AF ∠AFE =∠AFC，∴△AEF ≌△ACF ASA ∴AE =AC =5，∵AB =8，∴BE =AB -AE =8-5=3；故答案为：3．(2)解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD =∠CAD ，在△AED 和△ACD 中，AE =AC∠EAD =∠CAD AD =AD，∴△AED ≌△ACD SAS ，∴∠AED =∠C ，ED =CD ，∵AE =AC ，AB =a ，AC =b ，∴BE =AB -AE =a -b ，在△BDE 中，∠AED =∠B +∠BDE ，∴∠C =∠B +∠BDE ，∵∠C =2∠B ，∴∠B =∠BDE ，∴DE =BE =a -b ，∴CD =a -b ；(3)解：如图，延长AC 、BG 交于H ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAG =∠HAG ，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB =∠AGH =90°，在△ABG 和△AHG 中，∠BAG =∠HAGAG =AG ∠AGB =∠AGH，∴△ABG ≌△AHG ASA ,∴BG =GH ，S △ABG =S △AHG ，∴S △CBG =S △CGH ，设S △CBG =S △CGH =x ，∵S △ACG =7，∴S △AGH =S △ACG +S △CGH =7+x ，∴S △ABG =S △AHG =7+x ，∴S △ABH =27+x =14+2x ，∴S △ABC =S △ABH -S △CBG +S △CGH =14+2x -x +x =14．【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 是BC 边上的一个动点，连接AD 并延长，过点B 作BF ⊥AD 交AD 延长线于点F．(1)如图1，若AD 平分∠BAC ，AD =6，求BF 的值；(2)如图2，M 是FB 延长线上一点，连接AM ，当AD 平分∠MAC 时，试探究AC 、CD 、AM 之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，连接CF ，①求证：∠AFC =45°；②S △BCF =354，S △ACF =21，求AF 的值．【答案】(1)3(2)AC +CD =AM ，理由见解析(3)①证明见解析；②12【分析】(1)如图，分别延长AC ，BF 交于点E ．证明△ADC ≌△BEC ASA ，得到BE =AD =6，再证明△ABF ≌△AEF ，即可得到BF =EF =12BE =3；(2)如图，分别延长BF ，AC 交于点E ，由(1)可得△ACD ≌△BCE ，得CD =CE ，再证△AFM ≌△AFE 得到AM =AE ，由此可得结论；(3)如图所示，在AD 上截取AH =BF ，证明△ACH ≌△BCF ，得到CH =CF ，∠ACH =∠BCF ，进一步证明∠HCF =90°，则∠CFH =∠CHF =180°-∠HCF 2=45°；②如图所示，过点C 作CG ⊥HF 于G ，则△CGH 、△CGF 都是等腰直角三角形，可得GH =GF =GC ，由全等三角形的性质得到S △ACH =S △BCF =354则S △CHF =S △ACF -S △ACH =494，据此求出HF =7，则CG =3.5，进一步求出AH =5则AF =AH +HF =12．【详解】(1)解：如图，分别延长AC ，BF 交于点E ．∵BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠ACB=90°，又∵∠ADC =∠BDF ，∴∠DAC =∠EBC ．在△ADC 和△BEC 中，∠DAC =∠EBCAC =BC∠ACD =∠BCE =90°∴△ADC ≌△BEC ASA ．∴BE =AD =6；∵BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠AFE =90°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAF =∠EAF ．在△ABF 和△AEF 中，∠BAF =∠EAFAF =AF∠AFB =∠AFE∴△ABF ≌△AEF ASA ．∴BF =EF =12BE =3；(2)解：AC +CD =AM ，理由如下：如图所示，延长MF ，AC 交于点E ．由(1)可得，△ADC ≌△BCE ，∴CD =CE ．∵BF ⊥AD ，∴∠AFM =∠AFE =90°，∵AF 平分∠MAE ，∴∠MAF =∠EAF ．在△AMF 和△AEF 中，∠MAF =∠EAFAF =AF∠AFM =∠AFE∴△AFM ≌△AFE ASA ．∴AM =AE ．∵AE =AC +CE =AC +CD ．∴AC +CD =AM ．(3)解：①如图所示，在AD 上截取AH =BF ，在△ACH 和△BCF 中，AH =BF∠CAH =∠CBF AC =BC，∴△ACH ≌△BCF SAS ，∴CH =CF ，∠ACH =∠BCF ，∵∠ACH +∠BCH =90°，∴∠BCF +∠BCH =90°，即∠HCF =90°，∴∠CFH =∠CHF =180°-∠HCF 2=45°；②如图所示，过点C 作CG ⊥HF 于G ，∴∠GCH =GCF =45°，∴△CGH 、△CGF 都是等腰直角三角形，∴GH =GF =GC ，∵△ACH ≌△BCF ，∴S △ACH =S △BCF =354∴S △CHF=S △ACF -S △ACH =494，∴12HF ⋅CG =494，即12HF ⋅12HF =494，∴HF =7，∴CG=3.5，∴1 2AH×3.5=354，∴AH=5，∴AF=AH+HF=12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4(2022春·河北石家庄·八年级校考期中)(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据证明△AOC≌△BOC，则AO=BO，AC= BC(即点C为AB的中点)．(2)【类比解答】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE=．(3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取∠ACB的角平分线CD；②过点A作AD⊥CD于D．已知BC=13，AC=10，△ABC面积为20，则划出的△ACD的面积是多少？请直接写出答案．【答案】(1)ASA(2)26°(3)BE=12CD，证明见解析(4)△ACD的面积是10013【分析】(1)证△AOC≌△BOC(ASA)，得AO=BO，AC=BC即可；(2)延长AE交BC于点F，由问题情境可知，AC=FC，再由等腰三角形的性质得∠EFC=∠EAC=63°，然后由三角形的外角性质即可得出结论；(3)拓展延伸延长BE、CA交于点F，证△ABF≌△ACD(ASA)，得BF=CD，再由问题情境可知，BE=FE =12BF ，即可得出结论；(4)实际应用延长AD 交BC 于E ，由问题情境可知，AD =ED ，EC =AC =10，则S △ACD =S △ECD ，再由三角形面积关系得S △ACE =1013S △ABC =20013，即可得出结论．【详解】(1)解：∵OP 平分∠MON ，∴∠AOC =∠BOC ，∵AC ⊥OP ，∴∠ACO =∠BCO ，∵OC =OC ，∴△AOC ≌△BOC (ASA )，∴AO =BO ，AC =BC ，故答案为：ASA ；(2)解：如图2，延长AE 交BC 于点F ，由可知，AC =FC ，∴∠EFC =∠EAC =63°，∵∠EFC =∠B +∠DAE ，∴∠DAE =∠EFC -∠B =63°-37°=26°，故答案为：26°；(3)解：BE =12CD ，证明如下：如图3，延长BE 、CA 交于点F ，则∠BAF =180°-∠BAC =90°，∵BE ⊥CD ，∴∠BED =90°=∠BAC ，∵∠BDC =∠ABF +∠BED =∠ACD +∠BAC ，∴∠ABF =∠ACD ，又∵AB =AC ，∴△ABF ≌△ACD (ASA )，∴BF =CD ，由问题情境可知，BE =FE =12BF ，∴BE =12CD ；(4)解：如图4，延长AD 交BC 于E ，由问题情境可知，AD =ED ，EC =AC =10，∴S △ACD =S △ECD ，∵S △ABC =20，∴S △ACE =1013S △ABC =20013，∴S △ACD =12S △ACE =10013，答：△ACD 的面积是10013．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．。

轴对称(精选精练)(全章常考知识点分类专题)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册专项突破

专题13.13轴对称（精选精练）（全章常考知识点分类专题）【考点目录】【考点1】识别轴对称图形；【考点2】利用轴对称图形性质求解；【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；【考点5】利用轴对称性质求最值；【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；【考点7】等腰三角形（三线合一）；【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；【考点9】等腰三角形性质与判定求值证明；【考点10】等边三角形的性质与判定求；【考点11】含30度的直角三角形；【考点12】课题学习（最短路径问题）.一、单选题【考点1】识别轴对称图形；1．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）银行是现代金融业的主体，是国民经济运转的枢纽，下列银行标志图案是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（）A ．圆B ．正方形C ．梯形D ．等边三角形【考点2】利用轴对称图形性质求解；3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，ABC V 和AB C ''△关于直线l 对称，l 交CC '于点D ，若4,2,1AB B C CD ''===，则五边形ABCC B ''的周长为（）A ．14B ．13C ．12D ．114．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点()5,6A -关于点()0,P m 对称的点A '在x 轴上，则m 的值为（）A ．3-B ．52-C ．52D ．3【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；5．（2024·浙江·模拟预测）如图，将一张长方形纸条折叠，如果2∠比1∠大90︒，则2∠的度数为（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒6．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把ABC V 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外面时，此时测得1112∠=︒，40A ∠=︒，则2∠的度数为（）A ．32︒B ．33︒C ．34︒D ．36︒【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；7．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）．A ．MAF NAF ∠=∠B ．EF DF =C ．DAF DFA ∠=∠D ．AF D E⊥8．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在ABC V 中，AB 的垂直平分线DM 交BC 于点D ，边AC 的垂直平分线EN 交BC 于点E ．已知ADE V 的周长为8cm ，则BC 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；9．（15-16八年级上·重庆荣昌·期末）如图，四边形ABCD 中，130BAD ∠︒＝，90B D ∠∠︒＝＝，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使AMN 的周长最小时，则ANM AMN ∠+∠的度数为（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．130︒10．（19-20九年级·安徽·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，10,AB AD =是BAC ∠的平分线．若,P Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是（）A ．2.4B ．4.8C ．4D ．5【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；11．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在PAB 中，,,,PA PB M N K =分别是,,PA PB AB 上的点，且,AM AK BN BK ==，若44MKN ∠=︒，则P ∠=（）°A ．66B ．92C ．96D ．9812．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在ABC V 中，BE ，CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，ED AC ∥，交BC 于点D ，EF AB ⊥于点F ．若35BC =，5EF =，13DE =，则EBD △的面积为（）A ．50B ．55C ．60D ．65【考点7】等腰三角形（三线合一）；13．（2024·广西·模拟预测）如图，在ABC V 中，AB AC =，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若ABC V 面积为40，且BM MD +长度的最小值为10，则BC 长为（）A ．5B ．6C ．8D ．1014．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，ABC V 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．下列结论：①AEF AFE ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AG EF ⊥；④FG AC ．其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；15．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知a ，b 是等腰三角形的两腰，c 为底边，若22m a ac bc b =-+-，则下列说法正确的是（）A ． 0m >B ．0m =C ．0m <D ． 0m >或0m <16．（2024八年级上·江苏·专题练习）在ABC V 中，AB AC =，AB 的垂直平分线与AC 所在直线的夹角为50︒，则这个等腰三角形的顶角为（）A ．40︒B ．50︒C ．40︒或140︒D ．50︒或130︒【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；17．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，B C ∠∠、的平分线相交于F ，过点F 作DE BC ∥，交AB于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的是①BDF CEF 、都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE V 的周长为+AB AC ；④BD CE =．（）A ．③④B ．①②C ．①②③D ．②③④18．（2024·四川泸州·二模）如图，在ABC V 中，AB AC =，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB AC ，于点D 和点E ；②以点B 为圆心，AD 长为半径作弧，交AB 于点F ；③以F 为圆心，DE 长为半径作弧，在ABC ∠内部交前面的弧于点G ；④过点G 作射线BG 交AC 于点H ．若62BC C A =∠=∠，，则AH 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明;19．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在ABC V 中，60ABC ∠=︒，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，若5AB =，3CE =，则BC 的长为（）A ．4B ．92C ．5D ．20．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在ABC V 中，30A ACB ∠=∠=︒，分别以点B ，A 为圆心，BC ，AC 长为半径作弧，两弧交于点D ，连接CD ，交AB 的延长线于点E ．有下列结论：①60CBE ∠=︒；②ABC S BE CE =⋅△；③AC CD =；④AE 垂直平分线段CD ．其中，正确结论是（）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【考点11】含30度的直角三角形；21．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BD 于点M ，交BC 于点E ，连接DE ，则:CDE ABC S S △△的值是（）A ．1:2B 3C ．2:5D ．1:322．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC V 中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和点N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．若ACD 的面积为8，则ABD △的面积是（）A ．8B ．16C ．12D ．24【考点12】课题学习（最短路径问题）.23．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，Rt ABC △中，90,345C AC BC AB D E F ∠︒===＝，，，、、分别是AB BC AC 、、边上的动点，则DEF 的周长的最小值是（）A ．2.5B ．3.5C ．4.8D ．624．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形ABCDE 中，230AB BC AE DE AB BC AE DE BCD CDE ⊥⊥==∠+∠=︒，，，，，点P ，Q 分别在边BC ，D 上，连接AP ，AQ ，PQ ，当APQ △的周长最小时，PAQ ∠的度数为（）A ．50︒B ．80︒C ．100︒D ．130︒二、填空题【考点1】识别轴对称图形；25．（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是．26．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，小张和小亮下棋，小张执圆形棋子，小亮执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用()11-，表示，两人都将第4枚棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放第4枚方形棋子的位置可能是．【考点2】利用轴对称图形性质求解；27．（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．28．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在锐角ABC V 中，点O 为CAB ∠和ABC ∠的角平分线交点，过点O 作一条直线l ，交线段AB ，BC 分别于点N ，点M ．点B 关于直线l 的对称点为B '，连接B M '，B N '，分别交线段AC 于点E ，点F ．连接EO ，FO ．若ABC m ∠=︒，那么EOF ∠的度数为（用含有m 的代数式表示）．【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；29．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC ()2565A B ∠=︒∠=︒，沿DE 向下折叠，点A 落在点A '处，当EA BC '∥时，1∠=度．30．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）将一张长方形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，AE 、AF 为折痕，点B 、D 折叠后的对应点分别为B '、D ¢，若8B AD ''∠=︒，则EAF ∠的度数为．【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；31．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在ABC V 中，35A ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 和N ，直线MN 刚好经过点D ，则C ∠的度数是．32．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线m n ∥，点A 是直线m 上一点，点B 是直线n 上一点，AB 与直线m ，n 均不垂直，点P 为线段AB 的中点，直线l 分别与m ，n 相交于点C ，D ，若90,CPD CD ∠=︒=，m ，n 之间的距离为2，则PC PD ⋅的值为．【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；33．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在ABC V 中，AC 的垂直平分线FE 分别交AC ，AB 于点E ，F ，若点G 是直线EF 上一动点，H 是直线BC 上的一动点，7AB =，3CD =，5BC =，CD AB ⊥，则HG CG +的最小值为．34．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，20AOB ∠=︒，点M 、N 分别是边OA 、OB 上的定点，点P 、Q 分别是边OB 、OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++最小时，则βα-的值为.【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；35．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在ABC V 中，45BAC ∠=︒，以BC 为边向外作等腰直角三角形BCD △，连接AD ，若4AC =，则ACD S = ．36．（2024八年级上·全国·专题练习）（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，A EGF ∠=∠，F 为BE ，CG 的中点，4DB =，8DE =，则AD 的长为．【考点7】等腰三角形（三线合一）；37．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足为D ，交AC 与点E ，A ABE ∠=∠．若7AC =，4BC =，则BD 的长为．38．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰ABC V 中，点D 是底边BC 的中点，过点D 分别作,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别为点,E F ，若93,,22DF BE AF ===，则ABD △的面积为．【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；39．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）等腰三角形一个外角是150︒，则该等腰三角形的顶角度数是．40．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，120,AOC C ∠=︒是BO 延长线上的一点，10cm OC =，动点P 从点C 出发，沿CB 以2cm /s 的速度移动，动点Q 从点O 出发，沿OA 以1cm /s 的速度移动．如果点,P Q 同时出发，用s t 表示移动的时间，那么当t =时，POQ △是等腰三角形．【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；41．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，AB AC =，D 为AC 的垂直平分线上一点，且CD BC =，BD AB =，则A ∠=．42．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P 的运动时间为t ．过点D 作DE AP ⊥于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为时，能使DE CD =？【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明.43．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，ABC V 中，30,5A BC ∠=︒=，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，若CE CB =，则BCE 的周长为．44．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片ABCD 对折，使AD 与BC 重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B 落在EF 上，并使折痕经过点A ，得到折痕AM ，点B ，E 的对应点分别为G ，H ，展平纸片，连结BG ，BH ，则ABH ∠与GAM ∠的关系是．【考点11】含30度的直角三角形；45．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图，OP 平分AOB ∠，15AOP ∠=︒，PC OA ，PD OA ⊥于点D ，4PC =，则PD =．46．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，ABC V 是等边三角形，4AB =．过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，则DQ 的最小值为．【考点12】课题学习（最短路径问题）.47．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．48．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，6,30AB DBC =∠=︒，点E 、F 分别是边AD 、BC 上的动点，且EF BD ⊥，当BE DF +取得最小值时，AE 的长为．参考答案：题号12345678910答案D D A A D A C D C B 题号11121314151617181920答案C B C C BCCDAD题号21222324答案DBCB1．D【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】A 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D ．2．D【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．【详解】解：A ．圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意；B ．正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意；C ．梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意；D ．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意．故选：D ．3．A【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质，得到每边的长度即可求出周长．【详解】解：∵ABC V 和AB C ''△关于直线l 对称，l 交CC '于点D ，∴,,AB AB BC B C DC DC ''''===，∵4,2,1AB B C CD ''===，∴4,2,1AB BC DC ''===，∴五边形ABCC B ''的周长为：42112414+++++=．故选：A ．4．A【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，过A 作AH y ⊥轴于H ，则5AH =，6OH =，由轴对称的性质得到AP A P '=，证明()AAS APH A OP ' ≌，得到132OP PH OH ===，据此可得答案．【详解】解：过A 作AH y ⊥轴于H ，∵点()5,6A -，∴5AH =，6OH =，∵点A 与点A '关于点()0,P m 对称，∴AP A P '=，在APH V 与A PO '△中，90AHP A OP APH A POAP A P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴()AAS APH A OP ' ≌，∴132OP PH OH ===，∴3m =-，故选：A．5．D【分析】本题考查了平行线性质及折叠的性质．根据平行线的性质、折叠的性质得到122BAD ADC ∠=∠=∠，进而求出1218012∠=︒-，结合“2∠比1∠大90︒”求解即可．【详解】解：如图，∵AB CD ∥，∴1,BAM BAD ADC ∠=∠∠=∠，∵长方形纸条折叠，∴BAD MAD ADC ∠=∠=∠，∴122BAD ADC ∠=∠=∠，∴112ADC ∠=∠，∴1218018012ADC ∠=︒-∠=︒-∠，∵2∠比1∠大90︒，∴2190∠=∠+︒，∴119018012∠+︒=︒-∠，∴160∠=︒，∴2150∠=︒，故选：D ．6．A【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据折叠的性质得出40A A '∠=∠=︒，根据三角形外角的性质得出172DOA A ∠=∠-∠=︒，再次利用三角形外角的性质即可求出2∠的度数．【详解】解：如图，设A D '与AC 交于点O ，40A ∠=︒ ，∴根据折叠的性质，40A A '∠=∠=︒，1DOA A ∠=∠+∠ ，1112∠=︒，11124072DOA A ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，2DOA A '∠=∠+∠ ，2724032DOA A '∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A ．7．C【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由作图方法可知AD AE DF EF ==，，则可证明DAF EAF △≌△得到DAF EAF DF EF ==∠∠，，进一步可证明AF 垂直平分DE ，据此可得答案．【详解】解：由作图方法可知AD AE DF EF ==，，又∵AF AF =，∴DAF EAF △≌△，∴DAF EAF DF EF ==∠∠，，∴AF 垂直平分DE ，∴MAF NAF ∠=∠，AF D E ⊥，根据现有条件无法得到DAF DFA ∠=∠，故选：C ．8．D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得DA DB =，EA EC =，结合ADE V 的周长8cm ，得出8cm BD DE EC ++=，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．【详解】解：∵DM 是AB 的垂直平分线，∴DA DB =，∵EN 是AC 的垂直平分线，∴EA EC =，∵ADE V 的周长8cm ，∴8cm AD DE AE ++=，∴8cm BD DE EC ++=，∴8cm BC =，∴BC 的长为8cm ；故选：D ．9．C【分析】作A 点关于CD 的对称点F ，作A 点关于BC 的对称点E ，连接EF 交CD 于N ，交BC 于M ，连接AM 、AN 、此时AMN 的周长有最小值，由对称性求出50BAM DAN ∠+∠=︒，则有80MAN ∠=︒，即可求180100ANM AMN MAN ∠+∠=︒-∠=︒．【详解】解：如图，作A 点关于CD 的对称点F ，作A 点关于BC 的对称点E ，连接EF 交CD 于N ，交BC 于M ，连接AM 、AN ，∵==90B D ∠∠︒，∴=AN NF ，=AM EM ，∴AM N ∆的周长===AM AN MN NF MN EM EF ++++，此时AMN 的周长有最小值，∵=FAN F ∠∠，=E EAM ∠∠，∴=180E F BAD ∠+∠︒-∠，∵130BAD ∠=︒，∴=50E F ∠+∠︒，∴=50BAM FAN ∠+∠︒，∴()=13050=80MAN BAD BAM FAN ∠∠-∠+∠=︒-︒︒，∴=180=100ANM AMN MAN ∠+∠︒-∠︒，故选：C ．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键．10．B【分析】由题意可以把Q 关于B 对称到AB 的O 点，如此PC PQ +的最小值问题即变为C 与线段AB 上某一点O 的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．【详解】解：如图，作Q 关于B 的对称点O ，则PQ PO =，连接PO ，过点C 作CM AB ⊥于点M ，所以O 、P 、C 三点共线时，CO PC PO PC PQ =+=+，此时PC PQ +有可能取得最小值，当CO 垂直于AB 即CO 移到CM 位置时，CO 的长度最小，∴PC PQ +的最小值即为CM 的长度， 1122ABC S AB CM AC CB =⨯=⨯V ，∴684.810CM ⨯==，即PC PQ +的最小值为4.8．故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．11．C【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，即A B ∠=∠，同理得出12∠=∠，因为44MKN ∠=︒，运用平角性质算出()11218044682∠=∠=⨯︒-︒=︒，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平角，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．【详解】解：PA PB = ，A B ∴∠=∠，如图：∵,AM AK BN BK ==∴()()111180218022A B ∠=︒-∠∠=︒-∠，，∵A B ∠=∠∴12∠=∠∵44MKN ∠=︒∴()11218044682∠=∠=⨯︒-︒=︒∴44B A ∠=∠=︒在PAB 中，18092P A B ∠=︒-∠-∠=︒故选：B ．12．B【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E 作EM BC ⊥于M ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得EM ，根据平行线和角平分线的性质易证DCE DEC ∠=∠，根据等角对等边求得CD ，从而求得BD ，最后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：过E 作EM BC ⊥于M ，BE 平分ABC ∠，EM BC ⊥，EF AB ⊥，5EF =，5EM EF ∴==，CE 平分ACB ∠，ACE DCE ∴∠=∠，ED AC ∥，ACE DEC ∴∠=∠，DCE DEC ∴∠=∠，13CD DE ∴==，35BC =Q ，351322BD BC CD ∴=-=-=，11·2255522EBD S BD EM ∴==⨯⨯=V ，故选：B ．13．C【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，垂线段最短等知识．如图，连接AM ，过点A 作AH BC ⊥于点H ．根据等腰三角形的三线合一的性质得出点H 与点D 重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出10BM MD AM MD AH ∴+=+≥=最后利用三角形的面积公式求出BC 即可．【详解】解：如图，连接AM ，过点A 作AH BC ⊥于点H ．∵D 为BC 中点，AB AC =，∴点H 与点D 重合，EF 垂直平分线段AB ，MA MB =∴，10BM MD AM MD AH ∴+=+≥=，12ABC S BC AH ∆=⋅⋅ ，402810BC ⨯∴==，故选：C ．14．C【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．根据直角三角形的性质可得90ABE AEF ∠+∠=︒，90CBE BFD ∠+∠=︒，再根据角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，由此即可判断①正确；假设EBC C ∠=∠成立，可求出30C ∠=︒，根据已知条件即可判断②错误；先证出AB GB =，ABG 是等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断③正确；先根据等腰三角形的性质可得DAG AGF ∠=∠，从而可得CAG AGF ∠=∠，再根据平行线的判定即可判断④正确．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴90ABE AEF ∠+∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90CBE BFD ∠+∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，∴AEF BFD ∠=∠，又∵AFE BFD ∠=∠，∴AEF AFE ∠=∠，结论①正确；假设EBC C ∠=∠成立，∵90ABE CBE C ∠+∠+∠=︒，ABE CBE ∠=∠，∴30C ∠=︒，但已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论②错误；∵90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，∴90BAD ABC C ABC ∠+∠=︒=∠+∠，∴BAD C ∠=∠，∵AG 平分DAC ∠，∴DAG CAG ∠=∠，∴BAG BAD DAG C CAG BGA ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴AB GB =，ABG 是等腰三角形，∴AG EF ⊥，BE 垂直平分AG （等腰三角形的三线合一），结论③正确；∴AF FG =，∴DAG AGF ∠=∠，∴CAG AGF ∠=∠，∴FG AC ，结论④正确；综上，正确的结论是①③④，故选：C ．15．B【分析】该题主要考查了等腰三角形的定义以及整式加减运算，解题的关键是得出a b =．根据题意得出a b =，代入即可求解；【详解】解：∵a ，b 是等腰三角形的两腰，∴a b =，∴22220m a ac bc b a ac ac a ==-+-+-=-，故选：B ．16．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．根据题意分两种情况，当ABC V 是锐角三角形时，当ABC V 是钝角三角形时，讨论求解即可；【详解】解：分两种情况：当ABC V 是锐角三角形时，如图：DE 是AB 的垂直平分线，90ADE ∴∠=︒，50AED ∠=︒ ，9040A AED ∴∠=︒-∠=︒；当ABC V 是钝角三角形时，如图：DE 是AB 的垂直平分线，90ADE ∴∠=︒，50AED ∠=︒ ，9040DAE AED ∴∠=︒-∠=︒，180140DAC DAE ∴∠=︒-∠=︒；综上所述：这个等腰三角形的顶角为40︒或140︒，故选：C ．17．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵DE BC ∥，DFB FBC ∴∠=∠，EFC FCB ∠=∠，BF 是ABC ∠的平分线，CF 是ACB ∠的平分线，FBC DFB ∴∠=∠，FCE FCB ∠=∠，DBF DFB ∠=∠ ，EFC ECF ∠=∠，DFB ∴ ，FEC 都是等腰三角形．故①正确，DF DB ∴=，FE EC =，即有DE DF FE BD CE =+=+，故②正确，ADE ∴V 的周长AD AE DE AD AE DB EC AB AC ++=+++=+．故③正确，BD CE ，不一定相等，故④错误，故选：C ．18．D【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，证明36A ABH ∠=∠=︒，72C BHC ∠=∠=︒，推出BC BH AH ==即可．【详解】解：∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，∵2C A ∠=∠，∴2ABC C A ∠=∠=∠，∵180A ABC C ∠+∠+∠=︒，∴22180A A A ∠+∠+∠=︒，∴36A ∠=︒，由作图可知，36ABH A ∠=∠=︒∴,AH BH =72ABC C ∠=∠=︒∴723636CBH ∠=︒-︒=︒，∴180367272CHB ∠=︒-︒-︒=︒∴C CHB ∠=∠，∴6BC BH AH ===．故选：D ．19．A【分析】根据等边ACD 可得AC CD =，再根据60ABC ∠=︒可以得出CAB DCE ∠=∠，过点C 作CP AB ⊥于点P ，进而证明全等三角形，将线段AB 一分为二，分别求出两段的长度，进而求出BC 的长度．【详解】解：等边ACD ，AC CD ∴=，60ACD ∠=︒．120ACB DCE ∴∠+∠=︒．60ABC ∠=︒ ，120CAB ACB ∴∠+∠=︒．CAB DCE ∴∠=∠．过点C 作CP AB ⊥于点P，90APC ∴∠=︒．DE BC ⊥ ，90DEC ∴∠=︒．在DCE △和CAP 中，DEC CPA CAP DCE DC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)DCE CAP ∴△≌△．3CE AP ∴==．5AB = ，2BP ∴=．在Rt BPC △中，=60B ∠︒，∴9030BCP B ∠=︒-∠=︒，24BC BP ∴==．故选：A ．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有30°的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键．20．D【分析】连接AD ，BD ，根据等角对等边可得BA BC =，再利用三角形的外角性质可得60CBE ∠=︒，然后根据题意可得：BC BD =，AD AC =，从而可得AE 是CD 的垂直平分线，进而可得90AEC ∠=︒，再利用直角三角形的两个锐角互余可得60ACE ∠=︒，30BCE ∠=︒，从而在Rt BCE 中，利用含30度角的直角三角形的性质可得2BC BE =，进而利用三角形的面积公式，进行计算可得ABC S BE CE =⋅△，最后再根据等边三角形的判定可得ACD 是等边三角形，从而可得AC CD =，即可解答．【详解】解：连接AD ，BD ，30CAB ACB ∠=∠=︒ ，BA BC ∴=，CBE ∠ 是ABC V 的一个外角，60CBE CAB ACB ∴∠=∠+∠=︒，由题意得：BC BD =，AD AC =，AE ∴是CD 的垂直平分线，90AEC ∴∠=︒，9060ACE CAB ∴∠=︒-∠=︒，9030BCE CBE ∠=︒-∠=︒，2BC BE ∴=，12ABC S AB CE ∴=⋅ 12BC CE =⋅122BE CE =⨯⋅BE CE =⋅，AC AD = ，60ACE ∠=︒，ACD ∴是等边三角形，AC CD ∴=，所以，上列结论，其中正确的是①②③④，故选：D ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．D【分析】先根据30︒角的直角三角形的性质得到12AB AC =，证明()SAS ABE ADE △≌△，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴90906030C BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∴12AB AC =，由题意得：AB AD =，AP 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，在ABE 与ADE V 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴ABE ADE S S =△△，∵12AD AB AC ==，∴AD CD =，∴ADE CDE S S = ，∴3ABC CDE S S =△△，∴:1:3CDE ABC S S =△△．故选：D ．【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，30︒角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．22．B【分析】本题考查了尺规作图，含30︒的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AD 平分BAD ∠，则可求30CAD DAB ∠=∠=︒，利用含30︒的直角三角形的性质得出12CD AD =，利用等角对等边得出AD BD =，进而得出12CD BD =，然后利用面积公式即可求解．【详解】解：∵90,30C B ∠=︒∠=︒，∴60CAB ∠=︒，由作图知：AD 平分BAD ∠，∴30CAD DAB ∠=∠=︒，∴12CD AD =，B BAD ∠=∠，∴AD BD =，∴12CD BD =，∴112122ACD ABD CD AC S CD S BD BD AC ⋅===⋅ ，又ACD 的面积为8，∴ABD △的面积是2816⨯=，故选B ．23．C【分析】如图作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，B ，EN ，FM ，DN ，DM ．由MCA DCA ∠∠=，BCN BCD ∠∠=，90ACD BCD ∠∠+=︒，推出180MCD NCD ∠∠+=︒，可得M 、B 、N 共线，由DF DE EF FM EN EF ++=++，FM EN EF MN ++≥，可知当M 、F 、E 、N 共线时，且CD AB ⊥时，DE EF FD ++的值最小，最小值2CD =，求出B 的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，B ，EN ，FM ，DN ，DM．∴DF FM =，DE EN =，CD CM =，CD CN =，∴CD CM CN ==，∵MCA DCA ∠∠=，BCN BCD ∠∠=，90ACD BCD ∠∠+=︒，∴180MCD NCD ∠∠+=︒，∴M 、C 、N 共线，∵DF DE EF FM EN EF ++=++，∵FM EN EF MN ++≥，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD AB ⊥时，DE EF FD ++的值最小，最小值为2MN CD =，∵CD AB ⊥，∴1··2AB CD =1··2BC AC ，∴CD =·BC AC AB =1252.4=，∴DE EF FD ++的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．24．B【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长A 到点G 使得BG AB =，延长AE 到点F 使得EF AE =，连接GF 交BC 、D 于点1P 、1Q ，则这时APQ △的周长最小，根据无变形的内角和求出BAE ∠的度数，根据轴对称的性质得到1P AG G ∠=∠，1Q AF F ∠=∠，然后计算解题即可．【详解】解：延长A 到点G 使得BG AB =，延长AE 到点F 使得EF AE =，∵AB BC AE DE ⊥⊥，，∴BC 、D 垂直平分AG 、AF ，连接GF 交BC 、D 于点1P 、1Q ，则11PG P A =，11Q F Q A =，∴11111111FG PG PQ Q F P A PQ Q A=++=++，这时APQ △的周长最小，∵AB BC AE DE ⊥⊥，，∴90ABC AED ∠=∠=︒，又∵230BCD CDE ∠+∠=︒，∴()5405409090230130BAE ABC AED BCD CDE ∠=︒-∠-∠-∠+∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴180********G F BAE ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，又∵11PG P A =，11Q F Q A =，∴1P AG G ∠=∠，1Q AF F ∠=∠，∴11111305080P AQ BAE P AG Q AF BAE G F ∠∠∠=∠--=∠-∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．25．直角梯形【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形概念进行分析即可；【详解】解：线段、角、圆、等腰三角形和正方形都能找到一条(或多条)直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；直角梯形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；所以不是轴对称图形的是直角梯形，故答案为：直角梯形．26．(1,2)-【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义确定第4枚方形的位置，即可解答．此题主要考查了轴对称图形的性质以及点的坐标，正确得出原点位置是解题关键．【详解】解：如图：符合题意的点为(1,2)-．故答案为：(1,2)-．27．36【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明2APF AFP A ∠∠∠==，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．【详解】解：APT 与CPT △关于直线PT 对称，A C TA TC APT CPT ∠∠∠∠∴===，，，A APT ∠∠= ，A C APT CPT ∠∠∠∠∴===，FTC C ∠∠= ，22AFP C FTC C A ∠∠∠∠∠∴=+==，180A APF AFP ∠∠∠++=︒ ，5180A ∴∠=︒，36A ∴∠=︒，故答案为：36．28．1902m ︒-︒【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，过点O 作OH BC ⊥，OI AB ⊥，OJ B N '⊥，OK AC ⊥，OG B M '⊥，根据角平分线的性质定理得到OG OK =，然后证明出()Rt Rt HL GOF KOF ≌，得到GOF KOF ∠=∠，KOE JOE ∠=∠，然后求出12EOF GOJ ∠=∠，然后根据对称的性质得到A m B BC ∠=︒'∠=，进而求解即可．【详解】如图所示，过点O 作OH BC ⊥，OI AB ⊥，OJ B N '⊥，OK AC ⊥，OG B M '⊥∵点O 为CAB ∠和ABC ∠的角平分线交点，∴OH OI OK==∵点B 关于直线l 的对称点为B '，∴OM 平分B MB '∠，ON 平分B NB'∠∴OH OG =，OI OJ=∴OG OK=∵90OGF OKF ∠=∠=︒，OF OF=∴()Rt Rt HL GOF KOF ≌∴GOF KOF∠=∠同理可得，KOE JOE∠=∠∴111222EOF KOF KOE GOK JOK GOJ ∠=∠+∠=∠+∠=∠∵点B 关于直线l 的对称点为B '，∴A m B BC ∠=︒'∠=∵9090180B GO B JO ''∠+∠=︒+︒=︒∴180180GOJ B m '∠=︒-∠=︒-︒∴()11118090222EOF GOJ m m ∠=∠=︒-︒=︒-︒．故答案为：1902m ︒-︒．29．70【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理．先根据已知条件求出ACB ∠的度数，然后根据折叠可知：∠AED ＝∠A ′ED ＝45°，再利用平行线的性质求出EFD ∠，最后利用三角形内角和求出1∠即可．【详解】解：由折叠可知：AED A ED ∠=∠'，∵2565A B ∠=︒∠=︒，，∴A B ∠∠=︒+90，∴90ACB ∠=︒，∵EA BC '∥，∴90AEA ACB ∠'=∠=︒，∴45AED A ED ∠=∠'=︒，∵'EA BC ∥，65B ∠=︒，∴65EFD B ∠=∠=︒，∵1180EFD A ED ∠+∠+∠'=︒，∴1180654570∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：70．30．41︒/41度【分析】本题考查了折叠的性质，由长方形和折叠的性质结合题意可求出49EAB FAD ''∠+∠=︒．再根据EAF EAB FAD B AD ''''∠=∠+∠-∠，即可求出答案．掌握折叠的性质是解题的关键．【详解】解：由长方形的性质可知：90BAE EAD B AD B AF DAF ''''∠+∠+∠+∠+∠=︒，。

三线合一的知识点

三线合一的知识点
嘿，朋友！今天咱来聊聊“三线合一”这个超厉害的知识点呀！
你看啊，就拿等腰三角形来说吧。

在等腰三角形里，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，这三条线可神奇了，它们竟然是合一的哟！比如说，有个等腰三角形 ABC，AB=AC，AD 是它底边上的高，那这时候 AD 不也
是顶角∠BAC 的平分线，还是底边 BC 的中线啊！哇塞，是不是很神奇呀！
这就好像一个团队里，有个人既能当指挥，又能当主力，还能做好后勤保障一样，简直太棒了！你想想，如果没有三线合一，那得有多麻烦呀！
所以说呀，三线合一真的是非常重要呢！它让我们对等腰三角形的理解更加深入，也让我们在解决很多几何问题的时候更加得心应手。

记住它准没错啦！。

专题54 巧作三线合一构造全等三角形(解析版)

2
2
∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=100∘
∴AD 平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=50.
2.如图，在△ABC 中，AB=AC，AD=DB=BC，DE⊥AB 于点 E，若 CD=4，且△BDC 的周长为 24，求 AE 的
长。
解答： ∵AD=DB=BC，CD=4，且△BDC 的周长为 24 ∴AD=DB=BC=10 ∴AC=14 ∵AB=AC ∴AB=14 ∵AD=DB，DE⊥AB
解答：证明：延长 BA 交 CD 的延长线于点 E.
∵BF 是∠CBA 的角平分线 ∴∠CBF=∠DBA ∵BD⊥CE
4
∴∠BDC=∠EDB ∵∠CBF=∠DBA，BD=BD，∠BDC=∠EDB ∴△BDC≌△BDE ∴CD=DE ∵∠BAC=90° ∴AC⊥AB，即△BAF 是直角三角形 ∵∠BAC=90°，∠BDC=90° ∴∠BAC=∠BDC ∵∠DBA+∠BED=∠BDC，∠ECA+∠AEC=∠BAC，∠BAC=∠BDC，∠AEC=∠BED ∴∠DBA=∠ECA ∵∠DBA=∠ECA，AB=AC，∠BAC=∠CAE=90° ∴△CAE≌△BAF ∴BF=CE ∵CD+DE=CE，CD=DE，BF=CE ∴BF=2CD. 6.如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且∠ABC=2∠C. 求证：CD=AB+BD.
求证：AF⊥CD．

7
证明：如图，连接 AC，AD
在△ABC 和△AED 中，
AB AE（已知） B E（已知） BC ED（已知）
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD（全等三角形对应边相等）
∵F 是 CD 的中点
∴CF=DF

八年级几何三线合一知识点

八年级几何三线合一知识点几何三线合一，指的是平面几何中的三条直线：角平分线、中线、高线，若它们的三个交点重合，则称之为几何三线合一。

这一概念在中学数学教学中是一个非常重要的知识点，它不仅是求解相关问题的基础，同时也具有一定的美学价值。

下面将从几何三线的定义、性质、应用及相关习题等方面进行阐述。

一、几何三线的定义在任意三角形ABC中，连接角A的平分线AD，角A的高线AE，以及AB中点M的中线MC，并使它们相交于一点O。

若AD、AE和MC三条直线交于同一点O，则称几何三线合一。

二、几何三线的性质1. 几何三线合一的位置是固定的，不受三角形形状的影响。

2. 几何三线合一的交点O是三角形ABC内心的位置。

3. 连接三角形的顶点和内心的直线分别垂直于角平分线、中线、高线。

4. 在等边三角形中，几何三线合一的交点O就是三角形的重心和垂心。

5. 几何三线性质中最为著名和重要的是欧拉线，将中心线、中线和垂心连成一条直线，就是欧拉线。

欧拉线是几何三线的扩展，它将三角形的重心、外心、内心和垂心一起联系在了一起。

三、几何三线的应用1. 求解三角形内心：通过几何三线合一可以得出三角形内心在角平分线、中线、高线的交点O处。

2. 求解三角形面积：利用几何三线求解三角形的高，然后可以求出三角形的面积。

3. 求解三角形高线长度：利用几何三线合一可以得出三角形的高线长度h。

4. 求解三角形垂心或重心的位置：通过连立几何三线的垂足可以得出垂心的位置，而通过几何三线合一可以得出重心的位置。

四、相关习题1. 在三角形ABC中，已知AB=5，AC=12，BC=13，求三角形内心I的坐标。

2. 在三角形ABC中，已知边长为3、4、5，求此三角形的内切圆的半径。

3. 在三角形ABC中，垂线AD、BE、CF交于点H，求证：HO = R + r。

通过以上的介绍，我们可以看到几何三线合一是数学教育中非常重要的一个知识点，它涉及到诸多性质和应用，是我们学习数学的基础。

人教版八年级数学等腰三角形“三线合一”的性质讲义 (含解析)

第6讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。

我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。

因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。

知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。

2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”） AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。

2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】在△ABC中，AB=AC，∠A﹣∠B=15°，则∠C的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．70°【答案】B【解析】根据已知可得到该三角形的为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和公式即可求得∠C的度数．解：∵AB=AC，∠A﹣∠B=15°∴∠B=∠C，∠A=∠B+15°∵∠B+∠C+∠A=180°∴∠C=55°．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了三角形内角和等腰三角形的性质；进行角的等量代换是解答本题的关键．教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，求∠A的大小？【答案】【解析】由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．解：∵BD=BC=AD，∴△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又∵AB=AC可知，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠A=36°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】在△ABC中，AB=AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（）A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高【答案】B【解析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠A是顶角，∴∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高相互重合．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．利用等腰三角形“三线合一”的性质时，首先要找到顶角．教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是（）A．∠BAD=∠CAD B．AD⊥BC C．∠B=∠C D．∠BAC=∠B【答案】D【解析】由在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．解：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C．故A、B、C正确，D错误．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．AD是△ABC的中线D．△ABC是等边三角形【答案】D【解析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可作出判断．解：∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠B=∠C，AD是△ABC的中线，高线，∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，∵在Rt△ABD与Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS），故A、B、C都成立，只有D不一定成立．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．[三线合一]教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD= cm．【答案】3【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=BC．解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=BC=×6=3cm．故答案为：3．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD= ．【答案】2【解析】根据△ABC是等边三角形可知AB=AC，再由BD⊥AC可知AD=AC，由此即可得出结论．解：∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AB=AC=4，∵BD⊥AC，∴AD=AC=×4=2．故答案为：2讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC．求证：∠1=∠2．【答案】∠1=∠2【解析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF，再根据等边对等角即可求解．证明：连接AD．∵点D是BC边上的中点∴AD平分∠BAC（三线合一性质），∵DE⊥AB，DF⊥AC．∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠1=∠2（等边对等角）．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC．求证：（1）∠BAD=∠CAD．（2）AD⊥BC．【答案】（1）∠BAD=∠CAD；（2）AD⊥BC．【解析】（1）利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，然后根据等腰三角形三线合一证明即可．证明：（1）在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD；（2）∵△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，又∵AB=AC，∴AD⊥BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，求出两个三角形全等是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】△ABC中，AB=AC，中线BD将△ABC周长分成12和9两部分．求△ABC三边．【答案】8，8，5或6，6，9【解析】设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．解：设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成12和9两部分，∴有两种情况：1、当3x=12，且x+y=9，解得x=4，y=5，∴三边长分别为8，8，5；2、当x+y=12且3x=9时，解得x=3，y=9，此时腰为6，三边长分别为6，6，9，综上，三角形的三边长为8，8，5或6，6，9．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．教学建议：学会分情况讨论及掌握三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由．【答案】（1）3cm；（2）底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【解析】（1）设底边长为xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；（2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，根据题意得，x+3x+3x=21，解得x=3cm；（2）若5cm为底时，腰长=（21﹣5）=8cm，三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形，若5cm为腰时，底边=21﹣5×2=11，三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，∵5+5=10＜11，∴不能围成三角形，综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．教学建议：熟悉等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【答案】（1）△DEF是等腰三角形；（2）70°【解析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．教学建议：通过证明两个三角形全等得到角相等，再利用等角对等边判断为等腰三角形是关键.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若△ABD的周长是a，BC=b，求△BCD的周长．（用含a，b的代数式表示）【答案】（1）△BCD是等腰三角形；（2）a﹣b【解析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；（2）由（1）知：AD=BD=CB=b，由△ABD的周长是a，可得AB=a﹣2b，由AB=AC，可得CD=a﹣3b，进而得到△BCD的周长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB==72°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴∠ACD=∠A=36°，∵∠CDB是△ADC的外角，∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，∴∠B=∠CDB，∴CB=CD，∴△BCD是等腰三角形；（2）∵AD=BD=CB=b，△ABD的周长是a，∴AB=a﹣2b，∵AB=AC，∴CD=a﹣3b，∴△BCD的周长长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE=AF，求证：DE=DF．【答案】DE=DF【解析】连接AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，再结合已知条件EF∥BC，得到AD⊥EF，又AE=AF，即AD垂直平分EF，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明DE=DF．证明：如图，连接AD．∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC，∴AD⊥EF，又AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴DE=DF．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图．BD平分∠ABC，点E在AB边上，满足DE=BE．试判断DE与BC的位置关系，并证明你的结论．【答案】DE∥BC【解析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据等边对等角可得∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行解答．解：DE∥BC．理由如下：如图，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵DE=BE，∴∠1=∠3，∴DE∥BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，是基础题，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．【答案】2.5【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE=AB=2.5．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质和判定并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，过点B作BE⊥AC 于E，交AD于F，又知AF=2BD，△BCE与△AFE全等吗？为什么？【答案】全等【解析】根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，AD⊥BC，由已知条件得到AF=BC，由垂直的定义得到∠AEF=∠BEC=90°，推出∠EAF=∠CBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．解：△BCE与△AFE全等，理由：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BC=2BD，AD⊥BC，∴AF=BC，∵BE⊥AC于E，∴∠AEF=∠BEC=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠CBE，在△BCE与△AFE中，，∴△BCE≌△AFE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°【答案】A【解析】首先根据∠1=125°，求出∠ADE的度数；然后根据DE∥BC，AB=AC，可得AD=AE，∠C=∠AED，求出∠AED的度数，即可判断出∠C的度数是多少．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，在△ABC中，D为AB边上一点．BD=BC，AD=DC，∠B=36°．求∠ACB的度数．【答案】108°【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再根据等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACD，然后相加即可．解：∵BD=BC，∠B=36°，∴∠BCD=∠BDC=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，∵AD=DC，∴∠A=∠ACD，∴∠ACD=∠BDC=×72°=36°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=36°+72°=108°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】下列说法中正确的是（）A．等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．等腰三角形三条高都在三角形内D．等腰三角形的一边不可能是另一条边的两倍【答案】A【解析】从各选项提供的已知条件进行思考，根据等腰三角形的性质进行证明后直接选择答案，其中只有选项A是正确的．解：A正确，可以通过证明验证．如图所示，△ABC中，AB=AC，AE是BA的延长线，AF是∠EAC的角平分线求证：AF∥BC证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵AF是∠EAC的角平分线∴∠EAF=∠FAC∵∠EAC=∠B+∠C=∠EAF+∠FAC∴∠B=∠C=∠EAF=∠FAC∴AF∥BC∴选项A正确；其它选项无法证明是正确的．故选：A．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=BC．（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．【答案】（1）3；（2）△DMC是等腰三角形【解析】（1）由条件可知M是BC的中点，可知BM=CM=CE=3；（2）由条件可知DM为Rt△AMC斜边上的中线，可得DM=DC，则可证得△DMC是等腰三角形．（1）解：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴BM=CM=BC=CE=3，∴ME=MC+CE=3+3=6；（2）证明：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，∵D为AC中点，∴DM=DC，∴△DMC是等腰三角形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

“三线合一”性质逆定理

一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。

证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线，求证：⊿ABC是等腰三角形。

分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。

证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE在⊿ABD和⊿ECD中AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD∴⊿ABD≌⊿ECD∴AB=CE, ∠BAD=∠CED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠CED=∠CAD∴AC=CE∴AB=AC∴⊿ABC是等腰三角形。

三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。

证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。

分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。

分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形。

（即垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教案中的应用（1）逆定理②的简单应用例题1已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。

初二几何点：等腰三角形的三线合一;直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等

初二几何点：等腰三角形的三线合一；直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等初二知识点：等腰三角形的三线合一；直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等昨日问题：如图，△ＡＢＣ为直角三角形。

ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０º，Ｄ为ＢＣ边上一点，ＤＦ⊥ＡＢ与Ｆ，ＤＥ⊥ＡＣ于Ｅ，Ｍ为BC中点，试判断△MEF是什么三角形？【提示】如图，连接AM，则△BFM≌△AEM。

证明略。

知识点：大凡遇到直角三角形，几乎都要连接斜边的中线，这样会制造出两个等腰三角形，以便进一步寻找等量关系。

（此题适合初二学生）电影《刘三姐》中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩，罗秀才唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得均？”刘三姐示意舟妹来回答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才！”舟妹回答机智巧妙，既回答了秀才提出的问题，又借机骂了趋炎附势的三个秀才。

如果设“一少”的那份有x条，“三多”的那三份每份有y条，那么解开此问题的所列关系式应该是怎样的？只有舟妹的这一个解吗？注：1，“一少三多四下分”是指一份少的，三份多的，共分成四份。

2，“不要双数要单数”是指每份都要为奇数。

解析】关系式如下：x+3y=300·········①0<x<y<300········②x,y为奇数········③由①知：x=300-3y，再由②：0<300-3y<y，∴75<y<100，由③知道y为奇数，故y的取值有：77，79，81，···，99；对应的x为：69,63,57，···，3。

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1.1 等边三角形之三线合一
1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。

2、在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，则∠BAC ＝________，
∠DAC ＝________，BD ＝________cm 。

3、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝________。

4、已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（）
（A ）90°－n 21°（B ）90°＋ n 21°（C ）180°－n °（B ）180°－n 2
1° 5、下列两个三角形中，一定全等的是（）
（A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形
（B ）两个等边三角形
（C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
（D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
6、已知：如图，△ABC 中，AB=AC 。

小强想做∠BAC 的平分线，但他没有量角器，只有刻度
尺，他如何做出∠BAC 的平分线？
7、已知：如图，B 、D 、E 、C 在同一直线上，AB=AC ，AD=AE 。

求证：BD=CE 。

A C
B D E
8、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。

DE⊥AB交AC于E。

求证：
CD⊥BE。

9、如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。

10、如图2，BM，CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。

AM⊥BM，M、N为垂
足。

求证：MN∥CN。

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