北京师大附中2017-2018学年下学期高一年级期末考试数学试卷及答案
2017-2018学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷-含详细解析.
2017-2018学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.M（-1，2），N（3，0）两点之间的距离为（）A. 2√2B. 4C. 2√5D. 52.直线x-y-√3=0的倾斜角为（）A. 45∘B. 60∘C. 12∘D. 135∘3.直线y=2x-2与直线l关于y轴对称，则直线l的方程为（）A. y=−2x+2B. y=−2x−2C. y=2x+2D. y=12x−14.已知圆M：x2+y2=1与圆N：（x-2）2+y2=9，则两圆的位置关系是（）A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切5.设m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，m，n既不在α内，也不在β内．则下列结论正确的是（）A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m//n，n//α，则m//αC. 若m⊥α，n⊥α，则m⊥nD. 若m⊥α，m⊥β，则α⊥β6.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是（）A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. [1,+∞)D. R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是（）A. 2πB. 1πC. 2π2D. 1π28.方程x=√1−y2表示的图形是（）A. 两个半圆B. 两个圆C. 圆D. 半圆9.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，若平面PAD∩平面PBC=l，则（）A. l//CDB. l//BCC. l与直线AB相交D. l与直线DA相交10.已知a，b是异面直线，给出下列结论：①一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α，②一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α；③一定存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α．则所有正确结论的序号为（）A. ①②B. ②C. ②③D. ③二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）11.已知点A（m，-2），B（3，0），若直线AB的斜率为12，则m=______．12.若直线l1：ax+2y-8=0与直线l2：x-y=0平行，则a=______．13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______．14.已知直线y=kx+k过定点，则定点的坐标为______．15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件______时，A1P∥平面BCD（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16.如图，矩形ABCD中AB边与x轴重合，C（2，2），D（-1，2）．从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上，再经CD反射到AD上点Q处．①若OP的斜率为1，则点Q的纵坐标为______；2②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为______．17.在区间[-2，4]内随机选取一个实数x，则x∈[1，3]的概率为______．18.如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m=______；甲、乙两组人加工零件数方差较大的一组的方差为______．19.从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为______．20.一艘货船以15km/h的速度向东航行，货船在A处看到一个灯塔P在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B处，此时看到灯塔P在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为______km．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC面积S满足1≤S≤2，且sin A sin B sin C=1．给出下列结论：8①abc≥16；②a2b+ab2＞8；③ab＜32；其中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共66.0分）22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，点E为线段PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）求三棱锥A-PCE的体积．23.已知直线l：y=-x+8与x轴相交于点A，点B坐标为（0，-4），过点B作直线l的垂线，交直线l于点C．记过A、B、C三点的圆为圆M．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）求过点C与圆M相交所得弦长为8的直线方程．24.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱AB上的动点，F是棱CC1上一点，CF：FC1=1：2．（Ⅰ）求证：B1D1⊥A1F；（Ⅱ）若直线A1F⊥平面B1D1E，试确定点E的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，求总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）25.在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：分组频数频率(40,50] 2 0.02(50,60] 3 0.03(60,70]12 0.12(70,80]38 0.38(80,90]m n(90,100]15 0.15合计M N(Ⅰ)求出表中m，n，M，N的值；(Ⅱ)根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；(Ⅲ)若该地区高二学生有500人，假设同组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．26.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．b=√5，B=π．4（I）若a=3，求sin A及sin C的值；（Ⅱ）若△ABC的面积等于1，求a的值．27.已知圆C：x2+（y-3）2=25与x轴的负半轴相交于点M．（I）求点M的坐标及过点M与圆C相切的直线方程；（II）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形．记圆C的外切三角形为△DEF，且D（-5，-2），E（t，-2）（t＞5）试用t表示△DEF的面积；（Ⅲ）过点M作MA，MB分别与圆相交于点A，B，且直线MA，MB关于x轴对称，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：M（-1，2），N（3，0）两点之间的距离为d==2．故选：C．根据两点间的距离公式计算即可．本题考查了求两点间的距离公式应用问题，是基础题．2.【答案】A【解析】解：直线x-y-=0的斜率k=1，设直线x-y-=0的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=1，即α=45°．故选：A．由直线方程求直线的斜率，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），可得直线y=2x-2关于y轴对称的直线l的方程为：y=-2x-2，故选：B．运用点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），只要将已知直线方程中的x换为-x，y不变，可得所求直线方程．本题考查直线关于y轴对称的直线方程求法，注意运用点（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y），同时还要熟记点关于原点对称的特点、以及点关于x轴对称的特点和关于直线y=x，y=-x的特点，考查变换能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：圆M：x2+y2=1的圆心为M（0，0），半径为r1=1；圆N：（x-2）2+y2=9的圆心为N（2，0），半径为r2=3；|MN|=2=r2-r1，∴两圆的位置关系是内切．故选：C．根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系本题考查了两圆位置关系的判断问题，是基础题5.【答案】B【解析】解：由m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，m，n既不在α内，也不在β内，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m∥n，n∥α，则由线面平行的判定定理得m∥α，故B正确；在C中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m与n平行，故C错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：B．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面平行的判定定理得m∥α；在C中，由线面垂直的性质定理得m与n平行；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.【答案】A【解析】解：由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得（x-2）2+（y+1）2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围是（-∞，1）．故选：A．由方程x2+y2-4x+2y+5k=0配方可得（x-2）2+（y+1）2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k＞0，解得即可．思路掌握配方法、圆的标准方程是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：如图所示，圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则圆柱的高为h=2，底面圆的周长为2πr=2，解得r=，∴圆柱的体积是V=πr2h=π••2=．故选：A．由题意求出圆柱的高和底面圆半径，再求圆柱的体积．本题考查了圆柱的侧面展开图和体积的计算问题，是基础题．8.【答案】D【解析】解：由x=，两边平方得x2+y2=1（x≥0）．∴方程x=表示的图形是半圆．故选：D．把已知方程两边平方，结合x的范围得答案．本题考查曲线方程，是基础题．9.【答案】D【解析】解：∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD．∴AD与CB必相交于点M，则P是面平面PAD和平面PBC的公共点，又平面PAD∩平面PBC=l．∴P∈l．l与直线DA相交．故选：D．可得AD与CB必相交于点M，则P是面平面PAD和平面PBC的公共点，又平面PAD∩平面PBC=l．本题考查了空间几何体中的直线与平面的位置关系，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：对于①，a、b是异面直线，不一定存在平面α，使直线b⊥平面α，直线a∥平面α，如正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与B1C是异面直线，且不存在平面α，使直线A1A⊥平面α，直线B1C∥平面α，①错误；对于②，一定存在平面α，使直线b∥平面α，直线a∥平面α，在直线a、b外取点P，过点P作a′∥a，b′∥b，由a′、b′确定平面α，则a∥α，b∥α，②正确；对于③，存在无数个平面α，使直线b与平面α交于一个定点，且直线a∥平面α；如正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与B1C是异面直线，且A1A∥C1C，B1C∩C1C=C，过C1C且与A1A平行的平面有无数个，③正确．综上，所有正确结论的序号是②③．故选：C．①举例说明命题错误即可；②在直线a、b外取点P，过点P作a′∥a，b′∥b，由a′、b′确定平面α满足条件；③举例说明命题正确即可．本题考查了空间中的线面平行与垂直关系的应用问题，是基础题．11.【答案】-1【解析】解：点A（m，-2），B（3，0），若直线AB的斜率为，则=，解得m=-1，故答案为：-1．直接根据斜率公式计算即可．本题考查了斜率公式，属于基础题．12.【答案】-2【解析】解：∵直线l1：ax+2y-8=0与直线l2：x-y=0平行，∴-=1，解得a=-2．故答案为：-2．利用两直线平行的性质直接求解本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行的性质的合理运用．13.【答案】√5【解析】解：由正视图、侧视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面DA′的面积最大为．故答案为：．画出直观图，利用几何体的图形，判断求解三棱柱最大侧面的面积．本题考查三视图求解几何体的侧面积，考查数形结合以及计算能力．14.【答案】（-1，0）【解析】解：直线y=kx+k，即k（x+1）-y=0，令，解得x=-1，y=0．∴无论k取任何实数，直线y=kx+k都经过一个定点（-1，0），故答案为：（-1，0）．直线y=kx-k，即k（x+1）-y=0，得到关于x，y的方程组，解出即可得出．本题考查了直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】P是CC1中点【解析】解：取CC1中点P，连结A1P，∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD故答案为：P是CC1中点．当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，由此能求出当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD．本题考查满足线面平行的条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】323 5【解析】解：①根据OP的斜率为，可得P（2，1）在BC中点上，那么反射必经过DC 与Y轴的交点，即坐标为（0，2），设点Q的纵坐（-1，t）那么解得：t=即点Q的纵坐标为；②由题意，设P（2，n），反射线与DC交点E为（m，2）；入射角和反射角相等，可得……①OP的斜率等于QE斜率；即……②由①②解得：n=则OP的斜率为；故答案为：；．①根据OP的斜率为，可得P（2，1）在BC中点上，那么反射比经过DC与Y 轴的交点，即可求解点Q的纵坐标；②由题意，设P（2，m），反射线与DC交点E为（n，2）；入射角和反射角相等，OP的斜率等于QE斜率；建立关系即可求解；本题考查了关于直线的对称的求法，考查了到入射角和反射角相等的运用，是基础题．17.【答案】13【解析】解：在区间[-2，4]内随机选取一个实数x，则x∈[1，3]的概率为．故答案为：．根据几何概型的概率公式计算即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．18.【答案】1 2.5【解析】解：根据茎叶图中数据，计算甲、乙两组数据的平均数为：=×（18+19+21+22）=20，=×（19+20+20+20+m），由=，求得m=1；计算甲的方差为=×[（18-20）2+（19-20）2+（21-20）2+（22-20）2]=2.5；乙的方差为=×[（19-20）2+（20-20）2+（20-20）2+（21-20）2]=0.5；∴加工零件数方差较大的一组的方差为2.5．故答案为：1，2.5．根据茎叶图中数据，计算甲、乙两组数据的平均数和方差即可．本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题．19.【答案】23【解析】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，基本事件总数n==6，所取两个数之和不小于5包含的基本事件有4个，分别为：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），∴所取两个数之和不小于5的概率为p==．故答案为：．基本事件总数n==6，利用列举法求出所取两个数之和不小于5包含的基本事件有4个，由此能求出所取两个数之和不小于5的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】30√2【解析】解：如图，依题意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得=，解得BM=30（km），故答案为30．先根据船的速度和时间求得AB的长，进而在△AMB中根据正弦定理利用∠MAB=30°，∠AMB=45°，和AB的长度，求得BM．本题主要考查了解三角形的实际应用．常需利用正弦定理或余弦定理，根据已知的边或角求得问题的答案．21.【答案】②③【解析】解：sinAsinBsinC=，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：===2R，由S=absinC，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤2，由sinAsinBsinC=，可得8≤abc≤16，故①错误；ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，故②正确；由S≤2可得absinC≤2，可得ab≤，而sinAsinBsinC=，即有sinC=＞， 则ab≤＜32，故③正确． 故答案为：②③．根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质和正弦函数的值域，即可得到结论．本题考查三角形的正弦定理和面积公式、以及不等式的性质和正弦函数的值域，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22.【答案】（1）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，如图示：∵O 是正方形ABCD 对角线交点，∴O 为BD 的中点，由已知E 为线段PD 的中点，∵PB ∥OE ，又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，∴PB ∥平面ACE ；（2）证明：∵PA =AD ，E 为线段PD 的中点，∴AE ⊥PD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，又PA ∩AD =A ，PA,AD ⊂面PAD∴CD ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE ，又PD ∩CD =D ，PD,CD ⊂面PCD∴AE ⊥平面PCD ；（3）∵AE ⊥平面PCD ，故三棱锥A -PCE 的体积V =13S △PCE •AE =13×12PE •CD •AE =13×12×√2×2×√2=23． 【解析】（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ．可得PB ∥OE ，再由线面平行的判定可得PB ∥平面ACE ；（2）由PA=AD ，E 为线段PD 的中点，得AE ⊥PD ，再由PA ⊥平面ABCD ，得PA ⊥CD ，由线面垂直的判定可得AE ⊥平面PCD ；（3）根据AE ⊥平面PCD ，结合三棱锥的体积公式求出其体积即可．本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，直线l ：y =-x +8与x 轴相交于点A ，则A （8，0），又由BC ⊥AC ，则∠ACB =90°，则圆M 是以AB 为直径的圆，其圆心M （4，-2），半径r =|AB|2=2√5，则圆M 的方程为（x -4）2+（y +2）2=20；（Ⅱ）设要求直线为CD ，且与圆M 的交点为C 、D ，圆心到直线CD 的距离d =√20−16=2，分2种情况讨论：①，CD 的斜率不存在，则CD 的方程为x =6，易得圆心到x =6的距离为2，符合题意；②，CD 的斜率不存在，设CD 的方程为y -2=k （x -6），即kx -y -6k +2=0， 若圆心M 到直线CD 的距离为2，则有|4k+2−6k+2|√1+k 2=|2k−4|√1+k 2=2，解可得：k =34，则此时直线CD 的方程为3x -4y -10=0；故要求直线的方程为x =6或3x -4y -10=0．【解析】（Ⅰ）根据题意，由直线l 的方程求出A 的坐标，分析可得圆M 是以AB 为直径的圆，求出圆心与半径，结合圆的标准方程分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，设要求直线为CD ，且与圆M 的交点为C 、D ，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线CD 的距离d=2，分2种情况讨论：①，CD 的斜率不存在，则CD 的方程为x=6，②，CD 的斜率不存在，设CD 的方程为y-2=k （x-6），即kx-y-6k+2=0，求出k 的值，综合即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的应用，关键是求出圆M 的方程．24.【答案】证明：（Ⅰ）连结A 1C 1，∵正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1是正方形，∴B 1D 1⊥A 1C 1，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1，又CC 1∩A 1C 1=C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∵A 1F ⊂面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1F ．解：（Ⅱ）当AE：EB=1：2时，直线A1F⊥平面D1B1E．证明如下：过点F在平面BCC1B1作FG∥BC，交BB1于点G，连结A1G，交B1E于点H，∵CF：FC1=1：2，∴BG：GB1=1：2，在Rt△A1B1G与Rt△B1BE中，B1G=BE，A1B1=B1B，∴△A1B1G≌△B1BE，∠B1A1G=∠BB1E，又∠B1A1G+∠A1GB1=90°，∴∠BB1E+∠A1GB1=90°，∴∠B1HG=90°，∴A1G⊥B1E，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CB⊥面ABB1A1，∴FG⊥B1E，又A1G∩FG=G，∴B1E⊥面A1FG，∴B1E⊥A1F，又B1D1⊥A1F，B1D1∩B1E=B，∴直线A1F⊥平面B1D1E．（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，．总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度为√23【解析】（Ⅰ）连结A1C1，推导出B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，从而B1D1⊥平面A1C1C，由此能证明B1D1⊥A1F．（Ⅱ）当AE：EB=1：2时，过点F在平面BCC1B1作FG∥BC，交BB1于点G，连结A1G，交B1E于点H，推导出A1G⊥B1E，FG⊥B1E，从而B1E⊥面A1FG，B1E⊥A1F，再由B1D1⊥A1F，能证明A1F⊥平面B1D1E．（Ⅲ）设点P在正方体的上底面A1B1C1D1上运动，总能使BP与A1F垂直的点P所形成的轨迹的长度为．本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查轨迹长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．25.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布表的性质得N=1，=0.02，解得M=100，∵2M∴m=100-（2+3+12+38+15）=30．=0.30．∴n=mM（Ⅱ）由频率分布表作出频率分布直方图如下：（Ⅲ）平均分约为：45×0.02+55×0.03+65×0.12+75×0.38+85×0.30+95×0.15=78.6，该地区高二年级同学分数在区间（60，90]内的人数为：5000×（0.12+0.38+0.30）=4000（人）．【解析】（Ⅰ）由频率分布表的性质得N=1，，由此能求出结果．（Ⅱ）由频率分布表能作出频率分布直方图．（Ⅲ）由频率分布表能估计这次测试中该地区高二学生的平均分数及分数在区间（60，90]内的学生人数．本题考查频率分布表、频率分布直方图的应用，考查平均数、频数的求法，考查频率分布表、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．26.【答案】解：（Ⅰ）△ABC 中，a =3，b =√5，B =π4，由正弦定理得a sinA =b sinB ，∴sin A =a b sin B =√5sin π4=310√10；当A 为锐角时，cos A =√1−sin 2A =√1010， sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +cos A sin B =3√1010×√22+√1010×√22=2√55； 当A 为钝角时，cos A =-√1−sin 2A =-√1010， sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +cos A sin B =3√1010×√22-√1010×√22=√55； （Ⅱ）△ABC 的面积为S △ABC =12ac sin B =12ac sin π4=√24ac =1，…① 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos π4=a 2+c 2-√2ac =5，…②；由①得c =2√2a ，代入②得a 2+8a 2-4=5， 化简得a 4-9a 2+8=0，解得a =1或a =2√2． 【解析】 （Ⅰ）利用正弦定理求得sinA 的值，再根据三角形的内角和与两角和的正弦值求得sinC 的值； （Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理，列方程组求出a 的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．27.【答案】解：（Ⅰ）∵圆C ：x 2+（y -3）2=25与x轴的负半轴相交于点M ．∴点M 的坐标为M （-4，0），直线CM 的斜率k CM =3−00−(−4)=34，∴过点M 与圆C 相切的切线的斜率k =-43，∴过点M 的圆C 的切线方程为y -0=-43[x -（-4）]，即4x +3y +16=0．（Ⅱ）已知D （-5，-2），∴直线DF 方程为x =-5，设直线EF 的斜率为k ，则直线EF 的方程为y =k （x -t ）-2，即kx -y -kt -2=0， 依题意|−3−kt−2|√k 2+1=5，∴（2-25）k 2+100tk =0，解得k =0，（舍），或k =−10t t 2−25，∴直线EF 的方程为y =−10t t 2−25（-5-t ）-2=8t+10t−5， ∴F （-5，8t+10t−5），∴△DEF 的面积S △DEF =12⋅（t +5）•（8t+10t−5+2）=5t(t+5)t−5，（t ＞5）． （Ⅲ）设点A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），设直线MA 的方程为：x =my -4， 由{x 2+(y −3)2=25x=my−4，得（m 2+1）y 2-（8m +6）y =0，∴y A +0=8m+6m 2+1，∴y A =8m+6m 2+1，∴y B =−8m+6m 2+1，∴y A -y B =16m m 2+1，又直线MB 的方程为x =-my -4，∴x A =my A -4，x B =-my B -4，x A -x B =my A +my B =m （y A +y B ）=12m m 2+1，∴直线AB 的斜率k AB =y A −y B x A −x B =16m m 2+112mm 2+1=43，∴直线AB的斜率为定值，其值为4．3【解析】（Ⅰ）求出点M的坐标为M（-4，0），从而过点M与圆C相切的切线的斜率k=-，由此能求出过点M的圆C的切线方程．（Ⅱ）求出直线DF方程为x=-5，设直线EF的方程为kx-y-kt-2=0，依题意=5，解得k=，由此能用用t表示△DEF的面积．（Ⅲ）设点A（x A，y A），B（x B，y B），设直线MA的方程为：x=my-4，由，得（m2+1）y2-（8m+6）y=0，由此利用韦害定理能求出直线AB的斜率为定值．本题考查点的坐标、切线方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，考查直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
北京师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(含精品解析)
北京师大附中2016—2017学年度第二学期期末考试高一数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选择中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在括号里）1. 若实数，满足，则下列不等式一定成立的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:灵活选择方法逐一判断正误.详解：对于选项A,令a=3,b=2,则，所以选项A不一定成立；对于选项B,令a=0,b=-1,则没有意义，所以选项B不一定成立；对于选项C,令a=0,b=-2,则，所以选项C不一定成立；对于选项D,是增函数，因为a>b,所以.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查不等式的基本性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和思维的灵活性.(2)类似这种不等关系真假的判断，方法比较灵活，有的可以举反例，有的可以直接证明，要结合具体题目灵活选择.2. 对变量，由观测数据理据得散点图：对变量，有观测数据，的散点图，由这两个散点图可以判断（）．A. 变量与正相关，与正相关B. 变量与正相关，与负相关C. 变量与负相关， 与正相关D. 变量与负相关，与负相关【答案】C【解析】试题分析：由题图1可知，y 随x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关， 由题图2可知，u 随v 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u 与v 正相关考点：散点图3. 从甲、乙两个城市分别随机抽取台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（ ）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】甲的平均数甲= （5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43）=，乙的平均数乙= （10+12+18+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48）=，所以． 甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m 甲＜m 乙，故选：B ．4. 执行下面的程序框图，如果输入，那么输出的的值为（ ）．A. B. C. D.【答案】B【解析】：由程序框图可顺次得数据如下：【考点定位】本题考查程序框图的识别与运算，要注意控制变量在运算过程中的作用，题目中较之以前练习过的题目多出一步比较运算，使试题具有一定难度5. 公差不为零的等差数列的第项、第项、第项恰好构成等比数列，则它的公比为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为,由等比数列的性质可得，整理可得，,.6. 下列命题中正确的是（）．A. 若两条直线都平行与同一个平面，则这两条直线平行B. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C. 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面D. 若这两条直线垂直于同一个平面，则这两个直线共面【答案】D【解析】（A）平行于同一平面的两条直线相交、平行或异面，故错；（C）该直线可能在平面内，故错；故选D。
北京师大附中年下学期高一年级期中考试数学试卷及答案
北京师大附中2017-2018学年下学期高一年级期中考试数学试卷试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（必修模块5） 满分100分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，23=a ，则=b （ ） A. 23 B. 3 C. 32 D. 342. 已知公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16113=a a ，则=5a （ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 3. 不等式121+-x x 0≤的解集为（ ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C. ),1[21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-D. ),1[21,+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞- 4. 不等式0)12)(2(2>--+x x x 的解集为（ ）A. )4,2()3,(---∞B. ),4()2,3(+∞--C. ),3()2,4(+∞--D. )3,2()4,(---∞5. 已知b a b a ,,0,0>>的等比中项是1，且b a n a b m 1,1+=+=，则n m +的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，15,555==S a ，则数列}1{1+n n a a 的前100项和为（ ） A. 100101 B. 10099 C. 10199 D. 101100 7. 在△ABC 中，若C c B b A a sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 若数列}{n a 满足121,211+-==+n n a a a ，则2013a ＝（ ） A.31 B. 2 C. 21- D. －3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2017-2018学年北京师范大学附属中学下学期高一年级期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年北京师范大学附属中学下学期高一年级期中考试数学试题一、单选题1．在△ABC中，D是边BC的中点，则＝A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的减法法则及共线向量的性质求解即可.详解：因为是的中点，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查共线向量的性质，平面向量的减法法则，属于简单题.2．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝150°，则△ABC的面积为A. 3B.C. 6D.【答案】A【解析】分析：过作交的延长线于点，则可求得的长，再利用三角形的面积公式可求得的面积.详解：如图，过作，交的延长线于点，，，且，，，故选A.点睛：本题主要考查含角的直角三角形的性质及三角形面积公式，掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键.3．下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100）中的学生人数是A. 60B. 55C. 45D. 50【答案】D【解析】分析：根据频率分布直方图可得测试成绩落在中的频率，从而可得结果.详解：由频率分布直方图可得测试成绩落在中的频率为，所以测试成绩落在中的人数为，，故选D.点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直观图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率.4．已知点A（1，2），B（3，7），向量∥，则A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反【答案】D【解析】分析：求出向量，利用向量共线的性质列方程求出，然后判断两个向量的方向即可得结果.详解：因为，所以，，可得，解得，与方向相反，故选D.点睛：本题考查斜率共线，向量的坐标运算，是基础题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为.若，则角B的大小为A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】解：因为根据余弦定理可知故选C。
北京师大附中2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试题(含精品解析)
北京师大附中2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷（AP）本试卷第一部分有三道大题,考试:120分钟，满分100分.第一部分:中文卷(80分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果.详解：由诱导公式可得，，，故选A.点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.2.下列区间中，使函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解:因为使函数为增函数，则结合正弦函数图像可知，选C3.下列函数中，最小正周期为的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用周期公式T，求解C选项，利用周期公式T，求解A、B、D选项，即可作出判断．【详解】A、，∵ω＝1，∴2π，本选项不满足题意；B、，∵ω＝2，∴T=π，本选项不满足题意；C、y＝tan，∵ω，∴T2π，本选项不满足题意；D、，∵ω，∴T，本选项满足题意；故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有正切函数及正余弦函数的周期，熟练掌握周期公式是解本题的关键．4.如果，，那么等于（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知先求得再根据的范围开方取舍，即可求值．【详解】∵，可解得：．又，∴∴故选：A．【点睛】本题主要考查了同角基本关系式中的平方关系，其中开方注意正负的取舍，属于基础题．5.若直线是函数图象的一条对称轴，则a的值可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题，对称轴方程为：则当考点：三角函数的性质（对称性）.6.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】B【解析】【分析】由，解得，从而可得结果.【详解】设将函数的图象平移个单位后，得到函数的图象，则，解得，函数的图象向左平移动个单位长度，可得到函数的图象，故选B.【点睛】本题考查的知识点是函数的图象变换，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.7.的值是（）A. 1B. 2C. 0D.【答案】B【解析】【分析】原式利用诱导公式化简，即可得到结果．【详解】原式．故选B.【点睛】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．8.的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵余弦函数在上单调递减，又，故选A.9.设，则a，b，c之间的关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调增，因为，则，综上所述选A．考点：1.对数函数;2.幂函数的单调性10.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由图知A＝2，，可求得ω＝2，再由ω+＝2kπ（k∈Z）即可求得，从而可得此函数的解析式．【详解】由图知A＝2，，∴T＝π，∴ω2．又ω+＝2kπ（k∈Z），∴＝2kπ2＝2kπ（k∈Z），∴函数的解析式是y＝2sin（2x+2kπ）＝2sin（2x）．故选：B．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，确定的值是关键，也是难点，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
北京市首师大附中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析.pdf
18．已知等差数列 { an} 的公差 d≠ 0，若 a2=5 且 a1， a3， a6 成等比数列． （ 1）求数列 { an} 的通项公式； （ 2）若数列 { bn} 满足 b1=0 且对任意的 n≥ 2，均有 | bn﹣bn﹣1| =2 ① 写出 b3 所有可能的取值； ② 若 bk=2116，求 k 的最小值．
）
A ．若 l⊥ m， m? α，则 l⊥ α B．若 l⊥ α， l ∥ m，则 m ⊥α C．若 l ∥ α， m? α，则 l ∥m D．若 l ∥ α，m ∥α，则 l∥ m 【考点】 直线与平面平行的判定．
【分析】 根据题意，依次分析选项： A ，根据线面垂直的判定定理判断． C：根据线面平行的 判定定理判断． D ：由线线的位置关系判断． B ：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．
2017-2018 学年北京市首师大附中高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 .
1．x＞ 0，2x＞ 0
B． ? x ≤0， 2x＞ 0
C． ? x＞ 0， 2x＜ 0
14．在数列 { an} 中，若 an2﹣ an﹣12=p（ n≥ 2，n∈ N ×， p 为常数），则称 { an} 为 “等方差数列 ”，
下列是对 “等方差数列 ”的判断； ① 若 { an} 是等方差数列，则 { an2} 是等差数列； ② { （﹣ 1） n} 是等方差数列； ③ 若 { an} 是等方差数列，则 { akn} （ k ∈ N*， k 为常数）也是等方差数列；
2017-2018学年北京师大附中下学期高一年级期末考试(AP国际班)数学试题(解析版)
2017-2018学年北京师大附中下学期高一年级期末考试（AP国际班）数学试题一、单选题1．已知直线经过点()0,4A 和点()1,2B ，则直线AB 的斜率为（ ）A ．3B ．-2C ．2D ．不存在【答案】B【解析】直线AB 的斜率为42201k -==--. 本题选择B 选项.2．过两点和的直线在轴上的截距为( ) . A ． B ． C ． D ．2【答案】A【解析】直线方程为=， 化为截距式为+=1，则在x 轴上的截距为-. 故答案选A 。
3．已知直线平行，则k 的值是 （ ）A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C【解析】由两直线平行得,当k−3=0时,两直线的方程分别为 y=−1 和，显然两直线平行。
当k−3≠0时,由，可得k=5.综上，k 的值是3或5，本题选择C 选项. 点睛：(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．4．在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形【答案】B【解析】由题意有：sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)，根据两角和的正弦公式，sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入2sinAcosB=sinC中，整理可得，sinAcosB−cosAsinB=0，即sin(A−B)=0，又因为△ABC中，A<π，B<π，故A−B∈(−π,π)，所以A=B。
本题选择B选项.5．若直线与直线互相垂直，那么的值等于( )A．1 B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由得，故选D．【考点】平面内两直线垂直与平行的判定．6．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】利用点到圆心O（-a，a）的距离小于半径4即可得答案．【详解】∵点在圆O：（x+a）2+（y﹣a）2＝16的内部，∴|PO|＜4，∴（2+a）2+（2﹣a）2＜16，∴a2＜4,∴﹣2＜a＜2．故选:A．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，考查理解与运算能力，属于基础题．7．方程表示的图形是（）A．以为圆心，为半径的圆B．以为圆心，11为半径的圆C．以为圆心，11为半径的圆D．以为圆心，为半径的圆【答案】D【解析】将圆的一般方程化为标准方程，确定圆的圆心与半径，可得结论．【详解】方程x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0化为标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2＝11，表示以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆.故选:D．【点睛】本题考查圆的一般方程，属于基础题．8．点到直线的距离是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用点到直线的距离公式即可得出．【详解】直线即2x-y-1=0,由点到直线的距离公式得，故选:B．【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．二、填空题9．两条直线和的交点为_______.【答案】【解析】联立两条直线方程即可得交点坐标．【详解】联立，解得,即直线2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0交于点（3，2），故答案为：．【点睛】本题考查两条直线相交的问题，属基础题.10．两条直线和的距离为________.【答案】【解析】由题意直接利用两条平行线间的距离公式，即可求得结果．【详解】两条平行线和的距离，故答案为：．【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式的应用，属于基础题．11．已知点，点，写出线段的垂直平分线的方程_________.【答案】【解析】利用中点坐标公式求线段AB的中点，由斜率公式可得垂直平分线的斜率，利用点斜式即可得方程．【详解】点A（-7，4），B（﹣5，6），可得AB线段的中点坐标为（-6，5），，则线段AB垂直平分线的斜率k=-1，∴线段AB垂直平分线方程为：y﹣5＝-（x+6）即，故答案为：．【点睛】本题考查直线方程的求法，其中用到中点坐标公式和斜率公式，属于基础题．12．已知直线与圆相交于两点，那么弦的长等于________.【答案】【解析】求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式进行求解即可．【详解】∵圆，∴圆心（0，0），半径r=2，圆心到直线l：3x+4y-5=0的距离d==1，∴直线3x+4y-5=0被圆截得的弦长l=2=2．故答案为：．【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式，主要用到了点到直线的距离公式．13．已知过点和的直线与直线平行，则的值为________.【答案】-8【解析】直线AB与直线平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m的值.【详解】∵直线2x+y-1＝0的斜率等于﹣2，∴过点和的直线的斜率也是﹣2，由斜率公式得，解得m＝﹣8，故答案为：-8．【点睛】本题考查两条直线平行的条件，考查斜率公式，属基础题.三、解答题14．已知三点三点共线，求的值.【答案】-14【解析】利用即可得出的值．【详解】＝（﹣4，5）﹣（1，1）＝（﹣5，4），＝（x﹣1，12）．若A，B，C三点共线，则，∴﹣5×12﹣4（x﹣1）＝0，解得x＝﹣14．故答案为：﹣14．【点睛】本题考查利用向量共线证明三点共线，属于基础题．15．求过三点的圆的方程.【答案】【解析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可得到结论．【详解】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，∵圆过三点A（0，5），B（1，﹣2），C（﹣3，﹣4），∴满足，解得D＝6，E＝﹣2，F＝﹣15，即圆的一般方程为x2+y2+6x﹣2y﹣15＝0，故答案为：.【点睛】本题考查用待定系数法求圆的一般方程.16．求过两点,且圆心在直线上的圆的标准方程.【答案】【解析】由圆心在直线x﹣2y﹣2＝0上，可设圆心C（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，即得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．【详解】由于圆心在直线x﹣2y﹣2＝0上，可设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=BC|,即[（2b+2）﹣0]2+（b﹣4）2＝[（2b+2）﹣4]2+（b﹣6）2，解得b＝1，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝25，故答案为：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝25．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求法，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于基础题．17．在锐角中，内角的对边分别是,,且.（1）求角的大小；（2）若边的中点为，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知条件，由正弦定理可得sin C的值，即可得到角C；（2）在中利用余弦定理求得b，再根据三角形面积公式即可求得面积．【详解】(1)，由正弦定理得2sinCsinA=sinA,∵sinA,则，又为锐角三角形,则C=.(2)在中，由余弦定理得,即，解得b=-1(舍去)或b=3,∴的面积．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角形面积公式的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角的转化．。
北京市西城区北京师范大学附属中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(含精品解析)
2017-2018学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论.详解：，，故A错误；，故B错误；，故C正确；，即，故D错误.故选：C.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，属于基础题.2. 在内角，，的对边分别是，，，已知，，，则的大小为（）A. 或B. 或C.D.【答案】D【解析】分析：利用正弦定理即可得出.详解：由正弦定理可得：，解得，，为锐角，.故选：D.点睛：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.3. 在中，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用余弦定理即可计算.详解：，，.故选：B.点睛：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4. 等比数列中，，，的前项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.详解：，解得，又，则等比数列的前项和.故选：B.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．5. 不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：不等式等价于解得，所以选A.考点：分式不等式的解法.视频6. 等比数列的前项和为，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.7. 已知变量，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据题意，约束条件表示的可行域为以三点为顶点的三角形区域，通过观察可知目标函数在点处取得最大值，代入可求得为，故选B．考点：线性规划．8. 的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由、、成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将代入，即可用表示出，然后利用余弦定理表示出，将表示出的和代入，整理后即可得到的值.详解：根据题意，、、成等比数列，则，又，则，则.故选：B.点睛：本题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，解题的关键是求出、、的关系，进而运用余弦定理求解.9. 数列是首项为，公差为的等差数列，那么使前项和最大的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由等差数列是首项为，公差为写出通项公式，由通项大于等于0求出等差数列前6项大于0，从第7项起小于0，则答案可求.详解：在等差数列是首项为，公差为得：，由，得，等差数列中，，当时，前项和最大.故选：C.点睛：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题.10. 某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元．设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论.详解：设该设备第n年的营运费为万元，则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，则该设备使用n年的营运费用总和为，设第n年的盈利总额为，则，年平均盈利额，当时，年平均盈利额取得最大值4.故选：D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11. 数列的前项和为，若，则__________．【答案】【解析】试题分析：，所以．考点：数列求和．12. 已知中，，，，则等于__________．【答案】【解析】分析：画出图形，利用已知条件直接求出AC的距离借口.详解：由题意，，，可知，三角形ABC是直角三角形，.故答案为：2.点睛：本题考查三角形形状的判断，勾股定理的应用，考查计算能力，属于基础题.13. 若，则的最小值是__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，，当且仅当时取等号，故答案为．考点：基本不等式．14. 等比数列的各项均为正数，且，则__________．【答案】【解析】分析：利用等比中项，对数性质可知，进而计算可得答案.详解：为等比数列，又.，.故答案为：10.点睛：本题考查等比数列的等比中项及对数的运算法则，注意解题方法的积累，属于中档题.15. 在中，若，则的形状为___________．【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】分析：左边利用正弦定理，右边切变弦，对原式进行化简整理进而可得A和B的关系，从而得到答案.详解：原式可化为，或解得或.故的形状为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.点睛：(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．16. 已知数列的前项的和为，，，满足，则__________．【答案】【解析】分析：由，得，即，则，说明数列是以2为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出的通项公式得答案.详解：由，得，即，则，数列是以为首项，以2为公差的等差数列，则，；；；…，累加得：，则，.故答案为：.点睛：本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是关键，是中档题.三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解关于的不等式．【答案】当时，为或；当时，为或．【解析】分析：对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出.详解：不等式对应方程的实数根为和；①当，即时，不等式化为，∴，∴不等式的解集为；②当，即时，解得或，∴不等式的解集为或；③当，即时，解得或，∴不等式的解集为或．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或．点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．18. 在中，，，点在上，且，．（I）求；（Ⅱ）求，的长．【答案】（I）；（Ⅱ），.【解析】分析：（1）由和诱导公式求出，由平方关系求出，由内角和定理、两角和的正弦公式求出；（2）在中由正弦定理求出BD、AD，在中由余弦定理求出AC的值.详解：（I）∵，且，∴，∴，由得，；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，∴，由正弦定理得，∴，在中，由余弦定理得，∴．点睛：应熟练掌握和运用内角和定理：，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．19. 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（I）求与；（II）设数列满足，求的前项和．【答案】（I），；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）根据，列方程组计算和，从而得出的公差，从而得出，的通项公式；（2）使用错位相减法求出.详解：（I）∵为等比数列，公比为，，∴，∴，解得，．∵，∴．∴的公差为．∴，．（II）．∴，①∴，②①②得：．∴．点睛：(1)错位相减法是求解由等差数列{b n}和等比数列{c n}对应项之积组成的数列{a n}，即a n＝b n×c n的前n项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）20. 已知数列满足，且，则__________．【答案】【解析】分析：由已知条件得，从而得到是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出.详解：数列满足，且，，，又，是首项为2，公比为2的等比数列，，，故答案为：.点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用.21. 在中，，，，则的面积等于__________．【答案】或【解析】分析：利用余弦定理列出关系式，将，与的值代入求出b的值，再由于b，c及的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.详解：在中，，，，由余弦定理得：，即，解得：或，则或.故答案为：或.点睛：三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．22. 甲船在岛的正南处，，甲船以每小时的速度速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是__________小时．【答案】【解析】分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案.详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C、D，如图所示，可知，，当小时时甲乙两船相距最近.故答案为：.点睛：求距离问题的注意事项(1)首先选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形．23. 正数，满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：，当且仅当时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．24. 已知数列满足，给出下列命题：①当时，数列为递减数列；②当时，数列不一定有最大项；③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.请写出正确的命题的序号__________．【答案】③④【解析】分析：由于，再根据k的条件讨论即可得出.详解：①当时，，，当时，，因此数列不是递减数列，故①不正确；②当时，，由于因此数列一定有最大项，故②不正确；③当时，，，因此数列为递减数列，正确；④当为正整数时，，因此数列必有两项相等的最大项，故正确.综上可知：只有③④正确.故答案为：③④.点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.五、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25. 已知函数．（I）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，解关于a的不等式即可.详解：（I），，∵，，∴，当且仅当时“”成立，（Ⅱ），，，时，，在递增，∴，解得：，时，令，解得：，令，解得：，∴在递减，在递增，∴成立，综上．点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.26. 在中，、、分别为内角、、的对边，且满足．（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求．【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】分析：（1）由条件可得，再由正弦定理得，由余弦定理求得，从而求得角的大小；（2）由，求得，再由正弦定理即可求得答案.详解：（I）∵，∴，由正弦定理得，由余弦定理得，∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，由正弦定理，求得，解得．点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题.27. 已知函数，其中，.（I）求的解析式；（Ⅱ）若数列满足，，．求证：.【答案】（I）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（1）由求得、、的值，代入原函数可得函数解析式；（2）由求得数列递推式，把数列递推式变形，可得，结合已知放缩得答案.详解：（I）∵，，∴，由，解得．∴，∴；（Ⅱ）证明：由，得，∴，则，∵，则，∴．又∵，∴．∴．点睛：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查数列不等式的证明，把已知递推式灵活变形是关键，是中档题.。
北京市师范大学附属中学2017_2018学年高一数学上学期期中试卷(含解析)
所以全称命题命题
，
的否定是特称命题
；
当
时，
,所以可判断 真 假，
故答案为 :
，.
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的 否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量 词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验
证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号
能否同时成立）
6.函数
满足对任意的 x，均有
，那么 ， ， 的大小关
系是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
3
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【解析】
【分析】
根据
12.函数
，则该函数的定义域为_________，值域为__________.
6
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【答案】 (1).
(2).
【解析】 【分析】
由
求得函数的定义域；设
,可得
,解不等式可得函数的值域.
【详解】要使函数
有意义，则
求得
，函数的定义域为
；设
,可得
,解得 或 ,即函数的值域为
，
故答案为
，
.
1
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题. 3.若 ， A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】
，则有 B. D.
令
，可排除选项
，利用不等式的性质可证明 .
【详解】令
，可排除选项 ，
对，
2017-2018学年北京师大附中高一(下)期末数学试卷-含详细解析
2017-2018学年北京师大附中高一（下）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.在△ABC中，若b+c=2+1，B=30°，C=45°，则（）A. b=1，c=2B. b=2，c=1C. b=22，c=1+22D. b=1+22，c=222.“a=2”是“直线x+ay-a=0与直线ax-（2a-3）y-1=0互相垂直”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（）A. 5B. 22C. 23D. 44.已知m，n为直线，α，β为平面，下列命题正确的是（）A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m⊂α，n⊂β，则m与n为异面直线C. 若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥nD. 若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//n5.向正方形ABCD内任投一点P，则“△PAB的面积大于正方形ABCD面积的14”的概率是（）A. 18B. 14C. 12D. 34二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）6.已知直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，则m=______．7.直线kx-y+1-2k=0与圆C：（x-1）2+y2=3的位置关系是______．8.已知向量a=（1，k），b=（-k，1），则a与b的夹角是______．9.在《九章算术•商功》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biēnào），在如下图所示的鳖臑P-ABD中，PD⊥DA，PD⊥DB，BA⊥AD，则△PAB的直角顶点为______．10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1（含边界）内一动点，则三棱锥P-ABC的主视图与俯视图的面积之比的最小值为______．11.已知直线l与圆C：（x-2）2+（y-2）2=4交于A，B两点，|AB|=23，则满足条件的一条直线l的方程为______．三、解答题（本大题共5小题，共67.0分）π，BC=27，AC=2，AD⊥AC．12.如图，在△ABC中，∠BAC=23（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）求AD．13.甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由．14.已知四棱锥P-ABCCD的底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，AD=PD=2，∠DAB=60°，F，G分别为PD，BC中点，AC∩BD=O．（Ⅰ）求证：FG∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥A-PFB的体积；（Ⅲ）求证：OP与AB不垂直．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC，D，E分别为AB，A1B1中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：四边形CC1ED为平行四边形；（Ⅲ）求证：平面ABC1⊥平面CC1ED．16.已知圆A：x2+y2+6y+5=0，圆B：x2+y2-4x-6y+4=0．（Ⅰ）求经过圆A与圆B的圆心的直线方程；（Ⅱ）已知直线l：x+y-7=0，设圆心A关于直线l的对称点为A'，点C在直线l上，当△A'BC的面积为14时，求点C的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵在△ABC中，b+c=+1①，B=30°，C=45°，∴由正弦定理得：=，即=，整理得：c=b②，联立①②得：b=1，c=，故选：A．利用正弦定理列出关系式，把sinB与sinC代入得出b与c的关系式，与已知等式联立求出b与c的值即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：当a=0时，两条直线分别化为：x=0，4y+1=0，此时两条直线相互垂直；当a=时，此时两条直线不垂直，舍去；当a≠0、时，由于两条直线相互垂直，则×=-1，则a=2．综上可得：a=0或2．∴“a=2”是“直线l1：x+ay-a=0与直线l2：ax-（2a-3）y+1=0垂直”的充分不必要条件．故选：A．对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】【解答】由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=2，AB=2，AD=1．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．最长的棱是PC，PC==2．故选：C．【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．判断最长的棱，通过几何体求解即可．本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由m，n为直线，α，β为平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直、面面平行的性质定理得m∥n，故D 正确．故选：D．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直、面面平行的性质定理得m∥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．5.【答案】C【解析】解：由题意，设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，要使△PAB的面积大于正方形ABCD面积四分之一，需要P到AB的距离大于，则P点所在区域面积为．由测度比为面积比，可得△PAB的面积大于正方形ABCD面积四分之一的概率为．故选：C．由题意，求出满足题意的P点所在区域的面积，利用面积比求概率．本题考查几何概型的概率求法；关键是首先明确概率模型，是基础题．6.【答案】4【解析】解：∵直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，∴=≠，∴m=4，故答案为：4．由两直线平行得，=≠，解出m 值．本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．7.【答案】相交【解析】解：化直线kx-y+1-2k=0为k（x-2）-y+1=0，可得，即x=2，y=1．∴直线kx-y+1-2k=0过定点P（2，1），圆C：（x-1）2+y2=3的圆心坐标为C（1，0），半径r=．而|CP|=＜．∴点P在圆C内部，则直线kx-y+1-2k=0与圆C：（x-1）2+y2=3的位置关系是相交．故答案为：相交．由直线系方程可得直线过定点P（2，1），求出圆心坐标与半径，可得点P在圆内部，从而可知直线kx-y+1-2k=0与圆C：（x-1）2+y2=3的位置关系是相交．本题考查直线与圆位置关系的判断，考查直线系方程的应用，是基础题．8.【答案】π2【解析】解：∵向量=（1，k），=（-k，1），∴•=-k+k=0，∴⊥，则与的夹角是，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积公式求得⊥，再利用两个向量垂直的条件得到与的夹角是．本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的条件，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：三棱锥P-ABD中，PD⊥DA，PD⊥DB，且DA∩DB=D，则PD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，∴PD⊥AB；又BA⊥AD，且PD∩AD=D，∴AB⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，∴AB⊥PA，∴△PAB的直角顶点为A．故答案为：A．根据PD⊥DA，PD⊥DB证明PD⊥平面ABD，得出PD⊥AB，再由BA⊥AD证明AB⊥平面PAD，即可得出AB⊥PA，A是△PAB的直角顶点．本题考查了直线与直线以及直线与平面垂直的应用问题，是基础题．10.【答案】12【解析】解：设正方体的棱长为1，则三棱锥P-ABC的主视图是底边为AB，高为AA1的三角形，其面积为S=×1×1=，主视图当P与D1重合时，三棱锥P-ABC的俯视图正方形ABCD，其面积最大，最大值为1×1=1，所以，三棱锥P-ABC的主视图与俯视图面积比的最小值为．故答案为：．设正方体的棱长为1，求出三棱锥P-ABC的主视图面积为定值，当P与D1重合时三棱锥P-ABC的俯视图面积最大，此时主视图与俯视图面积比值最小．本题考查了空间几何体的三视图面积计算应用问题，是基础题．11.【答案】y=1（答案不唯一）【解析】解：∵，∴圆心（2，2）半径r=2∴圆心到直线l的距离为1，∴满足条件的一条直线l的方程为y=1故答案为：y=1（答案不唯一）确定圆心到直线的距离，即可求直线l的方程．本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】解：（Ⅰ）∵AB2+22-2×AB×2×cos∠BAC=(22∴AB2+2AB-24=0∴AB=4或AB=-2（舍）∴AB=4；（Ⅱ）4sinC =2sinB=27sin2π3得sin B=2114，sin C=217，∴cos B=5714，sin∠ADC=sin（30°+B）=12×5714+32×2114=8728，∴AD sinC =ACsin∠ADC，∴217=8728，∴AD=3．【解析】（1）利用余弦定理AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC=BC2得AB长；（Ⅱ）计算sinC，sinB，从而求得sin∠ADC，再由正弦定理计算AD 的长．本题考查余弦定理和正弦定理的简单应用．13.【答案】解：（Ⅰ）由茎叶图中的数据，计算x 甲=18×（78+79+81+82+84+88+93+95）=85，x 乙=18×（71+76+80+85+90+91+92+95）=85； 所以由样本估计总体得，甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分分别均约为85分；（Ⅱ）从甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩，基本事件是C 31•C 41=12，甲、乙两人成绩都在90分以上的基本事件为C 21•C 31=6， 故所求的概率为P =612=12；（Ⅲ）答案不唯一．派甲参赛比较合适，理由如下： x 甲=85，x 乙=85，s 甲2=18[(78−85)2+(79−85)2+(81−85)2+(82−85)2+(84−85)2+(88−85)2+ （93-85）2+（95-85）2]=35.5；s 乙2=64，因为x 甲=x 乙，s 甲2＜s 乙2，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． 派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为f 1=38， 乙获得85分以上（含85分）的频率为f 2=58， 因为f 2＞f 1，所以派乙参赛比较合适． 【解析】（Ⅰ）由茎叶图中的数据计算、，即可得出平均分的估计值；（Ⅱ）求出基本事件数，计算所求的概率值；（Ⅲ）答案不唯一．从平均数与方差考虑，派甲参赛比较合适； 从成绩优秀情况分析，派乙参赛比较合适．本题考查了利用茎叶图计算平均数与方差的应用问题，是基础题．14.【答案】（Ⅰ）证明：如图，连接OF，OG，∵O是BD中点，F是PD中点，∴OF∥PD，OF⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，则OF∥平面PAB．∵O是AC中点，G是BC中点，∴OG∥AB，OG⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，则OG∥平面PAB．又OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面PAB，则FG∥平面PAB；（Ⅱ）解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AO，又四边形ABCD为菱形，∴AO⊥BD，又AD∩DB=D，∴AO⊥平面PDB，而F为PD的中点，∴V A−PFB=12V A−PDB=14V P−ABCD=14×13×2×2×sin60°×2=33；（Ⅲ）证明：假设OP⊥AB，又PD⊥AB，且OP∩PD=P，∴AB⊥平面PDB，则AB⊥DB，与∠ABD=60°矛盾．∴假设错误，故OP与AB不垂直．【解析】（Ⅰ）连接OF，OG，由已知结合三角形中位线定理可得OF∥平面PAB，OG∥平面PAB，再由面面平行的判断可得平面OFG∥平面PAB，则FG∥平面PAB；（Ⅱ）首先证明AO⊥平面PDB，而F为PD的中点，然后利用等积法求三棱锥A-PFB的体积；（Ⅲ）直接利用反证法证明OP与AB不垂直．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用反证法证明线线垂直问题，训练了利用等积法求解多面体的体积，是中档题．15.【答案】证明：（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC=BC，∴CC1⊥∩BC=C，∴AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）∵D，E分别为AB，A1B1中点，∴AD=A1E，AD∥A1E，∴四边形AA1ED为平行四边形；∴DE=AA1，=CC1，DE∥AA1，∥CC1，∴四边形CC1ED为平行四边形；（Ⅲ）∵AC=BC，D为AB中点．∴AD⊥CD，∵AD⊥CC1．且CC1∩CD=C，∴AD⊥面CC1ED．∵AD⊂平面ABC1．∴平面ABC1⊥平面CC1ED．【解析】（Ⅰ）只需证明CC 1⊥AC ，CC 1⊥∩BC=C ，即可得AC ⊥平面BB 1C 1C ； （Ⅱ）可得四边形AA 1ED 为平行四边形，DE=AA 1，=CC 1，DE ∥AA 1，∥CC 1， 即可得四边形CC 1ED 为平行四边形；（Ⅲ）易得AD ⊥面CC 1ED ，即可得平面ABC 1⊥平面CC 1ED ．本题考查了空间点、线、面位置关系，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）化x 2+y 2+6y +5=0为x 2+（y +3）2=4，可得A （0，-3），化x 2+y 2-4x -6y +4=0为（x -2）2+（y -3）2=9，可得B（2，3）．则经过圆A 与圆B 的圆心的直线方程为y +33+3=x 2，即3x -y -3=0；（Ⅱ）如图，设A ′（a ，b ），则 a 2+b−32−7=0b +3a =1，解得A ′（10，7）．∴|A ′B |= (10−2)2+(7−3)2=4 5．A ′B 所在直线方程为y−37−3=x−210−2，即x -2y +4=0．设C （m ，7-m ），则C 到A ′B 所在直线的距离d =5=5 由S =12×4 5× 5=14，解得m =1或m =173． ∴C 的坐标为（1，6）或(173，43)．【解析】（Ⅰ）由已知求得A ，B 的坐标，由直线方程的两点式得答案；（Ⅱ）求出A′的坐标，再求出|A′B|及A′B 所在直线方程，设C （m ，7-m ），利用点到直线的距离公式求出C 到A′B 所在直线的距离，代入三角形面积公式解得m 值，则C 的坐标可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点关于直线的对称点的求法，考查运算求解能力，是中档题．。
北京师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(含精品解析)
2017-2018学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（ ）A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角2.下列函数中，在R 上为奇函数的是（ ）A. B. C. D. f(x)=cosxf(x)=sinxf(x)=e x f(x)=lgx 3.函数的一个对称中心是（ ）f(x)=sin(x ‒π4)A.B. C. D. (π2,0)(π4,0)(‒π4,0)(‒π2,0)4.设全集U =R ，集合，B ={x |ln x ＞0}，则A ∩B =（ ）A ={x|12＜2x ＜8}A. B. C. D. (‒1,+∞)(‒1,3)(1,3)(1,+∞)5.已知a =2log 32，b =log 35，，则（ ）c =(13)0.2A. B. C. D. c <b <aa <b <c b <a <c c <a <b 6.已知，则“”是“”的（ ）π3＜α＜πα=π2sin(α+π6)=32A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.把函数的图象经过怎样的平移可得到函数y =cos3x 的图象（ ）y =cos(3x ‒π4)A.向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位π4π4C.向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位π12π128.设f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，有f （x +7）•f （x ）=-1．当0≤x ＜7时，f （x ）=log 2（9-x ），则f （-100）的值为（ ）A. B.C. D. 2‒1212‒2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：=______．log 124+(‒8)2310.当时，函数f （x ）=tan x 的值域为______．x ∈(π3，π2)11.角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=______．12.已知a ＞0，则不等式ax 2+（1-a ）x -1＜0的解集为______．13.若存在x ＞0，使得，则实数a 的取值范围是______．x +2x ‒a ＜014.已知函数y =f （x ）是定义在区间[a ，b ]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0＜b ＜-a ．设函数F （x ）=|f （x ）|-|f （-x ）|，且F （x ）不恒等于0，则下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的序号）①F （x ）的定义域为[-b ，b ]；②F （x ）是奇函数；③F （x ）的最小值为0；④F （x ）在定义域内单调递增．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知，且α∈（0，π）．sinα‒cosα=12（Ⅰ）求cosα；（Ⅱ）求的值．sin(α+π4)sin2α+cos2α+116.已知函数．f(x)=sin 2x +3sinxcosx （Ⅰ）求；f(3π4)（Ⅱ）当时，求函数f （x ）的最值及对应x 的值．x ∈[0，π2]17.已知函数的部分图象如图所示，N 为f （x ）图象的一个最f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)高点，M 、Q 为f （x ）图象与x 轴的交点．（Ⅰ）若，，求函数f （x ）的解析式；M(π6，0)N(5π12，3)（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ 为直角三角形，求A •ω的值．18.某港口的水深y （单位：m ）是时间t （0≤t ≤24，单位：h ）的函数，下面是该港口的水深表：t 0…3…9…15…y 10…13…7…13…经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，已知该曲线可近似的看成函数y =A sinωt +B 的图象．（Ⅰ）试根据水深表和曲线，求A ，ω，B 的值；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）请说明理由．19.已知函数．f(x)=ln x ‒2x +2（Ⅰ）若f （a ）=1，求a 的值；（Ⅱ）试判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）写岀方程f（x）=sin x+2根的个数（不需证明）．20.给定函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：对任意的x∈[t-a，t+b]，|f（x）-f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（Ⅰ）是否存在函数f（x），使得H（t）是R上的常值函数？试说明理由；（Ⅱ）若f（x）=x2，当t∈[l，2]时，①求函数H（t）的解析式；②求函数H（t）的值域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2.【答案】B【解析】解：对于A，f（x）是偶函数，对于B，f（x）是奇函数，对于C，D，f（x）是非奇非偶函数，故选：B．根据函数的奇偶性的定义判断即可．本题考查了函数的奇偶性，熟练掌握函数的单调性的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：令x-=kπ，k∈Z，求得x=kπ+，故函数的对称中心为（kπ+，0），令k=0，可得函数的一个对称中心是（，0），故选：B．利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的一个对称中心．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵=（-1，3），B={x|lnx＞0}=（1，+∞），∴A∩B=（1，3）．故选：C．求解指数不等式和对数不等式化简A，B，再由交集运算得答案．本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交集运算，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵1=log33＜a=2log32=log34＜b=log35＜log39=2，＜（）0=1，∴c＜a＜b．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵，∴＜＜，又“”∴α+=，解得α=．∴“”是“”的充要条件．故选：C．由，知＜＜，又可得α+=，解得α．即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：把函数的图象向左平行移动个单位，可得函数y=cos（3x+3•-）=cos3x 的图象，故选：C．由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，得出结论．本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．∴对任意实数x，有f（x+7）•f（x+14）=-1．即f（x）=f（x+14），即函数是周期为14的周期函数，故f（-100）=f（-2），∵当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），∴f（5）=2，∵f（-2）•f（5）=-1．，故f（-100）=f（-2）=-，故选：A．先由已知得到函数是周期为14的周期函数，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数运算，难度不大，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：=-2+4=2．故答案为：2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式的化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．310.【答案】（，+∞）【解析】解：当时，函数f（x）=tanx单调递增，故：当时，函数在x=时，函数存在最小值，即：y=．所以f（x）的值域为：．故答案为：直接利用正切函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用．11.【答案】‒4 3【解析】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===-．故答案为：．求出角的正切函数值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查任意角的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．12.【答案】(‒1a，1)【解析】解：不等式ax2+（1-a）x-1＜0，即（ax+1）（x-1）＜0，∵a＞0，∴，不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为：故答案为：利用因式分解，结合二次函数的性质即可求解．本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a＞22【解析】解：存在x＞0，使得，则a＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴a＞2，故答案为：．分离参数则a＞x+，求出x+的最小值即可得到a的取值范围．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题14.【答案】①②【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）-f2（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，而又由0＜b＜-a，则F（x）=f2（x）-f2（-x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；对于②，F（-x）=f2（-x）-f2（x）=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，则F（x）为奇函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x-2-2x=22x-无最小值，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[-b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；故答案为：①②对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定义域，可得①正确；对于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案本题考查函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，sinα‒cosα=12∴可得：sinα=cosα+，12∵sin 2α+cos 2α=1，∴（cosα+）2+cos 2α=1，可得：8cos 2α+4cosα-3=0，12∴cosα=，‒1±74∵α∈（0，π）．cosα=sinα-∈（-，），121212∴cosα=．7‒14（Ⅱ）∵cosα=，sinα=．7‒147+14∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cos 2α-1=-，3474∴===．sin(α+π4)sin2α+cos2α+12(sinα+cosα)sin2α+cos2α+11447‒7414+26【解析】（Ⅰ）由已知及同角三角函数基本关系式可得8cos 2α+4cosα-3=0，结合范围α∈（0，π）．可求cosα的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα，sin2α，cos2α的值，利用两角和的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）函数．f(x)=sin 2x +3sinxcosx 那么=（sin ）2+sin cos ==；f(3π4)3π433π43π412+3×22×(‒22)1‒32（Ⅱ）由函数=cos2x +sin2x =sin （2x -）+，f(x)=sin 2x +3sinxcosx 12‒1232π612∵时，x ∈[0，π2]∴2x -∈[，]，π6‒π65π6∴当2x -=，即x =0时，有最小值为0，π6‒π6当2x -=，即时，有最大值．π6π2x =π332【解析】（Ⅰ）将x=带入计算即可；（Ⅱ）利用二倍角和辅助角化简，时，求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得最值及对应x 的值．本题考查三角函数的最值的求解，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）若，，M(π6，0)N(5π12，3)则A =3，=-==，T 45π12π63π12π4即周期T =π，又=π，则ω=2，2πω则f （x ）=3sin （2x +φ），∵f （）=3sin （2×+φ）=3，5π125π12∴sin （+φ）=1，5π6即+φ=+k π，k ∈Z ，5π6π2则φ=-+k π，π3∵|φ|＜，π2∴当k =0时，φ=-，π3则f （x ）=3sin （2x -）．π3（2）由2k π+≤2x -≤2k π+，k ∈Z ，π2π33π2得k π+≤x ≤k π+，k ∈Z5π1211π12即函数的单调递减区间为，k ∈Z ．[5π12+kπ，11π12+kπ]（Ⅲ）设M ，Q 的中点是P ，若△MNQ 为直角三角形，则AP =MP ，即△MNP 是等腰三角形，则=，即A 2==，(T 4)2+A 2(T 2)2T 24‒T 2163T 216则A =T =，3434⋅2πω则．Aω=32π【解析】（Ⅰ）根据M ，N 的坐标，找出A ，T 之间的关系求出A ，ω和φ的值即可求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）利用三角函数单调性的性质即可求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ 为直角三角形，结合勾股定理建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，．可知A ==3，B ==10．图象过（3，13）即可求解ω．13‒7213+72那么：13=3sin3ω+10，可得：sin3ω=1，∴ω=π6故得：A =3，，B =10．ω=π6（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么水深y ≥11.5，即y =3sin t +10≥11.5，π6∴sin t ≥，π612∵0≤t ≤24，∴1≤t ≤5或13≤t ≤17．故：该船在凌晨1点-5点，或13点-17点能够安全进港；若该船当天港内停留的时间最长，应从凌晨1点进港，17点前离港，最长停留时间为16小时．【解析】（Ⅰ）由题意提供函数y=Asinωt+B 的图象．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么水深y≥11.5，结合三角函数的性质即可求解；本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系19.【答案】解：（Ⅰ）由f （a ）=ln =1，a ‒2a +2即=e ，a ‒2a +2解得a =；2+2e1‒e （Ⅱ）函数f （x ）为奇函数．由＞0，解得x ＞2或x ＜-2，x ‒2x +2故函数f （x ）的定义域是（-∞，-2）∪（2，+∞），关于原点对称，而f （-x ）=ln =ln =-ln =-f （x ），‒x ‒2‒x +2x +2x ‒2x ‒2x +2故函数是奇函数；（Ⅲ）1个．【解析】（Ⅰ）由f （a ）=1，结合对数的定义，解方程可得a 的值；（Ⅱ）函数f （x ）为奇函数．运用函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得；（Ⅲ）结合f （x ）的图象和y=sinx+2的图象，可得根的个数．本题考查函数的奇偶性和方程的根的个数，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）存在一次函数f （x ）=kx +m （k ≠0），使得H （t ）是R 上的常值函数．事实如下：当f （x ）=kx +m 时，由|f （x ）-f （t ）|≤2，得|kx +m -kt -m |≤2，即|k |•|x -t |≤2，解得t≤x ≤t +，‒2|k|2|k|则a =，b =，‒2|k|2|k|∴H （t ）=a +b =0为R 上的常值函数；（Ⅱ）①由|f （x ）-f （t ）|≤2，得f （t ）-2≤f （x ）≤f （t ）+2，即t 2-2≤x 2≤t 2+2，（*）当时，解（*）得：，此时；1≤t ≤2‒t 2+2≤x ≤t 2+2a ‒b =2t 2+2当＜t ≤2时，解（*）得：，此时．2‒t 2‒2≤x ≤t 2+2a ‒b =t 2+2‒t 2‒2综上，有H （t ）=．{2t 2+2(1≤t ≤2)t 2+2‒t 2‒2(2＜t ≤2)②由函数单调性可得H （t ）∈．[6‒2，2)∪[23，4]∴函数H （t ）的值域为．[6‒2，2)∪[23，4]【解析】（Ⅰ）根据题意，当f （x）=kx+m （k≠0）时，由不等式|f （x ）-f （t ）|≤2可得t ≤x≤t+，则a=，b=，得出H （t ）为常值函数；（Ⅱ）①根据题意，当f （x ）=x 2且t ∈[1，2]时，不等式|f （x ）-f （t ）|≤2化为|x 2-t 2|≤2，利用不等式的性质求出x 的取值范围，写出函数H （t ）的解析式；②由函数的单调性求解H （t ）的值域．本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．。
2017-2018学年北京市师范大学附属中学高一数学上期中考试试题(含答案)
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷（AP）本试卷满分100分，考试时间为120分钟。
第一部分：中文卷（80分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则A. B.C. D.【答案】D【解析】集合，，则.故选D.2. 若函数的定义域和值域都为R，则关于实数a的下列说法中正确的是A. 或3B.C. 或D.【答案】B【解析】若函数的定义域和值域都为R，则.解得或3.当时，，满足题意；当时，，值域为{1}，不满足题意.故选B.3. 下列函数中，在区间上是增函数的是A. B.C. D.【答案】A【解析】已知函数为上的增函数，，为R上的减函数；在和上单调递减.故选A.4. 给定四个函数：①；②；③；④，其中是奇函数的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①函数的定义域为R,则,则函数f(x)是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数；③函数的定义域为R,f(0)=0+1=1≠0,则函数f(x)为非奇非偶函数；④函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),,则函数f(x)是奇函数，故选B.5. 函数在R上为增函数，且，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】函数在R上为增函数，且，所以，解得.故选C.6. 函数与的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】显然函数过原点，故排除A,二次函数函数的零点为和，一次函数的零点为.两函数图象在x轴上有一个公共点，故排除B,C.D.由一次函数图象可得a＜0,b>0,函数函数开口向下，零点,此选项正确.故选D.点睛：二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)图象与系数的关系(1)a决定开口方向及开口大小,当a＞0时,开口向上;当a＜0时,开口向下;(2)c决定二次函数与y轴交点的位置.当x=0时,y=c,所以二次函数与y轴有且只有一个交点(0,c).①当c=0时,抛物线经过原点;②当c＞0时,抛物线与y轴交于正半轴;③当c＜0时,抛物线与y轴交于负半轴.2、一次函数y=kx+b图象跨越的象限:k＞0,b＞0,则函数经过一、二、三象限;k＞0,b＜0,函数经过一、三、四象限;k＜0,b＞0时,函数经过一、二、四象限;k＜0,b＜0时,函数经过二、三、四象限.7. 设，，，则a,b,c之间的关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调增，因为，则，综上所述选A．考点：1.对数函数;2.幂函数的单调性8. 函数的零点所在的大致区间是A. （1，2）B.C.D. 和（3，4）【答案】C【解析】函数单调递增，且有.所以函数有一个零点在区间内.故选C.点睛：本题主要考查了函数的零点与方程的关系;分段函数的应用等知识点. 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：要求函数在上是连续的曲线，且.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9. 奇函数的定义域为，若当时，的图象如下图，则不等式的解是_________【答案】【解析】由于奇函数关于原点对称,故函数(x)在定义域为[−5,5]的图象如图由图象知不等式f(x)<0的解集是，故答案为：.10. 函数，则_________【答案】【解析】试题分析：由知．考点：分段函数11. 若函数在（]上单调递减，则p的取值范围是________【答案】【解析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为.在（]上单调递减，在单调递增.所以，解得.答案为.12. 的值是_____________。
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北京师大附中2017－2018学年下学期高一年级期末考试
数学试卷
说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 直线x ＋y －1=0的倾斜角为（ ）
A.
4
π
B. 4
π
-
C.
4
3π
D. 4
3π-
2. 在△ABC 中，若12+=+c b ，B ＝30°，C ＝45°，则（ ） A. 2,1==c b B. 1,2==c b
C. 221,22+==
c b D. 2
2
,221=
+=c b 3. 已知m ，n 为直线，βα,为平面，下列命题正确的是
A. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n （ ）
B. 若βα⊂⊂n m ,，则m 与n 为异面直线
C. 若βα⊂⊂n m ,，βα⊥，则m ⊥n
D. 若m ⊥α，n ⊥αβ,∥β，则m ∥n
4. 在一段时间内有2000辆汽车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示。
若该处高速公路规定正常行驶速度为90km ／h ～120km ／h ，试估计2000辆汽车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（ ）
A. 30辆
B. 300辆
C. 170辆
D. 1700辆
5. “a ＝2”是“直线0=-+a ay x 与直线01)32(=---y a ax 互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 向正方形ABCD 内任投一点P ，则“△PAB 的面积大于正方形ABCD 面积的4
1
”的概率是（ ）
A. 8
1 B.
4
1 C.
2
1 D.
4
3
7. 某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（ ）
A.
5
B. 22
C. 32
D. 4
8. 在△ABC 中，2
1
=，点P 是直线BN 上一点，若m +=，则实数m 的值是（ ）
A. 2
B. －1
C. 4
1-
D.
4
5
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知直线0323=-+y x 与直线016=++my x 互相平行，则m ＝_________。
10. 已知向量)1,(),,1(k b k a -==，则a 与b 的夹角是_________。
11. 直线021=-+-k y kx 与圆C ：3)1(2
2=+-y x 的位置关系是_________。
12. 在《九章算术·商功》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biē nào ），
在如下图所示的鳖臑P －ABD 中，PD ⊥DA ，PD ⊥DB ，BA ⊥AD ，则△PAB 的直角顶点为
___________。
13. 已知直线l 与圆C ：4)2()2(22=-+-y x 交于A ，B 两点，32||=AB ，则满足条件的一条直线l 的方程为________________。
14. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是上底面1111D C B A （含边界）内一动点，则三棱锥P －ABC 的主视图与俯视图的面积之比的最小值为___________。
三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.（本小题13分）
如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3
2
，BC ＝72，AC ＝2，AD ⊥AC 。
（Ⅰ）求AB ； （Ⅱ）求AD 。
16.（本小题14分）
在三棱柱111C B A ABC 中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，D ，E 分别为AB ，A 1B 1中点。
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；
（Ⅱ）求证：四边形CC 1ED 为平行四边形； （Ⅲ）求证：平面ABC 1⊥平面CC 1ED 。
17. （本小题13分）甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；
（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；
（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由。
18. （本小题14分）已知四棱锥P －ABCCD 的底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，AD=PD=2，∠DAB=60°，F ，G 分别为PD ，BC 中点，AC ∩BD ＝O 。
（Ⅰ）求证：FG ∥平面PAB ； （Ⅱ）求三棱锥A －PFB 的体积； （Ⅲ）求证：OP 与AB 不垂直。
19. （本小题13分）
已知圆A ：0562
2
=+++y y x ，圆B ：04642
2
=+--+y x y x 。
（Ⅰ）求经过圆A 与圆B 的圆心的直线方程；
（Ⅱ）已知直线l ：07=-+y x ，设圆心A 关于直线l 的对称点为A ＇，点C 在直线l 上，当△BC A '的面积为14时，求点C 的坐标。
20.（本小题13分）
已知集合,,{21a a A =…)2}(,≥k a k ，其中,2,1(=∈i Z a i …),k ，由A 中的元素组成如下两个集合：},,|),{(A b a A b A a b a S ∈+∈∈=，},,|),{(A b a A b A a b a T ∈-∈∈=，其中),(b a 是有序数对，设集合S 和T 中的元素个数分别为m ，n ，若对于任意的A a ∈，总有A a ∉-，则称集合A 具有性质P 。
（Ⅰ）集合{0，1，2，3）与{－1，2，3）是否具有性质P ？若具有性质P ，直接写出相应的集合S 和集合T ；
（Ⅱ）对具有性质P 的集合A ，证明：2
)
1(-≤
k k n ； （Ⅲ）对具有性质P 的集合A ，写出m 与n 的大小关系（只需写出结论）。
【试题答案】
二、填空题 9. 4 10.
2
π 11. 相交 12. A 13. 1=y （答案不唯
一）
14.
2
1
三、解答题 15.（Ⅰ）4 （Ⅱ）3
16. 略
17. 解：（Ⅰ）85,85==乙甲x x
所以由样本估计总体得，甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分分别均约为85分；
（Ⅱ）2
1
=
P 。
（Ⅲ）答案不唯一。
派甲参赛比较合适，理由如下：
85,85==乙甲x x
+
-+-+-+-+-+-=2222222
)8588()8584()8582()8581()8579()8578[(8
1甲s 5.35])8595()8593(22=-+-
642=乙s
因为乙甲x x =，2
2
乙甲s s <，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。
派乙参赛比较合适，理由如下：
从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为8
3
1=f ， 乙获得85分以上（含85分）的频率为8
52=f ， 因为12f f >，所以派乙参赛比较合适。
18.（Ⅰ）略 （Ⅱ）
3
3
（Ⅲ）略 19.（Ⅰ）033=--y x （Ⅱ）（1，6）)3
4,317(
20.（Ⅰ）集合}3,2,1,0{不具有性质P ；集合}3,2,1{-具有性质P ，相应的集合S 和T 为：集合)}1,3(),3,1{(--=S 和)}1,2(),3,2{(-=T ；
（Ⅱ）证明：首先：由A 中元素构成的有序数对),(j i a a 共有2
k 个，由A 具有性质P 知，A ∉0，所以，,2,1(),(=∉i T a a j i …),k ，又因为当A a ∈，总有A a ∉-，若),(j i a a ,2,1,(=∈j i T …j i k ≠,,）
，则有A a a j i ∈-，但A a a i j ∉-，因此T a a i j ∉),(，从而集
合T 中的元素个数最多为
)(212k k -，即：2
)1(-≤k k n ； （Ⅲ）m ＝n。