四色定理的理论证明
四色定理数学证明过程
四色定理数学证明过程“四色定理”是指，由Kempe于1879年提出，即任意一个地图只需要四种颜色来涂色，就可以保证相邻区域颜色不同。
在过去的几十年中，数学家一直在努力寻找证明“四色定理”的正确方法。
在1976年，法国数学家A. Appel和W. Haken终于证明了“四色定理”的正确性。
本文将分享一下“四色定理数学证明”的过程。
证明“四色定理”的方法是“规约法”。
即将“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题，然后通过算法求解。
步骤一：将“涂色问题”转化为图论问题首先要把“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题。
通过数学家Halstead的研究，人们发现只需要涂四种颜色的是那些“好”的地图，将其进行编码，最终将地图还原成图。
这里的“好”的地图指的是那些没有的海岸线被其它地图穿过的地图。
步骤二：将“图论问题”转化为无矛盾的有限数学问题其次，将图论问题转化为有限的概率问题。
通过构建一个叫做“网格图”的数据结构，将图论问题通过计算概率，可以变成一个有限的数学问题。
然后通过数学的力量，我们可以证明这个数学问题是有解的。
这个证明过程中涉及到多项式定理、双射、图的对称性等。
步骤三：验证证明的正确性最后，通过计算机程序验证证明的正确性，确保其结果无误。
这个过程还涉及到超过1200页的论文撰写和审核，以及超过100万行的计算机程序代码，所有的证明过程都由计算机来完成。
总结作为一个数学难题，“四色定理”的证明让人们深入感受到数学的魅力。
它不仅仅让我们了解到了数学的应用价值，而且让人们更好地理解了数学这个学科本身的精或。
通过“规约法”，我们成功将这个看似无从下手的问题转化为计算机可处理的图论问题，最终证明了“四色定理”的正确性，为人类解决了一个具有重要实际意义的问题。
四色定理的初等证明
探索四色定理的数学证法一四色定理每幅㊣ (正规地图。
公认的定义见附图注)至多需要四种色能使相邻国着不同色。
它从1852年问世至今尚未获得数学证明。
二定理定义引理肯普定理：每幅㊣至少有一国有两、三、四或五个邻国，无每一国都大于五个邻国的情形。
按此，㊣可分为二构形、…、☆(五构形)四种情形。
定义：1-对各种构形，称邻国数最少的国家为构形国。
2-（可）约定㊣所有国家连成一片内部无空区域，则称内部和外部的界线（简单闭曲线）为㊣边界。
3-国B一段边界或一点在㊣边界上，则称B为边沿国。
4-一些国家包围了其它国家，则称这些国家形成的环为圈。
引理1：☆的国家数的集W＝｛12,14,15，…,n,…｝。
证：构造无穷多“四圈”☆。
类似图1的☆，内外圈各一国，中间两圈上取数列6，7，…，m，…（m≥6）⑴中的同一项，得国家数由大于12的偶数组成数列14，…,2（m+1）,…⑵；虚线将P分成两国，得国家数由大于13的奇数组成数列15，…，2m+3,…⑶。
合并数列⑵⑶及12得到所有☆的国家数的集W=｛12,14,15，…,n,…｝。
易验证1—13中仅12有☆。
除12外W中每个n所对应☆不同结构的个数复杂程度无论如何，皆视为由“四圈”☆演变而成。
引理2：任意☆中存在构形国不是边沿国。
证：假设命题不成立，则有一个☆G，使得构形国都是边沿国。
因平面地图与球面地图等价，故可使G的以边沿国形成的圈T在球面上并把球面分成对称的两部分。
令每部分被T包围的国家S对称地布满，示意如图2。
由此知T上每一国的邻国数（原来不一定都是五）都大于七，其余国家的邻国数都大于五，就得到一幅（STS）每一国的邻国数都大于五的㊣。
与肯普定理矛盾，故G不存在。
即任意☆中存在构形国不是边沿国。
引理3：在n≥15的☆中，若包围构形国Q的每个邻国与Q只有一条共同边界，Q 的邻国两两相邻的组数是五，这五个邻国中存在邻国数大于五的国家，则□（四色定理成立）。
证：若☆每一国的邻国数都是五，由欧拉公式知n=12。
四色定理的证明范文
四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。
人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。
人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
假设没有飞地，国土连通。
飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。
假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。
假设国家的形状任意。
这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。
因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。
二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。
令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。
四色定理证明
四色定理的证明一、四色定理的介绍地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
1976年美国数学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
二、四色定理的证明通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。
反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。
由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。
所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。
1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。
分别如下：图 2说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。
b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分边界。
将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。
内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。
2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中一个分成两个。
对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。
分别如下：图5图6 图8从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。
3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。
方法是先把图形X 分成2个小图形A 和B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。
又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。
四色定理的简单证明
四色定理的简单证明虽然现在已经有不少人用不同方法证明出了四色定理，但我认为四色定理的证明还是有点复杂,所以给出以下证明。
（注：图形与图形的位置关系可分为相离、包含、内向接、内向切、外向接、外向切，在此文中由于题意关系不妨重新分为以下关系：1 把包含、内向接、内向切，统一划分为包含关系。
2 把外向接单独划分为相接关系。
3把相离、外相切统一划分为相离关系。
）此证明过程中把图的组合形式按照其位置关系而抽离出了以下四种基本有效模式：1 若要存在只需用一种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中所有图形必定满足彼此相离。
如下图：图（1）分析：这是最简单的一种图形关系模式暂且称为模式a。
2 若要存在只需用两种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中的所有图形必定满足最多只存在两个图形的两两相交的图形。
各种有效图形关系如下图：图（2）分析：两个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。
由于图（1）存在包含关系，被包含的图形是对外部无影响的，所以图（1）仍属于模式a。
所以两个图形的两两相交只有图（2）的相交关系模式的图形有效的，我们暂且称之为模式b。
3 若要存在只需用三种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在三个图形的两两相交图形。
各种有效图形关系如下图：图（3）分析：三个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。
由于图（2）属于存在包含关系，同理整体回归于模式a。
所以三个图形的两两相交只有图（1）的相接关系模式的图形是有效图形模式，我们暂且称之为模式c。
4 若要存在只需用四种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在四个图形的两两相交图形。
各种有效图形关系如下图：图（4）分析：四个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系。
由于图（2）属于存在包含关系，同理可得出整体也就回归于图形模式a。
四色定理的最简单证明
四色定理，也被称为四色问题，是一个著名的图论问题，它提出了一个简洁而有趣的断言：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意两个相邻的地区颜色不同。
尽管四色定理的最简单证明仍然非常复杂，需要使用高级数学工具，但我可以尝试为您提供一个基本的思路。
思路如下：
1. 假设存在一个需要五种或更多颜色才能正确着色的地图。
2. 选择其中一个地图并标记为A。
3. 找到A与其他地图相邻的地图，标记为B。
4. 找到A与B相邻的地图，标记为C。
5. 找到A、B和C都相邻的地图，标记为D。
6. 因为A、B、C和D都相邻，根据四色定理，它们应该可以用不超过四种颜色进行着色。
然而，根据假设，我们需要五种或更多颜色。
这导致了矛盾。
7. 因此，根据反证法，我们可以得出结论：任何平面地图都可以用不超过四种颜色进行着色。
需要注意的是，这只是一个简单的思路，而且四色定理的详细证明涉及复杂的图论和组合数学的技术。
数学家们在数十年的努力中最终证明了这个定理的正确性。
四色定理证明
四色定理证明
四色定理的内容是:在平面内任意分割区块，只用四种颜色就能保证所有相邻的区块不同色。
证明：
设有五种不同的颜色，把它们看作5个点，连实线代表两颜色相邻，连虚线代表两颜色不相邻，所以不可能有两个实线交叉。
如果这五个点两两连实线并且无交叉（总假设），则四色定理不成立。
下面来证明这种情况不可能发生：
方法/步骤
1
我们先看三个点的情况：
2
此时，添加第四个点D有两个情况：三角里面或三角外面。
观察发现，两个图的本质是一样的。
3
再添加第五个点E，也是大三角形内外两种情况，但发现无论如何会有一条虚线，
所以，总假设不成立，即四色定理成立。
四色定理证明方法
四色定理证明方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四色定理是数学上一个非常重要的定理，它指出任何一个地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域彼此颜色不同。
这个定理虽然看似简单，但却是一个深奥的数学问题，其证明方法也非常复杂。
四色定理最早由英国数学家弗朗西斯·加思顿在1852年提出，并且在1976年由美国数学家凯尼思·阿普尔和沃夫冈·哈肯证明。
这个定理的证明方法主要是通过图论和逻辑推理来完成。
我们来介绍一下四色定理的一些基本概念。
在地图着色问题中，地图可以看作是由一些区域和它们之间的边界组成的。
而一个合法的地图着色方案就是给每个区域都分配一种颜色，使得相邻的区域颜色不同。
四色定理的证明方法涉及到很多复杂的数学理论，其中最主要的是图论。
图论是一门研究图和网络结构的数学学科，它在证明四色定理中起着至关重要的作用。
在证明四色定理时，数学家们首先将地图转化为一个特殊的图的形式，这个图被称为地图的双图。
地图的双图是在地图的基础上构造出来的一个图，在这个图中每个区域对应一个顶点，而边界对应一条连接这两个顶点的边。
这样一来，地图的问题就被转化为图的问题。
为了证明四色定理，数学家们需要证明对于任意一个地图的双图，我们都可以使用四种颜色进行着色。
证明的关键在于通过逻辑推理来排除一些特殊情况，使得我们只需要考虑一些简单的情况。
数学家们通过对图的结构和特性进行分析和归纳，最终找到了一种方法来证明四色定理的真实性。
除了图论，证明四色定理还涉及到概率论、逻辑推理和计算机算法等领域的知识。
数学家们通过将不同学科的知识相结合，从不同角度来审视这个问题，最终找到了证明四色定理的方法。
四色定理的证明方法是一个集合多种数学技巧和理论的综合性问题，它不仅考验数学家们的数学功底和逻辑思维能力，同时也展示了数学的复杂性和魅力。
四色定理虽然已经被证明，但它依然是数学领域中一个重要而且有趣的问题，相信在未来会有更多数学家对这个问题进行深入的研究和探索。
数学中的四色定理证明
数学中的四色定理证明在数学中，有一项非常著名的命题被称为四色定理。
这项命题的内容是：对于任何一个平面图，只要它的区域数（包括无限远处的区域）不超过四个，那么就可以用四种不同的颜色给每一个区域都染色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理虽然看起来很简单，但是却极其难以证明。
在 1852 年，英国的一位数学家 Francis Guthrie 发现了这个定理，并向他的教授请教。
几十年过去，当 Guthrie 的教授告诉他已经找到了一个反例时，这个猜想被否定了。
但是至今为止，对于四色定理到底成不成立，数学家们仍然没有得到完全的证明。
在 1976 年，Kempe 发表了一篇文章，声称他已经证明了四色定理。
但随后，一位来自伯明翰大学的数学家 A.K. 阿普尔比汀对他的证明中的一个错误进行了纠正。
这个错误的发现一方面表明了四色定理确实非常难以证明，另一方面也启发了其他数学家，让他们继续尝试寻找证明的方法。
经过长达100 多年的探求，直到1976 年才被证明成立。
当时，国际上的四名著名数学家通过使用现代计算机技术，给出了一个完美的证明。
这个证明是非常复杂和深奥的，令人不得不惊叹于人类智慧的力量。
笔者在此不打算深入讨论这个证明的细节，而是从另一个角度出发，来理解四色定理的意义。
首先，四色定理告诉我们，即使是看似很简单的问题，也可能存在着极其复杂的答案。
如果我们不去深入研究、探求，很容易会得出错误的结论。
这也是为什么很多人随便就能口胡一些东西，却很难真正去理解和掌握某一项学问的基本原理。
其次，通过四色定理的证明，我们也可以看到人类智慧和科技的力量。
在过去，证明这个定理是极其困难的，但现在，我们可以依靠计算机技术，借助各种数学方法，从最细微的角度去找到证明。
最后，四色定理的证明也告诉我们一个很重要的思想：无论遇到多么困难和棘手的问题，我们都应该尝试着去解决它。
这需要勇气、毅力和耐心，同时也需要一些创新和发明。
正是因为几名著名数学家的努力，四色定理的证明才能变成现实。
4色定理的证明
4色定理的证明：对（连通的简单）平面图（记为G）的结点数n进行归纳。
当n=1时，结论当然成立。
假设当n=k(k是自然数)时结论成立，当n=k+1时：根据（连通的简单）平面图的性质，必存在一个结点，设为v，其度（记为d(v)）<=5。
1、当d(v)<4时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
而结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色，故结论成立。
2、当d(v)=4时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
设与结点v相联的结点依此为v1,v2,v3,v4，其着色各不相同，依此为c1,c2,c3,c4（着色若有相同，则结点v就可以用4种颜色中的某一种进行着色），如图1所示。
现在来证明结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色。
从结点v1出发，构造可达结点集，其结点的着色只有2种，c1和c3交替出现，依此为c1,c3,c1,c3,c1,c3,c1,c3，……。
若该结点集不包含结点v3，则结点v3就可以用c1进行着色，而不影响其他结点的着色，那么，结点v就可以用c3进行着色。
若该结点集包含结点v3，则从结点v2出发，构造可达结点集，其结点的着色只有2种，c2和c4交替出现，依此为c2,c4,c2,c4,c2,c4,c2,c4，……。
则该结点集不可能包含结点v4（否则，就不是平面图了），那么，结点v4就可以用c2进行着色，那么，结点v就可以用c4进行着色。
3、当d(v)=5时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
设与结点v相联的结点依此为v1,v2,v3,v4,v5，且只有2个结点的着色相同（若有2个以上结点的着色相同，则结点v就可以用4种颜色中的某一种进行着色），着色相同的结点对的物理位置有相邻和相隔2种情况：（1）相邻。
与结点v相联的结点的着色依此为c1,c1,c2,c3,c4，如图2所示。
现在来证明结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色。
4色的原理
4色原理
四色定理是图论中的一个定理，它指出任何平面图都可以用最多四种颜色来进行着色，使得任意相邻的区域具有不同的颜色。
这个定理的证明相当复杂，但可以简化为以下几个步骤：
1. 首先，我们可以将平面图进行简化，移除所有的重复或相交的边。
这样可以保证我们在着色时不会有任何冲突。
2. 接下来，我们可以选择一个任意的区域，并将其标记为第一种颜色。
然后，我们可以依次考虑其他的区域，并根据它们与已经着色的区域的关系来确定它们的颜色。
3. 当我们考虑一个新的区域时，我们需要检查它与已经着色的区域的关系。
如果这个新区域与已经标记为第一种颜色的区域相邻，那么我们可以将新区域标记为第二种颜色。
类似地，如果新区域与第二种颜色的区域相邻，我们可以将其标记为第三种颜色，以此类推。
4. 如果在着色的过程中，我们找不到一种颜色来标记一个新的区域，那么意味着我们需要引入一种新的颜色。
由于我们最多只能使用四种颜色，所以这个定理得到了证明。
需要注意的是，这个定理只适用于平面图，即在一个平面上可以画出来的图形。
如果图形是在三维空间中或者具有其他特殊的拓扑结构，四色定理可能不再适用。
四色定理
肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。 不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。 证明Np=[(7+√1+48p)/2].数学家用了78年。 肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。 11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久，泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。
闵可夫斯基证明四色定理
闵可夫斯基证明四色定理《闵可夫斯基证明四色定理》一、四色定理背景介绍一直以来，人们对四色定理一直有很多的研究，四色定理是想要证明任意一个地图上任意两个相邻的区域不能用同一种颜色进行标记，即构成一个无穷网络，需要至少有四种颜色来标记每个区域，其中只有布朗、闵可夫斯基证明算法是正确的，他们中间用不同的数学方法解决了这个问题，所以四色定理也又被称为布朗定理和闵可夫斯基定理。
二、闵可夫斯基证明四色定理闵可夫斯基是1901年出生的俄罗斯数学家，他在1890年得到了证明四色定理的完整论文，他使用数学方法证明了这一定理，他用三种数学方法：游戏理论、颜色类和偏序结构，并用图论把打仗想象地抽象为棋盘游戏并建立了四色定理的数学论证模型。
在有限的情况下，比如把地图抽象为一个棋盘游戏，表示为（n * n）的矩阵，从而可以从其它的数学知识进入棋盘游戏的各种状态，并从这些状态中推导出若干条件。
四色定理的证明完全依赖于棋盘游戏，若在棋盘游戏中出现染色失败，那么在地图上就会被证明不存在填色法，反之则必有色彩划分方案。
三、闵可夫斯基四色定理的重要性四色定理是地理、地图学和图论中一个很重要的定理，其证明，无论在地理学中国和行政区划都有实际应用价值。
通过证明这个定理，提供了系统的工具，有助于分析一般的划分问题，它的使用更广泛的地理学技术，比如说空间结构的分析，也有着积极的影响。
此外，四色定理的证明也可以作为一种学习的基础，为后续的地理数学分析打下良好的基础，以此更好的理解地球表面的相关性。
最后，四色定理被广泛用于地图绘制，电子游戏研发等领域，可以说是我们地理学习研究中非常重要的定理。
结论闵可夫斯基证明四色定理，使用许多数学方法，他的证明可以成为基础，从而打开一系列优秀的图论技术，在生活、工作及教学中应用，具有很重要的意义。
四色定理的终极证明-证明篇
如图3所示，由于上与下区域不接 壤可用同一种颜色、左与右区域也 不接壤也可用同一种颜色，所以中 间区域只要用第三种颜色就行了。 由于中间区域只与周围四个区域有 接壤，不与外界其它区域有接壤， 所以它的存在与否，只要外围四区 域着色不变也不会影响其它区域的 着色。就是说：在整个最大平面图 中可把图3中左边的情况看成与右 边的一样（图中是中间用了绿色使 左右区域相连，也可以用红色使上 下区域相连），下方的关系图就是 去掉中心O点，把C点合并到B点， 只剩下三个点二条线。
公共边现象
•
在去掉中间点的过程中，很 容易出现连成一串的四边形 （如图8中的B和C都是四边形 的中心点），可先去掉B点把 C与A合并，也可先去掉C点把 D与B合并。从A点到D点实际 上是两个多边形的公共边， 在去掉这些四边形中心点的 过程中，因为有着依次去掉 一个合并一个的规律，可一 次性把这些点去掉，A到D的 总点数是单数，合并后只剩 下A点；A到D的总点数是双数， 合并后只剩下A和D两点。
二个区域包围一个区域的情况
•如图1所示，中间的区域只要 用不同于外面二区域的任何颜 色就可以了，而它的存在与否， 也根本不会影响外围二区域与 其它区域的着色。就是说：在 整个最大平面图中可把图1中 左边的情况看成与右边的一样， 下方的关系图就是去掉了中心 O点，把二边形左右两条边AB 合并为一条。
2n边形与（2n 样图5就需要三种颜色，图6就需要四 种颜色。因为中间的黄色是被包围在 公路当中不与外界接触，它的存在与 否不会影响公路与外面地域的着色情 况，所以可以把黄色部分去掉，去掉 中间部分后左右车道就合二为一（如 图中右边所示），图5和图6中右边与 外界的着色关系同左边时仍旧一样。 下方的关系图就是去掉中心点，通过 合并，2n边形只剩下n+1个点n条线 （图5），2n-1边形只剩下n+1个点 n+1条线（图6）。带下划线的这两个 规律其实也适合上面所述的二边形、 三边形、四边形、五边形„„。它们 只是多边形的几个特例。
四色定理的证明
四色定理的证明
王为民（四川南充龙门中学）
四色定理：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证明：
公理：平面地图上，只有一点相邻的区域不增加颜色的种类，至少有一边相互相邻才增加颜色的种类。
可以假设平面地图上的区域原来只有一个，后来分出了无数的区域，但是，证明只需要四种颜色就可以把它们区分出来就可以了。
1、地图上的一个区域。
2、在这个区域内部增加一条线（封闭的或不是封闭的）将其一分为二，就增加一个区域，变成两个相互相邻区域，也就增加一种颜色。
3、在它们的相互相邻边上增加一个区域，变成三个相互相邻的区域，又增加一种颜色。
4、选择在三个区域相邻的点再增加一个区域，变成四个相互相邻边的区域，又增加一种颜色，共有四种颜色。
5、在这样的情况下，无论在什么位置选择新增加一个新的的区域，都不能做到五个区域的边相互相邻。
也就不能增加区分区域颜色的种类。
在拓扑学中，一个结论就是平面上没有五个点可以用9条线互不相交而相连，但是，第10条一定画不出不相交的线。
这就是“本证明重点问题：在平面上画不出五个有边都相互相邻的区域。
”的原因。
6、我们无论在一个新的什么区域或地图的任意交界或不交界位置，无论怎样重复或2或3或4或5这些步骤，把平面上的一个区域分成无论怎样的形状，可得到任意形状的地图，我们都无法作出五个有相互相邻边的区域而再增加一种颜色。
所以，每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证毕。
四色定理—张明升
四色定理的尝试证明
关于四色定理的证明：
1、容易知道：如果能用四种颜色填充一个平面图（相邻区域颜色不同），则一定能用五种颜色填充。
2、突破口：由此，要证明四色定理，只需证明平面图中的五个区域，不能两两相邻。
如果两两相邻，显然四种颜色是不够的，即此时至少需要五种颜色。
3、欧拉公式：V-E+F=2
V:顶点个数E：弧个数F：区域个数
4、绘图（直观的绘图，五个区域不能两两相邻；然而要得出五个区域不能两两相邻的结论，还需要证明。
）
对图—1的说明：上图分为五个区域，分别对五个区域着色（相邻区
域着不同的颜色）；显然在图—1中，各区域间的关系如下表：
相邻区域A B C D E
A sＹＹＹＹ
BＹsＹＹＹ
CＹＹsＹN
DＹＹＹsＹ
EＹＹＹs
概率法：
假设平面上有五个两两相邻的区域，面积相等；现在向该这五个区域随机地投掷两颗豆子，则：
【1】事件A:每个区域落入豆子的概率为1/5
【2】事件B:两颗豆子落在同一区域的概率为1/5
【3】事件C:两颗豆子落在相邻区域的概率为4/5（这是个假命题）【4】如何发现矛盾呢？————突破口：相邻区域落入豆子的概率不是4/5
不妨设五个区域分别为A、B、C、D、E。
由假设，每个区域必与其他四个区域相邻，那么两颗豆子分别落在A和B上的概率为2/25
‘已知’二维平面中五个不同区域不能两两相邻，而在三维区域中这是
可以实现的；因此，四色定理的证明，可以以非整数维空间来探讨。
四色定理证明过程-定义说明解析
四色定理证明过程-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:四色定理是著名的图论问题，最初由英国数学家弗朗西斯·伯兰德提出。
该定理表明，任何平面上的地图都可以用四种颜色进行着色，使得任何相邻的区域都拥有不同的颜色。
四色定理在图论中具有重要的地位，它不仅仅是一个数学问题，更是一种对于地图着色问题的普遍性解决思路。
通过证明四色定理，我们可以更好地理解颜色着色问题的本质，以及在实际应用中的意义。
本文将从四色定理的基本概念入手，介绍其证明过程和要点，希望可以帮助读者更深入地理解这一经典的数学问题。
1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，将对四色定理进行简要概述，介绍文章的结构和目的。
正文部分将分为三个小节：四色定理简介、证明过程概述和证明要点。
在四色定理简介中，将介绍四色定理的背景和基本概念；在证明过程概述中，将介绍证明四色定理的主要思路和方法；在证明要点中，将详细展开证明过程中的关键步骤和技巧。
结论部分将总结全文内容，探讨四色定理的意义和展望。
通过本文，读者将对四色定理的证明过程有一个清晰的了解，同时也能认识到四色定理在数学领域的重要性和影响。
1.3 目的：本文的目的在于阐述四色定理的证明过程，通过详细分析和解释，让读者了解四色定理的重要性和深刻意义。
同时，通过揭示证明过程中的关键要点，帮助读者更好地理解数学领域中的重要定理和证明方法。
通过本文的阐述，希望能够激发读者对数学的兴趣，增强他们对数学知识的掌握和运用能力，促进数学领域的发展和进步。
2.正文2.1 四色定理简介四色定理是数学领域中一项著名的定理，它指出任何一个平面上的地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理最早由英国数学家弗朗西斯·格斯特在1852年提出，并在1976年被美国数学家康韦·阿佩尔和沃夫冈·汉克尔利用电脑进行证明。
四色定理的重要性在于它证明了一个简单而直观的问题，却需要复杂的数学推理和计算才能得出结论。
四色定理
四色定理四色定理指出每个可以画出来的无飞地地图都可以至多用4种颜色来上色，而且没有两个相接的区域会是相同的颜色。
被称为相接的两个区域是指他们共有一段边界，而不是一个点。
这一定理最初是由Francis Guthrie在1853年提出的猜想。
很明显，3种颜色不会满足条件，而且也不难证明5种颜色满足条件且绰绰有余。
但是，直到1977年四色猜想才最终由Kenneth Appel 和Wolfgang Haken证明。
他们得到了J. Koch在算法工作上的支持。
证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查。
这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检。
在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况。
这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的。
四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证。
最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。
参见实验数学。
缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”虽然四色定理证明了任何地图可以只用四个颜色著色，但是这个结论对于现实上的应用却相当有限。
现实中的地图常会出现飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的。
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个顶点看作一个顶点，得到与<b-ii>中讨论相
同的情形，因而这种情况下 G 是 4－可着色的。
因此我们剩下的问题是着相同颜色的二顶点
不挨着的情况。
不妨假设，按逆时针方向绕着 v 的顶点是
(图二)
v1 v2 v3 v4 v5，其中 v1 v3 着相同颜色 c1 ，v2 着 色 c2， v4 着色 c3，v5 着色 c4。（图二）
(3) 由图<4>知：v 1∈extC2，v 4∈intC2，圈 C2 由颜色 c2 c4 着其顶点（v 无 色除外）。因为 v1 v4 着色 c1 c 3，用 c1 c 3 着色的顶点产生子图 H9，所以 v1 v4 必然属于 H9 的不同分支。同样，v3∈intC2，v1 v3 属于 H9 的不同分支。 在 v1 所在的分支上交换颜色 c1 c3，而不影响 G－v 的正常着色。使 v1 着 色 c3。同样，v3∈extC1，v5∈intC1。用 c1 c4 着色的顶点产生子图 H10，H10 包含 v3 v5，因为圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），所以 v3 v5 属于 H10 的不同分支，在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常 着色，使 v3 着色 c4。这样，我们使 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4， 余下的色 c1 给 v 着色。这样，对于情形<4>我们再次得到 G 的一个 4－着 色法。
着色，我们来证明存在 4－着色法，使得 G 可 4-着色。
a). 如果和 v 邻接的顶点上所使用的颜色少于 4 种，那么只要用余下的任一
种颜色给 v 着色，便可以得到 G 的一个 4-可着色法。
b). 与 v 邻接的顶点着满 4 种颜色，因为有 deg(v) ≤5，所以存在与 v 邻接
4 个或 5 个顶点的两种情况，分别讨论如下：
四色定理的理论证明
四色定理：任一平面图是 4-可着色的。
证明：
对于图 G 的顶点数 P 用归纳法进行证明。
如果 P≤4，定理显然正确。
设 P>5 且本定理适用于少于 P 个顶点的任一平面图。
对于具有 P 个顶点的平面图 G，由 Euler 定理推论，G 中有一顶点 v，满足
deg（v）≤5。由归纳假设，图 G-v 是 4－可着色的，假设已经存在一个这样的
(2) 与前面类似，由图（2）知：v1∈intC2，v4∈extC2。圈 C2 由色 c2 c4 着其 顶点，因此，用 c1c3 着色的顶点产生子图 H7，v1 v4 属于 H7 的不同分支。 同时 v3∈extC2，所以 v2 v3 亦不在 H7 的同一分支上。在 v1 所在的分支上 交换色 c1c3，而不影响 G－v 的正常着色。从而是 v1 着色 C3。同样，由于 v3∈extC1，v5∈intC1，圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），因此，用 v3v5 对应的色 c1 c4 着色的顶点产生子图 H8，v3 v5 比属于 H8 的不同分支。 在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常着色，使 v3 着上 色 c4。这样，我们是 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4，余下的色 c1 我们给 v 着上。因此，对于情况<2>，我们又得到 G 的 4－着色法。
<b-i>. v 邻接着满 4 色的 4 个顶点。
不妨设按逆时针方向绕着 v 的顶点是 v1 v2 v3 v4，并且各自被着了颜色 c1 c2
c3 c4， (图一)
现在考虑用 c1 c3 着色的顶点产生的子
图 H1，H1 包含 v1 v3。如果 v1 v3 属于 H1 的不
同分支，我们可以在包含 v1 的分支上交换
现在，我们考虑用 c2 c3 着色的顶点产生的子图 H3 和用 c2 c4 着色的顶点产生 的子图 H4。其中，H3 包含 v2v4，H4 包含 v2v5。
如果 v2v4，属于 H3 的不同分支，我们选择 v2 所在的分支交换 c2 c3 颜色，而不 破坏 G－v 的正常着色，从而使 v2 着色 c3，余下色 c2 给 v 着色，从而得到 G 的一 个 4-着色法。
<2>
<3>
<4>
显然可以看出，对于图<3>，我们按顺时针方向绕顶点 v，从 v3 开始对与 V 邻接的 5 个顶点重新命名以 v1` v2` v3` v4` v5`，则得到与图<2>所示的相同情况， 即<2><3>这两个图的性质是相同的。因此，我们只讨论<1><2><4>三种情况。
(1) 根据图<1>知：v1∈intC2，v4∈extC2，圈 C2 由色 c2 c4 着其顶点（顶点 v 无色除外），因此，在用色 c1c3 着色的顶点产生的子图 H5 中，v1 v4 属于 不同的分支，同时，由于 v 3∈extC2，所以 v1 与 v3 也不在 H5 的同一分支 上，在 v1 所在的分支上交换色 c1 c3，不影响 G－v 的正常着色，也不影 响与 v 邻接的其他顶点的着色。从而使 v1 着色 c3。根据图<1>又知：v3 ∈intC1，v5∈extC1，圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外）。同样，由 色 c1 c4 着色的顶点产生的子图 H6，v3 v5 属于 H6 的不同分支，在 v3 所在的 分支上交换颜色 c1 c4，不影响 G－v 的正常着色，从而使 v3 着色 c4。至 此，我们使 v1v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3v5 着色 c4，余下的色 c1 给 v 着色。 这样一来，在<1>情况下，我们得到 G 的一个 4－着色法。
如果 v2v4，属于 H3 的同一分支，我们考虑子图 H4 中的 v2v5，如果 v2v5 属于 H4 中的不同分支，相似地，我们在 v2 所在的分支上交换颜色 c2 c4，从而使 v2 着色 c4，而不影响 G－v 的正常着色，余下的 c2 给 v 着色，从而又得到 G 的一个 4-着 色法。
因此，现在余下的情况就只剩下：v2v4 属于 H3 的同一分支，同时，v2v5 属于 H4 的同一分支。
综合以上<1><2><3><4>，我们得出：在 v2 v4 属于子图 H3 的同一分支，同 时 v2 v5 属于子图 H4 的同一分支时，存在 G 的 4 着色法。因此，在与 V 邻 接着满 4 色的 5 个顶点的情况下，G 存在 4－着色法。
因此，对具有 P 个顶点的平面图 G，G 是 4－可着色的。由归纳原理，四色定理 得证。
因为 v2v4 属于 H3 的同一分支，所以 G 中存在一条从 v2 到 v4 的路 l1,l1 的顶点 不是用 c2 就是用 c3 着色的。L1 连接边｛v，v2｝和｛v，v4｝形成一个圈 C1，C1 包 围 v3 或包围 v4 v5。同理，v2 v5 属于 H4 的同一分支，所以 G 又存在一条从 v2 到 v5 的路 l2，l2 的顶点不是用 c2 就是用 c4 着色的，l2 连接边｛v，v2｝和｛v，v5｝形 成另一圈 C2，C2 包围 v2 或者包围 v2 v4。从而在 G 中形成二个圈 C1 C2，它们之间 可以有公共点，但不可能完全重合，根据圈 C1 C2 包围的顶点不同，可以组合出 以下四种情形：
图一
边｛v ,v1｝和｛v ,v3｝形成一个圈 C。C
把 v2 或 v4 包围其中，现在考虑被 c2 c4 着色的顶点所产生的子图 H2，因为圈 C
包围着 v2 或 v4，但不能包住二者，所以 v2 v4 属于 H2 的不同分支，这样，我们可
以在包含 v2 的分支中交换颜色 c2 c4，而不破坏 G－v 的正常着色，从而使 v2 和
c1 和 c3 的颜色，而不破坏 G－v 的正常着
色，这样做下来，v1 和 v3 都着色 c3，v 就可
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
以着色 c1 ，从而得到一个图 G 的 4－可着
色法。另一方面，如果 v1 v3 属于 H1 的同一
分支中，则存在从 v1 到 v3 属的一条路 l，l
的顶点是由 c1 和 c3 间隔着色的。路 l 连接
v4 着色 c4，c2 用来给 v 着色，从而又得到 G 的一个 4-着色法。因此，在与 v 邻
接者不同色的 4 个顶点的情况下，存在 G 的 4－着色法。
<b-ii>.v 邻接着满 4 种颜色的 5 个顶点
由鸽舍原理，5 个顶点着满 4 种颜色，必
有两个顶点着相同颜色。如果着相同颜色的两
个顶点紧挨着时（不可能邻接），可以将这两
<1> C1 包围 v3，C2 包围 v1。 <2> C1 包围 v1 v5，C2 包围 v1 <3> C1 包围 v3，C2 包围 v3 v4 <4> C1 包围 v1 v5，C2 包围 v3 v4
这四种情形用下列对应 4 个图表示，其中阴影部分表示二圈 C1C2 有公共部分， 虚线表示圈。
《
<1>