仿射变换.
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换的定义有
| AB | | BC || AC | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
| AB | | BC || AC | | AB | | BC || AC |
即A', B', C'仍然为不共线三点.
x y
' '
a11x a21x
a12 a22
y y
a13 a23
或
x' y'
a1
a13 a23
.
(1.1)
其中(x, y)与(x', y')为的任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵
A
a11 a21
a12
a22
称为的矩阵, 满足AAT=ATA=E, 为二阶正交矩阵.
注. 仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
仿射变换
定义 设为平面上的一个点变换, 满足 (1) 为一个使共线点变为共线点的双射； (2) 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) 使得相互平行的直线变为相互平行的直线, 则称为上的一个仿射变换.
注 对于正交变换的矩阵A, 显然有A1=AT, 且|A|=1.
x
OPx OEx
( Px ExO)
y
OPy OEy
(PyEyO)
uuur OP xex yey.
反之, 对任意给定的有序实数偶(x, y), 由(1.12)式可唯一确定仿射 平面上的一个点具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面称为仿 射平面, ex, ey称为基向量.
注 若ex, ey为单位正交向量, 则O-exey成为笛卡儿直角坐标系.
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全 等的矩形.
几种特殊的仿射变换
推论 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系.
正交变换将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角
坐标系O'-e'xe'y,有下述可能
右手系→右手系
右手系→左手系
几种特殊的仿射变换
定理 对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换是正交 变换具有表达式
x y
a13 a23
.
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A
a11
a21
满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.
a12
a22
平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的 几何性质与几何量. 由定义, 这些不变的性质和数量必定只与平行 性、共线三点的简单比有关.
| A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' |
几种特殊的仿射变换
定理 保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在
下的像依次为A', B', C'. 设A, C分别在B两边上且异于B, 则A', B'分别在B'的两边上.
(2) 恒同变换iM.
(3) M, 存在1M, 满足1=1=i.
上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群.
几种特殊的仿射变换
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点.
证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在
下的像依次为A', B', C'. 若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变
定理 仿射变换是双射.设A表示平面上全体仿射变换的集合. 则有
(1) , A, 有A.
(2) 恒同变换iA.
(3) S, 存在1A, 满足11i.
上述性质使得A对于变换的乘法构成一个群, 叫做仿射变换群. 而 且MSA.
仿射变换
3. 仿射坐标系
定义 设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关向 量ex, ey, 则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作 O-exey. 平面上任一点P的仿射坐标(x, y)由下式唯一确定,
仿射变换
仿射变换
1. 透视仿射对应
定义 对于空间中两平面, ',
给定一个与两平面不平行的投射
方向, 则确定了到'的一个透视
仿射对应(平行投影).
上任一点P在'上的像即为 过P且平行于投射方向的直线与'
的交点P'.
注1 透视仿射对应的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射, 且对应点连线相互平行； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即ABCA'B'C', 于是,
B =B', 即正交变换保持两直线的夹角不变.
推论 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使得任何平面图形变为可以与其叠合(合同)的图形.
仿射变换
定理 平面上的仿射变换将一个仿射坐标系O-exey变为另一
个仿射坐标系O'-e'xe'y.
定理 设在平面上取定了一个仿射坐标系O-exey, 点变换为 上的一个仿射变换有表达式
x y
' '
a11x a21x
a12 a22
y y
a13 a23
或
x' y'
a11 a21
a12 a22
注2 , ' 的交线称为透视仿射的轴. 若//' 则没有轴.
仿射变换
2. 仿射变换
定义 对于空间中一组平面, 1, 2, …, n, ', 设以下对应均为
透视仿射对应：
0 : 1, 1 : 1 2 , ..., n : n '
则称这n个透视仿射的积为到'的一个仿射对应. 若', 则称 为平面上的一个仿射变换.
几种特殊的仿射变换
一、正交变换
定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上 的一个正交变换.
注 设为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 (A)=A', (B)=B' , 则|AB|=|A'B'|.
定理 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集合. 则有
(1) , M, 有M.
| AB | | BC || AC | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | .
即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有
| AB | | BC || AC | | AB | | BC || AC |
即A', B', C'仍然为不共线三点.
x y
' '
a11x a21x
a12 a22
y y
a13 a23
或
x' y'
a1
a13 a23
.
(1.1)
其中(x, y)与(x', y')为的任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵
A
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a12
a22
称为的矩阵, 满足AAT=ATA=E, 为二阶正交矩阵.
注. 仿射变换的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
仿射变换
定义 设为平面上的一个点变换, 满足 (1) 为一个使共线点变为共线点的双射； (2) 使得共线三点的简单比等于其对应共线三点的简单比； (3) 使得相互平行的直线变为相互平行的直线, 则称为上的一个仿射变换.
注 对于正交变换的矩阵A, 显然有A1=AT, 且|A|=1.
x
OPx OEx
( Px ExO)
y
OPy OEy
(PyEyO)
uuur OP xex yey.
反之, 对任意给定的有序实数偶(x, y), 由(1.12)式可唯一确定仿射 平面上的一个点具有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面称为仿 射平面, ex, ey称为基向量.
注 若ex, ey为单位正交向量, 则O-exey成为笛卡儿直角坐标系.
(2) 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全 等的矩形.
几种特殊的仿射变换
推论 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系.
正交变换将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角
坐标系O'-e'xe'y,有下述可能
右手系→右手系
右手系→左手系
几种特殊的仿射变换
定理 对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换是正交 变换具有表达式
x y
a13 a23
.
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A
a11
a21
满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.
a12
a22
平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的 几何性质与几何量. 由定义, 这些不变的性质和数量必定只与平行 性、共线三点的简单比有关.
| A' B ' | | B 'C ' || A'C ' | | A' B ' | | B 'C ' || A'C ' |
几种特殊的仿射变换
定理 保持两直线的夹角不变.
证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在
下的像依次为A', B', C'. 设A, C分别在B两边上且异于B, 则A', B'分别在B'的两边上.
(2) 恒同变换iM.
(3) M, 存在1M, 满足1=1=i.
上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群.
几种特殊的仿射变换
定理 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点 变成不共线三点.
证明 设A, B, C为平面上三点, 为正交变换, 且上述三点在
下的像依次为A', B', C'. 若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变
定理 仿射变换是双射.设A表示平面上全体仿射变换的集合. 则有
(1) , A, 有A.
(2) 恒同变换iA.
(3) S, 存在1A, 满足11i.
上述性质使得A对于变换的乘法构成一个群, 叫做仿射变换群. 而 且MSA.
仿射变换
3. 仿射坐标系
定义 设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关向 量ex, ey, 则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架), 记作 O-exey. 平面上任一点P的仿射坐标(x, y)由下式唯一确定,
仿射变换
仿射变换
1. 透视仿射对应
定义 对于空间中两平面, ',
给定一个与两平面不平行的投射
方向, 则确定了到'的一个透视
仿射对应(平行投影).
上任一点P在'上的像即为 过P且平行于投射方向的直线与'
的交点P'.
注1 透视仿射对应的基本性质 (1) 使共线点变为共线点的双射, 且对应点连线相互平行； (2) 平行直线变为平行直线； (3) 保持共线三点的简单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即ABCA'B'C', 于是,
B =B', 即正交变换保持两直线的夹角不变.
推论 (1) 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使得任何平面图形变为可以与其叠合(合同)的图形.
仿射变换
定理 平面上的仿射变换将一个仿射坐标系O-exey变为另一
个仿射坐标系O'-e'xe'y.
定理 设在平面上取定了一个仿射坐标系O-exey, 点变换为 上的一个仿射变换有表达式
x y
' '
a11x a21x
a12 a22
y y
a13 a23
或
x' y'
a11 a21
a12 a22
注2 , ' 的交线称为透视仿射的轴. 若//' 则没有轴.
仿射变换
2. 仿射变换
定义 对于空间中一组平面, 1, 2, …, n, ', 设以下对应均为
透视仿射对应：
0 : 1, 1 : 1 2 , ..., n : n '
则称这n个透视仿射的积为到'的一个仿射对应. 若', 则称 为平面上的一个仿射变换.
几种特殊的仿射变换
一、正交变换
定义 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上 的一个正交变换.
注 设为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 (A)=A', (B)=B' , 则|AB|=|A'B'|.
定理 正交变换是双射.设M表示平面上全体正交变换的集合. 则有
(1) , M, 有M.