小学数学《乘法原理》练习题(含答案)

小学数学《乘法原理》练习题（含答案）

Ⅰ、简单乘法原理应用

【例1】（★）在下图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多各有几种不同走法?

分析：从A 点到C 点一共有3种走法，从C 点到B 点一共也有3种走法，根

据乘法原理一共有3×3=9种走法.

【例2】（★）小霞有许多套的服装，帽子的数量5顶、衣服有10件和裤子有8条还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配.问：共可组成多少种不同的搭配（帽子可以选择戴与不戴）?

分析：不戴帽子可以看作戴了顶空帽子，根据乘法原理，四种服装中各取一个搭配.一共有（5+1）×10×8×6=2880种组合，所以一共可以组成2880种不同搭配.

【例3】（★★★）要从五年级六个班中评选出学习、体育先进集体各一个，卫生集体三个，有多少种不同的评选结果（同一个班级只能得到一个先进集体）?

分析：第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体剩下一共有5种方法，第三步选出没有评上卫生先进集体的一共有4种评选方法，根据乘法原理一共有6×5×4=120种评选方法.

[前铺] 从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？

分析：第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体剩下一共有5种方法，第三步选出卫生先进集体一共只剩有4种评选方法，根据乘法原理一共有6×5×4=120种评选方法.

【例4】（★★）“maths ”是在英语中表示数学，把这5个字母用5种颜色来写，要求各字母各不相同问共有多少种不同的写法?

分析：第一步写“m ”有5种方法，第二步写“a ”有4种方法，第三步写“t ”有3种方法，第四步写“h ”B C A

[前铺]如果允许五个字母用相同的颜色，有多少种不同的写法？

分析：分五步写，每一步都有五种颜色供选择，一共有5×5×5×5×5=3125种写法.

Ⅱ、较复杂的乘法原理应用

很多问题并没有给出完成每一个步骤有多少种方法，这些步骤的方法数量需要我们从已知条件

中间接得到。

【例5】（★★★）如图，一张地图上有五个国家A，B，C，D，E，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？

A

B

C

D

E

分析：第一步，给A国上色，可以任选颜色，有四种选择；

第二步，给B国上色，B国不能使用A国的颜色，有三种选择；

第三步，给C国上色，C国与B，C两国相邻，所以不能使用A，B国的颜色，只有两种选择；

第四步，给D国上色，D国与B，C两国相邻，因此也只有两种选择；

第五步，给E国上色，E国与C，D两国相邻，有两种选择．

共有4×3×2×2×2=96种着色方法．

[拓展1] 如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图

进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同.那

么一共可以有多少种染色方法？

分析：这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国

家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这

幅地图染色同样一共有4×3×2×2×2=96种方法.

讨论:如果染色步骤为C-A-B-D-E,那么应该该如何解答？答案：也是4×3×2×2×2=96种方法.

如果染色步骤为C-A-D-B-E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A染不同的颜色，那么D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有4×3×（1×2×2+2×1×2）=96种方法，（教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻.

【例6】（★★）右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法?

分析：由于四个棋子要一个一个地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A 的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放c，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法．由乘法原理，共有

16×9×4×1=576

种不同的放法．

[前铺]:国际象棋棋盘是8×8的方格网，下棋的双方各有16个棋子位于16个区格中，国际象棋中的“车”同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一时刻，下棋的双方都只剩下一个“车”，那么这两个“车”位置有多少种情况？

分析：对于如果只有一只“车”的情况，它可以有64种摆放位置，如果在棋盘中再加入一个“车”，那么它不能在原来那个“车”的同行或同列出现，他只能出现在其他七行七列，所以它只有7×7=49中摆放，所以这两个“车”的摆放位置有64×49=3136种方法.

Ⅲ、排列组合问题

【例7】1到7这7个数可以组成多少个各数位数字都不同的三位数.

分析：（1）相当于1到7，这7个数中取3个排列，一共有7×6×5=210个数.

[拓展]0到6这7个数可以组成多少个各数位数字都不同的三位数.

分析：第一步确定百位数的种类，一共可以有6种（不能是0），确定十位数，一共有6种，确定个位数，一共有5种，所以一共有180种.

【例8】（★★）4男2女6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女的紧挨着排在正中间有多少种不同的排法？