数列应用题

解：设从每一台工作起,这n台收割机工作的时间依 设从每一台工作起 这 台收割机工作的时间依 次为a 小时,依题意 是一个等差数列. 次为 1,a2, … ,an小时 依题意 {an}是一个等差数列 是一个等差数列 1 且 每台收 割机的工作 效 率为 ， 则有 24n a1 = 5 a n ①
：【1】 个月后欠商场本利和： 解：【 】1个月后欠商场本利和： 1+1×1%=1×(1+1%)=1.01万元 万元, 1+1×1%=1×(1+1%)=1.01万元, 个月后欠商场本利和:1.01 (1+1%)=1.02万元 :1.01× 2个月后欠商场本利和:1.01×(1+1%)=1.02万元 ,个月后欠商场本利和:1×1.013=1.03万元, =1.03万元 万元, :1× 3个月后欠商场本利和:1
3、等差、等比型 、等差、 例3、某工厂制定三年计划，计划从第二年起每年比 、某工厂制定三年计划， 上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元 若 万元.若 上一年增长的产值相同，三年的总产值为 万元 第一年、第二年、第三年分别比原计划的产值增加10 第一年、第二年、第三年分别比原计划的产值增加 万元、 万元 万元、 万元 万元， 万元、10万元、11万元，则每年比上一年的产值增长 的百分率相同，求原计划中每一年的产值. 的百分率相同，求原计划中每一年的产值
3.递推数列型：an与an+1；Sn与an的关系 递推数列型： 递推数列型
一、基本题型与方法 1、等差数列型 ：单利（等量增加）问题 单利（等量增加） 、
例1、某农场用若干台相同型号的联合收割机收割一 、 片土地，若同时投入需用24小时 小时； 片土地，若同时投入需用 小时；但它们是每隔相 同的时间顺序投入工作，每台投入工作后都一直工作 同的时间顺序投入工作， 到收割完毕，如果第一台收割的时间是最后一台的5 到收割完毕，如果第一台收割的时间是最后一台的 用这种方法收割这片土地需多少时间？ 倍，用这种方法收割这片土地需多少时间？
90、100、110 90、100、
4、双变型 、
例4、某沙边城 、某沙边城2004年底全县的绿地面积占全县面积 年底全县的绿地面积占全县面积 年起， 的30%，从2005年起，该县每年将有 ， 年起 该县每年将有16%的原沙漠地 的原沙漠地 带变成绿地，但同时又有4%的原有绿地面积被侵蚀 带变成绿地，但同时又有 的原有绿地面积被侵蚀 变成沙漠.设全县面积为 设全县面积为1， 年底的绿地面积为a 变成沙漠 设全县面积为 ，记04年底的绿地面积为 1, 年底的绿地面积为 经过n年后的绿地面积为 年后的绿地面积为a 已知lg2取 经过 年后的绿地面积为 n+1.(已知 取0.301) 已知 (1)试用 n表示an+1 试用a 表示 试用 4 4 an +1 = an + (2)求证：数列 n-0.8}为等比数列 求证： 求证 数列{a 为等比数列 5 25 (3)哪一年底，该县的绿地面积超过全县面积的 哪一年底， 哪一年底 该县的绿地面积超过全县面积的60%？ ？
顾客从商场购买一台售价为1.25万元的电脑， 1.25万元的电脑 例5 顾客从商场购买一台售价为1.25万元的电脑，采 分期付款的方法 先付款(也称首付)0.25万元 的方法， 首付)0.25万元， 用分期付款的方法，先付款(也称首付)0.25万元，余款 以后再付，但要支付利息 如果按月利率1%, 利息. 1%,每月利息按 以后再付，但要支付利息.如果按月利率1%,每月利息按 复利计算 即每月利息记入下月本金 计算( 本金) 复利计算(即每月利息记入下月本金) 试分别计算1个月后、 个月后、 个月后……一年 （1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后 一年 后顾客欠商场本利和 本利和. 后顾客欠商场本利和. 余额也采用分期付款的方法， （2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额 相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2 相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2次 付款……购买后一年第12次付清.那么每期应付款多少 购买后一年第12次付清. 付款 购买后一年第12次付清 元？
an a2 a1 24 n + 24 n + L + 24 n = 1 . ②
由②得，a1+a2+…+an=24n,
a1 = 5a n 解之得， 解之得，a1=40，an=8. 联立① 联立①、③得 a1 + a n = 48.
收割完这片土地上的全部小麦需用40小时 小时. 答：收割完这片土地上的全部小麦需用 小时
n ( a1 + a n ) 即 = 24 n , 也就是 a 1 + a n = 48 . ③ 2
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2、等比数列型：复利、平均增长率(等倍增加）问题 、等比数列型：复利、平均增长率 等倍增加 等倍增加） 某工厂产量， 例2、(1)某工厂产量，第二年比第一年增长 、 某工厂产量 第二年比第一年增长20%，第 ， 三年比第二年增长25%，第四年比第三年增长 三年比第二年增长 ，第四年比第三年增长20%， ， 求该工厂在这四年的平均增长率. 求该工厂在这四年的平均增长率 (2)某工厂的产值的月平均增长率为 ，求该工厂 某工厂的产值的月平均增长率为p， 某工厂的产值的月平均增长率为 的年平均增长率（反过来呢？） 的年平均增长率（反过来呢？）. 1 12 9 (1 + p ) − 1 3 (1 + p )12 − 1 −1 5
数列应用题
数列应用题的几种常见模型： 数列应用题的几种常见模型： 1.等差数列型 等差数列型 2.等比数列型 等比数列型
单利：是指按照固定的本金计算利息 单利：是指按照固定的本金计算利息. 复利：是指第一期产生利息后， 复利：是指第一期产生利息后，第二次的本金包括本金和第一次 产生的利息，以此为本金计算利息。 复利又叫利滚利。 产生的利息，以此为本金计算利息。 复利又叫利滚利。 1、本金为 万，如果年利率是 ，期限 年，则没有区别。 、本金为10万 如果年利率是5%，期限1年 则没有区别。 2、本金为 万，如果月利率是 ，期限是 个月（一年） 个月（ 、本金为10万 如果月利率是5%，期限是12个月 一年） （1）单利计算： ）单利计算： 本息=本金 本金100000×（1+月利率 ×12个月）=160000 月利率5%× 个月 个月） 本息 本金 × 月利率 （2）复利计算： ）复利计算： 本息=本金 本金100000×（1+月利率 ）12个月次方 月利率5%） 个月次方 本息 本金 × 月利率 =100000×1.79585632602213=179585.70 × 复利比单利多付： 复利比单利多付：19585.7
……
一年后欠商场本利和:1×1.0112=1.13万元. 一年后欠商场本利和:1× =1.13万元. :1 万元 【 2】 设每月付款x万 设每月付款 万元， 1个月后欠 1·(1+1%)-x=1.01-x 个月后欠(1.01-x) 2个月后欠(1.01-x) · 1.01-x=1.012-1.01x-x 个月后欠( 3个月后欠(1.012-1.01x-x) · 1.01-x=1.013-1.012x-1.01x-x …… 12个月后欠 12个月后欠 1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x 由1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x=0 得x + 1.01x +……+1.0110x + 1.0111x = 1.0112 12 12 1×(1−1.01 ) 1.01 ×0.01 1.13×0.01 12 即⋅ x =1.01 ∴x = = = 0.087 12 1−1.01 0.13 1.01 −1