华南理工大学期末考试《工科数学分析》上-试卷(A)(附解答) (1)

《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷
诚信应考，考试作弊将带来严重后果！
华南理工大学本科生期末考试 《工科数学分析》2014—2015学年第一学
期期末考试试卷（A ）卷
注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚；
2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；
3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。

《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷
一、填空题（每小题3分，共15分） １. 函数
()12
12x x
e e
f x e e
+=
-的间断点及其类
型为0x =是跳跃间断点，12x =是无穷间断点；
２. 已知函数()y y x =由方程y
x
x y =所
确定，则曲线()y y x =在点()1,1处的切
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线方程为0x y -= ；
３. 设x
y xe =，则()
n d y =()x
n
x n e dx + ；
４. 220x t d e dt dx -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
⎰4
2x xe - ；
５. 反常积分()
2
2
ln dx x x +∞=
⎰
1
ln 2
．
二、计算下列各题（每小题8分，共16分） 1. 求极限()1
1lim
x
x x e
x
→+-
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解：
()
()()()()()
()1
1ln 10
1
ln 12001lim
lim
1ln 1lim 41ln 1lim 6282
x x
x
x x x x x x x e
e
e
x
x
x x x e x x x e x e +→→+→→+--=-++=⋅+-+==-分
分
分
或
()()()1ln 111002
0011lim lim ln 1lim 4111lim 6282
x x x x x x x e e x e x x
x x e x x e x e +-→→→→⎡⎤
-⎢⎥+-⎣⎦=+-=-+==-分分分
2.
计算定积分1dx
⎰ 解：
2
3
2
1
4
3
4
tan,sec,
cos
4
sin
1
6
sin t
8
3
x t dx tdt
tdt
t
π
π
π
π
==
=
⎰⎰
令则
分
＝－分
分
三、解答下列各题（每小题10分，共40分）
1.
设()
11
10,1,2,,
n
x x n
+
===试证
明数列{}n x收敛，并求lim.n
n
x
→∞
证明：（1）()
11
10343,3,1,2,
n
x x x n
=≥=≥≥=
，用归纳法可证，即数列{}
n
x有下界；3分
（2
）
1
32
0,
n n n
x x
x x x
+
-+
-==<即，数列{}n x 单调减少。

6分
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利用单调有界收敛性定理可知，数列{}
n
x 收敛。

7分 （3
）+1
lim ,lim 3.
n
n n n n x A x
x →∞
→∞
===设在方程
10分
2. 设()()(),x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩
其中()f t ''存在且不
为零，求2
2.d y
dx
解：()()()()
4f t tf t f t dy t
dx f t ''''+-=''＝分
()
221
10d y dx f t ''＝分
3. 求不定积分2
3sin .cos x
dx x ⎰
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解：
()223
32sin tan sec tan sec 2cos tan sec sec 4tan sec sec tan 16tan sec ln sec tan 9x I dx x xdx xd x x x x xdx
x x x x dx x x x x I
===⋅-=⋅-⋅+=⋅-+-⎰⎰⎰⎰⎰＝分
分
分分
所以23sin 1tan sec ln sec tan 10cos 2x I dx x x x x C x =⎡⋅-+⎤+⎣
⎦⎰＝分
4. 求摆线
()
()
()sin 01cos x a t t a y a t =-⎧⎪>⎨=-⎪⎩的一拱
()02t π≤≤与x 轴所围成的平面图形绕
2y a =旋转一周所得旋转体的体积。

解：
()()
()()22
2
22
23
023
22268cos 1cos 8710a V a a a y dx a a a t a t dt
a ππππππππ⋅⋅---+⋅-=⎰⎰＝分＝分
分
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四、证明题（每小题10分，共20分） 1. 设函数()f x 在[],a b 上满足李普希
兹
条
件
：
()()[](),,,f x f y L x y
x y a b -≤-∀∈其中L
为
常数，证明()f x 在[],a b 上一致连续。

证明：
[]()()[]()0,0,
,,,,,.
L
x y a b x y f x f y L x y x y a b ε
εδδε
∀>∃=
>∀∈-<-≤-<∀∈使得当时，有
所以()f x 在[],a b 上一致连续。

10分
2. 设()f x 在[]0,1上二阶可导，且满足条件()(),
,f x a f x b ''≤≤其中,a b 为非负常数，
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设c 为()0,1内任意一点，证明：
()2.
2b
f c a '≤+
证明： 将()0f 和()1f 在任意点()0,1c ∈作二阶Taylor 展开，
()()()()()()()()()()()()2
12
1000,
2!111,
42!
f f f c f x c c f f f c f c c c ξξ'''=+-+-'''=+-+-分
两式相减得，
()()()()()()()
()()()()()()()
()22
1122
112
2100162!2!
1+00+12!2!
21822102f f f x f f x x f f f c f f c c b a c c b a ξξξξ'''''+
--'''''≤+--⎡⎤≤++-⎣
⎦≤+＝－－分，则，分
分
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五、应用题（本题9分） 问当a
在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内取何值时，曲线
()sin 02y x a x π⎛
⎫=-≤≤ ⎪⎝
⎭与x 轴，y 轴及
直线
2x π
=所围图形的面积最小，并
求此最小面积。

解：
()()()20
sin sin 42cos cos 62a
a
S a x a dx x a dx
a a π
π=--+-⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
⎰⎰分
＝－分
()()sin sin 0,
284
S a a a x ππ
⎛⎫
'=--= ⎪⎝⎭=
令得到 唯一分
又根据实际意义，所求的最小值存在， 故(
)2944x S a S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭时，最小，最小值为令分。