集合中含参数问题的分类讨论

集合中含参数问题的分类讨论

高一的同学不知不觉升入高中已经有一个月的时间了，第一章集合的学习也已经结束.有同学反映集合中含有参数的问题不知道如何进行分类讨论，下面我就这一问题进行归纳总结，希望对你的学习有所帮助.

对于两个集合A与B，A或B中含有待确定的参数（字母），若A⊆B或A=B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的办法.

（1）分类讨论是指：

A⊆B在未指明集合A非空时，应分A=∅和A≠∅两种情况来讨论；

因为集合中的元素是无序的的，由A⊆B或A=B得到的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论.

（2）数形结合是指：对A=∅这种情况，在确定参数时需要借助数轴来完成，

将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，确定两个集合之间的包含关系，列不等式（组）将参数确定出来.

（3）解决集合中含有参数问题时，最后结果要注意验证.验证是指：分类讨论求得的参数的值，还需代入原集合中看是否满足互异性；所求参数能否取到端点值.

根据所给集合的形式我们可以将这类问题分为两类，一类是与不等式有关集合问题，另一类是与方程有关的.

下面通过具体例子作进一步分析：

例1：已知集合A={x|x2-3x-10≤0}

（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；

（2）若A⊆B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；

（3）若A=B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围.

解析：（1）B⊆A说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B

是∅的情况.

由A={x|x2-3x-10≤0}，得A={x|-2≤x≤5}

因为B⊆A，所以

当B=∅时，则m+1＞2m-1，即m＜2，此时满足B⊆A

当B≠∅时，则如图

所以{m +1≤2m −1

−2≤m +12m −1≤5

，解得2≤m ≤3

由得，m ≤3

（2）A ⊆B 且A 不是∅，说明A 是B 的子集，注意此时B 不是∅.

若A ⊆B ，依题意有{2m −1≥m −6

m −6≤−22m −1≥5

,解得

{m >−5m ≤4m ≥3

，故3≤m ≤4

（3）A=B 说明两集合元素完全相同.

若A=B ，则必有{m −6=−22m −1=5

，此方程无解 即不存在使得A=B 的m 值.

点评：解决“A ⊆B ”或“A ⫋B 且B ≠∅”的相关问题时，一定要分A=∅和A ≠∅两种情况进行讨论，其中A=∅的情况容易被或略，应引起足够的重视.

变式练习：1. A={x|2a ≤x ≤a+3}，B={x|x ＜-1或x ＞5}，若A ∩B=，则a 的取值范围为 .

解：由A ∩B=∅得

若A=∅,则2a ＞a+3，因此a ＞3；

若A ≠∅，则如图

x

所以{2a ≥−1a +3≤52a ≤a +3

，解得−12≤a ≤2

综上所述，a 的取值范围为{a|−1

2≤a ≤2或a ＞3}

2.已知A={x|x ＜-2或x ＞3}，B={x|a ≤x ≤2a-1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.

解：因为B ⊆A ，所以B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种

当B ≠∅时，因为B ⊆A

所以{a >3a ≤2a −1或{2a −1<−2a ≤2a −1

解得a ＞3

当B ＝∅时，由a ＞2a-1，得a ＜1

综上可知，实数a 的取值范围是{a|a ＜1或a ＞3}

例2：已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-ax+a-1=0}，C={x|x 2-mx+2=0}，且A ∪B=A ，A ∩C=C ，求a 与m 的值或取值范围.

解析：由已知条件可得，A={1，2}，B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}

因为A ∪B=A ，所以B ⊆A

又因为1∈B ，所以B ≠∅，则a-1∈A

所以a-1=1或a-1=2

解得 a=2或a=3

因为A ∩C=C ，所以C ⊆A

因此集合C 有以下三种情况

当C=∅时，方程x 2-mx+2=0的判别式Δ=m 2-8＜0，解得−2√2

x 5 a+3 2a -1

若m=−2√2，则C={ −√2}，不满足C⊆A；

若m=2√C={ √，不满足C⊆A；

当C为双元素集合时，C={1，2}

即1，2是关于x的方程x2-mx+2=0的两根，所以m=3

代回方程检验，m=3符合题意

综上所述，a=2或a=3；−2√2

点评：在集合的关系中，若集合B为双元素集，且A⊆B，则可对集合A按元素的个数分为三类，即A为∅，A为单元素集，A为双元素集.若B为三元素集，以此类推，这样才能统一标准，不重不漏.

变式练习：1.已知A={x|x2-2x-8=0}，B={x|x2+ax+a2-12=0}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围.

解：若，则B⊆A

因为A={x|x2-2x-8=0}={-2，4}

所以集合B有以下三种情况：

当B=∅时，Δ=a2-4(a2-12)<0，即a2>16

所以a<-4或a＞4

当B是单元素集合时，Δ=0，即a=-4或a=4

若a=-4，则B={2}，不满足B⊆A

若a=4，则B={-2}，满足B⊆A

当B是双元素集合时，B={-2，4}，即-2，4是关于x的方程x2+ax+a2-12=0的两根

所以{−a=−2+4

a2−12=−2×4，解得a=-2

综上，当B∪A=A时，a的取值范围为{a| a<-4或a=-2或a≥4}

所以，当B∪A≠A时，a的取值范围是{a|-4≤a＜4，且a≠-2}

2.已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={x|x2-5x+6=0}，是否存在实数a，使得集合A，B同时满足下列三个条件：