天津一中2018届高三第一次月考数学理试卷 含答案

天津一中2018-2018-1高三年级第一次月考数学（理）试卷

一、选择题：

1．设全集U =R ,集合A ={x|x 2-2x ≥0},B ={x|y =log 2(x 2-1)},则(∁U A )∩B =（ B ） A.

D.(-∞,-1)∪

2. 在复平面上，复数

2i

i

+对应的点在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．设函数2

3()x

x

f x e -=（e 为自然底数），则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ A ）

A.01x <<

B.04x <<

C. 03x <<

D. 34x <<

4．下列命题中是假命题的是（ C ） A.m R ∃∈，使243

()(1)m m f x m x

-+=-⋅是幂函数

B. ,R αβ∃∈，使cos()cos cos αβαβ+=+

C. R ϕ∀∈，函数()sin()f x x ϕ=+都不是偶函数

D. 0a ∀>，函数2

()ln ln f x x x a =+-有零点

5．设变量x ，y 满足：34,2y x x y x ≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥-⎩

则z=|x-3y|的最大值为（ B ）

A ．3

B ．8

C ．

134 D ．92

6．在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是3，则输入x 的取值范围是（A ） A ．（4，10] B ．（2，+∞）

C ．（2，4]

D ．（4，+∞）

7．函数f (x )=(x 2-2x )e x 的大致图象是（ A ）

A.

B.

C.

D.

8．已知函数()2,1

1,1

x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩,若1212,,x x R x x ∃∈≠,使得()()12f x f x =成立, 则实

数a 的取值范围是（ A ）

A ．2a <

B ．2a >

C ．22a -<<

D ．2a >或

2a <-

二、填空题：9.若

（2x+）dx=3+ln2（a ＞1），则a 的值是 ．2

10.已知函数f (x )=22

4,0,4-,0,

x x x x x x ⎧+≥⎨<⎩若f (2-a 2

)>f (a ),则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】(-2,1)

11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ， 1=BC ， D 为斜边AB 的中点，则

⋅= . -1

12.如图，PB 为△ABC 外接圆O 的切线，BD 平分PBC ∠，交圆O 于D ，C,D,P

共线．若AB BD ⊥,PC PB ⊥,1PD =，则圆O 的半径是 ．-2 13.已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2c o s ()

2

π

ρθ=-+

，

cos()104

π

θ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为

14.已知函数||)(x

xe x f =，方程)(01)()(2

R t x tf x f ∈=++有四个实数根， 则t 的取值范围为

)1

2e

e +-∞-，（

三、解答题：

15.已知函数2()=sin (2+

)+sin(2)+2cos 13

3

f x x x x π

π

-

-，x R ∈.

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44

ππ

-

上的最大值和最小值.

解：(Ⅰ) ∵sin2cos

cos2sin

sin2co ()=3

3

3

s

cos23

sin

cos2f x x x x x x π

π

π

π

⋅+⋅+⋅-⋅+

sin2cos224x x x π

=+=+（），……………………4分 ∴函数()f x 的最小正周期22

T π

π=

=。 ……………………6分 （Ⅱ）∵函数()f x 在区间48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，上是增函数，在区间84ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，上是减函数，………8分

又()=(

(

)114

8

4

=f f f π

π

π

-

-，，……………………11分

∴函数()f x 在[,

]44ππ

-

的最大值为，最小值为－1。……………………13分

16.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 1

2C 23＝23，P (B )＝C 2

4C 35＝3

5

.

∵事件A 与B 相互独立，

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B ) ＝P (A )·＝23×25＝415.

⎝ ⎛⎭

⎪⎫或P （A B ）＝C 1

2

·C 3

4C 23·C 35＝415 (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 2

4C 35＝3

5

.

∵X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为

P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475

， P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )

＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075

，