小学奥数数阵图教学提纲

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（完整版）奥数一年级教案第十二讲巧填数阵图教师（最新整理）

（完整版）奥数一年级教案第十二讲巧填数阵图教师（最新整理）数阵图是小学奥数中比较重要的一个知识点，现在我们把它放在一年级开始学习似乎有些过难.但这节课我们只是希望通过一些简单的填数字游戏，使学生初步感知到什么样的是数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养他们的思维能力.在鼓励学生去研究方法的同时，教师引导学生去发现数阵的简单规律，以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关键数来找到解题的钥匙.在今后的不断学习中，能把这种方法灵活应用到实际中去.数学乐园晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?.在开课的时候，老师可通过故事引入，激发学生对填数游戏的兴趣因为填数阵有一定的难度，所以在这里我们不需要马上让孩子完成这个题，可以放在最后来解决这小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法下面我们就一起来学习吧！使用数字【教学思路】一般在解答这类填数问题时，把同一条边上出现两个数字的空格先填学生有了一定的基础.这道题的答案不止一个，我们只要求学生能找到其中的一种就达到要求了）右边两个圆的和应该是9，所以里可填（0，9）（2，7）（3，6）.）告诉我们中间的数字是2，剩下两边上两个数字的和应该是9-2=7.0+7=1+6=3+40，7），（1，6），（3，4），15-13=2，所以第2条线中间填2.左边第一条线：15-7=8，0+8=3+5，数字不重复共两种填15-6=9，0+9=4+5，数字不重复共两种填法，13-10=3，所以第2条线最下是3，.左边第一条线：13-6=7，0+7=2+5第三条线：13-3=10，1+9=2+8，数字不重复共两种解法.(1)在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是方法一：填数时，首先要看哪一行已经有了两个数，然后用填数的顺序如下：方法二：从斜行来考虑：要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？首先我们要找到填这个表格的突破口，一般情况下我们先找每行、每列以及每条对角线上已知两个数的来先填.找到这个突破口，后面就容易多了.方法一：从竖行入手拓展练习在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于【答案】把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上比较三个已知数1，2，3，和大1，3大2.还剩下三个数，要使每边和相等，5+6+1=6+4+2=5+4+3=12，答案如下：把【教学思路】方法一：观察法.要使横行、竖行的三个数相加都得15，我们就要考虑中间填什么数，我们发现4和6，可以组成10，它们分别再加上多出来的，上下，左右可以分别填3和7，如图：观察这些图，容易发现，中间方框中的数比较特殊，它既在横行上，又在竖列中，在数阵中这样把2中间○即为特殊的重叠数，因为它既是横线上的数，又是竖线上的数行加上竖行之和应为12+12=24，而2+3+4+5+6=20，中间的要多加一次，所以应为把【教学思路】方法一：观察法，在这6个数中，有两个数是公共的，那么剩下的四个数两两相加应该相等，，3，4，5，7中1是公共数，这时我们发现和4+5都等于9，因此剩下的3也应该是公共数，5应该分别填在这两个圆的左边和右边经检验每个大椭圆上的四个数这和等于方法二：每个椭圆里的四个数之和等于13，那么两个椭圆里的四个数之和就是13+13=26相加的和是1+2+3+4+5+7=22，26和22之间相差的是什么呢？只有中间的这两个重叠数被多加了把【教学思路】方法一：观察法，在1，2，3，4，5，6，两两相加应该相等，经验算，当重叠数是4时，1+7=2+6=3+5=8方法二：因为图中共有3条直线，所以中心的重叠数重叠了2=12+12+12.重叠数=（36-28÷2=8.那么中间的数应该填1+7=2+6=3+5，如图：把1等于15.把，6，7，8这七个数分别填入圆圈中，使两个正方形中四个数之和相等【教学思路】先考虑求两个正方形公共的中间数.2+3+4+5+6+7+8+重叠数=19+19圈里面应该填3.剩下的数中2+6+8=4+5+7=19-3=16，所以每个正方形中，剩下的三个数应该填：7.具体填法如下：拓展：如果使两个正方形中四个数之和相等我会做一做这道题的答案不唯一.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是如果有充足的时间，建议这题可放在例的后面做一个加深，这道题也主要是利用加减法之间的关系来解答的.这个题我们要从已知三个加数的第二列入手开始填，先计算出这三个加数的和，减去这三个加数的和就得到了这第四个加数用图中已有的三个数填满其余的空格，每个数字必须使用三次．使得每行、每列和两条对角线上的三个数之和相等【答案】【答案】把等于15.这道题可参考放在例6的后面，做一个拓展.在例6的基础上，我们只需要调动四条边上各数的位置就可以验证出结果.使用数字【答案】【答案】把1～11这十一个数分别填入图中的圆圈里，使每条直线上的三个数的和都等于18.【答案】练习十二1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是【答案】8这6个数，填在下图中使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为1，2，3，4，5这五个数分别填入下面的○里，使横行、竖行的三个数相加都得把3，4，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为【答案】2，3，4，5，6这6个数分别填入下图中，使两个大圆上4个数的和都等于数字1，2，3，5，6，7，9填在下面的○里，使每边上的和为15.小朋友，你在少年宫里走过“勇敢者的道路”吗？道路崎岖，充满艰难险阻。

小学奥数第23讲数阵图(含解题思路)

23、数阵图【方阵】例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

（长沙地区小学数学竞赛试题）讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。

（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。

显然，中间一数填“5”。

再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。

例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。

（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。

所以，能被12整除。

十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。

每列为（91—7）÷4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。

三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。

经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。

例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。

那么，这个和数的最小值是______。

（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。

它们的和是65。

在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。

设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。

所以，（a＋b）之和至少是7。

故，和数的最小值是24。

【其他数阵】例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。

已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。

图中已填入3、5、8和“×”四个数，那么“×”代表的数是______。

2019-2020年小学奥数六年级《数阵图》经典专题点拨教案

2019-2020年小学奥数六年级《数阵图》经典专题点拨教案【方阵】例1 将自然数1至9，分别填在图5.17的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

（长沙地区小学数学竞赛试题）讲析：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。

（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。

显然，中间一数填“5”。

再将其它数字顺次填入，然后作对角线交换，再通过旋转（如图5.18），便得解答如下。

例2 从1至13这十三个数中挑出十二个数，填到图5.19的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。

（“新苗杯”小学数学竞赛试题）讲析：据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。

所以，能被12整除。

十三个数之和为91，91除以12，商7余7，因此，应去掉7。

每列为（91—7）÷4=21而1至13中，除7之外，共有六个奇数，它们的分布如图5.20所示。

三个奇数和为21的有两种：21=1＋9+11=3＋5+13。

经检验，三个奇数为3、5、13的不合要求，故不难得出答案，如图5.21所示。

例3 十个连续自然数中，9是第三大的数，把这十个数填到图5.22的十个方格中，每格填一个，要求图中三个2×2的正方形中四数之和相等。

那么，这个和数的最小值是______。

（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：不难得出十个数为:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。

它们的和是65。

在三个2×2的正方形中，中间两个小正方形分别重复了两次。

设中间两个小正方形分别填上a和b，则（65＋a＋b）之和必须是 3的倍数。

所以，（a＋b）之和至少是7。

故，和数的最小值是24。

【其他数阵】例1 如图5.23，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数。

已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。

四年级奥数讲义：有趣的数阵图(一)

四年级奥数讲义:有趣的数阵图（一）大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些,结合某些几何图形,把一些数字填入图形的某种位置上,并使数字满足一定的约束条件,这类问题,习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图,幻方发展较快,因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关,成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法,由于它既有数字之间运算,又要结合图形,对开发学生综合思考和形象思维很有益.先看例题.例 1 下面图形包括六个加法算式,要在圆圈里填上不同的自然数,使六个算式都成立,那么最右边圆圈中的数最少是几？分析为便于说理,各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）.经观察,I=A+B+C+D.题目要I尽可能小,最极端的想法,希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法,但1＋2给予G、H、E、F中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4.那么退而求之,不妨先设A=1.如先考虑B,B尽可能小,最好,B=2,从而决定了E=3,C≠3,D≠3.这样一来,C,D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突,而C=5,D=4,又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.在碰了钉子后,回看在A=1设定后,不应随随便便先填B的值.从结构上看,因为B,C地位对称,不妨先考虑D.D尽可能小,最好设D=2,B、C至少取3、5,若如此,由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.所以,B、C可能取3、6.从而形成了:A=1、D=2、B、C取3、6（B,C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出,不妨设B=3,C=6,A+B=E=4,C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=7=G,B+D=3+2=5=H,恰好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I；综上所述:A=1,D=2,B=3,C=6决定了其他值,且决定了I=12.是一个较小的I的值,自然要问I 值还可能比12小吗？分析I的值有三种不同的获得方式:I=A+B+C+D=E+F=G+H.3I=A+B+C+D+E+F+G+H,而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况.3I≥（1+2+…+7+8）=36,I≥12.现已推出了使I=12的一种填法,所以是最佳方案了.例2 如右图,五圆相连,每个位置的数字都是按一定规律填写的,请找出规律,并求出x所代表的数.分析经观察,图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如:（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.解: x+18=17×2x=16.经检验,16和24相加除以2,也恰好等于20.例3 在下图中的各题中,将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中,要使每边上的数字之和都相等,中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）分析1 图（A）中的中心圆填入的数设为x,x参与3条线的连加,设每条线数字和都为S.由题意:1+2+3+…+7+2x=3S即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）借用同余工具,是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下,只要试探x≡0,1,2三个值,很轻松地解出:x≡1（mod3）,回复到x取值范围为1,2,…,7.有x1=1,x2=4,x3=7,得到:x1=1,S1=10；x2=4,S2=12；x3=7,S3=14；由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）.此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.注意:每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化.分析2 我们分析图（B）,首先应该考虑中心数,（B）题共10个数,由于中心数比其他数多使用了二次（总共使用三次）.如果中心数用x表示,三条边的数码总和应为:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2x=55+2x同理,因为是3条边,所以55+2x应是3的倍数55+2x≡0（mod 3）,把x≡0、1、2代入试验,得x≡1（mod 3）,即x=1、4、7、10.四种解.①当x=1时,55+2x=57,57÷3=19②当x=4时,55+2x=63,63÷3=21③当x=7时,55+2x=69,69÷3=23④当x=10时,55+2x=75,75÷3=25读者可按照上面相似的规律自己去分析一下图中（C）、（D）两题.解:（A）图:中心数可以为1、4、7,有三种填法,请读者补充其他两种解法.（B）图:中心数可以为1、4、7、10.有四种填法,请你补充其他三种填法.（C）图:中心数可以为1、5、9.有三种填法,请你补充其他两种填法.（D）图:中心数可以为1、6、11.有3种填法,请你补充其他两种填法.例 4 在下左图的七个圆圈内各填上一个数,要求每条线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已填好两个数,求x是多少？分析为了便于说明问题,我们用字母表示各个圆圈内所表示的数,如上右图所示:根据题意,我们观察:因为每一条直线上的三个数中,当中的数是两边的两个数的平均数.所以可以得出:D=（13+17）÷2=15.还可以得出以下三式:C=（B+15）÷2 （1）A=（13+B）÷2 （2）C=（A+17）÷2 （3）将上述三个算式进行变形,成下面三个算式:2C=B+15 （4）2A=13+B （5）2C=A+17 （6）用（4）式减去（5）式得出:2C-2A=2C-A=1C=A+1将C=A+1代入（6）式得到:2（A+1）=A+17,A=15.x=19.即:解:（略）例5 如下左图有5个圆,它们相交后相互分成几个区域,现在两个区域里已分别填上数字10、6,请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字,使每个圈内的数的和都是15.分析为了便于说明,我们用字母表示其他的7个区域.如上右图.根据题意可以得出:A=5、G=9,九个区域中数的总和为:（2+3+4+5+6+7+9）+10+6=52,而每个圆圈内数的和是15,五个圆圈内数的总和为:15×5=75,又75-52=23,由此得出重叠的部分的四个数A、C、E、G的和是23.由于A=5和G=9已经填好,因此,余下的两个部分C+E的和是:23-5-9=9,此时9只有两种分解的可能:2+7=9、3+6=9.在E、F、G这个圆圈内,∵G=9,∴E不能填6、7.也不能填3（否则F也等于3）,只能填2,这样,E=2,C=7.解:例6 如下左图所示4个小三角形的顶点处共有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数,它们的和是20,而且每个小三角形三顶点上的数之和相等,问这6个质数的积是多少？分析为了叙述方便,我们用字母表示图中圆圈里的数.如上右图所示.通过观察,我们不难发现,小三角形A1B2C2和小三角形A2B2C2有两个共同的顶点B2,C2,而这两个小三角形顶点上数字的和相等.因此A1=A2.同理有B1=B2,C1=C2,所以,此图只能填A、B、C三个质数（两个A、两个B、两个C.以下:A1=A2记为A,B1=B2记为B,C1=C2记为C）∵6个圆圈中的6个质数之和为20,即:2×（A+B+C）=20A+B+C=10.∴10分成三个质数之和只能是10=2+3+5.这样,A、B、C分别是2、3、5.这时所填6个数的积是:2×2×3×3×5×5=900.解:例7 能否将自然数1～10填入五角星各交点的“○”内使每条直线上的4个数字之和都相等？分析与解答不能,用反证法.假设可以填成数阵图,观察发现:十个点中的每一个点恰好是两条直线的公共点.因而全部直线（共5条）上数字总和,应该等于全部点上数字总和的2倍.记每条直线上数字和为S,则有5S=（1+2+3+…+10）×2,从而解出S=22.10和1必同在某一直线上.不然,如含有10的两条直线都不含有1,这样,这两条线上8个数字（10自然被计上两次）之和（本应为2S）大于等于2×10+2+3+4+5+6+7=47＞44=2S.形成矛盾.所以10、1必处同一直线.此外,有三个数字与10不同线,不妨记为x、y、z.显然x+y+z=｛10数总和｝-｛其余七个数和｝而这｛其余七个数和｝恰好为2S-10.所以x+y+z=55-2×22+10=21.已推出10,1共线.进一步看出,1无论在什么位置都与x、y、z三数中的两个共线.设1与x、y共线,此线上另一数设为v.则有1+x+y+v=22,从而x+y+v=21.前已证x+y+z=21,因而导致v=z的矛盾.其他情况推证类似,所以没有题设的填法.习题九1.将1～9这九个数字分别填入右图中的九个圆圈中,使各条边上的四个圆圈内的数的和相等.2.将0.01、0.02、…、0.09这九个数分别填入右图九个圆圈内,使每条边上的四个圆圈内的数之和都等于0.2.（此题与题1共用一图）3.在右图的空白的区域内分别填上1、2、4、6四个数,使每个圆中的四个数的和都是15.。

五年级奥数第二讲-数阵

里仁学校电子备课表格纸（NO.2 ）教学课题第二讲数阵教学课时第一课时授课时间教学目标（含知识与能力、过程与方法、情感态度价值观）1.掌握用待定系数法和实验法解决基本的数阵问题。

2.经历填数阵的过程，培养学生的思维能力。

3.培养学生热爱思考的态度。

教材分析（含重点、难点、关键点）重点：掌握求数阵的基本方法。

难点：运用待定系数法和实验法填数阵。

教学准备及手段小黑板教学过程设计（含作业安排）第二讲数阵一、知识要点填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二、新授例1：把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21？【思路导航】先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。

然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

练习1：将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

例2：将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

【思路导航】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2.即55＋a＋b=60，a＋b=5。

在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2.6，8，9）和（3.5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1.5，9，10）和（4，6，7，8）。

三年级《巧填数阵》奥数教案

（三年级）备课教员：第九讲巧填数阵一、教学目标：知识目标1. 掌握数阵图的基本特征。

2. 按要求填出数阵。

能力目标1. 使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。

2. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。

情感目标养成面对陌生问题能自主探索、研究的良好习惯，并且在交流过程中不断完善，提高自己分析解决问题的能力。

二、教学重点：找出数阵中行或列的规律或递推关系。

三、教学难点：寻找解题突破口。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：利用情景寻宝的故事导入到新课，激发学生学习的兴趣。

】师：上课前老师要给大家讲一个故事，故事是这样的。

师：数学课上博士拿出一个奇怪的盒子，神秘兮兮地说：这是我前段时间无意中发现的一个古代藏宝箱，你们想知道里面是什么吗？生：想。

师：但是这个宝箱的外面有一个密码锁，想要获得宝物就必须要在规定的时间内打开它，大家想要试一试吗？生：想。

（课件出示宝箱）师：宝箱要求“把1、2、3、4、5这五个数填入小圆圈中，使每条线上的数字之和与圆周上的数字之和都相等，这样宝箱才能够打开。

”师：大家试一试吧。

生：（学生尝试）师：（1分钟内）好多同学都想不出来是不是？其实这样用一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”相信学习了今天内容，你一定可以解决这个问题。

【探究新知，引入新课：巧填数阵是一讲新的内容学习，在教师在讲解时要多加注意。

】【板书课题：巧填数阵】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（10分）请你将1—9这九个数字填入下图的小圆圈中，使得每条线上的数字之和都相等。

讲解重点：确定三个数字的和以及中间数。

师：如果让你们先写一个数，你们会从哪里着手呢？生：中间数！师：没错，我们知道只有确定了中间数，剩下的数才好填一点。

一共有九个数，它们的和大家知道是多少吗？生：用1+2+3+4+…+9=45。

师：要求每行、每列以及两条对角线上的3个数的和都相等。

小学奥数教师版(合辑)：5-1-3-1 数阵图(一).教师版

【答案】
【例 10】将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.
【考点】封闭型数阵图【难度】4星【题型】填空
【解析】为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示：
9+15+a+c=34，5+10+e+g=34，7+14+b+d=34，11+8+f+h=34，c+d+e+f=34，
【答案】24
【例 8】下图中有五个正方形和个圆圈，将填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等．那么这个和是多少?
【考点】封闭型数阵图【难度】3星【题型】填空
【解析】设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为，则由个正方形四角的数字之和，相当于将1～12相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：，解得，即这个和为26．具体填法如右上图。
【解析】因为每个角上的棋子分别被两条边共用，根据这一特点可以将边上的棋子减少，同时增加角上的棋子数。具体操作如图：
【答案】
【例 12】如果将右图分成四块，每块上的数的和都相等，那么每块的和是
【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】根据题目给的数字计算所有的数字和为：，分成四块的，每块的数字和为：，，所以，，，，具体分法如上图。
18+2(D+E+F)=36，所以D+E+F=9
【答案】
【例 4】将至这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那么，每条边上的数字和是．

小学奥数 5-1-3-1 数阵图(一).教师版

1.了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第6题【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图【难度】2星【题型】填空【解析】为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8，又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。

四年级下册数学讲义奥数导引 14 数阵图初步人教版

.一、与公共和相关的数阵图（1）空数阵图填法：通常先计算所有数之和，利用特殊位置的重数进行调整，求出公共和及特殊位置的数．重数与众不同的位置通常即为最特殊的位置．（2）补全数阵图常用技巧：若已知a b c a d e ++=++，即使a 未知，但利用等式性质可推出b c d e +=+，由此可求出某些字母的值．二、数阵图常用方法及思想（1）试验（即分类讨论）；（2）极端思想：先考虑最大、最小的数或最边上、最中心的位置；（3）代数法（即设未知数，列方程）．【例1】如下图所示，4个圆共被分成12个区域，其中已有6个区域内填有数，请将1~12中的另6个数填入其他区域内，使得每个圆中4个数之和都是28．第4讲数阵图初步知识点超越篇题目4782510【例2】如下图所示，请在3个空白○内分别填入3个数，使得每条直线上3个数之和都等于大圆上3个数之和．【例3】把1~8这8个数分别填入下图中正方体8个顶点处的○内，使得正方体每个面上的4个数之和都相等．【例4】把1~12这12个数分别填入下图所示六角星图案的12个○内，使得每条直线上4个数之和都相等．现在已经填好了6个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？请把图补充完整．1 9976 32 7 15【例5】把1~8这8个数分别填入下图的8个○内，使得每个三角形3个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和的一半．【例6】如下图所示，图中一共有6条线段，请将9个连续的自然数填入其中的9个○内（其中一个是6已填好），使得每条直线上○内的数加起来都等于23．【例7】如下图所示，55 的方格表被分成了5块，请你在每格中填入1~5中的一个（其中两个格子已经分别填入1和2），使得每行、每列、每条对角线的5个数各不相同，且每块上所填数的和都相等．请问：ABCDE 是多少？6 ED C B A 1 2【例8】如图所示是奥林匹克五环标志，5个圆内共分成了9个部分．请在这9个部分中填入1~9这9个数，使得每个圆环内的各数之和都相等．请问：这个和最大是多少？最小是多少？【习题1】（拓展篇第14题）如下图所示，有一座长方形城堡，四周有10个掩体．守城的士兵有10件武器，各种武器的威力数如下表．为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在10个掩体中配备武器？补充题目武器手枪步枪自动步枪冲锋枪轻机枪威力数 1 2 3 4 5 武器重机枪迫击炮火箭筒加农炮榴弹炮威力数 678910掩体掩体掩体掩体掩体掩体掩体掩体掩体掩体城堡【习题2】将1、10、11、15、18、37、40这7个数分别填入图中的7个圆圈内（每个数都要用到），能否使其中两条直线上的三个数的和相等，并且等于另一条直线上的三个数的和的3倍？若可以，请给出一种填法；若不能，请说明理由．【习题3】把0-9这十个数字填到下图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有______种可能的取值．【习题4】图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．【习题5】能否将1～21这21个自然数分别填入右图中的各个圆圈里，使得除了第一行以外，每个圆圈内的数都等于其肩膀上两个圆圈内的数之差（大数减小数）？如果能，请填出一种填法；如果不能，请说明理由．。

小学奥数模块教程数阵图

数阵图是小学奥数阶段一个很重要的专题。

在这节课中，我们的教学目标就是让学生初步认识数阵，并能通过一系列的练习，找到解数阵的一般方法。

今天我们重点研究的方法，就是通过找中心数来解题，会根据题目中给出的已知条件来求中心数。

在例题的设计中，我们也是层层深入，让学生能通过简单的例题来发现规律找到解题的方法，通过例题难度的加深来拓展应用。

希望这节课的学习能使学生的思维能力得到培养，能让学生对数阵产生兴趣，为今后的继续学习奠定基础。

在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图：数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧【例1】把1，2，3，4，5这 5个数分别填入图中的圆圈内，（1）使得横行 3个数的和与竖列 3个数的和都等于10。

（2）使得横行3个数的和与竖列3个数的和都相等.一共有多少种不同的填法？【例2】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等.例题精讲知识框架数阵图巧求周长【例3】把1，2，3，4，5，6，7 这7个数分别填入圆圈中，使得每条直线上的3个数的和等于12．【例4】把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条线上的三个圆圈内的数之和都等于15。

【例5】1～7这七个数分别填入图中的各○内，使每条直线上三个○里数的和相等．一共有多少种方法？【例6】把1～9这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于15。

【例7】将1，2，3，4，5，6这6个数分别填入下图中，使两个大圆上4个数的和都等于14.【例8】把1，2，3，4，5，6这6个数分别填入右图的6个圆圈中，（1）使得三角形每条边上的3个数的和都等于10.（2）使得三角形每条边上的三个数之和都相等.还有几种不同的填法？【例9】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字分别填入图中的小圆圈里，使得每条边上4个数字的和是17.【例10】把1～8这八个数分别填入图中的圆内，使每条线上的三个数相加的和等于12.【随练1】将1、2、3、4、5、6六个数填在图中的空灯里，使每个大圆上的四盏灯里的数相加都等于14.【随练2】把2、3、4、5、6、7、8、9、10填入方格里，使每一横行、每一竖行、每一斜行的3个数的和都是18.课堂检测【作业1】在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是16.【作业2】在空格内填入适当的数，使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18.【作业3】在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是64.【作业4】把数字1、2、3、4、5分别填入下图中的方格内，使横行3个数的和与竖列3个数的和都等于9.【作业5】把5，6，7，8，9这5个数填在下图的◇内，使横行、竖列3个数的和都相等.【作业6】将1～9填入小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等.家庭作业【作业7】把10，20，30，40，50，60，70这7个数填在圆圈里，使每条直线上和每个圆周上的三个数的和都是120.【作业8】把3、5、7、9、11、13、15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数都等于27.【作业9】把1～6填入○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等16.【作业10】把4～9这6个数分别填入下图的6个圆圈中，使得三角形每条边上的3个数的和都等于21.。

五年级奥数第09讲-数阵(学)

学科教师辅导讲义知识梳理一、数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。

数阵是一种由幻方演变而来的数字图。

二、数阵图的分类封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

三、数阵图的解法（1）辐射型数阵图方法一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、最小数或中间数；方法二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1（2）封闭型数阵图公式：线和×线数=数字和+重叠数之和（3）复合型数阵图综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。

典例分析考点一：辐射型数阵图例1、把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

例2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

考点二：封闭型数阵图例1、将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.例2、将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上。

应如何填？例3、把1~9 这9 个数，分别填在下图的9个圆中，使得三角形每条边上的4 个圆内数之和都是23。

考点三：复合型数阵例1：将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。

例2：将1～10这十个数填入图中的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23，应怎样填？实战演练➢课堂狙击1、将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。

(至少找出两种本质上不同的填法)2、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

3、在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。

奥数：有趣的数阵图

有趣的数阵图（一）教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。

2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。

教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。

它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。

二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相解题思路：找出中间数，填在中间的公关位置，再剩下的数中，找一对和相等的数。

再分别填入。

2、教学例2：把1～6形式尝试，练习。

解题思路：由于三个顶点上的数要加二次，所以我们先假设，顶点，再推出，其它的点。

3、教学例3：把1～9这九个数，填入到方格中，使横、竖、斜上的三个数和相等。

解题思路：先观察数，1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填。

方法有多种。

4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。

解题思路：有2行3列，而1＋2＋3＋5＋6＋7＝24，所以每行为12，这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。

每列和是24÷3＝8，所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）。

答案多种。

三、课堂练习：1、填上合适的数,2、用1～534、使横、竖、斜和相等。

余数的妙用（二）教学要求：1、使学生掌握正确计算有余数的除法。

2、培养学生活跃的思维能力，提高学习奥数的兴趣。

教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。

今天，我们将继续学习余数的妙用（二）。

二、探索新知：1、教学例4：体育课排队，老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2，这一排有（）人。

A、26B、27C、28D、32《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》解题思路：答案必须是5的倍数还要加2，所以我们经过计算发现可以选B D。

第四讲有趣地数阵图学生版奥数教程讲义

经典精讲：数阵图：将一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形。

数阵图是一种趣味性很强的填数游戏，它的形式多样，绚丽奇妙。

这里给同学们介绍三种形式的数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

（一）辐射型数阵图（像雪花）从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中间数，多算的次数，公共的和线数x 公共的和=数和+中心数x 重复次数【例1】把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

【例2】把1—7这七个数分别填入图1中的各○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

【课堂练习】将1～11这11个数分别填入图11中的方格内，每个数只许用一次，使相邻两个或三个方格内数的和都相等。

第四讲有趣的数阵图（二）封闭型数阵图（像围墙）多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。

突破关键：确定顶点上的数字，公共的和边数x公和=数和+重叠数和【例3】把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和相等。

（本题有24种填法，你能想出几种？）【例4】将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

【课堂练习】 1、1—10这十个数，分别填在图9中五边形五条边上的十个○内，并使五条边上的三个○内数的和相等。

2、把1—8这8个数，填入图13中的八个○内，使每条线段上的四个数的和，与每个四边形四个顶点上的四个数的和都相等。

（三）复合型数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的特点。

突破点：找出关键位置重复次数。

【例5】将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。

【课堂练习】1、将1、2、3、4、5、6六个数字填入图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和是16。

2、将1—8这八个数，分别填入图10中两个圆圈的八个○内，使每个圆圈上五个○内数的和分别为20、21、22。

五年级上册数学培优奥数讲义-第23讲数阵图

第23讲数阵图知识与方法数阵图问题千变万化，需要综合运用各种数学知识来解决问题，而往往同学们喜欢毫无顺序的“瞎试”，本讲要介绍一些通用的方法。

所以，一般是先用公式法分析出重复数，再用尝试法进行试填。

方法一：尝试法：所给的是一个等差数列，并且每条线上的数是奇数个时，中间数只能填最大数、最小数或中间数，因此可以依据这个规律进行尝试。

方法二：公式法：线和×线数＝数字和＋重复数×重复次数初级挑战1将1～7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

思维点拨：观察发现，每条线上的三个数之和相等，而这三条线相交刚好重复了一个数，我们叫做重复数。

除去重复数，三条线上其他两数之和应相等。

1～7中，找出三组和相等的六个数即可，剩下的一个数填中间。

答案：（答案不唯一）能力探索1把1～11分别填入下图的○内，使每条线段上3个○内数的和相等。

答案：中间重复数为1或6或11。

给出一种填法：（答案不唯一）初级挑战2将数字1～8填入图中，使横行方框中的数之和与竖列方框中的数之和相等且为19。

思维点拨：本题的关键在于先确定中间重复数。

横行和竖列的和为19×2＝38，而实际上所有方框中的数之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，38－36＝2，多出来的2正好是中间重复的数。

答案：（答案不唯一）能力探索2将2～8填入下图的方框中，使横行、竖列的和相等且为20。

答案：中间重复数：20×2－（2＋3＋4＋…＋8）＝5。

（答案不唯一）中级挑战1将1～10这十个自然数填入下图的○中，使每个圆上六个数的和为29。

思维点拨：两个大圆圈的和为29×2＝58，而圆圈上所有的数之和为：1＋2＋3＋…＋10＝55，因此中间两个圆圈数（重复数）的和为58－55＝3，而3＝1＋2，由此可先填出中间的两个圆圈数分别为1和2，再两两配对填出其它数即可。

答案：（答案不唯一）把数字1～8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。

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数阵图
数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。

数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。

解答这类问题时，常用以下知识：
等差数列的求和公式：总和﹦（首项+末项）x项数÷2
计算中的奇偶问题：
奇数±奇数﹦偶数
偶数±偶数﹦偶数
奇数±偶数﹦奇数
10以内数字有如下关系：
（1）1+9=2+8=3+7=4+6
（2）1+8=2+7=3+6=4+5
（3）2+9=3+8=4+7=5+6
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。

例1：
把1，2，3，4，5，6这六个数填在下图的6个○中,使每条边上的三个数之和都等于9。

例2：
把1—12这十二个数，分别填在下图中正方形四条边上的十二个○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。

随堂练习1
1、（1）将5—10这六个数字分别填入左下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。

三年级奥数1-数阵图

课题数阵图教学目标1：理解两种类型数阵图概念；2：能按照题中具体要求填数阵图重点填图三步骤：1、算出1个（或几个）重叠数的值（或和）2、通过重叠数的值（或和）找出重叠数3、把数阵图填写完整难点通过找到重叠数填数阵图专题1：数阵图在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

一、辐射型数阵图先从几个简单的例子开始。

把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

1.2 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

练一练：将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。

还有其他填法吗？例2将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

如果把例2中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例1，重叠数可能等于几？怎样填？练一练：将 10～20填入左下图的○内，使得每条边上的三个数字之和都相等。

二、封闭性数阵例3将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

练一练：把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

例4 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

附加：把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。