数学九年级下浙教版1.3解直角三角形同步练习1

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1.3 解直角三角形(1)

AC
所以 AC＝＝
AB 2000 = ≈ 3111(米) cos 50° cos 50°
答：敌舰与A、B两炮台的距离分敌舰与、两炮台的距离分别约为3111米和米和2384米. 别约为米和米
A
b C 3 a B
练习1 练习 :
在⊿ABC中，∠C=900，根据下列条件解直角三角 ⊿ABC中形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)
（1）c=10， ∠A=30° ）， ° （2）b =4，∠ B =72° ）， ° （3）a =5， c=7 ），（4）a =20， SinＡ=１／２）， SinＡ１
练:
本题是已知一边,一锐角. 一边,一锐角.
解: 在Rt△ABC中，因为 △ 中 ∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，＝゜＝゜ BC ＝tan∠CAB, ∠ AB BC＝AB•tan∠CAB 所以＝ ∠ =2000×tan50゜ × ゜ ≈2384(米). 米又因为 AB = cos 50 ° ，
1.3解直角三角形解直角三角形(1) 解直角三角形
解直角三角形
已知两条边；（1）已知两条边；
A
B c a ┌ b C
（2）已知一条边和一个锐角
C=90° 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，：如图， △ 中解直角三角形. ∠A=50 °，AB=3, 解直角三角形 =50 （边长保留2个有效数字）边长保留个有效数字
A c
Байду номын сангаас
B a ┌ b C
例2：已知平顶屋面的宽度为10m，坡顶的设：已知平顶屋面的宽度L为，计高度h为计高度为3.5m，你能求出斜面钢条的长度和，倾角a 倾角。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)

九年级数学下册第一章《解直角三角形》单元测试题-浙教版(含答案)

九年级数学下册第一章《解直角三角形》单元测试题-浙教版（含答案）一、单选题1．已知α是锐角，若sinα=12，则α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在Rt△ABC中，△A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（）A．34B．43C．35D．453．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（）米．A．100cos20°B．100cos20°C．100sin20°D．100sin20°4．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：√2，坝高BC=4m，则AB的长度为（）A．2√6m B．4√2m C．4√3m D．6m5．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，AC=7米，则树高BC为（）A ．7sina 米B ．7cosa 米C ．7tana 米D ．7tana米 7．如图，在Rt△ABC 中，△C=90°，AB=13，AC=12，则△A 的正弦值为（）A ．512B ．1213C ．125D ．5138．如图，AB 是△O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos△CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长为（）A ．23B ．56C ．1D ．769．如图是大坝的横断面，斜坡AB 的坡度 i 1 =1：2，背水坡CD 的坡度i 2=1：1，若坡面CD 的长度为6√2 米，则斜坡AB 的长度为（）A ．4√3B ．6√3C ．6√5D ．2410．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12二、填空题11．若cosα=0.5，则锐角α为度．12．计算： |√3−2|+(12)−1+2sin60°= . 13．如图，在一次测绘活动中，小华同学站在点A 的位置观测停泊于B 、C 两处的小船，测得船B 在点A 北偏东75°方向900米处，船C 在点A 南偏东15°方向1200米处，则船B 与船C 之间的距离为米．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是边CD 上的一动点，EF△BP 交BP 于G ，且EF 平分正方形ABCD 的面积，则线段GC 的最小值是 .三、计算题15．计算： |−5|+sin30∘−(π−1)016．计算： √8−4cos45°+(12)−1+|−2| 17．观察下列等式：①sin30°= 12 ，cos60°= 12； ②sin45°= √22 ，cos45°= √22； ③sin60°= √32 ，cos30°= √32．（1）根据上述规律，计算sin 2α+sin 2（90°﹣α）= ．（2）计算：sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°．18．（1）√18 + |−√2| -（2012﹣π）0-4sin45°（2）解方程：x 2-10x ＋9＝0．四、解答题19．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）20．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．21．已知sinα+cosα=1713，且0°＜α＜45°，求sinα的值．22．已知：在Rt△ABC 中，△C=90°，sinA=23，AC=10，求△ABC的面积。

浙教版九年级下册数学第一章解直角三角形含答案

浙教版九年级下册数学第一章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在中，，沿的中线，将折叠，使点A落在点D处，若恰好与垂直，则的值为( )A. B. C. D.2、已知2cosA=1，则锐角A的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.75°3、如图，在正方形中，边长，是为中点，连接，，把沿着翻折，得到，则点到的距离为（）A. B.4 C. D.4、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.5、如图，在中，，，，则（）A. B. C. D.6、如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )A.6 mmB.12mmC.6 mmD. 4mm7、在△ABC中，∠C=90°，且两条直角边a，b满足a2﹣5ab+6b2=0，则tanA的值为（）A.5或6B.2C.3D.2或38、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，那么sinA为（）A. B. C. D.9、“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )A.3B.5C.D.410、已知sinα•cosα=， 45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（）A. B.- C. D.±11、公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为（）A. B. C. D.12、已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1=0的两根，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形或钝角三角形C.钝角三角形D.等边三角形13、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=5，AC=5 ，则∠B的度数是（）A.30°B.45°C.50°D.60°14、如图，在中，平分，交于点E，交于点F，且交于点O，若，则的值为（）A. B. C. D.15、如图，小明站在某广场一看台C处，测得广场中心F的俯角为21°，若小明身高CD＝1.7米，BC＝1.9米，BC平行于地面FA，台阶AB的坡度为i＝3：4，坡长AB＝10.5米，则看台底端A点距离广场中心F点的距离约为（）米．（参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）A.8.9B.9.7C.10.8D.11.9二、填空题(共10题，共计30分)16、先用计算器求：tan20°≈________，tan40°≈________，tan60°≈________，tan80°≈________，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来：________．归纳：正切值，角大值________．17、如图所示，在四边形中，，分别是的中点，，则的长是________.18、如图，在四边形中，，交于F，使得且.若在线段上取一点G，满足：平分且，则的值为________.19、阅读理解：已知∠A、∠B是Rt△ABC的两个锐角，锐角∠A的邻边与对边的比值叫做锐角∠A的余切，记作cotA，记cotA= ，已知tanB=，则cotB的值等于________．20、如图，有一斜坡，坡顶B离地面的高度为，斜坡的倾斜角是，若，则此斜坡的为________m．21、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的点D处，EF为折痕，若sin∠CFD的值为，则BE＝________.22、如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则的值为________.23、一段公路的坡度为1∶3，某人沿这段公路路面前进100米，他上升的最大高度为________．24、河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC 的长是________米．25、在△ABC中，若+ ，则∠C的度数为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：.27、居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为，底部的俯角为：又用绳子测得测角仪距地面的高度为．求该大棱的高度（结果精确到）（参考数据：，，）28、钓鱼岛是我国的神圣领土，中国人民维护国家领土完整的决心是坚定的，多年来，我国的海监、渔政等执法船定期开赴钓鱼岛巡视．某日，我海监船（A 处）测得钓鱼岛（B处）距离为20海里，海监船继续向东航行，在C处测得钓鱼岛在北偏东45°的方向上，距离为10海里，求AC的距离．（结果保留根号）29、如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）30、如图，已知OB的方向是南偏东60°，OA、OC分别平分∠NOB和∠NOE，（1）请直接写出OA的方向是，OC的方向是（2）求∠AOC的度数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、A4、C5、C6、C7、D8、C9、C10、B11、A12、B13、D14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。

2019-2020学年度最新浙教版九年级数学下册单元考点练习《解直角三角形》及答案解析三

1.3 解直角三角形同步练习一、单选题1、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm；②EB=1cm；③S菱形ABCD=15cm2A、3个B、2个C、1个D、0个2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（）A、2B、4C、8D、83、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A、mB、4 mC、mD、8 m4、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝， BE=2，则tan∠DBE的值（）A、B、2C、D、5、如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（）A、B、C、D、6、在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是A、B、C、D、7、某水坝的坡度i＝1:，坡长AB＝20米，则坝的高度为( )A、10米B、20米C、40米D、20米8、一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为（）A、1：3B、1：C、1：D、1：9、如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b的值为 ( )A、3B、C、D、10、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC的最小值为A、B、C、D、211、在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=， cosB=， AC=40，则△ABC的面积是（）A、800B、800C、400D、40012、如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A、3B、4C、5D、613、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A、B、C、D、14、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）A、75cm2B、（25+25）cm2C、（25+）cm2D、（25+）cm215、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、3二、填空题16、在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，若sinC=，则BC的长度为________17、已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是________．18、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5cm， AP＝8cm， AP平分∠DAB，交DC于点P，过点B作BE⊥AD于点E，BE交AP于点F，则tan∠BFP ＝________19、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=________20、如图，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD边上一点，沿AE折叠△ADE，使点D恰好落在BC边上的F处，M是AF的中点，连接BM，则sin∠ABM=________．三、解答题21、如图，矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O ，过点O作OE⊥AC交AD于E ，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．22、如图的斜边AB=5，cosA=（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线与AB，AC分别相交于D,E两点，求DE的长23、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB ，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i= ：3 ．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）24、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．25、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，点C是抛物线在第一象限内部分的一个动点，点D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E.（1）说明：；（2）当点C、点A到y轴距离相等时，求点E坐标. （3）当的面积为时，求的值.答案部分一、单选题1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】B4、【答案】B5、【答案】A6、【答案】C7、【答案】A8、【答案】A 9、【答案】C 10、【答案】B 11、【答案】D 12、【答案】B 13、【答案】A 14、【答案】C 15、【答案】B二、填空题16、【答案】10 17、【答案】18、【答案】19、【答案】20、【答案】三、解答题21、【答案】解：连接EC ，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC ，∠ABC=90°，利用勾股定理得：AC= =10，即OA=5，∵OE⊥AC ，∴AE=CE ，在Rt△EDC中，设EC=AE=x ，则有ED=AD-AE=8-x ， DC=AB=6，根据勾股定理得：x2=（8-x）2+62，解得：x= ，∴AE= ，在Rt△AOE中，sin∠OEA= ．22、【答案】解：（1）作图（2）因为直线垂直平分线段AC，所以CE=AE，又因为BC AC，所以DE//BC，所以DE=BC．因为在中，AB=5，cosA=，所以AC=ABcosA=,BC=4得DE=2．23、【答案】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB ，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i= ：3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，BD= 米，∴AD=BD-AB=（10 -10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．24、【答案】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．25、【答案】解：(1)令y=0,则有-x2+2x+8=0. 解得：x1=-2，x2=4∴OA=2，OB=4.过点O作OG∥AC交BE于G∴△CEG∽△OGD∴∵DC=DO∴CE=0G∵OG∥AC∴△BOG∽△BAE∴∵OB=4,OA=2∴;(2)由（1）知A（-2，0），且点C、点A到y轴的距离相等，∴C（2，8）设AC所在直线解析式为：y=kx+b把 A 、C两点坐标代入求得k=2，b=4所以y=2x+4分别过E、C作EF⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为F、H由△AEF∽△ACH可求EF=，OF=, ∴E点坐标为（，）（3）连接OE∵D是OC的中点，∴S△OCE=2S△CED∵S△OCE:S△AOC=CE:CA=2:5∴S△CED：S△AOC=1：5．∴S△AOC=5S△CED=8∴∴CH=8。

最新浙教版九年级数学下册单元同步测试题及答案全套

最新浙教版九年级数学下册单元同步测试题及答案全套九年级下册第1章解直角三角形 1．1 锐角三角函数第1课时锐角三角函数的概念基础题知识点1 三角函数的定义1．(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cosA 的值是(D)A.34B.43C.35D.452．(湖州中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tanA ＝12，则BC 的长是(A)A ．2B ．8C ．2 5D ．4 53．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°.若AC ＝2BC ，则sinC 的值是(C)A.12 B ．2 C.32D. 3 4．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么∠A ，∠A ′的余弦值的关系为(A)A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定5．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为(A)A.13B.12C.32D ．36．(乐山中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是(C)A ．sinB ＝ADABB ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝ADACD ．sinB ＝CDAC7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为斜边AB 的中点，BC ＝4，CD ＝2.5，则sinA ＝45．8．如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，另一边经过点P(2，23)，则sin α2cos α＝12，tan α知识点2 互余两角的三角函数之间的关系9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别表示Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边．求：(1)sinA ，cosB ； (2)tanA ，tanB ；(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA 与cosB ，tanA 与tanB 之间有什么关系吗？ (4)应用：①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝23，则cosB ＝23；②在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝2，则tanB ＝12．解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sinA ＝BC AB ＝ac ，cosB ＝BC AB ＝a c.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴tanA ＝BC AC ＝ab ，tanB ＝AC BC ＝b a.(3)由(1)知sinA ＝cosB ；由(2)知tanA ·tanB ＝1.中档题10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝23，则tanB 等于(C)A.35B.53C.25 5D.5211．(攀枝花中考)如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD ＝(D)A.12B.34C.45D.3512．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是(B)A.23B.223C.423D.52313．(菏泽中考)如图，△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，且AB ＝AC ＝5，A ′B ′＝A ′C ′＝3，若∠B ＋∠B ′＝90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为(A)A ．25∶9B ．5∶3C.5∶ 3D ．55∶3 314．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则cosB ′1015．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，求sinB 的值．解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中， ∵AD ＝5，CD ＝3， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝4. 在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝41. ∴sinB ＝AC AB ＝441＝44141.16．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，求tan ∠CBE 的值．解：根据题意，得BE ＝AE.设CE ＝x ，则BE ＝AE ＝8－x.在Rt △BCE 中，根据勾股定理得BE 2＝BC 2＋CE 2，即(8－x)2＝62＋x 2，解得x ＝74，∴tan ∠CBE ＝CE CB ＝724.综合题17．(金华中考)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A ，B ，C 在同一直线上，且∠ACD ＝90°.图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD 变形为四边形ABC ′D ′，最后折叠形成一条线段BD ″.(1)小床这样设计应用的数学原理是三角形的稳定性和四边形的不稳定性； (2)若AB ∶BC ＝1∶4，则tan ∠CAD 的值为815．第2课时特殊角的三角函数值基础题知识点1 特殊角的三角函数值 1.12cos30°的值等于(B) A.12 B.34C ．1D ．3 2．点A(cos60°，－tan30°)关于原点对称的点A 1的坐标是(A)A ．(－12，33)B ．(－32，33) C ．(－12，－33)D ．(－12，32)3．在△ABC 中，若sinA ＝cosB ＝22，则下列结论最确切的是(C) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形 4．若∠A ＋∠B ＝90°，且cosB ＝32，则tanA 的值为(D)A.33 B.22C ．1 D. 3 5．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝80°．6．(绍兴中考)如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于60°． 7．计算：(1)2cos45°－tan60°；解：原式＝2－ 3.(2)2sin 260°＋cos30°－33tan30°·tan45°. 解：原式＝7＋336.8．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A 处，测得∠CBD ＝60°，牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度．(结果精确到个位，3≈1.73)解：在Rt △CBD 中，CD ＝CB ·sin60°＝20×32≈17.3(米)， ∴CE ＝CD ＋DE ＝17.3＋1.5≈19(米)．知识点2 同角三角函数之间的关系9．先完成下列填空，再按要求回答下列问题：(1)①sin30°＝12，cos302sin 230°＋cos 230°＝1；②sin452cos452sin 245°＋cos 245°＝1；③sin602cos60°＝12，sin 260°＋cos 260°＝1；观察上述等式，猜想：sin 2A ＋cos 2A ＝1．(2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别表示Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边．完成下列求sinA ，cosA 及sin 2A ＋cos 2A 的值的过程．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sinA ＝（a ）c ，cosA ＝（b ）c.在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2＋b 2＝c 2． ∴sin 2A ＋cos 2A ＝（a 2）c 2＋（b 2）c 2＝（c 2）c2＝1； (3)请根据(2)的条件，表示出tanA 的值，分析出(2)中sinA ，cosA 与tanA 三者之间满足什么关系； (4)已知α为一个锐角，sin α＝45.求cos α，tan α.解：(3)tanA ＝a b ；tanA ＝sinAcosA.(4)∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝45，α为锐角，∴cos α＝35，tan α＝sin αcos α＝43.中档题10．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值等于(C)A.12B.22C.32D. 311．在△ABC 中，若|sinA －12|＋(33－tanB)2＝0，则∠C 的度数为(D)A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°12．已知∠A 为锐角，且tanA ＝23，那么下列判断正确的是(B)A ．0＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°13．(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD ＝60°，则花坛对角线AC 的长等于(A)A ．63米B ．6米C ．33米D ．3米14．如图，将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是492cm 2.15．若规定sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β，则sin15416．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值．解：由sin(α＋15°)＝32，得α＝45°. ∴原式＝22－4×22－1＋1＋3＝3. 17．(丽水中考)数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtanA＝2 3.∴EF ＝AC ＝2 3.∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sinE ＝ 6. ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.18．如图，等边△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，求AGAF的值．解：在△CAD 与△ABE 中，AC ＝AB ，∠CAD ＝∠ABE ＝60°，AD ＝BE ， ∴△CAD ≌△ABE.∴∠ACD ＝∠BAE.∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°， ∴∠ACD ＋∠CAE ＝60°.∴∠AFG ＝∠ACD ＋∠CAE ＝60°. 在直角△AFG 中，sin ∠AFG ＝AGAF ，∴AG AF ＝sin60°＝32. 综合题19．如图，两张宽度都为3 cm 的纸条交叉重叠在一起，其中∠α＝60°，求重叠(阴影)部分的面积．解：过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD. ∵AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠ABC ＝∠ADF.∵纸条的宽度都是3， ∴AE ＝AF ＝3.在△ABE 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠AFD ，AE ＝AF ，∴△ABE ≌△ADF.∴AB ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．在Rt △ADF 中，∠ADF ＝60°，sin ∠ADF ＝AF AD ，∴AD ＝2 3 cm.∴CD ＝AD ＝2 3 cm.∴重叠(阴影)部分的面积为CD ·AF ＝23×3＝63(cm 2).1.2 锐角三角函数的计算第1课时利用计算器求锐角三角函数值基础题知识点1 用计算器求已知锐角的三角函数值1．(烟台中考)如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)A.2×cos 55＝B. 2cos 550＝C. 2cos 55＝D.255cos ＝2．cos55°和sin36°的大小关系是(C)A ．cos55°＞sin36°B ．cos55°＝sin36°C ．cos55°＜sin36°D ．不能确定 3．下面四个数中，最大的是(C)A.5－ 3 B ．sin88° C ．tan46°D.5－124．用科学计算器计算，下面结果不正确的是(D)A ．175＝1 419 857B.19＝4.358 898 944C ．sin35°＝0.573 576 436D ．2sin30°12′<sin60°24′ 5．计算(结果保留小数点后四位)．(1)sin23°5′＋cos66°45′；解：sin23°5′＋cos66°45′≈0.786 8.(2)sin 27.8°－tan15°8′.解：sin 27.8°－tan15°8′≈－0.252 0.6．(1)用计算器求：sin20°≈0.342_0；sin40°≈0.642_8；sin60°≈0.866_0；sin80°≈0.984_8．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接：sin20°<sin40°<sin60°<sin80°； (2)用计算器求：cos15°≈0.965_9；cos35°≈0.819_2；cos55°≈0.573_6；cos75°≈0.258_8．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接：cos15°>cos35°>cos55°>cos75°； (3)用计算器求：tan10°≈0.176_3，tan30°≈0.577_4，tan50°≈1.191_8，tan80°≈5.671_3．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接tan10°<tan30°<tan50°<tan80°.观察你能得到：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小，锐角的正切值随着角度的增大而增大．知识点2 用计算器解决与三角函数有关的实际问题 7．如图，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝8.035，∠A ＝27°5′3″，求a ，b(精确到0.000 1)．解：∵sinA ＝sin27°5′3″≈0.455 3， ∴sinA ＝ac≈0.455 3.∴a ≈8.035×0.455 3≈3.658 3. ∵cosA ＝cos27°5′3″≈0.890 3， ∴cosA ＝bc≈0.890 3，∴b ≈8.035×0.890 3≈7.153 6.8．(呼伦贝尔中考)如图，厂房屋顶人字架的跨度BC ＝10米，D 为BC 的中点，上弦AB ＝AC ，∠B ＝36°，求中柱AD 和上弦AB 的长．(结果保留小数点后一位)解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BC ＝10米， ∴DC ＝BD ＝5米，在Rt △ADC 中，∠B ＝36°，∴tan36°＝ADBD ，即AD ＝BD ·tan36°≈3.6(米)．cos36°＝BD AB ，即AB ＝5cos36°≈6.2(米)．答：中柱AD 的长为3.6米，上弦AB 的长为6.2米．中档题9．(威海中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(D)A.5÷tan 26＝B.5÷sin 26＝C.5×cos 26＝D.5×tan 26＝10．如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上，定点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在刻度尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为2.7 cm.(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)11．(1)用计算器计算并验证sin25°＋sin46°与sin71°之间的大小关系；(2)若α、β、α＋β都是锐角，猜想sin α＋sin β与sin(α＋β)的大小关系； (3)请借助如图的图形证明上述猜想．解：(1)sin25°＋sin46°>sin71°.sin25°＋sin46°＝0.423＋0.719＝1.142， sin71°＝0.946，∴sin25°＋sin46°>sin71°. (2)sin α＋sin β>sin(α＋β)． (3)证明：∵sin α＋sin β＝AB OA ＋BC OB ，sin(α＋β)＝AE OA， ∵OB<OA ，∴AB OA ＋BC OB >AB OA ＋BC OA ＝AB ＋BC OA. ∵AB ＋BC>AE ，∴AB OA ＋BC OB >AE OA.∴sin α＋sin β>sin(α＋β)．12．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.26米，他乘电梯会有碰头危险吗？(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)解：小敏乘此电梯不会有碰头危险，姚明乘此电梯会有碰头危险．理由如下：由题意可知AC ∥BD ， ∴∠CAB ＝∠ABD ＝27°.过点C 作CE ⊥AC 交AB 于点E ，在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CEAC，∴CE ＝AC ·tan ∠CAE ＝4×tan27°≈4×0.51＝2.04＜2.26. ∴姚明乘此电梯会有碰头危险．∵2.04＞1.78， ∴小敏乘此电梯不会有碰头危险．综合题13．身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G 处(点G 在FE 的延长线上)．经测量，兵兵与建筑物的距离BC ＝5米，建筑物底部宽FC ＝7米，风筝所在点G 与建筑物顶点D 及风筝线在手中的点A 在同一条直线上，点A 距地面的高度AB ＝1.4米，风筝线与水平线夹角为37°.(1)求风筝距地面的高度GF ；(2)在建筑物后面有长5米的梯子MN ，梯脚M 在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：(1)过A 作AP ⊥GF 于点P ，则AP ＝BF ＝12，AB ＝PF ＝1.4，∠GAP ＝37°，在Rt △PAG 中，tan ∠PAG ＝GPAP ，∴GP ＝AP ·tan37°≈12×0.75＝9(米)． ∴GF ＝9＋1.4≈10.4(米)． (2)由题意可知MN ＝5，MF ＝3，∴在Rt △MNF 中，NF ＝MN 2－MF 2＝4(米)．∵10.4－5－1.65＝3.75＜4， ∴能触到挂在树上的风筝．第2课时已知三角函数值求锐角的度数基础题知识点1 已知一个角的三角函数值求这个角的度数1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，则∠A 的度数为(B)A ．53.48°B ．53.13°C ．53.13′D ．53.48′2．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是(D)A.tan 2÷＝B.tan 2÷DMS ＝C.2ndF tan （2÷3）＝D.2ndF tan （2÷3）DMS ＝3．已知sin α＝45，α为锐角，则下列选项正确的是(C)A ．α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．α＞60° 4．根据所给条件求锐角∠α.(精确到1″)(1)已知sin α＝0.477 1；解：已知sin α＝0.477 1，∠α≈28.50°＝28°30′0″.(2)已知cos α＝0.845 1；解：已知cos α＝0.845 1，∠α≈32.31°＝32°18′36″.(3)已知tan α＝1.410 6.解：已知tan α＝1.410 6，∠α≈54.66°＝54°39′36″.5．如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝13，AD ⊥BC.求三角形的三个内角的度数(精确到1′)．解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝6.5，∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC.在Rt △ABD 中，sin ∠BAD ＝BD AB ＝6.510＝0.65，∴∠BAD ≈40°32′，∴∠BAC ≈2∠BAD ≈81°4′，∠B ＝∠C ≈49°28′. 故△ABC 的三个内角分别为81°4′，49°28′，49°28′. 知识点2 已知锐角三角函数求角度在实际问题中的应用6．如图所示，在加工垫模时，需计算倾斜角α，根据图示数据，可得α≈22°9′12″．(结果精确到1″)7．如图，一名患者体内某器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3 cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8 cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度α(结果精确到1″)．解：由题意，得在Rt △ABC 中，tan α＝AC BC ＝6.39.8，∴∠α≈32°44′7″.中档题8．一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为(C)A ．37°B ．41°C ．37°或41°D ．以上答案均不对9．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是(C)A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，tan ∠BCD ＝3，则∠A ≈18°26′．(结果精确到1′)11．(厦门中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AD 边上的中点，若AC ＝10，DC ＝25，则BO ＝5；∠EBD 的大小约为18°26′.(参考数据：tan26°34′≈12)12．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.如果关于x 的方程3x 2sin α－4xcos α＋2＝0有实数根，求锐角α的取值范围．解：由Δ＝16cos 2α－24sin α＝16(1－sin 2α)－24sin α≥0，得2sin 2α＋3sin α－2≤0. ∴(sin α＋2)(2sin α－1)≤0. ∵sin α＋2>0，∴2sin α－1≤0， sin α≤12，α≤30°.∴0<α≤30°.13．如图是某公园六一前新增设的一台滑梯．该滑梯的高度为AC ＝2 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4 m.(1)求滑梯AB 的长(结果精确到0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围．请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？解：(1)由题意，知AB ＝AC 2＋BC 2＝25≈4.5(m)． ∴滑梯AB 的长约为4.5 m. (2)在Rt △ABC 中， tan ∠ABC ＝AC BC ＝12，∴∠ABC ≈27°＜45°.∴这架滑梯的倾斜角符合要求．14．如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝9，∠A ＝48°.求：(1)AB 边上的高(结果精确到0.01)； (2)∠B 的度数(结果精确到1′)．解：(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H. ∵在Rt △ACH 中，sinA ＝CHAC ，∴CH ＝AC ·sinA ＝9sin48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cosA ＝AH AC， ∴AH ＝AC ·cosA ＝9cos48°.在Rt △BCH 中，tanB ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin48°8－9cos48°≈3.382，∴∠B ≈73°32′.综合题15．数学教师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝12，tan β＝13，求α＋β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2求出α＋β的度数，并说明理由；(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝5，tan β＝23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β，求出α－β的度数，并说明理由．解：(1)①如图1中，在△AMC 和△CNB 中，AM ＝CN ，∠AMC ＝∠CNB ＝90°，MC ＝BN ， ∴△AMC ≌△CNB.∴AC ＝BC ，∠ACM ＝∠CBN. ∵∠BCN ＋∠CBN ＝90°， ∴∠ACM ＋∠BCN ＝90°.∴∠ACB ＝90°.∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°. ∴α＋β＝45°.②如图2中，设正方形边长为1，则CE ＝1，AE ＝2，BE ＝2，∴EC BE ＝12＝22，BE AE ＝22.∴EC BE ＝BEAE. ∵∠CEB ＝∠AEB ，∴△CEB ∽△BEA. ∴∠CAB ＝∠CBE ＝β.∴∠BED ＝∠ECB ＋∠CBE ＝α＋β.∵DE ＝DB ，∠D ＝90°，∠BED ＝45°，∴α＋β＝45°. (2)如图3中，∠MOE ＝α，∠NOH ＝β，∠MON ＝α－β.在△MFN 和△NHO 中，MF ＝NH ，∠MFN ＝∠NHO ，FN ＝OH ，∴△MFN ≌△NHO.∴MN ＝NO ，∠MNF ＝∠NOH. ∵∠NOH ＋∠ONH ＝90°，∴∠ONH ＋∠MNF ＝90°.∴∠MNO ＝90°. ∴∠NOM ＝∠NMO ＝45°. ∴α－β＝45°.1.3 解直角三角形第1课时解直角三角形基础题知识点1 已知两边解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝27，AC ＝21，则∠A ＝(D)A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，CD ⊥AB 于点D ，则tan ∠BCD 的值为(B)A.513B.512C.125D.13123．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A 2＝12．4．已知：△ABC 中，∠C ＝90°.(1)a ＝6，b ＝23，求∠A 、∠B 、c ； (2)a ＝24，c ＝242，求∠A 、∠B 、b.解：(1)∵在Rt △ABC 中，tanA ＝ab ，∴tanA ＝623＝ 3.∴∠A ＝60°，∠B ＝90°－60°＝30°.∴c ＝2b ＝2×23＝4 3.(2)∵在Rt △ABC 中，根据勾股定理有b 2＝c 2－a 2，∴b ＝24.∴∠A ＝∠B ＝45°.知识点2 已知一边一角解直角三角形5．如图是教用直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为(C) A ．30 3 cm B ．20 3 cm C ．10 3 cm D ．5 3 cm6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，如果AD ＝m ，∠A ＝α，那么BC 的长为(C)A ．m ·tan α·cos α B.m ·cos αtan αC.m ·tan αcos αD.m ·tan αsin α7．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝(D)A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50° 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝35°，b ＝103，求∠B ，a 和c.解：∠B ＝90°－35°＝55°， a ＝b ·tan35°≈12.13，c ＝b cos35°≈21.14. 中档题9．锐角△ABC 中，∠B ＝60°，AD ⊥BC ，AD ＝3，AC ＝5，则BC 的长为(A)A ．4＋ 3B ．7C ．5.5D ．4＋2 310．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连结BD ，则tan ∠DBC 的值为(A)A.13B.2－1 C ．2－ 3D.1411．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为(B)A ．2B.433C ．2 3D ．4 312．(衢州中考)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是(B)A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm13．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，且BE ＝2AE ，已知AD ＝33，tan ∠BCE ＝33，那么CE 等于(D)习题解析A ．2 3B ．33－2C ．5 2D ．4314．(滨州中考)如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为24．15．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，cosC ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示为14a 2．16．(襄阳中考)如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC ＝22，∴∠C ＝45°. 在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1. 在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3.∴BC ＝BE ＋CE ＝4.(2)∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°. ∴sin ∠ADC ＝22. 综合题17．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上．(1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求tan ∠EBC 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°. ∴∠BFA ＋∠ABF ＝90°.∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE ， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°. ∴∠BFA ＋∠EFD ＝90°.∴∠ABF ＝∠EFD.∴△ABF ∽△DFE. (2)在Rt △DEF 中，sin ∠DFE ＝DE EF ＝13，∴设DE ＝a ，EF ＝3a ，DF ＝EF 2－DE 2＝22a. ∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，∴CE ＝EF ＝3a ，AB ＝CD ＝DE ＋CE ＝4a ，∠EBC ＝∠EBF. 又∵△ABF ∽△DFE ， ∴EF BF ＝DF AB ＝22a 4a ＝22. ∴tan ∠EBF ＝EF BF ＝22.∴tan ∠EBC ＝tan ∠EBF ＝EF BF ＝22.第2课时坡度与圆弧问题基础题知识点1 解决坡角、坡比问题1．(巴中中考)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(B)A ．斜坡AB 的坡度是10° B ．斜坡AB 的坡度是tan10°C ．AC ＝1.2tan10°米D ．AB ＝ 1.2cos10°米2．(丽水中考)如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是(B)A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m3．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为10m.4．(上海中考)已知传送带与水平面所成斜坡的坡比i ＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．5．如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角∠CBD ＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD ；(2)求斜坡新起点A 到原起点B 的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)解：(1)在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·sin12°≈10×0.21＝2.1(米)． (2)在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·cos12°≈10×0.98＝9.8(米)．在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan5°≈2.10.09≈23.33(米)， AB ＝AD －BD ≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)．知识点2 在圆(扇形)中解直角三角形6．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为(D) A ．1B.203C ．3D.1637．如图，以AB 为直径的圆O 与弦CD 相交于点E ，且AC ＝2，AE ＝3，CE ＝1，则弧BD 的长是(B)A.3π9 B.23π9 C.3π3 D.23π38．(遵义中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB 的长为3 m ，静止时，踏板到地面距离BD 的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m ，成人的“安全高度”为2 m(计算结果精确到0.1 m)．(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h ＝1.5m ； (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°，问此人是否安全？(参考数据：2≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)解：过点C 作CM ⊥DF ，交DF 于点M ，过点C 作CE ⊥DO ，在Rt △CEO 中，∠CEO ＝90°， ∴cos ∠COE ＝OEOC.∴OE ＝OC ·cos ∠COE.∵OB ＝OC ＝3 m ，∠COE ＝55°， ∴OE ＝3·cos55°≈1.71 (m)． ∴ED ＝3＋0.6－1.71≈1.9(m)． ∴CM ＝ED ≈1.9 m.∵成人的“安全高度”为2 m ， ∴成人是安全的．中档题9．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(A)A ．(6＋3)米B ．12米C ．(4＋23)米D ．10米10．如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE的长是(D)A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3D ．3＋4 311．如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD 的坡度为1∶1.2，斜坡BC 的坡度为1∶0.8，现测得放水前的水面宽EF 为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为6米．则放水后水面上升的高度是1.1米．12．(贵阳中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m ．如图，DE ∥BC ，BD ＝1 700 m ，∠DBC ＝80°，求斜坡AE 的长度．(结果精确到0.1 m)解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M.由题意可得EM ⊥AC ，DF ＝MC ，∠AEM ＝29°.在Rt △DFB 中，sin80°＝DFDB ，则DF ＝BD ·sin80°，AM ＝AC －CM ＝1 790－1 700·sin80°，在Rt △AME 中，sin29°＝AMAE ，故AE ＝AMsin29°≈238.9.答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.13．(泰州中考)如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度i ＝1∶2，顶部A 处的高AC 为4 m ，B ，C 在同一水平地面上．(1)求斜坡AB 的水平宽度BC ；(2)矩形DEFG 为长方形货柜的侧面图，其中DE ＝2.5 m ，EF ＝2 m ．将该货柜沿斜坡向上运送，当BF ＝3.5 m 时，求点D 离地面的高．(5≈2.236，结果精确到0.1 m)解：(1)∵坡度为i ＝1∶2，AC ＝4 m ， ∴BC ＝4×2＝8(m)．(2)作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H. ∵∠DGH ＝∠BSH ，∠DHG ＝∠BHS ， ∴△DGH ∽△BSH.∴GH GD ＝12.∵DG ＝EF ＝2 m ，∴GH ＝1 m.∴DH ＝12＋22＝5(m)，BH ＝BF ＋FH ＝3.5＋(2.5－1)＝5(m)．设HS ＝x m ，则BS ＝2x m ，∴x 2＋(2x)2＝52， ∴x ＝5，∴DS ＝5＋5＝25(m)≈4.5 m.综合题14．如图，点A 、B 、C 表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB 、BC 表示连结缆车站的钢缆，已知A 、B 、C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA ′、BB ′、CC ′分别为110米、310米、710米，钢缆AB 的坡度i 1＝1∶2，钢缆BC 的坡度i 2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A 到C 直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点A作AE⊥CC′于点E，交BB′于点F，过点B作BD⊥CC′于点D，则△AFB、△BDC、△AEC 都是直角三角形，四边形AA′B′F、BB′C′D和BFED都是矩形，∴BF＝BB′－B′F＝BB′－AA′＝310－110＝200，CD＝CC′－C′D＝CC′－BB′＝710－310＝400.∵i1＝1∶2，i2＝1∶1，∴AF＝2BF＝400，BD＝CD＝400.又∵EF＝BD＝400，DE＝BF＝200.∴AE＝AF＋EF＝800，CE＝CD＋DE＝600.∴在Rt△AEC中，AC＝1 000米．答：钢缆AC的长度是1 000米．第3课时方位角与仰角、俯角问题基础题知识点1 与方位角有关的实际问题1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，且AM ＝100海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置(A)A ．50 3B ．40C ．30D ．202．如图，一艘船从某港口A 出发，以10海里/小时的速度向正北航行，从港口A 处测得一礁石C 在北偏西30°的方向上，如果这艘船上午8点从港口A 出发10点到达小岛B ，此时在小岛B 处测得礁石C 在北偏西60°方向上，则小岛B 与礁石C 的距离是(C)A ．40海里B ．30海里C ．20海里D ．10海里3．下面是张悦、王强的对话，张悦：“从学校向西直走500米，再向北直走100米就到医院了．”王强：“从学校向南直走300米，再向西直走200米就到电影院了．”则医院与电影院相距500米．4．(泸州中考)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x 海里． ∵在Rt △APC 中，∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CPAP.∴CP ＝AP ·tan ∠PAC ＝33x. ∵在Rt △APB 中，∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x. ∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝x ＝15（3－3）2.∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(小时)．答：该渔船从B 处开始航行3－34小时，离观测点A 的距离最近．知识点2 与仰角、俯角有关的实际问题5．湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB 底部50米的C 处，测得桥塔顶部A 的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD 的高度为1米，则桥塔AB 的高度约为(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)(C)A ．34米B ．38米C ．45米D ．50米6．我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破．已知距危房AB 水平距离60米(BD ＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD 高15米，在该住宅楼顶C 处测得此危房屋顶A 的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：没有危险．理由如下：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E. ∵在△AEC 中，∠AEC ＝90°， ∴tan ∠ACE ＝AECE.∵∠ACE ＝30°，CE ＝BD ＝60，∴AE ＝203≈34.64.又∵AB ＝AE ＋BE ，BE ＝CD ＝15， ∴AB ≈49.64.∵60>49.64，即BD>AB ，∴在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼没有危险．中档题7．(重庆中考)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(D)(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45) A ．30.6 B ．32.1 C ．37.9 D ．39.48．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A 处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B.轮船继续向北航行2小时后到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时，轮船离灯塔最近？(A)A ．1小时 B.3小时 C ．2小时D ．23小时9．(乐山中考)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时．由题意得∠ABC ＝45°＋75°＝120°， AB ＝12，BC ＝10x ，AC ＝14x ，过点A 作AD ⊥CB 交CB 的延长线于点D ，在Rt △ABD 中，AB ＝12，∠ABD ＝60°，∴BD ＝AB ·cos60°＝6，AD ＝AB ·sin60°＝6 3. ∴CD ＝10x ＋6.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得 (14x)2＝(10x ＋6)2＋(63)2，解得x 1＝2，x 2＝－34(不合题意，舍去)．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．10．(绍兴中考)如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6 m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ 的度数；(2)求该电线杆PQ 的高度(结果精确到1 m ，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)．解：(1)延长PQ 交直线AB 于点C ， ∵∠PBC ＝60°，∴∠BPQ ＝90°－∠PBC ＝90°－60°＝30°.(2)设PQ ＝x ，则QB ＝QP ＝x ，在△BCQ 中，BC ＝x ·cos30°＝32x ，QC ＝12x. 在△ACP 中，CA ＝CP ，∴6＋32x ＝12x ＋x ，解得x ＝23＋6.∴PQ ＝23＋6≈9，即该电线杆PQ 的高度约为9 m.综合题11．(湘西中考)如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向(北偏东45°)以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离602千米的地方有一城市A.(1)A 市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O 的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B ，问：B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．解：(1)作AD ⊥OC ，易知台风中心与A 市的最近距离为AD 的长度． ∵由题意得∠COA ＝45°，OA ＝60 2 km ， ∴AD ＝DO ＝602×22＝60(km)． ∵60>50，∴A 市不会受到此台风的影响． (2)作BG ⊥OC 于点G.∵由题意得∠BOC ＝30°，OB ＝80 km ， ∴BG ＝12OB ＝40 km.∵40<50，∴B 市会受到台风影响．假设BE ＝BF ＝50 km ，E 、F 两点在OC 上，且E 点离点O 较近，由题意知，台风从E 点开始影响B 城市到F 点影响结束，∴EG ＝BE 2－BG 2＝30(km)．∴EF ＝2EG ＝60 km. ∵风速为40 km/h.∴60÷40＝1.5(小时)． ∴影响时间约为1.5小时．章末复习(五) 解直角三角形基础题知识点1 锐角三角函数的定义1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，则下列三角函数表示正确的是(A)A ．sinA ＝23B ．cosA ＝23C ．tanA ＝32D ．tanB ＝322．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于(C)A. 5B.255C.55D.233．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的⊙O 交x 轴正半轴为点M ，点P 为圆上一点，坐标为(3，1)，则cos ∠POM 2知识点2 特殊角的三角函数值的计算 4．计算（tan30°－1）2的值是(A)A ．1－33B.3－1C.33－1 D ．1－ 35．在△ABC 中，(2cosA －2)2＋|1－tanB|＝0，则△ABC 一定是(D)A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形知识点3 解直角三角形6．(牡丹江中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于(A)A ．2B ．3C ．3 2D ．2 37．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝2，b ＝1，则a B ＝30°．8．(呼伦贝尔中考)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sinC 的值．解：∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9.∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5. ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝13.∴sinC ＝AD AC ＝1213.知识点4 解直角三角形的实际应用9．(金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(D)A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C.4tan θ平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米10．(资阳中考)北京时间2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A 、B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB ＝4米，求该生命迹象所在位置C 的深度．(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，3≈1.7)解：作CD ⊥AB 交AB 延长线于点D ，设CD ＝x 米． Rt △ADC 中，∠DAC ＝25°，所以tan25°＝CDAD ≈0.5，所以AD ＝CD0.5＝2x.在Rt △BDC 中，∠DBC ＝60°，由tan60°＝x2x －4＝3，解得x ≈3. ∴生命迹象所在位置C 的深度约为3米．中档题11．(绵阳中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠C ＝72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为(C)A.5－12B.5－14C.5＋14D.5＋12。

浙教版九年级数学-解直角三角形单元练习题

浙教版九年级数学-解直角三角形单元练习题(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、选择题解直角三角形（）姓名：________１、如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长…………………( )A. 633-B. 43C. 63D. 323-２、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（）(A)32 (B)76 (C)256(D)23、如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为（） A ．9 B ．12 C ．15 D ．184、如图，AB6对对5、如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定ABC △∽ADE △的是（） A ．AE AC AD AB = B ．DEBCAD AB =C ．D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠6、如图，已知ABCD 中，45DBC =∠，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE BF ，相交于H ，BF AD ，的延长线相交于G ，下面结论：①2DB BE =②A BHE =∠∠③AB BH =④BHD BDG △∽△其中正确的结论是（） A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④7、在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠∠∠A B C ,,的对边的长，若sin cos ,cos cos ,A A B C ⋅==0则∆ABC 的形状是：A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形A DB EC8、如图5，在∆ABC 中，∠=B 300，P 为AB 上一点，BP AP =12，PQ ⊥BC 于Q ，连结AQ ，则cos ∠AQC 等于：A 、217B 、233 C 、277D 、23219．（2009丽水市）如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°,AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（）A ．172B ．52C ．24D ．710.如图，在∆ABC 中，∠A=300，E 为AC 上一点，且AE:EC=3:1，EF ⊥AB 于F ，连接FC,则tan CFB ∠=（）A. 136B. 132C. 433D. 13411. 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A.； B.； C.； D. 112．△ABC 中，∠C ＝90°，且a ≠b ，则下列式子中，不能表示△ABC 面积的是( )A ．ab 21B ．B ac sin 21C ．A b tan 212D ．B A c cos sin 212⋅二、填空题13、已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为 14、如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是．15、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为 EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是．16、若A 是锐角，则sin sin 221A A -+＝_________；104cos30sin60(2)(20092008)-︒︒+---=__________．ll 2 l 3ACB17. (2009年金华市) “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于 _____ .18.在∆ABC 中，若23sin 1(cos )02A B -+-=，则∠C=19、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，且BC=4，则△ABC 的面积为 ________ ．20、如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ，且BP=2，那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，cos15°=624+)三、解答题21．（2010年浙江省东阳市）如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4.（1）求证: ABE ∆～ABD ∆；(2) 求tan ADB ∠的值；（3）延长BC 至F ，连接FD ，使BDF ∆的面积等于83，求EDF ∠的度数.22.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD,∠BCD=900，且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2，（1）求证：DC=BC;(2)E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC,DE=BF ，试判断∆ECF 的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=1350时，求sin ∠BFE 的值。

1.3 解直角三角形第1课时解直角三角形练习题 2020——2021学年浙教版九年级数学下册

1.3解直角三角形第1课时解直角三角形【基础练习】知识点已知一边一角或两边解直角三角形,BC=6,则AB的长为()1.在Rt△ABC中,△C=90°,sin A=35A.4B.6C.8D.102.如图1,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=30°,AB=8,则BC的长为()图1A.4√3B.4C.8√3D.4√333.在Rt△ABC中,已知△C=90°,△A=40°,BC=3,则AC等于()A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°4.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,c=10,△A=45°,则a=,b=,△B=°.5.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,a=6,b=2√3,则△B的度数为.6.如图2,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=37°,BC=32,则AC的长约为.(结果保留整数,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)图27.如图3所示,AB是伸缩式的遮阳棚,CD是窗户,要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户,则AB的长度是米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°).图38.如图4,在Rt△ABC 中,△C=90°,a ,b ,c 分别为△A ,△B ,△C 的对边,由下列条件解直角三角形. (1)△A=60°,b=4; (2)a=13,c=√23;(3)c=2√2,△B=30°;(4)a=8,sin B=√22.图49.如图5,在△ABC 中,△ABC=90°,△A=30°,D 是边AB 上一点,△BDC=45°,AD=4,求BC 的长.(结果保留根号)图5【能力提升】10.某简易房的示意图如图6所示,它是一个轴对称图形,则AC的长为()图6A.511sinα米B.511cosα米C.115sinα米D.115cosα米11.等腰三角形的腰长为2√3,底边长为6,则底角等于()A.30°B.45°C.60°D.120°12.[2019·杭州]如图7,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC△OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,△BCO=x,则点A到OC的距离等于()图7A.a sin x+b sin xB.a cos x+b cos xC.a sin x+b cos xD.a cos x+b sin x13.如图8,已知在Rt△ABC中,△ABC=90°,点D沿BC边从点B向点C运动(点D与点B,C不重合),作BE△AD于点E,CF△AD,交AD的延长线于点F,则在点D运动的过程中,BE+CF的值()图8A.不变B.逐渐增大C.逐渐减小D.先增大后减小14.如图9,小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,点B恰好落在AD边上,设此点为F.若AB∶BC=4∶5,则tan△ECB的值为.图915.在学习《解直角三角形》一章时,小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.(1)初步尝试:我们知道:tan60°=,tan30°=,发现结论:tan A2tan A2(填“=”或“≠”).(2)实践探究:如图10△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=2,BC=1,求tan A2的值.小明想构造包含12△A的直角三角形:延长CA至点D,使得DA=AB,连结BD,可得到△D=12△BAC,即转化为求△D的正切值.请按小明的思路进行余下的求解.(3)拓展延伸:如图△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=3,tan A=13.△tan2A=;△求tan3A的值.图10答案1.D2.D3.D4.5√2 5√2 455.30° [解析] ∵tan B=ba ,b=2√3,a=6, ∴tan B=2√36=√33,∴∠B=30°. 6.24 [解析] 因为在Rt △ABC 中,∠C=90°, 所以tan B=ACBC ,即tan37°=AC32, 所以AC=32·tan37°≈32×0.75=24. 7.√38.解:(1)∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°. ∵b=4,cos A=bc,∴4c=12,解得c=8,∴a=√82-42=4√3.(2)∵a=13,c=√23,∴b=√c 2-a 2=13. ∵sin A=a c =13÷√23=√22, ∴∠A=45°,∴∠B=45°. (3)∵∠B=30°,c=2√2,sin B=bc , ∴12=2√2,∠A=60°,∴b=√2,∴a=√c 2-b 2=√(2√2)2-(√2)2=√6. (4)∵sin B=√22,∴∠B=45°, ∴∠A=45°,∴b=a=8, ∴c=√a 2+b 2=8√2.9.解:∵∠ABC=90°,∠BDC=45°, ∴BD=BC.∵∠ABC=90°,∠A=30°, ∴AB=√3BC ,∴AD+BD=√3BC ,即AD+BC=√3BC. 又∵AD=4,∴4+BC=√3BC , 解得BC=2√3+2.10.D [解析] 如图,过点A 作AH ⊥BC 于点H.由题意,得AB=AC ,BC=4+0.2+0.2=4.4(米). ∵AH ⊥BC , ∴BH=CH=2.2米. 在Rt △ABH 中,cos α=BH AB,∴AB=BHcosα=2.2cosα=115cosα(米),即AC=115cosα米. 故选D . 11.A [解析] 如图所示,在△ABC 中,AB=AC=2√3,BC=6,过点A 作AD ⊥BC 于点D , 则BD=12BC=12×6=3.在Rt △ABD 中,cos B=BDAB =2√3=√32,∴∠B=30°.故选A .12.D [解析] 如图,过点A 分别作AE ⊥OC 于点E ,AF ⊥OB 于点F .∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°.∵∠ABC=∠AEC ,∠BCO=x ,∴∠EAB=x,∴∠FBA=x.∵AB=a,AD=b,∴AE=FO=FB+BO=a cos x+b sin x.故选D.13.C[解析] ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴CF∥BE,∴∠DCF=∠DBE.设∠DCF=∠DBE=α,则CF=CD·cosα,BE=DB·cosα,∴BE+CF=(DB+CD)cosα=BC·cosα.∵∠ABC=90°,∴0°<α<90°,当点D从点B向点C运动时,α是逐渐增大的,∴cosα的值是逐渐减小的,∴BE+CF=BC·cosα的值是逐渐减小的.故选C.14.12[解析] 设AB=4k,则BC=5k.在△DFC中,FC=BC=5k,CD=AB=4k,∴DF=3k,∴AF=2k.由折叠的性质可知∠CFE=∠B=90°,∴∠CFD+∠AFE=90°.又∵∠CFD+∠DCF=90°,∴∠AFE=∠DCF.又∵∠D=∠A=90°,∴△DFC∽△AEF,∴DFAE =FCEF,即3kAE=5k4k-AE,解得AE=1.5k,∴BE=2.5k,∴tan∠ECB=2.5k5k =1 2 .15.解:(1)√3√33≠(2)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴AB=√AC 2+BC 2=√5. ∵DA=AB ,∴∠D=∠ABD ,CD=DA+AC=√5+2, ∴∠BAC=2∠D , ∴tan A2=tan D=BCCD =√5+2=√5-2.(3)①34 [解析] 如图ⓐ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结BE ,则AE=BE ,∠A=∠ABE ,∴∠BEC=2∠A. ∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,tan A=13, ∴BC=1,则AB=√AC 2+BC 2=√10. 设AE=x ,则BE=x ,EC=3-x.在Rt △EBC 中,由勾股定理,得BE 2=EC 2+BC 2,即x 2=(3-x )2+1, 解得x=53,即AE=BE=53,∴EC=43,∴tan2A=tan ∠BEC=BC EC=34.故答案为34.②如图ⓑ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结CE ,作BM 交AC 于点M , 使∠MBE=∠ABE ,则∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A. 设EM=y ,则CM=EC -EM=43-y. ∵∠MBE=∠ABE ,∠A=∠ABE ,∴∠A=∠MBE ,∠ABM=2∠A=∠BEC , ∴△ABM ∽△BEM , ∴AB BE =BM EM,即√1053=BM y,∴BM=3√105y. 在Rt △MBC 中,BM 2=CM 2+BC 2, 即3√105y 2=43-y 2+1,整理得117y 2+120y -125=0, 解得y 1=2539,y 2=-53(不合题意,舍去), 即EM=2539,则CM=43-2539=913,∴tan3A=tan ∠BMC=BCCM=1913=139.。

浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》(较易)(含答案解析)

浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（标准难度）（含答案解析）考试范围：第一单元；考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( )A. sinA=√32B. tanA=12C. cosB=√32D. tanB=√32. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F.若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为( )A. 8B. 10C. 12D. 163. 如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tan B=53，则tan∠CAD的值为( )A. √33B. √35C. 13D. 154. 在实数π，13，√2，sin30°中，无理数的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，下列三角函数值错误的是( )A. sinB=35B. cosB=45C. tanB=34D. tanA=436. 如图，CD是平面镜，光线从点A出发，经CD上点E反射后照射到点B.若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为( )A. 113B. 311C. 911D. 1197. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cosA=√32，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD=16，则BC的长为( )A. 6B. 8C. 8√3D. 128. 如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C>sin∠D；②cos∠C>cos∠D；③tan∠C>tan∠D中，正确的结论为( )A. ①②；B. ②③；C. ①②③；D. ①③；9. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为( )A. 95sinα米B. 95cosα米C. 59sinα米D. 59cosα米10. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=√3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )A. √33B. √32C. 1D. √6211. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=α，则点A到OC的距离等于( )A. a⋅sinα+b⋅sinαB. a⋅cosα+b⋅cosαC. a⋅sinα+b⋅cosαD. a⋅cosα+b⋅sinα12. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45∘方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60∘方向，则这段河的宽度为( )A. 80(√3+1)米B. 40(√3+1)米C. (120−40√3)米D. 40(√3−1)米第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．14. 在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sin A=3，则菱形ABCD的周长是．515. 若锐角α满足cosα<√2且tanα<√3，则α的范围是．216. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=3.如果⊙O的半径为√10cm，且经过点B，5C，那么线段AO=cm．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。

九年级数学(下)《解直角三角形》练习题含答案

九年级数学（下）《解直角三角形》练习题1、测得某坡面垂直高度为2m,水平宽度为4m,则坡度为 [ ]2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，b=310，则a= ，c= ；3、已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角∠B= ；4．如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1∶3，BE 为33米，基面AD 宽2米，求路基的高AE ，基底的宽BEC 及坡角B 的度数.（答案可带根号）5．水坝横断面为等腰梯形，尺寸如图，（单位：米）坡度I=DEAE =1，求坡面倾斜角（坡角），并计算修建长1000米的水坝约需要多少土方？ 6．如图，上午9时，一条船从A 处出发，以20节的速度向正北航行，11时到达B 处，从A ，B 望灯塔C ，测得∠NAC ＝36°，∠NBC ＝72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是多少海里？7．如图，王聪同学拿一把∠ACB ＝30°的小型直角三角尺ABC 目测河流在市区河段的宽度．他先在岸边的点A 顺着30°角的邻边AC 的方向确定河对岸岸边的一棵树M ．然后，沿30°角的对边AB 的方向前进到点B ′，顺着斜边C B ''的方向看见M ，并测得B A '＝100 m ，那么他目测的宽大约为多少？(结果精确到 1m)8．海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°．如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？思考·探索·交流1．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心、500 m为半径的圆形区域为居民区．取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东 75°．已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？答案：1、D 2、10，20 3、30°4．解：∵3133 AE∴AE=3（米）BC=（2+63）（米）∠B=30°5. 45°,444000土方6．40 海里．7．河宽约 173 m ．8．渔船没有触礁的危险．思考·探索·交流答案：1．输水路线不会穿过居民区．提示：过点A 作MN 的垂线，垂足为C ，求AC。

精品九年级数学下册解直角三角形同步讲义+练习16页

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10 3 cm,求∠B，AB 及 BC. 3
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16.在△ABC 中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8，则 BC=
． .
4 0 17.在 Rt△ABC 中,∠C=90 ,tanA= ,BC=8,则△ABC 的面积为 3
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18.如图，某山坡的坡面 AB=200 米，坡角∠BAC=30 ，则该山坡的高 BC 的长为______米．
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解直角三角形
第 01 课三角函数的定义
知识点：解直角三角形的概念：在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作 sinA，即 sin A
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例 2.探索 30 、45 、60 角的三角函数值.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例 3.计算： (1)(1)cos60 + sin 45 －tan34 ·tan56
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(2)已知 tanA=2，求
2 sin A cos A 的值. 4 sin A 5 cos A
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13.如图,点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点,△BCE 沿 BE 折叠为△BFE,点 F 落在 AD 上. (1)求证：△ABE∽△DFE; (2)若 sin∠DFE=
1 ,求 tan∠EBC 的值. 3
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第 02 课三角函数综合应用

浙教版九年级数学下册全书各章节同步测验(共75页,附答案)

浙教版九年级数学下册全书各章节同步测验（共75页，附答案）第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数(第1课时)1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是( )第1题图A.34B.43C.35D.452．如图，已知一商场自动扶梯的长l为10m，该自动扶梯到达的高度h为5m，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )A.33B.43C.12D.45第2题图3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )第3题图A．2 B.255C.55D.124．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB＝( )A.512B.125C.513D.12135．如图，若点A的坐标为(1，3)，则sin∠1＝________．第5题图6.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．第6题图7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝1213，则tanB ＝________．8．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是________． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5. (1)求∠A ，∠B 的正弦、余弦值；(2)求∠A ，∠B 的正切的值，你发现了什么？10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝23，求cosA ，tanA 的值．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD⊥AB 于点D ，AC ＝3，BC ＝4，求sin ∠DCB 和sin ∠ACD.第11题图12.如图，直径为10的⊙A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )第12题图A.12B.34C.32D.45 13．如图，直线y ＝12x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且与x 轴的夹角为α，求：第13题图(1)OA ，OB 的长； (2)tan α与sin α的值．14．如图，在△ABC 中，边AC ，BC 上的高BE ，AD 交于点H.若AH ＝3，AE ＝2，求tanC 的值．第14题图15．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)cot30°＝________；(2)如图，已知tanA ＝34，其中∠A 为锐角，试求cotA 的值．第15题图参考答案 1－4.CADC 5.32 6.40 7.125 8.2239.(1)∵∠C＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12，∴sin A ＝513，cos A ＝1213，sin B ＝1213，cos B ＝513； (2)tan A ＝512，tan B ＝125.发现tan A ×tan B ＝1.10. cos A ＝53，tan A ＝255. 11. ∵∠ACB＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DCB ＝∠A，∠ACD ＝∠B，AB ＝AC 2＋BC 2＝5，∴sin ∠DCB ＝sin ∠A ＝BC AB ＝45，sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝AC AB ＝35.12.C13.(1)OA ＝4，OB ＝2； (2)tan α＝tan ∠BAO ＝OB OA ＝12，sin α＝sin ∠BAO ＝OB AB ＝225＝55.14.∵BE⊥AC，∴∠EAH ＋∠AHE＝90°.∵AD ⊥BC ，∴∠HAE ＋∠C＝90°.∴∠AHE ＝∠C.∵在Rt △AHE 中，AH ＝3，AE ＝2，∴HE ＝AH 2－AE 2＝32－22＝ 5.∴tan ∠AHE ＝AEHE＝25＝255.∴tan C ＝255.15. (1) 3 (2)∵tan A ＝BC AC ＝34，∴cot A ＝AC BC ＝43.第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数(第2课时)1．tan30°的值等于( )A.12B.32C.33 D ．－3 2．已知α为锐角，且tan (90°－α)＝3，则α的度数为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 3．若∠A 为锐角，cosA<32，则∠A 的取值范围是( ) A ．30°<∠A<90° B ．0°<∠A<30° C ．0°<∠A<60° D ．60°<∠A<90° 4．在△ABC 中，若sinA ＝cosB ＝22，则下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝60°，则sinA ＋sinB 的值等于________． 6．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC ＝2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为________m.第6题图7.如图，将三角尺的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD∥AB ，那么∠α的余弦值为________．第7题图8.（sin45°－1）2＋|1－tan60°|＝__________． 9．求下列各式的值： (1)2－2sin30°×cos30°； (2)3sin60°－2cos45°＋38； (3)sin30°＋cos 230°×tan45°；(4)（4sin30°－tan60°）（tan60°＋4cos60°）.10．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，AC ＝6，求BC 、AB 的长．第10题图11．若规定sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β，则sin15°＝________． 12．小聪想在一个矩形材料中剪出如图中阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮他计算出BE ，CD 的长度(结果保留根号)．第12题图13．通过书P9课内练习第3题知道：对于任意锐角α，都有tan α＝sin αcos α.运用此结论，解答下题：已知锐角α，且tan α＝3，求sin α＋cos αsin α－cos α的值．14．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：第14题图sin 2A 1＋sin 2B 1＝________；sin 2A 2＋sin 2B 2＝________；sin 2A 3＋sin 2B 3＝________． (1)观察上述等式，猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝________； (2)如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sinA ＝513，求sinB.参考答案1－4.CADC 5.32 6.40 7.125 8.2231.2 锐角三角函数的计算(第1课时)1．如图，用含38°的三角函数值表示AC ，可得AC 为( )第1题图A ．10sin38°B ．10cos38°C ．10tan38°D ．无法确定 2．cos55°和sin36°的大小关系是( )A ．cos55°＞sin36°B ．cos55°＜sin36°C ．cos55°＝sin36°D ．不能确定3．下列各式：①sin20°－cos20°＜0；②2sin20°＝sin40°；③sin10°＋sin20°＝sin30°；④tan20°＝sin20°cos20°.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.如图，梯子跟地面所成的锐角为α，关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系叙述正确的是( )第4题图A．sinα的值越小，梯子越陡B．cosα的值越小，梯子越陡C．tanα的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与α的函数值无关5．如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于__________．(用含40°的三角函数表示)第5题图6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠B＝α，则AB＝________，BC＝________．(结果用含α的三角函数表示)第6题图7.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处．若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE＝________．第7题图8．不用计算器求下列各式的值．(1)sin225°＋cos225°＝________；(2)(sin32°48′23″＋tan47°18′)0＝________；(3)tan39°×tan51 °＝________；(4)tan1°·tan2°·tan3°·tan4°…tan89°＝________．9．如图，某地某时刻太阳光线与水平线的夹角为31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30m，求这幢楼房的高AB(结果精确到1m，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)．第9题图10．如图，沿AC 方向开修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD ＝127°，沿BD 的方向前进，取∠BDE ＝37°，测得BD ＝520m ，并且AC ，BD 和DE 在同一平面内．(1)施工点E 离D 点多远正好能使A ，C ，E 成一条直线？(结果保留整数)(2)在(1)的条件下，若BC ＝80m ，求公路CE 段的长．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第10题图11．已知α为锐角，下列结论：①sin α＋cos α＝1；②如果α＞45°，那么sin α＞cos α；③如果cos α＞12，那么0°＜α＜60°；④（sin α－1）2＝1－sin α，其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，已知AC⊥BC ，CD ⊥AB ，AB ＝c ，∠A ＝α，则AC ＝________，BC ＝________，CD ＝____________(用含c 和α的三角函数表示)．第12题图13．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点O ，连结EF ，OD.(1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝5，∠BCD ＝120°，求tan ∠ADO 的值．第13题图14．如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AM 始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC ，当伞收紧时，动点D 与点M 重合，且点A ，E ，D 在同一条直线上．已知部分伞架的长度如下(单位：cm )：(1)求AM 的长；(2)当∠BAC ＝104°时，求AD 的长(精确到1cm )．备用数据：sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.第14题图参考答案1－4.ABBB 5.a tan 40°米 6.10sin α 10tan α 7. 348.(1)1 (2)1 (3)1 (4)19.∵tan ∠ACB ＝ABBC，∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝30×tan 31°≈18m .10.(1)∵∠ABD＝127°，∠BDE ＝37°，∴∠DEB ＝127°－37°＝90°.在Rt △BDE 中，cos D ＝DEBD ，∴DE ＝BD·cos D ＝520×cos 37°≈520×0.80＝416(m )，即施工点E 离D 点416m 正好能使A ，C ，E 成一条直线； (2)在(1)的条件下可得BE ＝BD·sin D ＝520×sin 37°≈520×0.60＝312(m )，∴CE ＝BE －BC≈312－80＝232(m )． 11.C12.c cos α c sin α c sin αcos α13．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠AEB.∵AE 是角平分线，∴∠DAE ＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.同理AB ＝AF.∴AF＝BE.∴四边形ABEF 是平行四边形. ∵AB＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形；第13题图(2) 作OH⊥AD 于H ，如图所示．∵四边形ABEF 是菱形，∠BCD ＝120°，AB ＝4，∴AB ＝AF ＝4，∠ABC ＝60°，AO ⊥BF ，∴∠ABF ＝∠AFB＝30°，∴AO ＝12AB ＝2，∴OH ＝3，AH ＝1，DH ＝AD －AH＝4，∴tan ∠ADO ＝OH DH ＝34.14.(1)当伞收紧时，动点D 与点M 重合，∴AM ＝AE ＋DE ＝36＋36＝72(cm )； (2)AD ＝2×36cos 52°≈2×36×0.6157≈44(cm )1.2 锐角三角函数的计算(第2课时)1．计算器显示结果为sin －10.9816＝78.9918的意思正确的是( ) A ．计算已知正弦值的对应角度 B ．计算已知余弦值的对应角度 C ．计算一个角的正弦值 D ．计算一个角的余弦值2．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sinA ＝12，cosB ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是( )A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＜∠C ＜∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A 3．若∠A 是锐角，且cosA ＝tan30°，则( ) A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45° C ．45°＜∠A ＜60° D ．60°＜∠A ＜90°4.如图所示是一张简易活动餐桌，测得OA ＝OB ＝30cm ，OC ＝OD ＝50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么两条桌脚的张角∠COD 的度数大小应为( )第4题图A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°5.如图，在矩形ABCD 中，若AD ＝1，AB ＝3，则该矩形的两条对角线所成的锐角是( )第5题图A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．已知sin α·sin45°＝12，则锐角α为________． 7．若θ为三角形的一个锐角，且2sin θ－3＝0，则θ＝________．8．等腰三角形的底边长为20cm ，面积为10033cm 2，则顶角为________度． 9．若用三根长度分别为8，8，6的木条做成一个等腰三角形，则这个等腰三角形的各个角的大小分别为多少？(结果精确到1′，参考数据：cos67°59′≈0.375)10．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝62，∠A ＝45°.求：(1)AB 边上的高；(2)∠B 的正切值．第10题图11．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，tan ∠BCD ＝3，则sinA ＝______．第12题图13．某校为了解决学生停车难的问题，打算新建一个自行车棚．如图，图1是车棚的示意图(尺寸如图所示)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部的截面示意图，弧AB 所在圆的圆心为O ，半径OA 为3m.(1)求∠AOB 的度数(结果精确到1°)；(2)学校准备用某种材料制作车棚顶部，请你算一算：需该种材料多少平方米(不考虑接缝等因素，结果精确到1m 2)?(参考数据：sin53.1°≈0.80，cos53.1°≈0.60，π取3.14)第13题图14．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝13，tan β＝12.求α＋β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2求出α＋β的度数，并说明理由；(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝5，tan β＝23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β.求出α－β的度数，并说明理由．第14题图参考答案1－5.ADCBC 6.45° 7.60° 8.120第9题图9.根据题意可画图如右(AB ＝AC ＝8，BC ＝6)．过点A 作AD⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝3，∴cos B ＝BD BA ＝38，∴∠B ≈67°59′，∴∠C ≈67°59′，∠A ≈44°2′. 10.(1)作CD⊥AB 于点D ，CD ＝AC·sin A ＝62·sin 45°＝6； (2)∵AD＝AC·cos A ＝62·cos 45°＝6，∴BD ＝AB －AD ＝8－6＝2，∴tan B ＝CD BD ＝62＝3. 11.B 12.101013.(1)过点O 作OC⊥AB，垂足为C ，则AC ＝2.4.∵OA＝3，∴sin ∠AOC ＝2.43＝0.8，第13题图∴∠AOC ≈53.1°.∴∠AOB ＝106.2°≈106°； (2)lAB ︵＝106×π180×3≈5.5(m )，∴所需材料面积为5.5×15≈83(m 2)．即需该种材料约83m 2.14.(1)①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB 是等腰直角三角形，∠BAC ＝α＋β＝45°.②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED＝α＋β＝45°. (2)如图3中，∠MOE ＝α，∠NOH ＝β，∠MON ＝α－β，只要证明△MFN≌△NHO 即可解决问题．∠MON＝α－β＝45°.第14题图1.3 解直角三角形(第1课时)1．在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( )A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°2．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是( )A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12ABC ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 3．身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300m ，250m 和200m ，线与地面所成的角度分别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，那么三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．丙的最低4．一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则它的底角的正切值为( )A.310B.512C.125D.12135．在△ABC 为，∠C ＝90°，tanA ＝12，AB ＝10，则△ABC 的面积为________． 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝35，c ＝352，则∠A ＝________，b ＝________．7．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ＝30°，b ＝4，则a ＝________，c ＝________．8．如图所示，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是________米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．第8题图9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长．第9题图10．如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 恰好落在AD 边上，设此点为F.若AB∶BC ＝4∶5，求tan ∠ECB 的值．第10题图11.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，sinB ＝35，AC ＝2cm ，则⊙O 的面积是( )第11题图A.259πcm 2B.1009πcm 2C.925πcm 2D.9100πcm 2 12．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC ＝2m ，CD ＝5.4m ，∠DCF ＝30°，则车位所占的宽度EF 约为多少米？(3≈1.73，结果精确到0.1m )第12题图13．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C ＝45°，sinB ＝13，AD ＝1.(1)求BC 的长；(2)求tan ∠DAE 的值．第13题图14．如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂，使用时，以点A 为支撑点，铅笔芯端点B 可绕点A 旋转作出圆．已知OA ＝OB ＝10cm.(1)当∠AOB ＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01cm )(2)保持∠AOB ＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01cm )(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511)第14题图参考答案1－4.DBBC 5.2 6.45° 35 7.43 3 833 8. 3 9.∵sin A ＝BC AB ＝45，∴BC ＝AB×45＝12.∴AC＝AB 2－BC 2＝9.∴△ABC 周长为36.10.设AB ＝4，则BC ＝5，在△DFC 中，FC ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝4，∴DF ＝3，∴AF ＝2，又可证△DFC∽△AEF，得EF ＝2.5＝BE ，∴tan ∠BCE ＝2.55＝12. 11.A12.∵∠DCF＝30°，CD ＝5.4m ，∴在Rt △CDF 中，DF ＝12CD ＝2.7m .又∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＋∠CDF＝90°.∵∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠ADE ＝∠DCF ＝30°，∴在Rt △AED 中，DE ＝AD×cos ∠ADE ＝2×32＝3(m )，∴EF ＝2.7＋3≈4.4(m )．答：车位所占的宽度EF 约为4.4m .13.(1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°，在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，∴DC ＝AD ＝1，在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝13，AD ＝1，∴AB ＝AD sin B＝3，∴BD ＝AB 2－AD 2＝22，∴BC ＝BD ＋DC ＝22＋1； (2)∵AE 是BC 边上的中线，∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －CD ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12. 14.(1)作OC⊥AB 于点C ，如图1所示，由题意可得，OA ＝OB ＝10cm ，∠OCB ＝90°，∠AOB ＝18°，∴∠BOC ＝9°，∴AB ＝2BC ＝2OB·sin 9°≈2×10×0.1564≈3.13cm ，即所作圆的半径约为3.13cm .第14题图(2)作AD⊥OB 于点D ，作AE ＝AB ，如图2所示，∵保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE ，∵∠AOB ＝18°，OA ＝OB ，∠ODA ＝90°，∴∠OAB ＝81°，∠OAD ＝72°，∴∠BAD ＝9°，∴BE ＝2BD ＝2AB·sin 9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm ，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm .1.3 解直角三角形(第2课时)1．如图，斜坡AB 与水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是( )第1题图A ．斜坡AB 的坡角为α B ．斜坡AB 的坡度为BC ABC ．斜坡AB 的坡度为tan αD ．斜坡AB 的坡度为BC AC2．如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆上两个点(不与A 、B 重合)．连DC 、AC 、DB ，AC 与BD 交于点P.若∠APD ＝α，则CD AB＝( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan α D.1tan α第2题图3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值为( )第3题图 A.43 B.34 C.35 D.454．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i ＝2∶1，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是( )第4题图A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米5．如图，B ，C 是河岸两点，A 是河岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝200米，则点A 到岸边BC 的距离是________米．第5题图6.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)第6题图7．等腰三角形的周长为2＋3，腰长为1，则顶角为________．8．若三角形两边长为6和8，这两边的夹角为60°，则其面积为________．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E, AB＝20，CD＝16.(1)求sin∠OCE与sin∠CAD的值；(2)求弧CD的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin53°≈0.8)第9题图10．如图，有一段斜坡BC长10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD；(2)求斜坡新起点A到原起点B的距离(精确到0.1米，参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)第10题图11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，当AC与BD所夹的锐角为θ时，则四边形ABCD的面积S＝____________．(用含m，n，θ的式子表示)第11题图12．如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3m.已知木箱高BE＝3m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.第12题图13．如图，一棵树AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，小明分别测得坪地、台阶和地面上的三段影长CE＝1m，DE＝2m，BD＝8m，DE与地面的夹角α＝30°.在同一时刻，已知一根1m 长的直立竹竿在地面上的影长恰好为2m，请你帮助小明根据以上数据求出树AB的高．(结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第13题图14．为了缓解停车难的问题，某单位拟建地下停车库，建筑设计师提供的该地下停车库的设计示意图如图所示．按照规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE的长度(精确到0.1m，参考数据：tan18°≈0.3249，cos18°≈0.9511)．第14题图参考答案1－4.BBDA 5.100 6.280 7.120°8.12 39.(1)sin ∠OCE ＝0.6，sin ∠CAD ＝sin ∠COE ＝0.8； (2)弧CD 的长＝106×3.14×10180≈18.5cm . 10.(1)在Rt △BCD 中，CD ＝BC sin 12°≈10×0.21＝2.1(米)．答：坡高2.1米； (2)在Rt△BCD 中，BD ＝BC cos 12°≈10×0.98＝9.8(米)．在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan 5°≈2.10.09≈23.33(米)，∴AB ＝AD －BD≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)．答：斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．11.12mn sin θ第12题图12.设EF 与AB 交点为G ，在Rt △BEG 中，∵∠EGB ＝∠AGF＝60°，∴EG ＝BE sin 60°＝2，GB ＝12EG ＝1，在Rt △AGF 中，GF ＝AG·sin 30°＝2×12＝1，∴EF ＝EG ＋GF ＝2＋1＝3(m )． 13.如图，延长CE 交AB 于F ，∵α＝30°，DE ＝2m ，BD ＝8m ，∴EF ＝BD ＋DE cos 30°＝8＋2×32＝(8＋3)m ，点E 到底面的距离＝DE sin 30°＝2×12＝1m ，即BF ＝1m ，∴CF ＝EF ＋CE ＝8＋3＋1＝(9＋3)m ，根据同时同地物高与影长成正比得，AF CF ＝12，∴AF ＝12CF ＝12(9＋3)＝12×10.73≈5.4m ，∴树AB 的高为5.4＋1＝6.4m .第13题图14．∵∠BAD＝∠AFG＝18°，∴在Rt △ABD 中，BD AB＝tan 18°，∴BD ＝AB·tan 18°＝9×tan 18°≈2.9(m )．∵BC ＝0.5m ，∴CD ＝2.9－0.5＝2.4(m )．在Rt △CED 中，∠DCE ＝18°，∴CE CD ＝cos 18°.∴CE ＝CD·cos 18°＝2.4×cos 18°≈2.3(m )．答：CE 长约为2.3m .1.3 解直角三角形(第3课时)1．如图，某飞机在空中A 点处测得飞行高度h ＝1000m ，从飞机上看到地面指挥站B 的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC 为( )A ．500mB ．2000mC ．1000mD ．10003m第1题图2.如图，王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地( )第2题图 A ．503m B ．100m C ．150m D ．1003m3．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( ) A ．144cm B ．180cm C ．240cm D ．360cm4.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为( )第4题图A ．4kmB ．23kmC ．22kmD ．(3＋1)km5.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图所示)，由此可知，B ，C 两地相距________m.第5题图6．如图，在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝______米(结果可保留根号)．第6题图7．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．第7题图8．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.(1)求∠BCD的度数；(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)第8题图9.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)( )第9题图A.hsinαB.hcosαC.htanαD．h·cosα10．如图所示，两条宽度都为2cm的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为________．第10题图11．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．第11题图C组综合运用12．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5km处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10km处是村庄N.(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)(1)求M，N两村之间的距离；(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离．第12题图参考答案1－4.DDBC 5.200 6.(73＋21)7.如图，作AD⊥BC，垂足为D ，第7题图由题意得，∠ACD ＝45°，∠ABD ＝30°.设CD ＝x ，在Rt △ACD 中，可得AD ＝x ，在Rt △ABD 中，可得BD ＝3x ，又∵BC＝20(1＋3)，CD ＋BD ＝BC ，即x ＋3x ＝20(1＋3)，解得：x ＝20，∴AC ＝2x ＝202(海里)．答：A 、C 之间的距离为202海里．第8题图8.(1)过点C 作CE⊥BD，则有∠DCE＝18°，∠BCE ＝20°，∴∠BCD ＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°； (2)由题意得：CE ＝AB ＝30m ，在Rt △CBE 中，BE ＝CE·tan 20°≈10.80m ，在Rt △CDE 中，DE ＝CE·tan 18°≈9.60m ，∴教学楼的高BD ＝BE ＋DE ＝10.80＋9.60≈20.4m ，则教学楼的高约为20.4m .9.B10.4sin αcm 211.(1)在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE ＝12DC ＝2米； (2)过D 作DF⊥AB，交AB 于点F ，∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠DBF ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝(x ＋2)米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，第11题图∴BC ＝AB cos 30°＝x ＋232＝2x ＋43＝3（2x ＋4）3米，BD ＝2BF ＝2x 米，DC ＝4米，∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：2x 2＝（2x ＋4）23＋16，解得：x ＝4＋43(负值舍去)，则AB ＝(6＋43)米．12．(1)过点M 作CD∥AB，过点N 作NE⊥AB 于点E ，如图．第12题图在Rt △ACM 中，∠CAM ＝36.5°，AM ＝5km ，∵sin 36.5°＝CM 5≈0.6，∴CM ＝3(km )，AC ＝AM 2－CM 2＝4(km )．在Rt △ANE 中，∠NAE ＝90°－53.5°＝36.5°，AN ＝10km ，∵sin 36.5°＝NE 10≈0.6，∴NE ＝6(km )，AE ＝AN 2－NE 2＝8(km )，∴MD ＝CD －CM ＝AE －CM ＝5(km )，ND ＝NE －DE ＝NE －AC ＝2(km )，在Rt △MND 中，MN ＝MD 2＋ND 2＝29(km )； (2)作点N 关于AB 的对称点G ，连结MG 交AB 于点P ，点P 即为站点，此时PM ＋PN ＝PM ＋PG ＝MG ，在Rt △MDG 中，MG ＝52＋102＝125＝55(km )．答：最短距离为55km .第2章直线与圆的位置关系1．如果一个圆的半径是8cm ，圆心到一条直线的距离也是8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定2．已知⊙O 的半径为3，直线l 上有一点P 满足PO ＝3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交3．已知点P (3，4)，以点P 为圆心，r 为半径的圆P 与坐标轴有四个交点，则r 的取值范围是( )A ．r ＞4B ．r ＞4且r≠5C ．r ＞3D ．r ＞3且r≠54．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB的取值范围是( )第4题图A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．8＜AB≤10 D．8＜AB＜105．已知圆的直径为10cm，若圆心到三条直线的距离分别为：①4cm；②5cm；③10cm，则这三条直线和圆的位置关系分别是①________；②________；③________．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以点C为圆心、6cm长为半径作圆，则圆与直线AB的位置关系是________．7．如图，已知∠AOB＝30°，C是射线OB上的一点，且OC＝4.若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是____________．第7题图8．在△ABO中，若OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相切；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相交；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相离．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8cm，AC＝4cm.(1)以点C为圆心作圆，半径为多少时，AB与⊙C相切？(2)以点C为圆心，分别作半径为2cm和4cm的圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？第9题图10．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切．求证：CD与小圆也相切．第10题图11．已知等边三角形ABC 的边长为23m.下列图形中，以A 为圆心，半径是3cm 的圆是( )11．如图，P 为正比例函数y ＝32x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y )．第12题图(1)当⊙P 与直线x ＝2相切时，则点P 的坐标为______________________；(2)当⊙P 与直线x ＝2相交时x 的取值范围为____________．13．在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝m ，∠D ＝60°，以AB 为直径作⊙O.(1)求圆心O 到CD 的距离(用含m 的代数式表示)；(2)当m 取何值时，CD 与⊙O 相切？第13题图14．如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 方向为南偏东75°，已知MB ＝400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？第14题图参考答案1－4.BDBC 5. ①相交 ②相切 ③相离 6.相交 7.2＜r≤48.∠AOB＝120° 120°＜∠AOB＜180° 0°＜∠AOB＜120°9.(1)作CD⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC·sin 60°＝23cm ，所以当半径r 为23cm 时，AB 与⊙C 相切； (2)r ＝2＜CD 时，⊙C 与AB 相离，r ＝4＞CD 时，⊙C 与AB 相交．10.证明：过点O 分别作AB ，CD 的垂线段OE ，OF.设小圆的半径为r.∵AB 与小圆相切，∴OE ＝r ，∵AB ＝CD ，且AB ，CD 为大圆的弦，∴OE ＝OF ，∴OF ＝r ，∴CD 与小圆也相切． 11.B12．(1)⎝⎛⎭⎪⎫5，152或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 (2)－1＜x ＜5 13．(1)作AH⊥CD 于点H.因为∠D ＝60°，则∠DAH＝30°，DH ＝AD 2＝m 2，所以AH ＝AD 2－DH 2＝m 2－（m 2）2＝32m ，即圆心O 到CD 的距离为32m ； (2)当32m ＝5，即m ＝1033时，CD 与⊙O 相切.第14题图14．作AC⊥MN 于点C ，∵∠AMC ＝60°－30°＝30°，∠ABC ＝75°－30°＝45°，∴设AC为x m ，则AC ＝BC ＝x ，在Rt △ACM 中，MC ＝400＋x ，∴tan ∠AMC ＝AC MC ，即13＝x 400＋x，解得x ＝200＋2003＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．第2章直线与圆的位置关系2．1 直线与圆的位置关系(第2课时)1．下列命题错误的是( )A．垂直于半径的直线是圆的切线B．如果圆心到一条直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线C．如果一条直线与圆只有唯一一个公共点，那么这条直线是圆的切线D．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线2．如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是( )A．OA2＋PA2＝OP2 B．PA⊥OAC．∠P＝30°，∠O＝60° D．OP＝2OA第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，根据下列条件，不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )第3题图A．AB＝2，AT＝1.5，BT＝2.5 B．∠B＝45°，AB＝ATC．∠B＝36°，∠TAC＝36°D．∠ATC＝∠B4．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA＝2AP.甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：第4题图(甲)以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；(乙)作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A．两人皆正确 B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确5．如图，点Q在⊙O上，若OQ＝3cm，OP＝5cm，PQ＝4cm，则直线PQ与⊙O________(填“相交”、“相切”或“相离”)．第5题图6．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________．第6题图7.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为________．第7题图8.如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD＝120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC＝BC；②AC＝OC；③AB＝BD中，能使命题成立的有________(只要填序号即可)．第8题图9.如图，已知点A在⊙O上，根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？请说明理由．第9题图(1)OA ＝6，AB ＝8，OB ＝10； (2)tanB ＝34.10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB ＝∠ABC.(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线． (2)若CD ＝23，OP ＝1，求线段BF 的长．第10题图11．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )A ．与x 轴相离，与y 轴相切B ．与x 轴，y 轴都相离C ．与x 轴相切，与y 轴相离D ．与x 轴，y 轴都相切12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，以点A 为圆心，以3cm 为半径作⊙A ，当AB ＝________cm 时，BC 与⊙A 相切．第12题图13．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC ＝CP ＝2，弦AB⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连结PB.(1)求BC 的长；(2)求证：PB 是⊙O 的切线．第13题图14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，连结OC ，弦AD∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线； (2)若DE ＝2BC ，求AD∶OC 的值．第14题图参考答案1－4.ADDB 5.相切 6.AB⊥BC(不唯一) 7.相切 8.①②③9.(1)能判定；∵OA 2＋AB 2＝BO 2，∴∠BAO ＝90°.即AB⊥AO，∴AB 是⊙O 的切线； (2)不能判定；△ABO 中，tan B ＝34，无法证明∠BAO＝90°，所以不能判定．10.(1)证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC ＝∠ADC，∴∠AFB ＝∠ADC，∴CD ∥BF ，∴∠APD ＝∠ABF，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∴直线BF 是⊙O 的切线；第10题图(2)连结OD ，∵CD ⊥AB ，∴PD ＝CP ＝3，∵OP ＝1，∴OD ＝2，∵∠PAD ＝∠BAF，∠APD ＝∠ABF，∴△APD ∽△ABF ，∴AP AB ＝PD BF ，∴34＝3BF ，∴BF ＝433.11．A 12.613.(1)连结OB ，∵弦AB⊥OC，劣弧AB 的度数为120°，∴∠COB ＝60°，又∵OC＝OB.∴△OBC 是正三角形，∴BC ＝OC ＝2； (2)证明：∵BC＝OC ＝CP ，∴∠CBP ＝∠CPB，∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC ＝∠OCB＝60°.∴∠CBP ＝30°，∴∠OBP ＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB ⊥BP ，∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线．14．(1)证明：连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO ＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO，∴∠COD ＝∠COB.在△COD 和△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠COD ＝∠COB，OD ＝OB ，∴△COD ≌△COB(SAS)，∴∠CDO ＝∠CBO＝90°.又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线； (2)∵△COD≌△COB，∴CD ＝CB.∵DE＝2BC ，∴ED ＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA ∽△ECO.∴AD OC ＝DE CE ＝23.2.1 直线与圆的位置关系(第3课时)1．下列说法中，正确的是( )A．圆的切线垂直于经过切点的半径B．垂直于切线的直线必经过切点C．垂直于切线的直线必经过圆心D．垂直于半径的直线是圆的切线2．如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm.则⊙O的半径为( )A．45cm B．25cm C．213cm D.13cm第2题图3.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )第3题图A．20° B．25° C．40° D．50°4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )第4题图A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)5．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝________．第5题图6．如图，AB 是⊙O 的切线，半径OA ＝2，OB 交⊙O 于点C ，∠B ＝30°，则AC ︵的长是________(结果保留π)．第6题图7.如图，两个同心圆，大圆的弦AB 切小圆于点C ，且AB ＝10，则图中阴影部分面积为________．第7题图8.如图，已知⊙P 的半径是1，圆心P 在抛物线y ＝x 2－2x ＋1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______________．第8题图9．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠CAD. (1)求∠D 的度数； (2)若CD ＝2，求BD 的长．第9题图10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F.。

1.3 解直角三角形(1)(课时1)课件(浙教版九年级下册)

∠B= 90°- 50 °= 40 °
A
a sinA= AB
∴a=ABsinA=3sin50 ° ≈２．３
Zx.xk
3 b C
b ∵cosA= AB
B
a
∴b＝ABcosA=3cos50 ° ≈1.9
a
β
h
a
l
例２：如图是“平改坡‘工程中一种坡屋顶的设计图．已知原平屋顶的宽度l 为１０m,坡屋顶的高度h为３．５ m，求斜面钢条 a 的长度和坡角a （长度精确到０．１ m ，角度精确１ °）
sin A tan A cos A
算一算
你能求出下列图形中∠A的三个三角函数吗?
B 5cm C 13cm A
讨论
你能求出图形中∠A, ∠B的度数及AC的长吗？
在一个直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些的边、角的过程，叫做解直角三角形。
例1 解:
如图. ∠C=90°, ∠A=50 °, AB=3, 求∠B和a,b的值(边长保留２个有效数字）
解直角三角形
知识回顾 1.在直角三角形中，三边之间具有怎样的关系？在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即:a2+b2=c2
知识回顾
2.直角三角形的两个锐角之间有什么关系?
直角三角形的两个锐角互余。
即:∠A+∠B=90°
B
∠ A的正弦、想一想余弦、正切、余切是怎样定义的？
a sinA= c
c
a b C
A b cosA= c
tanA=
a
b
脑中有“图”，心中有 “式”
知识回顾
3.直角三角形边与角之间的关系.

九年级数学解直角三角形同步练习题(含答案)

九年级数学解直角三角形同步练习题（含答案）一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.若角α的余角是30∘，则cosα的值是()A. 12B. √32C. √22D. √332.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=35，则cosB的值是()A. 45B. 35C. 34D. 433.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 44.已知a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a：b：c=1：√2：√3，则cos B的值为()A. √63B. √33C. √22D. √245.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定6.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是()A. tan55°=B. tan55°=C. sin55°=D. cos55°=7.如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物C的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则∠ACB的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 65°8.在Rt△ABC中，已知∠C=90∘.若AC=2BC，则sin∠A的值是()A. 12B. 2 C. √55D. √529.△ABC中，∠C=90°，若∠A=2∠B，则cosB等于()A. √3B. √33C. √32D. 1210.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=2√3，∠B=30°，S△ABC=10√3，则tanC的值为()A. 13B. 12C. √33D. √3211.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，cosA=1213，则tanA等于()A. 513B. 1312C. 125D. 51212.如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为()A. 12B. √22C. 1D. √213.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米14.如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()A. 13B. √1010C. 12D. √2215.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值()A. 不变B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的3倍D. 扩大为原来的9倍二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）16.计算：√27+(13)−2−3tan60°+(π−√2)0=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，在A的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A沿着北偏东55°方向巡逻，到达C时接到命令，立刻从C沿南偏东60°方向以20海里/小时的速度航行，从C到B航行了3小时．求A，B间的距离(结果保留整数).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73)四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数)．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．19.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．(1)求点B的坐标；(2)求tan∠BAO的值．)−1+√18−6sin45°．20.计算：(1221.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(√3取1.7)．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=3．5(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC的值．1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】解：因为角α的余角是30∘，所以α=90°−30°=60°，则．故选A．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=，故选：B．3.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cosA=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．4.【答案】B【解析】解：∵，∴△ABC为直角三角形．cosB==．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，∴ACAB =AC5=45，∴AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∵r=3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．6.【答案】B【解析】【解析】解：∵在Rt△ADE中，DE=6，AE=AB−BE=AB−CD=x−1，∠ADE=55°，∴sin55°=，cos55°=，tan55°=，故选：B．7.【答案】B【解析】【解析】解：根据题意可知：∠ACD=65°，∠BCD=35°，∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=30°．故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数的求法，属于基础题．可先求出斜边AB，然后根据正弦的定义求出角A的正弦即可．【答案】解：∵AC=2BC，由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=√(2BC)2+BC2=√5BC，∴sin∠A=BCAB =√5=√55，故选C．9.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=2∠B，∴∠B=30°，∴cosB=cos30°=√32，故选：C．根据直角三角形的性质求出∠B，根据30°的余弦值是√32解答．本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵在△ABD中，∠ADB=90°，AD=2√3，∠B=30°，∴BD=ADtanB =√3√33=6．∵S△ABC=12BC⋅AD=10√3，∴12BC⋅2√3=10√3，∴BC=10，∴CD=BC−BD=10−6=4，∴tanC=ADCD =2√34=√32．故选：D．首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC=10√3，求出BC，那么CD=BC−BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tanC的值．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长．【解析】解：∵cosA=ACAB =1213，AC=12，∴AB=13，BC=√AB2−AC2=5，∴tanA=BCAC =512．故选：D．根据cosA=1213求出第三边长的表达式，求出tanA即可．本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．12.【答案】B【解析】解：连接BC，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB=√5，BC=√5，AC=√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠BAC=ABAC =√5√10=√22，故选：B．根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出△ABC 的形状，利用锐角三角函数解答．13.【答案】A【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米)故选：A．在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【解析】【分析】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，则tan∠ACB=AHHC =26=13．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质解答．【解答】解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．16.【答案】10【解析】解：原式=3√3+9−3√3+1=10．故答案为：10．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知：∠ACD=55°，∠BCD=60°，BC=20×3=60(海里)，BC=30(海里)，BD=30√3(海里)，在Rt△BCD中，CD=12在Rt△ADC中，AD=CD⋅tan55°=30×1.43≈42.90(海里)，∴AB=AD+BD=42.90+30√3≈95(海里)．答：A，B间的距离为95海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据三角函数分别求出CD、BD、AD的长，进而可求出A、B间的距离．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．18.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB=45°，∴AD=CD，设AB=x，在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin58°≈0.85x，BD=AB⋅cos58°≈0.53x，又∵BC=221，即CD+BD=221，∴0.85x+0.53x=221，解得，x≈160，答：AB的长约为160m．【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．19.【答案】解：(1)如图，过点B作BH⊥OA于点H，∵OB=5，sin∠BOA=，∴BH=3，OH=4，∴点B的坐标为(4,3)，(2)∵OA=10，∴AH=OA−OH=10−4=6，∴在Rt△AHB中，tan∠BAO===．【解析】解答案20.【答案】解：(12)−1+√18−6sin45°=2+3√2−6×√2 2=2+3√2−3√2=2．【解析】首先计算负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.【答案】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形．∴CE=AB=12m．在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE，CE∴BE=CE⋅cot30°=12×√3=12√3．在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=12√3．∴CD=CE+DE=12(√3+1)≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6，cosA=3，5∴AD=AE=10，cosA∴DE=√AD2−AE2=√102−62=8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD=DE=8；(2)由(1)AD=10，DC=8，∴AC=AD+DC=18，在△ADE与△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，即8BC=618,BC=24，∴tan∠DBC=CDBC =824=13．【解析】(1)在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义求出AD，利用勾股定理求出DE，再由角平分线的性质可得DC=DE=8；(2)由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18.由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=13．本题考查了解直角三角形，角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，求出DE是解第(1)小题的关键；求出BC是解第(2)小题的关键．。

精品九年级数学下册解直角三角形定义同步讲义+练习8页

）
7.在△ABC 中,∠A=30º,tan B=
1 ，BC= 10 ,则 AB 的长为 3
； 9.锐角 A 满足 2 sin( A 15 0 ) 3 ,则∠A=
8.计算： 8 4sin 45 (3 )0 4 = 10.已知 tanB= 3 ，则 sin 12.已知 cos 14.计算：（1) sin 30 0 sin 60 0 2 cos 45 0 2
例 4.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=900, sin B
5 ,D 在 BC 边上,且∠ADC=450,AC=5.求∠BAD 的正切值. 13
例 5.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=135°求 tanB 的值.
课堂练习： 1.填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
1 ，AC=6，则 BC 的长为（） 3 A.6 B.5 C.4 D.2 0 3.在 Rt△ABC 中，∠C=90 ，AC=4，BC=3，cosB 的值为（） 1 3 4 3 A. B. C. D. 5 5 5 4 0 4.在△ABC 中，∠C=90 ，tanA=1，则 sinB 的值是（）
0Leabharlann 10 3 cm,求∠B，AB 及 BC. 3
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九年级数学下册同步讲义
16.在△ABC 中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8，则 BC=
． .
4 0 17.在 Rt△ABC 中,∠C=90 ,tanA= ,BC=8,则△ABC 的面积为 3
0
18.如图，某山坡的坡面 AB=200 米，坡角∠BAC=30 ，则该山坡的高 BC 的长为______米．
4 ，AB=15，求 tanA 和△ABC 的周长． 5

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1.3 解直角三角形同步练习
◆基础训练
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=2，则a=______，b=_______．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，则b=______，c=_______．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，b=6，则c=_______，tanA=______．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，c=2，b=1，则a=_______，∠B=______．5．菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（）
A．sinα=4
5
B．cosα=
3
5
C．tanα=
4
3
D．sinα=
3
5
6．如图，钓鱼竿AC长6米，露出水面的鱼线BC长者想看看鱼钓
B′C′长上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露出水面的鱼线
米，则鱼竿转过的角度是（）
A．60°B．45°C．15°D．90°
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=
2
，AC=4，求∠A，∠B和BC．
◆提高训练
9．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠B=30°，•对角线CA⊥AB，求AD和BC的长度．
10．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，∠BAC 的平分线AD=163
B •的度数及B
C ，AB 的长
度．
11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠BAC=60°，∠ADC=135°，•求梯形的面积．
12．如图，红星中学数学课外小组在测量学校国旗旗杆的高度时，在地面上选择点D 处放置测角仪，测角仪的高CD 为1．5米，利用测角仪测得旗杆顶端A •点的仰角为30°，点D 到旗杆底端B 点的距离为15米，求旗杆的高度．
◆拓展训练
13．已知在△ABC 中，AB=AC ，BC=8cm ，tanB=
3
4
，一动点P •在底边上从点B •向点C •以0.25cm/s 的速度移动，当PA 与腰垂直时，P 点运动了_______s ． 14．如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
2+1=2 S 1=
2
2+1=3 S 2=
2
2+1=4 S 3= … …
（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；
（3）求出S 12+S 22+…+S 102的值．
答案:
1．1 2．8 3．10，
4
3
430° 5．D 6．C
7．A=30°，∠B=60° 8．∠A=30°，∠B=60°，BC=43
9．AD=9，BC=36 10．∠B=30°，AB=16 11．72
12．（
3
2
13．7或25
14．（1）2
105511,(2)(3)
4
n n S OA +=+=
=。