平面2R欠驱动机器人的轨迹规划与控制

θ·i
=
k
dθi ds
θ¨i
=
k
d2θi ds2
i
=
1 ,2 , …, n
(5)
将式 (5) 代入式 (2) 并进行整理得
d2θp ds2
=-
Mpp (θ) - 1 [ Mpa (θ)
d2θa ds2
+
hp (θ+
dθi ) ds
]
(6)
容易验证 ,对被动关节仍然有式 (5) 成立 , 式
(6) 中不显含 t 和 k ,只是关于 s 的函数 。整个轨迹
的规划可以分为三个部分 ,如图 2 、图 3 所示 。第一
阶段是由主动关节先转动一角度到达θam , 使得被 动关节获得一定的速度 , 并具有角度θpA ; 第二阶
段是由主动关节从期望状态出发结合式 (6) 进行
反规划 , 使被动关节到达θpB 位置 , 如图 3 所示 ,
且有
kA / kB
θ θ =
同理可以进行第二阶段的规划 , 为保证轨迹 的平滑性 ,要求函数 f ( t) 至少具有连续的二阶偏 导数 ,函数类型可以选择为样条函数或三角函数 。
3 反馈控制
Baidu Nhomakorabea
非完整系统满足 Brockett 条件即不存在光滑
的状态反馈控制律使得系统镇定在平衡点上 ,因此 我们可以从两个方面来克服 Brockett 条件的限制 , 其中 ,一条解决途径是采用非连续反馈控制律使系 收敛至平衡点[10] , 另一条解决途径是采用周期时 变反馈控制律使系统渐近镇定 。滑模变结构控制是
2 轨迹规划
轨迹规划是一个开环控制问题 , 目标是寻找
控制输入将系统从指定的初始状态移动至指定的
终端状态 。与完整系统的轨迹规划问题相比 ,非完
整系统的轨迹规划问题更为困难 , 对于一个完整
系统 ,广义坐标及其速度都是独立的 ,系统在广义
坐标空间内可沿任意方向运动 , 而对于一个非完
整系统 ,广义坐标向量及其导数并非是独立的 ,所
=1
和θ·kB pB
=1
为未经时间缩放前的关节角速度值 ,θa0 和θp0 为
初始关节角度 , θam 和θpm 为主动关节和被动关节
·2900 ·
图 2 主动关节相轨迹[9 ]
图 3 被动关节相轨迹[9 ]
式 (4) 是时间 t 的函数 (0 ≤ t ≤1/ k) ,令 s =
kt (0 ≤s ≤1) ,则有
输入控制方法 ,这种方法在分析系统动态特性时 是很有效的 ,但是由于建立系统的均系统模型很 复杂 ,因此实际应用受到很大限制 。Scherm 等[8] 基于非线性运动规划技术提出了一种数字控制方 法 ,这种方法只对少自由度简单欠驱动机械臂比 较有效 。目前很多研究人员都是针对含有制动器 的情况进行研究的 ,因此研究被动关节为完全自 由状态的欠驱动机器人的动力学行为运动规划和 控制技术是有必要的 。
0 引言
含有自由关节的欠驱动机器人越来越成为人 们研究的热点[1 ,2] ,这种机器人由于省略了一些 驱动装置并且能够完成全驱动的任务 ,减轻了质 量的同时又节省了能源 ,使得在实际生产应用中 更具有优越性 。
欠驱动系统是本质非线性系统 ,满足 Brock2 et t [2] 条件 ,即不存在光滑的状态反馈控制律使系 统稳定在平衡点上 ,因此欠驱动系统的控制问题 要比一般的非线性问题更加复杂和困难 ,必须寻 找新的工具和方法 。Oriolo 等[3] 论证了含有自由 关节的动力学约束一般情况下是不可积的 ,因此 为二阶非完整系统 。Nakamura 等[4] 通过对输入 谐函数的幅值不断调整 ,最终实现了平面 2R 机 器人 末 端 关 节 自 由 时 的 关 节 位 置 控 制 。Arai 等[5] 讨论了含有制动器时欠驱动系统的位置控 制 。de L uca 等[6] 运用幂零的方法实现了平面 2 R 欠驱动机器人的位置控制 。Ho ng[7] 基于欠驱动 机械臂的平均系统非线性模型 ,提出了一种振动
一种特殊的非线性控制 ,其非线性表现为控制的不
连续性 , 即一种使系统结构随时间变化的开关特
性 ,该控制特性可以迫使系统沿着规定的状态轨迹
作小幅度的上下振动 ,最终到达期望状态[11213] 。
选取
u
=
¨ q1
为控制量
,
将式
(2)
写成仿射非
线性系统的一般形式 :
·
x = f ( x) + g ( x) u
以并非所有的瞬时运动都是可能的 , 仅有那些满
足非完整约束的瞬时运动才是可能的 。
本文采用时间尺度方法[9] 进行双向轨迹规
划 ,其基本思想是通过引入两个时间缩放因子 ,并
分别从初始和终态之间进行双向规划 , 通过主动
关节的两次旋转使得主动和被动关节都达到期望
位置
, 原理图如图
2
、图
3
所示
, 其中
θ , ·kA pA
度 ; I1 、I2 分别为两杆绕关节的转动惯量 ; lc2 为第二杆的
质心位置 。
惯性矩阵 M 中含有广义坐标 q2 ,一般情况下 有 lc2 ≠0 ,不满足非完整系统的可积性条件[4 ] ,故 为二阶非完整系统 。式 (2) 中的驱动力矩为零的 等式即为系统的动力学约束方程 , 至此动力学方 程建立完毕 。
收稿日期 :2006 —08 —02 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (50575002) ;北京市自然 科学基金资助项目 (3062004) ; 北京市教委人才强教计划拔尖 人才项 目 ( P HR ( IHLB ) ) ; 北 京 市 教 委 科 技 发 展 计 划 项 目 ( KM200610005003)
(9)
其中状态向量 :
x = [ x1
x2
x3
x4 ] T = [ q1
q2
·
q1
·
q2
]T
漂移向量 f ( x) 和输入向量 g ( x) 分别为
f ( x) = [ f 1
f2
f3
f 4 ] T = [ q1
q2
·
q1
·
q2
]T
g ( x) = [ g1
g2
g3
g4 ] T = [ 0
0
1
-
M
-1 22
通过 Newto n - Euler 法或 Lagrange 方程 ,可以
得到系统动力学方程基本形式 :
M
(
q)
¨ q+
h( q , ·q)
+ G( q)
=τ
(1)
式中 , M 为惯性矩阵 ; h 为哥氏力和离心力矩阵 ; G 为重力 矩阵 ;τ为关节驱动力矩阵 。
将主动关节和被动关节进行分离可以得到如
Maa = I1 + I2 + 2 m2 l1 lc2 co s q2 + m2 l21
Map = Mpa = I2 + m2 l1 lc2 co s q2
Mpp = I2
(3)
ha
=-
m2
l1
lc2
(2
·
q1
·
q2
+
q·22 ) sin q2
hp
=
m2
l1
lc2
q21
sin
·
q2
式中 , m1 、m2 分别为两杆的质量 ; l1 、l2 分别为两杆的长
M21
]T
选取切换函数 :
s
=
(d dt
+λ) e
=
·
e
+
λe
(4)
式中 , k 为时间缩放因子 。
图 1 二自由度平面欠驱动机器人
下具体形式 :
Maa Map
¨ qa
ha
τa
+
=
(2)
Mpa Mpp
¨ qp
hp
τp
式中 ,¨qa 、¨qp 分别为主动关节和被动关节角加速度 ;τa 为主
动关节驱动力矩 ;τp 为被动关节驱动力矩 ,且有τp = 0 。
末端无集中质量时各参数具体形式如下 :
实是可行的 。在进行规划时 ,主动关节第一阶段的
运动规律可以选择为如下形式 :
θa1 =
q10
t < t0
q10 + f ( t) ( qam - q10 ) t0 ≤ t ≤ t1
(8)
平面 2R 欠驱动机器人的轨迹规划与控制 ———刘庆波 余跃庆
式中 , t0 为初始时间; t1 为第一阶段终止时间; qam 为主动关节 的中间值 ,且 qam 可以通过全局时间寻优方法来求得。
平面 2R 欠驱动机器人的轨迹规划与控制 ———刘庆波 余跃庆
平面 2R 欠驱动机器人的轨迹规划与控制
刘庆波 余跃庆
北京工业大学 ,北京 ,100022
摘要 :以含有一个主动关节的平面 2R 欠驱动机器人为研究对象 ,对此类欠驱动系统的轨迹规划问 题进行了研究 。首先建立了系统的动力学模型 ,采用时间尺度方法实现了主动和被动关节点到点的轨 迹规划 ,然后引入滑模控制方法进行反馈控制 ,使被控系统收敛到给定的规划曲面上 ,克服了非完整系 统不存在光滑状态反馈控制律使系统镇定的缺点 。数值仿真结果验证了方法的有效性 ,为欠驱动系统 的轨迹规划与控制提供了一种有效的途径 。
Beijing U niversit y of Technology ,Beijing ,100022 Abstract : This paper focused o n t he no nholo no mic t rajectory planning of underact uated 2R planar ro bot wit h o ne act uator . Fir st t he dynamics model was built , t he time - scaling met hod was used to realize t he point - to - point t rajecto ry planning for bot h active and passive joint s. Then t he sliding mo de co nt rol ( SMC) met hod which co nverged t he underact uated system to t he planned manifold was int roduced to achieve t he feedback co nt rol. The SMC can overco me t he shortco ming of no nholo no mic systems t hat t he smoot h state feedback to an equilibrium point is impo ssible. Numerical simulatio n result s illuminate t he effectiveness of t he p ropo sed met hod. The p ropo sed met hod p rovides an effective way fo r t he t rajectory planning and co nt rol of underact uated systems. Key words : underact uated ;t rajectory planning ; no nholo no mic system ; sliding mode co nt rol
关键词 :欠驱动 ;轨迹规划 ;非完整系统 ;滑模控制 中图分类号 : TP24 文章编号 :1004 —132X(2007) 24 —2899 —04
Trajectory Planning and Control of an Underactuated 2 R Planar Robot Liu Qingbo Yu Yueqing
·2899 ·
中国机械工程第 18 卷第 24 期 2007 年 12 月下半月
中间角度值 ,θad 和θpd 为主动关节和被动关节期望
角度值 , A 表示第一阶段 , B 表示第二阶段 , ts 表示
时间尺度缩放 , RF 表示被动关节自由转动 。规划
主动关节运动规律为
θa = [ f 1 ( kt) f 2 ( kt) … f n- 1 ( kt) ] T
本文针对欠驱动系统轨迹规划问题 ,以平面 2R 欠驱动机器人为研究对象 ,在无制动器的情况 下运用时间尺度法进行轨迹规划 ,利用滑模变结 构控制方法实现期望轨迹的跟踪控制 ,并进行数 值仿真 ,最后给出结论 。
1 动力学模型
平面 2R 欠驱动机器人示意图如图 1 所示 ,
第一个关节为主动关节 ,第二个关节为被动关节 ,
/ ·kB = 1 ·kA = 1
pB
pA
(7)
此时对两个阶段能够选择适当的 kA 、kB 值 , 使得
两个阶段的被动关节具有非常接近的速度 , 第一
阶段结束后一段时间内主动关节保持静止 , 而被
动关节由于惯性将以一恒定速度绕关节节点 2 做
自由转动 ,即图 3 中中间连接可以通过被动关节
的自由转动来实现 , 这种方法在实际当中已经证