勾股定理小结课件
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勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
第3章 勾股定理(小结与思考)(复习课件)八年级数学上册(苏科版)
__．
解:∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第
三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．∴第六代勾股树中正方形有
1+2+22+23+24+25+26=127（个）.
巩固练习
4.（2021·四川）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的
2
∵ S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b + ab，
2
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c + a(b-a)，
2
b + ab= c2+ a(b-a).
∴
∴ a2+b2=c2.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，
勾股定理的简单应用
解决简单的实际问题
求几何体表面上两点间的最短距离
考点分析
考点一
勾股定理的验证
例1 如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，
已知S1=9，S3=25，求S2.
解:由图形可得
2
2
S1= π( ) =
，S2= π( ) =
c
a
b
a
c b
a
b
b
c
a
c
4个小直角三角形的面积=4× ab=2ab，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
解:∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第
三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．∴第六代勾股树中正方形有
1+2+22+23+24+25+26=127（个）.
巩固练习
4.（2021·四川）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的
2
∵ S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b + ab，
2
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c + a(b-a)，
2
b + ab= c2+ a(b-a).
∴
∴ a2+b2=c2.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，
勾股定理的简单应用
解决简单的实际问题
求几何体表面上两点间的最短距离
考点分析
考点一
勾股定理的验证
例1 如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，
已知S1=9，S3=25，求S2.
解:由图形可得
2
2
S1= π( ) =
，S2= π( ) =
c
a
b
a
c b
a
b
b
c
a
c
4个小直角三角形的面积=4× ab=2ab，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
勾股定理小结与复习初中数学原创课件
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
A
c
如果三角形的三边长a，b，c满足 b
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. C a B
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例4 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b， c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为 直角三角形． 【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC是直角三角形，并且 c边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明a2＋b2＝c2即可．
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直 径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米， 所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
∴AC= AB2 BC2 =24米，
已知AD=4米，则CD=24-4=20（米）， ∵在直角△CDE中，CE为直角边，
∴CE= DE2 CD2 =15（米），
BE=15-7=8（米）．故选C．
针对训练
3.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个 半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家 具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通 过这个通道？
第十七章 勾股定理
要点梳理
一、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
第17章勾股定理章末小结课件
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
BC=10, 求BE的长.
【思考2】 在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？请 在图中标出来. 答案： DF=6 .
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
即梯子底端也滑动了1米．
思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基
本步骤是什么？
Zx```xk
答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相 应的直角三角形. 2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
1．证明线段相等. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10， AD=8，BC=12 . 求证： △ABC是等腰三角形. 分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段 AC的长，最后得出AB=AC，即可. 答案：证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10， AD=8，∴BD=6 .∵BC=12, ∴DC=6.∵在Rt△ADC中， AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.
答案：2.（1）周长是24 cm，面积是24 cm2； (2)周长是 14 2 7 cm ,面积是 6 7 cm2.
答案： 3．36平方米.
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
BC=10, 求BE的长.
【思考7】 请把你的解答过程写下来. 答案： 设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE，
∴BC=FC=10.
令BE=FE=x，长方形ABCD，
∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°，
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
BC=10, 求BE的长.
【思考2】 在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？请 在图中标出来. 答案： DF=6 .
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，
即梯子底端也滑动了1米．
思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基
本步骤是什么？
Zx```xk
答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相 应的直角三角形. 2.在直角三角形中找出直角边，斜边. 3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
1．证明线段相等. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10， AD=8，BC=12 . 求证： △ABC是等腰三角形. 分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段 AC的长，最后得出AB=AC，即可. 答案：证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10， AD=8，∴BD=6 .∵BC=12, ∴DC=6.∵在Rt△ADC中， AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.
答案：2.（1）周长是24 cm，面积是24 cm2； (2)周长是 14 2 7 cm ,面积是 6 7 cm2.
答案： 3．36平方米.
使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，
BC=10, 求BE的长.
【思考7】 请把你的解答过程写下来. 答案： 设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE，
∴BC=FC=10.
令BE=FE=x，长方形ABCD，
∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°，
初二数学《勾股定理》课件
18世纪，欧拉证明了任意三角形的三 条边长都可以用三种不同的实数来表 示，这三种实数之和等于另外三种实 数的平方和。
勾股定理的重要性
勾股定理是几何学中的重要定理 之一，它揭示了直角三角形三边 之间的关系，是解决几何问题的
重要工具。
勾股定理在数学、物理、工程等 领域都有广泛的应用，如物理中 的力学、光学、声学等都涉及到
06
思考题
总结词：拓展思维
你能举出一些生活中应用 勾股定理的实际例子吗？
你认为勾股定理在现代科 技中有哪些应用？
列举
如何理解勾股定理在数学 中的地位和意义？
如何通过勾股定理来探索 和研究更复杂的几何问题
？
THANKS.
勾股定理在复数域的应用
勾股定理在复数域的应用
勾股定理可以在复数域中找到应用，例如在量子力学和信号处理等领域。
应用实例
在量子力学中，勾股定理可以用于描述粒子在三维空间中的运动状态；在信号处理中，勾股定理可以 用于计算信号的能量或功率等。
练习与思考
05
基础练习题
总结词：巩固基础
01
02
列举
勾股定理的基本形式是什么？
总结词
利用相似三角形证明勾股定理
详细描述
欧几里得通过构造两个相似三角形，利用相似三角形的性质，推导出直角三角 形两条直角边的平方和等于斜边的平方，从而证明了勾股定理。
赵爽的证法
总结词
利用面积证明勾股定理
详细描述
赵爽通过将直角三角形转化为矩形，利用面积关系，推导出直角三角形两条直角 边的平方和等于斜边的平方，从而证明了勾股定理。
勾股定理在解决与自然界的规律、现象等相关的问题时也 有着广泛的应用。例如，在解决与地球的自转、公转、太 阳系行星运动等相关的问题时，勾股定理可以提供重要的 思路和方法。
勾股定理的重要性
勾股定理是几何学中的重要定理 之一，它揭示了直角三角形三边 之间的关系，是解决几何问题的
重要工具。
勾股定理在数学、物理、工程等 领域都有广泛的应用，如物理中 的力学、光学、声学等都涉及到
06
思考题
总结词：拓展思维
你能举出一些生活中应用 勾股定理的实际例子吗？
你认为勾股定理在现代科 技中有哪些应用？
列举
如何理解勾股定理在数学 中的地位和意义？
如何通过勾股定理来探索 和研究更复杂的几何问题
？
THANKS.
勾股定理在复数域的应用
勾股定理在复数域的应用
勾股定理可以在复数域中找到应用，例如在量子力学和信号处理等领域。
应用实例
在量子力学中，勾股定理可以用于描述粒子在三维空间中的运动状态；在信号处理中，勾股定理可以 用于计算信号的能量或功率等。
练习与思考
05
基础练习题
总结词：巩固基础
01
02
列举
勾股定理的基本形式是什么？
总结词
利用相似三角形证明勾股定理
详细描述
欧几里得通过构造两个相似三角形，利用相似三角形的性质，推导出直角三角 形两条直角边的平方和等于斜边的平方，从而证明了勾股定理。
赵爽的证法
总结词
利用面积证明勾股定理
详细描述
赵爽通过将直角三角形转化为矩形，利用面积关系，推导出直角三角形两条直角 边的平方和等于斜边的平方，从而证明了勾股定理。
勾股定理在解决与自然界的规律、现象等相关的问题时也 有着广泛的应用。例如，在解决与地球的自转、公转、太 阳系行星运动等相关的问题时，勾股定理可以提供重要的 思路和方法。
八年级数学下册教学课件第17章《勾股定理》小结与复习
A.0
B.1 C.2 D.3
A
B
C
第2题图
第3题图
❖ 4. 如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， AD=4，AB=3，BC=12，
❖ 求正方形DCEF的面积．
❖ 5. 如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得 ∠A=50°，∠B=40°，AB=5 km,BC=4 km， 若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？
A时 B时
图1
图2
4. 如图3所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距 离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子 的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端 B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?
B
B′
O
A′
A
图3
❖ 【学习体会】 ❖ 1.本节课你又那些收获？ ❖ 2.复习时的疑难问题解决了吗？你还有那些困惑？
❖ 【变式练习】
❖ 1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长 的平方是（ ）
A.25
B.14
C.7 D.7或25
❖ 2. 如图1阴影部分是一个正方形，则此正方形的面 积为 .
❖ 3. 如图2，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又
测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，
则树的高度为_____m.
2、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它
斜边上的高为___6_0_/_1_3___。
❖ 【知识回顾】
❖ 1. 判断下列命题： ①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1且b>1， 则a+b>2；③全等三角形对应角的平分线相等； ④直角三角形的两锐角互余,其中逆命题正确的 有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
勾股定理ppt课件
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方(勾股定理)
2、你是通过什么方法得出这一结论的?
通过探索、发现、归纳、证明得出
3、这节课体现了哪些数学思想方法?
数形相结合,从特殊到一般.
作业布置
必做题：课本28页复习巩固1，2两题. 选做题：作业本第七页. 欧几里得证明勾股定理.
a2 + b2= c2
正方形A、B、C 所围成的等腰直角三角形的三边 之间有什么关系？
观察发现
AB
acb
C
SA + SB = SC
a2 +b2 = c2
等腰直角三角形的三边之间的关系：
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也 有这个性质吗？
P
Q CR
PQ Biblioteka R用了“补”的方法用了“割”的方法
如图，每个小方格的面积均为1.你能求出 正方形R的面积吗？ (1)
观察所得到的这组数据，你有什么发现？
P9
a
SP + SQ = SR
16Q b
c
2R5
a2 + b2 = c2
所围正成方的形直P角、三Q角、形R 的所三围边成之的间的直关角系三：角形的三 边之间两有条什直么角关边系的？平方和等于斜边的平方.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分
别为a、b，斜边长为ｃ，那么a2 + b2 = c2.
B
a
c
C
b
A
a2 = c2－b2
c a2 b2 a c2 b2
b2 = c2－a2 b c2 a2
2、你是通过什么方法得出这一结论的?
通过探索、发现、归纳、证明得出
3、这节课体现了哪些数学思想方法?
数形相结合,从特殊到一般.
作业布置
必做题：课本28页复习巩固1，2两题. 选做题：作业本第七页. 欧几里得证明勾股定理.
a2 + b2= c2
正方形A、B、C 所围成的等腰直角三角形的三边 之间有什么关系？
观察发现
AB
acb
C
SA + SB = SC
a2 +b2 = c2
等腰直角三角形的三边之间的关系：
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也 有这个性质吗？
P
Q CR
PQ Biblioteka R用了“补”的方法用了“割”的方法
如图，每个小方格的面积均为1.你能求出 正方形R的面积吗？ (1)
观察所得到的这组数据，你有什么发现？
P9
a
SP + SQ = SR
16Q b
c
2R5
a2 + b2 = c2
所围正成方的形直P角、三Q角、形R 的所三围边成之的间的直关角系三：角形的三 边之间两有条什直么角关边系的？平方和等于斜边的平方.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分
别为a、b，斜边长为ｃ，那么a2 + b2 = c2.
B
a
c
C
b
A
a2 = c2－b2
c a2 b2 a c2 b2
b2 = c2－a2 b c2 a2
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
勾股定理ppt课件
体会数形结合的思想。（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
情境引入
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的 一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理， 体会数形结合的思想。（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
一、勾股定理的认识 让我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么有a2+b2=c2.
a c2 - b2 , b c2 - a2 , c a2 b2
(a、b、c为正数)
三、学以致用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
变式2：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
斯再去他那位老朋友家做客 我们也来观察一下地面的图案，看看从中能发
现什么？
问题1：观察构成正方形A、B、C的等腰直角三角形之间有什么关系？试 问三个正方形面积之间有什么样的数量关系？
AB C
这些小的等腰直角三角形都全等
发现：SA+SB=SC
问题2：若正方形A、B、C边长分别为a、b、c，根据面积关系，猜想等 腰直角三角形三边之间有什么关系？
AB C
ab c
SA+SB=SC
猜想:a2+b2=c2
2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
情境引入
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的 一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理， 体会数形结合的思想。（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
一、勾股定理的认识 让我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么有a2+b2=c2.
a c2 - b2 , b c2 - a2 , c a2 b2
(a、b、c为正数)
三、学以致用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
变式2：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
斯再去他那位老朋友家做客 我们也来观察一下地面的图案，看看从中能发
现什么？
问题1：观察构成正方形A、B、C的等腰直角三角形之间有什么关系？试 问三个正方形面积之间有什么样的数量关系？
AB C
这些小的等腰直角三角形都全等
发现：SA+SB=SC
问题2：若正方形A、B、C边长分别为a、b、c，根据面积关系，猜想等 腰直角三角形三边之间有什么关系？
AB C
ab c
SA+SB=SC
猜想:a2+b2=c2
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解：设BD=xm
D
由题意可知，BC+CA=BD+DA x
30-x
∴DA=30-x
B
在Rt△ADC中，
10
(10 x)2 202 (30 - x)2
解得x=5
C
20
A
∴树高CD=BC+BD=10+5=15(m)
知识点三：折叠中的勾股定理
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶
点C重合在一起,EF为折痕。AB=9,BC=3,试
c为斜边 c 82 152 289 17
7 （2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=
.
b为斜边 c 42 32 7
（3）如图，两个正方形的面积分别是64,49，则AC的长为 17 .
A
8
64
8
49
7
C
知识点二：勾股定理与方程
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？
(1) 有一个内角为直角的三角形是直角三角形
(2) 两个内角互余的三角形是直角三角形
勾股定理逆定理
(3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
符号语言： ∵a2+b2=c2
B
c
a
∴∠C=90°
A
或△ABC 为Rt△ABC
b
C
知识点一：勾股Βιβλιοθήκη 理的应用（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 17 .
类型二
将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为 12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度 为hcm，则h的取值范围是什么？
献县三中 邢娇娇
内容归纳：
（一）勾股定理的应用 （二）勾股定理与方程 （三）折叠中的勾股定理 （四）勾股定理与立体图形
直角三角形有哪些特殊的性质
角 直角三角形的两锐角互余。 勾股定理
边 直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。
符号语言： 在Rt△ABC中
B
a2+b2=c2
c
a
A
b
C
如何判定一个三角形是直角三角形呢？
求以折痕EF为边长的正方形面积。
解：
H
x2+32=(9-x)2
x=4 9-x=5
D
E5
C
3 10 95-x 3
A 9-x G19 F x4 B
变式训练
如图，把矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合
落在AD边上的点P处。已知∠MPN=90°，且PM=3，
PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为（
）。
分析：
B
C
可设AB=x,则AC=x+1，
有 AB2+BC2=AC2，
可列方程，得 x2+52=（x+1）2 ，
通过解方程可得．
A
变式训练
有一棵树(如图中的CD)的10m高处B有两只猴子其
中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另
一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两
只猴子所经过的距离相等，试问这棵树多高。
到顶点B,则它走过的最短路程为( D )
A. 3a
B.(1+ 2 )a
C.3a D. 5 a
解析:将正方体侧面展开,部分展开图如图所示.由图知
AC=2a,BC=a.根据勾股定理,得AB = 2a2 a2 = 5a2 = 5a.
[解题策略] 平面图中,可以直接用勾股定理求两点之间的距 离,而在求表面距离最短的问题时,需要将立体图形展开后,将 实际问题转化成可以用勾股定理进行计算的问题.
由勾股定理得：MN=5
设Rt△PMN的斜边上的高为h，因此矩形的宽AB也为h， 根据直角三角形的面积公式得，h=PM∙PN/MN=2.4 由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12， 矩形的面积=AB∙BC=28.8。
知识点四：勾股定理与立体图形
类型一
如图所示,一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬