高等数学模拟试卷及答案
考研数学一(高等数学)模拟试卷140(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷140(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．求(x＋1)ln2(x＋1)dx．正确答案：涉及知识点：高等数学2．求定积分：(I)J＝min｛2，x2｝dx；(II)J＝(1一｜t｜)dt，x≥一1．正确答案：(Ⅰ)min｛2，x2｝＝于是涉及知识点：高等数学3．设n为正整数，利用已知公式，其中，求下列积分：(I)Jn＝sinxndx；(II)Jn ＝(x2－1)ndx．正确答案：涉及知识点：高等数学4．设函数f(x)在(一∞，＋∞)内满足f(x)＝f(x一π)＋sinx且f(x)＝x，x∈[0，π)，求f(x)dx．正确答案：解析：由于题目只给出了f(x)在区间[0，π)上的具体表达式，为计算在[π，3一π]上的积，就应该通过换元法使其积分区间落到[0，π)上．另外，也可以通过f(x)＝f(x—π)＋sinx及f(x)在[0，π)上的表达式，求出f(x)在[π，3π)上的表达式，然后再求积．这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算．知识模块：高等数学5．求无穷积分．正确答案：J＝[ln(1＋x)—lnx—]dx，而∫[ln(1＋x)—lnx＝]dx＝∫[ln(1＋x)—lnx]dx—＝x[ln(1＋x)—lnx]—dx—＝xln＋C，因此涉及知识点：高等数学6．设f(x)＝求f(x)的不定积分．正确答案：当x＜0时，f(x)＝∫sin2xdx＝cos2x＋C1当x＞0时，f(x)＝∫ln(2x ＋1)dx＝xln(2x＋1)—＝xln(2x＋1)—∫dx＋＝xln(2x＋1)—x＋ln(2x＋1)＋C2，为了保证F(x)在x＝0点连续，必须C2＝＋C1 (*)特别，若取C1＝0，C2＝就是f(x)的一个原函数．因此∫f(x)dx＝F(x)＋C＝解析：本题的被积函数是分段定义的连续函数，则f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义．然而按照原函数的定义，F’(x)＝f(x)，即F(x)必须是可导的，而且导数是f(x)．这样，F(x)首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数黏合在一起，构成一个整体的原函数．知识模块：高等数学7．设f’(x)＝arcsin(x一1)2，f(0)＝0，求．正确答案：∫01f(x)dx＝∫01f(x)d(x—1)＝(x—1)f(x)｜01-∫01(x—1)f’(x)dx ＝f(0)—∫01(x—1)f’(x)dx＝-∫01(x—1)arcsin(x—1)2dx＝arcsin(x—1)2d(x—12) 涉及知识点：高等数学8．设a＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上有连续导数，求极限[f(t＋a)－f(t－a)]．正确答案：【解法一】记I(a)＝[f(t＋a)—f(t—a)]dt，由积分中值定理可得I(a)＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]·2a＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]，—a＜ξ＜a．因为f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得I(a)＝f’(η)·2a＝f’(η)，ξ—a＜η＜ξ＋a．于是＝f’(0)．【解法二】涉及知识点：高等数学9．求[φ(x)－1]f(t)dt，其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．正确答案：＝φ’(x)f(t)dt＋φ(x)f[φ(x)]φ’(x)—φ(x)f[φ(x)]φ’(x)＝φ’(x)f(t)dt 涉及知识点：高等数学10．设f(x)在(一∞，＋∞)连续，在点x＝0处可导，且f(0)＝0，令(I)试求A的值，使F(x)在(一∞，＋∞)上连续；(II)求F’(x)并讨论其连续性．正确答案：(I)由变上限积分性质知F(x)在x≠0时连续．为使其在x＝0处连续，只要F(x)＝A．而故令A＝0即可．(Ⅱ)当x≠0时F’(x)＝在x＝0处，由导数定义和洛必达法则可得故F’(x)在(一∞，＋∞)上连续．涉及知识点：高等数学11．设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)＝，求f(x)．正确答案：因f(x)＝f2(x)＝dt，(*)由f(x)连续及x2可导知f2(x)可导，又f(x)＞0，从而f(x)可导，且[f2(x)]’＝2f(x)f’(x)，故将上式两边对x求导，得2f(x)f’(x)＝f(x)·2xf’(x)＝x．在(*)式中令x＝0可得f(0)＝0．于是(*)式两边积分得涉及知识点：高等数学12．求函数f(x)＝在区间[e，e2]上的最大值．正确答案：若f(x)在[a，b]上连续，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出f(a)与f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得．由可知f(x)在[e，e2]上单调增加，故涉及知识点：高等数学13．求星形线(a＞0)所围区域的面积A．正确答案：图形关于x，y轴均对称，第一象限部分：0≤x≤x，0≤y≤，涉及知识点：高等数学14．求下列旋转体的体积V：(I)由曲线y＝x2，x＝y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体：(II)由曲线x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．正确答案：(I)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为(Ⅱ)如图3．3，所求体积为V＝2π∫02πayxdx＝2π∫02πaa(1＝cost)a(t—sint)a(1—cost)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2(t—sint)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt—2πa3∫-ππ(1—cost)2sintdt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt[1—cos(u＋π)]2(u＋π)du＝2πa3∫-ππ(1＋cosu)2udu＋2π2a3∫-ππ(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋2cosu＋cos2u)du＝4π2a3(π＋)＝6π3a3．涉及知识点：高等数学15．设两点A(1，0，0)与B(0，1，1)的连线绕z轴旋转一周而成的旋转面为S，求曲面S与z＝0，z＝1围成的立体的体积．正确答案：直线方程：上任意点(x，y，z)与z轴的距离的平方为：x2＋y2＝(1一t)2＋t2＝z2＋(1一z)2，则S(z)＝π[z2＋(1—z)2]，从而V＝S(z)dz＝π[z2＋(1—z)2]dz＝π．解析：这是截面积已知的立体．与z轴垂直的平面截此旋转体所得截面即此平面与的交点绕z轴旋转所得的圆，其面积记为S(x)，则V＝S(z)dz．关键求方程，再求上点与z轴的距离．知识模块：高等数学16．求双纽线，r2＝a2cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．正确答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈[0，]．面积由r2＝a2cos2θ涉及知识点：高等数学17．求功：(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?(II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?正确答案：(I)方法1 (微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系．取下半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][一1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1一x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋x)，故需做功dw1＝(1＋x)π(1一x2)dx．因此，对下半球做的功w1＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx取上半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1一x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dw2＝π(1一x2)dx．因此，对上半球做的功w2＝∫01π(1—x2)dx．于是，对整个球做的功为w＝w1＋w2＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx＋∫01π(1—x2)dx＝∫-1-1π(1—x2)dx＋∫-10πx(1—x2)dx方法2 把球的质量集中于球心．球从水中取出作的功可以看成质量为的质点向上移动距离为1时变力的做功．问题归结为求变力F．(重力与浮力的合力)球受的重力＝球的体积，球受的浮力＝沉在水中的球的体积，它们的合力＝球露出水面部分的体积．当球心向上移距离h(0≤h≤1)时，球露出水面部分的体积：因此，取出球时需做功(Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]．[x，x ＋dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为π(R2—x2)dx，又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dw＝πx(R2一x2)dx．因此，所求的功涉及知识点：高等数学18．求引力：(I)在x轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，在杆的延长线上离杆右端为口处有一质量为m的质点P，求证：质点与杆间的引力为F ＝(M为杆的质量)．(II)设有以O为心，r为半径，质量为M的均匀圆环，垂直圆面，＝b，质点P的质量为m，试导出圆环对P点的引力公式．正确答案：(I)如图3．7建立坐标系，取杆的右端为原点，x轴正向指向质点P．任取杆的一段[x，x＋dx]，它对质点P的引力为因此，杆与质点P间的引力大小为其中M是杆的质量．(Ⅱ)如图3．8，由对称性，引力沿方向．取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为s到s＋d5的一段微元，它的质量为，到P点的距离为与的夹角为θ，cosθ＝，则微元对P点的引力沿方向的分力为dF ＝k，于是整个圆环对P点的引力为涉及知识点：高等数学19．过曲线y＝x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(I)切点A的坐标；(II)过切点A的切线方程；(III)由上述图形绕x 轴旋转的旋转体的体积．正确答案：如图3．9．(I)设点A(x0，x02)，点A处的切线方程y＝x02＋2x0(x —x0)，即y＝2x0x—x02．令y＝0截距x＝．按题意解得x0＝1A(1，1)．(Ⅱ)过A点的切线y＝2x一1．(Ⅲ)旋转体体积涉及知识点：高等数学20．设常数a≤α＜β≤b，曲线P：y＝(x∈[α，β])的弧长为1．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求定积分．正确答案：(Ⅰ)г：y2＝(x—a)(b—x)＝—x2＋(a＋b)x—ab，两边对x求导得2yy’＝—2x＋a＋b，y2(1＋y’2)＝＋y2＝x2＋y2—(a＋b)x＋(Ⅱ)曲线г：是以为圆心，半径为的半圆周．由题(Ⅰ)：α＝a，β＝，则对应的г长涉及知识点：高等数学21．设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)f(x－t)dt＝sin4x，求f(x)在[0，]上的平均值．正确答案：令x—t＝u，则，于是两边积分，故f(x)在[0，]上的平均值为．涉及知识点：高等数学22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P(1，2)，且在该点与圆相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a．b．c．正确答案：圆的半径为，所以在圆上任何一点的曲率为．由于点P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数y＝y(x)在P(1，2)处的y’’＞0．又经过计算，可知在点P(1，2)处的y’＝1．由题设条件知，抛物线经过点P(1，2)，于是有a＋b＋c＝2．抛物线与圆在点P(1，2)相切，所以在点P(1，2)处y’＝1，即有2a＋b＝1．又抛物线与圆在点P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得a＝2，从而b＝一3，c＝2一a一b＝3．涉及知识点：高等数学23．设a＞0，f(x)在(0，＋∞) 连续，求证：正确答案：(I)按要证的等式，将等式左端改写可得(II)按题设，对左端作变换涉及知识点：高等数学24．设f(x)在[a，b]上连续，f(x)≥0且f(x)dx＝0，求证：在[a，b]上f(x)＝0．正确答案：由定积分的性质涉及知识点：高等数学25．证明，其中n为自然数．正确答案：利用被积函数的结合性，原式改写成In＝cosn—1xcosxsinnxdx，两式相加得2In＝cosnn—1(cosxsinnx一sinxcosnx)dxcosnn—1xsin(n—1)xdx＝现得递推公式令Jn＝2nIn，得．由此进一步得涉及知识点：高等数学。
考研数学一(高等数学)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．=A．0．B．－∞．C．+∞．D．不存在但也不是∞．正确答案：D解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A．高阶无穷小．B．低价无穷小．C．同阶非等价无穷小．D．等价无穷小．正确答案：C解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)．知识模块：高等数学填空题3．设有定义在(－∞，+∞)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)=(C)h(x)= (D)m(x)=则(I)其中在定义域上连续的函数是____________；(II)以x=0为第二类间断点的函数是____________．正确答案：(I)B(Ⅱ)D解析：(I)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=，其中g(x)在(－∞，0]连续h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选(B)．(Ⅱ)关于(A)：由x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由e≠h(0)=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．或直接考察(D)．由=+∞x=0是m(x)的第二类间断点．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷35(题后含答案及解析)
江苏省专转本（高等数学）模拟试卷35(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．=1，则常数k等于( )．A．1B．2C．4D．任意实数正确答案：B解析：由题意可知，x=2时，x2-3x+k=0k=2．2．下列命题中正确的是( )．A．若x0是f(x)的极值点，则必有f’(x0)=0B．若f(x)在(a，b)内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值C．若f’(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点D．若f(x)在点x0处可导，且点x0是f(x)的极值点，则必有f’(x0)=0正确答案：D3．若x=2是函数y=x-ln(+ax)的可导极值点，则常数a值为( )．A．-1B．1／2C．-D．1正确答案：C解析：y=x-ln(=0．由题意得f’(2)=0，可知a=-．4．若y=arctanex，则dy=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：5．un收敛的( )条件．A．充分B．必要C．充分必要D．既非充分又非必要正确答案：B解析：由级数收敛定义、性质可知答案为B项．6．设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f’(x)=0的实根个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由于f(x)是四次多项式，故f’(x)=0是三次方程，有3个实根．填空题7．正确答案：解析：本题是考查幂指函数求极限，先把极限变形为，此题是形如1∞型的不定式，可以利用两个重要极限公式的推广公式求解：注：等价无穷小替换cos，x→0+．8．函数f(x)=2x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_______．正确答案：ξ=1解析：由已知可得f’(x)=4x-1，令4x-1==3，解该方程即为满足拉格朗日定理的ξ=1．9．dxdy=_______，其中D为以点O(0，0)、A(1，0)、B(0，2)为顶点的三角形区域．正确答案：-1解析：∫01xf’(x)dx=∫01xdf(x)=xf(x)|01-∫01f(x)dx=f(1)-3=2-3=-1．10．设f(x，y)=ln(x+=_______．正确答案：解析：11．交换二次积分次序∫12dx∫1／xxf(x，y)dy=_______．正确答案：∫1／21dy∫1／y2f(x，y)dx+∫12dy∫y2f(x，y)dx解析：由原二次积分可知原函数的积分区域D如图a，显然原二次积分是按X-型看待的，现在我们按照Y-型看待，如图b，则原二次积分可以写成∫1／21dy ∫1／y2f(x，y)dx+∫12dy∫y2f(x，y)dx．12．微分方程yy’+xey=0满足y|x=1=0的特解为_______．正确答案：解析：分离变量得-ye-ydy=xdx，两边积分得∫-ye-ydy=∫xdx，解得(y+1)e-y=+C，代入y|x=1=0，得C=1／2，即特解为(y+1)e-y=解答题解答时应写出推理、演算步骤。
湖北省专升本(高等数学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
湖北省专升本（高等数学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数y=lnx+arcsinx的定义域为( )A．(0，+∞)B．(0，1]C．[-1，1]D．[-1，0)正确答案：B解析：要使函数有意义，须，求解得：0＜x≤1．选B2．函数f(x)=x是( )A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．可能是奇函数也可能是偶函数正确答案：A解析：因f(-x)=-x=f(x)．3．极限=( )A．2／3B．3／2C．0D．∞正确答案：B解析：用等价无穷小代换简单些，4．已知=6，则a，b取值为( )A．a=-2，b=-3B．a=0，b=-9C．a=-4，b=3D．a=-1，b=-6正确答案：B解析：因为当x→3时，分母→0必有分子→0，否则一定无极限，即有9+3a+b=0，应用洛必达法则，左端=(2x+a)=6+a=6，所以a=0，这时b=-9．5．要使函数f(x)(n为自然数)在x=0处的导函数连续，则n=( )A．0B．1C．2D．n≥3正确答案：D解析：A错，因函数在x=0处不连续；B错，虽然函数在x=0处连续，但不可导；C也错，函数在x=0处可导，进而函数在(-∞，+∞)上均可导，但导函数在x=0处不连续，下面证明所以当x→0时，f’(x)不存在，所以f’(x)在x=0处不连续；仅D正确，当n≥3时，f’(x)=当x≠0时，f’(x)=nxn-1sin，此时有f’(x)→f’(0)=0x→0所以导函数f’(x)在x=0处连续．6．曲线y=的渐近线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：B解析：当x→0时，y→∞，所以x=0为垂直渐近线，当x→∞时，y→π／4，所以y=π／4为水平渐近线，当x→1或x→-22时，y∞，所以在x=1，x=2处无渐近线．7．函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点个数是( )A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：因f(x)=(x-2)(x-1)|x||x+1||x-1|，可知函数在x=0，x=-1处不可导，而在x=1处函数可导，原因是函数g(x)=(x-1)|x-1|在x=1处左、右导数存在且相等，即g’(1)=0．8．函数f(x)在[a，b]上连续是积分∫abf(x)dx存在的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要正确答案：A解析：连续为条件，积分存在为结论，显然由|f(x)dx存在连续，肯定不是必要条件，但成立，所以连续为可积的充分条件，不是必要条件．9．若f(x)=∫0xsin(t-x)dt，则必有( )A．f(x)=-sinxB．f(x)=-1+cosxC．f(x)=sinxD．f(x)=1-sinx正确答案：A解析：令t-x=u，dt=du，t=0，u=-x，t=x，u=0所以f(x)=[-∫0-xsinudu]=-sin(-x)．(-1)=-sinx．10．已知f’(x)连续，且f(0)=0，设φ(x)=则φ’(0)=( )A．f’(0)B．f’(0)C．1D．1／3正确答案：B解析：为求φ’(0)，先判断φ(x)在x=0处连续，考虑=f(0)=0=φ(0)，所以φ(x)在x=0处连续，而11．已知向量a、b的夹角为π／4，且|a|=1，|b|=则|a+b|=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a．b=12+12．曲面x2+y2=1+2x2表示( )A．旋转单叶双曲面B．旋转双叶双曲面C．圆锥面D．椭球面正确答案：A解析：该曲面可看做由双曲线绕x轴旋转而成．13．极限=( )A．e-1B．eC．1D．0正确答案：A解析：14．设z=f(x，y)可微，且当y=x2时，f(x，y)=1及=x，则当y=x2(x≠0)时( ) A．1／2B．-C．0D．1正确答案：B解析：15．利用变量替换u=x，v=y／x，一定可把方程x=z化成( )A．B．C．D．正确答案：A解析：16．曲面xy+yz+zx=1在点P(1，-2，-3)处的切平面方程为( )A．5x+2y+z+2=0B．5x-2y+z+2=0C．5x+2y-z+2=0D．5x+2y-z-4=0正确答案：A解析：令F(x，y，z)=xy+yz+zx-1，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=(Fx，Fy，Fz}={y+z，x+z，y+x}于是点P(1，-2，-3)处的切平面的法向量为：n1={-5，-2，-1}故切平面方程为：-5(x-1)-2(y+2)-(z+3)=0即5x+2y+z+2=0．17．设D由y2=x，y=x围成，则xydxdy=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：观察被积函数先积谁都一样，再看积分区域D，应先积x，否则，会出现根号18．设D由x≥0，y≥0及x2+y2≤1所围成，则xy2dxdy=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：用极坐标19．L为y=x3，y=x所围边界线第一象限部分，f(x，y)连续，则∫Lf(x，y)ds=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因为I=∫L=+∫AO=+∫OA当沿y=x3从O到A时，y’=3x2这时ds=dx当沿y=x从O到A时，y’=1，这时ds=dx所以∫Lf(x，y)dx=∫01f(x，x3)20．L是沿y=1-|1-x|从点O(0，0)到点B(2，0)的折线段，则曲线积分∫L(x2+y2)dx-(x2-y2)dy=( )A．5／3B．2／3C．4／3D．1正确答案：C解析：∫L=∫OA+∫AB=∫012x2dx+∫12[(x2+(2-x)2-(x2-(2-x)2]dx=21．A．收敛于0B．收敛于C．发散D．敛散性无法确定正确答案：B解析：22．已知幂级数在点x=2处收敛，则实数“的取值范围为( ) A．1＜a≤3B．1≤a＜3C．1＜a＜3D．1≤a≤3正确答案：A解析：由幂级数的系数可得其收敛半径为1，所以其收敛域为[a-1，a+1]，因为2∈[a-1，a+1)，即a-1≤2，2＜a+1，所以1＜a≤3．23．已知anx2n的收敛域是( ) A．[-1，3]B．[-2，2]C．D．[-4，4]正确答案：C解析：由已知条件知，幂级数的收敛半径为2，且在端点处收敛，所以级数antn收敛域为[-2，23，即-2≤t≤2，令t=x2，则-24．设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf(t／2)dt+ln2，则f(x)=( )A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：f’(x)=f(x)．2，即y’=2y，所以y=Ce2x，当x=0时，y=ln2，所以C=ln2，所以f(x)=e2xln2．25．微分方程y”+y’=2x2ex的特解应设为y*=( )A．(Ax2+Bx+C)exB．(Ax3+Bx2+Cx)exC．(Ax2+Bx+C)e-xD．(Ax3+Bx2+Cx)e-x正确答案：B解析：因为与方程对应的齐次方程y”+y’=0的通解为Y=C1+C2e-x，由于齐次方程中不含有ex，且原方程缺函数y，于是特解应设为：y*=(Ax2+Bx+C)．x．ex．26．求极限=( )A．1B．0C．1／2D．2正确答案：C解析：(其中当x→1时，lnx～x-1)．27．若un满足( )A．收敛B．发散C．敛散性不确定D．收敛于0正确答案：A解析：28．微分方程y”+xy’=1的通解为( )A．y=-x+C1ln|x|B．y=x+C1ln|x|+C2C．y=x+C2D．y=C1ln|x|+C2正确答案：B解析：微分方程变形(xy’)’=1，所以xy’=x+C，即y’=1+，所以通解为y=x+C1ln|x|+C2．29．函数f(x)在点x=1处可导，且，则f’(1)=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：∴f’(1)=1／4．30．函数f(x)是连续函数，则∫-aax2[f(x)-f(-x)]dx=( )A．1B．2C．-1D．0正确答案：D解析：被积函数x2[f(x)-f(-x)]是奇函数，故∫-aax2[f(x)-f(-x)3dx=0．填空题31．设f(x)+f()=2x,其中x≠0，x≠1，则f(x)=_______．正确答案：解析：32．极限=8，则a=_______，b=_______．正确答案：-1；-4解析：联立①，②得a=-1，b=-4．33．曲线y=1／x上的切线斜率等于-的点的坐标为_______．正确答案：解析：设切点坐标34．设y=则dy|x=2=_______．正确答案：解析：该题若直接求较麻烦，可先利用对数性质展开．35．函数y=2x3-9x2+12x-3在区间(3，10)上为单调递_______．正确答案：增解析：y=2x3-9x2+12x-3，y’=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)驻点x=1；x=2．x＜1，y’＞0；1＜x＜2，y’＜0；x＞2，y’＞0．故在区间(3，10)上曲线单调递增．36．曲线y=4-的拐点为_______．正确答案：(1，4)解析：y=4-，x＞1，y”＞0；x＜1，y”＜0，所以曲线拐点为(1，4)．37．曲面z-ez4-2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_______．正确答案：2x+y-4=0解析：令F(x，y，z)=z-ez+2xy-3，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=(Fx，Fy，Fz}={2y，2x，1-ez}于是，点(1，2，0)处的切平面的法向量为n1={4，2，0}，故所求切平面方程为：4(x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0即2x+y-4=0．38．已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，则∫xf’(x)dx=_______．正确答案：x(cosxlnx+)-(1+sinx)lnx+C解析：由于∫xf’(x)dx=xf(x)-∫f(x)dx，又(1+sinx)lnx为f(x)的一个原函数，因为f(x)=[(1+3sinx)lnx]’=coslnx+则∫f(x)dx=(1+sinx)lnx+C．故∫xf’(x)dx=(x)dxxlnx+)-(1+sinx)lnx+C．39．函数y=∫0x(t-1)(t+1)2dt的极值点是_______．正确答案：x=1解析：y’=(x-1)(x+1)2，令y’=0．得x=0，x=1，x=-1．由于y的定义域为[0，+∞)，因此，有唯一驻点x=1，当0＜x＜1时，y’＜0，当x＞1时，y’＞0．所以x=1为极小值点．40．不定积分∫正确答案：ln|lnsinx|+C解析：41．已知点A(0，0，0)，B(1，0，-1)，C(0，1，2)则△ABC中BC边上的高为_______．正确答案：解析：42．设z=z(x，y)是由方程z-y-x+xez-y-x=0所确定，则dz=_______．正确答案：解析：F=z-y-x+xez-y-xFx=-1+ez-y-x-xez-y-x，Fy=-1-xez-y-x，Fz=1+xez-y-x因此，dz=(1-)dx+dy．本题也可方程两端取微分来做．43．设区域D由x=2，y=dxdy=_______．正确答案：解析：44．将函数y=展开为(x-5)的幂级数是_______．正确答案：)(n-5)2(2＜x＜7)解析：45．微分方程y”+y=xcos2x的特解应设为y*=_______．正确答案：y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x解析：微分方程y”+y=xcos2x所对应的齐次方程为y”+y=0．特征方程为r2+1=0．特征根为r=±i，齐次方程的通解为Y=C1cosx+C2sinx．对于y”+y=x，由于方程含y．所以特解可设ax+b对于y”+y=cos2x考虑到齐次方程通解，所以特解可设ccos2x+dsin2x故原方程特解可设为y*=(ax+b)(ccos2x+dsin2x)即y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
专升本(高等数学一)模拟试卷100(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．当x→0时，无穷小x+sinx是比xA．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：因=2，所以选C。
2．设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的—个极小值，则等于A．一2B．0C．1D．2正确答案：B解析：因f(x)在x=x0处取得极值，且可导．于是f’(x0)=0．又3．设函数f(x)=，则f’(x)等于A．B．C．D．正确答案：C4．函数y=x-arctanx在(一∞，+∞)内A．单调增加B．单调减少C．不单调D．不连续正确答案：A解析：因y=x—arctanx，则y’=1一于是函数在(一∞，+∞)内单调增加．5．设∫f(x)dx=ex+C,则∫xf(1一x2)dx为A．B．C．D．正确答案：D解析：6．设ψ(x)=则ψ’(x)等于A．tanx2B．tanxC．sec2x2D．2xtanx2正确答案：D解析：因tantdt是复合函数，于是ψ’(x)=tanx2．2x=2xtanx2．7．下列反常积分收敛的A．B．C．D．正确答案：D解析：当p≤1时发散，p＞1时收敛，可知应选D.8．级数A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．无法确定敛散性正确答案：C解析：级数的通项为此级数为p级数．又因所以级数发散．9．方程x2+y2=R2表示的二次曲面是A．椭球面B．圆柱面C．圆锥面D．旋转抛物而正确答案：D解析：由方程特征知，方程x2+y2=R2表示的二次曲面是圆柱面．10．曲线A．有水平渐近线，无铅直渐近线B．无水平渐近线，有铅直渐近线C．既有水平渐近线，又有铅直渐近线D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线正确答案：C填空题11．函数F(x)=(x＞0)的单调递减区间是________．正确答案：解析：12．设f”(x)连续，正确答案：yf”(xy)+f’(x+y)+yf”(x+y)解析：13．设D是圆域x2+y2≤a2，则I=________．正确答案：0解析：用极坐标计算．14．设f(x)=ax3一6ax2+b在区间[一1，2]的最大值为2，最小值为一29，又知a＞0．则a，b的取值为_________．正确答案：解析：f’(x)=3ax2一12ax，f’(x)=0，则x=0或x=4．而x=4不在[一1．2]中，故舍去．f”(x)=6ax一12a，f”(0)=一12a．因为a＞0，所以f”(0)＜0，所以x=0是极值点．又因f(一1)=一a一6a+b=b一7a，f(0)=b，f(2)=8a一24a+b=b—16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．所以b一16a=一29，即16a=2+29=31．15．设曲线则该曲线的铅直渐近线为_______．正确答案：x=一1解析：16．当p_______时，级数收敛.正确答案：＞1解析：当p＞1时收敛，由比较判别法知p＞1时，17．求正确答案：解析：18．幂级数的收敛半径R=_______．正确答案：1解析：19．方程y”一2y’+5y=exsin2x的特解可没为y*=________．正确答案：xex(Asin2x+Bcos2x)解析：由特征方程为r2一2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x)．20．正确答案：解析：解答题21．确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点．正确答案：在(0，0)点，△＞0，所以(0，0)不是极值点．在(a，a)点，△＜0．且一6a＜0(a＞0)．故(a，a)是极大值点．22．正确答案：23．讨论级数的敛散性．正确答案：因所以级数收敛．24．正确答案：25．证明：ex＞1+x(x＞0)．正确答案：对F(x)=ex在[0，x]上使用拉格朗日中值定理得F(x)-F(0)=F’(ξ)x，0＜ξ＜x，因F’(ξ)=eξ＞1，即故ex＞x+1(x＞0)．26．设x＞0时f(x)可导，且满足f(x)=f(t)dt，求f(x)．正确答案：因f(x)=可导，在该式两边乘x得xf(x)=x+∫1xf(t)dt，两边对x求导得f(x)+xf’(x)=1+f(x)，则f(x)=lnx+C，再由x=1时．f(1)=1．得C=1，故f(x)=lnx+1．27．求方程y”-2y’+5y=ex的通解．正确答案：y”一2y’+5y=0的特征方程为r2一2r+5=0。
考研数学一(高等数学)模拟试卷300(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷300(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设常数α＞2，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与α有关．正确答案：C解析：由于设常数p满足1＜p＜α一1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛，进而知当α＞2时绝对收敛，即(C)正确．知识模块：高等数学2．设a＞0为常数，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与口有关．正确答案：B解析：用分解法．分解级数的一般项知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)因发散，故原级数发散．(Ⅱ)因(Ⅲ)使用比值判别法．因，故原级数收敛．涉及知识点：高等数学4．判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：正确答案：(Ⅰ)由于收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛．(Ⅱ)由于当n充分大时，0＜＞0，所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数(n→∞)，所以，级数条件收敛．是条件收敛的，故原级数条件收敛．涉及知识点：高等数学5．求下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)注意=1，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则当＞1，即x＜0时，原级数发散(x=一1除外)，因为一般项不是无穷小量；当x=0时，原级数为收敛的交错级数．因此，级数的收敛域为[0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判别法，则有这就说明：当｜x｜＞1时，级数收敛，而且绝对收敛；然而，当｜x｜≤1(x≠—1)时，比值判别法失效．但是，当｜x｜＜1时，=1；当x=1时，un(x)=(n=1，2，…)，都不满足级数收敛的必要条件．所以，级数的收敛域为｜x｜＞1．涉及知识点：高等数学6．求下列幂级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)=3，故收敛半径R=1／3．当x=1／3时，原幂级数为，是一个收敛的交错级数；当x=一1／3时，原幂级数为的收敛域为(一1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于，的收敛半径R=+∞，即收敛区间也是收敛域为(一∞，+∞)．涉及知识点：高等数学7．求幂级数的收敛域及其和函数．正确答案：容易求得其收敛域为[一1，1)．为求其和函数S(x)，在它的收敛区间(一1，1)内先进行逐项求导，即得S’(x)=，x∈(—1，1)．又因为S(0)=0，因此S(x)=∫0xS’(t)dt=∫0x=一ln(1—x)．注意原级数在x=一1处收敛，又ln(1一x)在x=一1处连续，所以S(x)=一ln(1一x)，x∈[一1，1)．涉及知识点：高等数学8．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)本题可采用比值判别法．由于，所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列{(1+)n}是单调递增趋于e的，所以当p=e时，＞1，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．总之，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．(Ⅱ)本题适宜采用根值判别法．由于=0，所以原级数收敛．这里用到=0．涉及知识点：高等数学9．判别下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式．由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于(Ⅲ)注意到0≤收敛，所以原级数也收敛．(Ⅳ)因为函数f(x)=单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数收敛．再由上面导出的不等式0＜un≤，所以原级数也收敛．涉及知识点：高等数学10．判别级数的敛散性，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．正确答案：首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以0≤1—．现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于Sn=(xn+1一x1)，又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．涉及知识点：高等数学11．判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：正确答案：(Ⅰ)由于发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知的单调性，令f(x)=＞0(当x充分大时) →当x充分大时g(x)．这说明级数满足莱布尼兹判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．(Ⅱ)由于sin(nπ+，所以此级数是交错级数．又由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而是单调减少的，所以，sin 随着n的增加而单调递减．又显然满足莱布尼兹判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．涉及知识点：高等数学12．判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．正确答案：为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于所以，当p＞1时，级数绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛．下面介绍几种方法讨论0＜p≤1时，是否条件收敛．考察部分和Sn=(n≥2)的极限是否存在．先考虑部分和数列的奇数项，即注意到等式右端的每一项都是正的，所以S2n+1＜0，而且单调递减．又由于亦即S2n+1＞，这就说明{S2n+1}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设S2n+1=S．又由于(S2n+1—u2n+1)=S，即Sn=S，亦即级数的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0＜p≤1时，该级数条件收敛．解析：对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里un≥un+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．知识模块：高等数学13．判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数vn也收敛．证明你的判断．正确答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：vn同时收敛或同时发散．本题未限定vn一定收敛．比如，取即un～vn(n→∞)．级数un是收敛的，然而级数vn是不收敛的．涉及知识点：高等数学14．确定下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)使用比较判别法．当x≤1时，由于也发散．当x＞1时，取p∈(1，x)，由于=0，所以的收敛域为(1，+∞)．(Ⅱ)当x＞0时，由于满足莱布尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的．而当x≤0时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的．故级数的收敛域为(0，+∞)．涉及知识点：高等数学15．求下列幂级数的收敛域或收敛区间：(Ⅲ) anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)(Ⅳ) ax(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．正确答案：(Ⅰ)有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径．首先计算所以R=1．再考察两个端点，即x=±1时的敛散性．显然x=1，级数是发散的．而x=一1时，[1*]单调递减，令f(x)=＜1，ln(1+x)＞1，这就说明f’(x)＜0，f(x)单调递减．所以满足莱布尼兹判别法的两个条件，该级数收敛．这样，即得结论：xn—1的收敛域为[一1，1)．(Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n—1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R．一般有两种方法：它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于(Ⅲ)nan(x一1)n+1=(x一1)2[an(x一1)n]’，由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知，nan(x一1)n+1与an(x一1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)．(Ⅳ)令t=x一3，考察antn，由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3，又t=3时其发散→R≤3．因此R=3，antn的收敛域是[一3，3)，原级数的收敛域是[0，6)．涉及知识点：高等数学16．求下列幂级数的和函数并指出收敛域：(Ⅰ)n(n+1)xn．正确答案：(Ⅰ)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和．设=一4ln(1一x)，(一1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展开式)所以S(x)=S1(x)—S2(x)+S3(x)=ln(1—x) =ln(1—x)，x∈(—1，1)，x≠0．当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数看S(0)=a0=1，同时，也容易看出=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．涉及知识点：高等数学17．将函数arctan展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间．正确答案：由于，利用公式，并以x2代替其中的x，就有(一1)nx2n，一1＜x2＜1即一1＜x＜1．上式两端再进行积分，注意到arctan，所以由f(x)一f(0)=∫0xf’(t)dt即得注意函数arctan在端点x=一1处连续，幂级数在点x=一1处也收敛，从而上式在端点x=一1处也成立，即涉及知识点：高等数学18．将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：(Ⅰ)，在x=1处；(Ⅱ)ln(2x2+x 一3)，在x=3处．正确答案：在上述展式中就是以(—1)nxn=1—x+x2—x3+…+(—1)nxn+…，(一1＜x＜1) (11．16)式中的x．类似地，有(Ⅱ)由于ln(2x+x一3)=ln(2x+3)(x 一1)=ln(2x+3)+ln(x一1)，对于右端两项应用公式得解析：使用间接法在指定点x0处作泰勒展开，就要用x—x0或者x一x0的倍数与方幂等代替原来的x．知识模块：高等数学19．将下列函数f(x)展开成戈的幂级数并求f(n)(0)：正确答案：(Ⅱ)应用公式(11．12)，有(一∞＜x＜+∞)．逐项积分得(一∞＜x ＜+∞)．由此又得f(2n)(0)=0 (n=1，2，3，…)，f(2n+1)(0)= (n=0，1，2，…)．解析：在这两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分．像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便．而且某些题目也必须先展开，第(Ⅱ)小题就是如此．知识模块：高等数学20．求下列级数的和：正确答案：(Ⅰ)S==S1+S2．S2为几何级数，其和为2／3．S1可看作幂级数(一1)(n)n(n一1)x(n)在x=1／2处的值．记直接利用ln(1+x)的展开式得涉及知识点：高等数学21．(Ⅰ)设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(一1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于_________；(Ⅱ)设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=bnsin(nπx)，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sin(nπx)dx，n=1，2，3，…，则S(一)=____________．正确答案：(Ⅰ) 3／2；(Ⅱ)—1／4解析：(Ⅰ)根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于[f(1—0)+f(一1+0)]=3／2．(Ⅱ)由S(x)的形式可知：S(x)是奇函数．又f(x)在x=连续，所以知识模块：高等数学22．设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，(Ⅰ)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(一π≤x≤π)，及g(2π)的值．正确答案：(Ⅰ)根据定义注意：奇函数xcosnx在对称区间上的积为零．从另一个角度看，f(x)一(ancosnx+bnsinnx)实际上就是f(x)一a0／2的傅里叶级数，所以an=0．(Ⅱ)根据收敛定理，和函数g(x)=另外，g(2π)=g(0)=π．涉及知识点：高等数学23．设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明。
考研数学一(高等数学)模拟试卷330(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷330(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=则在x=1处f(x)( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但不是连续可导D．连续可导正确答案：D解析：因为=3=f(1)，所以f(x)在x=1处连续．因为=3，所以f(x)在x=1处可导．当x≠1时，f′(x)=2x+1，因为=3=f′(1)，所以f(x)在x=1处连续可导，选D．知识模块：高等数学2．当x∈[0，1]时，f″(x)＞0，则f′(0)，f′(1)，f(1)－f(0)的大小次序为( )．A．f′(0)＞f(1)－f(0)＞f′(1)B．f′(0)＜f′(1)＜f(1)－f(0)C．f′(0)＞f′(1)＞f(1)－f(0)D．f′(0)＜f(1)－f(0)＜f′(1)正确答案：D解析：由拉格朗日中值定理得f(1)－f(0)=f′(c)(0＜c＜1)，因为f″(x)＞0，所以f′(x)单调增加，故f′(0)＜f′(c)＜f′(1)，即f′(0)＜f(1)－f(0)＜f′(1)，应选D．知识模块：高等数学3．设f(x)二阶连续可导，且=－1，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0是f(x)的驻点但不是极值点正确答案：C解析：因为f(x)二阶连续可导，且=0，即f″(0)=0．又=－1＜0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，有＜0，即当x∈(－δ，0)时，f″(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f″(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选C．知识模块：高等数学填空题4．=_______。
正确答案：解析：知识模块：高等数学5．=_______。
正确答案：解析：由ln(1+x)=x－+ο(x2)得，x→0时，x2－xln(1+x)=，知识模块：高等数学6．设f(x)连续，且=_______。
全国自考(高等数学一)模拟试卷11(题后含答案及解析)
全国自考（高等数学一）模拟试卷11(题后含答案及解析)题型有：1. 单项选择题 3. 计算题（一） 4. 计算题（二） 5. 应用题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．函数y=的定义域是A．(0，1)B．(0，1)∪(1，4)C．(0，4)D．(0，1)∪(1，4]正确答案：D2．设f(x)=在x=0处连续，则常数a，b应满足的关系式是A．a<bB．a>bC．a=bD．a≠b正确答案：C解析：因为(a+bx2)=a,?b=b，由f(x)=a=f(0)=f(x)=b，得a=b．3．若f(x)=，以x=1为可去间断点，则A．a=0，b≠1B．a=1，b=eC．a≠1，b=eD．a≠1，b=1正确答案：C解析：x=1为f(x)的可去间断点，则存在，因为，又当x→1时，x－1→0，ex-1－1～x－1，所以当a≠1，b=e时，有，故选C．4．若f(x)=xln(2x)在x0处可导，且f＇(x0)=2，则f(x0)=A．1B．e/2C．2/eD．e2正确答案：B解析：因为f＇(x)=1+ln(2x)，f＇(x0)=2，得x0=，所以f(x0)=5．在下列各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是A．B．C．D．正确答案：C解析：因为对选项C用洛必达法则有，此极限不存在，事实上原极限存在但不能用洛必达法则求，=1．6．曲线y=+1的水平渐近线是A．x=－1B．x=1C．y=0D．y=1正确答案：D解析：=1．所以y=1是曲线y的水平渐近线．7．设f(x)的－个原函数为xlnx，则xf(z)dx=A．x2+CB．x2+CC．x2+CD．x2+C正确答案：B解析：原式=xdF(x)=xd(xlnx)=x2lnx—xlnxdx=x2lnx—dx= x2()+C8．设f(x)连续，则tf(x2－t2)dt=A．xf(x2)B．－xf(x2)C．2xf(x2)D．－2xf(x2)正确答案：A解析：tf(x2－t2)dt=－f(x2－t2)d(x2－t2)f(u)du=f(u)du，由此得原式=f(u)du=xf(x2)．9．函数f(x，y)在点(x0，y0)处的偏导数f＇x(x，y)，f＇y(x，y)存在是函数f(x，y)在点(x0，y0)可微的A．充分且必要条件B．必要但非充分条件C．充分但非必要条件D．既不充分也不必要条件正确答案：B10．设积分区域D={(x,y)?x2+y2≤1，x≥},则(x2+y2)dσ=A．(x2+y2)dyB．(x2+y2)dxC．(x2+y2)dyD．(x2+y2)dy正确答案：A计算题（一）11．求极限的值．正确答案：=e-1+1．12．问a，b为何值时(b－cosx)=2．正确答案：因为(b－cosx)=2，且(b—cosx)=0．所以(a－ex)=0由此式可解得a=1，所以(b－cosx)=(cosx－b)=2,由此式可解得b=－1．13．设函数f(x)在(－∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2－4)；在[－2，0]上f(x)=kx(x+2)(x+4)，问k为何值时，f(x)在x=0处可导．正确答案：由题设知f(0)=0．f＇+(0)=—4．f＇－(0)=8k．令f＇－(0)=f＇+ (0)，得k=－即当k=－时，f(x)在x=0处可导．某工厂生产Q个单位产品的总成本C为产量Q的函数C=C(Q)=1100+Q2 求：14．生产900个单位产品时的总成本和平均成本;正确答案：生产900个单位产品时的总成本为C=C(900)=1 100+×9002=1 775．平均成本为≈1．97．15．生产900个单位产品时的边际成本．正确答案：生产900个单位产品时的边际成本为C＇(900)=(1 100+==1.5.16．计算定积分cos2xdx．正确答案：原式计算题（二）17．求函数f(x)= (2－t)e-tdt的最大值与最小值．正确答案：f(x)是偶函数，只考虑在区间[0，+∞)上的情况即可．f＇(x)=2x(2－x2)，令f＇(x)=0，得x=√2∈(0，+∞)．由于所以x=√2是f(x)在(0，+∞)内的唯－极大值点，而f(√2)=(2－t)e-tdt=[(t－2)e-t]=1+e－2，又(2－t)e-tdt=1，即f(x)=1．而且f(0)=0，所以f(√2)是f(x)在[0，+∞]上的最大值，f(0)是f(x)在[0，+∞)上的最小值.由于f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，+∞）内的最大值为1+e-2，最小值为0．18．求函数f(x)，使+C正确答案：因为=(x2+3x+1)lnx+－1=(x2+3x+1)lnx，所以f(x)=f(x)dx=(x2+3x+1)lnx．19．求不定积分的值．正确答案：=－2ln?cosx?+C．20．求方程=0满足初始条件=1的特解．正确答案：由=0得,(1+y)ydy=(1+x)xdx，方程两边积分得+C,将x=0，y==1代入，得C=所以，所求特解为3y2+2y3=3x2+2x3+5．21．求，其中D是由双曲线xy=1及直线y=x，x=2所围成的区域．正确答案：dxdy应用题22．设函数f(x)=试判断f(x)在x=0处的连续性和可导性．正确答案：因为xarctan=0×=0．xarctan=0×(－)=0，所以=0．又f(0)=0，所以函数f(x)在x=0处连续．因为所以函数f(x)在x=0处不可导．设生产某种产品x(百台)时的边际成本为C＇(x)=4+x/4(万元／百台)，边际收益为R＇(x)=8－x(万元／百台)，试求：23．产量由1百台增加到5百台时的总成本与总收入各增加多少?正确答案：总成本增加=19(万元)总收入增加=(8－x)dx=(8x－=20(万元)．24．产量为多大时，利润最大?正确答案：因为边际利润=边际收益－边际成本，所以边际利润=8－x－(4+)=4—x．当边际利润为零时利润最大，即4－x=0．解得x=3．2(百台)，即当产量为320台时利润最大．25．求由6x2+4y2+3z2－12x+6z－3=0确定的函数z=f(x，y)的极值．正确答案：令F(x，y，z)=6x2+4y2+3z2－12x+6z－3，由隐函数求导得：得驻点(1，0)，代入原方程得：z2+2z－3=0，解得z=1，z=－3．故=—1．≈－0．67。
《高等数学》考研模拟试卷及答案
《高等数学》考研模拟试卷及答案一.填空题（每小题4分，共20分）分）1.=->-xx x 10)sin 1(lim __________________________ （e /1） 2.曲线x x x y +=在)6,2(处的切线方程为_______ （)2)(2ln 45(6-+=-x y 或2ln 84)2ln 45(--+=x y ）3.=-òdx e xe x x1_____________________ （ C e e e x x x x +-+---1arctan 41412 ）4.半径R ，圆心角q 2的均质扇形薄片的质心距圆心的距离为____________________ （q q 3sin 2R ） 5.ò-x dt t x dx d 03)arctan(=______________________ （ 3arctan x ） 二.选择题（每小题4分，共分20分）分） 1.设ò+==xx x x g dt t x f sin 0432)(,)sin()(，则当0®x 时，)()(x g x f 是的（的（B ） A)等价无穷小等价无穷小 B)同阶但非等价无穷小同阶但非等价无穷小 C)高阶无穷小高阶无穷小 D)低阶无穷小低阶无穷小2.若曲线3212xy y b ax x y +-=++=和在点)1,1(-处相切，其中b a ,为常数，则（ D ）A)2,0-==b a B)3,1-==b a C)1,3=-=b a D)1,1-=-=b a 3.内有在则，且在)0,()(,0)('',0)(')0(),()(-¥>>¥+--=x f x f x f x f x f （ C ） A)0)('',0)('<<x f x f B)0)('',0)('><x f x fC)0)('',0)('<>x f x f D)0)('',0)('>>x f x f 4.二元函数ïîïíì=+¹++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 当)0,0(),(®y x 时的极限（时的极限（ C ） A)为0 B)不为0 C)不存在不存在 D)无法判断无法判断 5.当x x y x 1sin 0=>时，曲线 （ A ）A)有且仅有水平渐进线有且仅有水平渐进线 B)有且仅有铅垂渐进线有且仅有铅垂渐进线C)水平渐进线与铅垂渐进线都有水平渐进线与铅垂渐进线都有 D)不存在水平和铅垂渐进线不存在水平和铅垂渐进线三.若函数1)21(,0)1()0()10(]10[)(===f f f x f 上可微，且，上连续，在，在。
专升本数学模拟试卷10套及答案
11．如果当 x ® 0 时，无穷小量（1 - cos x ）与 a sin 2 x 为等阶无穷小量，则a = 2
ò 12．设 f ¢(x) 的一个原函数为 sin ax ，则 xf ¢¢(x)dx =
ò 13． sin x + cos x dx =
3 sin x - cos x
14．已知
a,
b, c
三、解答题:本大题共 8 小题,共 86 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 得分 评卷人 17．（本小题满分 10 分）
确定常数 a 和 b 的值，使 lim [ x2 + x + 1 - (ax + b)] = 0 x®-¥ 96-4
得分 评卷人 18．（本小题满分 10 分）
ò求Leabharlann xe x dx .10．已知 y = x 是微分方程 y¢ = y + j ( x ) 的解，则j ( x ) 的表达式为
ln x
xy
y
A. - y 2 x2
B. y2 x2
C. - x 2 y2
D. x2 y2
96-3
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试
高等数学标准模拟试卷（一）
第Ⅱ卷 （选择题 共 110 分）
B．是 f (x)g(x) 的驻点，但不是极值点
C．是 f (x)g(x) 的极大点
D．是 f (x)g(x) 的极小点
3．已知 f ¢(e x ) = xe-x 且 f (1) = 0 则 f (x) =
A． f (x) = (ln x)2 2
B． ln x
C． f (x) = ln x2 2
D． ln x 2
x
f (t)dt +
专升本(高等数学二)模拟试卷100(题后含答案及解析)
专升本（高等数学二）模拟试卷100(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．( )A．∞B．0C．1D．正确答案：D解析：2．在△y=dy+α中α是( )A．无穷小量B．当△x→0时α是无穷小量C．当△x→0时α是△x的高阶无穷小D．α=0正确答案：C解析：根据微分的定义，当△x→0时α是△x的高阶无穷小．3．y=xx，则dy= ( )A．xxdxB．xx(lnx+1)dxC．xxlnxdxD．xx(lnx一1)dx正确答案：B解析：由y=xx，则lny=xlnx．两边对x求导得所以y’=xx(lnx+1)，故dy=xx(lnx+1)dx．4．曲线x2+y2=2x在点(1，1)处的法线方程为( )A．x=1B．y=1C．y=xD．y=0正确答案：A解析：x2+y2=2x，两边对x求导得2x+2yy’=2，将(1，1)代入得y’|(1,1)=0，即点(1，1)处的切线平行于x轴，故点(1，1)处的法线垂直于x轴，其方程应为x=1．5．设f(x)=ln2+e3，则f’(x)= ( )A．B．0C．ln2+e3D．(ln2+3e2)正确答案：B解析：f(x)=ln2+e3,由于ln2和e3均为常数，所以f’(x)=0.6．( )A．B．3xC．xD．3正确答案：C解析：本题注意，变量是n而不是x．7．函数f(x)=在x=0处连续，则a= ( )A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x=0处左连续、右连续，8．曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所成的立体体积为( )A．2B．πC．D．正确答案：D解析：9．( )A．0B．∞C．D．2正确答案：C解析：本题需要注意的是在使用洛必达法则前，需先作等价无穷小替换，并注意只有处于因式地位的无穷小才能作等替换．10．设随机变量X：0，1，2的分布函数为F(x)=则P{X=1}=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因为X取值为0，1，2，所以F(1)=P{X≤1}=P{X=0}+P{X=1}=填空题11．正确答案：e-6解析：12．y=arctanex，则y’|x=0=_______．正确答案：解析：，令x=0，则13．设y=y(x)由x2+2xy-y2=2x确定，且y|x=2=0，则y’|x=2=_________．正确答案：解析：x2+2xy—y2=2x两边对x求导(注意y是x的函数)，因2x+2y+2xy’一2yy’=2，14．曲线x2+y2=2x在点(1，1)处的切线方程为________．正确答案：y=1解析：由x2+y2=2x，两边对x求导得2x+2yy’=2，取x=1，y=1，则y’|x=1=0，所以切线方程为y=1．15．曲线y=x3-3x2+2x+1的拐点是_________．正确答案：(1，1)解析：y’=3x2一6x+2，y”=6x一6，令y”=0，得x=1．则当x＞1时，y”＞0；当x＜1时，y”＜0．又因x=1时y=1，故点(1，1)是拐点(因y=x3一3x2+2x+1在(一∞，+∞)上处处有二阶导数，故没有其他形式的拐点)．16．正确答案：解析：17．∫sin2xcosxdx=_______．正确答案：解析：∫sin2xcosxdx=∫2sinxcos2xdx=一∫2cos2xdcosx=18．正确答案：解析：19．∫1elnxdx=_______．正确答案：1解析：∫1elnxdx=xlnx|1e一∫1ex.=e一(e一1)=1．20．若z=ln(x+ey)，则正确答案：解析：因z=ln(x+ey)，则解答题21．正确答案：22．试确定a，b的值，使函数f(x)=在点x=0处连续．正确答案：23．设y=lncosx，求y”(0)．正确答案：y”=一sec2x所以y”(0)=一1．24．正确答案：=∫(sinx+cosx)dx=一cosx+sinx+C．25．从一批有10件正品及2件次品的产品中，不放回地一件一件地抽取产品．设每个产品被抽到的可能性相同．求直到取出正品为止所需抽取的次数X 的概率分布．正确答案：由题意，X的所有可能的取值为1，2，3，X=1，即第一次就取到正品，P{X=1}=X=2，即第一次取到次品且第二次取到正品，故X的概率分布如下26．求函数y=2x3一3x2的单调区间、极值及函数曲线的凸凹性区间、拐点和渐近线．正确答案：令y’=6x2一6x=0，得x=0或x=1，y”=12x一6=0，得所以函数y的单调增区间为(一∞，0)和(1，+∞)，单调减区间为(0，1)；函数y的凸区间为凹区间为故x=0时，函数有极大值0，x=1时，函数有极小值一1，且点为拐点，因(2x3一3x2)不存在，且y=2x3一3x2没有无意义的点，故函数没有渐近线．27．一批零件中有10个合格品，3个次品，安装机器时，从这批零件中任取一个，取到合格品才能安装．若取出的是次品，则不再放回，求在取得合格品前已取出的次品数X的概率分布．正确答案：由题意，X的可能取值为0，1，2，3．X=0，即第一次就取到合格品，没有取到次品，P{X=0}=X=1，即第一次取到次品，第二次取到合格品，同理，P{X=2}=P{X=3}=所以X的概率分布为28．正确答案：由洛必达法则。
河南省专升本(高等数学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
河南省专升本（高等数学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数y=arcsin的定义域为( )A．(-1，1)B．[0，4]C．[0，1)D．[0，1]正确答案：C解析：若函数有意义，则满足1-x2＞0且｜-1｜≤1，求解得{x｜0≤x＜1}，所以选C.2．极限= ( )A．3B．C．0D．不存在正确答案：B解析：原式3．点x=0是函数y=的( )A．连续点B．可去间断点C．跳跃间断点D．第二类间断点正确答案：C解析：当x=0时，函数无意义，故x=0为间断点，又=0，故x=0为函数的跳跃间断点，选C.4．设f(x)=sint2dt，g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是比g(x)的( ) A．等价无穷小B．同阶非等价无穷小C．高阶无穷小D．低阶无穷小正确答案：B解析：，故选B.5．设f(x)在x=2处可导，且f’(2)=1，则= ( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因f’(2)=1，所以6．设曲线y=x2+ax+1在点x=1处的切线斜率为-1，则常数a为( ) A．-3B．-2C．-1D．0正确答案：A解析：由题意，y’=x2+ax+1，当x=1时，y’=-1，即2×1+a=-1，得a=-3．7．设y=，则dy= ( )A．B．C．exdxD．exlnxdx正确答案：A解析：因y=，则dy=8．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则曲线y=f(x)在(a，b)内平行于x轴的切线( )A．仅有一条B．至少有一条C．有两条D．不存在正确答案：B解析：由题设知，f(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件，由定理的几何意义知，选项B正确．9．函数y=ax2+c在区间(0，+∞)内单调增加，则a，c满足( )A．a<0，且c≠0B．a>0，且c≠0C．a<0，且c为任意实数D．a>0，且c为任意实数正确答案：D解析：因y=ax2+c在(0，+∞)内递增，则y’=2ax>0，又x∈(0，+∞)，于是a>0，由于对c无要求，故c可以取任意实数，选项D正确．10．函数y=的最大值是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因y’=，令y’=0，得驻点x=0或x=-4；又x0；x>0时，y’；在x=0处取得极大值，极大值为f(0)==0，故函数的最大值为．选项B正确．11．设x=atcost，y=atsint，(a≠0)，则= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：12．设f’(2x-1)=ex，则f(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因f’(2x-1)=ex，故f’(x)=，故f(x)=+C13．设f(x)=e-x，则= ( )A．e-x4+CB．+CC．-e-x4+CD．+C正确答案：B解析：令lnx=u，则=∫f’(lnx)dlnx=f(u)+C=f(lnx)+C=e-lnx+C=+C14．设f(x)在[0，]上连续，f(x)=xcosx+= ( ) A．-1B．0C．1D．正确答案：A解析：令f(x)dx=a(a为常数)，则f(x)=xcosx+a，对等式两边在[0，]上积分得，即a=-1．所以f(x)dx=-1．15．下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：对于C，=1收敛，所以选C.16．下列不等式成立的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：对于B，因1≤x≤2，则x3＞x2，故，所以选B.17．设平面π：2x+y+kz-1=0与直线：平行，则k= ( )A．5B．4C．3D．2正确答案：A解析：因平面，π的法向量={2，1，k}，直线的方向向量={3，4，-2｝，因直线与平面平行，所以=0，即{2，1，k｝.{3，4，-2｝=2×3+1 ×4+k×(-2)=0，即k=5，选A.18．方程x2+y2-z2=0表示的二次曲面是( )A．球面B．旋转抛物面C．圆锥面D．圆柱面正确答案：C解析：x2+y2-z2=0可看做是绕z轴旋转形成的曲面，是圆锥面．19．设z=tan(xy-x2)，则=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：=sec2(xy-x2).(y-2x)=，选A.20．设z=u2lnv，u=，则dz= ( )A．2y3dx+3xy2dyB．y3dx-3xdyC．y3dx+3xy2dyD．2xy3dx+3x2y2dy正确答案：C解析：先将函数进行复合，得z==xy3．故dz=y3dx+3xy2dy，选C.21．交换积分次序，= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因已知积分的积分区域D可表示为D=D1+D2，其中，D1：{(x，y)｜0≤x≤1，｝D2：{(x，y)｜1≤x≤4，x-2≤y≤｝其图形如第21题图所示，区域D又可表示为D：｛(x，y)｜-1≤y≤2，y2≤x≤y+2｝于是，原积分交换积分次序后为：，选项B正确．22．设D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}，则eydxdy= ( )A．2(e-1)B．(e-1)2C．2eD．e+1正确答案：A解析：原式==2(e-1)，选A.23．设L是逆时针方向的第一象限圆周：x2+y2=1，则∮L(x+y)dx+(x-y)dy= ( )A．-2B．-1C．0D．1正确答案：B解析：因P(x，y)=z+y，Q(x，y)=x-y，则，所以积分与路径无关，故原积分为：24．旋转曲面x2-y2-z2=1是( )A．xOy平面上的双曲线x2-y2=1绕y轴旋转所得B．xOy平面上的双曲线x2-y2=1绕z轴旋转所得C．xOy平面上的双曲线x2-y2=1绕x轴旋转所得D．xOy平面上的圆x2+y2=1绕x轴旋转所得正确答案：C解析：由旋转曲面的方程特征知，选项C正确．25．下列级数中，收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A，→1，(n→∞)，故发散；选=1故发散．选项C，un=，故该级数是ρ=＞1的P级数，收敛；选项D，是p=2102＜1的P级数，发散，所以选C.26．下列级数中，条件收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：选项A，C，D是绝对收敛，选项B，根据莱布尼兹判别法和p级数的特点容易判断是条件收敛．27．幂级数的收敛区间(不包括端点)为( )A．(-2，2)B．(-1，2)C．(-1，3)D．(-2，3)正确答案：C解析：因an1=，从而收敛半径R==2，收敛区间为-2＜x-1＜2，即-1＜x＜3．28．如果连续函数f(x)满足：f(x)=dt+2，则f(x)= ( )A．2exB．2e2xC．2e3xD．2e-x正确答案：B解析：因f(x)=+2，两边求导，得f’(x)=2f(x)，于是f(x)=Ce2x，同时注意到f(0)=2，故C=2，即f(x)=2e2x29．微分方程y’’-3y’+2y=0的通解为( )A．y=C1e-x+C2e-2xB．y=C1e-x+C2e2xC．y=C1ex+C2e-2xD．y=C1ex+C2e2x正确答案：D解析：因方程的特征方程为：r2-3r+2=0，故有特征根r1=1，r2=2，于是方程的通解为y=C1ex+C2e2x30．微分方程y’’-7y’+6y=ex的特解可设为( )A．y*=Ce*B．y*=Cxe*C．y*=(ax+b)e*D．y*=Cx*e*正确答案：B解析：因方程的特征方程为r2-7r+6=0，特征根为r1=1，r2=6，而自由项f(x)=ex，λ=1是一重特征根，故方程的特解应设为y’=Cxex填空题31．函数y=的反函数f-1(x)=_______正确答案：解析：由求反函数的步骤可得f-1(x)=32．设(x≠-1)，则f’(1)=________正确答案：1解析：令=t，则x=，故f(t)=，f(t)=，所以f’(1)=1．33．函数f(x)=的单调递减区间为______正确答案：(e，+∞)解析：由f’(x)=＜0知x>e，故f(x)的单调递减区间为(e，+∞)．34．设函数y=f(x)由方程e2x-y-cos(xy)=e-1所确定，则dy=_______正确答案：解析：方程两边微分得e2x+y(2x+y)+sin(xy)d(xy)=0，即e2x+y(2dx+dy)+sin(xy)(xdy+ydx)=0，整理得dy=35．函数f(x)=，(x>0)取得极小值时的x值为_______正确答案：x=解析：f’(x)=2-，令f’(x)=0，得x=36．=______正确答案：+C解析：=∫arctanxd(arctanx)=+C37．在区间[0，2π]上，曲线y=sinx与x轴所围成图形的面积为______ 正确答案：4解析：S==438．已知f(x)dx=1，f(1)=0，则xf’(x)dx__________正确答案：-1解析：=f(x)-1=-139．过点M0(1，-1，2)且垂直于直线的平面方程是_______正确答案：2x+3y+z-1=0解析：所求平面方程为2(x-1)+3(y+1)+(x-2)=0，整理得2x+3y+z-1=0．40．=_________正确答案：0解析：=041．方程sinx+2y-z=ez确定函数z=z(x，y)，则=__________正确答案：解析：方程两边对x求偏导数得cosx-，整理得42．设z=，且f(x)可导，则=_________正确答案：2xyf()解析：43．设D是由直线x+y=1，x-y=1及x=0所围成的闭区域，则dxdy=________ 正确答案：1解析：由二重积分的几何意义知，dxdy为区域。
考研数学一(高等数学)模拟试卷150(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷150(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．级数A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．敛散性与a有关．正确答案：B解析：由莱布尼兹法则知，原级数收敛．因此是条件收敛．选(B)．知识模块：高等数学2．设有级数an，Sn＝ak，则Sn有界是级数an收敛的A．充分条件．B．必要条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件也非必要条件．正确答案：B解析：由级数收敛性概念知收敛，即部分和数列{Sn}收敛．由数列收敛性与有界性的关系知，{Sn}收敛｛Sn｝有界，因此选(B)．知识模块：高等数学3．已知an＞0(n＝1，2，…)，且(一1)n—1an条件收敛，记bn＝2a2n—1一a2n，则级数A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛或发散取决于an的具体形式．正确答案：C解析：由已知条件知识模块：高等数学4．下列命题中正确的是A．若幂级数收敛半径R≠0，则B．若，则不存在收敛半径．C．若的收敛域为[一R，R]，则的收敛域为[一R，R]．D．若的收敛区间(—R，R)即它的收敛域，则的收敛域可能是[—R，R]．正确答案：D解析：收敛半径，或R＝＋∞，或0＜R＜＋∞，或R＝0，三种情形必有一种成立．因而(B)不正确，但幂级数，不一定有(如缺项幂级数收敛半径，这里a2n ＝2n，a2n＋1＝0，于是，)，因而(A)也不正确．(C)也是不正确的．如，收敛域为[—1，1]，但的收敛域为[一1，1)．因此只有(D)正确．事实上，若取的收敛区间即收敛域为(一1，1)，而的收敛域为[—1，1]．知识模块：高等数学5．对于任意x的值，A．0．B．1．C．D．∞．正确答案：A解析：考虑级数的敛散性．由可知幂级数的收敛半径R＝＋∞，因此此级数对任意的x值均收敛．由级数收敛的必要条件得知，故选(A)．知识模块：高等数学填空题6．设级数的部分和，则＝______．正确答案：解析：因为，所以级数收敛，那么由级数的基本性质有知识模块：高等数学7．级数的和S＝______．正确答案：解析：考察部分和知识模块：高等数学8．幂级数的收敛区间是______．正确答案：(一2，2)解析：先求收敛半径R：有相同的收敛半径R，R＝2，收敛区间为(一2，2)．知识模块：高等数学9．(n—1)x的和函数及定义域是______·正确答案：解析：知识模块：高等数学10．幂级数的和函数及定义域是______·正确答案：解析：知识模块：高等数学11．设级数收敛，则p的取值范围是______。
考研数学一(高等数学)模拟试卷144(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷144(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．已知方程的两个特解y1＝ex，y2＝x，则该方程满足初值y(0)＝1，y’(0)＝2的解y＝______．正确答案：ex＋x解析：因y1，y2线性无关，该方程的通解y＝C1ex＋C2x．由初始条件得C1＝1，C1＋C2＝2C1＝1，C2＝1y＝ex＋x 知识模块：高等数学2．微分方程y’’＋6y’＋9y＝0的通解y＝______．正确答案：(C1＋C2x)e—3x解析：特征方程λ2＋6λ＋9＝0，即(λ＋3)2＝0．通解为y＝(C1＋C2x)e —3x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3．求下列微分方程的通解：(I)(x一2)dy＝[y＋2(x一2)3]dx；(Ⅱ)y2dx＝(x＋y2)dy；(Ⅲ)(3y一7x)dx＋(7y一3x)dy＝0；(Ⅳ)一3xy＝xy2．正确答案：(I)原方程改写成＝2(x—2)2．(一阶线性方程)，两边乘μ＝＝2(x 一2)．积分得y＝(x一2)2＋C通解y＝(x一2)3＋C(x一2)，其中C为任意常数.(II)原方程改写成．(以y为自变量，是一阶线性的)两边乘通解，其中C为任意常数．(Ⅲ)原方程改写成通解为(x一y)2(x＋y)5＝C，其中C为任意常数．(Ⅳ)这是伯努利方程．将原方程改写成故通解为，其中C为任意常数．涉及知识点：高等数学4．求下列微分方程的通解或特解：(I)一4y＝4x2，y(0)＝，y’(0)＝2；(Ⅱ)＋2y＝e—xcosx．正确答案：(I)相应齐次方程的特征方程λ2一4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解y*＝ax2＋bx＋c，代入方程得2a一4(ax2＋bx＋c)＝4x2．—4a＝4，b＝0，2a—4c＝0a＝—1，c＝由初值y(0)＝C1＋C2，y’(0)＝2C1—2C2＝2因此得特解为(II)相应齐次方程的特征方程λ2＋3λ＋2＝0，特征根λ1＝一1，λ2＝一2．由于非齐次项是e—xcosx；，一1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y*＝e—x(acosx＋bsinx)．代入原方程比较等式两端e—xcosx与e—xsinx的系数，可确定出，所以非齐次方程的通解为y＝C2e—x＋C2e—2x＋e—x(sinx一cosx)，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：高等数学5．求方程y’’＋2my’＋n2y＝0的通解；又设y＝y(x)是满足y(0)＝a，y’(0)＝b的特解，求y(x)dx，其中m＞n＞0，a，b为常数．正确答案：特征方程λ2＋2mλ＋n2＝0，特征根λ＝一m±，通解为注意：指数均为负的将方程两边积分涉及知识点：高等数学6．设y＝y(x)在[0，＋∞)内可导，且在x＞0处的增量△y＝y(x＋△x)一y(x)满足△y(1＋△y)＝，其中当△x→0时α是△x的等价无穷小，又y(0)＝2，求y(x)．正确答案：由题设等式可得(1＋△y)，令△x→0即得从而y＝y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘，两边积分得＝C＋ln(4＋x)y＝C(4＋x)＋(4＋x)ln(4＋x)令x＝0，y—2可确定常数y＝(—2ln2)(4＋x)＋(4＋x)ln(4＋x)＝(4＋x)[—2ln2＋ln(4＋x)] 涉及知识点：高等数学7．设函数f(x)连续，且f(t)dt＝sin2x＋tf(x一t)dt．求f(x)．正确答案：代入原方程即得①由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对x求导即得f(x)=2sinxcosx＋∫0xf(u)du＝sin2x+∫0xf(u)du ②(在①中令x＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．)在②式中令x＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(x)可导，于是将它两端对x求导，又得f’(x)＝2cos2x＋f(x)．故求y＝f(x)等价于求解初值问题的特解．解之可得涉及知识点：高等数学8．设有微分方程y’一2y＝φ(x)，其中φ(x)＝试求：在(一∞，＋∞)内的连续函数y＝y(x)，使之在(一∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)＝0．正确答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起．当x＜1时，方程y’一2y＝2的两边同乘e—2x得(ye—2x)’＝2e—2x，积分得通解y＝C1e2x一1；而当x＞1时，方程y’一2y＝0的通解为y＝C2e2x．为保持其在x＝1处的连续性，应使C1e2—1＝C2e2，即C2＝C1一e—2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得C1＝1，即所求特解为涉及知识点：高等数学9．设函数f(x)在[0，＋∞)上连续，且满足方程f(t)＝，试求f(t)．正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得两边对t求导得在前一个方程中令t＝0得f(0)＝1．②求f(t)转化为求解初值问题①＋②．这是一阶线性方程，两边乘由f(0)＝1得C＝1．因此f(t)＝(4πt2＋1)e4πt2．涉及知识点：高等数学10．已知y1*＝xex＋e2x，y2*＝xex＋e—x，y3*＝xex＋e2x—e—x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解y1*—y3*＝e—x，y2*—y3*＝2e—x—e2x．进一步又可得该齐次方程的两个特解是y1＝e—x，y2＝2(y1*—y3*)一(y2*—y3*)＝e2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解y4*＝y1*—y2＝xex因此该非齐次方程的通解是y＝C1e—x＋C2e2x＋xex，其中C1，C2为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程y’’＋py’＋qy＝f(x)．它的相应特征根是λ1＝一1，λ2＝2，于是特征方程是(λ＋1)(λ一2)＝0，即λ2一λ一2＝0．因此方程为y’’一y’一2y＝f(x)．再将特解y4*＝xex代入得(x＋2)ex—(x＋1)ex—2xex＝f(x)，即f(x)＝(1—2x)ex因此方程为y’’—y’—2y＝(1—2x)ex 涉及知识点：高等数学11．求解初值问题正确答案：这是可降阶类型的(方程不显含x)．令p＝，并以y为自变量变换原方程代入原方程得由初值得积分得最后得(0≤x≤2)．涉及知识点：高等数学12．设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：是方程y’＋p(x)y＝0的所有解．正确答案：因为对任意常数C，y＝是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则即存在常数C，使得涉及知识点：高等数学13．设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x3，求此凸弧的方程．正确答案：设凸弧的方程为y＝f(x)，因梯形OAPC的面积为[1＋f(x)]，故两边对x求导，则得y＝f(x)所满足的微分方程为xy’一y＝一6x2一1．(原方程中令x＝0得0＝0，不必另加条件，它与原方程等价)其通解为对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5x—6x2＋1．涉及知识点：高等数学14．在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(x)＞0，y(0)＝2，y(x)有连续导数．已知x＞0，[0，x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积，求曲线y＝y(x)的方程．正确答案：(Ⅰ)．列方程，定初值．在[0，x]上侧面积与体积分别为．按题意①y(0)＝2．②(II)转化．将①式两边求导得2y(x)(在①中令x＝0，得0＝0，不必另附加条件)．化简得(Ⅲ)解初值问题③式分离变量得积分得为解出y，两边乘将④．⑤相加得涉及知识点：高等数学15．设f(x)为连续正值函数，x∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝｜(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)｜(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．正确答案：(I)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(x)dx．见图6．2．按题意(II)转化．将方程①两边求导，则方程①f2(t)＝4f(t)∫0tf(x)dx＋f(t)f(t)＝4∫0tf(x)dx＋1(①中令x＝0，等式自然成立，不必另加条件)·f(x)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t ＝0得方程①③(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘μ(t)＝得[f(t)e—4t]’＝0，并由初始条件得f(t)＝e4t，即f(x)＝e4x．涉及知识点：高等数学16．设曲线y＝y(x)上点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y＝y(x)的方程．正确答案：(I)列方程．曲线y＝y(x)在点(x，y)处的切线斜率为，与原点连线的斜率为(II)解方程．将方程改写为ydy＋xdx＝0，即d(x2＋y2)＝0．于是通解为x2＋y2＝C(C＞0为常数)．涉及知识点：高等数学17．求证：曲率半径为常数a的曲线是圆．正确答案：由曲率半径公式知，曲线y＝y(x)满足解方程：①积分得②又由③由②和③式得(x＋C1)2＋(y＋C2)2＝a2，即曲线是圆周．若，则同样可证．涉及知识点：高等数学18．设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为3克的物体，已知此绳受1克重量的外力作用时伸长厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?正确答案：取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移s，向下为正．s＝?时，v(速度)＝0．(I)受力分析．弹性恢复力f＝ks由条件知g＝k·k ＝24g f＝24gs，g为重力加速度．重力mg＝3g．(Ⅱ)加速度表示．由题目的需要，加速度．(Ⅲ)列方程与初始条件．由牛顿第二定律得＝3g一24gs．初始条件：t＝0时s(0)＝0，(Ⅳ)求解初值问题分离变量得vdv＝(g一8gs)ds＝gs一4gs2＋C．由v(0)＝0 C＝0 ＝gs一4gs2．(V)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时v＝0．解gs一4gs2＝0得s＝0，s＝．因此，s＝为所求．涉及知识点：高等数学19．5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1 kg肥皂．正确答案：设t时刻水中含的肥皂量为Q(t)kg，任取[t，t＋dt]，这段时间内肥皂含量的减少量＝抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得Q(t)＝因此，当t＝T＝30ln5时肥皂水中只有1 kg肥皂．涉及知识点：高等数学20．设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正方向运动，物体B从点(一1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，任意时刻B点的坐标(x，y)，试建立物体B的运动轨迹(y作为x的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件．正确答案：规定A出发的时刻t＝0．1 列方程.t时刻A位于(0，1＋vt).t时刻B位于点(x(t)，y(t))，B点的速度＝(一x，1＋vt—y)同向(见图6．3)①又B点的速度大小为讲一步消去t，可得y作为x的函数满足的微分方程．将①式两边对x求导得③由②式将它代入③得y＝y(x)满足的微分方程为涉及知识点：高等数学21．已知α，β都是单位向量，夹角是，求向量2α＋β与一3α＋2β的夹角．正确答案：｜α｜＝1，｜β｜＝1，α·β＝｜α｜｜β｜cos＜α，β＞＝(2α＋β)·(2α＋β)＝4＋2β·α＋2α·β＋1＝5＋4(一3α＋2β)·(一3α＋2β)＝9一6β·α—6α·β＋4—＝13—12＝7，(2α＋β)·(一3α＋2β)＝—6—3β·α＋4α·β＋2＝一4 涉及知识点：高等数学22．若α∥β，α＝｛6，3，一2｝，而｜β｜＝14，求β．正确答案：设β＝｛x，y，z｝，由β＝λα｜β｜＝｜λ｜｜α｜14＝｜λ｜7｜λ｜＝2β＝±2｛6，3，—2｝涉及知识点：高等数学23．若α，β，γ是单位向量且满足α＋β＋γ＝0，求以α，β为边的平行四边形的面积．正确答案：记＜α，β＞＝θ，则面积S＝｜α×β｜＝｜α｜｜β｜sin θ＝下求α·β：由α＋β＋γ＝0因此涉及知识点：高等数学24．已知α，β，γ不共线，证明α＋β＋γ＝0的充要条件是α×β＝β×γ＝γ×α．正确答案：设α＋β＋γ＝0 α×β＋γ×β＝0 α×β一β×γ＝0 α×β＝β×γ．同理，由α＋β＋γ＝0 α×γ＋β×γ＝0 β×γ＝γ×α．设α×β＝β×γ＝γ×α，则(α＋β＋γ)×α＝β×α＋γ×α，(α＋β＋γ)×β＝α×β＋γ×β＝0，(α＋β＋γ)×γ＝α×γ＋β×γ＝0α，β，γ均与α＋β＋γ共线α＋β＋γ＝0 涉及知识点：高等数学25．把直线L的方程化为对称方程．正确答案：先求L的方向向量再求一交点．令x＝0得因此直线L的方程为涉及知识点：高等数学。
高数下期末复习模拟试题3份
2
∂P ∂P = 在 D 内 连 续 ， 且 有 ∂x ∂y ， 则
∫
L
( P( x, y ) + y )dx + ( P( x, y ) − x)dy =（
）
2 − 2 a A、 ;
B、 − 2a ;
2
C、 − a ;
2
D、 a
→
2
7. 设流体速度场 v = ci + y j ( c 为常数 ), 则单 位时间内由半径为 2 的球面内部流出球
u = f ( x, xy ), v = g ( x + xy ) ，
∂u ∂u 求 ∂x , ∂y
。
x +t
∂u ∂u 2.（8 分）设 u ( x, t ) = ∫ x −t f ( z )dz ，求 ∂x , ∂t 。 四、求解下列问题（共计 15 分） 。
1.计算 I
= ∫ 0 dx ∫ x e dy 。 （7 分）
即
∫
x0 0
ydx −
1 2 x0 y 0 = x0 2
将 ( x 0 , y 0 ) 改为 ( x, y ) 得： 求导得： y ′ −
∫
x
0
ydx −
1 xy = x 2 2
1 y = −4 ，且 y (1) = 1 x
该方程的通解为 y = (c + (−4)e
∫
−
∫ x dx1dx源自e∫ x dx∂ 2u ∂ 2u 数，则 x ∂x 2 + y ∂y 2
等于（
）
（A） x + y （B） x ； (C) y
(D)0 。
全国自考(高等数学一)模拟试卷6(题后含答案及解析)
全国自考（高等数学一）模拟试卷6(题后含答案及解析)题型有：1. 单项选择题 3. 计算题（一） 4. 计算题（二） 5. 应用题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设，则f—1(x)=A．x—1B．x+1C．—x—1D．—x+1正确答案：A解析：∴f(x)=1+x=y，得x=y—1，故反函数f—1(x)=x —1．2．A．1B．0C．∞D．2正确答案：A解析：3．当x→∞时，等价，则k=A．1B．0C．2D．3正确答案：C解析：∵x→∞时，通过观察可发现只有k=2时才能使上述极限成立，4．设函数f(x)在x=a处可导，且=1，则f’(a)=A．B．5C．2D．正确答案：A解析：5．设y=，则dy=A．B．C．D．正确答案：C解析：6．设函数f(x)=(x—1)，则点x=1是f(x)的A．间断点B．可微点C．驻点D．极值点正确答案：D解析：因为连续函数的极值点必是函数的驻点或不可导点，故由此来判断x=1是f(x)=的极值点．7．若lnx(x＞0)是函数f(x)的原函数，那么f(x)的另一个原函数是A．ln(ax)(a＞0，x＞0)B．lnx (x＞0)C．ln(x+a)(x+a＞0)D．(lnx)2(x＞0)正确答案：A解析：∵(lnx)’=∴ln(ax)也是f(x)的原函数．8．微分方程y’=ex—2y的通解是y=A．ln(2ex+C)B．ln(2ex+C)C．ln(ex+C)D．ln(ex+C)正确答案：A解析：y’=ex—2y，∴∴e2ydy=exdx，∫e2ydy =∫exdx即e2y=ex+C1，化简得y=ln(2ex+C)．9．A．1B．exC．yexD．y正确答案：C解析：∵x=∴lnz=x+lny，即z=ex+lny=yex，∴=yex．10．若D={(x，y)|—2≤x≤2，0≤y≤1}，则二重积分f(x，y) dxdy= A．2∫02dx∫01f(x，y)dyB．2∫—20dx∫02f(x，y)dyC．∫—22dx∫01f(x，y)dyD．∫—22dx∫—11f(x，y)dy正确答案：C解析：由二重积分的性质得f(x，y)dxdy=∫—22dx∫01f(x，y)dy．计算题（一）11．求极限(1—sinx) cotx．正确答案：12．设y=ln(cscx—cotx)，求y’．正确答案：13．求极限正确答案：14．求不定积分正确答案：15．已知z=u2υ=uυ2，且u=xcosy，υ=xsiny，求正确答案：计算题（二）16．讨论的连续性．正确答案：由条件知f(x)在(一∞，1)，(1，3)，(3，+∞)内连续，因此只需讨论f(x)在x=1，x=3点处的连续性．当x=1时，f(1+0)=4，f(1—0)=6，f(x)在x=1处间断，当x=3时，f(3+0)=6，f(3—0)=6，又f(3)=6，所以f(x)在x=3处连续，故f(x)的连续区间为(—∞，1)∪(1，+∞)．17．设0＜|x|＜1，求y’．正确答案：18．求(a＞0，n为正整数)．正确答案：19．设I1=∫01exdx，I2=∫01，试比较I1与I2的大小．正确答案：I1=∫01exdx= e—1，令t=，I2= 2∫01tetdt=2∫01tde = 2(tet ∫01一∫01etdt) = 2，所以I1＜I2.20．设函数z=z(x，y)由方程=2e2确定，求正确答案：本题考查隐函数的求导法则．应用题21．已知汽车行驶时每小时的耗油费用y(元)与行驶速度x(公里/小时)的关系为y=x3，若汽车行驶时除耗油外的其他费用为每小时100元，求最经济的行驶速度．正确答案：设行驶a公里，则行驶时间为，总费用为当x=50时，S’=0，S”=∴最经济的速度为50公里/小时．22．设某产品的需求函数为Q=40—2P，又生产Q件时的平均成本为求：(1)Q=10时的边际收入；(2)Q=10时的需求价格弹性；(3)边际利润为零时的总产量与利润额．正确答案：(1)收益函数R(Q)=Q．P=R’(Q)=20—Q，所以Q=10时的边际收益为R/(10)=10．(2)由于P=20—所以Q=10时的价格为P=15，需求价格弹性为所以Q=10时的需求价格弹性为η|P=15=|P=15=3．(3)由于+4，所以C(Q)=20+4Q，利润函数为L(Q)=R(Q)一C(Q)=(20Q—Q2)—(20+4Q)=Q2+16Q—20，边际利润为L’(Q) =—Q+16，L’=0得Q=16，边际利润为零时的产量为Q=16，此时的总利润为L(16)=108．23．求曲线y=ex，y=e—x和直线x=1所围成平面图形的面积A以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积Vx．正确答案：本题为定积分的应用．平面图形如下图所示．A=∫01(ex一e—x)dx=(ex+e—x)∫01=e+e —1—2，Vx为y=ex与y—e—x旋转所得旋转体体积之差，即Vx=∫01π(ex)2dx—∫01π(e—x)2dx =π∫01(e2x—e—2x) dx=(e2x+ e—2x)|01=(e2+e—2—2)．24．从直径为d的圆形树干中切出横断面为矩形的梁，此矩形的长为b，宽为h，若梁的强度f(b) =bh2，问梁的横断尺寸应如何设计可使其强度最大？并求出最大强度．正确答案：∵d2=b2+h2，h2=d2—b2，f(b)=bh2=b(d2—b2)，f’(b)=d2—3b2．当b=时，f’(b)=0，f”(b)=一6b＜0，∴为最大值．。
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模拟试卷1一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.极限=→x x x x sin 1sinlim 20____________【】A 、0B 、1C 、∞D 、不存在,但不是∞2．曲线x y sin 2+=π在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为____________【】A 、2πB 、4πC 、0D 、13.设)12)(1()(+-='x x x f ,),(+∞-∞∈x ,则在区间)1,21(内)(x f ____________【】A 、单调增加,曲线)(x f y =为凹的;B 、单调减少,曲线)(x f y =为凹的;C 、单调减少,曲线)(x f y =为凸的;D 、单调增加,曲线)(x f y =为凸的.4.设⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=ax x a x a a x x x f ,,,12)(3，若)(x f 在点a x =处连续，则常数a =____________【】A 、0B 、1C 、1-D 、25.数列有界是数列收敛的____________【】A 、充分条件，但不是必要条件B 、必要条件，但不是充分条件C 、充分且必要条件D 、既非充分条件也非必要条件6.设)(0x f '、)0(f '均存在，以下四式中正确的一个是____________【】A 、)()()(lim0000x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆B 、)0()0()(lim 0f xf x f x '-=--→C 、)()()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→D 、)(2)()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→.7.函数1ln )(-=x x f 的导数为____________【】A 、11)(-='x x f B 、11)(-='x x f C 、xx f -='11)(D 、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-='1,111,11)(x xx x x f 8.已知C e xe dx x f x x+-=⎰)(,则='⎰dx x f )(____________【】A 、Ce xe x x +-B 、Cxe x +C 、Ce xe x x ++D 、Ce xe x x +-29.当0→x 时,⎰=x dt t x f 02sin )(是比43)(x x x g +=的____________无穷小.【】A 、高阶B 、低阶C 、同阶但不等价D 、等价10.设)(x f 在],[a a -上连续,则⎰-a adx x f )(恒等于___________【】A 、⎰adxx f 0)(2B 、0C 、⎰-+a dx x f x f 0)]()([D 、⎰--adxx f x f 0)]()([二、填空题（每小题2分，共10分）1.设)(x y y =是由方程0=-+e xy e y所确定,则当1.0,00=∆=x x 时,其微分________2．=+++∞→11232(lim x x x x =____________3．设)100()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=')0(f ____________4．若函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值,则=a ____________5．定积分=++⎰-dx x x xx 11462312sin ____________三、计算题（每小题8分，共40分）1．求极限]1)1ln(1[lim 0xx x -+→2．设)(x y y =是由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2所确定的函数，求y y ''',3．求不定积分⎰dxex34．求定积分dxx x ⎰-π042cos cos 5．设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x bax x x x f 在1=x 处可导,求b a ,的值.四、应用题（每小题10分，共20分）1．制作一个容积固定的圆柱形有盖的桶,问高和底半径取多大尺寸时,用料最省.2．求由曲线xy 1=、直线x y =和2=x 所围成的平面图形的面积,以及此平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.五、证明题（1小题，10分）当0>x 时，证明：221)1ln(1xx x x +>+++模拟试卷2一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.下列等式中不成立的是.【】A 、12cos lim2=-→ππx xx B 、11sinlim =∞→xx x C 、1sin tan lim0=→xxx D 、1)sin(tan lim0=→xx x 2.设函数)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin2x x xx ,则)(x f 在0=x 处的性质是.【】A 、连续且可导B 、连续但不可导C 、既不连续也不可导D 、可导但不连续3.设)(x f '连续,则下列式子中成立的是.【】A 、C x f dx x f +='⎰)2()2(B 、C x f dx x f +='⎰)()2(C 、C x f dx x f +='⎰)2(21)2(D 、⎰=')2(2))2((x f dx x f 4.当0→x 时,与x tan 等价的无穷小是.【】A 、x x -2B 、x cos 1-C 、xx sin 2+D 、11-+x 5.设⎩⎨⎧===t b y t a x y sin cos ,则=x d yd 22.【】A 、ta b 2sin B 、tt a b22cos sin -C 、ta b 2cos D 、ta b 32sin -6.设x x x f 2ln )(=在0x 点可导,且2)(0='x f ,则=)(0x f .【】A 、1B 、2e C 、e2D 、2e 7.数列有界是数列收敛的____________.【】A 、必要条件，但不是充分条件B 、充分条件，但不是必要条件C 、充分且必要条件D 、既非充分条件也非必要条件8.下列积分中,其值等于0的是____________.【】A 、dxx ⎰-112sin B 、dxx ⎰-112cos C 、dxx x ⎰-11sin D 、dxx ⎰-112sin 9.曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 处的切线方程与法线方程分别为______.【】A 、切线方程为02=+y x ；法线方程02=-y xB 、切线方程为02=-y x ；法线方程02=+y xC 、切线方程为02=-y x ；法线方程02=-y xD 、切线方程为02=+y x ；法线方程02=+y x 10.=⎰dx e x x 35____________.【】A 、Cx e x +-)1(31B 、C x e x +-)1(33C 、Cx e x +-)1(3133D 、Cx e x ++)1(33二、填空题（每小题2分，共10分）1.设)(x f ⎩⎨⎧>+≤=332x b ax x x 在3=x 处可导，则=a ，=b 。
2.=⎰→320sin limxxdx x x 。
3.设x x f 22sin )(cos ='，且0)0(=f ，则=)(x f _________。
4.设xx x f =)(，则=')(x f 。
5.=⎰-dx ex x 1022=___________。
三、计算题（每小题8分，共40分）1.求极限)tan 11(lim 20xx x x -→2.设)(x y y =是方程0=-+e xy e y的隐函数，求y '与y ''.3.求不定积分dxx x sin ⎰4.求定积分dxx ⎰-202sin 1π5.求曲线xxey -=的单调区间、凹凸区间和拐点。
四、应用题（每1小题10分，共20分）1.将长度为l 的铁丝分成两段，一段弯成正方形，另一段弯成一个圆周，问两段各为多长时，才能使所得正方形与圆面积之和最小。
2.求由曲线xx ey e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积，以及此平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
五、证明题（1小题，10分）当0>x 时，证明：x x +>+1211模拟试卷3一、单项选择题（每小题2分，5小题，共10分）1．下列数列中，发散的是()（A ）321+-=n n x n （B ）32)1(n n n x n n -+=（C ）1)1(+-=n x nn （D ）nnx n n )1(2-+=2．设⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=时当 时当时当a x x a x a a x x x f ,,,12)(3在点a x =处连续，则常数a ＝()（A ）2（B ）0（C ）l（D ）1-3．设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则在),(b a 内，以下命题正确的是()（A ）至少有一点ξ，使0)(='ξf （B ）有且仅有一点ξ，使0)(='ξf （C ）至多有一点ξ，使0)(='ξf （D ）处处有0)(='ξf 4．下列等式正确的是()（A ）)()(x f x df =⎰（B ）Cx f dx x f +='⎰)()(（C ）⎰=)())((x f dx x f d （D ）dx x f dx x f dx d)())((=⎰5．反常积分dx xk ⎰∞+11收敛的充分必要条件是()（A ）2≥k （B ）1>k （C ）1≥k （D ）10<<k 二、填空题（每小题2分，5小题，共10分）1．x x x11(lim -∞→=．2．设)(0x f '存在，则0lim →h hx f h x f )()2(00-+=．3．⎰x adt t f dtd))((=．4．设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(．5．dx x ⎰-22=______．三、计算题（每小题9分，6小题，共54分）1．求极限212lim x x e x →．2．设）（21ln x x y ++=，求y '，y ''．3．求不定积分⎰xdx xln 2．4．计算定积分dx x x x⎰-121)1(arcsin ．5．求曲线53523++-=x x x y 的凹、凸区间及拐点．6．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2．四、应用题（1小题，14分）求曲线x y =与直线1=x ，4=x 以及x 轴所围成的平面图形分别绕x 轴与绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积．五、证明题（1小题，12分）证明不等式：当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++．模拟试卷4一、单项选择题（每小题2分，5小题，共10分）1．数列有界是数列收敛的()（A ）充分必要条件（B ）充分条件，但不是必要条件（C ）必要条件，但不是充分条件（D ）既非充分条件也非必要条件2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是()（A ）连续且可导（B ）既不连续也不可导（C ）连续但不可导（D ）可导但不连续3．设)(0x f '、)0(f '均存在，以下四式中正确的一个是()（A ）)()()(lim 0000x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆（B ）)(2)()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→（C ）)()()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→（D ）)0()0()(lim 0f xf x f x '-=--→4．设)(x f 在),(b a 内有定义，则下列命题正确的是()（A ）0)(='x f 的点属于可能取得极值的点（B ）0)(='x f 的点必定是)(x f 的极值点（C ）)(x f 的极值点必定是0)(='x f 的点（D ）0)(='x f 的点必定不是)(x f 的极值点5．设)(x f 在],[b a 上连续，则下列不等式成立的是()（A ）dxx f dx x f b aba)()(2⎰⎰≥（B ）dxx f dx x f b aba)()(2⎰⎰≤（C ）⎰⎰≤<<c abadxx f dx x f b c a )()(,（D ）dxx f dx x f b ab a⎰⎰≤)()(二、填空题（每小题2分，5小题，共10分）1．xx x 10)21(lim +→=．2．设x x y ln 2=，则y '=．3．函数7186223---=x x x y 的单调递减区间是．4．⎰+2031x tdt dxd =__________．5．⎰π20|sin |dx x =____．三、计算题（每小题9分，6小题，共54分）1．求极限xe e xx x sin lim0-→-．2．设)(x y y =由方程0ln =-y xy 所确定，求y '．3．求不定积分dx xx xx ⎰-+3cos sin cos sin ．4．计算反常积分dx e x x ⎰∞+-02．5．求抛物线x y 22=与其在点)1,21(处的法线围成的图形的面积．6．求微分方程满足所给初始条件的特解：0)2(222=-+dy x y dx y x ，1|1==x y ．四、应用题（1小题，14分）要建造一个圆柱形无盖水池，容积为V ，若侧面与底面的单位面积的费用之比为b a :，问底半径r 和高h 之比为多少时，才能使建造费用最省？五、证明题（1小题，12分）证明不等式：当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+．模拟试卷5一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）1.若x x x f -=-2)1(，则)(x f =【】(A)xx +2(B))1(-x x (C))1()1(2---x x (D))2)(1(-+x x 2.数列有界是数列收敛的【】(A)充分条件，但不是必要条件(B)必要条件，但不是充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件3.设⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=时当 时当时当a x x a x a a x x x f ,,,12)(3,若)(x f 在点a x =处连续，则常数a ＝【】(A)0(B)l(C)1-(D)24.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是【】(A)连续且可导(B)连续但不可导(c)既不连续也不可导(D)可导但不连续5.设)(0x f '、)0(f '均存在，以下四式中正确的一个是【】(A))()()(lim0000x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆(B))0()0()(lim 0f xf x f x '-=--→(C))()()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→(D))(2)()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→6.)5(lim x x x -++∞→=【】(A)∞(B)1(C)5(D)07.设)(x f 在),(b a 内有定义，则下列命题正确的是【】（A ）)(x f 的极值点必定是0)(='x f 的点（B ）0)(='x f 的点必定是)(x f 的极值点（C ）0)(='x f 的点属于可能取得极值的点（D ）0)(='x f 的点必定不是)(x f 的极值点8.设a 是不等于1的正数，函数xa x f =)(，aa x g xln )(=，则【】(A))(x g 是)(x f 的不定积分(B))(x g 是)(x f 的导数(C))(x f 是)(x g 的原函数(D))(x g 是)(x f 的原函数9.=+⎰dx x x 383【】(A)Cx +3arctan 3412(B)Cx +3arctan 3414(C)Cx +3arctan 3214(D)Cx +3arctan 321210.设)(x f 在],[b a 上连续，则下列不等式成立的是【】(A)dxx f dx x f baba⎰⎰≤)()((B)dxx f dx x f ba ba)()(2⎰⎰≤(C)⎰⎰≤<<cabadxx f dx x f b c a )()(,(D)dxx f dx x f baba)()(2⎰⎰≥二、填空题（每小题2分，5小题，共10分）1.xx x 1)21(lim +→=2.xx x 1sin)(sin lim ⋅∞→=3.设x x y ln 2=，则y '=4.⎰dx xe x 2=_________5.⎰+231x tdt dxd =__________三、计算题（每小题8分，6小题，共48分）1.求极限xe e x x x sin lim 0-→-2.求极限xx x tan 01lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→3.设)(x y y =由方程0ln =-y xy 所确定，求y '、y ''.4.求不定积分⎰dxx x sin 5.计算定积分dx x x ⎰-1212216.求抛物线x y 22=与其在点)1,21(处的法线围成的图形的面积.四、应用题（1小题，12分）某房产公司有80套公寓出租，当月租金1000元时，公寓会全部租出去.当每月租金增加20元时，就会多一套公寓租不出去.租出去的公寓每月每套需花费120元的维修费.试问房租定为多少可获得最大收益？最大收益为多少？五、证明题（1小题，10分）证明不等式：当0>x 时，xx +>+1211模拟试卷6一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）1.下列数列中，发散的是【】A 、321+-=n n x n B 、32)1(n n n x n n -+=C 、1)1(+-=n x nn D 、nnx n n )1(2-+=2.下列命题中．错误的是【】A 、若0)(lim 0=→x f x x ，则0|)(|lim 0=→x f x x ；反之，不成立B 、若-∞=→)(lim 0x f x x ，则∞=→)(lim 0x f x x ；反之．不成立C 、若+∞=→)(lim 0x f x x ，则+∞=+→)(lim 0x f x x ；反之，不成立D 、若+∞=→)(lim 0x f x x ,则∞=→)(lim 0x f x x ；反之．不成立3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是【】A 、既不连续也不可导B 、连续且可导C 、连续但不可导D 、可导但不连续4.设xe y arctan =，则='y 【】A 、)1(arctanx x e x+B 、xe x+1arctan C 、)1(2arctanx x e x+D 、xe x2arctan 5.设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则在),(b a 内，以下命题正确的是【】A 、至少有一点ξ，使0)(='ξfB 、有且仅有一点ξ，使0)(='ξfC 、至多有一点ξ，使0)(='ξfD 、处处有0)(='ξf 6.函数5)1(3)(22+-=x x f 的极大值点为【】A 、1B 、1-C 、0D 、无极大值点7.下列等式正确的是【】A 、)()(x f x df =⎰B 、Cx f dx x f +='⎰)()(C 、⎰=)())((x f dx x f d D 、dx x f dx x f dxd)())((=⎰8.若⎰+=,)()(C x F dx x f 则⎰+dx b ax f )(=【】A 、Cb ax aF ++)(B 、Cb ax F ++)(C 、C x F +)(D 、C b ax F a++)(19.设⎰=32)(x xdt t f y,则dxdy =【】A 、)(x fB 、)()(23x f x f +C 、)(2)(3232x xf x f x -D 、)()(23x f x f -10.反常积分dx xk ⎰∞+11收敛的充分必要条件是【】A 、2≥k B 、1>k C 、1≥k D 、10<<k 二、填空题（每小题2分，5小题，共10分）1.xx x)11(lim -∞→=。