小波分析课件_常用小波函数及Matlab常用指令
常用小波函数及Matlab常用指令
THR=wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA)使用penalization方法为降噪返回全局门槛THR.
STDC=wnoisest(C,L,S)返回[C,L]在尺度S上的细节系数的标准差估计
[THR,NKEEP]=wdcbm(C,L,ALPHA,M)返回各尺度上的相应门槛，存放于THR向量中，降噪一般将ALPHA设为3
y=upcoef('O',x,'wname',N) 用于一维小波分析，计算向量x向上N步的重构小波系数，N为正整数。如 果O=a,对低频系数进行重构；如果O=d，对高频系数进行重构。
[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x)产生信号全局默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消除噪 声的处理,thr = sqrt(2*log(n)) * s
THR=thselect(X,TPTR)使用由TPTR指定的算法计算与X相适应的门槛
D=detcoef(c,l,N) 提取N尺度的高频系数。
[nc,nl,ca]=upwlev(c,l,'wname')对小波分解结构[c,l]进行单尺度重构，返回上一尺度的分解结构并提 取最后一尺度的低频分量。
x=wrcoef('type',c,l,'wname',N)对一维信号的分解结构[c,l]用指定的小波函数进行重构，当'type=a' 时对信号的低频部分进行重构，此时N可以为0.当'type=d'时，对信号 的高频部分进行重构，此时N为正整数。
小波分析课件_常用小波函数及Matlab常用指令
General characteristics: Compactly supported wavelets with least asymmetry and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are near linear-phase filters. Family Symlets Short name sym Order N N = 2, 3, ... Examples sym2, sym8
bior Nr.Nd
bior 1.1 bior 1.3 bior 1.5 bior 2.2 bior 2.4 bior 2.6 bior 2.8
ld effective length of Lo_D 2 6 10 5 9 13 17
lr effective length of Hi_D 2 2 2 3 3 3 3
Family Short name Order Nr,Nd r for reconstruction d for decomposition
Biorthogonal bior Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5 N, 3, 5, 7, 9 Nr = 4 , Nd = 4 Nr = 5 , Nd = 5 Nr = 6 , Nd = 8
图:
在命令窗口输入waveinfo('haar')
2、db系列小波
DBINFO Information on Daubechies wavelets. Daubechies Wavelets General characteristics: Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are minimum-phase filters. Family Daubechies Short name db Order N N strictly positive integer Examples db1 or haar, db4, db15
MATLAB小波变换指令及其功能介绍(超级有用)(可编辑修改word版)
MATLAB 小波变换指令及其功能介绍1一维小波变换的 Matlab 实现(1)dwt 函数功能：一维离散小波变换格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname')[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和 N 维DFT说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数 'wname'对信号 X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。
(2)idwt 函数功能：一维离散小波反变换格式：X=idwt(cA,cD,'wname')X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数 fft、fft2 和 fftn 分X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经小波反变换重构原始信号 X 。
'wname' 为所选的小波函数X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器 Lo_R 和Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。
X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。
2二维小波变换的 Matlab 实现二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和 N 维 DFT函数名函数功能dwt2 二维离散小波变换wavedec2 二维信号的多层小波分解idwt2 二维离散小波反变换waverec2 二维信号的多层小波重构wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量appcoef2 提取二维信号小波分解的近似分量upwlev2 二维小波分解的单层重构dwtpet2 二维周期小波变换idwtper2 二维周期小波反变换(1)wcodemat 函数功能：对数据矩阵进行伪彩色编码函数 fft、fft2 和 fftn 分格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)Y=wcodemat(X,NB,OPT)Y=wcodemat(X,NB)Y=wcodemat(X)说明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) 返回数据矩阵 X 的编码矩阵Y ；NB 伪编码的最大值，即编码范围为 0～NB，缺省值 NB＝16；OPT 指定了编码的方式（缺省值为 'mat'），即：别可以实现一维、二维和 N 维 DFTOPT＝'row' ，按行编码OPT＝'col' ，按列编码OPT＝'mat' ，按整个矩阵编码函数 fft、fft2 和 fftn 分ABSOL 是函数的控制参数（缺省值为 '1'），即： ABSOL＝0 时，返回编码矩阵ABSOL＝1 时，返回数据矩阵的绝对值 ABS(X)1. 离散傅立叶变换的 Matlab 实现(2)dwt2 函数功能：二维离散小波变换格式：[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,'wname')[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,Lo_D,Hi_D)说明：[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,'wname')使用指定的小波基函数'wname' 对二维信号 X 进行二维离散小波变幻；cA，cH,cV,cD 分别为近似分量、水平细节分量、垂直细节分量和对角细节分量；[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的分解低通和高通滤波器 Lo_D 和 Hi_D 分解信号 X 。
Matlab中常用小波函数
matlab小波变换Matlab 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现Matlab 函数fft、fft2 和fftn 分别可以实现一维、二维和N 维DFT 算法；而函数ifft、ifft2 和ifftn 则用来计算反DFT 。
这些函数的调用格式如下：A＝fft(X,N,DIM)其中，X 表示输入图像；N 表示采样间隔点，如果X 小于该数值，那么Matlab 将会对X 进行零填充，否则将进行截取，使之长度为N ；DIM 表示要进行离散傅立叶变换。
A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS 和NCOLS 指定对X 进行零填充后的X 大小。
别可以实现一维、二维和N 维DFTA＝fftn(X,SIZE)其中，SIZE 是一个向量，它们每一个元素都将指定X 相应维进行零填充后的长度。
函数ifft、ifft2 和ifftn的调用格式于对应的离散傅立叶变换函数一致。
别可以实现一维、二维和N 维DFT例子：图像的二维傅立叶频谱1. 离散傅立叶变换的Matlab实现% 读入原始图像I＝imread('lena.bmp');函数fft、fft2 和fftn 分imshow(I)% 求离散傅立叶频谱J=fftshift(fft2(I));figure;别可以实现一维、二维和N 维DFTimshow(log(abs(J)),[8,10])2. 离散余弦变换的Matlab 实现Matlab2.1. dct2 函数功能：二维DCT 变换Matlab格式：B=dct2(A)B=dct2(A,m,n)B=dct2(A,[m,n])函数fft、fft2 和fftn 分说明：B＝dct2(A) 计算A 的DCT 变换B ，A 与B 的大小相同；B＝dct2(A,m,n) 和B=dct2(A,[m,n]) 通过对A 补0 或剪裁，使B 的大小为m×n。
2.2. dict2 函数功能：DCT 反变换格式：B=idct2(A)B=idct2(A,m,n)别可以实现一维、二维和N 维DFTB=idct2(A,[m,n])说明：B＝idct2(A) 计算A 的DCT 反变换B ，A 与B 的大小相同；B＝idct2(A,m,n) 和B=idct2(A,[m,n]) 通过对A 补0 或剪裁，使B 的大小为m×n。
MATLAB 小波变换 指令及其功能介绍
MATLAB 小波变换指令及其功能介绍3. 图像小波变换的 Matlab 实现函数 fft、fft2 和 fftn 分析3.1 一维小波变换的 Matlab 实现(1) dwt 函数 Matlab功能：一维离散小波变换格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname')[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和 N 维 DFT说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数 'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。
(2) idwt 函数功能：一维离散小波反变换格式：X=idwt(cA,cD,'wname')X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数 fft、fft2 和 fftn 分X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经小波反变换重构原始信号 X 。
'wname' 为所选的小波函数X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。
X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。
1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现3.2 二维小波变换的 Matlab 实现二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和 N 维 DFT-------------------------------------------------函数名函数功能---------------------------------------------------dwt2 二维离散小波变换wavedec2 二维信号的多层小波分解idwt2 二维离散小波反变换 Matlabwaverec2 二维信号的多层小波重构wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量1. 离散傅立叶变换的Matlab实现detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量appcoef2 提取二维信号小波分解的近似分量upwlev2 二维小波分解的单层重构1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现dwtpet2 二维周期小波变换idwtper2 二维周期小波反变换-------------------------------------------------------------函数 fft、fft2 和 fftn 分(1) wcodemat 函数功能：对数据矩阵进行伪彩色编码函数 fft、fft2 和 fftn 分格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)Y=wcodemat(X,NB,OPT)Y=wcodemat(X,NB)Y=wcodemat(X)说明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) 返回数据矩阵 X 的编码矩阵 Y ；NB 伪编码的最大值，即编码范围为 0～NB，缺省值 NB＝16；OPT 指定了编码的方式（缺省值为 'mat'），即：别可以实现一维、二维和 N 维DFTOPT＝'row' ，按行编码OPT＝'col' ，按列编码OPT＝'mat' ，按整个矩阵编码函数 fft、fft2 和 fftn 分ABSOL 是函数的控制参数（缺省值为 '1'），即：ABSOL＝0 时，返回编码矩阵ABSOL＝1 时，返回数据矩阵的绝对值 ABS(X)1. 离散傅立叶变换的Matlab实现(2) dwt2 函数功能：二维离散小波变换格式：[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,'wname')[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,Lo_D,Hi_D)说明：[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,'wname')使用指定的小波基函数 'wname' 对二维信号 X 进行二维离散小波变幻；cA，cH,cV,cD 分别为近似分量、水平细节分量、垂直细节分量和对角细节分量；[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的分解低通和高通滤波器 Lo_D 和 Hi_D 分解信号 X 。
MATLAB小波分析工具箱常用函数
MATLAB小波分析工具箱常用函数matlab小波分析工具箱常用函数1.Cwt :一维连续小波变换格式：coefs=cwt(s,scales,'wavename')coefs=cwt(s,scales,'wavename','plot')scales:尺度向量，可以为离散值，表示为[a1,a2,a3……]，也可为连续值，表示为[amin:step:amax]2.dwt:单尺度一维离散小波变换格式：[ca,cd]=dwt(x,'wavename')[ca,cd]=dwt(x,lo-d,hi-d)先利用小波滤波器指令wfilters求取分解用低通滤波器lo-d和高通滤波器hi-d。
[lo-d,hi-d]=wfilters('haar','d');[ca,cd]=dwt(s,lo-d,hi-d)3.idwt:单尺度一维离散小波逆变换4.wfilters格式：[lo-d,hi-d,lo-r,hi-r]=wfilters('wname')[f1,f2]=wfilters('wname','type')type=d(分解滤波器)、R(重构滤波器)、l(低通滤波器)、h(高通滤波器)5.dwtmode 离散小波变换模式格式：dwtmodedwtmode('mode')mode:zdp补零模式，sym对称延拓模式，spd平滑模式6.wavedec多尺度一维小波分解格式：[c,l]=wavedec(x,n,'wname')[c,l]=wavedec(x,n,lo-d,hi-d)7.appcoef 提取一维小波变换低频系数格式：A=appcoef(c,l,'wavename',N)A=appcoef(c,l,lo-d,hi-d,N) N是尺度，可省略例：load leleccum;s=leleccum(1:2000)subplot(421)plot(s);title('原始信号')[c,l]=wavedec(s,3,'db1');ca1=appcoef(c,l,'db1',1);subplot(445)plot(ca1);ylabel('ca1');ca2=appcoef(c,l,'db1',2);subplot(4,8,17)plot(ca2);ylabel('ca2');8.detcoef 提取一维小波变换高频系数格式：d=detcoef(c,l,N),N尺度的高频系数。
MATLAB小波分析工具箱常用函数
MATLAB小波分析工具箱常用函数1. wfilters 函数：用于生成小波滤波器和尺度函数，可以根据指定的小波和尺度类型生成小波滤波器系数。
2. wavedec 函数：用于将信号进行小波分解，将输入信号分解为多个尺度系数和小波系数。
3. waverec 函数：用于将小波系数和尺度系数进行重构，将小波分解后的系数重构为信号。
4. cwt 函数：用于进行连续小波变换，可以获得信号在不同尺度上的时频信息。
5. icwt 函数：用于进行连续小波反变换，可以将连续小波变换的结果重构为原始信号。
6. cmorlet 函数：用于生成复数 Morlet 小波。
Morlet 小波是一种基于高斯调制正弦波的小波函数。
7. modwt 函数：用于进行无偏快速小波变换，可以获取多个尺度下的小波系数。
8. imodwt 函数：用于进行无偏快速小波反变换，可以将无偏快速小波变换的结果重构为原始信号。
9. wdenoise 函数：用于对信号进行去噪处理，可以去除信号中的噪声。
10. wavethresh 函数：用于对小波系数进行阈值处理，可以实现信号压缩。
11. wenergy 函数：用于计算小波系数的能量，可用于分析小波系数的频谱特性。
12. wscalogram 函数：用于绘制小波系数的时频谱图，可以直观地显示信号的时频信息。
13. wpdec 函数：用于进行小波包分解，可以将输入信号分解为多个尺度系数和小波系数。
14. wprec 函数：用于将小波包系数和尺度系数进行重构，将小波包分解后的系数重构为信号。
15. wptree 函数：用于提取小波包树的信息，可以获得小波包树的结构和节点信息。
这些函数可以实现小波分析中主要的操作和功能。
通过使用这些函数，你可以进行小波分析、信号去噪、信号压缩等应用。
同时，你也可以根据具体的需求使用这些函数进行函数的扩展和自定义。
小波分析_matlab课件
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58
• 去噪信号与原信 号在同一窗口显 示.
• 同时显示两信号 的小波系数.
• 提供局部观察.
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• 8. 重新分析. • GUI使得重新分析十分容易.
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• 9. 信号压缩 • 点击压缩按钮
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• 设定压缩阈值 • 点击压缩按钮
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小波去噪和压缩函数 函数名 ddencmp wbmpen
用途 提供去噪和压缩默认值 去噪惩罚阈值
wdencmp wden wthrmngr
小波去噪和压缩 小波自动去噪 阈值设定管理
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• 1. 加载被分析信号
load leleccum; s = leleccum(1:3920); l_s = length(s);
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2.执行单级小波分解 [cA1,cD1] = dwt(s,'db1');
3. 由分解系数分别重构逼近信号和细节信号 A1 = upcoef('a',cA1,'db1',1,l_s); D1 = upcoef('d',cD1,'db1',1,l_s);
或 A1 = idwt(cA1,[],'db1',l_s); D1 = idwt([],cD1,'db1',l_s);
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• “Superimpose Mode,” 在一个视图中以不同颜色同时显示原信号与逼近信号; 在另一视图中以不同颜色显示所有细节信号.
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小波函数及Matlab常用指令
小波包分析能够更全面地揭示信号的细节特征，对于非平稳信号的处理效果尤为突出。此 外，小波包分析还可以根据实际需求选择合适的小波基函数，从而更好地满足信号处理的 需求。
小波包分析的应用
小波包分析在信号处理、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理 中，小波包分析可以用于信号去噪、特征提取、故障诊断等；在图像处理中，小波包分析 可以用于图像压缩、图像增强、图像恢复等。
信号的小波重构是将小波分解后的系数重新组合成原始信号的 过程。
02
在Matlab中，可以使用`waverec`函数对小波系数进行重构，该
函数可以根据小波分解的层次和系数重建原始信号。
小波重构的结果可以用于验证小波分解的正确性和完整性，以
03
及评估去噪等处理的效果。
信号的小波去噪
信号的小波去噪是一种利用小波 变换去除信号中噪声的方法。
小波函数及Matlab常用指 令
• 小波函数简介 • Matlab中小波函数的常用指令 • Matlab中信号的小波分析 • Matlab中小波变换的应用实例 • Matlab中小波函数的进阶使用
01
小波函数简介
小波函数的定义
小波函数是一种特殊的函数，其时间频率窗口均有限，具有良好的局部化 特性。
金融数据分类与聚类
利用小波变换的特征提取能力，可以对金融数据进行分类或聚类， 用于市场趋势预测等。
05
Matlab中小波函数的进阶使用
小波包分析
小波包分析
小波包分析是一种更为精细的信号分析方法，它不仅对信号进行频域分析，还对信号进行 时频分析。通过小波包分析，可以更准确地提取信号中的特征信息，为信号处理提供更全 面的数据支持。
THANKS
Matlab中的小波分析工具箱PPT课件讲义
Orthogonal
yes
Biorthogonal
yes
Compact support no
DWT
possible but without FWT
CWT
possible
Support width
infinite
Effective support [-8 8]
Regularity
indefinitely derivable
其中：cA ：低频分量， cD：高频分量 X：输入信号。 wname：小波基名称 H：低通滤波器 G：高通滤波器
多层小波分解：
[A,L]=wavedec(X,N，’wname’) [A,L]=wavedec(X,N,H,G) 其中：A ：各层分量， L：各层分量长度
N：分解层数 X：输入信号。 wname：小波基名称 H：低通滤波器 G：高通滤波器
• 提升小波变换（Lifting scheme wavelet transform)
多小波变换：
• 在图像处理和信号分析的实际应用中，我们需要小波 具有正交性和对称性。可是，实数域中，紧支、对称、 正交的非平凡单小波是不存在的，这使人们不得不在 正交性与对称性之间进行折衷。
• Goodman等提出多小波的概念，其基本思想是将单小 波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为 由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。 1994年，Geronimo,Hardin和Massopus构造了著名的 GHM多小波。它既保持了单小波所具有的良好的时域 与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实 际应用中十分重要的光滑性、紧支性、对称性、正交 性完美地结合在一起。与此同时，在信号处理领域， 人们将传统的滤波器组推广至矢值滤波器组、块滤波 器组，初步形成了矢值滤波器组的理论体系，并建立 了它和多小波变换的关系。
小波分析-matlab
图像特征提取
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子图像，从而提取出图像在 不同频率下的特征。这些特征可以用于图像分类、识别和比较等应 用。
特征描述
小波变换可以生成一组小波系数，这些系数可以用于描述图像的特 征。通过分析这些系数，可以提取出图像的纹理、边缘和结构等特 征。
应用领域
小波变换在图像特征提取方面的应用广泛，包括医学影像分析、遥感 图像处理、人脸识别和指纹比较等。
05
小波分析的未来发展与展望
小波分析与其他数学方法的结合
小波分析与傅里叶分析的结合
通过小波变换和傅里叶变换的互补性，可以更好地分析信号 的时频特性。
小波分析与分形理论的结合
利用小波分析的多尺度分析能力和分形理论对复杂信号的描 述，可以更好地揭示信号的非线性特征。
小波分析在大数据处理中的应用
高效的数据压缩
高效算法
小波变换具有快速算法，可以 高效地处理大规模数据。
小波变换的应用领域
信号处理
小波变换广泛应用于信号处理领域， 如语音、图像、雷达、地震等信号的 分析和处理。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图像压缩、 图像去噪、图像增强等方面。
医学成像
小波变换在医学成像中用于图像重建、 图像去噪、图像分割等方面。
小波变换的压缩效果优于传统的JPEG压缩算法，特别是在处理具有大
量细节和纹理的图像时。
图像增强
图像增强
小波变换可以用于增强图像的细节和边缘信息，提高图像的视觉效果。通过调 整小波系数，可以突出或抑制特定频率的信号，实现图像的锐化、平滑或边缘 检测等效果。
增强效果
小波变换能够有效地增强图像的细节和边缘信息，提高图像的清晰度和对比度。 同时，小波变换还可以用于图像去噪，去除图像中的噪声和干扰。
第5章小波变换的matlab实现精品资料课件
· A3=wrcoef('a',C,L,'db1',3); · D1=wrcoef('d',C,L,'db1',1); · D2=wrcoef('d',C,L,'db1',2); · D3=wrcoef('d',C,L,'db1',3);
Approximation
A3
Detail D1
Detail D2
Wavelet Packet 2-D
Multiple 1-D Mutisignal Analysis 1 - D
Mutivariate Denoising Mutiscale Princ. Comp.Analysis
Wavelet Design New Wavelet for CWT
Specialized Tools 1-D SWT Denoising 1-D Density Estimation 1-D
低频系数
原始信号 高频系数
系数重构
·命令： upcoef
·格式：
1. Y=upcoef(O,X,'wname',N) 2.Y=upcoef(O,X,'wname',N,L) 3.Y=upcoef(O,X,'Lo_R,Hi_R',N)
4. Y=upcoef(O,X,'Lo R,Hi R ',N,L)
图形接口方式 (GUI)
let Toolbox Eile Window Help
Tain
Tenu
One-Dimensional Wavelet 1-D
Wavelet Packet 1-D Continuous Wavelet 1-D Complex Continuous WaveleWavelet 2 -D
《基于MATLAB的小波分析应用》课件第1章
第1章 小波分析基础
因此，如何求解Wn是下一步需要解决的问题。求解的
基本思想是：找到一个函数 (x) ，像函数 (x) 的伸缩和
平移 {2n/2(2n x k) ；k Z} 能够张成空间Vn一样，函数 (x) 的伸缩和平移 {2n / 2 (2n x k ) ；k Z} 也能张成空间Wn。同
第1章 小波分析基础
图1.5 V4中的分量
第1章 小波分析基础
图1.6 W7中的分量
第1章 小波分析基础
1.3 一维连续小波变换
定义2 设 (t) L2 (R) ，其傅里叶变换为，当满足容许
条件(完全重构条件或恒等分辨条件)
ˆ () 2
C
d
R
时，称 (t) 为一个基本小波或母小波。将母函数经伸缩和 平移后得
ˆ *() ˆ (2 j ) 2
j
由上式可以看出，稳定条件实际上是对上式分母的约束 条件，它的作用是保证对偶小波的傅里叶变换存在。
Wf (a, b)
第1章 小波分析基础
1.4 离散小波变换
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波
变换必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波 a,b (t)
时要求 (x) 和 (x) 能够建立直接的联系。
第1章 小波分析基础
定理1 设Wn是由形如 kZ ak(2n x k)( ak R)的函数所组成
的线性空间，其中ak含有限个非0项，则Wn构成Vn在Vn+1中 的正交补，并且Vn1 Vn Wn 。
定理2 能量有限空间L2(R)可以分解为如下形式之和： L2 (R) V0 W0 W1
V j {0}, V j L2 (R)
jZ
jZ
(4) 平移不变性：f (x)V0 f (x k)V0 ,k Z ；
二维小波matlab命令PPT课件
2021/3/9
授课：XXX
9
FWT(快速小波变换)：
多层次分解
D=detcoef2(type,C,S,N) 从分解系数[C，S]提取第N层细节系数 Type:
H---提取水平系数 V---提取垂直系数 D---提取对角线系数
2021/3/9
授课：XXX
10
FWT(快速小波变换)：
多层次分解
2021/3/9
授课：XXX
2
例子：
subplot(222);image(cH);colormap(map); title('水平高频图像'); subplot(223);image(cV);colormap(map); title('垂直高频图像'); subplot(224);image(cD);colormap(map); title('对角线高频图像');
2021/3/9
授课：XXX
13
例子：
ca1=appcoef2(c,s,’db1’,1); subplot(223);image(ca1);colormap(map); title(‘尺度1的低频系数图像'); ch2=detcoef2(’h’c,s,2); cv2=detcoef2(’v’c,s,2); cd2=detcoef2(’d’c,s,2);
2021/3/9
授课：XXX
8
FWT(快速小波变换)：
多层次分解
[C，S]=wavedec2(X,N,’wname’) [C，S]=wavedec2(X,N, Lo_R, Hi_R) 其中：返回参数为分解结构[C，S] 矩阵S： S(1,:)为尺度为N的低频信号长度。
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Examples bior3.1, bior5.5 Orthogonal（正交） no Biorthogonal(双正交的) yes Compact support yes DWT possible CWT possible Support width 2Nr+1 for rec., 2Nd+1 for dec. Filters length max(2Nr,2Nd)+2 but essentially
Family Short name Order Nr,Nd r for reconstruction d for decomposition
Biorthogonal bior Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5 Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6, 8 Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5, 7, 9 Nr = 4 , Nd = 4 Nr = 5 , Nd = 5 Nr = 6 , Nd = 8
Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support yes DWT possible CWT possible Support width 2N-1 Filters length 2N Regularity Symmetry near from Number of vanishing moments for psi
General characteristics: Compactly supported wavelets with least asymmetry and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are near linear-phase filters. Family Symlets Short name sym Order N N = 2, 3, ... Examples sym2, sym8
General characteristics: Compactly supported biorthogonal spline wavelets for which symmetry and exact reconstruction are possible with FIR filters (in orthogonal case it is impossible except for Haar).
8、Meyer小波 其小波函数和尺度函 数在频率域定义，为 具有紧支撑的正交小 波。
二、小波分析工具箱常用函数介绍
1、Cwt
功能：一维连续小波变换 格式：(1)coefs=cwt(s,scales,’wname’) (2)coefs=cwt(s,scales,’wname’,’plot’) s为待分析信号；
图:
4、Coiflet(coifN)小波系
由Daubechies构造,N=1,2,3,4,5.具有比dbN更好的
对称性。从支撑长度看，具有和db3N及sym3N具有
相同的支撑长度，从消失矩的数目看，具有和db2N 和symN相同的消失矩数目。
图:
General characteristics: Compactly supported wavelets with highest number of vanishing moments for both phi and psi for a given support width. Family Coiflets Short name coif Order N N = 1, 2, ..., 5 Examples coif2, coif4 Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support yes DWT possible CWT possible
N
●6、Molet(morl)小波
小波函数为: （x）＝Ce 尺度函数不存在，不具有正交性。
x 2/ 2
cos5 x
Definition: morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x) Family Morlet Short name morl Orthogonal no Biorthogonal no Compact support no DWT no CWT possible
Family Short name Orthogonal Biorthogonal Compact support DWT CWT Support width Effective support Symmetry
Mexican hat mexh no no no no possible infinite [-5 5] yes
scales为尺度向量：可以为离散值，表示为 [a1,a2,a3 ,…]；也可以为连续值，表示为 [amin:step:amax]；还可以是混合情况，需要将离散 值写前面，连续值写后面 [a1,a2,a3 ,amin:step:amax]
返回值为小波变换系数矩阵，矩阵的行数为尺度个 数，每一行的值为该尺度小波变换系数
常用的指导性选择标准有：
(1) 度；
、 、、
^
^
的支撑长度。即当时间或频
率趋于无穷大时，上述各量从有限值收敛到0的速
(2) 对称型。它在图象处理中对于避免移相非常有用;
(3) 和 (若存在)的消失矩阶数。对于压缩非常 有用;
(4)正则性。对信号或图象的重构获得较好的平滑效 果非常有用。
Orthogonal Biorthogonal Compact support DWT CWT
yes yes yes possible possible
Support width 1 Filters length 2 Regularity haar is not continuous Symmetry yes Number of vanishing moments for psi 1
图:
在命令窗口输入waveinfo('haar')
2、db系列小波
DBINFO Information on Daubechies wavelets. Daubechies Wavelets General characteristics: Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are minimum-phase filters. Family Daubechies Short name db Order N N strictly positive integer Examples db1 or haar, db4, db15
Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support yes DWT possible CWT possible Support width 2N-1 Filters length 2N Regularity about 0.2 N for large N Symmetry far from Number of vanishing moments for psi N
bior Nr.Nd
bior 1.1 bior 1.3 bior 1.5 bior 2.2 bior 2.4 bior 2.6 bior 2.8
ld effective length of Lo_D 2 6 10 5 9 13 17
lr effective length of Hi_D 2 2 2 3 3 3 3
Support width 6N-1 Filters length 6N Regularity Symmetry near from Number of vanishing moments for psi 2N Number of vanishing moments for phi 2N-1
5、SymletsA(symN)小波系 Symlets函数系由Daubechies提出的近似对称的小波 函数，是对db函数的改进，N＝2，3，…，8。
常用小波函数及Matlab常用指令
●一 、常用小波函数
与标准傅立叶变换相比，小波分析中用到的小 波函数没有唯一性，小波函数 ( x) 具有多样性。 由此而带来的问题是使用不同的小波基分析同一 个问题会产生不同的结果，没有一个选择最优小 波基的统一方法。目前主要是通过用小波分析方 法处理信号的结果与理论分析结果的误差莱判定 小波基的好坏，并由此选定小波基。
图:
3、Biorthog，主要应用于信
号和图象的重构中。通常表示为biorNr.Nd形式。
Nr=1
Nd=1,3,5;
Nr=2
Nd=2,4,6,8
Nr=3
Nr=5
Nd=1,3,5,7,9; Nr=4
Nd=5; Nr=6
Nd=4
Nd=8
scaling function phi = 1 on [0 1] and 0 otherwise. wavelet function psi = 1 on [0 0.5[, = -1 on [0.5 1] and 0 otherwise.
Family Short name Examples Haar haar haar is the same as db1
Support width Effective support Symmetry
infinite [-4 4] yes
7、Mexican Hat (mexh)小波
由Gauss函数的二阶导数构成。
2 1 / 4 （x）＝ (1 x 2 )e x 2 / 2 3