排列与组合导学案

1.2 排列与组合

预习检测

（1）有三张参观卷，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是；（2）要从5件不同的礼物中选出3件分送3为同学，不同方法的种数是；（3）5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是；（4）集合A有个m元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是；

随堂练习

1.判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：

（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？

（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？

2．从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

3．7位同学站成一排，分别求出符合下列要求的不同排法的种数．

（1）甲站在中间；

（2）甲、乙必须相邻；

（3）甲在乙的左边(但不一定相邻)；

（4）甲、乙必须相邻，且丙不能站在排头和排尾；

（5）甲、乙、丙相邻；

（6）甲、乙不相邻；

（7）甲、乙、丙两两不相邻。

课后练习

1.某学生邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法？

2.5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列

3.马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有______种．

4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )

A．42 B．30 C．20 D．12

5.书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部排在同一层，如果不使同类的书分开，一共有多少种排法？

6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问：（1）能够组成多少个六位奇数？（2）能够组成多少个大于201345的正整数？

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7．某种产品的加工需要经过5道工序，问：（1）如果其中某一工序不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？（2）如果其中两道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？

随堂练习

（1）加法乘法 原理深化

计数的基本依据是加法原理，乘法原理是加法原理的简化.

小学生的加法是“同类加法”，3个苹果加上5个苹果，这8个苹果是一样的“同类苹果”. 而计数原理中的加法则强调了“分类相加”. 30个男生加上20个女生，这班上的50个学生按性别分成了2类.

相加并不难，分类要注意统一标准. 从集合的观点看待元素的分类计数：将有限集合M 的元素分成两个子集A 和B . 当且仅当A ∩B = ø，A ∪B = M 时，A 的元素与B 的元素相加，才等于M 的元素个数.

1.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是 (用数字作答)．

2.4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲题答对得100分，答错得-100分；选乙题答对得90分，答错得-90分.若.4位同学的总分为零，则这.4位同学不同得分的种数为 （ ）

A.48

B.36

C.24

D.18

（2）可重排列与不重排列——统一在乘法原理之中

排列元素的选择有两种方式. 一种是不能重复的元素——“用后则扔”；第二种是可以重复的元素——“用后还用”. 解题时必须正确区分与掌握.

在乘法原理中，它们是统一的，只不过前者构成“阶乘运算”，后者构成“乘法运算”.所谓阶乘数，就是前n 个正整数的连乘积，记号n ！是对这种连乘积的简化写法.

3.完成某项工作需4个步骤，每一步方法数相等，完成这项工作共有81种方法.改革后完成这项工作减少了一个步骤，则改革后完成该项工作有 种方法.

4.证明：()()123112!3!4!1!1!

n n n ++++=-++L

（3）组合的加法定理——从一分为二到一分为多

从n 个元素中任取r 个元素的组合，总可以找到r 个中的任何一个元素a 为分类标准，

含a 的组合有11--r n C 种，

不含a 的组合有r n C 1-种.于是从n 个元素中任取r 个元素的组合数为： =r n C 11--r n C +r n C 1-.

这就是组合的加法定理（常称组合的第二性质），它集中体现了两分法是分类计数的基本方法. 连续使用加法定理，可将“一分为二”发展到“一分为多”.

排列组合的繁杂计算.由于计算的结果多是不易验证的大数，所以掌握它们的运算性质就是减少计算量的最合理的途径.

5.56n n C C =时，1`23410234511C C C C C +++++=L

（1）穷举法——既原始又高效的元素列举

列举法是表示集合的基本方法，排列与组合说到底是在研究集合，故其列举方法也是解排列组合问题的基本大法.

有些排列组合试题，几乎是无章可循，无公式可套.可是若将符合条件的对象逐一列举，反而简单明白，轻而依举.

1.（07.辽宁文科卷.12题）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =L ，

，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法种数为（ ）

A ．18

B ．30

C ．36

D ．48

（2）捆绑与留空——相邻与不邻的对立互补

在排列计算中，有些元素是必须相邻的，这时我们不妨视这些元素为一个整体，作为一个特殊元素进行排列，然后处理它们彼此的关系.这就是“捆绑法”的具体含义.

在排列计算中，还有些元素是不能相邻的，处理不能相邻元素的最佳方法便是插空 相邻与不邻可构成“对立与互补”的完全分类，因此其中的一种情况可转化为对立情况的互补关系来解决.

2.记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）种

Ａ．1440 Ｂ．960 Ｃ．720 Ｄ．480

3.某人射击8枪，命中4枪，其中恰有3枪连中的不同种数有（ ）种