曲线积分曲面积分总结

第十三章曲线积分与曲面积分

定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面

流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张

曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.

第一节对弧长的曲线积分

一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度（单位长度的质量）是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状

析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点i, i

的密度i , i 来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于

i, i s i ．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即

n

M x i ,y i s i ．

i1

用表示n个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0 时的极限，从而得到

n

M lim ( i, i ) s i.

即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：

定义13.1 设 L是xoy面内的一条光滑曲线，函数f x,y 在L 上有界，用 L上任意插入

一点列 M 1,M 2,...,M n 将曲线分为 n 个小段 . 设第 i 段的长度为

s i (i 1,2, ,n )，又

n

i

, i 为第 i 个小段上任意取定的一点，作乘积 f i , i s i ，并作和

f i , i s i ，

i1

若当各小段的长度

的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数 f x,y 在曲 线 L 上对 弧长的曲线积分 , 也称为 第一类曲线积分 , 记作 f x,y ds , 即

n

L

f (x,y)ds lim 0 f( i , i ) s i ,

其中 f x,y 叫做被积函数 ，L 称为积分弧段 ．当L 是光滑封闭曲线时，记为 f x,yds ．

L

类似地，对于三元函数 f x, y,z 在空间的曲线 L 上光滑，也可以定义 f x,y,z 在曲 线 L

上对弧长的曲线积分 f x,y,z ds ．

这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为

M L (x, y)ds.

由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质： 性质 1(线性性) 若 f,g 在曲线 L 上第一类曲线积分存在，

, 是常数 , 则

f (x,y) g(x, y) 在曲线 L 上第一类曲线积分也存在，且

L

f x,y

g x, y ds L f x,y ds L g x, y ds ； 性质２(对路径的可加性) 设

曲线 L 分成两段 L 1,L 2. 如果函数 f 在 L 上的第一类曲线 积分存在，则函数分别在 L 1和

L 2上的第一类曲线积分也存在 . 反之，如果函数 f 在 L 1和

L 2上的第一类曲线积分存在， 则函数 f 在 L 上的第一类曲线积分也存在 成立

fds fds

fds ．

(

L 1 L 2 表示 L )

L 1 L

2

L

1

L

2

对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出． 二、 第一类曲线积分的计算

定理 13.1 设有光滑曲线

即 '(t), '(t)连续. 若函数 f(x,y)在 L 上连续，则它在 L 上的第一类曲线积分存在，且

. 并且下面等式

L: x (t)

L:

y (t)

,t [ , ].

L f x, y ds f t , t ' t ' t dt

证明如前面定义一样，对L 依次插入M1,M2,...,M n 1，并设M0 ( ( ), ( )) ，

M n ( ( ), ( )). 注意到t0 t1 t n . 记小弧段M i 1M i 的长度为s i ，那

么

s i t ti'2 (t) '2(t)dt, i 1,2, n.

由'2(t) '2(t) 的连续性与微分中值定理，有

s i t i'2(t) '2(t)dt, (t i 1 i ' t i).

所以, 当x i ( i ''), y i (i'')时,

nn

f(x i,y i) s i f( ( i''), ( i '')) '2( i') '2( i '2) t i,

i1 i 1

这里t i 1 i ', i '' t i. 设

n

f( ( i''), ( i ''))[ '2( i') '2( i') '2( i'') '2( i'')] t i

i1

则有

nn

f(x i,y i) s i f( ( i''), ( i'')) '2( i'') '2( i'') t i .

i1 i 1

令t max{ t1, t2, , t n}, 要证明的是li t m00.

因为复合函数f( (t), (t))关于t连续，所以在闭区间[ , ]上有界，即存在M，对一切t [ , ] 有

|f( (t), (t)) | M.

再由'2(t) '2(t) 在[ , ] 上连续，所以它在[ , ]上一致连续. 即当任给0，必存在0 ，当t 时有

| '2( i'') '2(i'') '2( i') '2( i')| .

从而

n

| | M t i M ( ).

i1